指派问题例题
整数规划-案例1-指派问题
3
4
4
故模型为： min z
ci Βιβλιοθήκη 1 j 144ij
xij
4 xij 1, i 1,2,3,4 j 1 4 xij 1, j 1,2,34 i 1 xij 0 or 1(i, j 1,2,3,4)
设ijx表示第i个人去完成第j项任务则????项任务时个人不去完成第当第项任务时个人去完成第当第jijixij01?项任务时个人不去完成第当第ji0每个人去完成一项任务的约束为????????????1112423222114131211xxxxxxxx每一项任务必有一人完成的约束
3.指派问题：现在不妨设有4个人，各有能力
记 系 数 矩 阵 为
2 15 11 4 10 4 14 15 cij 9 14 16 13 7 8 11 9
称其为效益（价值）矩阵.
cij 表示第 i 个人去完成 第 j 项任务时有关的效
益 （时间、 费用、 价值等） 。 则目标函数可表示为
min z cij xij
4
用lingo求解后，可知让甲去完成任 务D，乙完成任务B，丙完成任务A， 丁完成任务C，所用时间最少为28.
5
x11 x 21 x31 x 41 1 x x x x 1 12 22 32 42 x13 x 23 x33 x 43 1 x14 x 24 x34 x 44 1
2
目标函数：
min z 2 x11 15x12 13x13 4 x14 10x21 4 x22 14x23 15x24 9 x31 14x32 16x33 13x34 7 x41 8 x42 11x43 9 x44
运筹学指派问题作业
作业：作业：问题1：书本P100第6题效率矩阵效率矩阵码头1 码头2 码头3 码头4货船A货船B货船C货船D目标函数：使总运输成本最小目标函数：使总运输成本最小约束条件约束条件: :码头1 码头2 码头3 码头4货船A 1 0 0 0 1 = 1 货船B 0 0 0 1 1 = 1 货船C 0 0 1 0 1 = 1 货船D 0 1 0 0 1= 11 1 1 1 ====1 1 1 1最少成本最少成本2100问题问题 2: 2: 2: 书本书本书本P101P101P101第第7题效率矩阵效率矩阵A B C D E甲乙丙丁目标函数：使总花费时间最小目标函数：使总花费时间最小约束条件约束条件: :方案矩阵方案矩阵AB C D E甲 2.22E-16 1 0 0 0 1 <= 1 <= 2 乙 0 0 1 1 2.22E-16 1 <=2 <= 2 丙 0 1.11E-16 0 0 1 1 <=1 <=2 丁 1 0 0 4.44E-16 0 1 <=1 <=2 1 11 1 1= == ==11 1 1 1时间最少时间最少131问题3：五人翻译五种外文的速度（印刷符号：五人翻译五种外文的速度（印刷符号//小时）如下表所示：小时）如下表所示： 语种语种语种 人 英 俄俄 日日 德德 法法 甲甲乙 丙 丁 戊900 400 600 800 500 800 500 900 1000 600 900 700 300 500 800400 800 600 900 5001000 500 300 600 800若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试解答下列问题：若规定每人专门负责一个语种的翻译工作，那么，试解答下列问题： （1）应如何指派，使总的翻译效率最高？应如何指派，使总的翻译效率最高？效率矩阵效率矩阵英俄 日 德 法 甲 乙 丙 丁目标函数：使翻译效率最高目标函数：使翻译效率最高约束条件约束条件: :方案矩阵方案矩阵英俄 日 德 法甲0 011 =1乙0 1 0 0 0 1 = 1 丙0 0 0 1 0 1 = 1丁 1 0 0 0 0 1 = 1 戊0 0 1 0 0 1 = 11 1 1 1 1= = = = =1 1 1 1 1效率最高 2200效率最高若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？（2）若甲不懂德文，乙不懂日文，其他数字不变，则应如何指派？方案矩阵方案矩阵英俄日德法甲0 1 0 0 0 1 = 1 乙0 0 0 0 1 1 = 1 丙0 0 0 1 0 1 = 1 丁 1 0 0 0 0 1 = 1 戊0 0 1 0 0 1 = 11 1 1 1 1= = = = =1 1 1 1 1。
