三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数变换的技巧与方法
三角函数变换的技巧与方法三角函数是数学中非常重要的概念，在求解各类问题时都会用到。
而三角函数之间的变换则是解决三角函数相关问题的重要技巧之一、下面将介绍一些常见的三角函数变换方法。
方法一：和差角公式三角函数的和差角公式是非常重要的三角函数变换公式。
根据和差角公式，我们可以将一个三角函数的和差表达式转化为两个三角函数的乘积表达式。
具体公式如下：1. sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB2. cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB3. tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)通过使用和差角公式，我们可以将复杂的三角函数表达式转化为简单的三角函数乘积表达式，从而便于求解和化简。
方法二：倍角公式倍角公式是三角函数变换中另一个重要的公式。
根据倍角公式，我们可以将一个三角函数的角度变为原来的2倍。
具体公式如下：1. sin2A = 2sinAcosA2. cos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2A3. tan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)方法三：半角公式半角公式是将一个角的角度变为原来的1/2的公式。
具体公式如下：1. sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]2. cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]3. tan(A/2) = √[(1 - cosA) / (1 + cosA)]方法四：和差化积公式和差化积公式是将一个三角函数的和差化为积的公式。
具体公式如下：1. sinA + sinB = 2sin((A + B)/2)cos((A - B)/2)2. sinA - sinB = 2cos((A + B)/2)sin((A - B)/2)3. cosA + cosB = 2cos((A + B)/2)cos((A - B)/2)4. cosA - cosB = -2sin((A + B)/2)sin((A - B)/2)方法五：积化和差公式积化和差公式是将两个三角函数的积化为和差的公式。
三角恒等变换与解题技巧
三角恒等变换与解题技巧三角函数是数学中重要的一部分，与几何、物理等学科密切相关。
在解三角函数的问题时，常常需要运用恒等变换来简化计算或将复杂的式子转化为简单的形式。
恒等变换是指在等式两边同时做相同的运算而不改变等式的值。
掌握常用的三角恒等变换并灵活运用是解题的关键。
本文将介绍一些常用的三角恒等变换，并分享一些解题技巧。
一、正弦、余弦、正切的恒等变换1. 余切的逆关系根据余切的定义，我们知道cot(A)等于tan(A)的倒数，即cot(A) = 1 / tan(A)。
这是一个重要的恒等变换，在简化复杂式子、证明等题目中经常会用到。
2. 三角函数的平方和恒等式sin^2(A) + cos^2(A) = 1这是三角函数最基本的恒等式之一，也是勾股定理的三角形形式。
该恒等式可以用来将一个三角函数转化为其他三角函数的形式。
3. 正切的平方和恒等式1 + tan^2(A) = sec^2(A)这是正切函数的平方和恒等式，也是解析几何中的一条重要公式。
运用该恒等式可以将一个正切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
4. 余切的平方和恒等式1 + cot^2(A) = csc^2(A)这是余切函数的平方和恒等式，与正切的平方和恒等式相对应。
在解题时运用该恒等式可以将一个余切函数的式子转化为其他三角函数的式子。
二、两角和与差的恒等变换1. 正弦的两角和与差sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)这是正弦函数的两角和与差公式，可以通过将两个三角函数用另外两个三角函数来表示。
在解题时，可以通过将复杂的三角函数式子转化为正弦函数的形式来简化计算。
2. 余弦的两角和与差cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)这是余弦函数的两角和与差公式，与正弦的两角和与差公式相似。
在解题时，也可以通过转化为余弦函数的形式来简化计算。
三角函数“角变换”的六种常用技巧
