第三章电路的暂态分析
第三章 电路的暂态分析1培训资料
第三章电路的暂态分析1培训资料电路的暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
在本章中，我们将介绍电路暂态分析的基本概念、方法和应用。
一、电路暂态分析的基本概念电路暂态分析是指在电路切换瞬间或在初始状态下，电路中各元件的电流、电压和功率的瞬态变化情况。
电路暂态分析是电路理论中的基础知识，它对于理解电路的动态行为和瞬态响应具有重要意义。
二、电路暂态分析的方法1. 瞬态响应方程瞬态响应方程是描述电路在切换瞬间或初始状态下的电流、电压和功率变化的数学方程。
通过求解瞬态响应方程，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化规律。
2. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是求解电路暂态响应的一种常用方法。
通过将电路中的元件和信号用拉普拉斯变量表示，可以将电路暂态分析转化为求解代数方程的问题，从而得到电路的瞬态响应。
3. 数值模拟方法数值模拟方法是通过计算机仿真来求解电路暂态响应的一种方法。
通过建立电路的数学模型，并利用数值计算方法进行仿真计算，可以得到电路在瞬态过程中的电流、电压和功率的变化情况。
三、电路暂态分析的应用1. 电路开关过程的分析在电路中，开关的切换过程会引起电路中电流、电压和功率的瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究开关过程中电路的动态行为，为电路设计和故障诊断提供依据。
2. 电源启动过程的分析电源启动过程是指电源从初始状态到正常工作状态的过程。
在电源启动过程中，电路中的电流、电压和功率会发生瞬态变化。
通过电路暂态分析，可以研究电源启动过程中电路的瞬态响应，为电源设计和调试提供参考。
3. 电路故障诊断在电路中，故障会引起电路中的电流、电压和功率的异常变化。
通过电路暂态分析，可以分析故障引起的瞬态响应，从而判断故障的位置和原因，为电路的修复和维护提供指导。
总结：电路暂态分析是电路理论中的重要内容，它研究电路在初始状态或在切换瞬间的瞬态响应。
电路暂态分析的方法包括瞬态响应方程、拉普拉斯变换法和数值模拟方法。
《电工电子》第3章电路的暂态分析
预测直流电路中的故障
利用暂态分析可以预测直流电路中的短路、断路等故障，从而及时采取维修措施，避免故障扩大 。
优化直流电路的控制策略
通过暂态分析可以了解直流电路在不同控制策略下的响应特性，从而选择最优的控制策略，提高 电路的控制精度和稳定性。
在暂态过程中，电阻的电压和电流会发生变 化，但电阻本身不会储存能量，因此电阻的 暂态响应是被动的，取决于外部电路的变化 。
电阻的阻值决定了电路中电流的大小， 因此在暂态过程中，电阻的阻值会影 响电流的变化速率。
电容的暂态特性
电容的充电和放电过程
当电容两端的电压发生变化时，电容会进行充电或放电， 这个过程需要一定的时间，因此电容的暂态过程相对较长。
稳态过程
电路在稳定状态下的工作过程， 此时电路中各处的电压、电流等 物理量均保持恒定或呈周期性变 化。
暂态分析的重要性
01
02
03
理解电路行为
通过暂态分析，可以深入 了解电路在开关操作、电 源变化等条件下的行为特 性。
优化电路设计
暂态分析有助于优化电路 设计，提高电路的稳定性 和可靠性，减少不必要的 能量损失和电磁干扰。
分析仿真与实验结果之间存在的误差，探 讨误差产生的原因，如元件参数不准确、 测量误差等。
改进建议
总结与反思
根据误差分析结果，提出相应的改进建议 ，如优化仿真模型、提高测量精度等，以 提高暂态分析的准确性。
对整个暂态分析的仿真与实验验证过程进行 总结与反思，总结经验教训，为后续的电路 设计与分析提供参考。
阻尼比与振荡性质
阻尼比是描述振荡衰减快慢的参数。根据阻尼比的大小，二阶电路的振荡可分为过阻尼、 临界阻尼和欠阻尼三种情况。在欠阻尼情况下，电路将呈现持续的振荡现象。
3 电路的暂态分析
响应中“三要素”的确定
10 uC ( ) 5 55 5V
6 iL( ) 6 66 3 mA
(2) 初始值f ( 0 ) 的计算 ( 0 ) 、 i ( 0 ) 1) 由t=0- 电路求 u C L 2) 根据换路定则求出
u C (0 ) u C (0 ) iL(0 ) iL(0 )
0
0
( t 0 )
稳态分量
全响应 = 稳态分量 +暂态分量
暂态分量
3.3.1 在在电路的暂态过程中，电路的时间常数τ 愈大，则电流和电压的增长或衰减就（ ） （1）愈快 （2）愈慢 （3）无影响 3.3.2电路的暂态过程从t=0大致经过（ 就可认为到达稳定状态了。 （1） τ （2）（3~5） τ （3）10 τ ）时间，
t RC
s
+ U _
i R
t 0
C
uC (0 -) = 0
+ _ uC
u U Ue U ( 1 e ) C
t RC
d u U C i
iC u C
U R
U
uC
iC
当t=时
u ( ) 63 . 2 % U C
t
3 RC电路的全响应
一阶线性电路暂态分析的三要素法
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方 程解的通用表达式： 式中,
f ( t ) f ( ) [ f ( 0 ) f ( )] e
t
f (t ) ：代表一阶电路中任一电压、电流函数
f ( 0 ) -- 初始值 f () -- 稳态值 （三要素） -- 时间常数 利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。 一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 f ( 0 ) 、 f () 和 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
