一道导数调研试题的解法探究

贝ｇ： ０即 一 ： ＝， ０‘’ ’ ｆ “一 ０ ｆ ＝ 。 ２
Ｒ， ０＞０ ． 且 ）
（） １ 讨论 函数 ＿ 的 单 调 性 ； 厂 （ ） （） ２ 若 ＝２ １ ， 于 的 方 程 ＿ ）＝２ ｘ有 唯 一 解 ， ００关 厂 （ ａ 求
。的值。
设 函数 ｈ ）＝ ｌｘ＋ 一１ 因 为 在 ＞ （ ２ｎ ， ０时 ， （ 是 增 ｈ ）
一
答案： ） （ 由已知 ＞ ， （） ２一 一 ） 竿． Ｉ 得 ０且厂 ＝ （ １ ．
当 是 奇 数 时 （ ＞ ， ） ０ 则 － ） （ ， 厂 在 ０ ＋＊ ） 是增 函数 ； （ 上
当 是 偶 数 时 ， 厂（ 则 ）： 一 ： Fra Baidu bibliotek ２
所 以 当 ∈（ ） ０， 时 （ ）＜０ ． 当 ∈（ ＋ ） ，（ 口， 时 ’ ）＞０ ．
强 的 观察 能力 、 维 能 力 及 处 理 复 杂 代 数 式 的 能 力 ． 思 以下 是
故 当 是 偶 数 时 ， ） （ ， ） 是 减 函 数 ， （ ， ｆ（ 在 ０ 上 在 ｏ
＋ ） 是 增 函数 ． 上
笔 者 用 分 离 参 数 法 解 该 题 第 二 问 ， 理 出供 大 家参 考 ． 整 解法一
一
Ｙ＝ ＋ｌ ｎ ｘ在 （ ， 。） 有 且 只 有 一 个 零 点 ， 妨 设 ０ ＋。 上 不
２ 三 （ ： 一。 。： 一。 ）
若 方 程
零 点 ＝‰ ∈（ ， ） ０ １． （ ） ＋ｌ ０时 ， １当 ｎ ＝ 方程 ２ （ ａ ＋ｌ ）＝ 无 解 ； ｎ ｘ （ ） ＋ｌ ≠０时 ， 。＝ｘ＋ ｎ ， ， ）＝ ２ 当 ｎ ２ ｌｘ 令 （ 厂（ ＝ ）
ｇ
分析
数 学 考试 第 ２ ０题 ， 要 考 查 函 数 、 数 、 数 函 数 、 角 函 主 导 对 ｉ 数 等 知识 ， 考查 函数 与方 程 、 形 结 合 、 化 和 化 归 、 类 讨 数 转 分 论等数学思想方法． （ ） 题 要准 确地确 定分类 的标 准 ； 第 １小
第 （ ） 题 ， 重 在 正 确 审 题 ， 方 程 根 的 问 题 转 化 为 函 数 ２小 着 将
／（ ＝ ） 的 唯 一 解
（ ） ０，０
Ｆ ） （
当 ＝ ： ， ）＝ ，（ … ＝ｇ ） 时 ｇ（ ０ｇ ） （ ．
因为 ｇ ｘ ０有 唯 一 解 ， 以 ｇ ） ０ （ ）＝ 所 （ ＝ ．
（ ，） ‰ １
１
Ｏ
（， １ ＋∞ ）
＋
，
）＝ ａ 有 唯 一 解 ， ｇ ）＝ ２ｘ 即 （ ０有 唯一 解 ；
忑， 由
令 ｇ （ ）＝ ， ０ 得 一 ｘ一０＝ ． ａ ０ 因为 ｎ＞ ， ０ ０ ＞ ，
所 以 。 ：里 ｃ。（ 去 ） 舍
：
里
＝。 得 ＝１ 下 面 分 析 ＝ １是 ， ，
，
当 Ｅ（ ，： 时 ， ０ ） ｇ （ ）＜ ， （ 在 （ ， ） 单 调 递 减 ０ ｇ ） ０ 是
．
（ 离参数 、 形结合） 分 数
（） ２ 若 ＝ ０ ０ 则 － ）＝ 一 ａｎ （ ∈Ｎ ． ２ １， 厂 （ ２ ｌｘ ）
’ ．
‘ ＋］ Ｙ： ｎ ｘ在 区 间 （ ， 。 上 单 调增 且 值 域 为 Ｒ， ０ ＋ｏ ）
．
记 ｇ ）＝ ）一 ａ 一 ａ ｌ （ ／ ２ ｘ＝ ２ ｘｎ ｘ一２ ｘ ｇ （ ）＝２ ａ ， ∞ ｘ一
函数 ， 以 ｈ ）＝０至 多 有 一 解． 所 （
因 为 （ ）＝ ， １ ０ 本 题是 ２０ ２ １ ０ ９～ ０ ０年 南 通 市 高 ｉ 第 三 次 模 拟 所以方程（ ） 的解 为 ： ， 而 解 得 。： ． ：１ 从 反 思 将 方 程 ＿（ ） ＝２ ｘ有 唯 一 解 转 化 为 方 程 厂 ａ
函数 ；
厂（ ）＝ ０的 唯一 解 ．
再 令 ｙ＝ 一１ ２ ｎ ， Ｙ ＝ ＋ １ｘ＋ 由 ＋１＞ ０知 ， Ｙ＝ 一１
当 Ｅ（ ， 。） ， ＋ａ 时 ｇ （ ）＞ ， （ 在 （ ， ０ ｇ ） ２ ＋∞ ） 是 上 单 调递 增 函数 ．
２ｎ ＋ 在 区 间 （ ， ） （ ， ） 单 调 增 ， 以 ＝１是 １ｘ ０ ， 。 ＋ 上 所
（
） 无直求， 学陷绝． 法接解 分生入境 ０ 部 再
图像 交 点 个 数 问题 ．
乖 ｆ ＝’ ｆ一 ２ ’程 ）实 ０ ｇ２ ｏ “一 方 （ 其 用‘ 得 ２ ０
【 ２ ＝ ， 【 一 一 ＝ ． ｇ（ ） ０ ｎ２ 口 ０
是 由此 方 程 组 消去 得 到 的 ， 而 消 去 参 数 。可 得 ２ｎ ＋ 转 １ ｘ
１＝ ， 利 用 函数 与 方 程 的有 关 知 识 解 得 ＝１ 即 １ ０再 ， 一
２ｌ 一 ａ １ ０解得 ｏ ÷ ， ａ ｌ ２× ＝ ， ｎ ＝ 使问题成功获解的学生凤毛
．
麟 角 ！参 考 答 案 虽 然 思 路 自然 ， 技 巧 性 很 强 、 度 很 大 对 但 跨
学 生 而 言 有一 定 的 难 度 ， 具 挑 战 性 ！需 要 学 生 具 备 有 较 极
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７ ・ ６：
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辔 。
一
道导数调研试题的解法探 究
◎ 王树 峰 （ 苏省如皋市薛窑中学 江 ２６ ４ ） ２ ５ １
两 式相 减 ， ａｎ ２＋。 ２一Ⅱ＝０， 得 ］ｘ 因 为 。＞０， 以 ２ｎ ２＋ 所 １ｘ ２—１＝０（ ） ．
题 目 已矢 函 数 ， ）＝ 一 ａ ｏ ｋ ・ ｎ （ ∈Ｎ Ⅱ 口 （ ２ ｃ ｓ ￣ ｌｘ ， ∈