组合数学第三章容斥原理
组合数学中的容斥原理及其应用实例
组合数学中的容斥原理及其应用实例容斥原理又称为包含排斥原理，是组合数学中一个重要的计数技巧。
其思想是在计数过程中，先将需要计算的几个集合的元素个数求出，再减去它们的交集元素个数，最后加上它们的交集的交集元素个数。
用数学符号表示为：A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n = \sum_{i} A_i - \sum_{i<j} A_i\cap A_j + \sum_{i<j<k} A_i\cap A_j\cap A_k - \cdots + (-1)^{n-1}A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n其中，A_i 表示集合A_i中元素的个数。
容斥原理在计数问题中的应用是十分广泛的。
下面以几个实例来说明其具体应用。
例1：10个人围坐在一张圆桌周围，问将他们分成若干组，每组至少有3个人，共有多少种分法？解：我们可以以每个小组首位的编号来考虑不重不漏地表示方案数，设小组数量为k，则总方案数为\sum_{k=1}^{5} \binom{10}{k} (k-1)!，其中\binom{10}{k}表示从10个人中选k个人分成小组，(k-1)!表示考虑首位编号的排列数。
但是，这样计算会重复计算某些情况，比如将10个人随便分成3组时，第一组有4个人，第二组有3个人，第三组有3个人，这个方案在计算k=3和k=4时都会被算一次，因此需要使用容斥原理去除重复。
根据容斥原理，减去既有一个人被分在恰好一组的情况，又有两个人被分在恰好一组的情况，再加上既有一个人被分在恰好两组的情况，有：\sum_{k=1}^5 (-1)^{k-1} \binom{10}{k} (k-1)! +\binom{10}{1}\binom{9}{3}2! + \binom{10}{2}\binom{8}{3}\binom{5}{3}1!即：151200 - 19,008 + 1,680 = 134,592因此，共有134,592种分法。
容斥原理公式大全
容斥原理公式大全容斥原理是组合数学中常用的一种计数方法，可以用于解决涉及多个集合的计数问题。
它的基本思想是通过求解包含或排除一些元素的方式来计算所需的数量。
1. 容斥原理的基本形式：如果A₁，A₂，...，Aₙ是有限集合，并且S表示它们的并集，则有：|S| = |A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|，其中|X|表示集合X中元素的个数。
2. 两个集合的容斥原理：如果A和B是两个有限集合，则有：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|。
3. 三个集合的容斥原理：如果A，B和C是三个有限集合，则有：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| + |A∩B∩C|。
4. 四个集合的容斥原理：如果A，B，C和D是四个有限集合，则有：|A∪B∪C∪D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D| -|B∩C| - |B∩D| - |C∩D| + |A∩B∩C| + |A∩B∩D| + |A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|。
5. n个集合的容斥原理：如果A₁，A₂，...，Aₙ是n个有限集合，则有：|A₁∪A₂∪...∪Aₙ| = Σ|Aᵢ| - Σ|Aᵢ∩Aₙ| + Σ|Aᵢ∩Aₙ∩Aₙ| - ... + (-1)ⁿ⁻¹|A₁∩A₂∩...∩Aₙ|。
容斥原理的思想可以扩展到更多个集合的情况，通过求解交集和补集的方式来计算复杂集合的数量。
它在组合数学中具有广泛的应用，特别是在计数问题中常常能够提供简洁有效的解决方案。
第三章 容斥原理
对i=1,2,…,n，令
p1 = ∑ | Ai | ,
i =1 n
p2 = ∑∑ | Ai I A j | , L ,
i =1 j >i
n
pn =| A1 I A2 I L I An |,
q0 =| A1 I A2 I L I An |,
