Ch03：数值计算方法之常用函数值计算方法

3.3 数的开平方与开立方
• 求一个正数a的算术平方根或立方根总是一个很重
要的数学问题，在工程计算中也有广泛的应用，所 以只得编写专门的c语言函数。
•首先可以牛顿法求1~100以内的书的平方根和
1~1000以内的数的立方根，在这种情况下牛顿求解 的效果非常好。
•对于超过上述范围的数来说，可以通过移动小数点
x3 x5 x 2 n 1 sin( x) x (1) n 3! 5! (2n 1)!
不难得到
sin( x) x2 x4 x 2n 1 (1) n x 3! 5! (2n 1)!
对于x∈[0,π]而言，上面两式的收敛性都不成问题。 对于求sin(x)的近似值来说，无论是计算量，还是误差 控制，利用后面一个公式计算的优越性更多一些。
3.5 三角函数值计算方法
•求任意角的三角函数值也是科学计算中经常遇到的
问题，利用三角函数的诱导公式，不难把任意角的 三角函数转化为锐角三角函数。
•由于tan(x)=sin(x)/cos(x)，cot(x)=1/tan(x)，所以只
要解决了sin(x)和cos(x)的精确的数值计算问题，其 它的三角函数的计算问题也就迎刃而解了。
•我们可以利用sin(x)和cos(x)的泰勒展式来求相应的
近似值，不过需要结合机器计算采用相应的技巧。
•我们的课堂上只介绍求sin(x)近似值的计算方法，其
余部分大家可以阅读教材，也可以在课后组织讨论。
1 正弦函数泰勒展式的处理方法
首先考虑正弦函数y=sin(x)在x∈[0,π]的函数值计 算问题。利用y=sin(x)在x=0处的泰勒展式
6．完整的算法说明
对于适当给定的x,(实际上可以假定|x|<π/4<1), 记 SINTV(x，eps)表示利用sin x的泰勒展式计算sin(x)的 近似值，且误差不超过eps的近似值，那么SINTV(x， eps)的完整算法可以表述为：
double SINTV(double x, float eps) { n=SINTRN(x,eps); return x*SINTNV(x,n); } 实际还有许多细节问题，大家可以进一步参看教材 中的处理方法，也可借鉴作者的思想寻找自己的方法。
4．秦九韶算法
可以把多项式改写为便于递推的形式 A(x)=( a0+ x(…(ak+x(…(an-1+x(an))…))…)) 记 yk=(ak+x(ak+1+x(…(an-1+x(an))…))) 约定yn=an，不难得到递推关系式 yn=an yk=ak+x*yk+1，k=n-1,n-2,…,0 且y0就是所需要的结果。 利用上面的递推格式求多项式的值的算法称为秦 九韶算法，一些国外文献称之为Horner算法，其实是 我国南宋时期的数学家秦九韶首先提出来的。
3.2多项式与有理函数值计算方法
对于一般形式的多项式 A(x)=a0+a1x+…+anxn 如果把它看成一般意义下的实函数而涉及到求数值结 果时，可以用更易于编程的形式把它表示为 PolyValue(x,A,n)= a0+a1x+…+anxn 其中A是(2.1)式给出的多项式A(x)的系数构成的(行)向 量，亦即 A=(a0,a1,…,an) 程序设计时，可以把A说明为一个n+1维数组，此时 约定A[0]存放a0，A[1]存放a1，…，A[n]存放an。
而且有SINTNV(x,n)=y1。 计算源代码见教材第54页程序3.06。
5．根据精度要求确定项数n
对于给定的n值，利用SINTNR(x,n) 作为sin(x)/x的近似值， 根据莱布尼兹级数理论，截断误差Rn(x)满足关系式 Rn(x)≤x2n/(2n+1)!≤x2n/(2n)! 为此，我们记
明一个临时变量power存放x的各次幂，并利用xk=xxk-1 来简化计算。我们把这种算法称为逐项求和算法。
逐项求和算法实际上特别简单，直接阅读教材第
45页的程序3.01的源代码即可掌握这个算法。