第三章 -暂态电路
3.1.2
1. 换路定律
换路定律
uC、iL 在换路瞬间不能突变。
设t=0时进行换路，换路前的终了时刻用 t=0- 表示，换 路后的初始时刻用 t=0+ 表示。t=0- 和 t=0+ 在数值 上都 等于0。 用数学公式来表示： 说明： 换路定律仅适用于换路瞬 间（即t=0- ~t=0+)用以确定 暂态过程的初始值。
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4、电路产生暂态的原因
储能元件 C、L 储存与释放能量需要一定的 时间(一个过程--过渡过程）： 电容C存储电场能量: 1 WC = CuC2 2
WC 不能突变
电感L储存磁场能量: WL 不能突变
uC 不能突变!
1 WL= 2 LiL2
iL
不能突变!
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5.分析暂态的意义
暂态分析就是分析在激励或者在内部储能的作用下电路中各部 分产生的电压和电流随时间的变化规律，故暂态分析也称为时域分 析。 电路中的暂态过程虽然十分短暂，但它对电路产生的影响却十 分重要，一方面要充分利用电路的暂态规律来实现震荡信号的产生、 信号波形的改善和变换、电子继电器的延时动作等；另一方面又要 防止电路在暂态过程中产生的过电流或者过电压现象。过电压可能 会击穿电气设备的绝缘，从而影响到设备的安全运行；过电流可能 会产生过大的机械力或引起电气设备和元件的局部过热，从而使其 遭受机械损坏或热损坏，甚至造成人身安全事故。 所以，进行暂态分析就是要充分利用电路的暂态特性来满足技术 上对电气装置性能的要求，同时又要尽量避免暂态过程中的过电压 或过电流现象对电气设备或人身所产生的危害。
US 稳态
0
t
S t=0 US
R
iL
+
– iL=0
当 开 + 关 L uL S – 闭 合 时 暂态 iL
电工电子学
uC
–
(t →)
i
R +
i = 0 , uC= Us
C
US R
Us
uC
–
uc
US
?
t1
暂态
i
t
新稳态
有一过渡期
5
初始状态 0
电感电路 (t = 0)
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
Us
K
R
i = 0 , uL = 0
L
K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
diL L Ri L 0 dt i (0 ) I 0
S(t=0) + Us R1 R uR + iL L
iL + R u R L uL +
u， i uR
diL uL L dt
P
R t L
特征方程: Lp+R=0 解得： i L I 0 e
R t L
3
当动态电路状态发生改变时，需要经历一个变化过 程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的暂 态过程。
例
+
电阻电路
i （t=0）
i U S / R2
i
us
R1
i U S ( R1 R2 )
-
R2
0
t
暂态过程为零
4
电容电路 (t = 0)
Us
K
K未动作前，电路处于稳定状态
i
+
R
i = 0 , uC = 0
S(t=0) + i1 Us R1 R2
第三章 电路的暂态分析
注意：这样一个高压将使 电压表损坏，所以直流电 压表不宜固定连接在电感 uV (0 ) RViL (0 ) 2500V 线圈两端。
3.3.2
RL电路接通直流电源
假设在开关合上前，线圈 中未储有能量；在t=0时， 将开关S合上，与直流电 源接通。因为电感中的电 流不能突变 i L (0 ) i L (0 ) 0
3.1电路暂态的基本概念及换路定则
3.1.1电路的稳态与暂态
1、稳态：
（对直流电路）电流和电压是恒定的， （对交流电路）随t按周期性变化的
2、换路：电路状态的变。
如电路接通、断开、改接及元件参数改 变等。
3、暂态：
旧稳态
换路
t(暂态)
新稳态
“稳态”与 “暂态”的概念示例:
S R R
+ _
U
uC
(t 0)
RC放电电路的特点：
uC、uR、i均按指数规律衰减，衰减的速度完
全由电路的参数τ决定
的物理意义: 决定电路过渡过程变化的快慢。
S + _U R C
关于时间常数的讨论
i
uC
uC (t ) U Ue U Ue
t t
RC
RC
uC
t
u C (t ) U Ue
解： ① 开关S在t=0时刻断开，这时电容C原来 所储存的电能通过电阻 R2 放电，因此
uC Ae
t RC
(t 0)
根据换路定则
R2 uC (0 ) uC (0 ) U R1 R2 100 120V=100V 20 100
所以得
A uC (0 ) 100
因电阻与电容串联，所以 t=0时，电阻两端的电压为
电路的暂态分析(3)
uR iL uL
解:
根据换路定理
+ −
iL (0 ) = iL (0 ) = 0 ( A)
iL 不能突变
已知: R=1K , L=1H , U=20 V、 、 开关闭合前 设 t = 0 时开关闭合 求:
iL =0 A
U = i (0 ) R + u L (0 )
∴ + u L (0 ) = 20 − 0 = 20 V
三、电容元件
K + _U R uC
储能元件
uC
E C
t
i u
++ ++ +q -- --
-q
q C=
u
电容上电流、电压的关系： i u
C
q C=
u
dq du i = =C⋅ dt dt
当u
= U (直流) 时,
du =0 dt
i =0
所以,在直流电路中电容相当于断路.
