高三数学教案基本不等式中常用公式

高三数学教案基本不等式中常用公式及三大定理

基本不等式中常用公式
①√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)
②√(ab)≤(a+b)/2
③a²+b²≥2a b
④ab≤(a+b)²/4
⑤||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
基本不等式三大定理
•基本不等式有两种：基本不等式和推广的基本不等式（均值不等式）基本不等式是主要应用于求某些函数的最大（小）值及证明的不等式。

其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

（1）基本不等式
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。

向左转|向右转
向左转|向右转
（2）推广的基本不等式（均值不等式）
向左转|向右转
时不等式两边相等。

•不等式运用示例
某学校为了美化校园,要建造一个底面为正方形,体积为32的柱形露天喷水池,问怎样才能使得用来砌喷水池底部和四壁的镶面材料花费最少?
答：设底面正方形边长为x，则水池高为
32/x^2y=x^2+4x*32/x^2=x^2+128/x=x^2+64/x+64/x≥
3(1*64*64)^(1/3)=48所以当x^2=64/x,x=4时花费最少。

上面解法使用了均值不等式
向左转|向右转
时不等式两边相等。

基本不等式公式大全

基本不等式公式大全基本不等式是初中数学中的重要内容，也是数学学习中的基础知识。

它们在解决实际问题和证明数学定理中起着重要的作用。

下面我们来系统地总结一下基本不等式的公式大全。

1. 一元一次不等式。

一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次不等式。

其一般形式为ax+b>0（或<0），其中a≠0。

解一元一次不等式的关键是确定未知数的取值范围，然后根据不等式的性质进行求解。

2. 一元二次不等式。

一元二次不等式是指含有一个未知数的二次不等式。

其一般形式为ax^2+bx+c>0（或<0），其中a≠0。

解一元二次不等式的方法可以借助于一元二次方程的求解方法，通过判别式和一元二次函数的图像来确定不等式的解集。

3. 绝对值不等式。

绝对值不等式是含有绝对值符号的不等式。

其一般形式为|ax+b|>c（或< c），其中a≠0。

解绝对值不等式的关键是根据绝对值的性质来确定不等式的解集，需要分情况讨论绝对值的取值范围。

4. 分式不等式。

分式不等式是含有分式的不等式。

其一般形式为f(x)/g(x)>0（或<0），其中f(x)和g(x)是关于x的多项式函数。

解分式不等式的方法是确定分式的定义域，并根据分式的正负性来确定不等式的解集。

5. 复合不等式。

复合不等式是由多个不等式组合而成的不等式。

其一般形式为A∩B>0（或<0），其中A和B是简单不等式。

解复合不等式的关键是将复合不等式分解成简单不等式，并根据简单不等式的性质来确定复合不等式的解集。

6. 不等式的证明。

不等式的证明是数学证明中的重要内容，常用的方法有数学归纳法、反证法、换元法等。

在进行不等式的证明时，需要灵活运用不等式的性质和数学定理，严谨地推导出结论。

综上所述，基本不等式是数学学习中的重要内容，掌握好基本不等式的公式和解题方法对于提高数学水平和解决实际问题具有重要意义。

希望本文的内容能够帮助大家更好地理解和掌握基本不等式的知识，提高数学学习的效果。

数学不等式基本公式高中

数学不等式基本公式高中高中数学中的不等式基本公式，那可是相当重要的知识板块呀！不等式这玩意儿，就像是数学世界里的天平，得让两边保持平衡或者不平衡的合理状态。

咱先来说说常见的基本不等式公式，比如均值不等式。

对于正数 a 和 b ，有算术平均数大于等于几何平均数，也就是 (a + b) / 2 ≥ √(ab) 。

这个公式看起来简单，用处可大着呢！给大家举个例子吧。

记得有一次，学校组织数学竞赛，有一道题是这样的：小明要围一个矩形的花园，花园的周长是 20 米，问花园面积最大能是多少？这时候均值不等式就派上用场啦。

设矩形的长为 a ，宽为 b ，则 2(a + b) = 20 ，也就是 a + b = 10 。

根据均值不等式，(a + b) / 2 ≥ √(ab) ，所以10 / 2 ≥ √(ab) ，也就是5 ≥ √(ab) ，两边平方得到25 ≥ ab ，所以 ab 的最大值就是 25 ，这就是花园面积的最大值。

