浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题
浙江省杭州高中2018学年高二数学下学期期中考试
杭高2018学年第二学期期中考试高二数学试卷（文科）注意事项：1．本卷考试时间90分钟，满分100分。
2．本卷答案一律做在答卷页上，不得使用计算器。
一、选择题（每题3分）1、设a R，且(a i)2i为正实数，则a（）A．2B．1C．0D．12、若x(e1，1)，a lnx，b2lnx，c ln3x，则（）A．a<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a 3、函数f(x)lnx ax(a0)的单一增区间为（）A．(0,1)B．(1,)C．0,)D．(0,a)a a4、直线xcos+y-1=0(∈R)的倾斜角的范围是（）A．[0,)B．[4,3)C．[0,]D．[0,][3,) 44445、已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x+4y+4=0与圆C相切，则圆C的方程为（）A．x2+y2-2x-3=0B．x2+y2+4x=0C．x2+y2+2x-3=0D．x2+y2-4x=06、如图是函数f(x)x3bx2cx d的大概图象，y则x12x22等于（）x2 A2B4C8D12o x112x 33337、两圆x2+y2-6x+16y-48=0与x2+y2+4x-8y-44=0的公切线条数为（A．1B．2C．3D．41x8、已知函数f x log2x，若实数x0是函数f x的零点，且0x1x0，则f x 31的值（）A．恒为正当B．等于0C．恒为负值D．不大于09、定义在R上的函数f(x)知足f(log2(1x),x0，则f（2018）的值为() x)=f(x1)f(x2),x0A．-1B．0C．1D．log2610、若对于x，y的方程组ax by1有解，且全部的解都是整数，则不一样的直线L：x2y21ax by 1(a,b R)的条数为二、填空题（每题4分）11、已知直线l 122且l1与l2平行，则实数a= :ax+2y+6=0和直线l:x+(a-1)y+a-1=0,、设直线ax y+3=0与圆（x-1）2y-2)2订交于、B两点，且弦AB的长为23，则12-+(=4Aa=13、设函数f(x)=x-1,对随意x [1,），f(mx)+mf(x)<0恒建立，则实数m的取值范x 围是________14、已知函数f(xx5的零点x0a,b，且b a1，a，b N，则x)3ab.15、对于随意实数x,y规定运算：xy=ax+by+cxy，此中a,b,c是常数，等式右侧的运算是常的加法和乘法运算。
浙江高二高中数学期中考试带答案解析
浙江高二高中数学期中考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.设，若，则（）A．B．C．D．2.的极大值点是（）A．B．C．D．3.若，则下面四个式子中恒成立的是（）A．B．C．D．4.设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A．B．C．D．5.已知函数的极大值点和极小值点都在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．6.在直角坐标系中，直线的参数方程为.曲线的参数方程为，则直线和曲线的公共点有（）A．个B．个C．个D．无数个7.设，则三数中（）A．至少有一个不大于2B．都小于2C．至少有一个不小于2D．都大于28.用数学归纳法证明：，第二步证明“从到”，左端增加的项数是（）A．B．C．D．9.已知函数在处有极值，则函数的图象可能是（）A．B．C．D．10.已知，其中，如果存在实数，使，则的值（）A．必为正数B．必为负数C．必为非负数D．必为非正数二、填空题1.已知为抛物线上两点，点的横坐标分别为，过点分别作抛物线的切线，两切线交于点，则点的坐标为2.在极坐标系中，曲线，曲线，若曲线与交于两点，则线段的长度为3.两点等分单位圆时，有相应正确关系为；三点等分单位圆时，有相应正确关系为。
由此可以推知：四点等分单位圆时的相应正确关系为4.已知函数在上单调递减，则的取值范围是5.已知函数在上可导，且，比较大小： __6.设函数，对任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是7.若时，函数在上有且只有一个零点，则=三、解答题1.已知函数；（1）若在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，求实数的值；（2）当时，求证：当时，．2.设数列的前项和为，且对任意都有：；（1）求；（2）猜想的表达式并证明．3.以原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，过点的直线的参数方程为，设直线与曲线分别交于；（1）写出曲线和直线的普通方程；（2）若成等比数列,求的值．4.已知函数，；（1）讨论的单调性；（2）若在上的最大值为，求的值．5.函数；（1）若在处取极值，求的值；（2）设直线和将平面分成Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个区域（不包括边界），若图象恰好位于其中一个区域，试判断其所在区域并求出相应的的范围．浙江高二高中数学期中考试答案及解析一、选择题1.设，若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，，即，故选B。
2017-2018学年浙江省杭州市高二下学期年级教学质量检测数学试题Word版
2017-2018学年浙江省杭州市高二下学期年级教学质量检测数学试题Word版2017-2018学年浙江省杭州市高二下学期年级教学质量检测数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{1,2,}A m =，{3,4}B =.若{3}A B ?=，则实数m =（）A ．1B ．2C ．3D ．42.条件“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-有零点”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3.直线10x +=的倾斜角等于（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π4.设,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，（）A ．若αβ⊥，m α?，n β?，则m n ⊥B ．若//αβ，m α?，n β?，则//m nC ．若m n ⊥，m α?，n β?，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥5.已知实数,x y 满足20300x y x y y -≥??+-≤??≥?，则3x y -的最大值是（）A ．-5B ．0 C. 3 D ．56.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．433π+B ．43π+ C.43π+ D ．243π+ 7.在正方体1111ABCD A BC D -中，若点P 是线段1AD 的中点，则异面直线CP 与1BC 所成的角等于（）A ．6π B ．4π C.3π D ．2π 8.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后的图像的对称轴方程为（）A ．()26k x k Z ππ=+∈ B ．()26k x k Z ππ=-∈ C.()212k x k Z ππ=+∈ D ．()212k x k Z ππ=-∈ 9.已知数列{}n a 满足11a =，*12()n n a a n N +-≥∈，则（）A ．21n a n ≥+B ．12n n a -≥ C.2n S n ≥ D ．21n n S ≥-10.下列不等式成立的是（）A ．sin 5cos5>B ．sin(5)cos(5)->-C.sin5cos(5)-<- D ．sin(5)cos5-<-11.已知椭圆2212:1(1)x C y m m +=>与双曲线2222:1(0)x C y n n-=>的焦点重合，1e ，2e 分别为曲线1C ，2C 的离心率，则（）A ．m n >且121e e >B ．m n >且121e e <C.m n <且121e e > D ．m n <且121e e <12.在正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥）中，点E 在棱AB 上，满足2AE EB =，点F 为线段AC 上的动点.设直线DE 与平面DBF 所成的角为α，则（）A ．存在某个位置，使得DE BF ⊥B ．存在某个位置，使得4FDB π∠=C.存在某个位置，使得平面DEF ⊥平面DACD ．存在某个位置，使得6πα=二、填空题:本大题共7小题，第13～16题每题3分，第17～19每题4分，共24分.13.221log 20log 252-= ．14.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>C 的渐近线方程为．15.已知AB 为圆22:450C x y x +--=的弦，设点(3,1)P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为．16.若正实数,a b 满足1a b +=，则11a b a b +++的最大值为． 17.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1a c +=.若cos (cos )cos 0C A A B +=，则b 的取值范围是．18.设函数()()f x x R ∈满足2|()1|5f x x +-≤，3|()|5f x x -≤，则()f x = ． 19.若平面向量,a b 满足|||2|2a a b =+=，则a b ?的取值范围是．三、解答题：本大题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.20. 已知向量(2sin(),2a x π=-，2(sin ,2cos 1)()b x x x R =-∈.设()f x a b =?. （1）求()3f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间.21. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，侧面PAD 是正三角形，AD CD ⊥，22AD DC BC ===，PC =（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）求直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值.22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11n n n a a S λ+=-，其中0n a ≠，λ是常数，*n N ∈.（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得数列{}n a 为等差数列？并证明.23.已知抛物线2:2(0)y px p Γ=>的焦点F 到直线:20l x y -+=（1）求抛物线Γ的方程；（2）过点(1,0)作直线PA 交抛物线Γ于P ，A 两点，过点A 作直线BC 交抛物线Γ于点B ，交x 轴于点C .若点A 为线段BC 的中点，求||PB 的最小值.试卷答案一、选择题1-5: CADDC 6-10: BDACB 11、12：AC二、填空题13.2 14.y = 15.40x y +-= 16.23 17.1[,1)2 18. 3()5f x x =-19.[12,4]-- 三、解答题20.解：（1）因为2()(2sin(),(sin ,2cos 1)2f x a b x x x π=?=-?-22sin()sin 1)sin 222sin(2)23x x x x x x ππ=--=-=-所以()3f π=；（2）所以函数()f x 的最小正周期T π=，因为222232k x k πππππ-+<-<+，得51212k x k ππππ-+<<+，则函数的单调递增区间为5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈.21.证明：（1）因为PC =2AD DC PD ===，所以222PD DC PC +=，所以PCD 是直角三角形.所以CD PD ⊥，又因为CD AD ⊥，所以CD ⊥平面APD .因为CD ?平面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .（2）由（1）知平面PAD ⊥平面ABCD ，取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,1,0)A -，(2,0,0)B ，(2,1,0)C ，(0,1,0)D ，P .所以(2,1,0)AB =，(0,1,PD =，(2,0,0)CD =-，设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则020y x ?-=??-=??，取1z =，则(0,3,1)n =，所以||sin ||||AB n AB n α?=?==.22.解：（1）由11n n n a a S λ+-=，得1211n n n a a S λ+++=-.两式相减，得121()n n n n a a a a λ+++-=，因为10n a +≠，所以2n n a a λ+-=.（2）当1n =时，1211a a S λ=-，由11a =，得21a λ=-.由（1）知，31a λ=+.若数列{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=.所以24n n a a +-=，所以数列21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，即2143n a n -=-；数列2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，即241n a n =-，所以21n a n =-，即12n n a a +-=.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列.23.解：（1）设抛物线Γ的焦点为(,0)2P ，|2|p +=，解得2p =（负值舍去），所以抛物线Γ的方程为24y x =.（2）设直线PA 的方程为1x my =+，设11(,)P x y ，22(,)A x y ，联立214x my y x=+??=?，得2440y my --=，所以124y y =-，①设直线PB 的方程为x ny b =+，33(,)B x y ，联立24x ny b y x=+??=?，得2440y ny b --=，所以134y y b =-，②因为点A 为线段BC 的中点，所以232y y =，③由①，②，③得2b =，即直线PB 的方程为2x ny =+，因为216320n ?=+>，所以13|||PB y y =-===≥。
浙江省杭州学军中学2018_2019学年高二数学下学期期中试题(含解析)
杭州学军中学2019学年第二学期期中考试高二数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数()()+1=f x cosx sinx 的导数是（ ）． A. 2+cos x sinx B. 2cos x sinx - C. 2cos x cosx + D. 2cos x cosx -【答案】B 【解析】 【分析】由乘法求导法则求出函数的导数，再进行化简即可. 【详解】由()()+1=f x cosx sinx 可得：22()sin (sin 1)cos cos cos sin sin cos 2sin f x x x x x x x x x x '=-++⋅=--=-故答案选B【点睛】本题考查乘积的导数法则，熟练掌握乘积的导数法则和导数公式是解决本题的关键，属于基础题.2.若函数()321f x x x mx +++=是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）．A. 1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】若函数y=x 3+x 2+mx+1是R 上的单调函数，只需y′=3x 2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥13． 故选：C ．3.用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++()*n N ∈，则从k 到1k +时,左边所要添加的项是（ ）．A. 121k + B.112224k k -++C. 121k -+D. 112122k k -++ 【答案】D 【解析】分析：根据式子的结构特征，求出当n=k 时，等式的左边，再求出n=k+1 时，等式的左边，比较可得所求．详解：当n=k 时，等式的左边为111111...234212k k-+-++--，当n=k+1 时，等式的左边为11111111...234212212(1)k k k k -+-++-+--++，故从“n=k 到n=k+1”，左边所要添加的项是112122k k -++，故选D. 点睛：本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从n=k 到n=k+1项的变化．4.自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）． A. 相等 B. 互补 C. 无关 D. 相等或互补 【答案】C 【解析】解：利用二面角的定义，可知二面角内一点分别向两个面引垂线，它们所成的角与二面角的平面角相等或者互补，选C5.如图：抛物线24y x =的焦点为F ，弦AB 过F ，原点为O ，抛物线准线与x 轴交于点C ，135OFA ∠=︒，则tan ACB ∠等于（ ）．A.3B.2D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出抛物线焦点F 和准线方程l ，从而得到C 点坐标，由135OFA ∠=︒，可得直线AB 的方程，由AB 的方程与抛物线的方程联立消去y 得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系算出点A 与点B 的坐标，然后利用向量来求解.【详解】由抛物线24y x =可得：焦点F 坐标（1，0），准线方程l 为：1x =-；∴C 点坐标为（-1，0）；又弦AB 过F ，135OFA ∠=︒；∴直线AB 的斜率为1，方程为1y x =-，又点A 与点B抛物线上∴两方程联立214y x y x =-⎧⎨=⎩，得到2610x x -+=，解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，2232x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩故点(32A ++，点(32B --；∴(4CA →=++，(4CB →=-- ∴1cos 3CA CB ACB CA CB→→→→⋅∠==⋅，由于(0,)ACB π∠∈，故sin 3ACB ∠==； sintan cos ACBACB ACB∠∴∠==∠ ；故答案选D【点睛】本题考查抛物线的焦点坐标与准线方程，同时考查求根公式，最后利用向量的数量积求角的三角函数值是关键，属于中档题.6.已知点,E F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1,AB AA 的中点，点,M N 分别是线段1D E 与1C F 上的点，则与平面ABCD 垂直的直线MN 有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B 【解析】试题分析：过1A F 上的点作与平面ABCD 的平行平面，分别与线段1D E 与1C F 相交与,M N ，由面面平行的性质可得，MN 平行平面ABCD ，而这样的平面可以做无数个，故与平面ABCD 平行的直线MN 有无数条．考点：线面平行的判断．7.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，沿对角线BD 将ABD △折起，使A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上，若二面角C AB D --的平面角的大小为θ，则sin θ的值等（ ）．A.34D.45【答案】A 【解析】 【分析】根据题意证明CD ⊥平面ABC 以及AB ⊥平面ACD 即可说明CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，解CAD ∆即可得到答案.【详解】由A 点在平面BCD 内的射影落在BC 边上点O 处，故AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ；∴AO CD ⊥，在矩形ABCD 中，CD BC ⊥，且AO 交BC 于点O ，CD \^平面ABC ，又AB Ì平面ABC ，故CD AB ⊥，又在矩形ABCD 中，DA AB ⊥，且CD 交DA 于D ，故AB ⊥平面ACD ； 又AC ⊂平面ACD ，故AB AC ⊥， 由于CD AB ⊥，AB AC ⊥，平面CAB 平面DAB AB =，AD ⊂平面ABD ，AC ⊂平面ACB ；∴CAD ∠是二面角C AB D --的平面角，即=CAD θÐ，在CAD ∆中，由CD ⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，可知CD AC ⊥， 又矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，故3C D A B ==，4AD BC ==，故3s i n 4CD AD θ== 故答案选A【点睛】本题考查二面角的平面角及求法，线面垂直的证明以及性质，其中求出二面角的平面角是解题关键，属于中档题.8.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形共有（）．A. 25个B. 26个C. 36个D. 37个【答案】C【解析】设三角形另外两边为X,Yx+y>11x-y<11x<11,y<11且均为整数所以x,y中有个数最大为11最小的整数为1，最大边为11x=1的时候1个x=2的时候2个x=3的时候3个x=4的时候4个x=5的时候5个x=6的时候6个x=7的时候5个x=8的时候4个x=9的时候3个x=10的时候2个x=11的时候1个所以共有1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36．故选C。
浙江省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷(七)