指派问题
数学模型为：
max Z 85x11 92x12 73x13 90x14 95x21 87x22
78x23 95x24 82x31 83x32 79x33 90x34
86x41 90x42 80x43 88x44 甲
A
x11 x12 x13 x14 1
xx3211
6 4
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
经行运算即可得每行每列都有 0 元素的系数矩阵，
再按上述步骤运算，得到：
5 0 2 0 2
2 3 0 0
0
0 10 5 7 2
9 8 0 0
4
0 6 3 6 5
所画 0元素少于n，未得到最优解。
5 0 2 0 2 2 3 0 0 0 0 10 5 7 2 9 8 0 0 4 0 6 3 6 5
将前面的例题连续作进行下
任务 人
A
B
C
D
E
甲
12 7
9
7
9
乙
8
9
6
6
6
丙
7 17 12 14 9
丁
15 14 6
6 10
戊
4 10 7 10 9
12 7 9 7
8
9 66
9
6
7 6
5 0 2 0 2
2 3 0 0
【精品】指派问题——匈牙利法
最优解：x13=1,x21=1,x32=1,x44=1
若◎元素的数目m=n，则该指派问题的最优 解已经得到，否则转入Step 3；
13
指派问题的匈牙利解法——步骤（续）
Step 3. 设有 m<n 个◎, 找最少覆盖所有0的直线
1) 对没有◎的行打√
2) 对已打√行中含所在列打√ 3) 对已打√列中含◎所在行打√ 4) 重复2)~3), 直至没有要打√的行和列为止 5) 对没有打√的行划横线, 对打√的列划竖线 得到最少覆盖所有0的直线数l。
i 1 j1 ik n n j1 n j1
n
n
n
cijx ij c kjx kj (s)
i 1 j1 ik j1
z (s)
指派问题的匈牙利解法
• 根据此定理，可以对 做如下改变，目的是 找出C 中的 n个不同行不同列的0元素： • 将 C的每一行减去该行中的最小元素，得 到C’矩阵 ，则C’ 的每行中均至少出现一个 0元素，且所有cij0 。同样，对C 的列亦进 行如此计算，由此，我们完全可以从原效 率矩阵 出发，得到一个新的效率矩阵 ，使 C的每行每列中均至少存在一个0元素，而 不改变问题的最优解。
Z=15
独立练习 • P161第6.4题
6.5.4 非标准形式的指派问题 • 非标准型指派问题求解的总原则是化非标准 形式为标准形式，然后用匈牙利解法求解。 (1) 最大化指派问题 设效率矩阵为 C (cij )nn ，其中最大元素
5.5 指派问题
cij 为第 i 个人为完成第 j 项任务时的工时消
3. 指派问题数学模型—标准形式 如果一个指派模型满足以下三个条件：
1)目标要求为min
2)效率矩阵(cij)为m阶方阵
3)效率矩阵中所有元素cij≥0,且为常数
则称上面的数学模型为指派问题的标准形.
4. 指派模型的标准形的特点: 含有m×m个决策变量,均为0-1变量 m+m＝2m个约束方程 给定一个指派问题时，必须给出效率矩阵（系数矩阵） C=(cij)mxm,且cij0，因此必有最优解 。
0 1 0 0
0 0 0 1
指派问题的解矩阵应具有如下特点： （1）解矩阵(xij)中各行各列的元素之和都是1； （2）可行解（最优解）中恰含有４个非零元，即4个1； （3）可行解（最优解）矩阵中的1恰取于不同行不同列。
人 工作 译成英文 译成日文 译成德文 译成俄文 任务
甲 2 15 13 4 1
定理1 如果从指派问题效率矩阵[cij]的每一行元素中分别 减去(或加上)一个常数ui(被称为该行的位势)， 从每一列分别减去(或加上)一个常数vj(称为该列的位势) 得到一个新的效率矩阵[bij]， 若其中bij=cij-ui-vj， 则[bij]的最优解的结构等价于[cij]的最优解的结构.