ʏ童昌立角变换 是三角变换的核心, 角变换 的六种常用技巧是:互余角或互补角的转化,非特殊角向特殊角的转化,半角与倍角的转化,复角与单角的转化,结论式中的角与条件式中的角的转化,引入辅助角㊂下面举例分析,供大家学习与提高㊂技巧一:互余角或互补角的转化例1 (1)已知c o s α-π4=45,αɪ0,π4,则c o s α+π4=㊂(2)已知s i n π3-α=14,则c o sπ3+2α=㊂(1)由αɪ0,π4,可得α-π4ɪ-π4,0 ㊂因为c o s α-π4 =45,所以s i n α-π4 =-35,所以s i n π4-α =35㊂故c o s α+π4 =s i n π2-α+π4 =s i n π4-α =35㊂(2)由s i n π3-α =14,可得c o s π6+α =c o s π2-π3-α=s i n π3-α =14,所以c o s π3+2α =c o s 2π6+α =2c o s 2π6+α -1=2ˑ116-1=-78㊂评注:利用π4+α=π2-π4-α,π3+α=π2-π6-α ,π6+α=π2-π3-α 的转化是解题的关键㊂技巧二:非特殊角向特殊角的转化例2 (多选题)下列式子结果为3的是( )㊂A .2s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s 65ʎB .1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎC .t a n 75ʎ1-t a n 275ʎD .t a n 25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n35ʎ对于A ,2(s i n 35ʎc o s 25ʎ+c o s 35ʎc o s65ʎ)=2(s i n35ʎ㊃c o s 25ʎ+c o s 35ʎs i n 25ʎ)=2s i n 60ʎ=3㊂对于B ,1+t a n 15ʎ1-t a n 15ʎ=t a n 45ʎ+t a n 15ʎ1-t a n 45ʎt a n 15ʎ=t a n 60ʎ=3㊂对于C ,t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑ2t a n 75ʎ1-t a n 275ʎ=12ˑt a n150ʎ=-36㊂对于D ,t a n25ʎ+t a n 35ʎ+3t a n25ʎt a n35ʎ=t a n60ʎ(1-t a n 25ʎt a n 35ʎ)+3t a n25ʎt a n35ʎ=3-3t a n 25ʎt a n 35ʎ+3t a n 25ʎt a n 35ʎ=3㊂应选A B D ㊂评注:特殊角的三角函数值是同学们熟悉的㊂利用非特殊角向特殊角转化是解答本题的突破口㊂技巧三:半角与倍角的转化例3 (1)3c o s 15ʎ-4s i n 215ʎc o s15ʎ=( )㊂A.2 B .3C .6D .23(2)s i n 50ʎ(1+3t a n 10ʎ)=㊂(1)原式=3c o s15ʎ-2s i n 15ʎ㊃2s i n 15ʎc o s 15ʎ=3c o s 15ʎ-2s i n15ʎs i n30ʎ=3c o s15ʎ-01 知识结构与拓展 高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.s i n 15ʎ=2c o s (30ʎ+15ʎ)=2㊂应选A ㊂(2)原式=s i n 50ʎ(c o s 10ʎ+3s i n 10ʎ)c o s 10ʎ=s i n 50ʎ㊃2s i n 40ʎc o s 10ʎ=2s i n 50ʎc o s 50ʎc o s 10ʎ=s i n 100ʎc o s 10ʎ=c o s 10ʎc o s 10ʎ=1㊂评注:对于形如 c o s α,c o s 2α,c o s 4α的化简与求值问题,就要想到二倍角公式和辅助角公式的应用㊂技巧四:复角与单角的转化例4 已知s i n (2023π+θ)=13,则所给三角函数式:c o s (π+θ)c o s θ㊃[c o s (π-θ)-1]+c o s (θ-2π)s i n θ-3π2c o s (θ-π)-s i n 3π2+θ的值为㊂因为s i n (2023π+θ)=-s i n θ=13,所以s i n θ=-13㊂所以原式=-c o s θ-c o s θ㊃(1+c o s θ)+c o s θ-c o s 2θ+c o s θ=11+c o s θ+11-c o s θ=21-c o s 2θ=2s i n 2θ=2-132=18㊂评注:对于诱导公式2k π+α(k ɪZ ),πʃα,-α,π2ʃα的变换,每用一次公式,都要注意三角函数值的符号㊂技巧五:结论式中的角与条件式中的角的转化例5 已知α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3 =35,则c o s α+π6=( )㊂A.3365 B .6365C .-3365D .