当时很多同学都没有想到用这个公式，绞尽脑汁也没算出答案，而我因为熟练掌握了这个不等式，轻松就解出来了，那感觉可太棒啦！还有一个重要的不等式，就是柯西不等式。

对于两组实数 a1, a2,..., an 和 b1, b2,..., bn ，有(a1² + a2² +... + an²)(b1² + b2² +... + bn²) ≥ (a1b1 +a2b2 +... + anbn)²。

这个不等式在解决一些复杂的最值问题和证明题时，威力巨大。

比如说，有这么一道题：已知 a 、b 、c 为正实数，且 a + b + c = 1 ，求证：(1 / a - 1)(1 / b - 1)(1 / c - 1) ≥ 8 。

这道题看起来就很让人头疼，但是用柯西不等式就能巧妙解决。

不等式的应用那是无处不在，不仅仅是在数学题目中，在生活里也能找到它们的影子。

高中不等式公式大全

高中不等式公式大全一、基本概念。

1. 不等式的定义，对于两个数a和b，如果a比b大，我们就写成a>b；如果a比b小，我们就写成a<b。

这种关系可以用不等式符号来表示。

2. 不等式的解集，不等式的解集是使不等式成立的全部实数的集合。

二、基本性质。

1. 不等式的传递性，如果a>b，b>c，则a>c。

2. 不等式的加减性，如果a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c（c>0时）。

3. 不等式的乘除性，如果a>b，c>0，则ac>bc，a/c>b/c（c>0）；如果a>b，c<0，则ac<bc，a/c<b/c（c<0）。

三、常见不等式公式。

1. 平均不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。

2. 柯西-施瓦茨不等式，对于任意两组实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)。

3. 阿贝尔不等式，对于任意n个实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，如果满足a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有a1b1+a2b2+…+anbn≤(a1+a2+…+an)(b1+b2+…+bn)。

4. 均值不等式，对于任意n个正数a1，a2，…，an，有(a1+a2+…+an)/n≥(a1a2…an)^(1/n)。

5. 三角不等式，对于任意实数a和b，有|a+b|≤|a|+|b|。

四、不等式的解法。

1. 图像法，将不等式转化为函数的图像，利用函数图像的性质求解不等式。

2. 代数法，通过对不等式进行变形，利用不等式的性质进行求解。

3. 参数法，引入参数，通过对参数的取值范围进行讨论，得到不等式的解集。

五、常见不等式。

基本不等式的六个公式

基本不等式的六个公式不等式是数学中重要的概念，它们对于解决复杂的数学问题有着重要意义。

不等式的六种基本公式是：分配率、乘法不等式、加法不等式、减法不等式、拉格朗日不等式和四平方和不等式。

分配率不等式是用来描述等式的一种方法，它可以用来求解数学问题，可用来推断等式的正确性和限制其取值范围。

它可以用来分析形如：a + b = c、a x b = c、a/b = c式的正确性，它可以用来转换简单的三项不等式：a + b < c、a b > c。

乘法不等式可以用来描述乘积的关系，表示形如：a x b < c a x b > c。

它可以用来分析有关乘积的问题，如求解最大值或最小值。

加法不等式可以用来描述和的关系，表示形如：a + b < c a + b > c。

它可以用来求解不等式中和最大值或最小值，并可以用来分析有关和的问题。

减法不等式可以用来描述差的关系，表示形如：a b < c a b > c。

它可以用来求解不等式中差的最大值或最小值，并可以用来分析有关差的问题。

拉格朗日不等式可以用来求解一般不等式的解，它可以描述形如：a x + b y c a x + b y c的关系。

在函数的极值计算中，最常用的不等式就是拉格朗日不等式，它可以用来求解函数的极大值或极小值。

四平方和不等式可以用来求解一元四次方程的最小正根，表示形如：a + b + c + d 4abc a + b + c + d 4abc关系，它也可用来求解一元四次方程的最大正根。

