第一节 实数指数
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件22
∴函数值域为{y|y＞－1}．
点评：(1)题求函数的值域时，采用了逐步求解的方法，(2) 题利用了换元法．一般来说，求复合函数的值域，通常先求函 数的定义域A，再由函数的定义域A求出内函数的值域B，然后 以内函数的值域B作为外函数的定义域求出原函数的值域，如(2) 题是由函数y＝t2＋2t－1和函数t＝3x复合而成，先求得原函数的 定义域为R，再由x∈R得t＞0，然后由t＞0得到函数值域为{y|y ＞－1}．若(2)题中的x≥1，你还能求出它的值域吗？
函数、导数及其应用 指数与指数函数
考纲要求
1．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌 握幂的运算．
2．理解指数函数的概念，并理解指数函数的单调性与函 数图象通过的特殊点．
3．了解指数函数模型的实际背景，知道指数函数是重要 的函数模型.
课前自修
知识梳理
一、指数 1．根式． (1)定义： 如果xn＝a那么 x叫做a的n次方根(其中n>1，且 n∈N)，式子 n a 叫做根式，这里的n叫做根指数，a叫做被开方 数． (2)性质． ①当n为奇数时，n an ＝a；
另一部分是把y＝3x(x<0)的图象向左平移1个单位长度所得 的y＝3x＋1(x<－1)的图象．如下图所示．
(2)由图象可知函数的单调递增区间为(－∞，－1)，单调递减
区间为[－1，＋∞)．
(3)当x＝－1时，ymax＝
1 3
0＝1，值域为(0,1]．
考点四 求与指数函数有关的函数的定义域与值域
思路点拨：解指数方程要先化为同底，再比较指数即可， 或用换元法．
解析：(1)设2x＝t，则原方程可化为2t2－9t＋4＝0，解得t＝1
或4，即2x＝ 1 ＝2－1或2x＝4＝22，
高一数学 实数指数幂及其运算(一)
高一数学实数指数幂及其运算（一）一：教学目标1．知识目标：(1) 理解n次方根，n次根式的概念及其性质．(2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．2．能力目标：通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．3.情感目标：通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．二：教学重点难点重点是分数指数幂的概念分数指数的性质难点是根式的概念，分数指数的概念三：教学方法本节课是对初中内容的加深，学生对相关知识比较熟悉，因此采用以学生活动为主，自主探究、合作交流的教学方法为宜。
四：教学过程3.1.1 实数指数幂及其运算（第2课时）一、教学目标1．知识与技能：①理解有理指数幂的含义，能运用有理指数幂的运算性质进行运算和化简，会进行根式与分数指数幂的相互转化；②了解实数指数幂的意义,体会有理指数幂向无理指数幂逼近的过程.2．过程与方法：①通过复习和练习,理解分数指数幂的意义和学会根式与分数指数幂之间的相互转化及有理指数幂运算性质的应用。
②利用计算器或计算机进行实际操作，亲历有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体会数学的逼近思想。
3．情感、态度与价值观：通过有理指数幂向无理指数幂逼近的过程，体验数学概念的发生、发展的过程，培养学生的思维能力，注重学生数学思想的渗透。
说明：有关根式的复杂运算及繁琐的根式化简不必多练。
二、教学重点、难点重点：分数指数幂的概念及分数指数的运算性质。
难点：分数指数概念，对非整数指数幂意义的了解，特别是对无理指数幂意义的了解。
三、教学方法与手段采用讲练结合、启发式、自主学习及小组合作交流等多种方式，借助计算器、多媒体辅助教学。
四、教学过程五、教学指导建议在指数幂的教学中，要注意控制分数指数幂运算的难度。
人教B版高中数学必修一3. 实数指数幂及其运算课件
③（5 23）5 23 8 ④ 52 5
⑤4（3）4 | 3 | 3
人教B版高中数学必修一第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
人教B版高中数学必修一第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
那么，根式与分数指数幂有什么 关系？
1
(a3 )3
1 3
a3
=a
2
(a 3
)3
2 3
a 3 =a2
1
a35
a2
1 a2
将正整数指数幂推广到整数指数幂
人教B版高中数学必修一第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
于是，我们规定
a0 1a 0
a n
1 an
a
0, n N
运算法则（1）am an amn
2 am n amn
3
am an
