高三数学 教案 基本不等式中常用公式
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人教B版高中数学选修4-5学案：1.2基本不等式
基本不等式
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
概念
编辑
文字叙述
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
公式
当且仅当
时取等号
其中
称为
的算术平均数，
称为
的几何平均数。
变形
当且仅当
时取等号
证明
编辑
算术证明
∴a²+b²≥2ab
当
时，两边开平方
因为
，所以当且仅当
时，不等式取等号。几何证明
在
中，
，点
为
的中点，
为高，设
，
由射影定理，得
基本不等式的几何证明
在
中，点
为斜边
的中点
中，
当且仅当
与
重合，即
时等号成立
推广
编辑
一般地，若
是正实数，则有均值不等式
当且仅当
取等号
应用
编辑
和积互化
和定积最大
当
一定时，
，且当
时取等号
积定和最小
当
一定时，
，且当
时取等号
求解最值
例：求
在
的最小值
解：由基本不等式可得，
当
即
时取等号
答：当
时，
在
有最小值
。