人教版初二数学上册新知探究
人教版数学八年级上册第十一章三角形第一课《与三角形有关的线段》
由以上讨论可知，其他两边的长分别为7 厘米，7 厘米或6 厘米，8 厘米.
课堂小结
边、顶点、内角
A
概念
(直角、 锐角、钝
c
b
三
按角分 角)三角
角
分类 形B
a
C
形 按边分
性质
三角形两边的和大于第三边． 三角形两边的差小于第三边．
等腰三角形的周长为20厘米. (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长.
解：(1)设底边长为x厘米，则腰长为2x 厘米. x + 2x + 2x = 20， 解得 x = 4.
所以三边长分别为4cm，8cm，8cm.
(2)如果6 厘米长的边为底边，设腰长为x 厘米，则6 + 2x = 20，解得x = 7；
所以，三角形的特征有： (1)三条线段；(2)不在同一直线上；(3)首尾顺次连接.
探究新知
①边：组成三角形的每条线段叫做三角形的边.
②顶点：每两条线段的交点叫做三角形的顶点.
③内角：相邻两边组成的角.
顶点A
角
边c
边b
顶点B
角 边a
角 顶点C
探究新知
三角形的表示： 三角形用符号“△”表示.
记作“△ ABC”读作“三角形ABC”.
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，图中直角三角形共有( C )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
2. 下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是
( C)
A．1，1，2
B．1，2，4
最新人教版初中八年级上册数学第十一章《与三角形有关的线段》精品教案
随堂练习 1
1、图中有几个三角形，用符号表示这些三角形. 解：共有6个三角形，分别是： △ABD，△ABE，△ABC， △ADE，△ADC，△AEC.
2、一个等腰三角形的一边长为6cm，周长为20cm，求其他两边的长. 解：第一种情况：当腰长为6cm的时候，底边长为20-6-6=8（cm）， 则该等腰三角形的另外两边分别为6cm，8cm. 第二种情况：当底边长为6cm的时候，腰长为（20-6）÷2=7（cm）， 则该等腰三角形的另外两边分别为7cm，7cm.
课堂小结
三角形的边
边、顶点、角 三角形的分类 三角形的三边关系
按角分类
按边分类 三角形两边之和 大于第三边
三角形两边之差 小于第三边
拓展提升 1
1、已知三条线段的比例分别为1：3：4，3：3：6，3：4：5，其中可以 构成三角形的有几个？ 解：1个，序号为.
假设中边长为1，3，4，因为1+3=4，所以不能构成三角形. 假设中边长为3，3，6，因为3+3=6，所以不能构成三角形. 假设中边长为3，4，5，因为3+4>5，所以能构成三角形.
归纳：判断三条线段是否可以构成三角形，只需判断“两 条较短的线段之和大于第三条”即可.
新新知知探探究 究
例2：用一条长18cm的细绳围成一个等腰三角形. （1）如果腰长是底边长的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边的长是4cm的等腰三角形吗？为什么？
解：（1）设底边长为xcm，则腰长为2xcm. 由题可得： x+2x+2x=18， 解得x=3.6.
三角形的三边关系： 1、三角形两边之和大于第三边； 2、三角形两边之差小于第三边.
A C
பைடு நூலகம்
人教版八年级数学上册《12-2 三角形全等的判定(第1课时)》教学课件PPT初二优秀公开课
分析：要证∠BAC＝∠DAE，而这两个角所在 三角形显然不全等，我们可以利用等式的性质 将它转化为证∠BAD＝∠CAE；由已知的三组相等线段可证明 △ABD≌ △ACE，根据全等三角形的性质可得∠BAD＝∠CAE.
探究新知
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
探究新知
②三条边
已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm .它 们一定全等吗？
3cm
4cm
6cm
6cm 4cm
4cm 6cm
3cm
3cm
探究新知
做一做 先任意画出一个△ABC，再画出一个△A′B′C′,使A′B′= AB ,B′C′
=BC, A′ C′ =AC.把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全
D HC
课堂小结
边边边
内容
有三边对应相等的两个三角形 全等（简写成 “SSS”)
应用
思路分析 书写步骤
结合图形找隐含条件和现有 条件，找准备条件
四步骤
注意
1.说明两三角形全等所需的条件应按对 应边的顺序书写 2.结论中所出现的边必须在所证明的两 个三角形中
课后作业
作 业 内 容
教材作业
从课后习题中选 取 自主安排 配套练习册练 习
3.已知△ABC ≌ △DEF，找出其中相等的边与角.