amn
m n, a 0
4abm ambm
人教B版高中数学必修一第三章3.1.1 实数指数幂及其运算课件
限时练习:
80 1
（ 8）0 1
（a b）0 1
（
1 ）6 2
1
-
1
6
2
1 1 64
64
（ x3 ）2 r2
x 6 r 4
r4 x6
a2 b2c
a2b2c1
10 3
1 103
0.001
（2x）3
2-3
x3
1 8x3
x
1
1
1
③3 3 3 3 6 3 3 32 33 36
1 1 1 1
3 2 3 6
32
9
21
2
1
3
④（a 3b 4）3 （a 3）（3 b 4）3 a 2b 4
实数指数知识点总结高中
实数指数知识点总结高中一、实数指数的基本概念1. 实数指数的定义实数指数是一种对实数进行幂运算的方法，它可以将一个实数作为底数，另一个实数作为指数，从而得到一个新的实数。
具体来说，如果a是一个实数，n是一个正整数，那么指数a^n表示a连乘n次，也就是a的n次方。
如果n是0，则规定a^0=1。
如果n是负整数，规定a^n=1/a^|n|。
这就是实数指数的基本定义。
2. 实数指数的分类实数指数可以分为有理指数和无理指数两大类。
有理指数是指指数为有理数的情况，而无理指数是指指数为无理数的情况。
在实数指数的运算中，有理指数和无理指数有着不同的性质和运算规律。
3. 实数指数的表示形式实数指数可以采用不同的表示形式。
最常见的表示形式是指数的幂运算形式，即a^n。
另外，实数指数还可以采用指数函数的形式进行表示，即f(x) = a^x。
二、实数指数的性质1. 实数指数的性质1：指数运算的基本性质实数指数具有如下基本性质：（1）相同底数的指数相乘时底数不变，指数相加；（2）指数幂运算中，若底数相同，则指数相加；（3）指数幂运算中，若底数相同，则指数相乘。
2. 实数指数的性质2：负指数和零指数（1）负指数性质：a^-n = 1/a^n，即负指数等于其倒数；（2）零指数性质：a^0 = 1，任何实数的0次幂都等于1。
3. 实数指数的性质3：幂函数的性质实数指数可以表示幂函数，从而具有幂函数的性质。
幂函数是一个重要的基本函数，它的性质包括增减性、奇偶性、周期性等。
三、实数指数的运算规律1. 实数指数的加法和减法（1）加法法则：a^m * a^n = a^(m+n)，即底数相同的指数幂相乘时，指数相加；（2）减法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即底数相同的指数幂相除时，指数相减。
2. 实数指数的乘法和除法（1）乘法法则：(a^m)^n = a^(m*n)，即幂的幂运算时，底数不变，指数相乘；（2）除法法则：a^m / a^n = a^(m-n)，即幂的除法运算时，底数不变，指数相减。
《实数指数幂》课件
定义，以及实数指数幂的运算性质。
幂的运算法则
02
包括同底数幂的乘法、除法，幂的乘方以及积的乘方等运算法
则。
无穷大与无穷小的概念
03
理解无穷大和无穷小的概念，掌握其在实数指数幂中的应用。
常见错误解析
混淆不同底数指数幂的运算
01
例如，将a^m * a^n误算为a^(m+n)，而不是正确
的a^(mn)。
实数指数幂的引入
实数指数幂的定义
实数指数幂表示一个数与一个实数的乘方。例如，$a^{m/n}$ 表示 $a$ 的 $m$ 次方再 开 $n$ 次方根。
实数指数幂的引入背景
实数指数幂的引入是为了解决一些数学问题，特别是在处理连续函数和积分时，实数指数 幂提供了更灵活和实用的工具。
实数指数幂的性质
实数指数幂具有一些重要性质，如 $a^{mn} = (a^m)^n$，$a^{m/n} = sqrt[n]{a^m}$ ，以及 $(ab)^n = a^n times b^n$。这些性质在数学和物理中有广泛的应用。
《实数指数幂》ppt课件
目录
• 引言 • 实数指数幂的性质 • 实数指数幂的运算 • 实数指数幂的性质与运算的应用 • 总结与回顾
01
引言
幂的定义与性质
幂的定义
幂是乘方运算的结果，表示一个 数连续与一个相同的数相乘的次 数。例如，$a^m$ 表示 $a$ 连 续乘以自身 $m$ 次。
幂的性质
幂具有一些基本性质，如 $a^{m+n} = a^m times a^n$ ，$(a^m)^n = a^{mn}$，以及 $a^{-m} = frac{1}{a^m}$。
，从而更好地理解和求解问题。
高中数学人教B版必修1第三章3.1.1 实数指数幂及其运算 课件
⑴我们给出正数的正分数指数幂的定义：
1
an
n
a
(a> 0,m ,n N +,且 m n为 既 约 分 数 )
m
a n ( n a )m n am
注(用-1意)语1/：3和言底(-数1叙)2a/6述>应0这当：个具正条有数件同不的样可的少mn意. 义次若，无幂但此(由m条分件,n数会∈指引N数起*幂,混且的乱n意，>义例1)可如， 得等出于1不这同的个结正果数： 的2m次幂的n次算术根.
