2018年贵州省贵阳市高考数学二模试卷(理科)

贵阳市2018年高三适应性考试(二)
理科数学
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.复数Z 的共轭复数为Z ，且()25Z i +=(i 是虚数单位)，则在复平面内，复数Z 对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 2.设集合(){}(){},,,2x
P x y y k Q x y y =
===,己知P
Q φ=,那么k 的取值范围是（ ）
A ．()-0∞，
B ．()0+∞，
C ．(]-0∞，
D ．()1+∞， 3.如图，在ABC ∆中，B
E 是边AC 的中线，O 是BE 边的中点，
若,AB a AC b ==,则AO =（ ） A ．
1122a b + B ．1124a b + C ．1142a b + D ．11
44
a b + 4.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再贏两局才能得到冠军， 若两队每局获胜的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A ．
12 B ．35 C.23 D ．34
5.已知()23sin πα-=-
,且,02πα⎛∈-⎫
⎪⎝⎭
，则()2tan n α-=（ ） A ．
255 B ．25-5 C.52 D ．5
-2
6.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出条件中一定能推出m β⊥的是（ ）
A ．a β⊥ 且m a ⊥
B ．αβ⊥且//m a C.m n ⊥且//n β D ．//m n 且n β⊥
7.设实数,x y 满足约束条件12
13x y x y x ≥⎧⎪
⎨⎪≥+-⎩
≥,则下列不等式恒成立的是（ ）
A ．3x ≥
B ．4y ≥ C.28x y +≥ D ．21x y -≥-
8.定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且在()0,+∞内是增函数，又()30f -=,则()0f x <的解集是（ ）
A ．()()-303+∞，，
B ．()()--03∞，3， C.()
()--33+∞∞，，
D ．()()-3003，， 9.若函数()()0,06f x Asin x A πωω⎛
⎫
⎪>⎝
⎭
=-
>的图象如图所示， 则图中的阴影部分的面积为（ ） A ．12 B ．1
4
C.2-34 D ．2-32
10.元朝时，著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游 春走，与店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中,当原 多少酒?”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =时，问一开始输入 的x =（ ） A ．
34 B ．78 C.1516 D ．3132
11.已知二次函数()21f x ax bx =++的导函数为()()','00,()f x f f x >与x 轴
恰有-个交点则使()()1'0f kf ≥恒成立的实数k 的取值范围为（ ） A ．2k ≤ B ．2k ≥ C.52k ≤
D ．5
2
k ≥ 12.如图，已知梯形ABCD 中2AB CD =,点E 在线段AC 上,且2
5
AE AC =
, 双曲线过C D E 、、三点，以A B 、为焦点; 则双曲线离心率e 的值为（ ）
A ．
3
2
B ．7 C.52 D ．2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.7
2x x x ⎛⎫ ⎪⎝
⎭-的展开式中，4
x 的系数是____.(用数字作答)．
14.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何体的三视图中如图所示，已知该几何体的体积为5
36
，则图中x =. ．
15.设圆C 的圆心为双曲线()22
2102
x y a a -
=>的右焦点，且圆C 与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被 直线:30l x y -=截得的弦长等于2,则a 的值为 ．
16.在ABC ∆中，A B C 、、所对的边为 a b c 、、,2,3sinB sinA c ==,则ABC ∆面积的最大值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.Sn 为数列{}n a 的前n 项和，13a =，且()
21,n Sn a n n N *=+-∈. (I)、求数列{}n a 的通项公式: (Ⅱ)、设1
1
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T
18.已知如图1所示，在边长为12的正方形11'AA A A ,中，111////BB CC AA ,且3AB =,14'BC AA =，分别 交11,BB CC 于点P Q 、,将该正方形沿11,BB CC ,折叠，使得1'A A 与1AA 重合，构成如图2 所示的三棱柱
111ABC A B C -,在该三棱柱底边AC 上有一点M ,满足()01AM kMC k =<<; 请在图2 中解决下列问题:
(I)、求证:当3
4
k =
时，BM //平面APQ ; (Ⅱ)、若直线BM 与平面APQ 30
，求k 的值
19.甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下: 甲公司规定底薪80元，每销售一件产品
提成1元; 乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分每件提成8元. (I)、请将两家公司各一名推销员的日工资y (单位: 元) 分别表示为日销售件数n 的函数关系式;
(II)、从两家公司各随机选取一名推销员，对他们过去100天的销售情况进行统计，得到如下条形图。

若记甲公
司该推销员的日工资为X ,乙公司该推销员的日工资为Y (单位: 元)，将该频率视为概率，请回答下面问题: 某大学毕业生拟到两家公司中的一家应聘推销员工作，如果仅从日均收入的角度考虑，请你利用所学的统计 学知识为他作出选择，并说明理由.