3 程序3.01 逐项求和法求多项式的值
double PolyValue(double x,double*A,int n) { double power=1.0,y; int k; y=A[0]; for(k=1;k<=n;k++) { power*=x; y+=A[k]*power; } return y; } 注释：程序3.01由于循环体内出现了两次乘法运算，所 以计算量为O(2n)。
n2 x )n, x (RNTNIS !)n2(
则对于给定的x∈[0,π]以及ε>0，可以通过求解下面的不等式 SINTNR(x,n)<ε 来寻找所需要的n。记 SINTRN(x,ε)=min{n|SINTNR(x,n)<ε} 我们不难编写一个小程序来计算SINTRN(x,ε)。源代码见教材第 55页程序3.07。
对于求x1来说，可以把分子有理化，从而得到
x1 2c b sign( b) b 2 4ac
3．求数值解的具体方法
如果记
b sign( b) b 4ac Quad( a, b, c) 2
2
那么x1，x2还可进一步简单地表示为 x1=c/Quad(a,b,c)，x2=Quad(a,b,c)/a 其中x1，x2分别为一元二次方程的绝对值较小，较大的 根。 求解Quad(a,b,c)的c语言函数可以说明为 double Quad(double a,double b, double c) 完整的源程序见教材第52页程序3.05。
• 大家应该特别注意的是，利用泰勒展式计算函数值只是在一
个较小的范围内效果比较好，对于超出这个范围的问题来说， 还需采用一些其他的数学方法对问题作适当的处理。
3.1 引言：研究的意义
在微积分学中，幂函数、指数函数、对数函数、 三角函数、以及反三角函数统称为基本初等函数。 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所形 成的函数称为初等函数。 结论：我们只要要解决了基本初等函数值计算问 题，也就是如何经过有限步的四则运算得所有基本初 等函数值的具有任意精度的近似值，计算问题初等函 数的求值计算问题。
x2 x2 x2 1 1 1 记 yk (2k )( 2k 1) (2n 2)( 2n 1) (2n)( 2n 1)
可以立即得到如下的递推格式：
yn 1 1 x2 yk 1.0 (2k )( 2k 1) yk 1 , k n, n 1, ,1
3.6 对数函数值计算方法
求对数函数值最关键的问题实际上是计算[1,2]内的 数的自然对数。 对于计算大于2的数x的对数来说我们总可以找到整 数K,使得2K<x< 2K+1，记u=x/2K,则有1<u<2, ln(x) =ln(2Ku)=Kln(2)+ln(u) 此时还有1<u<2。 对于计算(0,1)内的数的对数来说，我们也可以利用 ln(x)=-ln(1/x) 把它化为求大于1的数的对数问题。 求一般的对数来说，我们总可以利用换底公式转化 为自然对数的计算问题。
5 程序3.02 秦九韶算法求多项式的值
double PolyValue(double x,double*A,int n) { double y; int k; y=A[n]; for(k=n-1;k>=0;k--)y=y*x+A[k]; return y; }
•由于不需要保留yn，yn-1，…，y1等中间结果，所以 程序中只用一个变量y来动态地表示它们。 •秦九韶算法的循环体内只有一次乘法运算，所以算
3.1 引言：研究的意义
尽管各种程序设计语言都提供了基本初等函数求
值计算的子程序或库函数，但是完全依赖程序设计语
言提供的子程序或库函数进行计算还是存在一些潜在 问题，而且也未必能满足所有实际工程计算的需要。 作为数值计算方法的研究，也需要从算法到计算 的实践解决微积分学中遗留的各种计算问题，并得到 可靠的结果。
• 提示：在我们的课程中，把数学函数名，求数值解