q1 = ∑ | A1 I A2 I L I Ai −1 I Ai I Ai +1 I L I An |,
如何通过Ai来 I Ai 或 I A 中元素的个数？
i
m
m
i =1
i =1
容斥原理: 容斥原理 ①S中均不具有性质P1, P2,…,Pm的元素个数为
m
IA
i =1
i
=| S | −∑ | Ai | + ∑ | Ai I A j | − ∑ | Ai I A j I Ak |
i =1 i≠ j i≠ j≠k
第三章 容斥原理及其应用
§3.1 容斥原理
容斥原理又称为排斥原理,它利用集合的基本运算 (交或并 交或并) 容斥原理 交或并 解决实际中的计数问题。 设S为一个有限集，A为其子集，则 |A|=|S|-|Ā|， 或 |Ā|=|S|-|A|。 若A1、A2为S的两个子集，则 |A1∪A2|=|A1|+|A2|-|A1∩A2|， |Ā1∩Ā2|=|S|- |A1|-|A2|+|A1∩A2|。 以上第二个公式的含义：先将所有元素容纳在内，再排斥掉 A1 和A2中元素，再重新容纳A1∩A2中元素。
恰好一门的教师数： q1＝P1－2P2 + 3P3＝4， 恰好教两门的老师数为： q2＝P2－3P3＝3。 例2 七人围圆桌就座，其中有三对夫妇，问 (1)所有夫妇均不相邻的坐法有多少种？(没有 男女相间的限制) (2)恰好有两对夫妇不相邻的坐法有多少种？ (即恰有一对夫妇相邻的坐法)
组合数学之容斥原理
对个人学习建议
01
深入理解容斥原理的 基本概念
要学好容斥原理，首先要深入理解其 基本概念和公式，掌握其基本原理和 思想。
02
多做练习题
通过大量的练习题，可以加深对容斥 原理的理解和掌握，提高解题能力和 思维水平。
03
拓展相关数学知识
容斥原理涉及到许多相关的数学知识 ，如集合论、概率论等。为了更好地 理解和应用容斥原理，建议学习者拓 展相关数学知识，建立完整的知识体 系。
THANK YOU
感谢聆听
有限制的排列问题
在n个元素中取出m个元素进行排列，要求某些元素必须相邻或某些元素不能相邻。可以 利用容斥原理，通过计算不满足条件的排列数，进而求得满足条件的排列数。
棋盘多项式问题
在n×n的棋盘上放置k个棋子，要求任意两个棋子不在同一行或同一列上。可以利用容斥原理， 通过计算至少有两对棋子在同一行或同一列上的放置方式数，进而求得满足条件的放置方式 数。
图论基本概念
01
图
02
顶点
03 边
04
度
路径
05
由顶点集和边集构成的一种数据结构，表示对象及其之间的 关系。 图中的基本元素，表示对象。
连接两个顶点的线段，表示对象之间的关系。
与顶点相关联的边的数目。
从一个顶点到另一个顶点的一条边的序列。
容斥原理在图论中应用
计算图的着色数
利用容斥原理，通过计算不同 颜色着色的子图个数，进而求 得图的着色数。
当某些元素不能同时选取或某些选取 方式不符合要求时，可以通过容斥原 理来求解符合条件的排列组合数。
典型问题解析
错排问题
n个元素进行排列，要求每个元素都不在原来的 位置，求这样的排列有多少种。
组合数学幻灯片31容斥原理
p1，又不具有性 pm 的元素子集
合。
于是我们有下的容斥原理。
S
p1, p2, pm 的元素个数为
m
A1 I A2 I I Am S Ai Ai I Aj
Ai I Aj I Ak
i1
i j
i jjk
(1)m A1 I A2 I I Am (3.5)
式中，第一个和式取遍集合｛i｜i=1,2,…m}，
A1 I A2 I A3
于是，由式（3.5）有
| A1 A2 A3 | | S | (| A1 | | A2 | | A3 |) (| A1 A2 | | A1 A3 | | A2 A3 |) | A1 A2 A3 | 60 (24 28 26) (10 8 14) 6 8
中，故它在S中被计算的次数为
n 0
1
又由于y恰好具有n个性质，所以它是
集合A1,A2,…,Am中的n个集合的元素，
因而它在
Ai
中被计算的次数是
n 1
n
。
又因为在n个性质中取出一对性质的
I 方法有
n 2
个，故y是
n 2
个集合
Ai
Aj 中的
的次数是
n
2
；
Ai I Aj中被计算
所有放法的集合。
∴|Ai∩Aj｜=(m-2)n(i≠j;i,j=1,2,…,m)
一般地，对于m个箱子取k个箱子为空的组合
｛i1i2…ik｝有
