复变函数论文

复、实变函数的比较与应用

******

学号：************

专业：数学与应用数学

复、实变函数的比较与应用

姓名：阮玲花班级：数学132 学号：201310401205

数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的,这与实函数有根本的区别。有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。

在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→”,在实数范围内：当方程判别式小于0时，没有实根。→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。

（一）实变函数

实变函数论即讨论以实数为变量的函数,然而实变与常微分方程等不同,简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue创立新积分的原始思路。

Lebesgue积分：

（二）复变函数

复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集E，对于E的每一点z，按照一定规律，有一个或多个复数值W与之相对应，

z为圆心，以任意小则称W为z的函数，记作)

f

(z

W=，z∈E邻域：以复数

z的邻域。把复变函数的正实数ε为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为

)(z f 的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y)，)(z f =u(x,y)+iv(x,y)，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。

（三） 实变函数及与复变函数比较

1．自变量的不同

以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数；即复数→复变量→复变函数。

2.实变函数与复变函数的联系区别

因为z=x+yi,所以复变函数y=)(z f 的实部与虚部都是x,y 的函数，即

)(z f W ==u(x,y)+iv(x,y),由此可以看成：

一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。然而同时，由于复变函数的虚部，实变函数的许多定义、公式，定理也不再是用于复变函数。对于复变函数与实变函数，我们分别学习了两者的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用。然而同时，由于复变函数的虚部，所要求的点集、序列、极限、连续性、可微性、积分等性质与应用的定义也不尽相同。

3．复变函数与实变函数关于导数概念的叙述是相似的，即都是由函数值的差与自变量的差之商的极限来定义导数，它们的联系也是密切的，区别则是整个取值的差异。复变函数在复数域中取值，实变函数在实数域内取值，但两种微分的几何意义是相同的。对于微分的性质，实变函数与复变函数有以下三大点的不同。

（1）微分中值定理

微分中值定理是微分学的重要内容，表现形式一般为柯西中值定理，罗尔中值定理及拉格朗日中值定理，微分中值定理在复数域中是不成立的。我们以罗尔定理来举例证明。

罗尔定理：若函数()f x 满足：①在闭区间[],a b 上连续；②在开区间(),a b 内可导，且()()f a f b =；则必存在ξ(),a b ∈，使得()0f ξ'=。

证明：取()iz f z e =，()f z 在整个复平面上解析，且()()02f f π=，但()iz f z ie '=，

无论z 取什么值都不会为零，也就是说罗尔定理的结论对函数()iz

f z e =不成立。 故微分中值定理不能直接推广到复变函数中来。

（2）解析函数零点的孤立性

在《复变函数论》中，区域D 内点可微的复变解析函数的零点总是孤立的。而实变函数体现出的性质则截然相反。

例1：如在|a z -|

例2：一个实函数的零点不一定是孤立的。

如函数()f x ，当x ≠0时()f x =x 2sin x

1，当x=0时()f x =0. 证明：由题意得，函数()f x 在x=0处可微，且以x=0为零点，此外x=π

n 1也是它的零点，并以0为聚点。

（3）解析函数的无穷可微性在复变函数中，若)(z f 在区域D 内解析，则)(z f 在区域D 内具有各阶导数，并且它们也在区域D 内解析。复变函数的这一性质称为解析函数的无穷可微性。但在实变函数中，区间上的可微函数，是不一定具有二阶导数的，更谈不上具有高阶导数，这样的例子是很多的。

例：由高阶导数的柯西积分公式可得

设函数)(z f 在闭区域D 上解析（D 为单连通区域或多连通区域），则)(z f 在D 内的任意阶导数存在，且 )(n f (0z )=i n π2!

dz z z z f c

n ⎰+-10)()( (n=1,2,...). 其中C 为D 的边界，取正向：D z ∈0.