高中数学《导数及其应用》同步练习题(含答案)

高中数学《导数及其应用》同步练习题（含答案）1. 一个物体的运动方程为s=1−t+2t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A.9米/秒B.10米/秒C.11米/秒D.12米/秒2. 若函数f(x)=lnx−ax2在区间(1, 2)内单调递增，则实数a的取值范围是( )A.(−∞, 18] B.(−∞, 18) C.[18, 12] D.(18, 12)3. 若关于x的不等式x(1+lnx)+2k>kx的解集为A，且(2, +∞)⊆A，则整数k的最大值是（）A.3B.4C.5D.64. 定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>1−f(x)，f(0)=3，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x+2（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A.{x|x>0}B.{x|x<0}C.{x|x<−1或x>1}D.{x|x<−1或0<x<1}5. 一质点做直线运动，由始点经过ts后的距离为s=13t3−6t2+32t，则速度为0的时刻是（）A.t=4sB.t=8sC.t=4s与t=8sD.t=0s与t=4s6. 曲线y=x3−3x2+1在点(1, −1)处的切线方程为( )A.y=3x−4B.y=−3x+2C.y=−4x+3D.y=4x−57. 函数y=sinx的图象上一点(π3,√32)处的切线的斜率为（）A.1B.√32C.√22D.128. 函数f(x)=−2x+ax3，若f′(2)=1，则a=()A.4B.14C.−4 D.−149. 已知函数y＝f(x)的图象在点M（1, f(1)）处的切线方程是y=12x+2，则f(1)+f′(1)的值等于（）A.1B.52C.3D.010. 若曲线y=x3+px+q与x轴相切，则p，q之间的关系满足（）A.(p3)2+(q2)2=0 B.(p2)2+(q3)3=0C.2p−3q2=0D.2q−3p2=011. 已知函数f(x)=e x+x2，则f′(1)=________．12. 已知函数f(x)=f′(π2)sinx−cosx，则f(π6)=________．13. 定义在R上的函数f(x)满足：f′(x)>1−f(x)，f(0)=6，f′(x)是f(x)的导函数，则不等式e x f(x)>e x+5（其中e为自然对数的底数）的解集为________．14. y=xcosx在x=π3处的导数值是________．15. 已知f(x)=e kx，则f′(x)=________．16. 函数f(x)=ln(x2−3x−4)的单调递减区间是________．17. 已知函数f(x)=txx2+1，其中t>0，则函数的单调增区间________.18. 若函数f(x)=sin(3−5x)，则f′(x)=________．19. 若函数f(x)＝x3−12x+a的极大值为11，则f(x)的极小值为________．20. 若函数f(x)＝x+1−a(x−1x+1)在x＝1处取得极值，则实数a的值为________．21. 已知定义在R上的函数f(x)=x3+(k−1)x2+(k+5)x−1.(1)若k=−5，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间(0,3)内单调，求实数k的取值范围.22. 已知函数f(x)=lnx−ax+a，a∈R．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当x≥0时，函数g(x)=(x+1)f(x)−lnx的图象恒不在x轴的上方，求实数a的取值范围．23. 已知函数f(x)=x−1−alnx(a<0)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若对于任意的x1,x2∈(0,1]，且x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)|<4|1x1−1x2|，求实数a的取值范围．24. 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+2(a,b∈R)的图象在点M(1,f(1))处的切线方程为12x+y−3=0.(1)求a，b的值并求函数f(x)的单调区间；(2)求f(x)在[−2,4]的最值.25. 设x=1和x=2是函数f(x)=x5+ax3+bx+1的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）求f(x)的单调区间．26. 已知函数f(x)=x3+ax+b．