浙江省2017—2018学年高二数学下学期期中模拟考试卷（七）（考试时间90分钟满分120分）一、单项选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1．抛物线y2=8x的焦点坐标是（）A．（﹣2，0）B．（0，﹣2）C．（2，0） D．（0，2）2．已知点A（﹣3，1，﹣4），则点A关于原点对称的点的坐标为（）A．（﹣3，﹣1，4） B．（﹣3，﹣1，﹣4）C．（3，1，4）D．（3，﹣1，4）3．椭圆=1的焦距是（）A．4 B．2 C．8 D．与m有关4．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx≠siny”的逆否命题为假命题D．命题“若x2+y2≠0，则x、y不全为零”的否命题为真命题5．设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1、F2，过点F2的直线交双曲线右支于不同的两点M、N．若△MNF1为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．不等式|2x+5|≥7成立的一个必要而不充分条件是（）A．x≠0 B．x≤﹣6 C．x≤﹣6或x≥1 D．x≥17．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=，且动点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．双曲线D．直线10．过点M（﹣2，0）的直线m与椭圆+y2=1交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1（k≠0），直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（）A．2 B．﹣2 C．D．﹣二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11．命题“存在实数x，使x＞1”的否定是．12．动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，则点P的轨迹方程为．13．P为椭圆上一点，F1、F2为左右焦点，若∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为．14．已知椭圆C：=1，斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，且|AB|=，则直线l的方程为．15．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1，若AB=2，AA1=1，则A到平面A1BC的距离．16．已知向量=（0，﹣1，1），=（4，1，0），|λ+|=且λ＞0，则λ=．17．已知抛物线y=2x2上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，且x1x2=﹣，那么m的值为．三、解答题（本题共5小题，共52分）18．已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．19．设命题p：“对任意的x∈R，x2﹣2x＞a”，命题q：“存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0”．如果命题p∨q为真，命题p∧q为假，求实数a的取值范围．20．已知=（1，2，3），=（1，0，1），=﹣2，=m﹣，求实数m的值，使得（1）；（2）．21．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A、B是抛物线C上异于O的两点．（1）求抛物线C的方程；（2）若OA⊥OB，求证直线AB过定点．22．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．参考答案一、单项选择题1．C．2．D．3．C．4．C．5．B．6．A．7．B．8．D．9．B．10．D．二、填空题11．解：根据特称命题的否定是全称命题：“存在实数x，使x＞1”的否定：对于任意的实数x，使得x≤1；故答案为：对于任意的实数x，使得x≤1；12．解：∵动点P到点（3，0）的距离比它到直线x=﹣2的距离大1，∴将直线x=﹣2向左平移1个单位，得到直线x=﹣3，可得点P到点（3，0）的距离等于它到直线x=﹣3的距离．因此，点P的轨迹是以（3，0）为焦点、x=﹣3为准线的抛物线，设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），可得=3，得2p=12∴抛物线的方程为y2=12x，即为点P的轨迹方程．故答案为：y2=12x13．解：由椭圆方程可知，a=5，b=3，∴c=4∵P点在椭圆上，F1、F2为椭圆的左右焦点，∴|PF1|+|PF2|=2a=10，|F1F2|=2c=8在△PF1F2中，cos∠F1PF2=====cos60°=∴72﹣4|PF1||PF2|=2|PF1||PF2|，∴|PF1||PF2|=12又∵在△F1PF2中，=|PF1||PF2|sin∠F1PF2∴=×12sin60°=3故答案为314．解：椭圆：=1，即：x2+3y2=3l：y=x+m，代入x2+3y2=3，整理得4x2+6mx+3m2﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|=•|x1﹣x2|=•==，．解得：m=±1．直线l：y=x±1．故答案为：y=x±1．15．解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为即∴∴h=．故答案为：．16．解：∵=（0，﹣1，1），=（4，1，0），∴λ+=（4，1﹣λ，λ），∴16+（λ﹣1）2+λ2=29（λ＞0），∴λ=3，故答案为：3．17．解：设直线AB的方程为y=﹣x+b，代入y=2x2得2x2+x﹣b=0，∴x1+x2=﹣，x1x2==﹣．∴b=1，即AB的方程为y=﹣x+1．设AB的中点为M（x0，y0），则x0==﹣，代入y0=﹣x0+1，得y0=．又M（﹣，）在y=x+m上，∴=﹣+m．∴m=．三、解答题18．解：∵椭圆方程为，∴椭圆的半焦距c==5．∴椭圆的焦点坐标为（±5，0），也是双曲线的焦点设所求双曲线方程为，则可得：∴所求双曲线方程为19．解：命题p：对任意的x∈R，x2﹣2x＞a，∴x2﹣2x的最小值大于a；x2﹣2x的最小值为：﹣1；∴﹣1＞a，即a＜﹣1；命题q：存在x∈R，使x2+2ax+2﹣a=0；即方程x2+2ax+2﹣a=0有实根；∴△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2，或a≥1；∵命题p∨q为真，命题p∧q为假，∴命题p，q中一真一假；∴若p真q假：，解得﹣2＜a＜﹣1；若p假q真：，解得a≥1；∴实数a的取值范围为（﹣2，﹣1）∪[1，+∞）．20．解：（1），，，∴m=0；（2）∵∥=λ，∴，∴．21．（1）解：依题意知，p=2，抛物线方程为y2=4x．…4'（2）证明：依题意知，设AB：x=ty+m，A（x1，y1），B（x2y2）…5'由OA⊥OB，则…6'，…7'∴…8'代入（1）式，得m2﹣4m=0，∴m=0或4．…9'∵A，B是抛物线上异于O的两点，∴m=0不合题意．因此m=4．∴AB：x=ty+4，∴直线AB过定点（4，0）．…10'22．证明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴=（0，1，1），=（2，0，0）∵•=0，∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），设平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，则=（2，1，1），则直线BE与平面PBD所成角θ满足：sinθ===，故直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．（Ⅲ）∵=（1，2，0），=（﹣2，﹣2，2），=（2，2，0），由F点在棱PC上，设=λ=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），故=+=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），由BF⊥AC，得•=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得λ=，即=（﹣，，），设平面FBA的法向量为=（a，b，c），由，得令c=1，则=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角α满足：cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值为：。
2017-2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(下)期中数学试卷和答案
10． （3 分）已知函数 f（x）=sinxcosx+cos2x，0≤x0＜x1＜x2＜…＜xn≤ （xn）﹣f（xn﹣1）|n∈N*，Sn=a1+a2+a3+…+an，则 Sn 最大值等于（ A． B． C． +1 D．2
，an=|f ）
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11． （4 分）已知 sinθ= ，则 cos2θ 的值为 12． （4 分）在△ABC 中，a2+b2﹣c2=ab，则角 C= ． ．
A．
B．
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C．
D．
8． （3 分）若 α、β 均为锐角，且 2sinα=sinαcosβ+cosαsinβ，则 α 与 β 的大小关系 为（ A．α＜β ） B．α＞β C．α≤β D．不确定 ，且
9． （ 3 分 ） P 为 △ ABC 内 部 一 点 ， 且 满 足 |PB|=2|PA|=2 ， ，则△ABC 的面积为（ A． B． C．1 ） D．
+kπ＜x＜
3． （3 分） 为了得到函数 A．向左平移 C．向右平移 4． （3 分）△ABC 中， A．直角三角形 = =
的图象， 只需把函数 y=sin3x 的图象 （ B．向左平移 D．向右平移 ，则△ABC 一定是（ C．等腰三角形 =（5，2） ， ） D．等边三角形 =（﹣1，4） ，则 ∙
（2）当 k 是奇数时，证明： （3）证明： + +…+ ＜3
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2017-2018 学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（下） 期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1． （3 分）cos35°cos25°﹣sin35°sin25°的值为（ A． B．cos10° C．﹣ ） D．﹣cos10°
2017-2018学年浙江省杭州地区高 第二学期期中六校联考数学试题(解析版)
2017-2018学年浙江省杭州地区高 第二学期期中六校联考数学试题一、单选题1．已知集合={1,2}A ， ={2,3}B ，则A B ⋃= （ ） A. {}2 B. {}1,2,3 C. {}1,3 D. {}2,3 【答案】B【解析】∵{}A 12=，， {}23B =，， ∴{}1,2,3A B ⋃=故选：B2．下列函数中是奇函数的为（ ）A. 1y x =-B. 2y x =C. y x =D. y x = 【答案】D【解析】1y x =-为非奇非偶函数， 2y x =与y x =为偶函数， y x =为奇函数. 故选：D3．点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx值为( )A.B. C.3 D. -3【答案】B 【解析】tan3003yx==-4．已知向量()2,1a =， (),2b x =-，若ab ，则a b +等于（ ）A. ()2,1--B. ()2,1C. ()3,1-D. ()3,1- 【答案】A【解析】因为向量()2,1a =， (),2b x =-， ab ，所以()2214x x ⨯-=⨯⇒=-，∴()2,1a =， ()4,2b =--， ()2,1a b +=--，故选A ．5．已知0α<， 2πβ<，满足cos 5α=， sin 10β=，求αβ+的值（ ）A.4π B. 4π或34π C. 24k ππ+ D. 34π【答案】D【解析】分析：首先根据三角恒等式由cos α， sin β求出sin α， cos β，根据两角和差的余弦公式，进行转化求解即可 详解：由题意，sin α=>，则42ππα<<，cos β=，根据两角和正弦公式得， ()sin 5105102αβ+=⋅+⋅=，所以34παβ+=，故正确答案为D.点睛：本题主要考查三角函数值的计算，结合两角和差的余弦公式是解决本题的关键，难点在于确定角的范围.6．△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，且a=1，B=45°，S △ABC =2，则△ABC 的外接圆的直径为（ ）A. 5B.C.D. 【答案】C【解析】分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得c =，则2222c o s 25b a c a c B =+-=，即5b =，2R ==，故正确答案为C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一. 7．已知函数()1423xx f x +=--，则函数()f x 的零点所在的区间为（ ）A. ()10-，B. ()0,1C. ()1,2D. ()2,3 【答案】C【解析】分析：将1x =， 2x =代入函数的表达式，从而得出()()120f f <，进而求出零点所在的区间. 详解：因为()1423xx f x +=--为连续函数， ()144330f =--=-<且()2168350f =--=>，∴()()120f f ⋅<，即函数()f x 的零点所在的区间为()1,2，故正解答案为C.点睛：本题考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题. 8．若,αβ均为锐角，()3sin 5ααβ=+=，则cos β=（ ）A.B. C. D. - 【答案】B【解析】试题分析：因为α是锐角，所以sin 2α=>，即42ππα<<．又β是锐角，且3sin()=52αβ+<，所以<2παβπ+<，所以()4cos 5αβ+=-，所以cos β＝[)cos ()αβα+-＝cos()cos αβα+＋sin()sin αβα+＝4355-+=A ． 【考点】1、同角三角函数间的基本关系；2、两角和与差的余弦；3、正弦函数的图象与性质．【易错点睛】本题在判断角α与αβ+的范围时是一个难点，同时也是一个易错点．如果只是一直盲目的运算，不根据条件判断出α的范围，再结合3sin()=5αβ+判断出αβ+的范围，那么很容易由sin()αβ+＝35，直接得出()4cos 5αβ+=±，从而错误地得到cos βC ． 9．设()1sin 1sin xx f x ee +-=+， 1,2,22x x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，且f （1x ）＞f （2x ），则下列结论必成立的是 （ ）A. 1x ＞2xB. 2212x x >C. 1x ＜2xD. 1x +2x ＞0【答案】B【解析】分析：根据条件判断函数是偶函数，结合条件判断函数的单调性，进行判断即可．详解：由函数()1sin 1sin xx f x ee +-=+，易得()()f x f x -=，即()f x 为偶函数，且在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上为递增，由偶函数的对称性，又()()12f x f x >，则12x x >，即2212x x >，故选B.点睛：本题主要考查函数单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．10．在ABC ∆中， 0P 是边AB 上一定点，满足014P B AB =，且对于边AB 上任一点P ，恒有00PB PC P B PC ⋅≥⋅，则 （ ）A. AC BC =B. AB AC =C. 2ABC π∠=D. 2BAC π∠=【答案】A【解析】分析：由题意，以点A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取()4,0B ，则()03,0P ，设()[](),00,4P a a ∈， ()00,C x y ，将向量的数量积利用坐标表示，可将问题转化为一元二次不等式恒成立问题，进而得02x =，即可得结果. 详解：由题意，以点A 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，取()4,0B ，则()03,0P ，设()[](),00,4P a a ∈， ()00,C x y ，则()4,0P B a =-，()00,PC x a y =-， ()01,0P B =， ()0003,PC x y =-，则()()0043a x a x --≥-，即()2004330a x a x -+++≥恒成立，所以()()20044330x x ⎡⎤∆=-+-+≤⎣⎦，即()2020x -≤，解得02x =，则易知点C 在边AB 的垂直平分线上，所以AC BC =，故选A.点睛：此题主要考查坐标法在解决平面向量问题中的应用，以及方程思想在解决平面向量中的体现，属于中高档题型，也是常考考点.在解决此类问题过程中，首先根据题目背景建立科学的直角坐标系，将向量问题转化为代数问题，经过向量的代数运算，通过向量的结果来解释相关的几何关系，从而问题可得解.二、填空题11．238=__________， log =__________. 【答案】 412【解析】2232338224⨯===， 1221log log 22==.故答案为：4，12. 12．在平行四边形ABCD 中， 3AB =， 2BC =， 1AB e AB=， 2AD e AD=，若12AC xe ye =+，则x =_______； y =_____________.【答案】 3 2【解析】分析：根据平行四边形法则及数乘向量的概念可得AC AB BC =+，及13AB e =， 22BC e =，进而可得结论.详解：由题意，根据向量加法的平行四边形法则，知AC AB BC =+，又13AB e =，22BC e =，所以1232AC e e =+，即3,2x y ==.点睛：本题主要考查了向量的加法，平面向量的基本定理及其意义的应用，属于基础题. 13．已知πtan 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan x =__________． 【答案】13【解析】∵πtan tanπtan 14tan 2π41tan 1tan tan 4x x x x x ++⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭-⋅，∴可得1tan 3x =，故答案为13． 14．在△ABC 中，若A=60°，C=45°，b=4，则此三角形的最小边是_____．【答案】4【解析】分析：由三角形内角和定理，算出18075B A C =︒--=︒，可得C 是最小内角，所以c 为此三角形的最小边，再根据正弦定理，即可得到答案．详解：由题意知，最小的边是c ， 180604575B =︒-︒-︒=︒，根据正弦定理sin sin c bC B =，得s i n 4s i n454s i n s i n 75b C c B ⨯︒====︒，故答案为4. 点睛：本题给出三角形的边和角，求它的最小边长．着重考查了三角形内角和定理和正弦定理解三角形等知识，属于基础题. 15．已知函数()224sin sin 2sin (0)24x f x x x ωπωωω⎛⎫=⋅+-> ⎪⎝⎭在区间3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[0， π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是__________．【答案】12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析：由正弦函数可知， ()2sin f x x ω=，根据三角函数的单调性得x ，则22ππωω⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，是函数含原点的递增区间列出不等式24{ 324ππωππω-≤-≥，再根据正弦函数在2,2k k Z ππ+∈取得最大值的性质解答即可.详解：由已知，根据二倍公式对函数解析式进行化简整理得， ()2sin f x x ω=，由()2222k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，得2222k k x ππππωωωω-+≤≤+，则24{ 324ππωππω-≤-≥，整理得203ω<≤，又函数在[]0,π上恰好取得一次最大值，根据正弦函数的性质可知22x k k Z πωπ=+∈，，即函数在22k x ππωω=+处取得最大值，可得02ππω≤≤，∴12ω≥，综上，可得1223ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，故答案是12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 点睛：本题主要考查正弦函数的图象和性质，研究有关三角的函数时要利用整体思想，灵活应用三角函数的图象和性质解题，属于基本知识的考查.16．已知向量a ， b 满足232a b a b -=+=，则a 的取值范围是______． 【答案】2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析：两次运用绝对值三角不等式36263626a b a b a b a b -++≥-++以及632663265b a a b b a a b a --+≤---=即可求出.详解：由22a b -=，得366a b -=，由32a b +=，得264a b +=， ∴64362636265a b a b a b a b a +=-++≥-++=，即2a ≤， ∵64632663265b a a b b a a b a -=--+≤---=，即25a ≥，从而可得a 的取值范围为225⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.点睛：本题考查了向量的模的计算以及绝对值三角不等式，此题的难点在于构造632663265b a a b b a a b a --+≤---=，属于基础题.三、解答题17．平面直角坐标系xOy 中，A （1，0），B （0，1），C （2，5），D 是AC 上的动点，满足()AD AC R λλ=∈． （1）求2AB AC +的值； （2）求cos ∠BAC ；（3）若BD BA ⊥，求实数λ的值．【答案】（1）52；（2）（3）12【解析】试题分析：（1）由题意，根据平面向量的坐标表示及运算法则，结合向量模的坐标运算，从而问题可得解决；（2）根据向量数量积的定义，以及数量积、模的坐标表示，进行转化运算，从而问题可得解；（3）根据共线坐标的坐标表示及运算，结合垂直向量的坐标运算，从而问题可得解. 试题解析：（1）因为，，所以（2）因为所以（3）)因为，所以即（λ+1）×1+（5λ﹣1）×（﹣1）=0，解得点睛：此题主要考平面向量的坐标表示，以及平面向量的模、共线、垂直、数量积、夹角的坐标运算等有关方面的知识与技能，属于中档题型.通过坐标表示平面向量数量积有有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科.18．设函数()πcos 23f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． （1）求函数的单调递增区间； （2）求在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，函数的值域．