证明：将从[bij]中得到的解 代入分配问题模型的目标函数式，有
从只有一个0元素的行（或列）开始，
给这个0元素加圈，记， 这表示对这行所 代表的人，只有一种任务可指派。 然后划去所在的列（或行）的其他0元素，记作Ø。 这表示这列所代表的任务已指派完，不必再考虑别人
0
6
13
7 6 3 0
0 9 2 0
5 1
0
给只有一个0元素的列（或行）中的0元素加圈， 记， 然后划去所在的行（或列）的其他0元素，记作Ø。 这表示这行所代表的人已指派完， 不必再考虑他做别的任务了。 反复进行上述两步，直到所有的0元素都被圈出和 划掉为止。
运输问题和指派问题
4、运输问题和指派问题案例1：P&T公司的配送问题家族经营的小公司，加工蔬菜罐头并分销到各地：–三个食品厂，四个分销仓库面临的问题：运输成本不断攀升目前的运输策略：–首先考虑最偏远的厂，先将其产品充分满足距它最近的仓库，再运至次之的仓库；–再考虑最偏远的仓库，优先从距其最近的工厂进货；–距离居中的工厂用于补充不足的部分。
问题：如何改进运输策略以降低成本？CANNERY 1BellinghamCANNERY 2EugeneWAREHOUSE 1 Sacramento WAREHOUSE 2Salt Lake CityWAREHOUSE 3Rapid CityWAREHOUSE 4AlbuquerqueCANNERY 3Albert Lea最偏远的厂最偏远的仓库300合计100Albert Lea 125Eugene 75Bellingham 产量（车）工厂Albert Lea5Eugene 75Bellingham 工厂SacramentoFrom\To运费995Albert Lea352Eugene $464Bellingham 工厂Sacramento From\To 总运费：Total shipping cost = 75($464) + 5($352) + 65($416) + 55($690)运输问题的基本术语P&T 公司问题罐头罐头厂仓库罐头厂的产量各仓库的需求量每车运费Ì运输问题是物流中的一个重要问题，即如何以尽可能小的成本把货物从一系列出发地（如工厂、仓库）运输到一系列目的地（如仓库、顾客）。
需求假设：–每个出发地都有一个固定的供应量，且所有供应量均须配送到目的地；–每个目的地都有一个固定的需求量，且所有需求量均须被满足可行解特征：–运输问题有可行解，当且仅当供应量总和等于需求量总和（供求平衡） 成本假设：–从任一出发地到任一目的地的配送成本与所配送的货物量成正比，即配送成本等于单位配送成本乘以配送量供应量、需求量和单位成本提供了运输问题所需的一切数据整数解：–运输问题通常以运送的车数作为计量单位，因此其解一般为整数整数解性质：只要运输问题的供应量和需求量都是整数，任何有可行解的运输问题必然有使所有决策变量都是整数的最优解。
指派问题考前复习
指派问题
例3、某工厂有4个工人甲、乙、丙、丁，他们都可以从事4种不同的工作A,B,C,D,但每个人在不同的岗位创造的产出是不同的，见下表。
现给每个工人分配一个岗位，求如何安排才能使产出最
大？
解：
这是一个求最大值的问题，因此首先对系数矩阵
进行变换，表中的系数矩阵最大值是10，因此
bij=M-cij=10-cij，然后就可以按照匈牙利法德步
骤进行求解，具体过程如下：
注意：设分配问题中人数为m，任务数为n，当m>n时虚拟m-n项任务，对应的效率为零；当m<n 时，虚拟n-m个人，对应的效率为零，转化为人数与任务数相等的平衡问题后再求解。
如有5个人分配做3项工作，效率矩阵变化如下，。
指派问题例题
• 第四步 划线——无行、打列划线
• 第五步 造0——直线未覆盖旳元素，减
去其最小值，交叉点上加最小元素，产
生新旳0元素，Go to 2
0 6 2 1 -1 5 1 0 0 4 0
Cij= 0 5 3 1 -1 0 4 2 0 3 1 0
0001
1 0 1
2 0 2
1320
2 3 2 2 2 1
数模： minZ=ΣΣcijxij Σxij=1 i=1,…,n Σxij=1 j=1,…,n Xij=0或1
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