（1）若f(x)在x=0处取得极值为−2，求a、b的值；（2）若f(x)在(1, +∞)上是增函数，求实数a的取值范围．27. 已知函数f(x)=ln(x+1)与函数g(x)=x2+ax+b在x=0处有公共的切线.(1)求实数a,b的值；(2)记F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的极植.28. 已知函敦f(x)=ax2+blnx，其中ab≠0，求函数有极值时，a、b满足的条件．29. 已知函数f(x)=x(x−1)(x−a)有绝对值相等，符号相反的极大值和极小值，试确定常数a的值．30. 已知函数f(x)=x3+ax2+3x+b(a, b∈R)，若f(x)的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，求实数a的取值范围．参考答案一、 选择题1.C2.A3.B4.A5.C6.B7.D8.B9.C 10.B 二、 填空题 11.e+2 12.√3−12 13.(0, +∞) 14.12−√3π615.ke kx 16.(−∞, −1) 17.(−1,1) 18.−5cos(3−5x) 19.−21 20.2 三、 解答题21.解：(1)k =−5时，f(x)=x 3−6x 2−1，f′(x)=3x 2−12x. 令f′(x)=0，即3x 2−12x =0，解得x =0或x =4. 下面分两种情况讨论：当f′(x)>0，即x <0或x >4时； 当f′(x)<0，即0<x <4时.当x 变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：因此，当x =0时，f(x)有极大值，并且极大值为f(0)=−1；当x =4时， f(x)有极小值，并且极小值为f(4)=−33.(2)f′(x)=3x 2+2(k −1)x +k +5=3(x −1−k 3)2−(1−k)23+k +5,f′(x)的图象是开口向上的抛物线，对称轴是直线x =1−k 3.当1−k 3≤0，即k ≥1时，f′(0)=k +5>0且f′(x)在(0,3)上单调递增，∴ f′(x)>0在(0,3)内恒成立，∴ f(x)在(0,3)上单调递增，即k ≥1时满足题意. 当1−k 3≥3，即k ≤−8时，f′(0)=k +5<0且f′(x)在(0,3)上单调递减，∴ f′(x)<0在(0,3)内恒成立，∴ f(x)在(0,3)上单调递减. 即k ≤−8时满足题意. 当0<1−k 3<3即−8<k <1时，若−8<k ≤−5，则f′(0)=k +5≤0，只需f′(3)=7k +26≤0即k ≤−267， 此时f′(x)≤0在(0,3)内恒成立.即f(x)在(0,3)上单调递减.∴ −8<k ≤−5时满足题意.若−5<k <1，则f′(0)=k +5>0，此时只需f′(1−k 3)=−(1−k)23+k +5≥0，解得−2≤k ≤7，即−2≤k <1时，f′(x)≥0在(0,3)内恒成立. 即−2≤k <1时f(x)在(0,3)上单调递增. 综上，若f(x)在区间(0,3)内单调，实数k 的取值范围是(−∞,−5]∪[−2,+∞).22.解：（1）由题意得函数f(x)的定义域是(0,+∞)． ∵ f(x)=lnx −ax +a ，∴ f ′(x)=1x −a ．当a ≤0时，f ′(x)>0，函数f(x)在定义域(0,+∞)上是增函数； 当a >0时，令f ′(x)=−a(x−1a)x ，当x >1a 时，f ′(x)<0，函数f(x)在(1a ,+∞)上是减函数，当0<x <1a 时，f ′(x)>0，函数f(x)在(0,1a )上是增函数． ∴ 当a ≤0时，f(x)的单调递增区间是(0,+∞)；当a >0时，f(x)的单调递增区间是(0,1a )，单调递减区间是(1a ,+∞)．（2）当x ≥1时，函数g(x)=(x +1)f(x)−lnx =xlnx −a (x 2−1)的图象恒不在x 轴的上方等价于g(x)max ≤0（x ≥1）．由g(x)=xlnx −a (x 2−1)，得g ′(x)=lnx +1−2ax ． 令ℎ(x)=lnx +1−2ax ，则ℎ′(x)=1x −2a ．①若a ≤0，则ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在[1,+∞)上单调递增，∴ ℎ(x)≥ℎ(1)，即g ′(x)≥g ′(1)=1−2a ≥0，∴ g(x)在[1,+∞)上单调递增， ∴ g(x)≥g(1)=0，从而xlnx −a (x 2−1)≥0，不符合题意； ②若0<a <12，当x ∈[1,12a)时，ℎ′(x)>0，故ℎ(x)在x ∈[1,12a )上单调递增， ∴ ℎ(x)≥ℎ(1)，即g ′(x)≥g ′(1)=1−2a >0，∴ g(x)在x ∈[1,12a )上单调递增，∴ g(x)≥g(1)=0，从而xlnx −a (x 2−1)≥0，不符合题意；③若a ≥12，则ℎ′(x)≤0在[1,+∞)上恒成立，∴ ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，∴ ℎ(x)≤ℎ(1)，即g ′(x)≤g ′(1)=1−2a ≤0，∴ g(x)在[1,+∞)上单调递减，∴ g(x)≤g(1)=0，从而xlnx −a (x 2−1)≤0恒成立． 