｜Ai1∩Ai2∩…∩Aik｜=(m-k)n,(k=1,2,…,m)。
k=1,2,…,m，在m个带编号的箱子中
取k个箱子一共有
m k
种方式。
由乘法规则和容斥原理即可得：
下面，我们考虑集合S中具有两个子
容斥原理及其应用
容斥原理及其应用容斥原理是组合数学中一种重要的计数技巧，被广泛运用于排列组合、概率统计等领域。
它的核心思想是通过求出多个集合的交集和并集来计算所需的数量，从而避免重复计数，确保准确性和全面性。
本文将介绍容斥原理的基本概念、推导过程以及其在实际问题中的应用。
一、容斥原理的基本概念容斥原理是根据集合的性质和运算规则推导出的一种计数方法。
在给定一组集合时，容斥原理可以帮助我们计算这些集合的交集和并集的元素个数。
在具体运用中，我们将问题转化成求解几个集合的元素个数之和的问题。
容斥原理表达式如下：∣A1∪A2∪⋯∪An∣=∣A1∣+∣A2∣+⋯+∣An∣−∣A1∩A2∣−∣A1∩A3∣−⋯−∣An−1∩An∣+⋯+（−1）^n−1∣An−1∩An∣其中，∣A∣表示集合A的元素个数，∪表示集合的并集，∩表示集合的交集，n表示集合的数量。
二、容斥原理的推导过程容斥原理的推导过程可以通过数学归纳法来实现，下面简要介绍：首先，我们给定两个集合A和B，我们用∣A∣表示集合A的元素个数，用∣B∣表示集合B的元素个数。
如果我们要计算A和B的并集∣A∪B∣，那么可以采取如下步骤：1. 首先，我们直接将∣A∣和∣B∣相加，得到∣A∣+∣B∣。
2. 然后，我们需要减去重复计算的部分，即集合A和B的交集∣A∩B∣。
因为∣A∩B∣这部分元素已经在∣A∣和∣B∣中被计算了一次，所以需要减去∣A∩B∣。
通过以上步骤，我们得到了∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣。
这就是容斥原理的基本推导过程。
接下来，我们将容斥原理推广到更多集合的情况。
假设我们有三个集合A、B和C，我们想要计算它们的并集∣A∪B∪C∣，我们可以按照以下步骤进行：1. 首先，我们将∣A∣、∣B∣和∣C∣相加，得到∣A∣+∣B∣+∣C∣。
2. 然后，我们需要减去两两集合的交集部分，即∣A∩B∣、∣A∩C∣和∣B∩C∣。
这是因为这些部分元素在∣A∣、∣B∣和∣C∣中都被计算了一次，所以需要减去。
组合数学 —— 容斥定理
即：A∪B∪C = A+B+C - AB - BC - AC + ABC
当被计数的种类被推到 n 类时，其统计规则即遵循奇加偶减。
容斥定理最常用于求 [a,b] 区间与 n 互质的数的个数，该问题可视为求 [1,b] 区间与 n 互质的个数减去 [1,a-1] 区间内与 n 互质的个数，故而可先对 n 进行因子分解，然后从 [1,b]、[1,a-1] 区间中减去存在 n 的因子的个数， 再根据容斥定理，奇加偶减，对 n 的因子的最小公倍数的个数进行处理即可。
2.求[1,n]中能/不能被m个数整除的个数
对于任意一个数 a[i] 来说，我们能知道在 1-n 中有 n/a[i] 个数是 a[i] 的倍数，但这样将 m 个数扫一遍一定会用重
复的数，因此需要用到容斥原理
根据容斥定理的奇加偶减，对于 m 个数来说，其中的任意 2、4、...Байду номын сангаас2k 个数就要减去他们最小公倍数能组成的 数，1、3、...、2k+1 个数就要加上他们的最小公倍数，因此 m 个数就有 2^m 种情况，对于每种状态，依次判
cnt=0; memset(bprime,false,sizeof(bprime)); for(LL i=2; i<N; i++) {
if(!bprime[i]) { prime[cnt++]=i; for(LL j=i*i; j<N; j+=i) bprime[i]=true;
} } } void getFactor(int n){ num=0; for(LL i=0; prime[i]*prime[i]<=n&&i<cnt; i++) {
容斥原理三集合公式
容斥原理三集合公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集关系。
在实际问题中，经常会遇到多个集合之间的关系，容斥原理能够帮助我们快速有效地求解问题，提高计算效率。
在容斥原理的应用中，三集合公式是其中的一种特殊情况，下面我们将详细介绍容斥原理三集合公式的相关内容。
