矩阵的乘法运算

,
b1
b
b2 b3
则方程组(1)可表示为 Ax b.
9
又如：
对方程组
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(2)
记
A
a11 a21
a12 a22
a13 a23
,
x1
x
x2 x3
,
b
b1 b2
则方程组(2)可表示为 Ax b.
注：单位矩阵E和数1的作用一样。
11
注意 矩阵不满足交换律，即：
AB BA
如：
设
A
1 1
1 1
,
B 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故 AB BA.
由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.
12
此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律， 而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即
小结：
1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘.
2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说
AB BA.
3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说
由 AB AC 且A 0,不能推出B C.
14
第二章 矩阵及其运算
第二讲 矩阵的乘法运算
1
一、定义
设A (aij )是一个m s矩阵，B bij 是一个s n矩阵，
那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个m n矩阵C (cij ) 其中
s
cij ai1b1 j ai 2b2 j aisbsj aikbkj k 1 i 1,2,L , m; j 1,2,L , n
10
二、矩阵乘法运算规律 定理1. 设A、B、C、O、E在下面各式中相应的乘
法和加法运算中都能进行，k为实数，则：
(1) 结合律：A（BC）=（AB）C； k（AB）=A（kB）
(2) 分配律：A（B+C）=AB+AC； （B+C）A=BA+CA
(3) OA=O ； AO=O
(4) EA=A ； AE=A.
C
0 1
0 3
求 AC、BC
解：
AC
3 2
10 1 1
0 3
1 1
3 3
BC
5 9
10 1 1
0 3
1 1
3 3
此处
8
方程组的矩阵表示：
a11
a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
x1 x2 x3
a11 x1 a21 x1 a31 x1
a12 x2 a22 x2 a32 x2
4
又如
5
例3
设 A
1 2
3 4
,
B
2 1
0 3
4 1
解
AB
1 0
9 12
1 4
例4
设A
1 0
0 1
,
B
0 1
1 0
解
AB
0 1
1 0
,
BA
0 1
1 0
6
例5 设
b1
B
b2 bMn
,
求AB、BA
7
例6
设A
3 2
1 1
,源自文库
B
5 9
1 1
,
并把此乘积记作 C AB .
例如:
2
注意： 要使C=AB有意义，则A的列数必须等于B的行 数，且矩阵C的第i行第j列元素正好是A的第i行与B的 第j列对应元素乘积之和。
例如
不存在.
3
注意：
1. 乘积矩阵的第i行第j列元素等于左矩阵的第i行元 素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和. 2. 只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的 乘积才有意义. 3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的 行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩 阵的列数.
1)若AB O, 且A O, 不能推出B O;
2)若A( X Y ) O, 且A O, 不能推出X Y.
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
BA 2222 AB BA.
若AB=BA则称矩阵A、B乘积可交换.
13
a13 x3 a23 x3 a33 x3
a11x1 a12 x2 a13 x3 b1
对方程组 a21x1 a22 x2 a23 x3 b2
(1)
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3
记
a11
A
a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
,
x1
x
x2 x3