20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为原段,122,F F F 、也为抛物线2
2:4C y x =的焦点，
点P 为12C C 、在第一象限的交点，且25
3
PF =. (I)、求椭圆1C 的方程;
(II)、延长2PF ,交椭圆1C 于点Q ,交抛物线2C 于点R ,求三角形1F QR 的面积.
21.己知函数() f x ax ln x =-.(a 是常数，且（0a >) (I) 、求函数()f x 的单调区间;
(Ⅱ)、当)=y f x （在1x =处取得极值时，
若关于x 的方程()22f x x x b +=+在122⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上恰有两个不相等的实数 根，求实数b 的取值范围. （Ⅲ）、求证:当2,n n N *
≥∈时2221111+
1+......123e n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，直线:2l pcos θ=-,曲线C 上任意一点到极点O 的距离等于它到直线l 的距离. (I)、求曲线C 的极坐标方程;
(I)、若P Q 、是曲线C 上两点，且OP OQ ⊥,求11
+OP OQ
的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()212f x x x =++-. (I)、求()f x 的最小值m ;
(II)、若a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=,求证:
222
3b c a a b c
++≥.
贵阳市2018年高三适应性考试(二)
理科数学
一、选择题
1-5:ACBDA 6-10:DCBCB 11、12：AB
二、填空题
13.84 14.3 15.2 16.3
三、解答题
17.解:(I)由21n n S a n =+- ①得2
11(1)1n n S a n ++=+-
② ②-①得()2
2
+1111n n n n n a S S a a n n ++=-=-++-整理得2 1n a n =+
(Ⅱ)由21n a n =+可知1111(21)(23)22123n b n n n n ⎛⎫
==⨯- ⎪++++⎝⎭
则()12111111
1......235572123323n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=
-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥
+++⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 18.(I)解: 在图(2)中，过M 作//MN CQ 交AQ 于N ，连接PN ，所以//MN PB ,
∴MNPB 共面且平面MNPB 交平面APQ 于PN , ∵33
47
MN AM k CQ AC =
==， 又 7, 3, 3CQ MN MN PB AB =∴=====, ∴四边形MNPB 为平行四边形，∴//BM PN ,
PN ⊂平面APQ ,BM ⊄平面APQ ,
∴BM //平面APQ ;
(II)解:因为=3,=4AB BC ,所以=5AC ,从而2
2
2
AC AB BC =+,
即AB BC ⊥.由图1知，3,7PB AB QC ===,分別以1BA BC BB ，，为,,x y z 轴， 则()()()()3,0,0,0,4,0,0,0,3,047A C P Q ，，,
()()()0,4,0,3,0,3, 3,4,7BC AP AQ ==-=-
设平面APQ 的法向量为(),,n a b c =,
所以00n AP n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得3303470
a c a
b
c -+=⎧⎨-++=⎩，
令a l =，则1c =,1b =-，所以()1,1,1n =- 由AM kMC =得M 的坐标为34,,011k k k ⎛⎫
⎪++⎝⎭
∵直线BM 与平面APQ
, 解得14k =
或94
k = 19.解:(I)由题意得,甲公司一名推销员的日工资y (单位:元) 与销售件数n 的关系式为:80, y n n N =+∈. 乙公司一名推销员的日工资y (单位: 元) 与销售件数n 的关系式为:()
()45,120,
45,8240n n N y n n N n ≤∈⎧=⎨
>∈-⎩
(Ⅱ)记甲公司一名推销员的日工资为X (单位: 元),由条形图可得X 的分布列为
记乙公司一名推销员的日工资为
Y (单位: 元),由条形图可得Y 的分布列为
∵ 125,136EX EY ==,所以仅从日均收入的角度考虑，我会选择去乙公司
20.解:(I)∵2F 也为抛物线2
2:4C y x =的焦点，∴1c =,