综上，实数a 的取值范围是[12,+∞)． 23.解：（1）由题意知f ′(x)=1−ax =x−a x(x >0)，∵ x >0，a <0，∴ f ′(x)>0，∴ f(x)在(0,+∞)单调递增．（2）不妨设0<x 1<x 2≤1，则1x 1>1x 2>0， 由（1）知f (x 1)<f (x 2)，∴ |f (x 1)−f (x 2)|<4|1x 1−1x 2|⇔(x 2)−f (x 1)<4(1x 1−1x 2)⇔f (x 1)+4x 1>f (x 2)+4x 2．设g(x)=f(x)+4x ，x ∈(0,1]，易知g(x)在(0,1]上单调递减， ∴ g ′(x)≤0在(0,1]恒成立⇔1−ax −4x2=x 2−ax−4x 2≤0在(0,1]恒成立⇔a ≥x −4x 在(0,1]恒成立，易知y =x −4x 在(0,1]上单调递增，其最大值为−3．∵a<0，∴−3≤a<0，∴实数a的取值范围为[−3,0)．24.解：(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+2的导数为f′(x)=3x2+2ax+b，图象在点M(1,f(1))处的切线方程为12x+y−3=0，可得3+2a+b=−12,3+a+b=−9，解得a=−3,b=−9.由f(x)=x3−3x2−9x+2的导数为f′(x)=3x2−6x−9，可令f′(x)>0，可得x>3或x<−1，f′(x)<0，可得−1<x<3，则函数f(x)单调递增区间为(−∞,−1),(3,+∞)，单调递减区间为(−1,3).(2)由f′(x)=0，可得x=−1或x=3，则f(−1)=7,f(3)=−25,f(−2)=0,f(4)=−18，可得f(x)在[−2,4]的最小值为−25，最大值为7.25.解：（1）因为f′(x)=5x4+3ax2+b由假设知：f′(1)=5+3a+b=0，f′(2)=24×5+22×3a+b=0解得a=−253,b=20（2）由（1）知f′(x)=5x4+3ax2+b=5(x2−1)(x2−4)=5(x+1)(x+2)(x−1)(x−2)当x∈(−∞, −2)∪(−1, 1)∪(2, +∞)时，f′(x)>0当x∈(−2, −1)∪(1, 2)时，f′(x)<0因此f(x)的单调增区间是(−∞, −2)，(−1, 1)，(2, +∞)f(x)的单调减区间是(−2, −1)，(1, 2)26.解：（1）根据题意得：f′(0)=a=0，f(0)=b=−2．（2）f′(x)=3x2+a当a≥0，f′(x)>0，f(x)在R上递增，满足题意；当a<0,f′(x)=3x2+a=0,x2=−a3,x1=−√−a3,x2=√a−3∴√a−3≤1，∴0>a≥−3∴综上，a的取值范围是a≥−3．27.解：(1)f′(x)=1x+1，g′(x)=2x+a，由题意得：f′(0)=g′(0)，f(0)=g(0)，∴a=1，b=0；(2)F(x)=f(x)−g(x)=ln(x+1)−x2−x，F′(x)=1x+1−2x−1=−2x2+3xx+1=−x(2x+3)x+1(x>−1)，令F′(x)>0，解得：−1<x<0，令F′(x)<0，解得：x>0，∴F(x)在(−1, 0)上单调递增，在(0, +∞)上单调递减，∴F(x)极大值=F(0)=0，无极小值.28. 解：∵函敦f(x)=ax2+blnx，其中ab≠0，∴f(x)的定义域为(0, +∞)，f′(x)=2ax+bx=2ax2+bx．∵函数有极值，∴f′(x)=0有解，即2ax2+b=0有解．∴△>0即ab<0，两根为x1=√−b2a，x2=−√−b2a（舍去），f(x)在x1=√−b2a处取得极值．∴只需ab<0即可．29.解：f(x)=x(x−1)(x−a)=x3−(a+1)x2+ax，∴f′(x)=3x2−2(a+1)x+a，令f′(x)=0，得3x2−2(a+1)x+a=0，由题意，该方程必定有不相等两实根，可分别设为m，n，则m+n=23(a+1)，mn=a3，∴f(m)+f(n)=m3+n3−(a+1)(m2+n2)+a(m+n)=(m+n)3−3mn(m+n)−(a+1)[(m+n)2−2mn]+a(m+n) =−227(a+1)(a−2)(2a−1)=0∴a=−1或a=2或a=12．30.解：由题意得，f′(x)=3x2+2ax+3，因为f(x)的图象上任意不同两点连线的斜率均大于2，所以3x2+2ax+3>2恒成立，即3x2+2ax+1>0，则△=4a2−4×3×1<0，解得−√3<a<√3，所以实数a的取值范围是(−√3, √3)．。