-6365因为α,β均为锐角,且c o s (α+β)=-513,s i n β+π3=35,所以α+βɪπ2,π ,β+π3ɪπ3,5π6,所以s i n α+β =1213,c o s β+π3 ɪ-32,12㊂易得c o s β+π3 =ʃ45,其中c o s β+π3 =45>12舍去㊂故c o s α+π6 =c o s (α+β)-β+π3 +π2 =-s i n (α+β)-β+π3 =-1213ˑ-45 +-513ˑ35=3365㊂应选A ㊂评注:三角公式中的角α,β可以是任意角,既能看成是单角,也能看成是复角㊂在运用公式时,要特别注意 条件角 与 结论角 之间可能存在的和差关系㊂常见的角的变换有15ʎ=45ʎ-30ʎ=60ʎ-45,α=(α+β)-β,α=α+β2+α-β2,2α=(α+β)+(α-β)=π4+α-π4-α,β=α+β2-α-β2等㊂技巧六:引入辅助角例6 已知函数f (x )=5s i n x -12c o s x ,当x =x 0时,f (x )有最大值13,则t a n x 0=㊂因为函数f (x )=5s i n x -12c o s x =13s i n (x -θ),其中θ由t a n θ=125确定㊂因为当x =x 0时,函数f (x )有最大值13,所以x 0-θ=π2+2k π(k ɪZ ),所以x 0=θ+π2+2k π(k ɪZ ),所以t a n x 0=t a n θ+π2+2k π=ta n θ+π2=s i n θ+π2 c o s θ+π2=c o s θ-s i n θ=-1t a n θ=-512㊂评注:形如a s i n x +b c o s x 的求值问题,可考虑利用辅助角公式来解决㊂a s i n x +b c o s x =a 2+b 2si n (x +θ),其中θ由t a n θ=ba确定㊂作者单位:湖北省恩施市第三高级中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2022年12月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
三角恒等变换的常见技巧及其应用
三角恒等变换的常见技巧及其应用华中师大一附中 黄文韬【摘 要】 三角函数是高中数学中一个非常重要的内容，而三角恒等变换是三角函数的一个重要组成部分，它对于求解三角函数问题有着非常重要的帮助。
因此本文就对三角恒等变换的常见技巧及其应用进行了一定的分析。
【关键词】 三角函数；三角恒等变换；技巧变换在数学中是一个非常重要的工具，许多看似复杂的问题，通过合理的变换，实际上可以变得非常简单，三角恒等变换就是变换中的一个重要内容，在高考中也明确地指出了会对三角恒等变换进行考察，所以掌握三角恒等变换的技巧对于高中生而言有着非常重要的意义。
一、“角”的变换技巧在求解有关三角函数的问题中，经常会遇到三角化简以及求值等问题，而且在这些题目之中会有较多的相异角出现，此时可以利用角与角之间的和差、倍角以及互补等关系来对其进行适当的变换，从而使得我们的求解更加方便。
在进行角的变换的过程中，经常使用到的变换方式有α=（α+β）-β，2α=（α+β）+（α-β）等，下面以一些例题来说明角的变换技巧的具体应用。
例1 已知sin（2α+β）=3sin β，其中α≠且α+β+kπ，试证明tan（α+β）=2tan α。
通过对题目进行分析，我们发现要想证明问题中的等式，首先就需要清楚角α与角（α+β）之间的关系，而根据已知条件，我们可以将其进行角的变换，把（2α+β）变为（α+β）+α，将β变为（α+β）-α，然后再对已知条件进行转换。
因为sin（2α+β）=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）·cos+cos（α+β）·sin α，而sin β=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）·sin α-cos（α+β）·sin α，然后再代入已知条件，可以将其化简为α+β）·sin α，又因为已知条件中已经说明αα+β+kπ，所以可以知道cos（α+β）≠α+β）·cos α就可以得到：化简即可得到tan （α+β）=2tan α。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是指一系列三角函数的等价关系，通过这些等价关系，可以将复杂的三角函数表达式简化为简单的形式，从而更容易进行求解和计算。
在解三角函数方程、化简三角函数表达式、证明三角恒等式等问题中，三角恒等变换技巧是非常重要的。
1.基本恒等式：基本恒等式是指最基本的三角函数之间的等价关系，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