由线段253PF =,得513p x +=,∴P 的坐标为23
⎛ ⎝⎭
，代入椭圆方程得2248
193a b += 又
22
1a b -=，联立可解得2
2
4,3a b -=,
所以椭圆C
的方程为
23
143
x y += (Ⅱ)由(Ⅰ)知23p ⎛
⎝⎭
，所以直线2PF 方程为:) 1y x =--,
联立直线方程和椭圆方程可得2
143364280,,1111x x Q ⎛⎫
-+=∴-
⎪ ⎪⎝⎭
∴14100
1133
PQ =-= 联立直线方程相抛物线方程可得2
61360x x -+=,
∴1325+266PR == ∴2510025
63322
QR =
-=
∵1F 到直线2PF
, ∴三角形1F QR
的面积为
11
21.解:(I)由已知比函数()f x 的定义域为()11
0,'ax x f x a x x
->--=
, 由()'0f x >得1
x a
>
， 由()'0f x <,得10x a
<<
所以函数()f x 的减区间为10.a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，增区间为.1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
(II)由题意，得()'101f a =∴=，, ∴由(I)知()f x x lnx =-,
∴()22f x x x b +=+,即2
2x lnx x x b -+=+,
∴2
30x x lnx b -++=,
设()()2
30g x x x lnx b x =-++>
则()()()22111231'23x x x x g x x x x x
---+=-+==
当1,22
x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦
变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表:
∵方程()2
2f x x x b +=+在1,22
⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
上恰有两个不相等的实数根，
∴102(1)0(2)0g g g ⎧≥⎪⎪<⎨⎪≥⎪⎩，∴5ln 204202ln 20b b b ⎧--≥⎪⎪
-<⎨⎪-+≥⎪⎩
∴
5ln 224b +≤<即5ln 2,24b ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭
（Ⅲ）由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知当1a =时，()(1)f x f ≥即ln 1x x ≤-， ∴当1x >时，ln 1x x <-， 令()2
1
12,x n n N n *=+
≥∈时， 222222111111ln 1+ln 1...ln 1...2323n n ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫+++++<+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1111
......1112231n n n
<
+++=-<⨯⨯⨯+ 即222111ln 11+......1123n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++< ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∴22211111+......123e n ⎛
⎫⎛⎫⎛
⎫+
+< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
. 22.解:(Ⅰ)设点()M p θ，是曲线C 上任意一点，则 2cos ρρθ=+,即2
=1cos ρθ
-
(II) 设()12,
2P Q π
ρθρθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
+，、,
则112sin cos +2OP OQ θθ+-=≤. 23.解:(I)当1x <-时，()()()()21233,f x x x x =-+--=-∈+∞ 当12x -≤<时，()()()[)21243,6f x x x x =+--=+∈, 当2x ≥时，()()()[)212=36,f x x x x =++-∈+∞ 综上，()f x 的最小值3m =
(II) 证明: a b c 、、均为正实数，且满足a b c m ++=,
∵222
222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
22()a b c ≥=++ ( 当且仅当1a b c ===时，取“=”)
∴
222b c a a b c a b c ++≥++，即2223b c a a b c
++≥。