上述就是数学中的不等式的六种基本公式，它们在求解复杂数学问题中有着重要作用，在日常生活中也有着广泛应用。

比如在经济学中，不等式可以用来分析经济决策最优解；在建筑、运输技术等领域，不等式可以用来计算最小值和最大值以及求解复杂问题等。

总之，不等式的六种基本公式是数学中重要的概念，它们对于解决复杂的数学问题有着重要意义，同时也在日常生活中有着广泛的应用。

基本不等式公式

基本不等式公式在数学中，不等式是一种比较两个数量大小关系的数学表示式。

简单来说，不等式就是用不等于号、大于号或小于号来表示两个数之间的大小关系。

在解决数学问题时，我们常常会遇到各种不等式，其中最基本的不等式公式包括：加减不等式、乘除不等式和平方不等式。

1. 加减不等式加减不等式是指用加法和减法来表示数的大小关系的不等式。

以下是常见的加减不等式公式：1.1 加法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下加法不等式公式：•如果a > b，则a + c > b + c；•如果a < b，则a + c < b + c。

简单地说，加法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。

1.2 减法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下减法不等式公式：•如果a > b，则a - c > b - c；•如果a < b，则a - c < b - c。

类似地，减法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。

2. 乘除不等式乘除不等式是指用乘法和除法来表示数的大小关系的不等式。

以下是常见的乘除不等式公式：2.1 乘法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下乘法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；•如果a 0，则ac < bc；•如果a bc；•如果a > b 且 c < 0，则ac < bc。

2.2 除法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下除法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则a/c > b/c；•如果a 0，则a/c < b/c；•如果a b/c；•如果a > b 且 c < 0，则a/c < b/c。

高中基本不等式公式大全

高中基本不等式公式大全1. 基本不等式。

- 对于任意实数a,b，有a^2+b^2≥slant2ab，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：(a - b)^2=a^2-2ab + b^2≥slant0，移项可得a^2+b^2≥slant2ab。

2. 均值不等式（算术 - 几何平均不等式）- 若a>0,b>0，则(a + b)/(2)≥slant√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明：因为(√(a)-√(b))^2≥slant0（a,b>0），展开得a - 2√(ab)+b≥slant0，移项可得(a + b)/(2)≥slant√(ab)。

- 推广：对于n个正实数a_1,a_2,·s,a_n，有frac{a_1+a_2+·s+a_n}{n}≥slantsqrt[n]{a_1a_2·s a_n}，当且仅当a_1=a_2=·s=a_n时等号成立。

3. 基本不等式的变形。

- ab≤slant((a + b)/(2))^2（a,b∈ R），当且仅当a = b时等号成立。

- 若a>0,b>0，a + b≥slant2√(ab)，则a + b为定值m时，ab≤slantfrac{m^2}{4}；ab为定值n时，a + b≥slant2√(n)。

- 对于a>0,b>0，(2)/(frac{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)≤slant(a +b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}，当且仅当a = b时等号成立。

- 证明(2)/(frac{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)：因为(1)/(a)+(1)/(b)≥slant(2)/(√(ab))（a,b>0），所以(2)/(fra c{1){a}+(1)/(b)}≤slant√(ab)。

- 证明(a + b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}：(√(frac{a^2)+b^{2}{2}})^2-((a + b)/(2))^2=frac{a^2+b^2}{2}-frac{a^2+2ab + b^2}{4}=frac{2a^2+2b^2-a^2-2ab -b^2}{4}=frac{(a - b)^2}{4}≥slant0，所以(a + b)/(2)≤slant√(frac{a^2)+b^{2}{2}}。

基本不等式中常用公式高一知识点

基本不等式中常用公式高一知识点摘要：1.引言：介绍基本不等式2.基本不等式的常用公式3.高一知识点中的基本不等式应用4.结论：基本不等式在高中数学中的重要性正文：【引言】在高中数学中，基本不等式是一个重要的知识点。

