数理逻辑1.5 (2)

关于规则的Байду номын сангаас用说明
1. 关于假设消去的顺序问题，为了保证各间接推理规则的正常使用， 规定：当有多个假设时，消去的顺序必须从最后一个假设开始消去。 2. 关于证明的终止问题。一个证明已终止；当且仅当所有的假设被消 去，且结论命题公式已经引出。如果用证明的格式判断：当第一行是前 提时，终止的结论命题公式应与第一行命题公式对齐；当第一行是假设 时，终止的结论命题公式应比第一行命题公式前移几格。 3. 关于推理规则的可靠性问题。前面曾给出可靠性的一种说法。与之 等价的另一种说法是：若前提均为永真命题公式，则应用诸推理规则所 得到的命题公式均为永真命题公式。 利用这种说法，很容易判断前提引入规则及各条直接推理规则的可靠 性。由于假设引入规则本身不是独立的，因此它的可靠性应与间接推理 规则放在一起来说明。
例如“ , ┝ ”意为在推理过程中，若及已经引出，那么便 可直接引出 。此规则所表示的逻辑关系是： () 。 当然，在以后的形式推理过程中，不进行后者的解释。
一般来说，间接推理规则上有下述形式 “若 ， |= ，则 ┝ ” 意指：若在前提集下，利用新的假设(额外假设)能够证明，则可消去 假设而直接引出 。然而在增加了假设之下引出的诸命题公式直到在以 后的证明过程中不允许再引用。
1.5
命题演算的形式推理
1.5.1 形式推理的一般概念 1.5.2 命题演算的自然推理系统 1.5.3 形式推理证明举例
1.5.1 形式推理的一般概念
通过前几节的介绍，不难发现大多数逻辑演算问题都与逻辑蕴涵的判断 有关。可以用下面的事实说明这一点。 1) 永真 当且仅当 2) 永真 当且仅当 3) 当且仅当 且 因此，研究 便成为逻辑演算的核心问题之一。 目前，在数理逻辑中，研究形式推理主要有两种方式， 一种是以规则为主的自然推理方法。这种方法主要以应用为背景。因此， 自然推理比较接近人们的直观，一般人容易接受。 一种是公理系统的方法。公理系统方法理论性较强，适用于从事数理逻 辑专门研究的理论工作者。 下面我们讨论自然推理的方法。因此，以下提到的形式推理均指自然推 理。
1.5.3 形式推理证明举例
例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8
|= |= () |= () () |= |= () |= |= () |=
一、直接引入规则
1) 前提引入规则，记为P。 可根据需要随时引入一个前提。 2) 假设引入规则，记为H。 可根据需要随时引入一个假设。 尽管前提与假设均可随时引入，但前提的引入是无后果的，而假设的 引入最终必须用间接规则消去。事实上，假设的引入往往是由某个间接 规则所启发的。因此，为了明确假设最终由哪个间接规则消去，并使证 明过程清晰自然，容易判断，我们约定：在每次引入一个假设时，应将 所引入的命题公式比上一行的命题公式后移几格，并在说明部分的规则H 之后注明启发该假设的规则名称。 例如，说明部分为“H(+)”表示该假设是由间接规则+所启发的。 当消去一个假设时，则将所引入的命题公式与该假设引入前的命题公 式对齐。前提的引入不需要考虑消去问题，因此只需与上一行的命题公 式对齐，并在说明部分写上P即可。
+(i)(j)
_ (i) _ (i)
+ (i) + (j) _(i)(j)
+ (i) (j)
_ (i) _ (i)
三、间接推理规则
1) 否定引入规则，记为+ , 其形式为 若 , (i) |= (j) ， (k) ， 则 ┝ (l) + (j)(k) | (i) 注意：在引入假设时，说明部分应写成H(+ )。 2) 否定消去规则，记为_ , 其形式为 若 , (i) |= (j) ， (k) ， 则 ┝ (l) _ (j)(k) | (i) 注意：在引入假设时，说明部分应写成H(_)。 3) 析取消去规则，记为_ , 其形式为 若 |= (i) , 且 (j) |= (l) , 且 (k) |= (m) , 则 ┝ (n) _(i)(l)(m) | (j)(k) 注意：第j行与第k行的说明部分均应写成H(_)。 4) 蕴涵引入规则，记为+ , 其形式为 若 , (i) |= (j)， 则 ┝ (k) + (j) | (i) 注意：第i行的说明部分应写成H(+)。
直到引出，则称此命题公式序列为在前提1,2,…,n下关于结论的一个 证明 1,2,…,n |= (*) 有时为了方便将前提集用表示，即 = {1, 2, …, n}。 关于(*)的逻辑关系，可以用下式解释： 12…n
在自然推理系统中，推理规则主要包括两大类，一类为直接推理规则， 另一类为间接推理规则或称为假设消去规则。 一般来说，直接推理规则具有下述形式 1,2,…,n┝ 意指：若在推理过程中 1,2,…,n 已经引出，则根据此规则可引出 。 如果用命题公式之间的逻辑关系来说明，那么此规则的含义可理解为 1 2 … n