【答案】（1）πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦；（2）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦公式以及两角和的正弦公式化简()f x ，可得()π26f x sin x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，由πππ2π22π262k x k -+≤+≤+解不等式可得函数的单调递增区间；（2）由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，从而根据正弦函数的性质可得函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 试题解析：（1）()π11πcos 2cos2cos2sin 23226f x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令πππ2π22π262k x k -+≤+≤+， k Z ∈， 则ππππ36k x k -+≤≤+， k Z ∈，∴函数()f x 的单调递增区间为πππ,π36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦， ()k Z ∈．（2）∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ∴π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【方法点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式以及三角函数的单调性，属于中档题. ()sin y A x ωϕ=+的函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间， 2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.19．在锐角ABC 中， a ， b ， c 为内角A ， B ， C 的对边，且满足()2cos 0c a cosB b A --=．（1）求角B 的大小．（2）已知2c =，边AC边上的高BD =ABC 的面积S 的值． 【答案】（1）3π；（2【解析】试题分析：（1）由()2cos 0c a cosB b A --=，利用正弦定理和三角函数的恒等变换， 可得1cos 2B =，即可得到角B 的值； （2）由三角形的面积公式，代入c ，解得,sin BD B 的值，及b 的值，再根据余弦定理，求得,a b 的值，由三角形的面积公式，即可求解三角形的面积. 试题解析：（1）∵()2cos 0c a cosB b A --=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C A B B A --=， ∴()2sin sin sin cos C A cosB B A -=，()2sin cos sin 0C B A B -+=，∵πA B C +=-且sin 0C ≠，∴1cos 2B =， ∵()0,πB ∈， π3B =． （2）∵11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入c ，BD =，sin B =b =，由余弦定理得： 22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入b =，得29180a a -+=，解得3{a b ==，或6{a b ==，又∵锐角三角形，∴222a cb <+，∴3a =，∴11sin 2322ABCSac B ==⨯⨯=20．已知0a ≥ ，函数()24f x x x a a =--+.（Ⅰ）若1a =,求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若函数()f x 在[]1,4上不．单调，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）若12,x x 是函数()()g x f x t =-（t 为实数）的其中两个零点，且12x a x ≤<，求当,a t 变化时， 12x x +的最大值.【答案】（Ⅰ）[)7,-+∞（Ⅱ）02a ≤<（Ⅲ）4 【解析】试题分析：（1）由1a =，得()2245,1,{43,1,x x x f x x x x -+≥=+-<然后分段求值域即可；（2）分类讨论a ，明确函数的单调区间，从而得到实数a 的取值范围；(3) 对a 的取值进行分类讨论，分别用a 表示12x x +，分析其单调性后，可得12x x +的取值范围，进而得到最大值. 试题解析：（Ⅰ）解：由1a =，得()22245,1,411{ 43,1,x x x f x x x x x x -+≥=--+=+-<当1x ≥时，2451x x -+≥，当1x <时， 2437x x +-≥-， ∴函数()f x 的值域是[)7,-+∞.（Ⅱ）解： ()22245,,4{43,.x x a x a f x x x a a x x a x a -+≥=--+=+-<当2a ≥时，函数()f x 在(]1,4上单调递增；当12a <<时，函数在(]1,a ， (]2,4上单调递增，在(],2a 上单调递减；当01a ≤≤时，函数在(]1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增； ∴ 02a ≤<.（III ）解： ()22245,,4{43,,x x a x a f x x x a a x x a x a -+≥=--+=+-<记()2145f x x x a =-+，()2243f x x x a =+-.当()1254t f a ≥=-时，方程245x x a t -+=的根分别为1222αα==；当()2234t f a ≥-=--时，方程243x x a t +-=的根分别为1222ββ=-=-.12x a x ≤<， ∴ 54t a ≥-.（1）当02a ≤<时， ①当()2t f a a a >=+时，第 11 页 共 11 页121222x x αβ+=+=0==≤. ②当254a t a a -≤≤+时，121122x x αβ+≤+==224a a =-++=.（2）当2a ≥时，12220x x +==<. 综上所述， 12x x +的最大值为4.。
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二(上)期中数学试卷(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.直线x+y+1=0的倾斜角是（）A. B. C. D.2.若直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，则实数a=（）A. 1B.C.D.3.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值是（）A. B. C. 1 D. 94.圆：x2+y2-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A. 2B.C.D.5.如图，已知A（4，0）、B（0，4），从点P（2，0）射出的光线经直线AB反向后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）A.B. 6C.D.6.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（）A.B.C.D.7.如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（）A.B.C.D. 08.已知集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r}，集合B={（x，y）|x2+y2≤r2}，若A⊂B，则实数r可以取的一个值是（）A. B. C. 2 D.9.已知圆M：（x-2）2+（y-3）2=4，过点P（a，0）存在圆M的割线PAB，使得|PA|=|AB|，则点P的横坐标a的取值范围是（）A. B.C. D.10.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为（）A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.直线x-3y+1=0关于直线x+y=0对称的直线方程是______12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a=______．13.已知P（x，y）满足，则点Q（x-y，y）构成的图形的面积为______．14.有且只有一对实数（x，y）同时满足：2x+y-m=0与x2+y2=3（y≥0），则实数m的取值范围是______15.异面直线a，b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为______．16.在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C（C为圆心）与直线l交于另一点D．若=0，则点A的坐标为______17.在平面直角坐标系xOy中，点A（3，0），直线l：y=2x+4，设圆C的半径为1，圆心C在直线l上，若圆C上存在点M，使|MA|=2|MO|，则圆心C的横坐标a的取值范围是______三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知圆C：x2+（y-1）2=5，直线l：mx-y+1-2m=0．（1）求证：不论m取何实数，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）设直线l与圆C交于点A，B，当|AB|=2时，求直线l的方程．19.已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=120°，四边形BDEF是矩形，且BF⊥平面ABCD，BF=．（1）求证：CF∥平面ADE；（2）设EF中点为G，求证AG⊥平面CEF．20.已知：以点，，为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O、B，其中O为原点，（1）求证：△OAB的面积为定值；（2）设直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，若OM=ON，求圆C的方程．E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，且AB=BC=，AC=2，AA1=．（1）证明：AC⊥FG；（2）证明：直线FG与平面BCD相交；（3）求直线BD与平面BEC1所成角的正弦值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵直线方程为x+y+1=0，∴化简得y=-x-1，直线的斜率为k=-1，设直线的倾斜角为α，则tanα=-1，∵α（0，π），∴，即直线x+y+1=0的倾斜角是．故选：D．根据题意可得直线的斜率k=-1，由直线的斜率与倾斜角的关系及倾斜角的范围，可得直线的斜率角．本题给出直线的方程，求直线的倾斜角．考查了直线斜率与倾斜角的关系和倾斜角的范围等知识，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直，∴a×1+2×1=0，解得a=-2故选：B．由直线的垂直关系可得a×1+2×1=0，解方程可得．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．3.【答案】A【解析】解：x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A（-6，-3），则z=2x+y 的最小值是：-15．故选：A．画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．4.【答案】B【解析】解：圆x2+y2-2x-2y+1=0可化为标准形式：（x-1）2+（y-1）2=1，∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x-y=2的距离，则所求距离最大为，故选：B．先将圆x2+y2-2x-2y+1=0转化为标准方程：（x-1）2+（y-1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x-y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．5.【答案】A【解析】解：点P关于y轴的对称点P′坐标是（-2，0），设点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″（a，b）∴，解得，∴光线所经过的路程|P′P″|=2，故选：A．设点P关于y轴的对称点P′，点P关于直线AB：x+y-4=0的对称点P″，由对称特点可求P′和P″的坐标，在利用入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，光线所经过的路程|P′P″|．本题考查求一个点关于直线的对称点的方法（利用垂直及中点在轴上），入射光线上的点关于反射轴的对称点在反射光线所在的直线上，把光线走过的路程转化为|P′P″|的长度，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：连接A1C1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，∴A1A⊥平面A1B1C1D1，则∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成角．在△AC1A1中，sin∠AC1A1===．故选：D．由题意连接A1C1，则∠AC1A1为所求的角，在△AC1A1计算．本题主要考查了求线面角的过程：作、证、求，用一个线面垂直关系．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查异面直线所成的角，建立空间直角坐标系是解决问题的关键．以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可得和的坐标，进而可得cos＜，＞，可得答案．【解答】解：以DA，DC，DD1所在直线方向x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则可得A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0）∴=（-1，0，-1），=（1，-1，-1）设异面直线A1E与GF所成角的为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=0，故选D．8.【答案】A【解析】解：集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r}={（x，y）|（x-）2+（y-）2≤r+}，集合B={（x，y）|x2+y2≤r2}，A，B分别表示圆及其内部，∵A⊆B，则两圆内切或内含，且圆心距为；将选项A、B、C、D代入r-验证可得，A成立．故选：A．化简集合A，可知A，B分别表示圆及其内部，由圆的相关知识代入验证．本题考查了集合的化简及集合的几何意义，同时考查了集合的包含关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．9.【答案】C【解析】解：由圆M：（x-2）2+（y-3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|2-4，∵|PA|=|AB|，|PM|2=（a-2）2+32，∴2|AB|2=（a-2）2+9-4，化为（a-2）2=2|AB|2-5，∵|AB|≤2r=4，∴（a-2）2≤2×42-5=27，解得．故选：C．由圆M：（x-2）2+（y-3）2=4，可得圆心M（2，3），r=2．根据割线定理可得|PA|•|PB|=（|PM|+r）（|PM|-r）=|PM|2-4，再利用|PA|=|AB|≤2r，|PM|2=（a-2）2+32，即可得出．本题考查了圆的标准方程及其性质、中点坐标公式、切割线定理、不等式的解法等基础知识与基本方法，属于难题．10.【答案】D【解析】解：连接BC1，则BC1∩B1C=E，点P、E、F在平面BC1D1中，且BC1⊥C1D1，C1D1=1，BC1=，如图1所示；在Rt△BC1D1中，以C1D1为x轴，C1B为y轴，建立平面直角坐标系，如图2所示；则D1（1，0），B（0，），E（0，）；设点E关于直线BD1的对称点为E′，∵BD1的方程为x+=1①，∴k EE′=-=，∴直线EE′的方程为y=x+②，由①②组成方程组，解得，直线EE′与BD1的交点M（，）；所以对称点E′（，），∴PE+PF=PE′+PF≥E′F=．故选：D．连接BC1，得出点P、E、F在平面BC1D1中，问题转化为在平面内直线BD1上取一点P，求点P到定点E的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，利用平面直角坐标系，求出点E关于直线BD1的坐标即可．本题考查了空间几何体中距离和的计算问题，解题的关键是把空间问题转化为平面问题解答，是难题．11.【答案】3x-y+1=0【解析】解：联立，解得x=-，y=，可得交点M（-，），在直线x-3y+1=0上取一点P（2，1），设点P关于直线x+y=0的对称点为Q（a，b）．则，解得：a=-1，b=-2．∴Q（-1，-2）．∴直线x-3y+1=0关于直线x+y=0对称的直线方程是y+2=（x+1），化为：3x-y+1=0．故答案为：3x-y+1=0．联立，解得交点M，在直线x-3y+1=0上取一点P（2，1），设点P关于直线x+y=0的对称点为Q（a，b）．可得，解得Q坐标．即可直线x-3y+1=0关于直线x+y=0对称的直线方程．本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】2【解析】解：由题意知三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a，得到三棱柱的底面边长是，∴底面面积是=三棱柱的高是2，∴三棱柱的体积是∴a=2故答案为：2三棱柱的底面是一个正三角形，一条边上的高是a，得到三棱柱的底面边长是，表示出三棱柱的底面面积，利用三棱柱的体积公式写出体积的表示式，得到关于a的方程，求出a的值．本题考查由三视图还原几何体并且求几何体的体积，本题解题的关键是看出几何体中各个部分的长度，本题是一个基础题．13.【答案】2【解析】解：令x-y=u，y=v，则点Q（u，v）满足，在平面内画出点Q（u，v）所构成的平面区域如图所示，它是一个平行四边形，且OB=1，由，解得A（2，-1）；∴平行四边形的面积为2S△OAB=2××1×2=2．故答案为：2．设点Q（u，v），则x-y=u，y=v，可得关于u、v的不等式组，画出不等式组表示的平面区域，求出区域的面积即可．本题考查了线性规划的应用问题，正确画出可行域是解题的关键，是基础题．14.【答案】[-2，∪{}【解析】解：由题意得，直线2x+y-m=0与半圆x2+y2=3（y≥0）有且只有一个公共点，若直线2x+y-m=0与半圆x2+y2=3（y≥0）相切，则，∴m=；若直线2x+y-m=0过点（-，0），则m=-2；若直线2x+y-m=0过点（，0），则m=2；综上可知：-2≤m＜2或m=．故答案为：[-2，2）∪{}．画出直线2x+y-m=0与半圆x2+y2=3（y≥0）可知m的取值范围．本题主要考查直线和圆的位置关系的判，画图形是解决本题的关键．15.【答案】[30°，90°]【解析】解：如图作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，∠POP'=30°．在平面α中，所有与OP'平行的线与b′的夹角都是30°．在平面α所有与OP'垂直的线∵PP'⊥平面α，∴该线⊥PP′，则该线⊥平面OPP'，∴该线⊥b'，与b'的夹角为90°，与OP'夹角大于0°，小于90°的线，与b'的夹角为锐角且大于30°．∴直线b与c所成的角的范围[30°，90°]．故答案为：[30°，90°]．作b的平行线b′，交a于O点，所有与a垂直的直线平移到O点组成一个与直线a垂直的平面α，O点是直线a与平面α的交点，在直线b′上取一点P，作垂线PP'⊥平面α，交平面α于P'，∠POP'是b′与面α的线面夹角，在平面α所有与OP'垂直的线，由此能求出直线b与c所成的角的范围．本题考查异面直线所成角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．16.【答案】A（3，6）【解析】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x-5）（x-a）+y（y-2a）=0．联立，∴或∴D（1，2），∵=0，∴（5-a，-2a）•（，2-a）=0∴=0，解得：a=3或a=-1．又a＞0，∴a=3．即A的坐标为（3，6）．故答案为：（3，6）设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．17.【答案】[-，-2]∪[-，]【解析】解：根据题意，因为圆C的圆心在直线y=2x+4上，所以设圆心C为（a，2a+4），则圆C的方程为：（x-a）2+[y-（2a-4）]2=1．又|MA|=2|MO|，设M为（x，y），则有（x-3）2+y2=4（x2+y2），变形可得：（x+1）2+y2=4，则M的轨迹是以（-1，0）为圆心，半径为2的圆，设该方程对应的圆为D，所以点M应该既在圆C上又在圆D上，且圆C和圆D有交点；则有|2-1|2≤（a+1）2+（2a+4）2≤|2+1|2，即1≤5a2+18a+17≤9，解可得：-≤a≤-2或-≤a≤，即a的取值范围为[-，-2]∪[-，]；故答案为：[-，-2]∪[-，]．根据题意，设圆心C为（a，2a+4），可得圆C的方程，设M为（x，y），结合题意求出M的轨迹方程，分析可得M的轨迹是以（-1，0）为圆心，半径为2的圆，设该方程对应的圆为D，据此可得圆C和圆D有交点；则有|2-1|2≤（a+1）2+（2a+4）2≤|2+1|2，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及与圆的轨迹方程，关键是求出M的轨迹，属于基础题．18.【答案】解：（1）证明：圆C：x2+（y-1）2=5的圆心C（0，1），半径r=，直线l：mx-y+1-2m=0即m（x-2）-（y-1）=0，恒过定点（2，1），设P（2，1）；则|CP|==2＜r=，则P在圆C的内部，故不论m取何实数，直线l与圆C总有两个不同的交点；（2）根据题意，若直线l与圆C交于点A，B，当|AB|=2时，则圆心C到直线l的距离d==，分2种情况讨论：①，当AB的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，此时圆心C到直线l的距离d=2，不符合题意；②，当AB的斜率存在时，设直线l的方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0，有d==，解可得：k=±1，则直线l的方程的方程为x-y-1=0或x+y-3=0．【解析】（1）根据题意，分析圆C的圆心与半径，直线l恒过定点（2，1），设P（2，1）；据此分析可得P在圆内，即可得结论；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得圆心C到直线l的距离d==，分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出k的值，代入直线的方程即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长公式的计算，注意直线l恒过的定点，属于基础题．19.【答案】（1）证明：∵BC∥AD，BF∥DE，BC∩BF=B，∴平面BCF∥平面ADE，∵CF⊂平面BCF，∴CF∥平面ADE；（2）证明：∵AE=AF，又G为EF中点，∴AG⊥EF，∵AG=CG=，又AC=2，∴AG2+CG2=AC2，∴AG⊥CG，又∵EF∩CG=G，∴AG⊥平面CEF．【解析】（1）要证CF∥平面ADE，需证平面BCF∥平面ADE，要证平面BCF∥平面ADE，需证BC∥AD，BF∥DE，明显成立；（2）要证AG⊥平面CEF，需证AG⊥EF，AG⊥CG．分别用等腰三角形和勾股定理证明．本题考查直线面平行、线面垂直的判定，熟练掌握判定定理是关键．20.【答案】解：（1）∵圆C过原点O，∴，设圆C的方程是，令x=0，得，，令y=0，得x1=0，x2=2t∴△ ，即：△OAB的面积为定值；（2）∵OM=ON，CM=CN，∴OC垂直平分线段MN，∵k MN=-2，∴，∴直线OC的方程是，∴，解得：t=2或t=-2，当t=2时，圆心C的坐标为（2，1），，此时C到直线y=-2x+4的距离圆C与直线y=-2x+4相交于两点，当t=-2时，圆心C的坐标为（-2，-1），，此时C到直线y=-2x+4的距离，圆C与直线y=-2x+4不相交，∴t=-2不符合题意舍去，∴圆C的方程为（x-2）2+（y-1）2=5．【解析】（1）求出半径，写出圆的方程，再解出A、B的坐标，表示出面积即可．（2）通过题意解出OC的方程，解出t 的值，直线y=-2x+4与圆C交于点M，N，判断t是否符合要求，可得圆的方程．本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程等有关知识，是中档题．21.【答案】证明：（1）在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF．∵AB=BC．∴AC⊥BE，∴AC⊥平面BEF．又G是B B1中点，B B1∥EF，∴G在平面BEF内，∴AC⊥FG．（3分）（2）设EF∩CD=M，则FM=，又BG=，∴四边形BGFM是梯形，∴直线FG与直线MB相交，∴直线FG与平面BCD相交．（6分）解：（3）过D作DO⊥C1E于点O，连BO，由题意BE⊥平面ACC1A1，∴DO⊥BE，∴DO⊥平面BEC1，∴∠DBO就是直线BD与平面BEC1所成角，∵AB=BC=，AC=2，AA1=．∴BD=，DO=，∴直线BD与平面BEC1所成角的正弦值sin∠DBO==．（12分）【解析】（1）推导出AC⊥EF，AC⊥BE，从而AC⊥平面BEF，由G是B B1中点，得B B1∥EF，由此能证明AC⊥FG．（2）设EF∩CD=M，则四边形BGFM是梯形，从而直线FG与直线MB相交，由此能证明直线FG与平面BCD相交．（3）过D作DO⊥C1E于点O，连BO，则DO⊥BE，从而DO⊥平面BEC1，∠DBO 就是直线BD与平面BEC1所成角，由此能求出直线BD与平面BEC1所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．。
浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高考数学模拟试卷(理科)(10月份) Word版含解析
2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣34．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=，S n=．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=；若f（a）=﹣1，则a=．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．20．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．2016年浙江省杭州市学军中学高考数学模拟试卷（理科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，B={x|x＞2或x＜0}，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．∅D．（﹣2，1）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集R及A，求出A的补集，找出B与A补集的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|x＜﹣2或x＞1}，∴∁R A={x|﹣2≤x≤1}，集合BB={x|x＞2或x＜0}，∴（∁R A）∩B={x|﹣2≤x＜0}=[﹣2，0），故选：B．2．已知直线l，m和平面α，则下列正确的是（）A．若l∥m，m⊂α，则l∥αB．若l∥α，m⊂α，则l∥mC．若l⊥m，l⊥α，则m⊥αD．若l⊥α，m⊂α，则l⊥m【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定．【分析】根据线面平行的判定定理三个条件一个都不能少，可判断A的真假；根据线面平行的几何特征，及空间直线关系的分类和定义，可判断B的真假；根据线线垂直及线面垂直的几何特征，可以判断C的真假；根据线面垂直的性质（定义）可以判断D的真假；【解答】解：若l∥m，m⊂α，当l⊂α，则l∥α不成立，故A错误若l∥α，m⊂α，则l∥m或l，m异面，故B错误；若l⊥m，l⊥α，则m⊂α或m∥α，故C错误；若l⊥α，m⊂α，根据线面垂直的定义，线面垂直则线垂直面内任一线，可得l⊥m，故D正确故选D3．若“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A．a≥1 B．a≤1 C．a≥﹣3 D．a≤﹣3【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件即可得出．【解答】解：∵“x＞a”是“x＞1或x＜﹣3”的充分不必要条件，如图所示，∴a≥1，故选：A．4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．16 B．26 C．32 D．20+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图可得三棱锥的一侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，把数据代入棱锥的表面积公式计算即可．【解答】解：根据三视图知：该几何体是三棱锥，且三棱锥的一个侧棱与底面垂直，高为4，如图所示：其中SC⊥平面ABC，SC=3，AB=4，BC=3，AC=5，SC=4，∴AB⊥BC，由三垂线定理得：AB⊥BC，S△ABC=×3×4=6，S△SBC=×3×4=6，S△SAC=×4×5=10，S△SAB=×AB×SB=×4×5=10，∴该几何体的表面积S=6+6+10+10=32．故选：C．5．已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx 的图象，只要将y=f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由函数的周期求得ω=2，可得函数的解析式．再根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：已知函数f（x）=cos（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为π，∴=π，∴ω=2，可得：g（x）=cos2x，∴可得：f（x）=cos（2x+）=cos[2（x+）]，∴为了得到函数g（x）=cos2x的图象，只要将y=f（x）的图象向右平移个单位即可．故选：D．6．设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则平面区域内必存在一个点在直线x0﹣2y0=3的下方，由图象可得m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面如图：交点A的坐标为（﹣m，m），直线x0﹣2y0=3的斜率为，截距式方程为y0=x0﹣，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＞3，则点A（﹣m，m）必在直线x﹣2y=3的下方，即﹣m﹣2m＞3，解得m＜﹣1．故m的取值范围是：（﹣∞，﹣1）．故选：D．7．如图，三棱锥P﹣ABC，已知PA⊥面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，设PD=x，∠BPC=θ，记函数f（x）=tanθ，则下列表述正确的是（）A．f（x）是关于x的增函数B．f（x）是关于x的减函数C．f（x）关于x先递增后递减D．关于x先递减后递增【考点】空间点、线、面的位置；棱锥的结构特征．【分析】由PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，利用x表示PA，PB，PC，由余弦定理得到关于x的解析式，进一步利用x表示tanθ，利用基本不等式求最值；然后判断选项．【解答】解：∵PA⊥平面ABC，AD⊥BC于D，BC=CD=AD=1，PD=x，∠BPC=θ，∴可求得：AC=，AB=，PA=，PC=，BP=，∴在△PBC中，由余弦定理知：cosθ==∴tan2θ=﹣1=﹣1=，∴tanθ==≤=（当且仅当x=时取等号）；所以f（x）关于x先递增后递减．故选：C．8．已知双曲线﹣=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B的坐标，代入双曲线方程，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系可得a，c的关系．由离心率公式计算即可得到．【解答】解：∵过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，∴|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得==∴x=，y=，∴B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，则c==a，即有e==．故选C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．若2sinα﹣cosα=，则sinα=，tan（α﹣）=3．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据已知及同角三角函数的基本关系式，建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵2sinα﹣cosα=，∴cosα=2sinα﹣，∵sin2α+cos2α=1，∴sin2α+（2sinα﹣）2=1，即5sin2α﹣4sinα+4=0，∴解得：sinα=，∴cosα=2×﹣=﹣，tan=﹣2，∴tan（α﹣）===3．故答案为：，3．10．已知直线l：mx﹣y=1，若直线l与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，则m的值为0或2，动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长为2．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直的性质能求出m；求出圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心、半径，由直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，由此能求出动直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的最短弦长．【解答】解：∵直线l：mx﹣y=1与直线x+m（m﹣1）y=2垂直，∴m×1+（﹣1）×m（m﹣1）=0，解得m=0或m=2．圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0的圆心C（1，0），半径r==3，直线l：mx﹣y=1过定点P（0，﹣1），当直线l与定点P（0，﹣1）与圆心C（1，0）的连线垂直时，直线l被圆C：x2﹣2x+y2﹣8=0截得的弦长最短，∵|PC|==，∴最短弦长为：2=2．故答案为：0或2，2．11．已知等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，则q=2，S n=（2n﹣1）．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列性质和等比数列通项公式列出方程组，求出公比和首项，由此能求出公比和前n项和．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比q＞0，前n项和为S n．若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6=64，∴，解得．∴=．故答案为：2，．12．设函数f（x）=，则f（f（4））=5；若f（a）=﹣1，则a=1或．【考点】分段函数的应用；函数的值．【分析】直接利用分段函数，由里及外求解函数值，通过方程求出方程的根即可．【解答】解：函数f（x）=，则f（4）=﹣2×42+1=﹣31．f（f（4））=f（﹣31）=log2（1+31）=5．当a≥1时，f（a）=﹣1，可得﹣2a2+1=﹣1，解得a=1；当a＜1时，f（a）=﹣1，可得log2（1﹣a）=﹣1，解得a=；故答案为：5；1或．13．如图，在二面角A﹣CD﹣B中，BC⊥CD，BC=CD=2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB=3．现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】根据条件利用向量法得到=++，利用三角函数的有界性转化为不等式问题进行求解就．【解答】解：由题意得⊥，，设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角A﹣CD﹣B的夹角为θ，则＜，＞=θ，∵=++，∴平方得2=2+2+2+2•+2•+2•，设AD=x，∵BC=CD=2，AB=3∴9=x2+4+4﹣4cosθx，即x2﹣4cosθx﹣1=0，即cosθ=∵﹣1≤cosθ≤1，∴﹣1≤≤1，即，即，则．∵x＞0，∴﹣2≤x≤+2，即AD的取值范围是，故答案为：14．已知实数a，b∈R，若a2﹣ab+b2=3，则的值域为．【考点】基本不等式．【分析】a2﹣ab+b2=3，可得ab+3=a2+b2≥2|ab|，因此﹣1≤ab≤3，令ab=t∈[﹣1，3]．==t﹣2+=f（t）．利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：∵a2﹣ab+b2=3，∴ab+3=a2+b2≥2|ab|，∴﹣1≤ab≤3，当且仅当a=b=±时取右边等号，ab=﹣1时取左边等号．令ab=t∈[﹣1，3]．则==t﹣2+=f（t）．f′（t）=1﹣==∴f（t）在[﹣1，3]上单调递增．f（﹣1）=0，f（3）=．∴f（t）∈．故答案为：．15．在△OAB中，已知||=，||=1，∠AOB=45°，若=λ+μ，且λ+2μ=2，则在上的投影的取值范围是．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由=λ+μ，且λ+2μ=2，得到= [λ+（1﹣）]，展开多项式乘多项式，求得=1+，再求出，代入投影公式，对λ分类求解得答案．【解答】解：由=λ+μ，且λ+2μ=2，则= [λ+（1﹣）]=λ+（1﹣），又||=，||=1，∠AOB=45°，∴由余弦定理求得||=1，∴=λ+（1﹣）×=1+，===，故在上的投影=．当λ＜﹣2时，上式=﹣==∈；当λ≥﹣2时，上式=；①λ=0，上式=；②﹣2≤λ＜0，上式=∈；③λ＞0，上式=∈．综上，在上的投影的取值范围是．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（sinB﹣cosB）（sinC ﹣cosC）=4cosBcosC．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sinB=psinC，且△ABC是锐角三角形，求实数p的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知及三角函数中的恒等变换应用得，从而可求tan（B+C）=﹣，即可解得A的值．（Ⅱ）由已知得，由△ABC为锐角三角形，且，可求tanC的范围，即可解得实数p的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意得⇒∴（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且∴∴．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥PA，AB∥CD，且PB=BC=BD=，CD=2AB=2，∠PAD=120°．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；（Ⅱ）求直线PD与平面PBC所成的角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）取CD的中点E，连接BE．可证四边形ABED是矩形，故而AB⊥AD，结合AB⊥PD得出AB⊥平面PAD，又AB∥CD得出CD⊥平面PAD，于是平面PAD⊥平面PCD；（II）以A为原点建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，则直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为|cos＜，＞|．【解答】证明：（I）取CD的中点E，连接BE．∵BC=BD，E为CD中点，∴BE⊥CD，又∵AB∥CD，AB=CD=DE，∴四边形ABED是矩形，∴AB⊥AD，又AB⊥PA，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD．∵AB∥CD，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD．（II）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，以平面ABCD过点A的垂线为z轴建立空间直角坐标角系A﹣xyz，如图所示：∵PB=BD=，AB=，AB⊥PA，AB⊥AD，∴PA=AD=2．∴P（0，﹣1，），D（0，2，0），B（，0，0），C（2，2，0），∴=（0，3，﹣），=（﹣，﹣1，），=（，2，0）．设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，∴，取x=，得=（，﹣1，），∴cos＜，＞===﹣．∴直线PD与平面PBC所成的角的正弦值为．18．已知函数f（x）=x2﹣1，g（x）=a|x﹣1|．（Ⅰ）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．（Ⅱ）若a＞﹣2，设函数h（x）=|f（x）|+g（x）在[0，2]上的最大值为t（a），求t（a）的最小值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）按照x与1进行讨论，分离常数得a≤，令φ（x）=，去掉绝对值符号化简解析式，由一次函数的性质分别求出φ（x）的范围，由恒成立问题求出a 的范围，最后取并集；（Ⅱ）由题意求出h（x），求出对称轴，由区间和对称轴对a进行分类讨论，分别由二次函数的性质判断出h（x）在区间上的单调性，并求出对应的最大值．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）不等式f（x）≥g（x）对x∈R恒成立，即（x2﹣1）≥a|x﹣1|（*）对x∈R恒成立，①当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R；…②当x≠1时，（*）可变形为a≤，令φ（x）==，因为当x＞1时，φ（x）＞2，当x＜1时，φ（x）＞﹣2，…所以φ（x）＞﹣2，故此时a≤﹣2．综合①②，得所求实数a的取值范围是a≤﹣2．…（Ⅱ），…∵a≤0，∴，①当时，即﹣2≤a≤0，（x2+ax ﹣a﹣1）max=h（2）=a+3，∵，∴h（x）max=a+3，…②当时，即﹣4≤a＜﹣2，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0，，此时，…③当时，即a＜﹣4，（﹣x2﹣ax+a+1）max=h（1）=0（x2+ax﹣a﹣1）max=h（1）=0，此时h（x）max=0，…综上：h（x）max=t（a）=，∴t（a）min=0．…19．已知椭圆+y2=1（a＞1），过直线l：x=2上一点P作椭圆的切线，切点为A，当P点在x轴上时，切线PA的斜率为±．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设O为坐标原点，求△POA面积的最小值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由P在x轴设出P点坐标及直线PA方程，将PA方程与椭圆方程联立，整理关于x的一元二次方程，△=0求得a2，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设出切线方程和点P及点A的坐标，将切线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，△=0，求得A和P点的坐标，求得丨PA丨及A到直线OP的距离，根据三角形的面积公式求得S=丨k+丨，平方整理关于k的一元二次方程，△≥0，即可求得S的最小值．【解答】解：（1）当P点在x轴上时，P（2，0），PA：，，△=0⇒a2=2，椭圆方程为；…﹣5（2）设切线为y=kx+m，设P（2，y0），A（x1，y1），则⇒（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0⇒△=0⇒m2=2k2+1， (7)且，y0=2k+m则，PA直线为，A到直线PO距离，…﹣10则=， (13)∴（S﹣k）2=1+2k2⇒k2+2Sk﹣S2+1=0，，此时．…﹣1520．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=a n+．（n∈N*）（Ⅰ）证明：≥1+；（Ⅱ）求证：＜a n+1＜n+1．【考点】数列递推式；数列与不等式的综合．【分析】（Ⅰ）由题意知，从而可得a n+1＞a n＞a1≥1，再化简可得，（Ⅱ）化简，从而可得﹣＜＜﹣，从而利用累加法可证明a n+1＜n+1，再由a n≤n可得＞，从而证明．【解答】证明：（Ⅰ）∵，∴a n+1＞a n＞a1≥1，∴．（Ⅱ）∵，∴0＜＜1，即﹣=＜＜﹣，累加可得，﹣＜1﹣，故a n+1＜n+1，另一方面，由a n≤n可得，原式变形为故累加得，故＜a n+1＜n+1．2016年8月20日。
浙江省2017-2018学年高二11月调研（期中）考试数学试题Word版含答案