首先，我们来看一下容斥原理的基本概念。
对于两个集合A和B，它们的并集记为A∪B，交集记为A∩B。
容斥原理的基本思想是通过对不同集合之间的交集和并集进行适当的排列组合，来求解它们的交集和并集的关系。
具体而言，容斥原理的公式可以表示为：|A∪B| = |A| + |B| |A∩B|。
其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集的元素个数，|A∪B|表示集合A和B的并集的元素个数。
这个公式表明，集合A和B的并集的元素个数等于集合A的元素个数加上集合B的元素个数，再减去集合A和B的交集的元素个数。
在容斥原理的应用中，我们经常会遇到三个集合之间的关系。
对于三个集合A、B和C，它们的交集和并集的关系可以用容斥原理三集合公式来表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。
这个公式表示了三个集合A、B和C的并集的元素个数等于集合A、B和C的元素个数之和，再减去它们两两交集的元素个数，最后再加上它们的交集的交集的元素个数。
通过这个公式，我们可以快速有效地求解三个集合之间的关系，解决实际问题中的计算需求。
在实际问题中，容斥原理三集合公式的应用非常广泛。
例如，在概率统计、组合数学、离散数学等领域，容斥原理都有着重要的应用价值。
通过灵活运用容斥原理三集合公式，我们可以更好地理解集合之间的关系，提高问题求解的效率，为实际问题的解决提供有力的数学工具支持。
总之，容斥原理三集合公式是组合数学中的重要内容，它能够帮助我们快速有效地求解集合之间的交集和并集关系。
三集合容斥原理三大公式
三集合容斥原理三大公式三集合容斥原理三大公式，是数学上重要的计算方法，经常被广泛应用于求解复杂的数学问题。
它被用于对无限个相互独立的可列集合之间的元素及其关系进行计算。
这三大公式可以帮助我们理清思路，算出结果，这也是它有价值的地方。
其中，第一个公式是“容斥原理”，也叫容斥式，它描述的是当一组不相交的集合的总长度比其他集合的总长度之和要短时，可以用它们的并集去表示其他集合的总长度之和。
实际上，容斥式反映的是当集合的总数越多时，它的表示的总长度会越短。
容斥式概括为：∑(-1)^n*U(n)=U(1)U(2)U(n)其中，U(n)表示第n个集合的总长度，n表示所有集合的总数。
第二个公式是“马尔可夫超限定理”，也叫马尔可夫不等式，它表明，对于一组无限长度的相互独立的集合，其总长度与第一个集合的总长度之和之差，是与其其他集合总长度有关的。
它表示，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更加紧密，也说明其他集合的总长度比第一个集合的总长度要长。
马尔可夫超限定理如下：∑(-1)^n*U(1)U(n)≤U(1)-U(2)U(3)U(n)其中，U(1)表示第一个集合的总长度，U(n)表示所有集合的总长度之和。
最后一个公式是“希尔伯特定理”，也叫希尔伯特不等式，它表明，一组无限长度的相互独立的集合，其并集的总长度是与其他集合的总长度有关的。
它提出，总长度的差值越大，说明集合之间的关系更紧密，也就是其他集合的总长度比并集的总长度要长。
希尔伯特定理的表达式为：U(1)U(2)U(n)≤∑U(n)它表示，第一个集合的总长度乘以其他集合的总长度之和，不能大于所有集合的总长度之和。
三集合容斥原理三大公式是求解复杂问题的重要工具，能够帮助我们准确理清思路，算出结果。
对它深入了解，将有助于我们正确理解复杂的数学问题及其解法，扩大视野，拓宽认知。
组合数学课件--第三章第三节广义的容斥原理
3.6 广义的容斥原理
求只参加了数学课的人数？ 解：设M为修数学课的学生集合；P为修 物理课的学生集合；C为修化学课的学生集合， 单修一门数学，即修数学而不修物理和 化学的学生数；可如下表示：
M PC
4
3.6 广义的容斥原理
M PC
( M P) ( M C )
M
P
关于M互为补集 因此：只参加数学课 学习的人数有
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
3.6 广义的容斥原理
定理3.3.4 广义容斥原理的证明
(m) (m) C (m 1, m) (m 1) C (m 2, m) (m 2) ...