（1）正弦函数的基本恒等式：sin²θ + cos²θ = 1sin(-θ) = -sinθsin(π/2 - θ) = cosθsin(π/2 + θ) = cosθsin(π - θ) = sinθsin(π + θ) = -sinθsin(2θ) = 2sinθcosθ（2）余弦函数的基本恒等式：cos²θ + sin²θ = 1cos(-θ) = cosθcos(π/2 - θ) = sinθcos(π/2 + θ) = -sinθcos(π - θ) = -cosθcos(π + θ) = -cosθcos(2θ) = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ（3）正切函数的基本恒等式：ta nθ = sinθ/cosθtan(-θ) = -tanθtan(π/2 - θ) = 1/tanθtan(π/2 + θ) = -1/tanθtan(π - θ) = -tanθtan(π + θ) = tanθtan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan²θ)2.和差角公式：和差角公式是指可以将两个三角函数的和、差转化为一个三角函数的等价关系。
（1）正弦函数的和差角公式：sin(α ± β) = sinαcosβ ± cosαsinβ（2）余弦函数的和差角公式：cos(α ±β) = cosαcosβ ∓ sinαsinβ（3）正切函数的和差角公式：tan(α ± β) = (tanα ± tanβ)/(1 ∓ tanαtanβ)3.二倍角公式：二倍角公式是指可以将一个三角函数的二倍角转化为一个三角函数的等价关系。
三角函数换角技巧
高一数学必修四辅导资料三角变换的技巧与方法知识要求：1、熟悉各公式在恒等变形中的作用，才能在解决各种总题时，合理选择公式，灵活运用公式，提高分析和解决有关三角问题的能力。
2、常用的技巧有：○1角的变换；○2函数名称变换；○3常数代换；○4幂的变换；○5公式变形；○6结构变形；○7消元法；○8思路变化； 变换技巧与方法归纳：1、切割化弦：就是把三角函数中的正切、余切、正割、余割都化为正弦和余弦，这样可有利于问例1：求证：ααααααcos sin 11sec -tan 1-sec tan +=++2、“1”的代换：在三角函数中，“1”的代换有：1cos sin ,45,1cot tan 122o =+=∙=αααα等，在具体的三角变换过程中将“1”作某种合适的变形，往往能收到意想不到的效果。
例2：已知2cos sin sin -1,1-tan tan 2++=ααααα求的值；例3：已知ααααcos2sin2-1,25tan -1tan 1求+=+的值；例4：已知tanx1sin2xx 2cos 0,3cosx 6sinx -sinxcosx x cos -x 2sin 222++=++求的值；3、分拆与配凑：“凑角法”是解三角题的常用技巧，解题时首先要分析已知条件和结论中各种角例5：设)cos(,,02,32)-2sin(,91)2-cos(βαπβπαπβαβα+<<<<==求的值；例6：已知)sin(,135)43sin(,53)-4cos(43440βαβπαππαππβ+=+=求，＜＜，＜＜的值；例7：(1997年全国高考题)oooo o o sin8sin15-cos7sin8cos15sin7+的值为 。
4、引入辅助角：ϕϕθθθ这里辅助角可化为),sin(b a bcos asin 22+++所在的象限由a,b 的符号确定，ab tan =ϕϕ角的值由确定。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角函数是数学中一种重要的函数，它广泛应用于几何、物理、工程等领域。
而在解题过程中，常常需要通过三角恒等变换技巧来简化或转换问题，以便更容易求解或证明。
下面我们将总结一下常用的九种三角恒等变换技巧。
1.正弦和余弦平方和恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这是最基本的三角恒等式，即正弦和余弦的平方和等于1、它在很多场合都会被应用到，例如求解三角方程、证明三角函数的性质等。
2.余弦的二倍角公式：cos(2x) = cos^2(x) - sin^2(x) = 2cos^2(x) - 1 = 1 - 2sin^2(x)这个公式可以将一个角的余弦值转化为另一个角的余弦值，同时也可以将余弦值转化为正弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
3.正弦的二倍角公式：sin(2x) = 2sin(x)cos(x)这个公式可以将一个角的正弦值转化为另一个角的正弦值，或者将正弦值转化为余弦值。
它在解决一些二次方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
4.正切的和差公式：tan(x±y) = (tan(x)±tan(y))/(1∓tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和或差转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和或差。
