折射Lévy风险过程的Parisian破产问题
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本 文 研 究 的 折 射 Levy风险过程是一个保费根据公司的经营状况作出调整的风险过程. 即，当公司的盈余值超过某一个临界值6 时，公司可以对保费进行调整，降低保费率；但一
收稿日期：2017-10-26;修订日期：2018-08-20
E-mail: qfzxh@163.com
* 基金项目：国家自然科学基金（11571198; 11701319)和山东省自然科学基金（ZR2014AM021)
2019,39A (1):184-199
数学物理学报
http://actam s.wipm .ac.cn
折 射 L e v y 风 险 过 程 的 P a ris ia n 破 产 问 题 *
张 万 路 赵 翔 华 **
( 曲阜师范大学统计学院 山 东 曲 阜 273165)
摘要：该文主要讨论了折射L«6v y 风险过程（ Refracted L«6vy risk p ro ce s se s )的 P a risian 破产 问题. 折射L e v y 风险过程可以看作一个保费可作调整的风险过程. 该文借助L e v y 过程的尺 度函数（ scale fu n c tio n )以及波动性理论（flu ctu a tio n )给出了折射L e v y 风险过程的Parisian 破产概率的确切表达式. 关键词：折射L e v y 风险过程； P a risia n 延迟； P arisian 破产概率；尺度函数. M R ( 2 0 1 0 ) 主题分类：60J60; 60G40; 60J75 中图分类号：O211.6 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2019)01-184-16
185
旦公司的盈余值回到临界值以下，公司保费的收取就会回到原来水平.这种现象就是常见的
折射.本文研究的风险过程就是具有确定Parisian延 迟 （ r > 0 ) 的 折 射 L6vy风险过程.
假 设 b(2〇)是临界值，当公司盈余值超过b时，保费就会做出调整，若公司盈余值回
到了 b以下时保费会恢复到原水平.
在本文中，令 U=
2 0 } 表示公司的盈余过程，其满足下面的随机微分方程
= dX t — SI{Ut>b}dt, t > 〇, 5 > 〇.
(1-1)
其中，过 程 X = {Xt,t 2 0 } 为 一 谱 负 L6vy过程，其 Laplace指数为
j 1
|•⑶
^ ( s ) = 7 « + ^ s 2a 2 +
Supported by the NSFC (11571198; 11701319) and the Natural Science Funndation of Shandong Province (ZR2014AM021)
**通讯作者
No.1
张 万 路 等 ：折 射 L 6v y 风 险 过 程 的 Parisian 破产问题
在本文中，主要研究了 Parห้องสมุดไป่ตู้sian破 产 时 刻 kU :
= inf{t > 0 :t — > r},
其中， = sup{0 S s S t : Us > 0 } . 许多学者研究过不同风险模型的Parisian破产问 题 . 如 ， Dassios和 Wu(2008)W研 究 了 经 典 复 合 Poisson风 险 模 型 的 Parisian破产时间的 Laplace变换；Czarna和 Palmowski(2011)[2]和 Loeffen等 （2013)[3]在谱负 Levy 风险模型下 研究了 Parisian破产时间的Laplace变换；Wong和 Cheung(2015)[4]讨论了对偶风险模型的 Parisian破 产 问 题 . Lkabous等 （2017)间 讨 论 了 在 0 水 平 折 射 的 Levy风 险 过 程 的 Parisian 破产问题.本文推广了 Lkabous等 （2017)[81的模型，风险过程的折射水平由0 变为任意的 有 限 非 负 数 b(> 0).在本文中，给出了 Parisian破产概率的表达式.
( e - sz - 1 + s z I{0< z< 1})Tr(dz).
7 为 谱 负 Levy过 程 X 的漂移系数；c > 0 为扩散系数；测 度 I 是 在 （0,⑴）上 的 ^有 限 测
度 ，满足
广 / (1 八z2)i (dz) < to. Jo
若 c = 0, /0~ z i(dz) < to,谱 负 Levy过 程 {Xt :t > 0 } 为有界变差过程，可简记为Xt = ct- St. 其中， 。: = 7 + /0〇〇1 @ 4 称 为 义 的 漂 移 系 数 ， 5>4 = {5^)^>0}为 复 合 泊 松 过 程 .为 了
保证风险过程正的保费收入，假定
0 < 5 <c = y +
z^ (dz).
