新课标三角函数知识点归纳

三角函数

三角函数三大板块：基本计算+图像与性质+应用（解三角形）

一、基本计算

1．任意角、弧度制：l r

α= 180°＝π（弧度）． 2

1122S lr r α==．

2．任意角的三角函数定义

初中 高中

sin α＝y

r

，(

r r =

cos α＝x r ，

Tan α＝y

x

．

（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）

特殊角的三角函数值

(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1；(2)商数关系：sin α

cos α＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα

4、两角和差公式：

()()22sin 2sin sin cos cos sin ...sin 22sin cos ...............sin cos 2

cos cos cos sin sin ...cos 2cos sin ........................α

αβαβαβααααααβαβαβααα

±=±⇒=⇒=

±=⇒=-...........两角和差公式................二倍角公式...............降幂公式

2222

1cos 2......................................................2cos 1............cos 21co ..............................................................................12sin ............sin α

αααα+=-⇒=

-=-⇒=

()2s 22

tan tan 2tan tan ..................tan 21tan tan 1tan ααβα

αβααβα±±=⇒=

-

5．诱导公式:概括为k ·π2±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π

2的奇

数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦,正切变余切)；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时，根据k ·π

2±α在哪个象限判断原．三角．．函数值的符号 6

辅助角公式：()sin cos a b θθθϕ+=+二弦归一⇒把两个三角函数的和或差化为一个三角函数： 三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换，灵活运用三角公式，掌握运算化简的方法．常用的方法技巧如下： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，

互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α

的二倍； ②1545306045o o o o o

=-=-；问：=12sin π ；=12

cos π ；

③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4

()4()()(2απ

απβαβαα--+=-++=；等等.

如[1]()21tan ,tan ,tan 5444ππαββα⎛⎫⎛

⎫+=

-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭则 （322 [2]若cos(α＋β)＝45 ，cos(α－β)＝－45 ，且π2 ＜α－β＜π，3π

2 ＜α＋β＜2π，则cos2α＝____，cos2β＝___.（－725 ，－1

[3]已知

()sin cos 21,tan ,1cos 23αααβα=-=-- 则()tan 2βα-= （18

）

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名（二弦归一）。

=

+)10tan 31(50sin o o

()12cos102sin 30102

cos102sin 40cos40sin80=sin50sin50sin501cos10cos10cos10cos10cos10o o

o o o o o o

o o o o o o o o ⎛⎫ ⎪+⎛⎝⎭⋅=⋅=⋅=== ⎝⎭

解析：原式 （6）三角函数式的化简运算基本规则：复角化单角，异角化同角，见切化弦，二弦归一，高次化低次，特殊值与特殊

角的三角函数互化。

二、图象与性质：

5、研究函数sin()y A x ωϕ=+性质的方法：类比于研究sin y x =的性质，只需将sin()y A x ωϕ=+中的x ωϕ+看成sin y x =中的x 。

周期性：①()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||

T πω=

。 ②()tan()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是||

T π

ω=

。 单调性：在求sin()y A x ωϕ=+的单调区间时，要特别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。

如函数2

3

y sin(x )π

=-+

的递减区间是______（答：

1、 几个物理量： ①振幅：A ；②周期：2π

ω

T =

；③频率：12f ω

π

=

=

T ；④相位：x ωϕ+；⑤初相：ϕ． 2、 函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定.

函数()sin y x ωϕ=A ++B ，当

1

x x =时，取得最小值为

min y ；当

2

x x =时，取得最大值为

max

y ，则

()max min 12y y A =

-，()

max min 12y y B =+，()21122x x x x T

=-<．

3、函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,

,22

2

π

π

ππ求出相应的x 值，

4、函数y ＝sin x 的图象经变换可得到()sin y A x =ω+ϕ()0＞ω的图象

5、函数sin()y A x b ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图象，则向左或向右平移应平移|

|ϕ

ω

个单位， 如要得到函数y ＝sin (2x －π

3

)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )

(A)向左平移 π3 个单位 (B)向右平移π3 个单位(C)向左平移π6 个单位 (D)向右平移π

6 个单位

6、函数y ＝Acos （ωx ＋ϕ）和y =Atan （ωx ＋ϕ）的性质和图象的变换与y ＝Asin （ωx ＋ϕ）类似。

三、三角函数的应用（解三角形） 正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===.余弦定理：222

2cos a b c bc A =+-;bc a c b A 2cos 222-+=

B c

C b a cos cos +=111sin =2242C abc S ab C c h R ==•=

（a+b+c ）r=))()((c s b s a s s ---；⎪⎭

⎫

⎝⎛++=)(21c b a s . π=++C B A 2

2sin 2sin π

=

=⇒=C B A B A 或

解三角形的三种题型：题型一：知三求一

（15）△ABC 中，若4cos 5A =，5cos 13C =，a =1，则b =____________.

（4）已知a =

2c =，2

cos 3

A =

，则b=（ ）（A （B （C ）2 （D ）3

.4、已知2b =，6

B π

=

，4

C π

=

，则ABC ∆的面积为（ ）（A ）2 （B 1 （C ）2（D 1

（10）锐角ABC ∆，2

23cos cos 20A A +=，7a =，6c =，则b =（ ）（A ）10（B ）9 （C ）8 （D ）5

题型二：条件是关系式

（17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2

B=2sinAsinC （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；（Ⅱ）设B=90°，且a=2，求△ABC 的面积

（17）已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，c = 3a sinC －c cosA

(1) 求A ；（2）若a =2，△ABC 的面积为3，求b ,c. 17.ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，已知2

sin()8sin 2

B

A C +=，（1）求cos

B ； （2）若6a c +=，AB

C ∆的面积为2，求b ． 题型三：一图多个三角形