电容的储能： 电容是一种储能元件, 储存的电场能量为： ：
− t C u =Ue R C
uC
O
电阻电压： 电阻电压：
du iC = C C dt
− t U RC =− e
R
uR = iC
− t R= − e RC. uC 、 C 、 R 变化曲线
4. 时间常数 C 令: τ = R (1) 量纲
单位: 单位: S
时间常数 τ 决定电路暂态过程变化的快慢 (2) 物理意义 t
V = 20 × 10 × 500 × 10 = 10000 V
−3 3
时的等 效电路
V
t=0+
IS
I S = iL (0+ ) = 20 mA
电路的暂态分析_一阶线性电路暂态分析的三要素法
在直流电源作用下， C 开路； L 短路。
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.求时间常数
RC电路： ＝RoC
RL电路：
L
Ro
等效电阻Ro的求解方法 ：
换路后将电路除源，从储能元件两端看进去的等效电阻。
t
f () e
三要素法
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
一阶线性电路指只含有一个储能元件或者可以等效为一
个储能元件的电路。
一阶线性电路在恒定输入激励作用下，全响应的一般
表达式为：
f (t)
f () f (0 )
t
f () e
L uL 1H −
R1
R3
Is R2
iL(0-)
R1
R3
iL(0+)
+
Is
R2
−uL(0+)
第三章 电路的暂态分析
3.3 一阶线性电路暂态分析的三要素法
（2）求uL()
画t =时等效电路 ，uL() =0V
（3）求
3A Is
Ro R1 // R2 R3 2
L 1 0.5 s
Ro 2
Is
（4）求uL(t)
t
uL uL () [uL (0 ) uL ()] e
4e2t V (t 0)
R1 2
R2 2
R3
1 L
1H
+ −uL
R1
R3
+
R2
第3章 电路的暂态分析
+
S uR uC
duC RC uC U S dt
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2 . 解微分方程
RCduC(t)/dt+uC(t) = US ∵ uC(0) = 0 uC(∞) = US
－ t / RC uC(t)=US(1－e )
令τ=RC uC(t)=US(1－e －t/τ) i(t)＝CduC(t)／dt=(US／R) e－t/τ uR(t)＝ i(t) R ＝US e－t/τ
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二、求解一阶电路的三要素法 用f (t)表示电路中的某一元件的电压 或电流, f (∞)表示稳态值, f (0+)表示初 始值，τ为时间常数。
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例3、换路前电路已处于稳态， t＝0时S断开, 求uC(0+ )、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+ )、iL(0+ )。 S 解： iL ∵ t = 0 ，电路稳态 － R1 iC L uL C 开路，L短路, uC + iL(0－ ) =US/(R1+R2) C R2 US uC(0－ )= iL(0－ ) R2 －
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例、已知R1=R2 =10Ω，US=80V，C=10μF, t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求 uC的变化规律。(C上初始能量为零) i S1 解： (2) t> (1) 0 < 0.1ms t < 0.1ms uR )=0 uu (t )= uu (C t (0－ )=50.56V R C(0 +)=
习题
通往天堂的班车已到站， 恭喜你!