基本不等式能够帮助我们解决许多与不等式相关的问题，它在数学中有着广泛的应用。

今天我们将探讨基本不等式中的一些常用公式，并介绍它们在高一数学中的应用。

【基本不等式的常用公式】在基本不等式中，有一些常用的公式，它们可以帮助我们更方便地解决不等式问题。

这些公式包括：1.两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 >= sqrt(ab)。

2.两个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a+b)/2 <= sqrt(-ab)。

3.一个正数和一个负数的算术平均数小于等于它们的几何平均数，即(a-b)/2 <= sqrt((-a-b)/2)。

【高一知识点中的基本不等式应用】在高一数学中，基本不等式在许多章节中都有应用，例如在解不等式、求最值等问题中。

下面我们通过一些例子来看一下基本不等式在高一数学中的应用。

例1：求解不等式x^2 - 3x + 2 > 0。

解：我们可以通过求解这个不等式的根，然后根据根的情况来确定不等式的解集。

首先，我们可以通过求解判别式来找到这个不等式的根：Δ= (-3)^2 - 4*1*2 = 9 - 8 = 1。

由于判别式大于0，所以这个不等式有两个实根，它们分别为x1 = 1 和x2 = 2。

因此，这个不等式的解集为x < 1 或x > 2。

例2：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1 在区间[0, 1] 上的最小值。

解：我们可以通过求解函数的导数来找到函数的极值点。

首先，求解函数的导数：f"(x) = 2x - 2。

然后令导数等于0，解得x = 1。

将x = 1 带入原函数，得到f(1) = 1 - 2 + 1 = 0。

基本不等式公式四个基本不等式成立的条件基本不等式的几种变形公式

一、基本不等式中常用公式（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。

（当且仅当a=b时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。

（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。

（当且仅当a=b时，等号成立）（4）ab≤(a+b)²/4。

（当且仅当a=b时，等号成立）（5）||a||b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。

（当且仅当a=b时，等号成立）二、高中4个基本不等式√[（a²+b²）/2]≥（a+b）/2≥√ab≥2/（1/a+1/b）。

平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数。

三、基本不等式两大技巧1.“1”的妙用。

题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。

如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。

2．调整系数。

有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

1、基本不等式：（当且仅当a＝b时取“=”号）；变式：①，（当且仅当a＝b时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

②；③；④；2、对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值，如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。

3、应用基本的不等式解题时，注意创设一个应用基本不等式的情境及使等号成立的条件，即“一正、二定、三相等”。

三、对基本不等式的理解：(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有(2)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件．均值不等式中：①当a=b时取等号，即对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出其余各个的最值：如：（1）当xy＝P（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，。

基本不等式八个公式

基本不等式八个公式基本不等式是初中数学中的重要概念，它是解决不等式问题的基础。

基本不等式有八个公式，分别是：1. 两个正数的和的平方大于等于它们的平方和。

即：(a+b)²≥a²+b²这个公式可以用来证明勾股定理。

2. 两个正数的积的平方大于等于它们的平方积。

即：(ab)²≥a²b²这个公式可以用来证明算术平均数和几何平均数之间的关系。

3. 两个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a+b)/2≥√(ab)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

4. 两个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a+b)/2≥2ab/(a+b)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

5. 三个正数的和的平方大于等于它们的平方和的三倍。

即：(a+b+c)²≥3(a²+b²+c²)这个公式可以用来证明均值不等式。

6. 三个正数的积大于等于它们的平方和的三分之一次方。

即：abc≥(a²+b²+c²)/3这个公式可以用来证明几何平均数大于等于算术平均数。

7. 任意多个正数的平均数大于等于它们的几何平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥√(a1a2...an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于几何平均数。

8. 任意多个正数的平均数大于等于它们的调和平均数。

即：(a1+a2+...+an)/n≥n/(1/a1+1/a2+...+1/an)这个公式可以用来证明算术平均数大于等于调和平均数。

以上就是基本不等式的八个公式，它们在解决不等式问题时非常有用。

我们可以根据不同的问题选择不同的公式来解决，从而更加高效地解决问题。

不等式高中数学公式

不等式高中数学公式不等式在高中数学中是一个非常重要的概念，它涉及到数学中的大小关系和数值范围的判断。

本文将介绍一些常见的不等式公式和相关的概念，帮助读者更好地理解和运用不等式。

一、基本符号和性质在不等式中，我们常常使用以下几个基本符号来表示大小关系：1. 大于：>，表示一个数大于另一个数；2. 小于：<，表示一个数小于另一个数；3. 大于等于：≥，表示一个数大于或等于另一个数；4. 小于等于：≤，表示一个数小于或等于另一个数。