浙江省2017-2018学年⾼⼆11⽉调研（期中）考试数学试题Word版含答案浙江省2017-2018学年11⽉调研（期中）考试数学试题⾼⼆数学⼀、选择题：本⼤题共8个⼩题,每⼩题5分,共40分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1.点(2,2)P --与圆224x y +=的位置关系是（） A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都不对2.⽤斜⼆测画法画⽔平放置的边长为2的正三⾓形的直观图，所得图形的⾯积为（）A D 3.⽅程220x y x y m +-++=表⽰⼀个圆，则m 的取值范围是（） A ．12m ≤B ．12m <C ．12m ≥D ．12m > 4.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平⾯（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，m α⊥，则n α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥ 5.点(4,2)P -与圆224x y +=上任⼀点连线的中点轨迹⽅程是（） A ．22(2)(1)1x y -+-= B ．22(2)(1)1x y ++-= C ．22(2)(1)1x y -++= D ．22(1)(2)1x y -++=6.已知圆221:25C x y +=，圆222:4420C x y x y +---=，判断圆1C 与圆2C 的位置关系是（） A ．内切 B ．外切 C ．相交 D ．外离7.已知正四棱台的⾼是12cm ，两底⾯边长之差为10cm ，表⾯积为5122cm ，则下底⾯的边长为（）A ．10B ．12C ．14D ．168.如图，正⽅体1AC 的棱长为1，过点A 作平⾯1A BD 的垂线，垂⾜为H ，则以下命题中，错误的命题是（）A ．点H 是1A BD ?的垂⼼B ．AH 垂直平⾯11CB DC ．AH 的延长线经过点1CD ．直线AH 和1BB 所成⾓为045⼆、填空题（本⼤题共7⼩题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.）9.两个球的半径之⽐为1：3，那么这两个球的表⾯积之⽐为_________；体积之⽐为__________. 10.已知圆锥的侧⾯积为2π，且它的侧⾯展开图是⼀个半圆，则这个圆锥的底⾯半径为__________；这个圆锥的体积为__________.11.某⼏何体的三视图如图所⽰，则该⼏何体的体积为___________；表⾯积为__________.12.在正⽅体1111ABCD A B C D -中，异⾯直线1AD 与BD 所成的⾓为________；若AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异⾯直线1B M 与CN 所成的⾓为__________.13.已知圆22:4C x y +=，直线:l y x b =+，若圆C 上恰有4个点到直线l 的距离都等于1，则b 的取值范围是__________.14.长⽅体1111ABCD A B C D -中，11,2,3AB BC BB ===，从点A 出发沿表⾯运动到1C 点的最短路程是__________.15.已知(0,2)A ，点P 在直线20x y ++=上，点Q 在圆22420x y x y +--=上，则PA PQ +的最⼩值是__________.三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）16. （本⼩题满分14分）在正⽅体1111ABCD A B C D -中，求证：（1）1//A D 平⾯11CB D ；（2）平⾯1A BD //平⾯11CB D .17.（本⼩题满分15分）已知圆⼼为(1,2)的圆C 与直线:3450l x y --=相切. （1）求圆C 的⽅程；（2）求过点(3,5)P 与圆C 相切的直线⽅程.18.（本⼩题满分15分）如图所⽰，四棱锥P ABCD -中，底⾯ABCD 为菱形，且直线PA ⊥平⾯ABCD ，⼜棱2PA AB ==，E 为CD 的中点，060ABC ∠=. （1）求证：直线EA ⊥平⾯PAB ；（2）求直线AE 与平⾯PCD 所成⾓的正切值.19.（本⼩题满分15分）如图，斜三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为a ，M 是BC 的中点，侧⾯11B C CB ⊥底⾯ABC ，且1AC BC ⊥.（1）求证：1BC C M ⊥；（2）求⼆⾯⾓1A AB C --的平⾯⾓的余弦值.20.（本⼩题满分15分）已知直线:210l x y +-=与圆22:1C x y +=相交于,A B 两点. （1）求AOB ?的⾯积（O 为坐标原点）；（2）设直线1ax by +=与圆22:1C x y +=相交于,M N 两点（其中,a b 是实数），若OM ON ⊥，试求点(,)P a b 与点(0,1)Q 距离的最⼤值.浙江省2017-2018学年⾼⼆11⽉调研（期中）考试数学试题参考答案⼀、选择题（本⼤题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．），共9. 1:9；1:27 . 10. 1. 11. 73π，(5π+. 12. 060，090.13. b << . 15. 三、解答题（本⼤题共5⼩题，共74分．）16.解：(1) 因为1111ABCD A B C D -为正⽅体，所以11A B ∥CD 且11A B CD =，所以四边形11A B CD 为平⾏四边形，则1A D ∥1B C ，····················4分⼜111111,B C CB D A D CB D ??平⾯平⾯，所以A 1D∥平⾯CB 1D 1·····················7分 (2) 由（1）知A 1D∥平⾯CB 1D 1 ，同理可得1A B ∥平⾯CB 1D 1 ，且111111,,A D A B A A D A B A BD =? 平⾯，所以平⾯1A BD ∥平⾯CB 1D 1····················14分 17. 解：(1)圆C 的⽅程为22(1) (2)4x y -+-=·······················7分[来源:学科⽹ZXXK](2) 所求的切线⽅程为3x =和512450x y -+= ·····················15分 18. 解：解法⼀：（1）证明：∵∠ADE=∠ABC=60°，ED=1，AD=2 ∴△AED 是以∠AED 为直⾓的Rt △⼜∵AB ∥CD, ∴EA ⊥AB ⼜PA ⊥平⾯ABCD ，∴EA ⊥PA,∴EA ⊥平⾯PAB, ·····················7分（2）解法⼀：如图所⽰，连结PE ，过A 点作AH ⊥PE 于H 点∵CD ⊥EA, CD ⊥PA∴CD ⊥平⾯PAE,∴AH ⊥CD ，⼜AH ⊥PE ∴AH ⊥平⾯PCD∴∠AEP 为直线AE 与平⾯PCD 所成⾓·····················11分在Rt △PAE 中，∵PA=2，AE=3 ∴33232tan ===∠AE PA AEP ·····················15分解法⼆：（1）以,,AB AE AP 为x ，y ，z 轴建⽴空间直⾓坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),((0,0,2),A B C D P E -所以AE =· ····················4分⼜平⾯PAB 的⼀个法向量为(0,1,0)n =， ···················6分于是AE = ，所以AE ∥n，故直线EA ⊥平⾯PAB · ·················7分（2）2),(2),PC PD =-=--设平⾯PCD 的⼀个法向量为(,,)m x y z =则2020x z x z ?-=??-+-=??，令y =所以(0,m =·····················9分于是AE m ?所以cos ,AE m <>= · ···················11分设直线AE 与平⾯PCD 所成⾓为,θ则sin cos ,tan AE θθθ=<==所以直线AE 与平⾯PCD················15分19. 解：（1）连接AM ，因为△ABC 是正三⾓形，所以AM ⊥BC ，⼜AC 1⊥BC ，且AC 1∩AM=A ，所以BC ⊥平⾯AC 1M ，所以BC ⊥C 1M. ·····················6分（2）解法⼀：111,,.B B O BC BC O B O ABC ⊥⊥过作交于则底⾯[来源:学科⽹]1,,.O OE AB AB E B E ⊥过作交于连1B EO ∠则与所求⼆⾯⾓的平⾯⾓互补. ·····················10分1111,,.tan 2.2B O a B O C D OB OE B EO OE ====∠===[来源:/doc/dc31c74afd4ffe4733687e21af45b307e871f9e1.html ]所以⼆⾯⾓的余弦为·····················15分设平⾯1A AB 的法向量为(,,)m x y z =则0202a x z a x y ?==，所以1)m =- ·····················12分⼜平⾯ABC 的法向量是(0,0,1)n =所以cos ,m n <>=所以⼆⾯⾓的余弦为·····················15分 20. 解：（1）25..------------6分（2）由OM ON ⊥可知MON ?是等腰直⾓三⾓形，且圆C 的半径为1，所以圆⼼O 到直线1ax by +=的=，化简得22 2.a b +=.------------11分所以点P 为半径，原点为圆⼼的圆上运动，故max 1.PQ =+.------------15分[来源:Z#xx#/doc/dc31c74afd4ffe4733687e21af45b307e871f9e1.html ]。
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．37．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C09．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= ．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．复数z1=（m2﹣2m+3）+（m2﹣m+2）i（m∈R），z2=6+8i，则m=3是z1=z2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m，即可判断出结论．【解答】解：由z1=z2，可得：m2﹣2m+3=6，m2﹣m+2=8，解得m=3．∴m=3是z1=z2的充要条件．故选：C．2．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．a，b不都能被3整除D．a不能被3整除【考点】R9：反证法与放缩法．【分析】“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除．【解答】解：反证法证明命题时，应假设命题的反面成立．“a，b中至少有一个能被3整除”的反面是：“a，b都不能被3整除”，故应假设 a，b都不能被3整除，故选 B．3．定积分（x2+sinx）dx的值为（）A． +B．﹣C．﹣D． +【考点】67：定积分．【分析】根据定积分的运算，即可求得答案．【解答】解：（x2+sinx）dx=（x3﹣cosx）=（﹣）﹣（0﹣1）=+，（x2+sinx）dx=+，故选B．4．若复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则复数z的共轭复数是（）A． i B．﹣ i C．3i D．﹣3i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简z=，结合已知条件列出方程组，求解可得a的值，然后代入z=化简求出复数z，则复数z的共轭复数可求．【解答】解：∵z===是纯虚数，∴，解得a=6．∴z==．则复数z的共轭复数是：﹣3i．故选：D．5．求曲线y2=4x与直线y=x所围成的图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积（）A．B．πC．πD．24π【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】利用定积分求体积．【解答】解：解方程组得x=4，y=4．∴几何体的体积V=π（4x﹣x2）dx=π•（2x2﹣）|=．故选B．6．若复数z满足|z+3+i|=，则|z|的最大值为（）A．3+B． +C． +D．3【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由|z+3+i|=的几何意义，即复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为画出图形，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+i|=的几何意义，复平面内的动点Z到定点P（﹣3，﹣1）的距离为，可作图象如图：∴|z|的最大值为|OP|+=．故选：B．7．已知=（）A．f′（x0）B．f′（x）C．2f′（x）D．﹣f′（x）【考点】6F：极限及其运算．【分析】化简，根据极限的运算，即可求得答案．【解答】解：==+=2f′（x），∴=2f′（x），故选C．8．计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表．十六进制01234567十进制01234567十六进制89A B C D E F十进制89101112131415例如，用十六进制表示E+D=1B，则A×C=（）A．6E B．78 C．5F D．C0【考点】EM：进位制．【分析】本题需先根据十进制求出A与C的乘积，再把结果转化成十六进制即可．【解答】解：∵A×C=10×12=120，∴根据16进制120可表示为78．故选：B．9．利用数学归纳法证明不等式+++…+＞时，由k递推到k+1时，不等式左边应添加的式子是（）A．B． +C．﹣D． +﹣【考点】RG：数学归纳法．【分析】只须求出当n=k时，左边的代数式，当n=k+1时，左边的代数式，相减可得结果．【解答】解：当n=k时，左边的代数式为，当n=k+1时，左边的代数式为，故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为：，故选：D．10．设函数f（x）=x3+x2+，其中θ∈（﹣，），则导数f′（1）的取值范围是（）A．（﹣，1] B．（﹣，1）C．（﹣，） D．（﹣，]【考点】63：导数的运算．【分析】求导，当x=1时，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），即可求得θ+∈（﹣，），根据正弦函数的性质，即可求得导数f′（1）的取值范围．【解答】解：f（x）=x3+x2+，f′（x）=x2+x，f′（1）=+=sin（θ+），由θ∈（﹣，），则θ+∈（﹣，），则sin（θ+）∈（﹣，1]，∴导数f′（1）的取值范围（﹣，1]，故选A．11．函数f（x）是定义在R上的偶函数，且 f（2）=0，当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）C．（﹣2，0）∪（0，2）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，根据函数的单调性和函数的奇偶性求出不等式的解集即可．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵当x＞0时，有xf′（x）﹣f（x）＞0恒成立，∴当x＞0时，g′（x）＞0∴g（x）在（0，+∞）递增，∵f（﹣x）=f（x），∴g（﹣x）==﹣g（x），∴g（x）是奇函数，∴g（x）在（﹣∞，0）递增，∵f（2）=0∴g（2）==0，当x＞0时，f（x）＜0等价于＜0，∴g（x）＜0=g（2），∴0＜x＜2，当x＜0时，f（x）＜0等价于＞0，∴g（x）＞0=g（﹣2），∴﹣2＜x＜0，不等式f（x）＜0的解集为（﹣2，0）∪（0，2），故选：C．12．若函数f（x）的导函数f′（x）=x2﹣3x﹣10，则函数f（1﹣x）的单调递增区间是（）A．（，+∞）B．（﹣，+∞）C．（﹣4，3）D．（﹣∞，﹣4）和（3，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】由f′（x）＜0求出f（x）的减区间，利用对称性求得f（﹣x）的增区间，再由平移变换可得函数f（1﹣x）的单调递增区间．【解答】解：由f′（x）=x2﹣3x﹣10＜0，得﹣2＜x＜5，∴函数f（x）的减区间为（﹣2，5），则函数y=f（﹣x）的增区间为（﹣5，2），而f（1﹣x）=f[﹣（x﹣1）]是把函数y=f（﹣x）向右平移1个单位得到的，∴函数f（1﹣x）的单调递增区间是（﹣4，3）．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．计算： +（3+i17）﹣= 4+2i ．【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则分别计算即可．【解答】解：原式=+（3+i）﹣=+3+i﹣i10=i+3+i+1=4+2i；故答案为：4+2i．14．在Rt△ABC中，两直角边分别为a、b，设h为斜边上的高，则=+，由此类比：三棱锥S﹣ABC中的三条侧棱SA、SB、SC两两垂直，且长度分别为a、b、c，设棱锥底面ABC 上的高为h，则+．【考点】F3：类比推理．【分析】立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面⇔空间，点⇔点或直线，直线⇔直线或平面，平面图形⇔平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．【解答】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，∴PA⊥平面PBC．设PD在平面PBC内部，且PD⊥BC，由已知有：PD=，h=PO=，∴，即．故答案为：．15．过点（1，0）且与曲线y=相切的直线的方程为4x+y﹣4=0 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，再把已知点代入，求出切点横坐标，则切线方程可求．【解答】解：设切点为（），由y=，得y′=，∴，则切线方程为y﹣，把点（1，0）代入，可得，解得．∴切线方程为y﹣2=﹣4（x﹣），即4x+y﹣4=0．故答案为：4x+y﹣4=0．16．已知函数f（x）=x3+ax2+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为．【考点】6G：定积分在求面积中的应用．【分析】题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．【解答】解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x2+2ax+b．由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，代入方程可得b=0．故方程可以继续化简为：f（x）=x3+ax2=x2（x+a），令f（x）=0，可得x=0或者x=﹣a，可以得到图象与x轴交点为（0，0），（﹣a，0），由图得知a＜0．故对﹣f（x）从0到﹣a求定积分即为所求面积，即：﹣a f（x）dx=3，﹣∫将 f（x）=x3+ax2代入得：﹣a（﹣x3﹣ax2）dx=3，∫求解，得a=﹣．故答案为：﹣．三、解答题（17题10分，其它每题12分）17．已知复数z+i，均为实数，且在复平面内，（z+ai）2的对应点在第四象限内，求实数a的取值范围．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义；A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】复数z+i，均为实数，可设z=x﹣i， =﹣i，可得﹣=0，z=﹣2﹣i．在复平面内，（z+ai）2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，可得4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解出即可得出．【解答】解：∵复数z+i，均为实数，设z=x﹣i， ==﹣i，∴﹣ =0，∴x=﹣2．∴z=﹣2﹣i．∵在复平面内，（z+ai）2=[﹣2+（a﹣1）i]2=4﹣（a﹣1）2﹣4（a﹣1）i的对应点在第四象限内，∴4﹣（a﹣1）2＞0，﹣4（a﹣1）＜0，解得：1＜a＜3．∴实数a的取值范围是（1，3）．18．设函数f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R．（1）若函数f（x）在x=1处取得极值﹣，求a，b的值；（2）求函数f（x）的单调递增区间．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求出f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值﹣，列出方程组，能求出a，b．（2）由f′（x）=x2﹣3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵f（x）=﹣x2+6ax+b，其中a，b∈R，∴f′（x）=x2﹣（3a+2）x+6a，∵函数f（x）在x=1处取得极值﹣，∴，解得a=，b=﹣1．（2）由（1）得f（x）=﹣+2x﹣1，∴f′（x）=x2﹣3x+2，由f′（x）=x2﹣3x+2＞0，得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1]，[2，+∞）．19．设数列{an }的前n项和为Sn，且关于x的方程x2﹣anx﹣an=0有一根为Sn﹣1．（1）求出S1，S2，S3；（2）猜想{Sn}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】RG：数学归纳法；8E：数列的求和．【分析】（1）由题设求出S1=，S2=．S3=．（2）由此猜想Sn=，n=1，2，3，…．然后用数学归纳法证明这个结论．【解答】解：（1）当n=1时，x2﹣a1x﹣a1=0有一根为S1﹣1=a1﹣1，于是（a1﹣1）2﹣a1（a1﹣1）﹣a1=0，解得a1=．当n=2时，x2﹣a2x﹣a2=0有一根为S2﹣1=a2﹣，于是（a2﹣）2﹣a2（a2﹣）﹣a2=0，解得a2=由题设（Sn ﹣1）2﹣an（Sn﹣1）﹣an=0，Sn 2﹣2Sn+1﹣anSn=0．当n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1，代入上式得Sn﹣1Sn﹣2Sn+1=0．①得S1=a1=，S2=a1+a2=+=．由①可得S3=．（2）由（1）猜想Sn=，n=1，2，3，…．下面用数学归纳法证明这个结论．（i）n=1时已知结论成立．（ii）假设n=k时结论成立，即Sk=，当n=k+1时，由①得Sk+1=，可得Sk+1=，故n=k+1时结论也成立．综上，由（i）、（ii）可知Sn=对所有正整数n都成立．20．设铁路AB长为100，BC⊥AB，且BC=30，为将货物从A运往C，现在AB上距点B为x 的点M处修一公路至C，已知单位距离的铁路运费为2，公路运费为4．（1）将总运费y表示为x的函数；（2）如何选点M才使总运费最小．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，可得总运费y表示为x的函数；（2）根据（1）中的关系式，利用导函数单调性，可得最值．【解答】解：（1）由题意，AB=100，BC⊥AB，BC=30，BM=x，则AM=100﹣x．