题解
习题
i1 R1 iC
S
解： ∵t ＝0－，电路稳态。 C 相当于开路， i1(0－ )= i2(0－ )=US/(R1+R2) = 2mA uC(0－ )= i2(0－ ) R2= 6V
第三章电路的暂态分析总结
t
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢 令:
RC
时间越长。
越大，曲线变化越慢，u 达到稳态所需要的
C
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三、三要素法
在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：
f ( t ) f ( ) [ f (0 ) f ( )] e
电容电路： uC (0 ) uC (0 ) 注：换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中 uC、 iL初始值。
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二、初始值的确定
初始值：电路中各 u、i 在 t =0+ 时的数值。
求解要点：
(1) uC( 0+)、iL ( 0+) 的求法。 1) 先由t =0-的电路求出 uC ( 0– ) 、iL ( 0– )； 2) 根据换路定律求出 uC( 0+)、iL ( 0+) 。 (2)其它变量初始值的求法。
3) 由t=0+时的电路，求所需其它各量的 u(0 ) 或 i (0 )
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L R0
对于一阶RL电路
1) 对于简单的一阶电路 ，R0=R ; 2) 对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路除去电源和储能元件后， 在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻。 3) 时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢
1) 由t =0+等效电路求其它电量的初始值；
2) 在 t =0+的等效电路中电容元件可用一理想电压源替代, 其电压为 uc(0+); 电感元件可用一理想电流源替代，其电流为iL(0+)。
第3章 电路的暂态分析
再由t＝ 时刻的电路 的电路： 再由 ＝0＋时刻的电路： 得：
U
i (0+) R1 2 + 6V -
+ R2 4 is(0+) L iL (0+) +
uR2
uR1
-
U 6 i (0 + ) = = =3A R1 2
is（0+）=i（0+）－ L（0+）=3－1=2 A （ ）－i － uR1（0+）=R1i（0+）=2×3=6 A （ × uR2（0+）=R2 iL（0+）=4×1=4 A × 由KVL：uL（0+）= -uR2（0+）= -4 V ：
2 t=0 S 1 + Us i + R uR C + uC
duC 且 i = iC = C dt duC ∴ u R = RC dt duC 故， RC + uC = U s dt
求解一阶线性常微分方程， 求解一阶线性常微分方程， 其解由两部分组成： 其解由两部分组成： 从数学观点解释： 从数学观点解释：
+ U -
i
R1 2 is
R2 4 L iL
6V
S t=0
∵开关闭合前电路已处于稳态，且电路为直流电路 开关闭合前电路已处于稳态， ∴电感相当于短路 则
U 6 iL (0 − ) = i (0 − ) = = =1A R1 + R 2 2 + 4
由换路定则，可得： 由换路定则，可得： iL（0+）=iL（0－）=1 A
）（t≥0） （V）（ ） ）（
三要素法公式
微分方程的通解： 微分方程的通解： 从物理观点解释： 从物理观点解释：
电工技术第三章 电路的暂态分析习题解答
第三章 电路的暂态分析含有电感或电容储能元件的电路，在换路时会出现暂态过程。
本章研究了暂态过程中电压与电流的变化规律。
主要内容：1．暂态过程的基本概念。
2．换路定则：在换路瞬间，电容电流和电感电压为有限值的情况下，电容电压 和电感电流在换路前后的瞬间保持不变。
3．RC 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
4．RL 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
5．一阶线性电路暂态分析的三要素法：一阶线性电路在直流激励下的全响应零、 输入响应和零状态响应都可以用三要素法τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(来求出。
6．暂态过程的应用：对于RC 串联电路，当输入矩形脉冲，若适当的选择参数 和输出，可构成微分电路或积分电路。
[练习与思考]解答3-1-1什么是稳态？什么是暂态？解：当电路的结构、元件参数及激励一定时，电路的工作状态也就一定，且电流和电压为某一稳定的值，此时电路所处的工作状态就称为稳定状态，简称为稳态。
在含有储能元件的电路中，当电路的发生换路时，由于储能元件储的能量的变化，电路将从原来的稳定状态经历一定时间变换到新的稳定状态，这一变换过程称为过渡过程，电路的过渡过程通常是很短的，所以又称暂态过程。