不等式的性质有以下几点：1. 传递性：如果a>b，b>c，那么a>c；2. 加法性：如果a>b，那么a+c>b+c；3. 减法性：如果a>b，那么a-c>b-c，其中c为任意实数；4. 乘法性：如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么ac<bc；5. 除法性：如果a>b，且c>0，那么a/c>b/c；如果a>b，且c<0，那么a/c<b/c；二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次方程。

例如：2x+3>5，x-4<7等。

解一元一次不等式的方法与解一元一次方程类似，需要注意不等号的方向，解的过程如下：1. 将不等式转化为等式：将不等号改为等号，得到2x+3=5；2. 解方程得到x的值：2x=2，x=1；3. 根据不等号的方向确定x的取值范围：由于原不等式中的不等号是大于号，所以解为x>1。

三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知数的二次方程。

例如：x^2-3x+2>0，x^2-4x-5≤0等。

解一元二次不等式的方法如下：1. 将不等式化为二次方程：将不等式转化为等式，得到x^2-3x+2=0；2. 求出方程的解：解得x=1，x=2；3. 根据二次方程的图像和一元二次不等式的性质，确定x的取值范围：- 当不等式为大于号时，解为x<1或x>2；- 当不等式为小于等于号时，解为1≤x≤2。

高中数学不等式公式总结(一)

高中数学不等式公式总结(一)前言•数学不等式是高中数学中的重要内容•掌握不等式的公式和方法对于解题至关重要•本文将对高中数学不等式公式进行总结和归纳正文一、基本不等式公式•加减法原则：对不等式两边同时加减一个相同的数，不等式方向不变•乘除法原则：对不等式左右两边同时乘除以一个相同的正数，不等式方向不变；当乘除以一个负数时，不等式方向反转•等式性质：如果a=b，则a在不等式中的某两侧存在一一对应关系•平方性质：如果a>b，则a²>b²二、基础不等式公式•比较常见字母大小：对于有a、b两个字母组成的不等式，如果a=，b=，则a>b•平均值不等式：对于n个正数a₁,a₂,…,aₙ，平均值不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•柯西不等式：对于实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，柯西不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ)² ≤(a₁²+a₂²+…+aₙ²)(b₁²+b₂²+…+bₙ²)•差平方不等式：对于任何实数x,y，差平方不等式成立：(x+y)² ≥ 4xy三、特殊不等式公式•AM-GM不等式：对于非负数a₁,a₂,…,aₙ，AM-GM不等式成立：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √(a₁a₂…aₙ)•Schur不等式：对于非负实数a,b,c和非负整数r，Schur不等式成立：aᵣ(a-b)(a-c)+bᵣ(b-a)(b-c)+cᵣ(c-a)(c-b) ≥ 0•Holder不等式：对于p,q>1，1/p+1/q=1，实数a₁,a₂,…,aₙ和b₁,b₂,…,bₙ，Holder不等式成立：(a₁b₁+a₂b₂+…+aₙbₙ) ≤(a₁ᵖ+a₂ᵖ+…+aₙᵖ)¹/p (b₁q+b₂q+…+bₙq)¹/q结尾•本文对高中数学不等式公式进行了总结，并按照基本、基础和特殊不等式的分类进行了阐述•掌握这些不等式公式将为解题提供有力的工具•希望本文能为读者提供有用的数学知识，并提升解题能力。

4个基本不等式的公式

4个基本不等式的公式1、大于等于不等式：大于等于不等式的表述方式为：a≥b，其中a是位于不等式左边的符号，b为位于右边的符号，所表达的含义就是a大于或者等于b，也就是说，a要么大于b，要么等于b。