下面仅以蕴涵引入规则为例加以说明，其它两条间接推理规则的说明 由留作课后习题。 设 = 12…n，于是按照前面关于推理规则所表示逻辑关系，蕴 涵引入规则是指 若 ，则 事实上 ( ) ( ) ( ) () 于是有 ( ) 永真当且仅当 () 永真。 因此，如果已证明出 ，即 ( ) 永真，则有() 永真，即 。 故当为永真命题公式时，则必为永真命题公式。这就说明蕴涵引 入规则是可靠的。
例3 如果小张缺席，那么不是小李就是小王缺席；如果小李缺席，则 小张就不会缺席；如果小赵缺席，则小王不会缺席。所以，如果小张缺席， 则小赵不会缺席。 解 命题符号化的形式为 A (BC) , B A , D C |= A D 其中 A: 小张缺席，B: 小李缺席，C: 小王缺席，D: 小赵缺席。
二、直接推理规则
1) 合取引入规则，记为+,, 其形式为 (i) , (j) ┝ (k) 2) 合取消去规则，记为_ , 其形式为 (i) ┝ (j) (i) ┝ (k) 3) 析取引入规则，记为+ , 其形式为 (i) ┝ (k) (j) ┝ (k) 4) 蕴涵消去规则，记为_ , 其形式为 (i) , (j) ┝ (k) 5) 等价引入规则，记为+ , 其形式为 (i) , (j) ┝ (k) 6) 等价消去规则，记为_ , 其形式为 (i) ┝ (j) (i) ┝ (k)
例1 如果天气晴朗，并且没有考试，则他们就外出郊游；结果他们并 没有外出郊游，而且也没有考试。所以，天气不好。 解 命题符号化后的形式为 (PQ) R , RQ |= P 其中 P: 天气晴朗。Q: 他们考试。R: 他们外出郊游。 例2 如果下雨，则交通困难；如果他们准点到达，则交通不困难。所 以，如果他们准点到达，则没有下雨。 解 命题符号化的形式为 P Q , R Q |= R P 其中 P: 天下雨。Q: 交通困难。R: 他们准点到达。
自然推理系统的主要特点是：允许直接引入前提或假设，然后应用一 些给定的推理规则，逐步引出一系列命题公式，直到所要证的命题公式 (结论)被引出。 设 1,2,…,n, 是命题公式。如果在1,2,…,n的假设下，根据一些给 定的推理规则(直接的或间接的)，可以构造出一个命题公式序列 1, 2,…,m
例如，“若， |= ，则 ┝ 。” 意为：若在增加了假设之下能够证明，则可消去假设而直接引入 。
由于间接规则的应用，若将诸前提i也看成是额外假设，可能导致具有 下述形式的证明： |= 这时称为可证命题公式。 如果用真假性来解释，可证命题公式即为永真命题公式。这条性质通常 称为可靠性。
1.5.2 命题演算的自然推理系统
自然推理系统的证明是按行进行的，而且每行只能写一个命题公式。其 一般格式如下 <标号部分> <命题公式> <说明部分> 1) 标号部分给出证明的步骤，而且是从第一步开始，逐步增加。如第i步 写成 (i) 等。 2) 命题公式为在本章中所定义的命题公式。其中不能带有命题公式定义 以外的字符，如逗号等是不允许的。 3) 说明部分是指出引入该命题公式的根据。一般来说，总是给出规则名 及某些辅助说明，以便验证。关于这一点，在下面给出规则时再作具体的 说明。 对于一行中各部分的位置做如下约定：标号部分及说明部分各行之间应 对齐，即下一行的相应部分的第一个字符与上一行应对齐。命题公式部分 除规则中有其它约定外，也应对齐。同时一行各部分之间也应留有适当的 空位，尤其是在命题公式与说明部分之间。
作为本节的结束，下面对如何评价一个形式推理系统做一点说明，以 便对一般的形式推理系统有一个比较全面的了解。 对于给定的一个形式推理系统，一般说可以从三个方面来进行评价， 即可靠性、完备性、独立性。 关于可靠性，在前面已做了说明，这里不再重复。 其次是完备性。就自然推理系统而言，完备性是指命题演算中的所有 永真命题公式均为该系统的可证公式。例如，命题演算中所有与的逻 辑蕴涵关系，均应在自然推理系统中得到证明。 这样，从理论上讲， 所有用真值表法或分析指派法能够证明的逻辑蕴涵关系，均可通过前面 定义的规则集给出证明。 最后是独立性。就自然推理系统而言，独立性是指如果从该系统中去 掉某一条规则，那么该系统就不是完备的。换句话说，该系统中的每一 条规则都是必不可少的。 这些性质的证明比较复杂，这里不做讨论，有兴趣的同学可参阅有关 参考书。
例4 若他竞技状态不好，他就不会取得好成绩；若他竞技状态良好， 他就会获得金牌；他要么取得好成绩，要么不参加这次比赛。所以，他如 果参加比赛，就会获得金牌。 解 命题符号化的形式为 P Q , P R , Q S |= S R 其中 P: 他竞技状态良好。 Q: 他取得好成绩。 R: 他获得金牌。 S: 他参加比赛。