谱 负 Levy过 程 X 刻画了在临界水平b下方公司盈余值变化；令 Yt = Xt - 5t, t > 0, 则 过 程 Y = {Yt,t > 0 } 也 是 谱 负 Levy过程，它刻画了在临界水平b上方公司盈余的变化. 即，当公司状况良好，其 盈 余超过临界水平b时，公 司 保 费 率 减 少 5.为了模型中安全负荷 为正，要 求 E[Ui] > 0 或 E[Yi]>0.
1 绪论及模型介绍
近十几年， Parisian破产问题受到了越来越多的风险领域专家学者的关注. Parisian破 产 是 在 经 典 破 产 问 题 中 引 入 了 金 融 领 域 的 Parisian延 迟 概 念 .即 当 股 票 价 格 连 续 地 位 于 一 个特定水平以上或以下的时间超过特定时间才做出决策.如在风险模型中，盈余过程持续位 于 0 水平下的连续时间超过长度X 时，才做出破产的决策• Dassios和 Wu(2008)[1] 首次 在保险风险模型中介绍了 Parisian延迟，并 且 定 义 Parisian破产时间为盈余过程在第一次 位 于 0 水平下的连续时间超过长度r (> 0 ) 的时刻• Parisian延迟有两种情况：一种是延迟 期为确定，即 延 迟 期 X = r(> 0 ) 为一非负常数• Czarna和 Palmowski(2011)[2], Loeffen等 (2013)[3]，Wong和 Cheung(2015)[4] 等研究均是这种类型的Parisian破产问题；另一种是延 迟期为一非负的随机变量，即 X 为非负的随机变量. Baurdoux等 （2015)[5]，Landrianlt等 (2011, 2014)[6- 7]讨 论 的 就 是 这 种 随 机 延 迟 的 情 形 .Parisian破产时间被广泛认可是因为： 现实中的破产概率通常很小，即使盈余为负值，公司也可以运行一段时间，且很大可能会迅 速恢复到正盈余水平.因此，它比经典破产更具有应用价值.同时，可 以 将 Parisian延迟期 看作公司的负盈余水平的恢复期. Parisian延迟的引入可以在企业偿付能力与收益性之间 找到一个平衡.
收稿日期：2017-10-26;修订日期：2018-08-20
E-mail: qfzxh@163.com
* 基金项目：国家自然科学基金（11571198; 11701319)和山东省自然科学基金（ZR2014AM021)
2019,39A (1):184-199
数学物理学报
http://actam s.wipm .ac.cn
折 射 L e v y 风 险 过 程 的 P a ris ia n 破 产 问 题 *
张 万 路 赵 翔 华 **
( 曲阜师范大学统计学院 山 东 曲 阜 273165)
摘要：该文主要讨论了折射L«6v y 风险过程（ Refracted L«6vy risk p ro ce s se s )的 P a risian 破产 问题. 折射L e v y 风险过程可以看作一个保费可作调整的风险过程. 该文借助L e v y 过程的尺 度函数（ scale fu n c tio n )以及波动性理论（flu ctu a tio n )给出了折射L e v y 风险过程的Parisian 破产概率的确切表达式. 关键词：折射L e v y 风险过程； P a risia n 延迟； P arisian 破产概率；尺度函数. M R ( 2 0 1 0 ) 主题分类：60J60; 60G40; 60J75 中图分类号：O211.6 文献标识码：A 文章编号：1003-3998(2019)01-184-16
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旦公司的盈余值回到临界值以下，公司保费的收取就会回到原来水平.这种现象就是常见的
折射.本文研究的风险过程就是具有确定Parisian延 迟 （ r > 0 ) 的 折 射 L6vy风险过程.
假 设 b(2〇)是临界值，当公司盈余值超过b时，保费就会做出调整，若公司盈余值回
到了 b以下时保费会恢复到原水平.
在本文中，令 U=
2 0 } 表示公司的盈余过程，其满足下面的随机微分方程
= dX t — SI{Ut>b}dt, t > 〇, 5 > 〇.