1 2 m m1 m 2
n
8
3.6 广义的容斥原理
例3.6.2 设N={1,2,3,…,14},4个集合 A1,A2,A3,A4。 A1={2,5,8,12,13,}； A2={1,3,5,6,7,8,10,12,14}； A3={1,4,5,7,12,13}； A4={1,4,5,7,12,14}。
a在 (m)中计算了多少次 ?
C (t , m)
a在 (m 1)中计算多少次？
C (t , m 1)
....................................................
a在 (t )中计算了C (t , t )次
15
3.6 广义的容斥原理
设a包含在t个集合中,A1,A2,...,At，t>m,
16
3.6 广义的容斥原理
l C (t , m) C (t , m 1)C (m 1, m) C (t , m 2)C (m 2, m) ... (1)t m C (t , t )C (t , m)
集合容斥原理公式
集合容斥原理公式集合容斥原理是组合数学中的一个重要概念，它在解决计数问题时起到了非常重要的作用。
在实际问题中，我们常常需要计算满足若干条件的对象个数，而集合容斥原理就是一种非常有效的计数方法。
接下来，我们将介绍集合容斥原理的公式及其应用。
首先，我们来看一下集合容斥原理的基本概念。
在组合数学中，集合容斥原理用于计算若干个集合的并集中元素的个数。
假设我们有n个集合A1，A2，...，An，我们希望计算它们的并集中元素的个数。
集合容斥原理告诉我们，我们可以通过如下的公式来计算并集的元素个数：|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ|Ai| Σ|Ai ∩ Aj| + Σ|Ai ∩ Aj ∩ Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|。
其中，|A|表示集合A中元素的个数，Σ表示求和。
公式右边的第一项是单独计算每个集合的元素个数，第二项是两两集合的交集元素个数之和，第三项是三个集合的交集元素个数之和，以此类推，最后一项是所有集合的交集元素个数。
通过这个公式，我们可以很方便地计算任意多个集合的并集中元素的个数。
这种计数方法在实际问题中有着广泛的应用，特别是在概率论、组合数学、计算机算法等领域。
接下来，我们来看一个具体的例子，以帮助理解集合容斥原理的应用。
假设有三个集合A、B、C，它们的元素个数分别为|A| = 100，|B| = 150，|C| = 200，且满足|A ∩ B| = 50，|A ∩ C| = 60，|B ∩ C| = 70，|A ∩ B ∩ C| = 10。
现在我们希望计算并集A ∪ B ∪ C中元素的个数。
根据集合容斥原理的公式，我们可以得到：|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| |A ∩ B| |A ∩ C| |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|。
= 100 + 150 + 200 50 60 70 + 10。
= 330。
组合数学之容斥原理
| A4 A5 | | A4 A6 | | A5 A6 | | A4 A5 A6 |
5334
12
例 n个不同的球分放m个不同的盒子里，每盒 不空，求分放总数f(n,m).
解：以X记所有无约束条件的放球方法
记Ai为第i盒空的放法全体，则
m
m
f (m, n) Ai | X | | Ai |
26
分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式.
这个问题可以利用容斥原理来解决.
设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
k 0
2n k
（座位不编号）
n
T (n) 2 n! (1)k
2n
C(2n k, k)(n k)!
k 0
2n k
（座位编号）
15
证明：首先让女宾入座，每两个女宾之间 留下一个空位，其入座方法数为(n-1)!，然 后让男宾入座，其入座方法数记为Un，把 女宾依顺时针方向自1至n编号，第i号女宾 的丈夫编为第i号，为i号男宾；i号女宾的左 手空位编号为i号座位。令 A1：1号男宾坐在n号座位
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门 外语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习 的人数为|U|-|AB|.
3
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单.
例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数.