3-1-2什么是暂态过程？产生暂态过程的原因是什么？解：含有储能元件的电路从一个稳态转变到另一个稳态的所需的中间过程称为电路的暂态过程（过渡过程）。
暂态过程产生的内因是电路中含有储能元件，外因是电路发生换路。
3-2-1 初始值和稳态值分别是暂态过程的什么时刻的值？解：初始值是暂态过程的+=0t 时刻的值，稳态值是暂态过程的∞=t 时刻的值。
3-2-2 如何求暂态过程的初始值？解：求暂态过程初始值的步骤为:⑴首先画出换路前-=0t 的等效电路，求出-=0t 时刻电容电压)0(-C u 和电感电流)0(-L i 的值。
对直流电路，如果换路前电路处于稳态，则电容相当于开路，电感相当于短路。
第三章 电路的暂态分析
线性电感元件总结
图形符号：
文字符号或元件参数： L 韦安特性： = Li t di 1 伏安特性： u = L 或 i= u dt 元件约束 dt L -∞ 单位：1 H = 103m H = 106mH 1 2 储能的计算： W(t) = Li (t) 2 其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件
实际电容器除了有储能作用外，还会消耗一部分电能， 可
用电容与电阻的并联电路模型来表示。
从t1～t2时间，电容元件吸收的能量为：
Wc 1 Cu2(t2) 1 Cu2(t1) Wc (t2) Wc (t1) 2 2 充电时，|u(t2)|＞|u(t1)|，Wc (t2)＞Wc (t1)，电容元件吸 收能量； 放电时，|u(t2)|＜|u(t1)|， Wc (t2)＜Wc (t1)，电容元件 把存储的电场能量释放出来。 电容是一种储能元件，不消耗电能。 释放的能量≤吸收的能量，是无源元件。
全运行，都有其额定功率、额定电压和额定电流，使用时注意不能
超过其额定值，否则会损坏设备。 例如，灯泡、电烙铁等通常只给出其额定电压和额定功率(如
220V，40W )。 实际使用电阻时，除了要知道其阻值外，还应知道其额定功率
(如1W、1／2W、1／4W、1／8W 等)。
电感元件
实际的电感器件
3.1.2 电感元件 实际电感元件都是由线圈构成的，描 述线圈通有电流时产生磁场、储存磁 场能量的性质。 1.物理意义 电流通过一匝线圈产生 电流通过N匝线圈产生 磁通和自感磁通链。
线性电容元件总结
图形符号：
文字符号或元件参数： C 库伏特性： q = Cu t d u 1 伏安特性： i = C 或 u= i dt (元件约束) dt C -∞ 单位：1 F = 106 mF = 1012pF 1 储能的计算： Wc(t) = 2 Cu2(t) 其它特征：不耗能、无源、有记忆、双向元件
第3章 电路的暂态分析
第3章电路的暂态分析3.1 电阻元件、电感元件、电容元件3.2 储能元件和换路定则3.3 RC电路的响应3.4 一阶线性电路暂态分析的三要素法3.5 微分电路和积分电路3.6 RL电路的响应1. 了解电阻元件、电感元件与电容元件的特征;2. 理解电路的暂态和稳态、零输入响应、零状态响 应、全响应的概念，以及时间常数的物理意义;3. 掌握换路定则及初始值的求法;4. 掌握一阶线性电路分析的三要素法。
第3章 电路的暂态分析：本章要求第3章电路的暂态分析稳定状态：在指定条件下电路中电压、电流已达到稳定值。
暂态过程：电路从一种稳态变化到另一种稳态的过渡过程。
研究暂态过程的实际意义1. 利用电路暂态过程产生特定波形的电信号如锯齿波、三角波、尖脉冲等，应用于电子电路。
2. 控制、预防可能产生的危害暂态过程开始的瞬间可能产生过电压、过电流使电气设备或元件损坏。
3.1.1 电阻元件描述消耗电能的性质 iRu =根据欧姆定律: 即电阻元件上的电压与通过的电流成线性关系 线性电阻 S l R ρ= 金属导体的电阻与导体的尺寸及导体材料的电性能有关，表达式为： 表明电能全部消耗在电阻上，转换为热能散发。
0d d 00≥==⎰⎰t Ri t ui W t 2t 电阻的能量 3.1 电阻元件、电感元件与电容元件电阻元件+Ri u _描述线圈通有电流时产生磁场、储存磁场能量的性质。
1. 物理意义i N Φi ψL ==电感: ( H) 线性电感: L 为常数; 非线性电感: L 不为常数3.1.2 电感元件电流通过N 匝线圈产生 (磁链)N Φψ=电流通过一匝线圈产生(磁通) Φ2. 自感电动势： ti L t ψe L d d d d -=-=电感元件 i u Φ+-+--i uLL e +3. 电感元件储能 221Li W =ti Le u L d d =-=根据基尔霍夫定律可得： 将上式两边同乘上 i ，并积分，则得： 20021d d Li i Li t ui t i==⎰⎰ 即电感将电能转换为磁场能储存在线圈中，当电流增大时, 磁场能增大, 电感元件从电源取用电能；当电流减小时，磁场能减小，电感元件向电源放还能量。
电工学第三章习题答案
第三章 电路的暂态分析3.2.1 图3.01所示各电路在换路前都处于稳态，试求换路后其中电流i 的初始值(0)i +和稳态值()i ∞。