它在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
5.两角和差公式：sin(x±y) = sin(x)cos(y)±cos(x)sin(y)cos(x±y) = cos(x)cos(y)∓sin(x)sin(y)这些公式可以将两个角的正弦值或余弦值的和或差转化为一个角的正弦值或余弦值，或者将一个角的正弦值或余弦值转化为两个角的正弦值或余弦值之和或差。
它们在解决一些三角方程和证明一些三角恒等式的时候非常有用。
6.正切的和公式：tan(x+y) = (tan(x)+tan(y))/(1-tan(x)tan(y))这个公式可以将两个角的正切值的和转化为一个角的正切值，或者将一个角的正切值转化为两个角的正切值之和。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧1.三角函数平方表示三角函数的平方表示可以将复杂的三角函数化简为简单的平方形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin^2(x) + cos^2(x) = 1这个三角恒等式表明，一个角的正弦平方与余弦平方之和等于1、利用这个恒等式，我们可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更好地进行计算。
2.和差化积和差化积是指将三角函数的和差形式转化为积的形式。
例如，可以利用以下恒等式：sin(x) + sin(y) = 2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)这个三角恒等式表明，两个角的正弦之和可以表示为正弦和余弦的乘积形式。
同样地，我们也可以通过差化积将两个角的正弦之差转化为正弦和余弦的乘积形式。
3.积化和差积化和差是指将三角函数的积的形式转化为和差的形式。
例如，可以利用以下恒等式：cos(x)cos(y) = 1/2[cos(x+y) + cos(x-y)]这个三角恒等式表明，两个角的余弦之积可以表示为两个角的和与差的余弦之和的一半。
同样地，我们也可以通过积化和差将两个角的正弦之积转化为正弦和余弦的和差形式。
这些三角恒等变换技巧在解决问题时经常被使用。
通过灵活地运用这些恒等变换技巧，可以将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式，从而更方便地进行计算和分析。
此外，在解析几何中，三角恒等变换技巧也有助于直观地理解和推导三角函数的性质和关系。
总结起来，三角恒等变换技巧是一种重要的数学工具，它通过对三角函数之间相互转化，将复杂的三角函数式子简化为更简单的形式。
掌握这些变换技巧不仅有助于解决数学问题，还可以提高数学理解和推导的能力。
因此，我们应该加强对这些三角恒等变换技巧的学习和掌握，使其成为解决各种问题的利器。
9种常用三角恒等变换技巧总结
9种常用三角恒等变换技巧总结三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。
下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。
1.倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθcos2θ = cos²θ - sin²θtan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。
2.半角公式：sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。
3.和差公式：sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。
4.和差化积公式：sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。
5.积化和差公式：sinAcosB = 1/2(sin(A+B) + sin(A-B))cosAsinB = 1/2(sin(A+B) - sin(A-B))cosAcosB = 1/2(cos(A+B) + cos(A-B))sinAsinB = -1/2(cos(A+B) - cos(A-B))这些公式可以用于将乘积的三角函数转化为和或差的三角函数，从而简化计算。
进行三角恒等变换的技巧