三容斥原理公式
三容斥原理公式容斥原理在数学中可是个很有趣的家伙，能帮咱们解决好多看似复杂的问题呢！咱们先来说说啥是容斥原理。
简单来说，就是在计算几个集合的总数时，要考虑到重复计算的部分，把多算的减掉，少算的加上，这样才能得到准确的结果。
容斥原理有好几种公式，咱们今天重点来聊聊三个集合的容斥原理公式。
公式是这样的：设集合 A、B、C 是给定的三个集合，那它们的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去B 和C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
用符号表示就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| -|B∩C| + |A∩B∩C| 。
这公式看起来有点复杂，别担心，咱们通过一个例子来好好理解一下。
比如说，咱们学校组织了语文、数学、英语的竞赛。
参加语文竞赛的有 50 人，参加数学竞赛的有 60 人，参加英语竞赛的有 70 人。
同时参加语文和数学竞赛的有20 人，同时参加语文和英语竞赛的有15 人，同时参加数学和英语竞赛的有 25 人，而三门竞赛都参加的有 5 人。
那咱们来算算一共有多少同学参加了竞赛？咱们就用刚刚的公式来算。
先把参加每门竞赛的人数加起来：50 + 60 + 70 = 180 人。
然后减去两两交集的人数：180 - 20 - 15 - 25 = 120 人。
但是这里把三个都参加的多减了一次，所以要加回来：120 + 5 = 125 人。
所以呀，一共有 125 位同学参加了竞赛。
在咱们日常生活中，容斥原理也经常能用到呢。
比如说我上次去超市买水果，我想买苹果、香蕉和橙子。
超市里标着喜欢苹果的顾客有100 人，喜欢香蕉的有 80 人，喜欢橙子的有 90 人。
同时喜欢苹果和香蕉的有 30 人，同时喜欢苹果和橙子的有 25 人，同时喜欢香蕉和橙子的有 20 人，三种都喜欢的有 10 人。
组合数学第三章容斥原理和鸽巢原理
§3.3 例
A 4!, B 5!, A B 3!.
根据容斥原理，不出现ace和df的排列数 为：
A B
=6!- (5!+4!)+3!=582
§3.3 例 例2 求从1到500的整数中能被3或5
除尽的数的个数。 解： 令A为从1到500的整数中被3除 尽的数的集合，B为被5除尽的数的集合
§3.2 容斥原理
3的倍数是：3，6，9，12，15， 18。 6个 但答案不是10+6=16 个，因为6， 12，18在两类中重复计数，应减 去。故答案是：16-3=13
§3.2 容斥原理
容斥原理研究有限集合的交或并 的计数。 [DeMorgan定理] 论域U，补集 A
A {x | x U 且x A} ,有
n 1 k 1
( Ai
i 1
(1)
k 1
k 1
I∈￠(n-1,k) i∈I
Ai An (1)
k 1
( Ai
iI
An )
I∈￠(n-1,k)
§3.2
容斥原理
n 1 k 1
A
i 1 n k 2
n 1
i
( 1)
k 2
I∈￠(n-1,k)
例
§3.2 容斥原理
令：M为修数学的学生集合； P 为修物理的学生集合； C 为修化学的学生集合；
M 170, P 130, C 120, M P 45 M C 20, P C 22, M P C 3
§3.2 容斥原理
M P C MPCM PM M CP CM P C 170 130 120 45 20 22 3 336
三元容斥原理公式
三元容斥原理公式三元容斥原理是组合数学中的一个重要原理，它可以用于解决概率问题以及集合问题。
该原理的核心思想是通过排除重复计数的方法，计算多个集合的交集与并集的大小。
我们来介绍一下三元容斥原理的基本概念。
假设有三个集合A、B、C，我们要计算它们的交集的大小。
根据容斥原理，交集的大小等于每个集合的大小减去它们两两交集的大小再加上它们三个集合的交集的大小。
用数学公式表示就是：|A ∩ B ∩ C| = |A| + |B| + |C| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|其中，|A|表示集合A的大小，|A ∩ B|表示集合A与B的交集的大小。
三元容斥原理的应用非常广泛。
例如，我们可以利用它来计算三个事件同时发生的概率。
假设事件A、B、C是相互独立的，且它们发生的概率分别为P(A)、P(B)、P(C)，那么它们同时发生的概率可以通过容斥原理计算得到：P(A ∩ B ∩ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)这个公式可以帮助我们计算多个事件同时发生的概率，从而更好地理解概率问题。
除了计算概率，三元容斥原理还可以用于解决集合问题。
例如，我们可以利用它来计算三个集合的并集的大小。
根据容斥原理，三个集合的并集的大小等于每个集合的大小减去它们两两交集的大小再加上它们三个集合的交集的大小。
这个公式可以帮助我们计算多个集合的并集的大小，从而更好地理解集合问题。
三元容斥原理的应用不仅限于三个集合，对于更多的集合也是适用的。
例如，对于四个集合A、B、C、D，我们可以利用四元容斥原理计算它们的交集的大小：|A ∩ B ∩ C ∩ D| = |A| + |B| + |C| + |D| - |A ∩ B| - |A ∩ C| - |A ∩ D| - |B ∩ C| - |B ∩ D| - |C ∩ D| + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D| - |A ∩ B ∩ C ∩ D|这个公式可以推广到任意多个集合的情况，帮助我们解决更复杂的集合问题。
容斥问题讲解方法
容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。
当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。
容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。
二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。
三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。
三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。
通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。
四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。
画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。
文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。
应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。
如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。
简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。
可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。
检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。
五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。
避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。
特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。
分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。
不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。
组合数学之容斥原理
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算一个集合 中具有某种性质的元素个数比起直接计算来得简 单.