MC=，∴总运费y=2×+4×MC=200﹣2x+4，．（2）由（1）可得y=200﹣2x+4，．则y′=﹣2+4××令y′=0．可得：2=4x，解得：x=10．当时，y′＜0，则y在当单调递减．当时，y′＞0，则y在单调递增．∴当x=10时，y取得最大值为200+60．∴选点M距离B点时才使总运费最小．21．在两个正数a，b之间插入一个数x，可使得a，x，b成等差数列，若插入两个数y，z，可使得a，y，z，b成等比数列，求证：x+1≥．【考点】8G：等比数列的性质．【分析】y，z为正数，可得≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．根据a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0．可得2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，可得2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2⇔（m﹣n）2≥0，【解答】证明：∵y，z为正数，∴≤，要证明x+1≥．（x＞0）．只要证明：2x≥y+z即可．∵a，x，b成等差数列，a，y，z，b成等比数列，a，b＞0，∴2x=a+b，，z=．令=m＞0， =n＞0，则2x≥y+z⇔m3+n3≥m2n+mn2．⇔（m﹣n）2≥0，上式显然成立，因此：x+1≥．22．设函数f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0．（1）求证：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（2）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）由题意求得a=1，得到函数解析式，构造函数g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．利用导数可得函数在[1，+∞）上为增函数，可得g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求其导函数，结合（1）放缩可得h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．然后对m分类讨论求解．【解答】（1）证明：由f（x）=ax2lnx﹣（x﹣1），得f′（x）=ax2lnx﹣（x﹣1）=2axlnx+ax ﹣1．∵曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=0，∴a﹣1=0，得a=1．则f（x）=x2lnx﹣x+1．设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1）．g′（x）=2xlnx﹣x+1，g″（x）=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g′（x）≥g′（1）=0，则g（x）在[1，+∞）上为增函数，∴g（x）≥g（1）=0，即f（x）≥（x﹣1）2；（2）解：设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，由（1）知，x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，则h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1）=（x﹣1）（3﹣2m）．①当3﹣2m≥0，即m时，h′（x）≥0，h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（1）=0成立；②当3﹣2m＜0，即m＞时，h′（x）=2xlnx+（1﹣2m）（x﹣1），h″（x）=2lnx+3﹣2m．令h″（x）=0，得＞1，∴当x∈[1，x）时，h′（x）＜h′（1）=0，）上单调递减，则h（x）＜h（1）=0，不合题意．∴h（x）在[1，x综上，m．。
精品解析：浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题(原卷版)
杭州学军中学2017学年第一学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 右图中的阴影部分，可用集合符号表示为（）学,科,网...A. B.C. D.2. 下列函数中，定义域为的是（）A. B. C. D.3. 已知，，，，则（）A. B. C. D.4. 函数存在零点的区间是（）A. B. C. D.5. 已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像是（）A. B.C. D.6. 已知f（）=，则f（x）的解析式可取为（）A. B. － C. D. －7. 函数在区间的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.8. 如果，那么（）A. B.C. D.9. 已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有，则的值为（）A. B. C. 1 D. 010. 已知函数，若不等式在上有解，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在答题卷中的横线上.）11. 已知集合，如果，那么的取值集合为________.12. 如果函数的定义域为，那么实数的取值范围是________.13. 若，则________.14. 定义在R上的偶函数满足，当时，,则=________.15. 当时，函数的图像在轴下方，那么实数的取值范围是________.16. 关于的方程，给出下列四个判断：①存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；②存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；③存在实数，使得方程恰有6个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根；其中正确的为________（写出所有判断正确的序号）.17. 记号表示中取较大的数，如. 已知函数是定义域为的奇函数，且当时，. 若对任意，都有，则实数的取值范围是________.三、解答题（本大题共4题，共42分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18. 计算：（1）；（2）.19. 设全集,集合，,（1）若，求，；（2）若，求实数的取值范围．20. 设，（1）求函数的定义域；（2）判断的单调性，并根据函数单调性的定义证明；（3）解关于的不等式；21. 已知函数，(1)当时，求在区间上最大值和最小值；（2）如果方程有三个不相等的实数解，求的取值范围.。
【精品】2017-2018年浙江省杭州市西湖区学军中学高二上学期数学期末试卷与答案
2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d 2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1 3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ27．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥38．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的倾斜角为（）A．150°B．135°C．120°D．30°9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E 为CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2B．C．D．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为．13．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是．15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）已知a＞b，c＞d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是（）A．ad＞bc B．ac＞bd C．a﹣c＞b﹣d D．a+c＞b+d【解答】解：令a=2，b=﹣2，c=3，d=﹣6，则2×3＜（﹣5）（﹣6）=30，可排除A2×（﹣6）＜（﹣2）×3可排除B；2﹣3＜（﹣2）﹣（﹣6）=4可排除C，∵a＞b，c＞d，∴a+c＞b+d（不等式的加法性质）正确．故选：D．2．（3分）命题“若x2＜1，则﹣1＜x＜1”的逆否命题是（）A．若x2≥1，则x≥1且x≤﹣1B．若﹣1＜x＜1，则x2＜1C．若x＞1或x＜﹣1，则x2＞1D．若x≥1或x≤﹣1，则x2≥1【解答】解：根据逆否命题的定义知，原命题的逆否命题为：若x≤﹣1，或x≥1，则x2≥1．故选：D．3．（3分）“a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行，∴，解得a=4．∴a=4”是“直线ax+2y=0与直线2x+y=1平行”的充要条件．故选：C．4．（3分）已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：①∵m⊥α，m⊥n，∴n∥α或n⊂α，又n⊥β，∴α⊥β成立．②若m∥α，m⊥n，则n∥α或n与α相交，∴α不一定平行β，∴②错误．③若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，若n∥β，则α不一定平行β，∴③错误．④若m⊥α，α∥β，∴m⊥β，又n∥β，∴m⊥n成立，∴④正确．故选：B．5．（3分）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（1，0，1），（0，1，1），（，1，0），绘制该四面体三视图时，按照如图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的四面体如右图，依题意投影到yOz平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故选：B．6．（3分）如图，已知三棱锥D﹣ABC，记二面角C﹣AB﹣D的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则其中正确的是（）A．θ≥θ1B．θ≤θ1C．θ≥θ2D．θ≤θ2【解答】解：设三棱锥D﹣ABC是棱长为2的正四面体，取AB中点E，DC中点M，AC中点M，连结DE、CE、MN、EN，过D作DO⊥CE，交CE于O，连结AO，则∠DEC=θ，∠DAO=θ1，∠MNE=θ2，DE=CE==，DC=2，∴cosθ==，AO=CO==，∴cosθ1===，取BC中点E，连结DE、AE，则DE⊥BC，AE⊥BC，又DE∩AE=E，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，∴θ2=90°．∴θ2≥θ≥θ1．故选：A．7．（3分）若不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是（）A．a≤1或a≥3B．a≤1C．a≥2D．a≤2或a≥3【解答】解：不等式|x﹣a2|+|x﹣2a|≥a对任意实数x恒成立，可得a≤|x﹣a2|+|x﹣2a|的最小值，由|x﹣a2|+|x﹣2a|≥|x﹣a2﹣x+2a|=|a2﹣2a|，当且仅当（x﹣a2）（x﹣2a）≤0，取得等号，则|a2﹣2a|≥a，即为a2﹣2a≥a或a2﹣2a≤﹣a，解得a≥3或a≤1，故选：A．8．（3分）已知过定点P（2，0）的直线l与曲线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB 的面积最大时，直线l 的倾斜角为（ ） A ．150°B ．135°C ．120°D ．30°【解答】解：曲线y=为圆x 2+y 2=2的上半圆，由题意可得△AOB 的面积S=•OA•OB•sin ∠AOB=•••sin ∠AOB=sin ∠AOB ，当sin ∠AOB=1即∠AOB=90°时，△AOB 的面积取到最大值， 此时在RT △AOB 中易得O 到直线l 的距离OD=1， 在RT △POD 中，易得sin ∠OPD==，可得∠OPD=30°，∴直线l 的倾斜角为150° 故选：A ．9．（3分）如图，棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．【解答】解：由题意得：△PEQ 周长取最小值时，P 在B 1C 1上，在平面B 1C 1CB 上，设E 关于B 1C 的对称点为M ，关于B 1C 1的对称点为N ，连结MN，当MN与B1C1的交点为P，MN与B1C的交点点M时，则MN是△PEQ周长的最小值，EM=2，EN=，∠MEN=135°，∴MN==．∴△PEQ周长的最小值为．故选：B．10．（3分）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点．且∠F1PF2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）A．B．C．3D．2【解答】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即，③联立②③得，=4，由柯西不等式得（1+）（）≥（1×+）2，即（）=即，d当且仅当时取等号，法2：设椭圆的长半轴为a1，双曲线的实半轴为a2，（a1＞a2），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|PF1|=r1，|PF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1PF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos=（r1）2+（r2）2﹣r1r2，由，得，∴=，令m===，当时，m，∴，即的最大值为，法3：设|PF1|=m，|PF2|=n，则，则a1+a2=m，则=，由正弦定理得=，即=sin（120°﹣θ）≤=故选：A．二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分．11．（4分）若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（，+∞）．【解答】解：根据题意，若x2+y2+2x+y+=0表示圆方程，则有4+1﹣4×＞0，即＞0，解可得：a＜0或a＞，即a的取值范围为：（﹣∞，0）∪（，+∞）；故答案为：（﹣∞，0）∪（，+∞）．12．（4分）若x，y满足约束条件，则x+3y的最大值为15．【解答】解：由已知约束条件得到可行域如图：由z=x+3y得到y=﹣+，当此直线经过图中B时，在y轴的截距最大，由，解得B（3，4），所以z 的最大值为3+12=15；故答案为：1513．（4分）某一简单几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为25π．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故答案为：25π．14．（4分）如图，P是二面角α﹣AB﹣β棱AB上的一点，分别在α，β上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小是90°．【解答】解：过AB上一点Q分别在α，β内做AB的垂线，交PM，PN于M点和N点则∠MQN即为二面角α﹣AB﹣β的平面角，如下图所示：设PQ=a，则∵∠BPM=∠BPN=45°∴QM=QN=aPM=PN=a又由∠MPN=60°，易得△PMN为等边三角形则MN=a解三角形QMN易得∠MQN=90°故答案为：90°15．（4分）设双曲线x2﹣=1的左，右焦点分别为F1，F2．若点P在双曲线上，且△F1PF2为钝角三角形，则|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．【解答】解：由双曲线x2﹣=1，得a2=1，b2=3，∴c==2，不妨以P在双曲线右支为例，当PF2⊥x轴时，把x=2代入x2﹣=1，得y=±3，即|PF2|=3，此时|PF1|=|PF2|+2=5，则|PF1|+|PF2|=8；由PF1⊥PF2，得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又|PF1|﹣|PF2|=2，①两边平方得：|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|=4，∴|PF1|•|PF2|=6，②联立①②解得：|PF1|=1+，|PF2|=﹣1+，此时|PF1|+|PF2|=2，且|PF 1|+|PF2|＞2c=4，由如图可知，使△F1PF2为钝角三角形的|PF1|+|PF2|的取值范围是（4，2）∪（8，+∞）．故答案为：（4，2）∪（8，+∞）．16．（4分）已知实数若x，y满足x＞y＞0且x+y=2，则的最小值是．【解答】解：根据题意，实数满足x＞y＞0且x+y=2，则=×（）=[（x+3y）+（x﹣y）]（）=（5++）≥（5+4）=，当且仅当（x+3y）=2（x﹣y）即x=，y=时等号成立，则的最小值是；故答案为：．17．（4分）在平面直角坐标系中，定义两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）间的“L距离”为||P1P2||=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|，则平面内与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10的点轨迹长为8+2．【解答】解：设动点的坐标为（x，y），由平面内动点与A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣1），D（1，﹣1）的“L距离”之和等于10，可得|x﹣1|+|y﹣1|+|x+1|+|y﹣1|+|x+1||y+1|+|x﹣1|+|y+1|=10，化为|x+1|+|x﹣1|+|y+1|+|y﹣1|=5，讨论可得x≥1，y≥1时，方程化为x+y=2.5；x≥1，﹣1＜y＜1时，即有x=1.5；x≥1，y≤﹣1，即有x﹣y=2.5；﹣1＜x＜1，y≥1时，方程化为y=1.5；﹣1＜x＜1，﹣1＜y＜1时，方程不成立；﹣1＜x＜1，y≤﹣1，即有y=﹣1.5；x≤﹣1，y≥1时，方程化为﹣x+y=2.5；x≤﹣1，﹣1＜y＜1时，即有x=﹣1.5；x ≤﹣1，y≤﹣1，即有﹣x﹣y=2.5．作出动点的轨迹可得：轨迹的长度为2×4+×4=8+2，故答案为：8+2．三、解答题（本大题共4小题，共42分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.18．（8分）如图，已知圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B 两点．（Ⅰ）若直线l斜率为1，求弦长|AB|；（Ⅱ）若以OA，OB为邻边，作菱形OACB，求点C的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆O：x2+y2=4，过点P（1，0）的直线l交圆O于A，B两点，直线l斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0，圆心O（0，0）到直线的距离d==，∴弦长|AB|==2=．（Ⅱ）∵以OA，OB为邻边，作菱形OACB，OA=OB=2，点P（1，0），∴OP=1，连结OC，PC，由菱形的性质得：AB⊥OC，∴OP=PC=1，∴点C的轨迹是以P（1，0）为圆心，以r=1为半径的圆，且C与圆点O不重合，∴点C的轨迹方程为：（x﹣1）2+y2=1，（x≠0）．19．（10分）如图，设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y 轴的距离为|AF|﹣1（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）已知B，C为抛物线上的动点，且•=0，直线BC与x轴交于点P，求|PC|•|PB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离为|AF|﹣1，∴=1，解得p=2．…（3分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，抛物线方程为y2=4x，设直线CB的方程为：x=my+t，C（，y1），B（），直线与抛物线联立：，得：y2﹣4my﹣4t=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣4t，…（5分）∵，，∴k OC•k OB===﹣1，则t=4，∴直线CB过定点（4，0），即P点坐标为（4，0），…（7分）∴=﹣（）+16+y1y2=﹣16m2﹣16，∴||•||=16m2+16≥16，当且仅当m=0时，|PC|•|PB|取最小值16．…（10分）20．（12分）如图1，2，在矩形ABCD中，已知AB=2，AD=3，点E，F分别在AD，CD上，且AE=CF=1，将四边形ABCE沿EC折起，使点B在平面CDE上的射影H在直线DE上（Ⅰ）求证：CD⊥BE；（Ⅱ）求证：HF∥平面ABCE；（Ⅲ）求直线AC与平面CDE所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵BH⊥平面CDEF，∴BH⊥CD，又CD⊥DE，BH∩DE=H，∴CD⊥平面DBE，∵BE⊂平面DBE，∴CD⊥BE．…（4分）（Ⅱ）设BH=h，EH=k，过F作FG垂直ED于点G，∵线段BE，BF在翻折过程中长度不变，根据勾股定理得，∴，解得h=2，k=1，∴线段BH的长度为2．又∵BE=，∴HE=1，又F是DC中点，∴HF∥EC，∵HF⊄平面ABCE，EC⊂平面ABCE，∴HF∥平面ABCE．…（8分）解：（Ⅲ）延长BA交EF于点M，∵AE：BF=MA：MB=1：3，∴点A到平面EFCD的距离为点B到平面EFCD距离的，∴点A到平面EFCD的距离为，而AF=，故直线AF与平面EFCD正弦值为．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．（Ⅰ）求椭圆C方程；（Ⅱ）设Q（0＜x≤1）是抛物线C1：x2=y上动点，过点Q作抛物线C1的切线交椭圆于M，N，求△OMN的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0），点P（1，）在椭圆上，不过原点的直线l：x+2y+m=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．∴，解得a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为：=1．…（4分）（Ⅱ）设抛物线在Q点的切线方程为y=kx+m，由，得3x2﹣2kx﹣2m=0，△=4k2+24m=0，∴k2=﹣6m，且﹣≤m＜0，①…（6分）由，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，|MN|=•|x1﹣x2|=•=•=4••，…（8分）点O 到切线距离d=，∴=2•，…（10分）令t==，∵t==在m ∈[﹣，0）上是减函数，∴0＜t ≤，在（0，]上递增，∴t=，即m=﹣时，S △MND 取最大值．…（12分）赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0)(<k f xy1x 2x 0>a O∙kx y1x 2x O∙k<a 0)(>k f④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p = (Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =x>O-=f(p) f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2b f a-x>O-=f (p)f (q)()2bf a-xx x(q)0x①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