思路探寻步骤,不管是求三角函数的值、证明某个结论,都需要进行三角恒等变换.些进行三角恒等变换的技巧是很有必要的.角恒等变换主要是对三角函数式中的角、幂、常数进行变换.下面，三角变换的一些技巧.一、对角进行变换若题设中含有多个不同的角，换，建立已知角与所求角的之间的联系，用诱导公式、两角和差的正余弦公式、将已知角逐步朝着所求角靠拢.同时，角的范围和三角函数值，角函数值．例1.若cos(α-β)=-45，cos(α+β)=1213π)，α+β∈(3π2,2π)，求cos 2α的值．解析：观察所求角和已知角的差异，系2α=(α+β)+(α-β).和的余弦公式进行三角恒等变换.解：cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]=cos(α-β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)又α-β∈(π2,π)，α+β∈(3π2,2π)，由已知易得sin(α-β)=35,sin(α+β)=-315代入上式可得cos 2α=-3365.二、对函数名称进行变换我们需要对函数的名称进行变换，同角的三角函数关系式：cos 2α+sin 2α=1、tan 二倍角公式、有“切化弦”或“弦化切”.例2.若3sin α+cos α=0，求cos 2解析：由于3sin α+cos α=0，可得tan α么我们需利用关系式sin2α+cos 2α=1和tan αcos 2α+sin2α用tan α表示出来.解：cos 2α+sin2α=cos 2α+sin 2αcos 2α+sin 2α，将上式的分子、分母同时除以cos 2α，得．三、对幂进行变换有些函数式中幂的次数不统一，一般需将高次的幂变换为低次的幂.常用到的公式有cos2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、cos 2α+sin 2α=1.例3.已知sinα-cosα=12，求sin 3α-cos 3α的值．解析：由于已知式与目标式的次数存在较大的差异，将目标式降次是首要任务.可利用cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α和cos 2α+sin 2α=1来进行变换.解：因为(sin α-cos α)2=sin 2α+cos 2α-2sin αcos α=1-2sin αcos α,所以sin αcos α=38，故sin 3α-cos 3α=(sin α-cos α)(sin 2α+cos 2α+sin αcos α)=(sin α-cos α)(1+sin αcos α)=12×(1+38)=1116．四、对常数进行变换对常数进行变换是进行三角恒等变换的常用技巧.常见的变换有1=cos 2α+sin 2α、sin30°=12、sin45°=、sin60°=、sin90°=tan45°=1.这样通过对常数进行变换，可将三角函数式转化为可利用公式进行化简的式子.例4.已知cos α=-13，α是第二象限角，且sin(α+β)=1，求cos(2α+β)的值．解：由cos α=-13，且α是第二象限角，可得sin α=，由于sin(α+β)=1，所以α+β=2k π+π2（k ∈Z ），故cos （2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos （2k π+π2+α）=cos （π2+α）=-sin α=-．因为已知条件sin(α+β)=1比较特殊，所以可直接求出α+β的值，将其整体代入求解，便把复杂的三角求值问题变为求特殊角的值的问题.此解法与常规方法不同，但效果很好．总之，进行三角函数恒等变换，需要仔细分析三角函数式的结构特点，选择恰当的公式将三角函数式化成单角、项数尽可能少、次数尽可能低、结构尽可能简单的三角函数式，这样便能快速求得问题的答案.（作者单位：福建省龙岩市长汀县第一中学）Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角函数中三角变换常用的方法和技巧例题及答案
三角函数公式的应用1、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1ααααα-+的值。
解：∵tan()14tan tan()2441tan()4παππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。
2、 已知α为第二象限角，且15sin 4α=，求πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值． 解：原式22(sin cos )2(sin cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )αααααααααα++==++当α为第二象限角，且15sin 4α=时，sin cos 0αα+≠，1cos 4α=-，所以πsin 242sin2cos 214cos αααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-++． 评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．3、求值：︒︒︒+︒-480sin 20sin 220sin 820sin 433 解：原式：＝︒︒-︒-20sin 3)20sin 21(20sin 432＝︒︒︒-20sin 340cos 20sin 43 =︒︒︒-︒+︒20sin 340cos 20sin 4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin 320sin 40cos 20cos 40(sin 2＝︒︒-︒20sin 3)2040sin(2＝332 4、化简βαβαβα2cos 2cos 21cos cos sin sin 2222-+。
