2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算

2017中考数学专题训练(四)三角形、四边形中的相关证明及计算

纵观近5年中考题，三角形常与旋转、折叠、平移等知识点结合起来考查；四边形中要特别关注平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质和判定，以及运用其性质解决有关计算的问题．

三角形的有关计算及证明

【例1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.

求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.

【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF ＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG即可．【学生解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.

1．已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝10，D为△ABC外一点，连接AD，BD，过D 作DH⊥AB，垂足为H，交AC于E.若△ABD是等边三角形，求DE的长．

解：∵△ABD是等边三角形，AB＝10，∴∠ADB＝60°，AD＝AB＝10.∵DH⊥AB，∴AH＝1

2AB＝5.∴DH＝

AD2－AH2＝102－52＝5 3.∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°.∴∠AEH＝45°.∴EH＝AH＝5.∴DE＝DH－EH＝53－5.

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别是边AB，AC的中点，点D在边BC上．若DE＝DF，AD＝2，BC＝6，求四边形AEDF的周长．

解：∵AB＝AC，E，F分别是边AB，AC的中点，∴AE＝AF＝1

2AB.又∵DE＝DF，AD＝AD，

∴△AED ≌△AFD .∴∠EAD ＝∠F AD .∴AD ⊥BC ，且D 是BC 的中点．在Rt △ABD 中，∵E 是斜边AB 的中点，∴DE

＝AE .同理，DF ＝AF .∴四边形AEDF 的周长是2AB .在Rt △ABD 中，AD ＝2，BD ＝12BC ＝3，AB ＝4＋9＝13，∴四边形AEDF 的周长为213.

3．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F 为BC 中点，BE 与DF ，DC 分别交于点G ，H ，∠ABE ＝∠CBE .

(1)线段BH 与AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；

(2)求证：BG 2－GE 2＝EA 2.

证明：(1)BH ＝AC .∵∠BDC ＝∠BEC ＝∠CDA ＝90°，∠ABC ＝45°，∴∠BCD ＝45°＝∠ABC ，∴DB ＝DC .又∵∠BHD ＝∠CHE ，∴∠DBH ＝∠DCA .∴△DBH ≌△DCA ，∴BH ＝AC ；(2)连接GC .则GC 2－GE 2＝EC 2.∵F 为BC 中点，DB ＝DC ，∴DF 垂直平分BC ，∴BG ＝GC .∴BG 2－GE 2＝EC 2.∵∠ABE ＝∠CBE ，∠CEB ＝∠AEB ，BE ＝BE ，∴△BCE ≌△BAE .∴EC ＝EA ，∴BG 2－GE 2＝EA 2.

4．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E .在△ABC 外有一点F ，使F A ⊥AE ，FC ⊥BC .

(1)求证：BE ＝CF ；

(2)在AB 上取一点M ，使BM ＝2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME .

求证：①ME ⊥BC ；②DE ＝DN .

证明：(1)∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB ＝45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF ＝90°.∴∠ACF ＝90°－45°＝45°，∴∠B ＝∠ACF .∵∠BAC ＝90°，F A ⊥AE ，∴∠BAE ＋∠CAE ＝90°，∠CAF ＋∠CAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAF .在△ABE

和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠CAF ，AB ＝AC ，∠B ＝∠ACF ，

∴△ABE ≌△ACF (ASA )．∴BE ＝CF ；(2)①过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是

等腰直角三角形．∴HE ＝BH ，∠BEH ＝45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE ＝HE ，∴DE ＝BH ＝HE .∵BM ＝2DE ，∴HE ＝HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH ＝45°，∴∠BEM ＝45°＋45°＝90°，∴ME ⊥BC .②由题意，

得∠CAE ＝45°＋12

×45°＝67.5°，∴∠CEA ＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠CAE ＝∠CEA ＝67.5°，∴AC ＝CE .在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，⎩

⎪⎨⎪⎧CM ＝CM ，AC ＝CE ，∴Rt △ACM ≌Rt △ECM (HL )，∴∠ACM ＝∠ECM ＝12×45°＝22.5°.又∵∠DAE ＝12×45°＝22.5°，∴∠DAE ＝∠ECM .∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD ＝CD ＝12

BC .在△ADE 和△CDN 中，