指派问题解法—匈牙利法
• 解：类似运送问题旳最小元素法
• 第一步 造0——各行各列减其最小元素
4 10 7 5 -4 0 6 3 1 6 2 1
+1
• 最优2 7 6 3 -2 0 5 4 1 0 5 3 1
3 3 4 4 -3 0 0 1 1 0 0 1
4 6 6 3 -3 1 3 3 0 1 3 2
-1
• 第二步 圈0——寻找不同行不同列旳0元素，
圈之。 所在行和列其他0元素划掉
• 第三步 打——无旳行打，打行上0列打
，打列上行打，打行上0列打 …
指派问题
任务 人 时间
甲 乙 丙 丁
ABC D 4 10 7 5 2763 3344 4663
最大流问题
v1
5,2
5,5 5,5
vs 6,4 v2
4,2
v4 6,6
v3
2,2
4,2 vt
5,3
指派问题——匈牙利法
• 练习例题：甲乙丙丁四个人，A、B、C、D 四项任务，不同旳人做不同旳工作效率不同， 表中数据为时耗，怎样指派不同旳人去做不 同旳工作使效率最高？
第4章整数规划——指派问题
13 11 2 0 10 11 57 4 4 2 13 7 0 0 6 9 5 32 0 0
0 0 X 1 0
0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
故可得到指派问题的最优解X，这样 安排能使总的维修时间最少，维修时间为 z=4＋4＋9＋11=28（小时）。
X (2)
都是指派问题的最优解。
4 指派问题
4.3 指派问题的求解 指派问题既是一类特殊的整数规划问题，又是特殊的运输问 题，因此可以用多种相应的解法来求解，然而这些解法都没有充 分利用指派问题的特殊性质，有效地减少计算量，直到1955年库 恩（W. W. Kuhn）提出的匈牙利法才有效地解决了指派问题。 匈牙利法的理论基础 定义2 独立零元素组 在效率矩阵中，有一组在不同行不同 列的零元素，称为独立零元素组，其每个元素称为独立零元素。 5 0 2 0 2 3 0 0 C 【例4】 已知效率矩阵 0 5 6 7 4 8 0 0 求其独立零元素组。
4 指派问题
0 , 不 指 派 第 i小 组 维 修 第 j台 机 床 x ij ( i , j 1, 2 ,3, 4 ) 1, 指 派 第 i 小 组 维 修 第 j 台 机 床 机车 该问题的数学模型为： 1 2 3 4 4 小组 min z cij xij i 1 j 1 1 x11 x12 x13 2 x11 15 x12 2 x21 x22 x23 任务约束 4 x 1, j 1, 2 , 3 , 4 3 x31 x32 x33 ij i 1 4 x41 x42 x43 人员约束 4 x ij 1, i 1, 2 , 3, 4 j 1 x ij 0 或 1 i , j 1 , 2 , 3 , 4
运筹学上机试题2--指派问题
练习一：有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。
最优解如下********************************************起至销点发点 1 2 3 4-------- ----- ----- ----- -----1 0 1 0 02 1 0 0 03 0 0 1 04 0 0 0 1此运输问题的成本或收益为: 70此问题的另外的解如下：起至销点发点 1 2 3 4-------- ----- ----- ----- -----1 1 0 0 02 0 0 0 13 0 0 1 04 0 1 0 0 此运输问题的成本或收益为: 70练习二：现有4份工作，6个人应聘，由于个人的技术专长不同，他们承担各项工作所需时间如下表所示，且规定每人只能做一项工作，每一项工作只能由一个人承担，试求使总时间最少的分派方案。
解析最优解如下********************************************起至销点发点 1 2 3 4 5 6 -------- ----- ----- ----- ----- ----- -----1 0 0 0 0 1 02 0 0 0 0 0 13 0 0 0 1 0 04 1 0 0 0 0 05 0 0 1 0 0 06 0 1 0 0 0 0 此运输问题的成本或收益为: 20练习三：某商业公司计划开办五家新商店。