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有理数指数幂
运算性质:设a>0,b>0
（1）aman amn(m,nQ)
（2）(am)n anm(m,nQ) （3）(ab)m ambm(mQ)
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0的n次方根是多少？（n1,nN）；负数有没有偶次方根？
典例分析 例1：求下列各式的值
（1） 3 (8)3 ;
(2) (10)2 ;
(3) 4 (3)4;
(4) (ab)2 (ab).
解： 1 3 8 3 = -8;
2 10 2 | 1 0 | =10;
3 4 3 4 | 3 | 3;
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新知巩固：
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实数指数的计算公式
实数指数的计算公式实数指数是数学中的一个重要概念，它在各种科学和工程领域中都有着广泛的应用。
实数指数的计算公式是指用于计算实数指数的数学公式，它可以帮助我们更快速、准确地进行实数指数的运算。
在本文中，我们将介绍实数指数的概念，探讨实数指数的计算公式，并举例说明其应用。
实数指数的概念。
在数学中，指数是表示一个数的幂的数学运算符号。
实数指数是指数的一种，它是以实数为底数的指数。
实数指数可以用以下形式表示：a^b。
其中，a为底数，b为指数。
在这个表达式中，a是一个实数，b可以是任意实数。
实数指数的运算规则遵循指数运算的基本规律，包括乘法法则、除法法则、幂运算法则等。
实数指数的计算公式。
实数指数的计算公式包括了指数运算的基本规律，可以帮助我们更方便地进行实数指数的计算。
下面是实数指数的计算公式：1. 乘法法则，a^m a^n = a^(m+n)。
这个公式表示当底数相同时，指数相加即可得到它们的乘积。
例如，计算2^3 2^4，根据乘法法则，可以得到2^(3+4) = 2^7 = 128。
2. 除法法则，a^m / a^n = a^(m-n)。
这个公式表示当底数相同时，指数相减即可得到它们的商。
例如，计算5^7 / 5^4，根据除法法则，可以得到5^(7-4) = 5^3 = 125。
3. 幂运算法则，(a^m)^n = a^(mn)。
这个公式表示当进行幂运算时，指数相乘即可得到结果。
例如，计算(3^2)^4，根据幂运算法则，可以得到3^(24) = 3^8 = 6561。
4. 负指数法则，a^(-n) = 1 / a^n。
这个公式表示一个数的负指数等于它的倒数。
例如，计算2^(-3)，根据负指数法则，可以得到1 / 2^3 = 1 / 8 = 0.125。
5. 零指数法则，a^0 = 1。
这个公式表示任何数的0次幂等于1。
例如，计算7^0，根据零指数法则，可以得到1。
实数指数的计算公式是指数运算的基本规律，它们可以帮助我们更快速、准确地进行实数指数的计算。
实数指数幂知识点总结
实数指数幂知识点总结一、实数指数幂的定义实数指数幂是指数运算的一种特殊形式，它是指数和幂的运算。
在数学中，我们知道一个数的乘方是指这个数连乘多次自己，而指数运算是一种简便的表示连乘的方法。
当指数为实数时，就形成了实数指数幂。
其定义如下：对于任意实数a和b，其中a称为底数，b称为指数，实数指数幂定义为\[a^b = e^{b\ln a}\]其中e为自然对数的底，ln表示自然对数。
这个定义其实是一个转换的过程，将实数指数幂转化为自然指数幂来表示，e是一个常数，取值约为2.71828。
二、实数指数幂的性质实数指数幂具有很多重要的性质，包括但不限于以下几点：1. 底数为正实数时，指数运算仍然满足指数运算的基本性质，如相同底数相乘，指数相加，指数相减等。
2. 底数为负实数时，指数运算中需要考虑符号，具体运算时需要注意。
3. 底数为0时，指数为正数时结果为0，指数为负数时结果不存在，需要注意0的指数运算的特殊性。
4. 底数为1时，任何指数幂的结果都是1。
5. 底数为自然对数e时，实数指数幂的运算比较简便，易于计算。
6. 实数指数幂的值域是正实数，即结果大于0。
以上是实数指数幂的一些基本性质，这些性质在实际运算中有很大的帮助，可以简化计算，提高计算效率。
三、实数指数幂的运算规则实数指数幂的运算规则也是实数指数幂的重要内容，在实际应用中需要灵活运用这些规则进行计算。
实数指数幂的运算规则主要包括以下几点：1. 底数相同、指数相加：\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]2. 底数相同、指数相减：\[a^m / a^n = a^{m-n}，a!=0\]3. 底数不同、指数相同：\[a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\]4. 底数不同、指数相同：\[a^m / b^m = (a / b)^m，b!=0\]5. 底数相同、指数相乘：\[(a^m)^n = a^{m \cdot n}\]6. 底数相同、指数相除：\[(a / b)^m = a^m / b^m，b!=0\]实数指数幂的运算规则在实际运算中非常有用，可以简化运算，减少出错的可能性。
实数指数幂及其运算优秀课件
am (3) a n
＝ am－n
(a≠0，m，n∈
)；
(4)(ab)m＝ am·bm (m∈ ).