A
D
B
①AB=DE
④ ∠A=∠D
C
E
② BC=EF
⑤ ∠B=∠E
F
③ CA=FD
⑥ ∠C=∠F
即：三条边分别相等，三个角分别相等的两个三角形全等．
数学人教版八年级上册分式的乘除学案
制作人： 卢艳威 编制时间： 2015- 12- 10 学生姓名： 初二 班15.2.1分式的乘除（第一课时）（预习展示课）学习目标：1.类比分数乘除法的运算法则探索分式乘除法的运算法则；2. 使学生会用分式乘除法的法则及其应用到实际生活中；（－）导入新课八年级（一）班的同学在体育课上进行长跑训练，甲跑完1000米用t 秒，乙的平均速度是甲的平均速度 的3500t 倍，丙用相同的时间跑完了800米。
这次训练中： （1）乙的平均速度是多少？（2）甲的平均速度是丙的平均速度的多少倍？(二)新知探究：（相信同学们是最棒的！）你会计算分数的乘除法吗？()27135⨯ ()27235÷如果把上面的数字都变成字母a,b,c,d,那么我们便得到了 ， 用语言描述为，分式的乘法法则： 分式的除法法则： ；(三)应用新知：类型一:分式的分子分母为单项式的乘除法例1 计算()34132x y y x()32225224ab a b c cd -÷友情提示： （1）运算结果应 .（2）分式除法应：“变除为 ， 颠倒”。
（3）运算中，分式的乘除运算跟整式运算一样，先判断运算 ，再计算结果。
类型二:分式的分子分母为多项式的乘除法例2 计算()2224411214a a a a a a -+--+- ()22112497m m m ÷--友情提示： （1）遇到分子、分母为多项式时，先将多项式 ，以便约分。
（2） 当出现符号困难时可以先将多项式按照 （或者升幂）排列后再分解因式。
类型三：应用实际例3 . 今年春天，小明的爸爸选择在两块边长都为a 米（a ＞1）的正方形试验田分别种植了“丰收1号” 和“丰收2号”两种不同品种的小麦。
后来试验田进行了改造建设，1号试验田的正方形里修建了一个边长为1米的正方形水池， 2号试验田沿正方形四周向内修建了宽度为0.5米的小路。
到了秋天，两块试验田的小麦都收获了500千克。
人教版初二数学上册1.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的
新设计这节课是人教版数学第十一章第一节内容, 在此之前,学生们已经学习了三角形全等的性质, 这为过渡到本节课内容的学习起到了铺垫作用。
另外这节课内容是本章具有不可忽视的重要地位, 并且将要学习平行四边形知识的基础。
2教学目标1. 构建三角形全等条件的探索思路, 体会研究几何问题的方法.2. 探索并理解“边边边”判定方法, 会用“边边边”判定方法证明三角形全等.3. 会用尺规作一个角等于已知角,了解作图的道理.3学情分析我们知道数学是一门培养人的思考能力的重要学科。
因此, 在教学过程中,不仅要使学生“知其然” ,还要使学生“知其所以然”。
我们在以师生为主体, 又将客体的原则下, 展现获取理论知识, 解决实际问题方法的过程。
考虑初二学生的现状,我主要采取让学生自学、互学的教学方法让学生真正的参与活动。
而且在活动中,得到认识和体验, 产生动手操作的愿望4重点难点重点: 构建三角形全等条件的探索思路, “边边边”判定方法. 难点: 寻求三角形全等的条件.5教学过程5.1 第一学时5.1.1 教学活动活动1【导入】“边边边”判定三角形全等…已知△ ABd A A B' C ,找出其中相等的边与角.老师这里有一个三角形纸片你能画一个三角形与它全等吗?怎样画?学生活动:学生观察思考回答活动2【讲授】探究新知1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等）,? 画出的两个三角形一定全等吗?2. 给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况, 每种情况下作出的三角形一定全等吗?分别按下列条件做一做①三角形一内角为30°, 一条边为3cm.②三角形两内角分别为30°和50°.③三角形两条边分别为4cm、6cm.学生活动: 分组讨论、探索、归纳3. 给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗? 做一做:已知一个三角形的三条边长分别为6cm 8cm 10cm.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较, 它们全等吗?作图方法：先画一线段AB,使得AB=6cm再分别以A B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,?两弧交点记作C,连结线段AC BC,就可以得到三角形ABC使得它们的边长分别为AB=6cm,AC=8cm,BC=10cn先任意画出一个△ ABC再画出一个△ A B' C',使A B' = AB,B' C = BC,A' C' = AC.把画好的厶A B' C'剪下，放到△ ABC上,它们全等吗？学生活动：1. 讨论作法. 2. 比较、验证结果. 3. 探究、发现、总结规律. 教师参与到学生的制作与讨论中, 及时发现问题, 因势利导.画法：⑴画线段B' C =BC ;⑵分别以B'、C为圆心，BA、BC为半径画弧，两弧交于点A ;⑶连接线段A B' ,A' C'.学生动手操作活动3【活动】应用规律拓展延伸例题［例］如图，△ ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连结点A与BC中点D的支架.用尺规作一个角等于已知角学生思考独立完成活动4【练习】知识梳理三边对应相等的两个三角形全等, 简写为“边边边”或“ SSS”学生理解记忆并会用符号语言表示活动5【练习】达标检测如图,△ ABC和厶EFD中,AB =EF, AC =ED,点B,D,C,F在一条直线上.⑴添加一个条件,由“ SSS可判定△ ABC^A EFD;⑵在⑴的基础上，求证:AB// EF.活动6【作业】布置作业作业内容:课本P37页习题中的1,2.作业要求:在练习上独立完成活动7【活动】板书11.2.1 三角形全等判定(1) 三边对应相等的两个三角形全等, 简写为“边边边”或“ SSS”.活动8【活动】反思本节课在难点的突破、激发学生的兴趣、动手操作上取得了一定的成功, 但是在以后教学中, 也有值得思考的地方:(1) 提前让学生准备好学具(如纸、剪刀、圆规等), 分组时, 优差互补, 让人人学有所得。
人教版数学八年级上册 15.2.3整数指数幂 第1课时 负整数指数幂 课件
为了使上述运算适用范围更广，同时也可 以更简便地表示分式，数学中规定：
负整数指数幂：一般地，当n是正整数时， a -n
1 （a≠0）. an
这就是说a-n（a≠0）是an 的倒数.