为了尽早建成营业，商业公司决定由3家建筑公司分别承建。
已知第A i(i=1,2,3)个建筑公司对第B j(j=1,2,3,4,5)家新商店的建造费用的报价如下表，为保证工程进度，每家建筑公司最多只能承建两个商店，且由于某种原因，第B3家商店不能由第A1个建筑公司承办，求使总费用最少的指派方案解析：最优解如下********************************************起至销点发点 1 2 3 4 5-------- ----- ----- ----- ----- -----1 1 0 0 0 02 0 0 0 0 13 0 0 1 0 04 0 1 0 0 05 0 0 0 0 06 0 0 0 1 0此运输问题的成本或收益为: 42注释：总供应量多出总需求量 1第5个产地剩余 1此问题的另外的解如下：起至销点发点 1 2 3 4 5 -------- ----- ----- ----- ----- -----1 1 0 0 0 02 0 0 0 0 13 0 0 0 1 04 0 1 0 0 05 0 0 0 0 06 0 0 1 0 0 此运输问题的成本或收益为: 42注释：总供应量多出总需求量 1第5个产地剩余 1练习四：某人事部门拟招聘4人任职4项工作，对他们综合考评的 得分如下表（满分100分），如何安排工作使总分最多85927390958778958283799086908088C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦甲乙＝丙丁 解析： 最优解如下********************************************起 至 销点发点 1 2 3 4 -------- ----- ----- ----- ----- 1 0 1 0 0 2 1 0 0 0 3 0 0 0 1 4 0 0 1 0 此运输问题的成本或收益为: 357。
管理优化之指派问题
9
5
15
7
用匈牙利法求解：
10 3 22 5
C
＝
0
8 17 0
13 12 16 5
9
5
15
7
7 0 19 2
C
＝
0
8 17
0
8 7 11 0
4
0 10
2
7 0 9 2
C
＝
0
8
7 ×0
8 7 1 0
4
×0
0
2
0 1 0 0
最优解：
X＝
1
0
0 0
0 0
0
1
0
0
1
0
88
数学模型如下：
m inZ85x1192x1273x1390x1495x2187x22
78x2395x2482x3183x3279x3390x34
86x4190x4280x4388x44
x11 x12 x13 x14 1
x21 x22 x23 x24 1
工作 A
B
C
D
x31 x32 x33 x34 1
位置
一
二
三
四
机器
A
13
10
12
11
B
15
--
13
20
C
5
7
10
6
解：1）在（B，二）处添上一个很大的数M，以排除机器B安 装在二号位置的可能。
2）在第四行虚设一行。
13 10 12 11
C ＝ 1 5
M
13
2
0
5 7 10 6
0
0
0
0
指派问题
小张 小王 小李 小刘 工作A 35 47 39 32 工作B 41 45 56 51 工作C 27 32 36 25 工作D 40 51 43 46 每小时工资 （元） 14 12 13 15
4.5 指派问题
解：该问题是一个典型的指派问题。 单位成本为每个人做每项工作的总 工资 目标是要确定哪个人做哪一项工作， 使总成本最小 供应量为1代表每个人都只能完成一 项工作 需求量为1代表每项工作也只能有一 个人来完成 总人数（4人）和总任务数（4项） 相等
（小张要完成一项工作） （小王要完成一项工作） （小李要完成一项工作） （小刘要完成一项工作） （工作A要有1人完成） （工作B要有1人完成） （工作C要有1人完成） （工作D要有1人完成） （非负）
s.t.