课内探究：
因为aa33＝1，aa24＝a12，所以 a0＝1，a－2＝a12.
推广一： 二
三、分数指数幂
1．a的n次方根的意义 如果存在实数x，使得xn＝a(a∈R，n>1，n∈N＋)， 则x叫做 a的n次方根 ．求a的n次方根，叫做把a开n次方， 称作开方运算．
根式
问题1：4的平方根是什么？8的立方根是什么？ 问题2：若x4＝16，试想x有几个值？ 问题3： －4有平方根吗？－4有立方根吗？ 问题4：若x4＝－9，x存在吗？
小结：（1）正数的偶次方根有两个，它们互为 相反数，奇次方根有一个 （2）负数没有偶次方根，负数的奇次－8，4.
a
(1)(提n a示)n＝：2，(na2>.1，且 n∈N＋)； |a|
n
(2)
an＝
， ，
当n为奇数时， 当n为偶数时.
跟踪练习：
2、分数指数幂探究
若把整数指数幂的运算法则推广到正分数 指数幂，则有下列各式成立：
1
(a 3 )3
13
a3
a,
(a
2 3
)3
a
23 3
a2
推广二
分数指数幂的定义
1
实数指数幂及其运算课件
课前回顾：
一、正整数指数幂
1．正整指数幂
n次幂
an＝a a a.an 叫做 a 的
，a 叫做幂的
n个
底数 ，n 叫做幂的 指数 ，并规定 a1＝a.
2．正整数指数幂的运算法则
(1)am·an＝ am＋n (m，n∈ N+ )；
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件15
f(a2)＋f(b2)＝2.( )
指数与对数的运算
双
向 固
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
基
础
[解析] (1)
a2 a·3
＝a2－12－23＝a56. a2
(2)f(－3)＝f(－3＋2)＝f(－1＋2)＝f(1＋2)＝2－3＝18.
(3)由题意得 log3x＝1，log2y＝1，所以 x＝3，y＝2， 所以 x＋y＝5.
④logamMn＝mn logaM.
指数与对数的运算
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
固
基 础
1．根式的化简
(1) 等 式 3 －2 ＝ 6 －22 ， － 3 4 2 ＝ 4 －34×2 一 定 成
立．( )
(2)化简4 16x8y4(x<0，y<0)的结果是－2x2y.( )
(3)n an与(n a)n 相同．( )
1
1
1
4 ＝ [24( － x)8·( － y)4] 4 ＝ 24× 4 ·( －
1
1
x)8×4·(－y)4×4＝2(－x)2(－y)＝－2x2y.
指数与对数的运算
双
向 固
(3)不同，在根式中，n an (n>1，且 n∈N*)总是有意义的，
基
础 当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|，而(n a)n
指数与对数的运算
[答案] (1)D (2)B
[解析] (1)a＝2－ 3，b＝2＋ 3，
点 面 讲
所
以
(a
＋
1)
－
2
＋
(b
＋
1)
实数指数知识点总结
实数指数知识点总结一、实数指数的定义实数指数是指数函数中指数为实数的情况。
指数函数的定义为$f(x) = a^x$，其中$a\neq0, a>0$，且$a$为正实数。
当指数取实数时，指数函数的定义域为实数集合，值域为正实数集合。
二、实数指数的特性1. 当指数为正整数时，指数函数为增函数；当指数为负整数时，指数函数为减函数。
2. 当指数为零时，指数函数的值为1。
3. 当指数为整数时，指数函数的值是一个固定的常数。
4. 当指数为分数时，指数函数的值可以表示成根号等形式。
5. 指数函数在定义域上是连续的。
三、实数指数运算规律1. 同底数幂的乘法：$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$。
2. 同底数幂的除法：$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$。
3. 幂的幂：$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$。
4. 乘幂的乘法：$(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$。
5. 任何数的零次幂等于1：$a^0 = 1$。
四、实数指数的实际应用1. 计算器使用：在计算器上经常用到指数键，用来进行较大数的运算。
比如，计算$2^{10}$就可以直接在计算器上输入2^10即可得到结果1024。
2. 科学计数法：在科学上经常需要表示非常大或非常小的数字，就需要使用科学计数法。
科学计数法中的指数部分就是实数指数。
3. 经济学和金融学中的复利计算：复利计算中的指数就是实数指数，通过实数指数的运算，可以对复利的增长进行较为准确的预测和计算。
4. 自然科学中的增长问题：在自然科学中，经常需要对某些数量的增长规律进行研究和预测，实数指数就可以描述这种增长规律。
5. 工程中的增长和衰减问题：在工程领域中，经常需要对某些设备或部件的寿命进行分析和预测，实数指数也可以用于描述这种增长和衰减的关系。
总之，实数指数是解决实际问题中产生的指数问题的数学工具，具有很强的应用价值。
通过对实数指数的定义、特性、运算规律和实际应用的总结和探讨，我们可以更好地理解实数指数的作用和意义，也能更好地应用实数指数解决实际问题，提高数学素养和解决实际问题的能力。
实数指数课件(共27张PPT)
这就启示我们，如果规定
a0
1，a2
1 a2
，
则上述运算就合理了．于是我们规定：
a0=1(a≠0)；
an
1 an
(a
0, n
N ).