解：原式βαβαβα2cos 2cos 21)2cos 1)(2cos 1(41)2cos 1)(2cos 1(41-+++--= )2cos 2cos 2cos 2cos 1(41)2cos 2cos 2cos 2cos 1(41βαβαβαβα+++++--=βα2cos 2cos 21- 212cos 2cos 21)2cos 2cos 1(21=-+=βαβα 5.求值（21cos 80o —23cos 10o ）·1c o s 20o 解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －＝223cos 10sin 10o oo o o o （cos10+3sin10）（cos10－sin10） ＝22cos10cos 10sin 10o o o o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10） ＝24sin 40sin 201sin 204o o o ＝16sin 40sin 20oo ＝32cos20o ∴原式＝32 6.已知k =++αααtan 12sin sin 22 )24(παπ<<，试用k 表示ααcos sin -的值。
三角函数的应用高中数学中的三角恒等变换技巧
三角函数的应用高中数学中的三角恒等变换技巧三角函数的应用 - 高中数学中的三角恒等变换技巧三角函数是高中数学中重要的概念之一，而三角恒等变换则是运用三角函数的重要技巧。
本文将介绍三角函数的基本概念，并详细讨论三角恒等变换的应用。
一、三角函数的基本概念1. 正弦函数（sine function）正弦函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其对边与斜边之比。
用sin表示，即sinθ = 对边/斜边。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其邻边与斜边之比。
用cos表示，即cosθ = 邻边/斜边。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是指在直角三角形中，对于任意一个锐角θ，其对边与邻边之比。
用tan表示，即tanθ = 对边/邻边。
以上三个函数是最基本的三角函数，它们在解决实际问题中起着重要的作用。
二、三角恒等变换的介绍三角恒等变换是指由三角函数之间的关系得出的等式，它们在求解三角方程和简化复杂三角式中非常有用。
下面将介绍一些常用的三角恒等变换。
1. 基本的三角恒等变换- 余弦的平方加正弦的平方等于1：cos^2θ + sin^2θ = 1- 正切可以表示成正弦与余弦的比值：tanθ = sinθ / cosθ2. 与角度和双角的关系- 正弦函数的二倍角恒等式：sin2θ = 2sinθcosθ- 余弦函数的二倍角恒等式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ3. 和差角公式- 正弦函数的和差角公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ- 余弦函数的和差角公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ以上只是三角恒等变换中的一部分，还有更多的变换公式可供运用。
三、三角恒等变换的实际应用三角恒等变换在解决实际问题时可起到简化计算的作用，下面举例说明：例1：求解三角方程已知sinθ = 1/2，求解θ的值。
三角恒等变换技巧
三角恒等变换技巧三角恒等变换是一种重要的数学技巧，用于简化三角函数的表达式，求解三角方程和证明恒等式。
这种技巧通过将一个三角函数转化为另一个三角函数的形式，或者通过将多个三角函数组合成一个三角函数的和或积的形式，来实现简化和转化。
一、三角函数的基本恒等变换1.正弦函数和余弦函数的平方和公式sin²x + cos²x = 1这是最基本的三角恒等变换，它表示任何角的正弦函数平方加上余弦函数平方等于12.正弦函数和余弦函数的差积公式sin2x = 2sinx*cosx这个恒等变换表示正弦函数的二倍角等于两倍的正弦函数和余弦函数的乘积。
3.余弦函数的二倍角公式cos2x = cos²x - sin²x = 2cos²x - 1 = 1 - 2sin²x这个恒等变换表示余弦函数的二倍角可以表达为余弦函数和正弦函数的平方差。