பைடு நூலகம் 4.5 指派问题
电子表格模 型
4.5 指派问题
例4.8 某公司的营销经理将要主持召开一年一度 的由营销区域经理以及销售人员参加的销售协商 会议。为了更好地安排这次会议，他安排小张、 小王、小李、小刘等四个人，每个人负责完成下 面的一项工作：A、B、C和D。 由于每个人完成每项任务的时间和工资不同 （如表4-14所示）。问如何指派，可使总成本最 小。 每一项工作所需要的时间（小时）
4.5 指派问题
数学模型： 设xij为指派人员i去做工作j（i，j＝1,2,3,4)
Min z 35 14 x11 41 14 x12 27 14 x13 40 14 x14 47 12 x21 45 12 x22 32 12 x23 51 12 x24 39 13 x31 56 13 x32 36 13 x33 43 13 x34 32 15 x41 51 15 x42 25 15 x43 46 15 x44 x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1 x11 x21 x31 x41 1 x x x x 1 22 32 42 12 x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1 xij 0 (i , j 1, 2, 3, 4)
指派问题
0 30 0 32
6 17 17 0 0 0 0 0 0 0 45 45
第四步等价于第2、 行减去 行减去5，同时第1列加上 列加上5得到的结果 第四步等价于第 、3行减去 ，同时第 列加上 得到的结果
指派问题 assignment problem
指派问题
Page 10
指派问题
Page 5
解指派问题的匈牙利算法 匈牙利法的条件是：问题求最小值、 匈牙利法的条件是：问题求最小值、人数与工作数相等及效率 非负 定理1】如果从分配问题效率矩阵[c 的每一行元素中分别减 【定理 】如果从分配问题效率矩阵 ij]的每一行元素中分别减 或加上）一个常数u 被称为该行的位势）， ），从每一列分 去（或加上）一个常数 i（被称为该行的位势），从每一列分 别减去（或加上）一个常数v 称为该列的位势）， ），得到一个 别减去（或加上）一个常数 j（称为该列的位势），得到一个 新的效率矩阵[b ，其中b 的最优解等价于[c 新的效率矩阵 ij]，其中 ij=cij－ui－vj,则[bij]的最优解等价于 ij] 则 的最优解等价于 的最优解，这里c 均非负． 的最优解，这里 ij、bij均非负． 【证】
1 【解】设 xij = 0
分配第i人做j工作时 不分配第i人做j工作时
指派问题 assignment problem
指派问题
Page 3
数学模型为： 数学模型为：
max Z = 85 x11 + 92 x12 + 73 x13 + 90 x14 + 95 x 21 + 87 x 22 + + 78 x 23 + 95 x 24 + 82 x31 + 83 x32 + 79 x33 + 90 x34 + + 86 x 41 + 90 x 42 + 80 x 43 + 88 x 44
3.4指派问题(经典运筹学)
n
ci1 xi1
ci 2 xi 2
cin xin
cn1xn1 cn2 xn2 cnn xnn b
cc1211
c12 c22
c1n c2n
C
ci1 cn1
ci2 cn2
cin
-b
cnn
min Z Z b
c11 c21
x11 x21
c12 x12 c22 x22
i=1,2, …,n; j=1,2, …,n
Z表示总费用
12…j …n
1 c11 c12 c1 j c1n 2 c21 c22 c2 j c2n … i ci1 ci2 cij cin …
n cn1 cn2 cnj cnn
指派问题模型：
min Z
cij xij
c11 c21
c12 c22
c1n c2n
C
ci1 cn1
b
ci2 b cn2
cin b cnn
min Z
c11x11 c21x21
ccZ1222xx1222bcc12nnxx1n2
n
ci1xi1
ci 2
xi 2
cin
xin
cn1xn1 cn2 xn2 cnn xnn b
xi1 xi2 xij xin 1
s.tLeabharlann x1jx2j
xij
i=1,2, …,n
xnj 1