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
由上面规定的零指数幂和负整数指数数幂，并且正整
数指数幂的运算法则，对整数指数幂运算仍然成立，
例如：
80=1，（-0.8）0=1，（a-b）0=1（a≠b）；
103
1 103
0.001;
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
情感目标 通过本节课学习，使学生养成乐于学习、勇于探索的良好品质
核心素养
通过思考、讨论等活动，提升学生数学的直观想象、逻辑推理、数据分析的 核心素养
创设情境，生成问题 在在活初初动中中1，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
第4格放的麦粒数是 222；
3个2
第5格放的麦粒数是 2222；
……
4个2
第64格放的麦粒数是 222. . 63个2
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
人教版B版高中数学必修1：实数指数幂及其运算_课件20
聚
指数函数
焦 考 向 透
析
感 悟 经 典 考 题
课 时 规 范 训 练
基 础 知 识 梳 理
1．了解指数函数模型的实际背景．
聚
焦
考
2．理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的
向 透
析
运算．
感
悟
经
3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函
典 考
题
数图象通过的特殊点．
基
(2013·北京东城二模)定义：F(x，y)＝yx(x＞0，y＞0)，已知数
础 知
识
梳Байду номын сангаас
列{an}满足：an＝FFn2，，n2(n∈N*)，若对任意正整数 n，都有 an≥ak(k
理
聚 焦
考
向
∈N*)成立，则 ak 的值为( )
透 析
A.12
感
B．2
悟 经
典
考
题
8
9
C.9
D.8
课 时
规
范
【审题视点】 F(n,2)＝2n F(2，n)＝n2，求 an 的最小项．
经 典
考
为关于 t 的一元二次不等式．
题
课
时
规
范
训
练
【解】 (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数，
基 础
知
所以 f(0)＝0，即－2＋1＋ab＝0，解得 b＝1，
识 梳 理
聚
焦
从而有 f(x)＝－2x＋21x＋＋a1.
考 向 透 析
感
又由 f(1)＝－f(－1)知－4＋2＋a1＝－－112＋＋a1，
实数指数的计算公式
实数指数的计算公式实数指数是数学中的一个重要概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
实数指数的计算公式是指用来计算实数指数的数学公式，它可以帮助我们快速、准确地求解实数指数的值。
在本文中，我们将介绍实数指数的计算公式，并且通过一些例子来演示如何应用这些公式进行实数指数的计算。
实数指数的定义。
在介绍实数指数的计算公式之前，我们先来了解一下实数指数的定义。
实数指数是指以实数为底数的指数，它可以表示为a^b，其中a是底数，b是指数。
在这个表示中，a必须是一个正实数，而b可以是任意实数。
实数指数的计算公式可以帮助我们求解这种形式的指数的值。
实数指数的计算公式。
实数指数的计算公式可以分为两种情况，当指数b是一个整数时，和当指数b是一个分数时。
下面我们将分别介绍这两种情况的计算公式。
1. 当指数b是一个整数时。
当指数b是一个整数时，实数指数的计算公式可以表示为：a^b = a a a ... a (共b个a相乘)。
这个公式表示了将底数a连续相乘b次的过程，从而得到指数a^b的值。
例如，当a=2，b=3时，根据这个公式可以得到2^3=222=8。
2. 当指数b是一个分数时。
当指数b是一个分数时，实数指数的计算公式稍微复杂一些。
我们可以将指数b写成一个分数的形式，比如b=p/q，其中p和q都是整数。
此时，实数指数的计算公式可以表示为：a^b = a^(p/q) = q√(a^p)。
在这个公式中，a^p表示了底数a的p次方，q√表示了对a^p进行q次开方。
例如，当a=2，b=1/2时，根据这个公式可以得到2^(1/2)=√2≈1.414。
通过这两种情况的计算公式，我们可以求解任意实数指数的值。
下面我们将通过一些例子来演示如何应用这些公式进行实数指数的计算。
例子1，计算2^4的值。
根据实数指数的计算公式，当指数b是一个整数时，我们可以直接将底数连续相乘b次。
因此，2^4=2222=16。