新知探究
知识点 负整数指数幂
am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用.
你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数 幂的运算性质进行验证，看看这些性质在整数指数幂范 围内是否还使用.
解：（2）原式
1 (a2
-
1 b2
)
(1 a
1) b
1 (a2
-
1 b2
)
(1 a
-
1) b
(1 1 )(1 - 1 ) (1 1 )(1 - 1 )
a bab (1 1)
a
ba (1 - 1)
b
ab
ab
1-111 ab a b
2. a
,则a、b、c的大小关系是( A )
A.a＜b＜c
B.b＜a＜c
C.a＜c＜b
D.c＜a＜b
课堂训练
3.(2021•定兴县一模)计算
A.2-7
B.27
C.-48
的结果为( A ) D.-4-8
4．（2021•绥化）定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+
|﹣b|，那么（﹣ ）▲2的值是（ B ）
当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零.
新知探究
2.计算：
(1)a2b－2·(a－2b)3；
(2)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；
(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.
人教版数学八年级上册课件：14.3.2 公式法
知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
探究
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你
拼成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
★符合平方差的形 式的多项式才能用
(3)–x2–y2 (4)–x2+y2 (5)x2–25y2 (6)m2–1
–(x×2+y2) y√2–x2
(x√+5y)(x–5y) (m√+1)(m–1)
平方差公式进行因 式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
探究新知
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
人教版八年级数学上册12.1 全等三角形
巩固练习
如右图，已知△ABD≌△ACE，∠C=45°， AC = 8， AE = 5，则∠B = 45°， DC = 3 .
8D
C
5
A 5E B
探究新知
例3 如图，△EFG≌△NMH，EF=2.1cm，EH=1.1cm， NH=3.3cm. （1）试写出两三角形的对应边、对应角； 解：（1）对应边有EF和NM，FG 和MH，EG和NH；
链接中考
2. 如图所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，
使点A'落在BC的延长线上.已知∠A=27°，∠B=40°，则
∠ACB'为___4_6___度.
解析：先根据三角形外角的性质求出 ∠ ACA'=∠A+∠B=27°+40°=67°. 再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到 △ABC≌△A'B'C， ∴∠ACB=∠A'CB'. ∴∠ACB–∠B'CA=∠A'CB'–∠B'CA， 即∠BCB'=∠ACA'. ∴∠BCB'=67°. ∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.
探究新知
素养考点 2 利用全等三角形的性质求角或线段的值 例2 如图，△ABC≌△DEF，∠A＝70°，∠B＝50°， BF＝4，EF＝7，求∠DEF的度数和CF的长．
解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝70°， ∠B＝50°，BF＝4，EF＝7， ∴∠DEF＝∠B＝50°，BC＝EF＝7， ∴CF＝BC–BF＝7–4＝3.
你能指出上面两 个全等三角形的
人教版数学八年级上册 角的平分线的性质(第2课时)
课堂检测
基础巩固题
1. 如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN，
OA，OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA，
OB的距离相等，请确定该超市的位置P.
A
M
小区C
P
O
N
B
课堂检测
2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC
交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的
∠BOC＝180°－70°＝110°.
探究新知 方法点拨
由已知，O 到三角形三边的距离相等，得 O是三角形三条内角平分线的交点，再利用三
角形内角和定理即可求出∠BOC的度数．
探究新知
角的平分线的性质 角的平分线的判定
归
图形
C P
C P
纳
总
结
OP平分∠AOB
PD=PE
已知 条件
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
发现：三角形的三条角平分线相交于一点.