j=1,2, …,n
xij 0,1 i 1,2,, n; j 1,2,, n
cc1211
c12 c22
c1n c2n
C
ci1 cn1
ci 2 cn2
cin
-b
cnn
指派问题
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2 0 5 0
0 0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
5 2
3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2 0 2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
对没有打行画横线，有打列 画纵线，就得到覆盖所有0元素的 最少直线数。
的个数m=4,而n=5, m<n，转下一步。
第四步：在没有被直线覆 盖的部分中找出最小元素， 然后在打行各元素都减 去这最小元素，而在打 列中各元素都加上这最小 元素，以保证原来0元素 不变，这样得到新的系数 矩阵（它的最优解和原问 题相同）。若得到n个独 立的0元素，则已经得到 最优解。否则回到第三步 重复进行。
5 2
3 10 8
2 0 5 0
Ø
0 7 0
2
2 4
9
Ø
6
3
6
5
然后划去所在的行的其他0元素， 记作Ø。
5 2
3 10 8
2
Ø Ø
7 0
2
Ø
5 0
2 4
9
Ø
6
3
6
5
从只有一个0元素的列开始， 给这个0元素加圈，记
5 2
3 10 8
2
Ø Ø
第二题 指派问题
7 3 6 9 6 3
4 6 7 5 11 4
2 0 4 3 6
2
5
0
4
2
4 1 0 2 5
4 0 3 6 3
0 2 3 1 7
-1 -2
分配问题与匈牙利法
2）试指派（找独立0元素）
2 0 4 2 4
2
5
0
3
0
4 1 0 1 3
4
0
3
5
1
0 2 3 0 5
2 ◎0 4 2 4
分配问题与匈牙利法
例4.7 已知四人分别完成四项工作所需时间如下表，求最优 分配方案。
任务
人员
A
B
C
D
甲
2
15
13
4
乙
10
4
14
15
丙
9
14
16
13
丁
7
8
11
9
分配问题与匈牙利法
解：1）变换系数矩阵，增加0元素。
2 15 13 4 2
10
4
14
15
4
9 14 16 13 9
7 8 11 9 7
4
Ø0
3
5
1
√
◎0 2 3 0Ø 5
√
分配问题与匈牙利法
1 ◎0 3 1 3 √
2
6
Ø0
3
◎0 √
l =m=4 < n=5
选择直线外最小元素为1， 直线外元素减1，直线交
4 2 ◎0 1 3 √ 点元素加1，其他保持不
3
Ø0 2
4
变，得到新的系数矩阵。
0 Ø √
◎0 3 3 Ø0 5
运筹学_指派问题
（xij）是n×n矩阵,对应于效率矩阵(cij).
工作
x11 人 x i1 xn1
x1n xij xin xnj xnn x1 j
可行解矩阵
x
i 1
n
ij
1,
j 1, 2, , n ②
指派问题的最优解有这样性质，若从效率矩 阵(cij)的一行(列)各元素中分别减去该行(列)的 最小元素，得到新矩阵(bij)，那么以(bij)为效率 矩阵求得的最优解和用原效率矩阵求得的最优解 相同 。即 定理2 设给定了以C = (cij)为效率矩阵指派问题G， 现将C的元素cij 改变为 bij cij i j , i 与 j 为常数 则以B= ( bij )为效率矩阵指派问题G’与G有相同的最 优解。
第四节 指 派 问 题
assignment problem
在生活中经常遇到这样的问题，某 单位需完成n项任务，恰好有n个人可承 担这些任务。由于每人的专长不同，各 人完成任务不同(或所费时间)，效率也 不同。于是产生应指派哪个人去完成哪 项任务，使完成n项任务的总效率最高 (或所需总时间最小)。这类问题称为指 派问题或分派问题。
行列都有 零元素
7 6 3 0*
0 * 9 (b ) ij 2 0
0 0 最优解为 ( xij ) 1 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 0 0 0
定理3 若矩阵C可分成”0”与非”0”两部分,则覆 盖”0”元素的最少直线等于位于不同行不同列的”0” 元素的最大个数.