例子2，计算3^(-2)的值。
根据实数指数的计算公式，当指数b是一个分数时，我们可以将指数写成一个分数的形式，并且进行开方运算。
高一数学实数指数幂及其运算
即整数指数幂的运算法则有:
am an amn
(a m )n a mn
am an
a mn (a 0)
(ab)m a m a n
（其中m,n均为整数）
基础练习１
1 1
( 1)3 _(_ 1_3)_3 ____217_____2_7__
3 (2 x) 5
a2
a3 a5
1 a2
a
3
a5
a35
a 2
1 a 2 a2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
于是，我们规定：
a0 1(a 0)
an
1 an
(a
0, n
N )
并且，正整指数运算法则对负整数指数运算依然成立
；
；
侧面表现口技表演者的技艺高超。【具体分析效果】 【解析】此题属于“鉴赏技巧”题，这类题的答题思路为：①手法（本文抓住“张太爷感受”和“观众的反应”，就可得出“侧面烘托”的结论）。②内容（某人干某事时什么样子或什么怎么样）。③效果（要清楚此种修辞或表现手法的一般表 达效果,并结合具体语句加以说明，如本题说“侧面烘托口技表演者”，则未加具体分析。）另，课本上的重点课文的内容主旨和写法，也要有所理解和记忆。 22【试题解析】这是一道命题作文，题目的关键词是“慢”和“精彩”，“慢”是原因，“精彩”是结果。这样就可以确定文章的一个重点 就是“怎样慢”和“如何精彩”，从而表现对生活的感悟和热爱这一主题。 思路示例：慢慢的阅读，欣赏到语言文字表现的美妙意境和深刻含意；慢慢行走，慢慢观看，体会到了生活的惬意幸福和风景的美妙（水城慢生活，尘世幸福多）；慢慢做手工（画画），创造了美妙精彩的手工艺术品（慢 工出细活）；把自己的心情放慢，不急不躁，
实数指数
引导学生 回答
a-n=1/a-n(a>0) 引导学生 根据初中 学过的知 识回答
求 a 的 n 次方根，叫做把 a 开 n 次方，称作开方运算， 正数 a 的正 n 次方根叫做 a 的 n 次算术根。 当 n a 有意义时， n a 叫做根式， n 叫做根指数。 3．根式性质： (1) ( (2) (
第 1 单元共 1 课时 课 题 知 识 目 标 教学 目标 能 力 目 标 情 目 教 重 教 难 感 标 学 点 学 点 实数指数
本节为第 1 课时
复习整数指数幂的知识；了解 n 次根式的概念； 理解分数指数幂的定义。 掌握根式与分数指数幂之间的转换； 会利用计算 器求根式和分数指数幂的值； 培养计算工具使用 技能。 培养学生的团结协作意识，树立学生的自信心 分数指数幂的概念及其运算 根式与分数指数幂的转换 本节要从复习整数指数幂及其运算法则开始， 逐 步扩大到有理指数幂、实数指数幂。 新授课 讲练结合、类比法 多媒体及教学课件
n n
a ) =a(n≠1,n∈N+)
n
n
a )=
｛
a
当 n 为正奇数时
，-a 当 n 为正偶数时
4．分数指数幂（有理指数幂） ： （1）分数指数幂的意义：我们规定分数指数幂的意 规定了分 义是：
a n n a m (a 0, n, m N , 且
m
数指数幂
m 为既约分数) n
的意义以 后，整数 指数幂就 推广到了 有理指数 幂。有理 指数幂推 广到实数 指数幂。
三、运算性质应用： 例 1：计算： （1）82/3； （2） （8/27）-2/3； （3）83/5×82/5； （4）3√3×3√3×6√3。 解： （略） 例 2：利用计算器计算下列各题（精确到 0。001） （1）0．21．52； （2）3.14-2； （3）3.12/3； （4）0.57-3/4。 解： （略） 。 准备好函 数型计算 器
实数指数知识点总结归纳
实数指数知识点总结归纳一、指数的定义1.1 正整数指数的定义正整数指数是最简单的一类指数，指数为正整数时，a的n次方定义为a相乘的n次。
例如，a^3 = a * a * a。
1.2 零指数的定义零指数的定义是a^0=1，其中a是任意实数且a不等于0。
0的零次方等于1，这是由于乘法的零次方规定。
1.3 负整数指数的定义负整数指数的定义是a^-n = 1/a^n，其中a是任意实数且a不等于0。
1.4 分数指数的定义分数指数的定义是a^(m/n) = n√(a^m)，其中a是任意实数，m是整数，n是正整数，且a大于0及m/n为最简分数。
二、指数的性质2.1 指数的乘法指数的乘法性质是a^m * a^n = a^(m+n)，其中a是任意实数，m和n是整数。
2.2 指数的除法指数的除法性质是a^m / a^n = a^(m-n)，其中a是任意实数，m和n是整数。
2.3 指数的幂指数的幂性质是(a^m)^n = a^(m*n)，其中a是任意实数，m和n是整数。