的算法名，求数值解的C语言函数名形式上处理得 基本相同，有利于把数学问题，求解的算法，C语 言代码联系在一起，形成比较完整的、有效的，易 于理解的求数值解方法。
2 逐项求和算法
求PolyValue(x,A,n)的数值解最容易想到的方法是按
次数由低到高的顺序逐项求和。为此可以在程序中说
7 一般有理函数的计算方法
在一般情况下，任何一个有理函数总可以表为两
个多项式函数的比。所以有了计算多项式的值的程序，
再来求有理函数的值就很容易，只要得到作为分子、 分母的多项式的值，它们的比值即可得到。 利用第7章介绍的方法，可以先把有理函数化为 一个多项式与一个既约真分式的和的形式，然后再求
数值解，相应的数值性能就会更好一些。
2．计算sin(x)近似值的数学形式
记SINTNV(x,n)表示利用sin(x)/x来自百度文库泰勒展式取前 n+1项之和作为sin(x)/x的近似值，亦即
x2 x4 x 2n SINTNV( x, n) 1 (1) n 3! 5! (2n 1)! 可以立即得到
sin(x)≈x[SINTNV(x,n)] 不难理解，在一定条件下，n值取得愈大，利用上面两 式得到的sin(x)的近似值的精度愈高。 所以，我们接下来的问题是SINTNV(x,n)数值计算方法 以及如何根据精度要求确定n值。
的办法来解决。
•大家可以可后阅读教材中的源代码，也可以等到学
习第5章时再回过头来研究。
3.4 一元二次方程求根方法
对于标准形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0，a≠0 的求根公式
x b b 2 4ac 2a
不失一般性，可以假定b2-4ac>0，b≠0，这样，方程便 有两个不相等的实根，上式的分子中存在同号两数相 减的运算，如果按这个公式编写通用的应用程序，在 特定的情况下会产生较大的“过失”误差，所以只得 专门研究。
2．一元二次方程根的表示方法
假如一元二次方程有绝对值不同的两个实根， 记sign(b)表示取b符号，记x1为绝对值较小的那一个实 根，也就是分子是同号两数相减的那一个；x2为绝对 值较大的那一个实根，从而有
b sign( b) b 2 4ac x1 2a
b sign( b) b 2 4ac x2 2a
法的计算量为O(n)，相当于程序3.01的一半。
6 秦九韶算法的补充说明
•对于过去人们用手工计算来说，能节省一半的计算
量是很有意义的。如果现在利用高性能计算机机算 还在于节省一半的计算量，显然没有实际意义。
•秦九韶算法现在已经越来越受到重视，还有更重要
的原因。假设计算一个基于泰勒展式的多项式的值， 不失一般性可以假设它的各项都是正的，注意到级 数收敛的必要条件是它的通项将趋近于零。当计算 的项数比较大时采用秦九韶算法可明显地提高精度 （实际计算表明可以保证精度）。
第3章 常用函数值计算方法
• 本章重点研究基本初等函数值的计算问题，从理论倒算法，
再到编程计算的实践解决了如何利用有限步的四则运算，得 到微积分学中基本初等函数的具有任意精度的近似值。
• 对于计算机本初等行素质来说，基本方法还是利用泰勒展式
进行计算，基本方法是对泰勒展式作适当变形，根据精度要
求确定项数，采用效率更高的递推方法求多项时的值。
3．SINTNV(x,n)数值计算方法
SINTNV(x,n)可以改写为
x2 x2 x2 1 1 SINTNV( x, n) 1 2 3 (2n 2)( 2n 1) (2n)( 2n 1)
1．求数值解的c语言函数说明
对于数值计算问题来说，作为应用程序，专门编 写计算PolyValue(x,A,n)的数值结果的C语言函数还是 很有意义的，为此，可以把相应的C语言函数说明为 double PolyValue(double x,double*A,int n)
其中x为自变量；*A为A[0]的地址；n为多项式的次数。