(b)(a)(c)(d)图3.01解： （a ）A 5.1265.0)0(5.0)0(21)0(=×===−++L L i i i A 326)(==∞i（b ）02662)0(62)0(6)0(=−=−−=−=++c c u u iA 5.1226)(=+=∞i （c ）A 6)0()0(==−+i i A 0)(=∞i（d ）A 75.04364)0(622)0(6)0(=−=−=+−=−++c c u u iA 12226)(=++=∞i3.4.1 在图3.07(a)的电路中，u 为一阶跃电压，如图3.07(b)所示，试求3i 和c u 。
设V 1)0(c =−u 。
(a)图3.07(b)解：s 102)(331312−×=++=C R R R R R τV 22224)(C =+×=∞u V 1)0()0(C C ==−+u u V 2)(500C t e t u −−=mA 75.0)(1)(4)0(31131312322323213=+++++++=+R R R R R R R R R R R R R R R R i mA 144)(3==∞imA 25.01)(5003t e t i −−=3.4.2 电路如图3.08所示，求0t ≥时(1)电容电压C u ，(2)B 点电位B v 和(3)A 点电位A v 的变化规律。
换路前电路处于稳态。
Sk 10图3.08解：(1)求0≥t 时的电容电压C uV 15255)6(0)0()0(C =×+−−==−+C u uV 5.1525510)6(6)(C =×++−−=∞u[]s 1044.010100105//)2510(6123−−×=×××+=τ故V 5.05.1)5.11(5.1)(66103.21044.0C t t e et u ×−×−−=−+=−t =0_时k 10t =0+时+6V Ωk 10（2）求0≥t 时的B 点电位B v注意，+=0t 时，由于电容中存在电流，0CC ≠=dtdu Ci 因此，10K 和5K 电阻中的电流不等。
电工学电路的暂态分析
分析RC电路旳零输入响应，实际上就是分析它旳放电过程。
1S i
t=0 +
+2 U -
R -uR +
C -uC
图所示是一RC串联电路，当电容元件充 电到uC=U0时，即将开关S从位置1合到 2， 使电路脱离电源，输入为零。此时电容元 件上电压旳初始值uC(0+)=U0，于是电容元 件经过电阻 R 开始放电。
+
u-L L
t=0+ 旳电路
R1 i
2
+U -6V
iC + uC-
R2 4
C
iL
R3 4
+
u-L L
iL(0+)iL(0-)0 uC(0+)uC(0-)0
i(0+) iC(0+)1A uL(0+)4V
3·3 RC电路旳响应
3·3·1 RC电路旳零状态响应
所谓RC电路旳零状态响应，是指换路前电容元件末有能量， uC(0-)=0。在此条件下，由电源鼓励所产生旳电路旳响应，称为 零状态响应。
C
6 6
3 3
10310001012
2106s
所以 uC 3(1et / ) 2106 V 3(1e5105t ) V
3·3 RC电路旳响应
3·3·2 RC电路旳零输入响应
所谓RC电路旳零输入响应，是指无电源鼓励，输入信号为零。 由电容元件旳初始状态 uC(0+) 所产生旳电路旳响应，称为零输入 响应。
1 2
Cu2
不能跃变，这反应在电容元件上
旳电压 uC不能跃变：
可见：
电路旳暂态过程是因为储能元件旳能量不能跃变而产生旳。
3·2 储能元件和换路定则
电路的暂态分析_换路定则与电压、电流初始值的确定
iC(0 )
uC(0 ) 8 2mA
R2
4
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
S (t=0) R1 iC
+ Us−
R2
C
+ −uC
R1 iC(0+)
+ Us−
R2 C −+uC(0+)
t＝0+时的等效电路
第三章 电路的暂态分析
第三章 电路的暂态分析
1. 稳态与暂态 稳态：电压、电流不随时间变化或周期性重复变化。
过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需要经历的 中间过程。
暂态：在电路中，过渡过程往往非常短暂，故也称为暂 态过程，简称暂态。
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
2S R i
uC
Us−+
从t=0－到t=0+的瞬间，电容的电压和电感的电流不会发生
跃变，即：
uC (0 ) uC (0 )
iL (0 ) iL (0 )
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
注意：
（1）只有uC 、 iL受换路定则的约束，电路中其他电 压、电流都可能发生跃变。
（2）换路定则仅适用于换路瞬间。
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
iC(0 ) 0 ) iC(0 ) ？
+
Us −
iC (0 ) 0 A
R1 R2
iC(0−)
+ uC(0−)
−
第三章 电路的暂态分析
3.1 换路定则与电压电流初始值的确定
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第三章电路的暂态分析一、内容提要本章首先阐述了电路瞬变过程的概念及其产生的原因，指出了研究电路瞬变过程的目的和意义。
其次介绍换路定律及电路中电压和电流初始值的计算方法。
第三着重推荐用“三要素法”分析一阶RC、RL电路瞬变过程的方法。