2、小于等于不等式：小于等于不等式的表述方式为：a≤b，其中a是位于不等式左边的符号，b为位于右边的符号，所表达的含义就是a小于或者等于b，也就是说，a要么小于b，要么等于b。

3、不小于不等式：不小于不等式的表述方式为：a≮b，其中a是位于不等式左边的符号，b为位于右边的符号，所表达的含义就是a大于或者等于b，也就是说，a要么大于b，要么等于b，明确地排除了小于b的情况。

4、不大于不等式：不大于不等式的表述方式为：a≯b，其中a是位于不等式左边的符号，b为位于右边的符号，所表达的含义就是a小于或者等于b，也就是说，a要么小于b，要么等于b，明确地排除了大于b的情况。

四个基本不等式按照不同情况可以概括为：（1）大于等于不等式：a≥b，表达的含义就是a要么大于b，要么等于b。

（2）小于等于不等式：a≤b，表达的含义就是a要么小于b，要么等于b。

（3）不小于不等式：a≮b，表达的含义就是a要么大于b，要么等于b，明确地排除了小于b的情况。

（4）不大于不等式：a≯b，表达的含义就是a要么小于b，要么等于b，明确地排除了大于b的情况。

四个基本不等式的应用：1、大于等于不等式的应用最为广泛，可以用来解决各种类型的问题，比如常见的线性规划问题就用到了大于等于不等式，大于等于不等式还可以用来表达数学中的凸函数，以及表述社会经济等问题。

2、小于等于不等式可以用来求解比较简单的线性规划、混合规划问题，常见的最大化问题一般也可以使用小于等于不等式表达。

3、不小于不等式有时也被称为大于不等式，它可以用来求解绝大部分的正则优化问题，比如拟牛顿的二次规划问题、非线性规划问题等。

4、不大于不等式也常被称为小于不等式，它可以用来求解最小化问题，比如最小距离问题、最小二乘问题等。

基本不等式公式讲解

基本不等式公式讲解基本不等式是数学中的一个重要概念，它描述了在特定条件下两个或多个正数之间的关系。

这些关系通常以公式形式给出，并用于解决各种实际问题。

以下是基本不等式的公式及其讲解：1. 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数：这是四个重要不等式的总称，它们反映了不同平均数之间的关系。

具体来说，平方平均数是指一组数的平方和的平均值，算术平均数是所有数的和除以数的个数，几何平均数是所有数的乘积的平方根，调和平均数是所有倒数之和的倒数。

2. √((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)：这也是一组重要的基本不等式。

它们反映了在不同条件下，两个正数a和b之间的关系。

这些不等式在解决最优化问题、不等式证明等方面有广泛应用。

3. 调整系数：在某些情况下，为了满足特定条件（如使两个式子的和为常数），需要对某些系数进行调整。

这种调整通常是为了满足某些数学规则或定理，以便更好地解决问题。

4. 有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。

5. 有一些常用公式：如√(ab)≤(a+b)/2、a²+b²≥2ab、ab≤(a+b)²/4等。

这些公式也是基于不等式的性质推导出来的，它们在解决各种数学问题中起到重要作用。

总的来说，基本不等式是数学中的重要概念，它们提供了在特定条件下正数之间关系的公式表示。

这些公式不仅有助于解决数学问题，还广泛应用于其他领域。

学习和理解这些基本不等式的性质和推导方法，有助于提高数学素养和解决问题的能力。

高中不等式公式总结

高中不等式公式总结高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙！今天咱们就来好好总结一下这些不等式公式。

首先，咱们得聊聊基本不等式，那就是对于任意正实数 a 和 b ，有$a + b \geq 2\sqrt{ab}$。

这个公式就像是一个神奇的魔法，能在很多问题中大展身手。

比如说，要建一个矩形的花园，已知周长是固定的，想让面积最大，这时候基本不等式就能派上用场啦。

这就好比我们走路，从 A 点到 B 点，不管是正着走还是绕着走，距离总是在一定范围内的。

还有柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$ 。

这就好像是两组士兵排队，它们的战斗力相乘总是大于等于某种组合方式下的战斗力平方。

我记得之前有一次给学生们讲不等式的习题课。

有一道题是这样的：已知$x > 0$，$y > 0$，且$x + y = 1$，求$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$的最小值。

