组合数学第三章容斥原理

第三章 容斥原理
一、容斥原理 二、容斥原理的应用 三、有限制位置的排列及棋子多项式 四、Mobius反演及可重复的圆排列
3.1 容斥原理
定理3.1.1:设S是有限集合， 是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
是S 中不具有性质Pi 的元素构成的集合，
则S 中不具有性质 的元素个数为：
还有 数学又教化学， 3位教师既教物理又教化学，
3位教师兼教这三门课，试问： （1）教数、理、化以外的课的教师有几位？
（2）只教数、理、化一门课的教师有几位？
（3）正好教数、理、化中两门课的教师有几位？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
3.2 容斥原理的应用
1.具有有限重数的多重集合的r组合数 例1: 求 多重集合 的10组合数。 的m组合数。
的全排列的个数。并规定
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例2：多重集合
的全排列中不出现
模式的排列有多少中？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例3(menage问题） N对夫妇参加宴会围桌就座， 要求 男女相间并且每对夫妇两人不得相邻， 问有多少种 就座方式？
机动
目录
上页
下页
返回
结束
推论3.1.1:设S是有限集合，
是同集合S 有关
的m个性质， i 是S 中具有性质Pi 的元素构成的集合 设A
则S 中至少具有一个性质 的元素个数为：
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例1: 1到1000之间不能被5,6,8整除的整数有多少个？
例2：求由a,b,c,d 四个字符构成的n位符号串中，
a,b,c,d 至少出现一次的符号串的数目。
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2.错排问题 集合 的一个错排是 该集合的一个满足条件
的全排列 即集合 的一个没有一个数字在它的自然顺序
位置上的全排列。 用Dn记 的全部错排个数，则
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定理3.2.1:对任意正整数n，有
递推关系：
机动
目录
上页
下页
返回
结束
2.有禁止模式的排列问题 用Qn表示 则有： 定理3.2.2：对任意正整数n，有 的不出现12,23, …,(n-1)n这些模式
若集合S中某元素x恰好具有P中k+r个性质, 则x在w(k)中 计算了
而对于S中具有P中少于k个性质的元素，
则不计算在w(k)中。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理3.1.2:设集合S中具有性质集合 中恰好r个性质的元素个数为N(r)，则
机动
目录
上页
下页
返回
结束
例5: 某学校有12位教师，已知教数学课的老师有8位， 教物理课的老师有6位， 教化学课的老师有5位， 其中有5位教师既教数学又教物理， 4位教师既教
机动Байду номын сангаас
目录
上页
下页
返回
结束
例3：欧拉函数
表示小于n且与n互素的整数的个数,
例4：若图G有n个顶点， 且不含有完全k(k≥2)子图， 则它的顶点的度数d(x)满足不等式
其中X是图G的顶点集。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
设S是有限集合，
是S 上的性质集合，
用N(r)表示集合S中恰好具有P中r个性质的元素个数。 表示S中具有性质 的元素个数