浙江省学军中学高二下学期期中试题(数学理).doc
浙江省学军中学高二下学期期中试题（数学理）第Ⅰ卷【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答；2．本科考试时间为100分钟，满分为100分． 3．考生考试时禁止使用计算器.一.选择题（本大题有10小题，每小题3分,共30分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.）1． 函数54x y =的导数是 （ ）A ． 351x B. 352xC. 5154-xD. 5154--x2．设i 是虚数单位，则复数1ii -+的虚部是 （ ）[A ．2iB ．2i -C ．12D ．12-3．椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为( ) A ．1- B ．1 C ．25- D ． 254．曲线1323+-=x x y 在点)1,1(-处的切线方程为（ ）A . 23+-=x yB . 43-=x yC .34+-=x yD .54-=x y5. 已知向量a ＝（1，1，0），b ＝（－1，0，2），且k a ＋b 与2 a －b 互相垂直，则k 的值A ． 1B ． 51C ． 53D ． 576. 设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥ D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥7. 过双曲线22221x y a b -=(a>0,b>0)的一个焦点F 引它的渐近线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若FM=ME, 则该双曲线的离心率为（ ）A. 3B. 2C.8. 下面几种推理中是演绎推理的序号为（ ） A ．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；B ．猜想数列111,,,122334⨯⨯⨯的通项公式为1(1)n a n n =+()n N +∈；C ．半径为r 圆的面积2S r π=，则单位圆的面积S π=；D ．由平面直角坐标系中圆的方程为222()()x a y b r -+-=，推测空间直角坐标系中球的方程为2222()()()x a y b z c r -+-+-= .9．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数且它图象是一条连续不断的曲线，当0>x 时，0)(<'x f ，若)1()(lg f x f >，则x 的取值范围是（ ）A ．)1,101(B ．),1()101,0(+∞C ．)10,101( D ．),1()1,0(+∞10. 已知 )(x f 为R 上的可导函数，且)(')(x f x f <和)(x f >0对于R x ∈恒成立,则有( )A ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<B ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅> C.)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>． D ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<二．填空题（本大题有5小题，每小题4分，共请将答案写在答题卷上） 11. 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b +=___________.12．曲线21x y x y ==和在它们的交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积是 。
2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二下学期期中数学试卷
（ 1 ） 求椭圆 的标准方程．
（ 2 ） 过点 ，
作两条斜率都存在的直线 两点，若 是
， ，设 与
爱与椭圆 交于 ， 两点， 的等比中项，求
与椭圆
交于
22. 已知函数
思 的最小值． ．
（ 1 ）若 （ 2 ）设
而 是定义域上的单调函数，求 的取值范围． ， ， 分别为 的极大值和极小值，若
，求 的取值范围．
排第几个？
19. 已知函数
．
/
（ 1 ）求 （ 2 ）求
的图像在点
处的切线方程．
在区间
上的取值范围．
20. 已知四棱锥
的底面
是菱形，
的射影， 是 的中点．
， 的中点 是顶点 在底面
（ 1 ） 求证：平面
平面 ．
（ 2 ）若
，直线 与平面
所成角的正弦值．
康
21. 设椭圆 右焦点 ．
的离心率
，抛物线
智的焦点恰好是椭圆 的
2018~2019学年浙江杭州西湖区杭州学军中学高二下学 期期中数学试卷
一、选择题（本大题共10题，每小题4分，共计40分）
1. 函数
的导数是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2. 若函数
康 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）．
A.
B.
3. 用数学归纳法证明
C.
D.
智
则从 到 A.
爱 时，左边所要添加的项是（ ）．
B.
C.
， D.
4.
思 自二面角内一点分别向两个平面引垂线，它们所成的角与二面角的大小关系是（ ）．
A. 相等
B. 互补
C. 无关
杭州学军中学数学高二下期中知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．(0分)[ID ：13606]函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则函数()()()cos 0,0g x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上（ ）A ．是增函数B ．是减函数C ．可以取到最大值AD ．可以取到最小值A -2．(0分)[ID ：13603]已知a ，b ，c 为ABC ∆的三个内角A ，B ，C 的对边，向量=（3，-1），=（cosA ，sinA ），若⊥，且cos cos sin a B b A c C +=，则角B=（ ） A ．6π B ．3π C ．4π D ．23π 3．(0分)[ID ：13598]已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如下图所示，则函数()f x 的解析式（ ）A ．1()2sin()26f x x π=+ B ．1()2sin()26f x x π=-C ．()2sin(2)6f x x π=-D ．()2sin(2)6f x x π=+4．(0分)[ID ：13583]已知向量(22cos 3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 5．(0分)[ID ：13582]《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为2π3，弦长为40√3m的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中π≈3，√3≈1.73） A ．15B ．16C ．17D ．186．(0分)[ID ：13576]若x 1=4π，x 2=34π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω=A ．2B ．32C ．1D ．127．(0分)[ID ：13574]如图，在ΔABC 中，AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AC ⃑⃑⃑⃑ ，P 是BN 的中点，若AP⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，则实数m 的值是（ ）A ．14B ．1C ．12D ．328．(0分)[ID ：13561]函数f （x ）＝Asin （ωx+φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象如图所示，为了得到g （x ）＝Acosωx 的图象，只需把y ＝f （x ）的图象上所有的点（ ）A ．向右平移12π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度 D ．向左平移6π个单位长度 9．(0分)[ID ：13558]已知tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()sin2cos απα+-的值为( )A ．61010- B ．61010+ C ．51010- D ．51010+ 10．(0分)[ID ：13622]函数()()sin (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，为了得到sin2y x =的图象，只需将()f x 的图象( )A ．向右平移3π个单位 B ．向右平移6π个单位 C ．向左平移3π个单位D ．向左平移6π个单位11．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD方向上的投影为（ ） A ．322B 315C ．322-D ．31512．(0分)[ID ：13592]已知向量a,b 满足a 1=，a b 1⋅=-，则a (2a b)⋅-= A ．4B ．3C ．2D ．013．(0分)[ID ：13548]若向量a ，b 满足同3a =，2b =，()a ab ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．2π B ．23π C ．6π D ．56π 14．(0分)[ID ：13535]已知函数()42)24f παα=-+，在锐角三角形ABC 中，()6f A =，且cos2cos2B C =，则tan B 的值为( )A ．1B 21C 2D 2115．(0分)[ID ：13532]若()1,2,3,,i A i n =⋯是AOB 所在平面内的点，且i OA OB OA OB ⋅=⋅，给出下列说法：（1）123||||||||n OA OA OA OA ===⋯=；（2）||i OA 的最小值一定是||OB ；（3）点A 和点i A 一定共线；（4）向量OA 及i OA 在向量OB 方向上的投影必定相等；其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题16．(0分)[ID ：13724]若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的值为_______________．17．(0分)[ID ：13708]f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)，在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦2，则ω＝________.18．(0分)[ID ：13701]已知P 是ABC 内部一点230PA PB PC ++=，记PBC 、PAC 、PAB △的面积分别为1S 、2S 、3S ，则::123S S S =________.19．(0分)[ID ：13682]设1e ，2e 是两个不共线的空间向量，若122AB e e =-，1233BC e e =+，12CD e ke =+，且A ，C ，D 三点共线，则实数k 的值为_________.20．(0分)[ID ：13677]设点()2,2A ，()4,1B ，在x 轴上求一点P ，使AP BP ⋅最小，此时APB ∠=______．21．(0分)[ID ：13674]设两个向量12,e e ，满足122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°,若向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，则实数t 的取值范围为____________. 22．(0分)[ID ：13654]设向量,,a b c 均为单位向量，且2a b c +=，则向量,a b 的夹角等于____________．23．(0分)[ID ：13649]已知(1,2)a =，(8,6)b =-，则向量a 在b 方向上的投影为________24．(0分)[ID ：13641]若向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，且//a b ，则x =______．25．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .三、解答题26．(0分)[ID ：13769]已知12a b a ==，，与b 的夹角为3π，若.m a b n a kb k R =+=+∈，，(1)若m n ⊥，求实数k 的值； (2)若m 与n 的夹角为23π，求实数k 的值. 27．(0分)[ID ：13767]已知O 为坐标原点，()()()34,63,5,3OA OB OC m m =-=-=---，，（1）若ABC ∠为锐角，求实数m 的取值范围；（2）若ABC ∆是以B 为直角的直角三角形，求实数m 的值并求ABC ∆的面积. 28．(0分)[ID ：13754]已知在平行四边形ABCD 中，3A π∠=，边,AB AD 的长分别为2,1，若,M N 分别是,BC CD 上的点，（1）若,M N 分别是,BC CD 上的中点，求AM AN ⋅的值； （2）若点,M N 满足BM CN BCCD=，求AM AN ⋅的取值范围.29．(0分)[ID ：13743]已知(3,4),a b =-是与a 方向相同的单位向量，c 是与a 垂直的单位向量． （1）求b ；（2）求a 与()b c -的夹角大小．30．(0分)[ID ：13787]M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交两边,AB AC 于点,P Q ，设,AP x AB AQ y AC ==，记()y f x =.（1）求函数()y f x =的表达式； （2）求APQ ABCS S ∆∆的取值范围.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1．C2．A3．D4．D5．B6．A7．C8．B9．A10．B11．A12．B13．C14．D15．B二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于17．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T＝因此f(x)＝2sinωx在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin＝∴ω＝∴ω＝故答案为18．【解析】【分析】延长到使得;延长到使得构造出根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比【详解】延长到使得;延长到使得如下图所示:则可化为所以为的重心设则所以故答案为:【点睛】本题考查了向量加法法则的19．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题20．【解析】【分析】设得出关于x的二次函数从而可求出最小时的P点坐标再根据平面向量的夹角公式得出【详解】设则当时取得最小值此时故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算考查向量夹角的计算属于中档题21．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量22．【解析】【分析】由平面向量模的运算可得＝0即可得解【详解】解：由题意得即又故＝0故的夹角为90°【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算属基础题23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况24．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据题意计算出当[],x m n ∈时，x ωϕ+的取值范围，结合余弦函数的单调性可得出结论. 【详解】函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>在区间[],m n 上是增函数，且()f m A =-，()f n A =，则当[],x m n ∈时，()2,222x k k k Z ππωϕππ⎡⎤+∈-++∈⎢⎥⎣⎦，而函数cos y x =在区间()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上先增后减，所以，函数()()cos g x A x ωϕ=+在区间[],m n 上先增后减，当()2x k k Z ωϕπ+=∈，该函数取到最大值A . 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数单调性的判断与应用，求出x ωϕ+的取值范围是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.2．A解析：A 【解析】 试题分析：∵=（3,-1），=（cosA,sinA ），m n ⊥3sin 0A A -=，∴tan 3A =，∴3A π=，∵cos cos sin a B b A c C +=，∴sin cos sin cos sin sin A B B A C C +=，∴2sin()sin A B C +=，∴sin 1C =，∴2C π=，∴6B AC ππ=--=．考点：向量垂直的充要条件、正弦定理、特殊角的三角函数值．3．D解析：D 【解析】 【分析】根据函数的图象求出A ，ω 和φ的值即可． 【详解】由函数的图象得524126A T πππ==⨯-=，（）， 即2 ππω=， 则2ω=，则22f x sin x ϕ=+（）（） ，22266f sin ππϕ=⨯+=（）（），则13sinπϕ+=（）， 则 232k ππϕπ+=+， 则26k k Z ，，πϕπ=+∈∵2πϕ<，∴当k=0时，6，πϕ=则函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 故选D. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出A ，ω和φ的值是解决本题的关键．4．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.5．B解析：B 【解析】分析：先根据经验公式计算出弧田的面积，再利用扇形面积减去三角形面积得实际面积，最后求两者之差.详解：因为圆心角为2π3，弦长为40√3m ，所以圆心到弦的距离为20，半径为40，因此根据经验公式计算出弧田的面积为12(40√3×20+20×20)=400√3+200，实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为12×2π3×402−12×20×40√3=1600π3−400√3， 因此两者之差为1600π3−400√3−(400√3+200)≈16，选B.点睛：扇形面积公式12lr =12αr 2，扇形中弦长公式2rsin α2，扇形弧长公式l =αr.6．A解析：A 【解析】 【分析】从极值点可得函数的周期，结合周期公式可得ω. 【详解】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，得2ω=．故选A ． 【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用方程思想解题．7．C解析：C 【解析】 【分析】以AB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,AC ⃑⃑⃑⃑ 作为基底表示出AP⃑⃑⃑⃑⃑ ，利用平面向量基本定理，即可求出． 【详解】∵P ，N 分别是BN ，AC 的中点，∴AP⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BN ⃑⃑⃑⃑⃑ =AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12(AN ⃑⃑⃑⃑⃑ −AB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AN ⃑⃑⃑⃑⃑ =12AB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ . 又AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =mAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +14AC ⃑⃑⃑⃑ ，∴m =12.故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量基本定理以及向量的线性运算，意在考查学生的逻辑推理能力．8．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f （x ）的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，得出结论． 【详解】根据函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π）的图象，可得A ＝1， 1274123w πππ⋅=-，∴ω＝2． 再根据五点法作图可得2×3π+φ＝π，求得φ＝3π，∴函数f （x ）＝sin （2x +3π）．故把y ＝f （x ）的图象上所有的点向左平移12π个单位长度，可得y ＝sin （2x +6π+3π）＝cos2x ＝g （x ）的图象. 故选B ． 【点睛】确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0，ω＞0)的步骤和方法：(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝2M m -，b ＝2M m+；(2)求ω，确定函数的最小正周期T ，则可得ω＝2πω；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx ＋φ＝2π；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx ＋φ＝32π. 9．