同学们一开始都有点懵，不知道从哪里下手。

我就引导他们，咱们可以利用基本不等式来解决呀。

把$\frac{1}{x} + \frac{4}{y}$乘以$x + y$，得到$(\frac{1}{x} + \frac{4}{y})(x + y) = 1 + 4 +\frac{y}{x} + \frac{4x}{y}$，然后再利用基本不等式$\frac{y}{x} +\frac{4x}{y} \geq 2\sqrt{4} = 4$，所以$\frac{1}{x} + \frac{4}{y} \geq 5+ 4 = 9$，当且仅当$\frac{y}{x} = \frac{4x}{y}$，且$x + y = 1$时，等号成立。

重要不等式公式四个

重要不等式公式四个1. 阿贝尔不等式：阿贝尔不等式是关于整数的不等式，由法国数学家安德烈·阿贝尔于1834年提出，它是数论中最基本且最简单的不等式。

阿贝尔不等式是一个组合体系成立的原理，它认为任意整数分解后就可以被分解为多个指数相同的素数的乘积，而这种分解是唯一的，其格式表示为：$$n = p_1^{a_1}p_2^{a_2} ··· p_k^{a_k}$$其中$P_i(i=1,2,···,k）$是若干不同的质数，而$a_i（i=1,2,···,k）$是因子的指数（也就是同一个质因子出现的次数）。

2. 斯特林公式：斯特林公式是一个有关均值和方差的不等式公式，可以用于证明随机变量边缘分布的一些限制。

该公式由Norwegian康提·斯特林在1907年提出，它的形式如下：$$E[f(X_1，X_2，···，X_n)]≤(E[X_1]，E[X_2]，···，E[X_n])$$其中，$f$是一个被称为斯特林函数的连续可微分函数，$X_1,X_2，···，X_n$分别是n个随机变量，$E[X_i]$则表示随机变量$X_i$的期望值。

3. 希尔伯特不等式：希尔伯特不等式是1909年由David 希尔伯特首次提出的，它是一个有关函数的不等式，它可以用来限制函数的最大值和最小值的范围，表达式如下：$$f(b)−f(a)≤M(b−a)^{k}$$其中，常数$M$和$k$是正实数。

它是求解函数极值问题最基础的不等式。

4. 诺耶－伯拉切不等式：诺耶－伯拉切不等式也称为梯形不等式，是因关于此不等式的研究发现，它把一个实数区间分成了左边的一段和右边的一段，形状类似梯形，因此得名。

它的表达式如下：$$\sum^n_{i=1}m_i(x_i-a_i)^2≥\sum^n_{i=1}m_i(b_i-a_i)^2$$其中，$m_i>0$是系数，$a_i,b_i$分别是第i个相关因子的取值范围，$x_i$是实际取值。

高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结

高中数学不等式公式高一数学不等式知识点总结1. 不等式的基本性质：- 两边加（减）一个相同的数，不等式的不等关系不变。

- 两边乘（除）一个正数，不等式的不等关系不变。

- 两边乘（除）一个负数，不等式的不等关系反向。

2. 不等式的解集表示：- 不等式的解集可以用区间表示，例如：(a, b)表示大于a小于b的所有实数。

- 不等式的解集也可以用集合表示，例如：{x|x > a}表示大于a的所有实数。

3. 常见的不等式公式：- 两个数的大小关系：若 a < b，则有 a + c 0), ac > bc (若 c < 0), a/c < b/c (若 c > 0), a/c > b/c (若 c < 0)。