例如: 计算1到700之间不能被7整除的整 数个数.
先计算1到700之间能被7整除的整数个数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被7整除的整数个数 =700-100=600.
4
上面举的间接计数的例子是利用了如下原 理：如果A是集合S的子集, 则A中的元素 个数等于S中的元素个数减去不在A中的元 素个数, 这个原理可写成：
组合数学
容斥原理
1
一. 引言
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数. ●在实际中, 有时要计算具有某种性质 的元素个数. 例如: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
2
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为
学英语, 法语人的集合, 如图所示.
●学两门外语的人数为|AB|, 只学一门外语的人数为|AB|-|AB|, 没有参加学习的人数为|U|-|AB|.
15
Aj=(n-1)!, j=1,2,3,,n. AiAj=(n-2)!, i,j=1,2,3,,n, 但ij. 对于任意整数k且1kn, 则有
| Ai1 Ai2 Aik | ( n k )!
因为{1,2,3,,n}的k组合为C(n,k)个, 应用容斥原理得到:
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
5
● 原理的重要推广, 称之为容斥原理,
并且将它运用到若干问题上去, 其 中包括： 错位排列、 有限制的排列、 禁位排列和 棋阵多项式等.
6
二. 容斥原理
三容斥原理所有公式
三容斥原理所有公式三容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合中元素的计数问题。
它通过排除重复计数的方法，有效地求解了复杂的计数问题，是组合数学中的重要工具之一。
在实际应用中，三容斥原理常常被用来解决排列组合、概率统计等问题，具有广泛的应用价值。
首先，我们来介绍一下三容斥原理的基本概念。
三容斥原理是指对于三个集合A、B、C，它们的元素个数分别为|A|、|B|、|C|，则它们的并集元素个数可以用如下公式表示：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| +|A∩B∩C|。
其中，|A∩B|表示A与B的交集元素个数，|A∩C|表示A与C的交集元素个数，|B∩C|表示B与C的交集元素个数，|A∩B∩C|表示A、B、C的交集元素个数。
这个公式就是三容斥原理的核心公式，通过这个公式我们可以有效地求解集合的并集元素个数，避免了重复计数的问题。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明三容斥原理的应用。
假设有三个集合A、B、C，它们的元素个数分别为|A| = 5，|B| = 6，|C| = 7，而且它们的交集元素个数分别为|A∩B| = 2，|A∩C|= 3，|B∩C| = 4，|A∩B∩C| = 1。
那么根据三容斥原理的公式，我们可以计算出它们的并集元素个数为：|A∪B∪C| = 5 + 6 + 7 2 3 4 + 1 = 10。
这样，我们就通过三容斥原理的公式，准确地求解出了集合A、B、C的并集元素个数为10。
这个例子展示了三容斥原理在实际计算中的应用，通过巧妙地排除重复计数，我们可以高效地求解集合的并集元素个数。
除了三个集合的情况，三容斥原理也可以推广到更多集合的情况。
对于n个集合A1、A2、...、An，它们的并集元素个数可以用类似的方法求解，公式为：|A1∪A2∪...∪An| = Σ|Ai| Σ|Ai∩Aj| +Σ|Ai∩Aj∩Ak| ... + (-1)^(n-1)|A1∩A2∩...∩An|。
组合数学课件--第三章第二节棋盘多项式和有限制条件的排列
甲 乙 丙 丁
1 2 3 4
11
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
例4:甲乙丙丁4个人住店,有5个房间1,2,3, 4,5,甲不住1,2,3号房间,乙不住2,3,4房间,丙 不住1、4号房间,丁不住1,2,4号房间,求满足要 求的方案数。
甲 乙 丙 丁
1 2 3 4列
i
r1 ( n 1)!