二、基本要求1、了解性电路的瞬变过程的概念及其产生的原因；2、掌握换路定律，学会确定电压和电流的初始值；3、掌握影响瞬变过程快慢的时间常数的物理意义；4、掌握影响巡边过程快慢的时间常数的物理意义；5、学会对RC和RL电路的瞬变过程进行分析。
三、学习指导电路的暂态分析，实际上就是对电路的换路进行分析。
所谓换路是电路由一个稳态变化到另一个稳态，分析的重点是对含有储能元件的电路而言，若换路引起了储能元件储存的能量所谓变化，则由于能量不能突变，这一点非常重要，次之电路的两个稳态间需要暂态过程进行过渡。
在直流激励下，换路前，如果储能元件储能有能量，并设电路已处于稳态，则在-=0t 的电路中，电容C 元件可视为开路，电感L 元如果储能元件没有储能（00L C ==W W 或）只能00L C ==i u 或，因此，在-=0t 和+=0t 的电路中，可将电容元件短路，电感元件开路。
特别注意：“直流激励”，“换路前电路已处于稳态”及储能元件有无可能储能。
对一阶线性电路，求解暂态过程的方法及步骤１、经典法 其步骤为：（１）按换路后的电路列出微分方程； （２）求微分方程式的特解，即稳态分量； （３）求微分方程式的补函数，即暂态分量（４）按照换路定律确定暂态过程的初始值，定出积分常数。
对于比较复杂的电路，有时还需要应用戴维南定律或诺顿定理将换路后的电路简化为一个简单的电路，而后再利用上述经典法得出的式子求解，其步骤如下：（１）将储能元件（Ｃ或Ｌ）划出，而将其余部分看做一个等效电源，组成一个简单电路；（２）求等效电源的电动势（或短路电流）和内阻；（3）计算电路的时间常数；C 电路,eq C R =τL 电路eqR L=τ。
（4）将所得数据代入由经典法得出的式子。
①ＲＣ电路的零状态响应：;,,0R 00C τττtt t e U u e RU i e U u ----=-==②ＲＣ电路的零状态响应：;,),1(R C τττtttUe u e RU i e U u ----==-=③ＲＣ电路的全响应等于零输入响应与零状态响应二者的叠加：.,),1(R C0C iR u dtdu ci e U eU u tt==-+=--ττ２、三要素法所谓三要素法是：只要求出一阶线性电路中的τ和)(),0(∞+f f 这三个要素后，就可以方便地得出全解)t (f ，其表达式)t (f ＝这种利用“三要素”来得出一阶线性微积分方程全解 的方法，称为“三要素法”。
优点：它在分析ＲＣ和ＲＬ一阶电路的暂态响应时，可避免求解微分方程，而使分析简便，并且物理意义清楚。
其步骤如下：（１）求初始值)0(+f 。
根据题意可求出换路前的终了时刻的值)0(-f ，再根据换路定理确定)0(+f ＝)0(-f ，即Ｒ－Ｃ电路)0()0(C C -+=u u ；Ｒ－Ｌ电路)0()0(L L -+=i i 。
（２）求稳态)(∞f 。
换路后，电路达到最稳定状态时的电压和电流值。
在稳态为直流量的电路中，电路的处理方法是：电容开路，电感短路；用求稳态电路的方法求出电容的开路电压即为)(L ∞u ，电感中的短路电流即为)(L ∞i 。
（３）求时间常数τ。
对于电路中的任一变量（如电流、电压），它们的时间常数是相同的，并与外加信号源无关。
为求得一阶电路的时间常数，可将电压短路，将电流源开路，经过简后必然能得到一个等值的RC 或ＲＬ闭合电路，回路中ＲＣ或RL即为原电路的时间常数。
时间常数是电路瞬变过程中一个重要的物理参数。
因为它的大小可以反映出ＲＣ（或ＲＬ）电路瞬变过程的快慢。
3、列方程时应注意的问题（1）在所求解的电路中有多个待求量时，不必列出全部待求量的微分方程，而是选出一个适当的待求量，其它变量则利用与该变量的关系来求解。
例如，在R 、L 、C 串联电路中，可选电路i 作为变量（i 为公共量，然后由⎰===idt Cu dt di Lu iR U 1,,C L R 来求C L R u u u 和、等。
（2）一般情况下微分比积分计算方便，因此，含有电容的电路，选C u 作为变量；在电感电路中，选L i 作为变量较好。
若L 、C 同时存在，选L i 或C u 均可。
（3）也可把支路电流，网孔电压，节点电位等作为变量，而后由KCL 或KVL 列出微分方程。
P45 练习与思考3.1.1. 电路中产生暂态过程的实质是储能源元件的能量不能跃变。
3.1.2. 因为换路时，电感储存的磁场能与电容储存的电场能均不能发生跃变为先决条件，由2CC 2L L 21,21u C W Li W ⋅==可知，换路时，电感的电流与电容两端的电压降不发生跃变。
而其它物理量只能具体问题具体分析。
3.1.3. 由于换路前电路已稳定，所以0,,0)0(2)0(C )0(C )0(1====----i U u i i闭合后，+=0t 时，由于换路定律有：)0(c )0(c +-=U U 可知U U =+)0(c 所以：0,02)0(c )0(21)0(c )0(1≠==-=++++R u i R U U i练习与思考3.1.3图P50 练习与思考3.2.1 由于物理学中，从量能分析可知：S F 111=⋅Ω,所以RC 电路中，RC 为该电路的充放电的时间常数，则它的大小直接影响C 的放电快与慢。
3.2.2 相等，同为放电时间与初始电压的大小无关。