- 平方不等式：若 a > b，则有 a^2 > b^2。

- 乘方不等式：若 a > b > 0 且 n > 0，则有 a^n > b^n。

- AM-GM 不等式：对于非负实数 a1, a2, ..., an，有 (a1 + a2 + ... + an)/n ≥√(a1a2...an)。

4. 不等式的证明方法：- 利用性质证明法：利用前述不等式的基本性质进行推导，将不等式化为已知的形式。

- 利用数轴法：将不等式的解集在数轴上表示出来，通过移动自变量的位置来判断不等式的成立性。

- 利用函数法：将不等式视为一个函数的性质，通过证明函数的单调性来得出不等式的结论。

- 利用数学归纳法：当不等式涉及到自然数时，可以使用数学归纳法来证明不等式的成立性。

以上是高一数学不等式的一些基本知识点总结，希望对你有帮助。

不等式基本公式四个

不等式基本公式四个在数学中，不等式是一种描述数值关系的数学语句。

与等式不同，不等式表示的是两个数值之间的大小关系，而不是相等关系。

不等式是数学中重要的概念之一，它在代数、几何、不等式证明等诸多领域都有应用。

在学习不等式的过程中，有四个基本的不等式公式是我们需要掌握的。

它们分别是：加法不等式、减法不等式、乘法不等式和除法不等式。

1.加法不等式：加法不等式是描述两个数相加的大小关系的不等式。

设a、b和c是实数，那么有以下的加法不等式：-如果a>b，则有a+c>b+c。

-如果a<b，则有a+c<b+c。

2.减法不等式：减法不等式是描述两个数相减的大小关系的不等式。

设a、b和c是实数，那么有以下的减法不等式：-如果a>b，则有a-c>b-c。

-如果a<b，则有a-c<b-c。

3.乘法不等式：乘法不等式是描述两个数相乘的大小关系的不等式。

设a、b和c是实数，其中c不等于零，那么有以下的乘法不等式：-如果a>b且c>0，则有a*c>b*c。

-如果a>b且c<0，则有a*c<b*c。

-如果a<b且c>0，则有a*c<b*c。

-如果a<b且c<0，则有a*c>b*c。

4.除法不等式：除法不等式是描述两个数相除的大小关系的不等式。

设a、b和c是实数，其中b和c不等于零，那么有以下的除法不等式：-如果a>b且c>0，则有a/c>b/c。

-如果a>b且c<0，则有a/c<b/c。

-如果a<b且c>0，则有a/c<b/c。

-如果a<b且c<0，则有a/c>b/c。

这四个基本的不等式公式是解决不等式问题的基础。

在实际应用中，我们常常需要通过变形、化简或使用合适的不等式公式来推导和解决具体的不等式问题。

除了这四个基本的不等式公式，还有一些其他和应用广泛的不等式公式，比如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、三角不等式等等。

高考不等式公式汇总

不等式公式汇总一不等式的证明证明不等式选择方法的程序：①做差：证明不等式首选不等式，做差的本质是因式分解，能否使用做差法取决于做差后能否因式分解；②作比：通过构造同底或同指数合并作比结果，再利用指对数图像判断大于小于1； ③用公式：构造公式形式；等价变形：左右两边n 次方；平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数)：2221122a b a b ab a b++≥≥≥+(当a = b 时取等) 33a b cabc ++≤，123123a a a a a a ++≤++，(0)a b a b a b ab -≤-≤+≥时,取等④等价变形：不能直接做差、做比、用公式的先等价变形在做差、做比、用公式证明，后面的方法都是特殊的等价变形方法；⑤逆代：把数换成字母；⑥换元：均值换元或三角换元；⑦放缩：放大或缩小成一个恰好可以化简的形式；⑧反证：条件比较复杂，结论比较简洁时，把结论的相反情况当成条件反证； ⑨函数求值域：共有四种方法：见函数值域部分；⑩几何意义：斜率，截距，距离；数学归纳法:适合数列不等式。

二不等式的解法(一)有理不等式1．一次不等式：ax b >解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。

2．二次不等式：20ax bx c ++>两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。

3．高次不等式：序轴标根法(二)绝对值不等式、无理不等式、分式不等式先变形成有理不等式，再求解。

绝对值不等式：当a> 0时，有 22x a x a a x a <⇔<⇔-<<. 22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.无理不等式：(1)()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. (2)2()0()0()()()0()0()[()]f x f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. (3)2()0()()()0()[()]f x f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩(三)指数不等式对数不等式不等号两边同时取指数或同时取对数，变成相同的形式后，再换元成有理不等式求解。

高三数学 教案 基本不等式中常用公式