2.4 幂的零次方若a不等于0，a^m = 1，其中m是任意整数，m不等于0。
2.5 幂的分数次方若a大于0，m是整数，n是正整数，(a^m)^(1/n) = n√(a^m) = (n√(a))^m。
2.6 幂的负次方若a不等于0，a是任意实数，且m是任意整数，a^(-m) = 1/a^m。
2.7 积的指数若a不等于0，a和b是任意实数，n是任意整数，(a*b)^n = a^n * b^n。
2.8 商的指数若a不等于0，a和b是任意实数，n是任意整数，(a/b)^n = a^n / b^n。
2.9 乘方的指数若a不等于0，a和b是任意实数，m是任意整数，n是正整数，(a^m)^n = a^(m*n)。
2.10 扩展公式(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2(a+b)*(a-b) = a^2 - b^22.11 立方公式(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3三、指数函数的性质3.1 指数函数的定义指数函数y=a^x是以指数组为自变量的函数，其中a是个常数，且a大于0且不等于1。
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m
规定 a n
n
am
;
a
m n
1 n am
(a>0，n，m∈N＋，n>1)．
规定了分数指数幂的意义后，指数的范围扩大到了有理
数，如果规定幂底数a>0，其指数的范围可扩大到实数，以
后我们就在实数范围内研究指数．
知识梳理
2．实数指数幂的运算法则 (1)am ·an＝am＋n，同底数的幂相乘_底__数__不__变__指__数__相__加__． (2)am÷an＝am－n，同底数的幂相除__底__数__不__变__指__数__相__减___． (3)(am)n＝amn，幂的乘方__底__数__不__变__指__数__相__乘___． (4)(ab)n＝anbn，积的乘方等于 __各__个__因__式__分__别__乘__方__，__再__把__所__得__的__幂__相__乘___．
A．4 B．8
1
C. 4
3
1
D. 2
【提示】
1
x2
4
3
=24
,
1
x2
＝2，x＝4，故选A.
7．函数y＝ 3x 27的定义域是( B )
A．{x|x＞3}
B．{x|x≥3}
C．{x|x≤3}
D．{x|x＜3}
同步精练
8．(8y－1)2＋|x－16y|＝0，则yx＝( C ) A9．．某8 种产品B．20013年时每件C.成116本是100元D，. 18若每件每年降
2 原式＝
1
x3 y2 x 2 y =
x
5 2
y3
=x
5 4
y
3 2
.
1
A.
3
，则x＝ 1 时，y的值为(
3
B)
B．3
C． 1
D．－3
3
【提示】
1
27 3
1
1.
3 27 3
同步精练
5．设5x＋1＝a，5y－1＝b，则5x＋y＝( B )
A．a＋b B．ab
C．a－b
a
D.
b
【提示】 5x＝ a ，5y＝5b，5x＋y＝ a ×5b＝ab.
5
5
33
6．若 x8 =24 ，则实数x的值是( A )
同步精练
二、填空题
1
11．计算：[( 2)3 ]3 －(－3)0＝___－__3___.
12．y＝(x－1)
2 5
的定义域是____R____．
13．已知a＋a－1＝8，则a2＋a－2等于___6_2____.
1
【提示】 [(-2)3 ]3-(-3)0 =-2-1=-3.
2
【提示】 由y＝(x－1) 5 = 5 x 12 可得答案．
A．a－2
B．a0
C. 3 a
D. 4 a
【思路点拨】 本题考查幂底数的取值 范围，只有开奇次方时被开方数为实数．
【例2】
A. 3
4
典例解析
计算：
3 4
1 3
3
－(－2 1
D． 1
4
4
4
【解析】 根据实数指数 幂的运算法则可得答案．
典例解析
【举一反三2】
[(
3
3
7 )2 ]4
典例解析
1
【举一反三3】 (1)函数y＝ x 2＋(x－1)0的定义域
为( C ) A．(0，1)∪(1，＋∞) B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．[0，1)∪(1，＋∞) D．(1，＋∞)
1
【提示】 x2 x 要求x≥0；(x－1)0有意
义，则x－1≠0，即x≠1.综上所述，函数y＝
x
1 2
＋(x－1)0的定义域为[0，1)∪(1，＋∞)．
【提示】 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝82－2＝62.