(1-1)
其中，过 程 X = {Xt,t 2 0 } 为 一 谱 负 L6vy过程，其 Laplace指数为
j 1
|•⑶
^ ( s ) = 7 « + ^ s 2a 2 +
Supported by the NSFC (11571198; 11701319) and the Natural Science Funndation of Shandong Province (ZR2014AM021)
**通讯作者
No.1
张 万 路 等 ：折 射 L 6v y 风 险 过 程 的 Parisian 破产问题
在本文中，主要研究了 Parห้องสมุดไป่ตู้sian破 产 时 刻 kU :
= inf{t > 0 :t — > r},
其中， = sup{0 S s S t : Us > 0 } . 许多学者研究过不同风险模型的Parisian破产问 题 . 如 ， Dassios和 Wu(2008)W研 究 了 经 典 复 合 Poisson风 险 模 型 的 Parisian破产时间的 Laplace变换；Czarna和 Palmowski(2011)[2]和 Loeffen等 （2013)[3]在谱负 Levy 风险模型下 研究了 Parisian破产时间的Laplace变换；Wong和 Cheung(2015)[4]讨论了对偶风险模型的 Parisian破 产 问 题 . Lkabous等 （2017)间 讨 论 了 在 0 水 平 折 射 的 Levy风 险 过 程 的 Parisian 破产问题.本文推广了 Lkabous等 （2017)[81的模型，风险过程的折射水平由0 变为任意的 有 限 非 负 数 b(> 0).在本文中，给出了 Parisian破产概率的表达式.
( e - sz - 1 + s z I{0< z< 1})Tr(dz).
7 为 谱 负 Levy过 程 X 的漂移系数；c > 0 为扩散系数；测 度 I 是 在 （0,⑴）上 的 ^有 限 测
度 ，满足
广 / (1 八z2)i (dz) < to. Jo
若 c = 0, /0~ z i(dz) < to,谱 负 Levy过 程 {Xt :t > 0 } 为有界变差过程，可简记为Xt = ct- St. 其中， 。: = 7 + /0〇〇1 @ 4 称 为 义 的 漂 移 系 数 ， 5>4 = {5^)^>0}为 复 合 泊 松 过 程 .为 了
保证风险过程正的保费收入，假定
0 < 5 <c = y +
z^ (dz).
谱 负 Levy过 程 X 刻画了在临界水平b下方公司盈余值变化；令 Yt = Xt - 5t, t > 0, 则 过 程 Y = {Yt,t > 0 } 也 是 谱 负 Levy过程，它刻画了在临界水平b上方公司盈余的变化. 即，当公司状况良好，其 盈 余超过临界水平b时，公 司 保 费 率 减 少 5.为了模型中安全负荷 为正，要 求 E[Ui] > 0 或 E[Yi]>0.
1 绪论及模型介绍
近十几年， Parisian破产问题受到了越来越多的风险领域专家学者的关注. Parisian破 产 是 在 经 典 破 产 问 题 中 引 入 了 金 融 领 域 的 Parisian延 迟 概 念 .即 当 股 票 价 格 连 续 地 位 于 一 个特定水平以上或以下的时间超过特定时间才做出决策.如在风险模型中，盈余过程持续位 于 0 水平下的连续时间超过长度X 时，才做出破产的决策• Dassios和 Wu(2008)[1] 首次 在保险风险模型中介绍了 Parisian延迟，并 且 定 义 Parisian破产时间为盈余过程在第一次 位 于 0 水平下的连续时间超过长度r (> 0 ) 的时刻• Parisian延迟有两种情况：一种是延迟 期为确定，即 延 迟 期 X = r(> 0 ) 为一非负常数• Czarna和 Palmowski(2011)[2], Loeffen等 (2013)[3]，Wong和 Cheung(2015)[4] 等研究均是这种类型的Parisian破产问题；另一种是延 迟期为一非负的随机变量，即 X 为非负的随机变量. Baurdoux等 （2015)[5]，Landrianlt等 (2011, 2014)[6- 7]讨 论 的 就 是 这 种 随 机 延 迟 的 情 形 .Parisian破产时间被广泛认可是因为： 现实中的破产概率通常很小，即使盈余为负值，公司也可以运行一段时间，且很大可能会迅 速恢复到正盈余水平.因此，它比经典破产更具有应用价值.同时，可 以 将 Parisian延迟期 看作公司的负盈余水平的恢复期. Parisian延迟的引入可以在企业偿付能力与收益性之间 找到一个平衡.