如
5 0* 2 0 2 2 3 0* 0 0 0* 10 5 7 2 -2 9 8 0 0* 4 0 6 3 6 5 -2 5 0* 2 0 2 2 3 0* 0 0 2 8 3 5 0 9 8 0 0* 4 2 4 1 4 3
指派问题
0
3 8 8
2
0 0
5
2
0
3
0
0 4
Ø
11
0
1
0
4
4
3
从只有一个0元素的行开始，给这个0 元素加圈，记
7 4
0
3 8 8
2
0 0
5
2
0
3
0
4
Ø
11
0
1
0
4
4
3
然后划去所在的列的其他0元素，记 作 Ø。
7 4
0
3 8 8
2
0 0
5
2
0
3
Ø
4
Ø
11
0
1
0
4
4
3
从只有一个0元素的列开始，给这个0 元素加圈，记
零件 A 4 6 7 9 B 6 10 8 3 C D
人
张 王 李 赵
5 8 7 8 11 9 8 4
解：先变换效率矩阵，然后圈出不同行不同列的0元素，结果如下：
0 2 ○ 0 3 ∕ ∕0 4 ∕ 0 1 ○ 7 8 11 9 0 1 4 2 1 3 1 0 9 3 8 4 6 0 5 1 6 ○ 0 4 ∕ 0 由于不同行不同列的0元素仅有3个，所以要继续第三步及第四步。 √ √ ○ 0 1 0 2 √ 调整量θ=1，调整效率矩 ∕ ∕ 0 2 0 3 ○ 阵使之出现更多 0 元素。 ○ ∕ ∕ 0 3 0 0 ∕0 4 ∕ 0 1 √ 而后，再重新圈出不同行 ○ ∕ ∕ 0 0 3 0 1 3 1 √ ○ 0 且不同列的 0 元素，进行 7 ○ 0 5 ∕0 6 ○ 0 4 ∕ 0 再指派。结果如右：
指派问题
0 1 X＝ 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 、丁 做第三项, 最高总分Z＝92＋95＋90＋80＝357
人数和工作数不相等的指派问题
• 像处理不平衡运输问题那样，根据情况，虚设人，或者虚设 工作任务。虚设人完成工作的费用以及任何人完成虚设工作 的费用取零（理解为这些费用实际不会发生）。这样一来， 便可将人数和工作数不相等的指派问题转化为标准形式的指 派问题。
2 2 0 0
0 1 2 1
0 0 0 1
• 步骤三：找出独立零元素。
4 ◎ 0 2 0 Φ
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 Φ 0 0 2 ◎ 0 Φ 0 1 1 ◎
4 Φ 0 2 0 ◎
2 ◎ 0 Φ 0 2 1 ◎ 0 0 2 Φ 0 ◎ Φ 0 1 1
' M cij ，其中 M max cij ，则 令 cij
1i , j n
n
n
i 1 j 1
' ' z cij xij (M cij xij ) M xij cij xij Mn z ' i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1
• 找独立0元素，常用的步骤为：
从只有一个0元素的行开始，给该行中的0元素加圈，记作◎ 。
然后划去◎ 所在列的其它0元素，记作Ø ；这表示该列所代 表的任务已指派完，不必再考虑别人了。依次进行到最后一 行。
从只有一个0元素的列开始（画Ø的不计在内），给该列中的0
元素加圈，记作◎；然后划去◎ 所在行的0元素，记作Ø ， 表示此人已有任务，不再为其指派其他任务了。依次进行到 最后一列。
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