探究新知 分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组
垂线段，你发现了什么？
你能证明这 个结论吗？ 发现：过交点作三角形三边的垂线段相等.
探究新知
证明结论
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，
△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度
数为( A )
A．110° B．120° C．130° D．140°
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，即三条角 平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所∠B以C有O＝∠C∠BAOC＝O＝∠AB1 ∠OA＝CB12 ，∠ABC，
人教版数学八年级初二上册 15.1.1从分数到分式(示范课例) 名师教学教案 教学设计反思
805570s x 5510+x s 10+x s x 55805570s 15.1 分式15.1.1 从分数到分式敎學目标知识与技能:使学生了解分式的概念,明确分母不得为零是分式概念的组成部分． 过程与方法:使学生能够求出分式有意义的条件．情感态度与价值观:准确理解分式的意义,明确分母不得为零既是本节的重点,又是本节的难点．敎學重点分式的概念及分式有意义、无意义、值为0的条件敎學难点利用分式有意义、分式值为0求未知数的值敎學过程近年来随着中国工程建设技术的不断提升,中国基建能力也是越来越享誉全球,2018年中国又一超级工程正式建成,那就是举世瞩目的港珠澳大桥,桥隧全长约55千米,港珠澳大桥正式通车,让珠江西岸与香港首次实现直接陆路相连,给我们的生活带来了便捷,将原来3小时的车程缩短至半个小时。
情境引入请同学们思考:1、港珠澳大桥全长约55千米,若以每小时80千米的速度,需要多长时间？2、港珠澳大桥沉管隧道约s 千米,若速度每小时70千米,通过沉管隧道需要多长时间？3、港珠澳大桥全长约55千米,若以每小时x 千米的速度,需要多长时间？4、港珠澳大桥沉管隧道约s 千米,若速度每小时（x+10）千米,通过沉管隧道需要多长时间？ 学生回答:通过观察发现,前两个是我们学过的分数、整式,那后两个不认识的我们称之为什么呢？今天这节课我们学习第十五章分式 从分数到分式一、探究新知1、观察式子:它们有什么相同点？有什么不同点？师生总结:相同点:从形式上都具有分数 A B形式；A 、B 、都是整式 不同点:前两个分母中不含字母,后两个分母中含有字母.2、分式定义:3、试一试:判断:下列式子那些是整式？那些是分式？,75-x ,3b a +,11a +,123+-a b ,54c b +.3π学生回答 4、已知分式242+-x x ,则 （1）当 x=1 时,分式的值是多少?（2）当x=-2时,你能求出分式的值吗?（3）当x=2时,分式的值是多少？学生讨论思考:求解发现问题并得出结论:我们知道,要使分数有意义,分数中的分母不能为0。
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新知探究
1你能用简便方法计算： 375X 2.8+375 X 4.9+375 X 2.3吗？
375X 2.8+375 X 4.9+375 X 2.3
观察：这个算式可以看成是 3个因式的和，每 =()X(
+ + ) 个因式中都有一个公因数 ______ ，我们把这个 =()X( ) 公因数提出来，计算就简便了。
2仿照上述方法，把多项式 ma mb mc 写成积的形式为 _______________________
多项式ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 ___________ ，我们称之为 __________ . 3练一练：找出下列多项式的公因式，并写在后边。
(1) 3X 2 + x
( 2) 4x + 6 (3) 3mb 2— 2nb (4) 7y 2— 21y 3 2 2 /、32 23
,、2 2 (5) 8a b + 12a b — ab ( 6) 7x y — 42x y
(7) 4a b -2ab + 6abc (8) 7(a — 3) -b(a — 3)
( 9) 9abc — 6a 2b 2 + 12abc 2 思考：通过上边的练习你会确定一个多项式的公因式吗？ 一个多项式的公因式一般由三部分组成，即：
① 系数：公因式的系数是 _____________________________________________
② 字母：公因式中的字母应取 _________________________________________
③ 指数： 相同字母的指数应取 ________________________________________
注意：一个多项式的公因式可以是 __________ ，还可以是 _____________ 。
4填空
2 2 (1) ma + mb+mc=m(
) (2) a b + ab =ab( ) (3) 3x 2— 6X 3=3X ( ) (4) 9abc — 6a 2b 2+ 12abc 2=3ab(
) 思考：上面的各小题你是如何填出来的？
类似的，多项式 ma + mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 __________ ，我们称之 为 _______ ，把它提出来，多项式 ma + mb+mc 就可以分解为两个因式 __________ 和 ___________ 的 ，像这种因式分解的方法，叫做 提公因式法 务必牢记。