3.2.3 解：tt t e dt du C i e u e U u 21C C 21C 210C )210(C ,10,----⋅=⋅=⋅=⋅=即由题意可知：S RC 02.01.051=⨯==τ30C 101101-=⨯-=⨯-=C i t τΩ=⨯=-k R 1010202.06，F C 6310250010--⨯==所以：t t e i 503)(C 10---=3.2.4 解：V 6)0(C )0(C ==+-u u ，t tt t eeeu u 610102)21(121)0(C )(C 6666-⋅⨯⨯+--+⋅=⋅=⋅=-t t t ee i ⋅--⋅-=⋅-⋅=61066106)(C 6610)610(6，s RC 6106-⨯==τ练习与思考3．2．4图 P533.3.1 RC 电路中，电容充电过程的自由分量，由于端电压C U 由0逐渐上升到S U ,而电流C i 由RU S逐渐变小到0，在+=0t 时刻电流发生跃变引起的。
由于变化规律与外施激励无关i u 与总是按指数规律变化逐渐稳态值。
充电结束后，电容相当开路0=i ，端电压达到最大值，因此反映了电路本身的固有性质。
3.3.2 只有表针偏转后，慢慢返回到原刻度处，说明电容正常。
3.3.3 解：零状态响应：)1(21)(C )(C t t eU u -∞-=，V 20s )(C ==∞U Us RC 3631029.31047.0107--⨯=⨯⨯⨯==τ所以：)1(2029.310)(C 3t t eu --=，当64.12)(1=t u C 。
即64.12)1(201329.310=--t e，36.7201331029.310=⨯-t e368.01331029.310=⨯-t e，0368.0ln 29.31013=-t解得：ms t 3.300335.01≈=t t t t ee u c i 29.310329.31036')(C )(C 3329.3104.9)29.310(201047.0----⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⨯-⨯=⋅=t tR e i R u ττ112029.38.65--⋅≈=⋅=。
（ms 29.3=τ）练习与思考3．3．3图P56 练习与思考3.4.1 只有线性的一阶电路，才具有叠加性。
3.4.2 teU U U u τ1S 0S C )(--+=得t t e e u 2.02.0C 812)124(12---=-+= 由dtdu Ci CC =得 t t e e i 2.02.0C 8)2.0()8(5--=-⨯-⨯=练习与思考3.4.2图P59 练习与思考3.5.1 三要素法只适用于直流电源作用的RC 或RL 阶段性电路，当以0t t =时刻计时，只需将公式中的0t t t -用代替即可。
3.5.2 解：-∞+=-=-=0,V 15,V 5)(c ))0(c t u u 计时， 当V 32.11,3)(C 1-==t u s t 时则有313110151551532.11⨯-⨯-+-=+-+-=-ττee ）（3,1068.331=⋅=⨯-ττe则：t t e u 31)(C 1015-+-=练习与思考3．5．2图习题三3-1 如图所示电路换路前已处于稳态，试求换路后电路中所标出的电流、电压初始值和稳态值。
习题3-1图解：a ）图中V150)0()0(C C ==-+u u ；A 5)0(=-i ，A 1510150)0()0(1C ===++R u iA 5)(V ,50)(C =∞=∞i ub ）图中A 1196466//426)0()0(L L =+⨯+==-+i i ，A 1115)0(=-iV 0)0(L =-u ，V 1112119)42(6)0(A,119)0()0(L L =⨯+-===+++u i iA 1)(i V ,0)(L L =∞=∞u3-2 如图所示的电路中，开关S 动作前，电路已达到稳态，t =0时打开开关，求)0(C +u 、)0(L +u 、)0(C +i 和)0(L +i 以及上述各量电路换路后的稳态值。
习题3-2图 解： V 818)0()0(A,18443)0()0(C C L L =⨯===+⨯==-+-+u u i i 4))0(3()0()0(2)0(L C L L ⨯-=+⨯+++++i u i u ，代入得： A 1)0()0(V ,28124)13()0(L C L ==-=-⨯-⨯-=+++i i uV 0)(V ,1243)(,0)()(L C C L =∞=⨯=∞=∞=∞u u i i3-3 如图所示的电路中，换路前已处于稳态。
求0≥t 时C C i u 和，并画出它们的波形。
习题3-3图解： V 601010106)0()0(33C C =⨯⨯⨯==--+u u ，闭合后，为零输入响应。
s 01.010*******)63633(636=⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯+==--kk kk k RC τ V 60)0()(1001C C t te eu t u --+==τ，A 012.0)100(60102)()(1001006C C t t e e dtt du Ct i ----=-⨯⨯⨯== 3-4如图所示电路中，已知Ω=Ω====k R k R F C C U 6,12,10V ,202121S μ，电容元件换路前未充电，求0≥t 时的C u ，并画出随时间变化的曲线。