A解析：A 【解析】 【分析】先利用正切值求得余弦值，再利用诱导公式、二倍角公式以及弦切互化公式求得表达式的值. 【详解】tan 3α=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得cos αα==，而()sin2cos 2sin cos cos 2απαααα+-=-==. 故选A. 【点睛】本小题主要考查已知正切值求两弦值的方法，考查三角函数诱导公式、二倍角公式，属于基础题.10．B解析：B 【解析】试题分析：由图象知1A =，74123T T πππ=-⇒=，22ππωω=⇒=，7()112f π=-7322122k ππϕπ⇒⋅+=+，2πϕ<，得3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+，为了得到()sin 2g x x =的图象，所以只需将()f x 的图象向右平移6π个长度单位即可，故选D ． 考点：三角函数图象.11．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为22AB CD CD⋅==，故选A ． 12．B解析：B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.详解：因为22(2)22||(1)213,a a b a a b a ⋅-=-⋅=--=+= 所以选B.点睛：向量加减乘： 221212(,),||,cos ,a b x x y y a a a b a b a b ±=±±=⋅=⋅13．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件和向量的运算法则整理计算即可求得最终结果. 【详解】由向量垂直的充分必要条件有：()20a a b a a b ⋅-=-⋅=， 即30a b -⋅=，据此可得：3a b ⋅=，设a 与b 的夹角θ，则：3cos 32a b a bθ⋅===⨯⨯,故6πθ=,即a 与b 的夹角为6π. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件，向量夹角的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14．D解析：D 【解析】 【分析】根据()6f A =得到4A π∠=，根据cos2cos2B C =得到38B C π∠=∠=，利用二倍角公式计算得到答案. 【详解】())264f A A π=-+=，即sin(2)42A π-=. 锐角三角形ABC ，故32,444A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故244A ππ-=，4A π∠=. ()2,20,B C π∈，cos2cos2B C =，故38B C π∠=∠=. 22tan 3tan 2tan 11tan 4B B B π===--，故tan 1B =或tan 1B =（舍去）.故选：D . 【点睛】本题考查了三角恒等变换，意在考查学生的计算能力.15．B解析：B 【解析】 【分析】根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,可得③、④正确,而①、②不一定成立,从而得到答案. 【详解】解：根据两个向量的数量积的定义,i OA OB OA OB ⋅=⋅为定值,而||||cos ||=||cos i i i i i OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB ⋅⋅=⋅<⋅>∴<⋅>,故①不一定成立,②也不一定成立.向量OA 及i OA 在向量OB 的方向上的投影为||OA OB OB ⋅,故④正确.()00,i i i i OA OB OA OB OA OA OB AA OB AA OB ⋅=⋅∴-⋅=∴⋅=⊥,即点i A A 、在一条直线上，如图,故③正确.故选：B. 【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义,一个向量在另一个向量上的投影的定义,属于中档题.二、填空题16．【解析】【分析】由所给函数图像过点列式利用诱导公式可得【详解】由函数图像过点得所以又两点在同一周期所以故答案为4【点睛】本题考查三角函数的图像与性质考查简单三角方程的解考查图形识别与运算求解能力属于 解析：=4ω. 【解析】 【分析】由所给函数图像 过点05(,)24y π,011(,)24y π-，列式115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，利用诱导公式可得.【详解】由函数图像过点05(,)24y π,011(,)24y π-,得05sin()24y πωϕ=+，011sin()24y πωϕ-=+，所以115sin()sin()2424ππωϕωϕ+=-+，又两点在同一周期，所以115()2424ππωϕπωϕ+=++，4ω=.故答案为4. 【点睛】本题考查三角函数的图像与性质，考查简单三角方程的解，考查图形识别与运算求解能力，属于基础题.17．【解析】【分析】【详解】函数f(x)的周期T ＝因此f(x)＝2sinωx 在上是增函数∵0<ω<1∴是的子集∴f(x)在上是增函数∴＝即2sin ＝∴ω＝∴ω＝故答案为解析：34【解析】【分析】 【详解】 函数f (x )的周期T ＝2πω，因此f (x )＝2sin ωx 在0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∵0<ω<1，∴0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦是0,πω⎡⎤⎢⎥⎣⎦的子集， ∴f (x )在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数， ∴3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝2，即2sin 3πω⎛⎫⎪⎝⎭＝2， ∴3πω＝4π， ∴ω＝34，故答案为34. 18．【解析】【分析】延长到使得;延长到使得构造出根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比【详解】延长到使得;延长到使得如下图所示:则可化为所以为的重心设则所以故答案为:【点睛】本题考查了向量加法法则的 解析：1:2:3【解析】 【分析】延长PB 到'B ,使得'2PB PB =;延长PC 到'C ,使得'3PC PC =,构造出''AB C∆,根据线段关系及三角形面积公式即可求得面积比.【详解】延长PB 到'B ,使得'2PB PB =;延长PC 到'C,使得'3PC PC =,如下图所示:则230PA PB PC ++=可化为''0PA PB PC ++=所以P 为''AB C ∆的重心设''''PAB PAC PB C S S S k ∆∆∆=== 则3'1122PAB PAB S S S k ∆∆=== 3'1122PAB PAB S S S k ∆∆=== 2'1133PAC PAC S S S k ∆∆=== ''11111sin sin 2223PBC S S PB PC BPC PB PC BPC ∆⎛⎫⎛⎫==⨯⨯∠=⨯⨯∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭''''1111sin 6266PB C PB PC BPC S k ∆⎛⎫=⨯⨯⨯∠== ⎪⎝⎭ 所以123111::::1:2:3632S S S k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为: 1:2:3 【点睛】本题考查了向量加法法则的应用,三角形面积的表示方法,需要构造三角形解决问题,属于中档题.19．【解析】【分析】根据共线列关系式解得结果【详解】因为ACD 三点共线所以因为所以故答案为:【点睛】本题考查根据向量共线求参数考查基本分析求解能力属基础题 解析：25【解析】 【分析】根据共线列关系式，解得结果. 【详解】因为A ，C ，D 三点共线， 所以//AC CD因为12121223352AC BC e e e e e AB e =+=-++=+ 所以25:21:5k k =∴= 故答案为: 25【点睛】本题考查根据向量共线求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.20．【解析】【分析】设得出关于x 的二次函数从而可求出最小时的P 点坐标再根据平面向量的夹角公式得出【详解】设则当时取得最小值此时故答案为【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算考查向量夹角的计算属于中档题解析：arccos10【解析】 【分析】设(),0P x ，得出AP BP ⋅关于x 的二次函数，从而可求出AP BP ⋅最小时的P 点坐标，再根据平面向量的夹角公式得出APB ∠． 【详解】设(),0P x ，则()2,2AP x =--，()4,1BP x =--，()()22242610(3)1AP BP x x x x x ∴⋅=--+=-+=-+．∴当3x =时，AP BP ⋅取得最小值．此时，()1,2PA =-，()1,1PB =，cos 105PA PB APB PA PB⋅∴∠===．arccos10APB ∴∠=．故答案为arccos 10． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，考查向量夹角的计算，属于中档题．21．【解析】【分析】当两向量的夹角为钝角时则两向量的数量积为负数由此可得实数的取值范围但要注意排除两向量共线反向的情形【详解】∵的夹角为60°∴∵向量与向量的夹角为钝角∴(解得令则得解得∴当时向量与向量解析：141(7,(,)222----. 【解析】 【分析】当两向量的夹角为钝角时，则两向量的数量积为负数，由此可得实数t 的取值范围，但要注意排除两向量共线反向的情形． 【详解】∵122,||1e e ==，12,e e 的夹角为60°, ∴1221601e e cos ︒⋅=⨯⨯=．∵向量122t 7e e +与向量12e te +的夹角为钝角，∴(()()2222121211222t 7)2t 2t 772t 1570e e e te e e e te t +⋅+=++⋅+=++<，解得172t -<<-． 令()12122t 7(0)e e e te λλ+=+<，则得27t t λλ=⎧⎨=⎩，解得2t λ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．∴当2t =-时，向量122t 7e e +与向量12e te +共线反向，不合题意． ∴实数t的取值范围为17,222⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】解答本题时注意以下结论：①0a b a b ⊥⇔⋅=；②当,a b 的夹角为锐角时，可得0a b ⋅>，反之不成立（注意共线同向的情形）；③当,a b 的夹角为钝角时，可得0a b ⋅<，反之不成立（注意共线反向的情形）．22．【解析】【分析】由平面向量模的运算可得＝0即可得解【详解】解：由题意得即又故＝0故的夹角为90°【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算属基础题 解析：90【解析】 【分析】由平面向量模的运算可得a b ⋅ ＝0，即可得解. 【详解】解：由题意，得22()2a b c +=，即22222a b a b c ++⋅=，又a b c ==， 故a b ⋅ ＝0，故a ，b 的夹角为90°． 【点睛】本题考查了平面向量模及平面向量数量积的运算，属基础题.23．【解析】【分析】直接利用投影公式得到答案【详解】在方向上的投影为：故答案为：【点睛】本题考查了向量的投影意在考查学生对于投影概念的理解情况解析：25-【解析】 【分析】直接利用投影公式得到答案. 【详解】(1,2)a =，(8,6)b =-，a 在b 方向上的投影为：8122105a b b⋅-==- 故答案为：25- 【点睛】本题考查了向量的投影，意在考查学生对于投影概念的理解情况.24．0或-3【解析】【分析】根据得到即可求解的值得到答案【详解】由题意向量因为所以整理得解得或故答案为0或【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算以及向量的共线的条件的应用着重考查了推理与运算能力属于基础题解析：0或-3 【解析】 【分析】根据//a b ，得到120x x x ++=（），即可求解x 的值，得到答案． 【详解】由题意，向量(,1),(2,1),a x b x x x R ==-+∈，因为//a b ，所以120x x x ++=（），整理得230x x +=，解得0x =或3-． 故答案为0或3-． 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，以及向量的共线的条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示，因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．三、解答题 26．（1）25-；（2）34- 【解析】 【分析】（1）由m n ⊥得0m n ⋅=，将a b a ，，与b 的夹角代入计算，列方程求出k 的值； （2）分别求出,,m n m n ⋅，利用公式cos m n m n m n⋅⋅>=<求解即可.【详解】解：（1）由m n ⊥得0m n ⋅= 又()()22(1)m n a b a kb a k a b kb ⋅=+⋅+=++⋅+12(1)cos403k k π∴+++=，解得：25k =-； （2）由（1）12(1)cos4523k k k m n π⋅=+++=+，()2222527m a b a a b b ==+⋅+=+=+，()22222242+1n a k a a b k b kbk k ==+⋅++=+cos m nm n m n ⋅⋅>=<，2cos 3π∴=， 解得：34k =-或16k =-（与520k +<不符，舍去）， 所以实数k 的值为34-. 【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量垂直的应用，考查学生的计算能力，是中档题． 27．（1）34m >-且12m ≠（2）34m =-，ABC ∆的面积为54． 【解析】【分析】（1）求出向量,BA BC ，根据ABC ∠为锐角，可知0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即可解出；（2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，解出实数m 的值并可以得到直角边,BA BC 的长，即可求出ABC ∆的面积．【详解】（1）()()()3,46,33,1BA OA OB =-=---=--， ()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---， 由ABC ∠为锐角可得，0BA BC ⋅>且,BA BC 不共线，即()()310310m m m m ⎧++>⎪⎨-+≠⎪⎩ ⇒ 3412m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩即34m >-且12m ≠； （2）由ABC ∆是以B 为直角的直角三角形可得0BA BC ⋅=，即()310m m ++=，解得34m =-．所以(BA =-=13,44BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，104BC =， 故ABC ∆的面积为1524=． 【点睛】 本题主要考查向量的运算和向量数量积的运用，易错点是向量夹角大小与数量积之间的等价关系．28．（1）154;（2）[2,5] 【解析】【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，（1）根据坐标直接求出数量积；（2）通过二次函数求出数量积的范围．【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则(2,0),(0,0)B A ，13(,)22D ，53(,22C ， （1）因为,M N 分别是,BC CD 上的中点，9333(,(,4422M N ∴， 9333(,),(,442AM AN ∴==， 933327315(()42884AM AN ∴⋅=⋅=+=； （2）设||||||||BM CN BC CD ==,[0,1]λλ∈， 3532,,2,2222M N λλλ⎛⎫⎛+- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 所以23532,2,252222AM AN λλλλλ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为[0,1]λ∈，二次函数的对称轴为：-1λ=，2222250205=5251215=2λλλλ∴--+≤--⨯+--+≥--⨯+，所以AM AN ⋅的取值范围是[2,5]．【点睛】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，是中档题．29．（1）34,55b ⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）4π 【解析】【分析】 （1）直接利用单位向量的应用和向量的共线求出结果．（2）利用向量的夹角运算和数量积运算及向量的模的运算求出结果．【详解】（1）由题意，向量(3,4)a =-，可得||5a =，又由b 是与a 方向相同的单位向量，所以34,||55a b a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭， （2）由c 是与a 垂直的单位向量，所以43,55c ⎛⎫=⎪⎝⎭或43,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 当43,55c ⎛⎫= ⎪⎝⎭时，可得17(,)55b c -=--， 则173()(4)()()5cos ||||5a b c a b c θ⨯-+-⨯-⋅-===-4πθ=， 当43,55c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭时，可得71(,)55b c -=-， 则713(4)()()5cos ||||55a b c a b c θ⨯+-⨯-⋅-===-⨯，解得4πθ=， 综上可得4πθ=．【点睛】本题主要考查了向量的夹角公式的应用，向量的数量积的运算和向量的模的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 30．（1）()41x y f x x ==-，1(1)3x ；（2）11[,]43 【解析】【分析】（1）由D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，,AP xAB AQ y AC ==，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于,x y 的方程，进而可得函数()y f x =的表达式；（2）设ABC ∆的面积为1，则APQ ∆的面积241x S xy x ==-，1(1)3x ，利用导数法，求出函数的值域，可得答案． 【详解】 （1）如图所示： D 为BC 的中点，M 为AD 的中点，∴111111()222244AM AD AB AC AB AC ==+=+， ,AP xAB AQ y AC ==，∴1144AM AP AQ x y =+，又PQM 三点共线， ∴11144x y+=， 即()41x y f x x ==-，1(1)3x 。
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浙江省杭州市学军中学2017-2018学年高二下学期
期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，，则（）. A．B．C．D．
2. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是（）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
3. 已知，，且//，则（）.
A．-3 B．3
C．D．
4. 在中，已知，则是（）.
A．等边三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
5. 用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应添加的式子是（）.
A．
B．C．D．
6. 我国有首故事歌《八子分绵》：“九百九十六斤绵，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人转”.意思是说：有996斤绵，分给8兄弟，按兄弟顺序，弟弟比相邻的哥哥多分17斤，问最小的弟弟可以分多少斤？（）.
A．201 B．184 C．167 D．150
7. 函数是（）.
A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数
C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数
8. 已知函数是定义在上的单调递增的函数，且满足对任意的实数都有
，则的最小值等于（）.
A．2 B．4 C．8 D．12
9. 已知点为双曲线的对称中心，过点的两条直线与的夹角为
，直线与双曲线相交于点，直线与双曲线相交于点，若
使成立的直线与有且只有一对，则双曲线离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
10. 已知定义在上的函数，当时，，且对于任
意的实数（），都有，若函数有且只有三个零点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
11. 复数的虚部为__________.
12. 若，为实数，则“”是“”的________条件.（填“充分但不必要”、“必要但不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）
13. 某几何体的三视图（单位：）如图所示，则该几何体的体积为
________.
14. 已知直线与抛物线相交于，两点，为抛物线的焦点，为坐标原点，若，则与的面积之比为________.
15. 在中，，，是的中点，，若，则的面积为________.
16. 用表示自然数的所有因数中较大的那个奇数，例如9的因数有1，3，9，则；10的因数有1，2，5，10，则，那么
________.
三、解答题
17. 在锐角中，内角，，的对边分别为，满足
，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且点满足，求的值.
18. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，，为的中点.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知点，点是圆上的动点，为线段的中点，为线段上点，且，设动点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）直线与曲线相交于、两点，与圆相交于另一点，且点、位于点的同侧，当面积最大时，求的值.
20. 设函数.
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若函数存在极值，对于任意的，存在正实数，使得
，试判断与的大小关系并给出证明.。