34
3.5 有禁区的排列
两个棋子落入禁区的方案数设为r2,而其余n2个棋子为无限制条件的排列，方案数是(n-2)!。
A A
i 1 j i i
n
j
r2 (n 2)!
布n个棋子无一落入禁区的方案数应为：
A1 A2 ... An N Ai Ai A j
棋盘C
C(I)
C(e)
R(C) = 1+ 5x+6x2+2x3 R(C(i)) = 1+ 2x+x2 R(C(e)) = 1+ 4x+4x2+x3
20
3.4 棋盘多项式和有限条件的排列
公式2、 R(C ) xR(C(i ) ) R(C( e ) )
证明： R(C ) rk (C ) x
容斥原理与鸽巢原理31demorgan定理32容斥原理33容斥原理举例34棋盘多项式与有限制的排列35有禁区的排列36广义的容斥原理37广义容斥原理的应用28第二类stirling数的展开式29欧拉函数n210n对夫妻问题211mobius反演定理212鸽巢原理213鸽巢原理举例214鸽巢原理的推广215ramsey数34棋盘多项式和有限制条件的排列一有限制的排列对有重复的排列或无重复的排列可以对一个或多个元素的出现次数进行限制也可以对某些元素出现的位置进行限制这两种情况统称为有限制条件的排列
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2.错排问题 集合 的一个错排是 该集合的一个满足条件
的全排列 即集合 的一个没有一个数字在它的自然顺序
位置上的全排列。 用Dn记 的全部错排个数，则
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定理3.2.1:对任意正整数n，有
递推关系：
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2.有禁止模式的排列问题 用Qn表示 则有： 定理3.2.2：对任意正整数n，有 的不出现12,23, …,(n-1)n这些模式
推论3.1.1:设S是有限集合，
是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
则S 中至少具有一个性质 的元素个数为：
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例1: 1到1000之间不能被5,6,8整除的整数有多少个？
例2：求由a,b,c,d 四个字符构成的n位符号串中，
a,b,c,d 至少出现一次的符号串的数目。
的全排列的个数。并规定
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例2：多重集合
的全排列中不出现
模式的排列有多少中？
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例3(menage问题） N对夫妇参加宴会围桌就座， 要求 男女相间并且每对夫妇两人不得相邻， 问有多少种 就座方式？
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例3：欧拉函数
表示小于n且与n互素的整数的个数,
例4：若图G有n个顶点， 且不含有完全k(k≥2)子图， 则它的顶点的度数d(x)满足不等式
其中X是图G的顶点集。
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设S是有限集合，
是S 上的性质集合，
用N(r)表示集合S中恰好具有P中r个性质的元素个数。 表示S中具有性质 的元素个数
第三章 容斥原理
一、容斥原理 二、容斥原理的应用 三、有限制位置的排列及棋子多项式 四、Mobius反演及可重复的圆排列
3.1 容斥原理
定理3.1.1:设S是有限集合， 是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
是S 中不具有性质Pi 的元素构成的集合，
则S 中不具有性质 的元素个数为：
若集合S中某元素x恰好具有P中k+r个性质, 则x在w(k)中 计算了
而对于S中具有P中少于k个性质的元素，
则不计算在w(k)中。
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定理3.1.2:设集合S中具有性质集合 中恰好r个性质的元素个数为N(r)，则
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例5: 某学校有12位教师，已知教数学课的老师有8位， 教物理课的老师有6位， 教化学课的老师有5位， 其中有5位教师既教数学又教物理， 4位教师既教
还有 数学又教化学， 3位教师既教物理又教化学，
3位教师兼教这三门课，试问： （1）教数、理、化以外的课的教师有几位？
（2）只教数、理、化一门课的教师有几位？
（3）正好教数、理、化中两门课的教师有几位？
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3.2 容斥原理的应用
1.具有有限重数的多重集合的r组合数 例1: 求 多重集合 的10组合数。 的m组合数。