同步精练
三、解答题
14．计算下列式子的值：
1
(1) 16 2
1 16
3 4
1 4
1 2
;
(2) x3 y2 xy2 .
1
解：1原式＝(42 )2
1 2
4
3
4
1 2
2
1
2
=4
1 2
3
1 2
1
=4 8 2=
6.
典例解析
(2)求y＝(x－2)
3 2
的定义域．
3
(2)解：y＝(x－2) 2 x 23 ，则x－2≥0，解得x≥2，
所以y＝(x－2)
3 2
的定义域为[2，＋∞)．
【思路点拨】 本题考查幂底数的取值范 围，只有开奇次方时被开方数为实数．
典例解析
【例4】 若3x＝5，3y＝6，则32x＋y的值为___1_5_0___．
的结果为(
C
)
A．7
B．－7 C. 7
D． 7
【思路点拨】 把根指数化为分数指数， 再运用实数指数幂的运算法则可得答案．
典例解析
【例3】 函数y＝ x 2 ＋(x－3)0的定义域为( C )
A．[2，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．[2，3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞)
【解析】 该题考查0指数的意义，00无 意义；开偶次方时，被开方数大于等于0.
典例解析
【例5】 一种药品，从原来每瓶100元经过两次降价到 每瓶81元，平均每次降价的百分率是( B )
A．9.5% B．10% C．19% D．90% 【解析】 100(1－x)2＝81，解得x＝0.1.
【举一反三5】 为打造良好的校园环境，某学校用两 年的时间把校园花草树木的面积增加了69%，则这两年该校 校园花草树木的面积平均每年增长率为___3_0_%___．
典例解析
【例1】 下列各式中正确的是( A )
A．( n a )n ＝a(a>0)
C．n an ＝a
B. n an ＝|a| D. n an ＝a(其中n>1，且n∈N＋)
【解析】 根据分数指数幂的定义和 根式与分数指数幂的互化可得答案．
典例解析
【举一反三1】 下列各式中，使a的取值范围是实数集 R的是( C )
(3)负整数指数幂：a－n＝
1 an
(a≠0，n∈N＋)．
知识梳理
(4)分数指数幂：如果一个数的n次方等于a(n>1，n∈N＋)，
那么这个数叫做a的n次方根，式子 叫做根式，这里 n a
____n____叫做根指数，____a____叫做被开方数．当n为奇数
时，n an ＝____a____； 当n为偶数时，n an ＝____|a_|___.
4 9
x1
x2
A. 81
B. 9
16
4
C. 16
D. 4
81
9
【提示】x1 +x2
=
b a
2,
4 9
2
=
81 , 故选A. 16
同步精练
3．已知5a＝3，5b＝2，则5a－2b＝( C )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 1
4
3
4
3
【提示】 5a2b =
5a 5b
2
=
3 22
=
3. 4
4．若y＝ 27x
第四章 指数函数与对数函数
思维导图
第一节 实数指数
08:03:16
知识梳理
1．实数指数幂
(1)正整数指数幂：若b＝a·a·a·…·a(n个a相乘)，记
作b＝an，则称__b_是__a_的__n_次__幂___，a称为幂的___底__数___，n称
为幂的__指__数____．
(2)零指数幂：a0＝1(a≠0)．
低10%，则2018年每件产品的成本约是( A )
A．59元 B．60元
C．61元 D．62元
10．某种药品经过两次提价后，每盒的价格由原来的48
元增至60元，则平均每次提价的百分率为( B )
A．10.8% B．11.8% C．14.8% D．18.8%
【提示】 设提价x，则48(1＋x)2＝ 60，x≈11.8%，故选B.
【思路点拨】 当题中缺必须量时，可设其 为1进行求解．
同步精练
一、单项选择题
1．若α，β为任意实数，则下列等式成立的是( D )
A．5α×5β＝5αβ
B．5α＋5β＝5α＋β
C．(5α)β＝5α＋β
D. 5 ＝5α－β
5
【提示】 A项应为5α＋β；B项不成立；C应为5αβ.
2．设x1，x2是方程2x2＋4x＋1＝0的两个根，则 的值为( A )
【解析】 32x＋y＝(3x)2·3y ＝150.
【举一反三4】
若2x＝a，
1 2
y
＝b，则2x－2y等于___a_b_2___．
【提示】 2x－2y＝2x×(2－y)2＝ab2.
【思路点拨】 先分析要求的式子和已知的式子之间 的关系，主要是次数的不同，底相同，利用实数指数幂 的运算法则实现各式子之间的转化．