4.正弦函数和余弦函数的和差公式sin(x ± y) = sinxcosy ± cosxsinycos(x ± y) = cosxcosy ∓ sinxsiny这个恒等变换描述了正弦函数和余弦函数的和差与它们的乘积之间的关系。
5.正切函数的和差公式tan(x ± y) = (tanx ± tany) / (1 ∓ tanxtany)这个恒等变换给出了正切函数和它们的和差之间的关系。
1.利用半角公式当要求解一些三角函数值的时候，可以使用半角公式将一个角度的三角函数值表示为另一个角度的三角函数值的形式，从而简化计算。
2.利用和差公式和平方和公式可以利用和差公式和平方和公式，将一个三角函数的和或差化简为一个三角函数的平方和或平方差，或者将一个三角函数的平方和或平方差化简为一个三角函数的和或差。
3.利用倍角公式可以使用倍角公式将一个三角函数的值表示为同一函数的两倍角的形式，或者将一个三角函数的两倍角的值表示为这个函数的值的形式，从而实现简化。
进行三角恒等变换的几个技巧
很多三角函数题目侧重于考查三角恒等变换的技巧.进行三角恒等变换的关键是选择合适的公式或变形式，将三角函数式中的角、函数名称、幂等进行灵活的转化，从而顺利化简三角函数式，求出三角函数式的值.下面，笔者介绍几个进行三角恒等变换的技巧，以供大家参考.一、拆角与补角有些三角函数式中的角不相同，就需要运用拆角与补角的技巧，将题目中的角进行转化.在转化角时，要先联系已知条件和所求目标，将角进行拆分、拼凑，再灵活运用诱导公式、二倍角公式、两角的和差公式等进行变换.例1.已知cos (α+π4)=35，π2≤α≤3π2，求cos (2α+π4)的值.解：由于π2≤α≤3π2，所以3π4≤α+π4≤7π4，因为cos (α+π4)=35＞0，可知3π2≤α+π4≤7π4，因此sin (α+π4)=-45，所以sin 2(α+π4)=2sin (α+π4)cos (α+π4)=-2425，cos 2(α+π4)=2cos 2(α+π4)-1=-725，因此cos (2α+π4)=cos[2(α+π4)-π4]=cos 2(α+π4)cos π4+sin 2(α+π4)sin π4=.观察题目中的各个角，可以发现：已知角α+π4与所要求的角2α+π4之间相差一个α，可得2(α+π4)-π4=2α+π4，用二倍角公式和诱导公式求出sin 2(α+π4)和cos 2(α+π4)的值，最后根据余弦的两角和公式，即可求出cos(2α+π4)的值.二、降幂与升幂当三角函数式中出现高次或者次数不一的式子时，就要运用降幂与升幂的技巧来解题.常用到的公式有cos 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α、tan 2α=2tan α1-tan 2α、sin 2α+cos 2α=1.例2.证明cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)的值与x 的取值无关.证明：cos 2α+cos 2(x +π3)+cos 2(x -π3)=1+cos 2x 2+1+cos(2x +23π)2+1+cos(2x -23π)2=32+12[cos 2x +cos(2x +23π)cos(2x -2π3)]=32+12(cos 2x -12cos 2x -2x -12cos 2x +2x )=32.该式与x 无关，命题得证.该三角函数式较为复杂，cos 2α、cos 2(x +π3)、cos 2(x -π3)均为二次式，且各个角不相等，需先利用余弦函数的二倍角公式降幂，将其转化为一次式，然后再进行化简，这样运算起来就会容易很多.三、弦切互化当函数式中出现多种不同的三角函数名称时，就需要通过弦切互化，将不同名函数化为同名函数.常用的办法是利用tan α=sin αcos α或sin 2α+cos 2α=1将切化弦或将弦化切.例3.已知tan α=2，求4sin α-2cos α5cos α+3sin α的值.解：因为tan α=2，所以cos α≠0，所以4sin α-2cos α5cos α+3sin α=4sin α-2cos αcos α5cos α+3sin αcos α=4tan α-25+2tan α=611.解答本题，需挖掘题目中的隐含信息cos α≠0，将所求目标式的分子、分母同时除以cos α，利用tan α=sin αcos α，使所求目标式中的函数名称统一为正切函数，最后将已知值代入，求得目标函数式的值.无论是对函数名称、角，还是对幂进行转化，都需要灵活运用三角函数中的基本公式及其变形式，有时也要学会逆用公式.在进行三角恒等变换时，要注意仔细观察三角函数式，选择恰当的三角恒等变换技巧.（作者单位：江苏省射阳县高级中学）解题宝典40。
三角函数中三角变换常用的方法和技巧
三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数是数学中的重要分支，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
在求解问题时，我们常常需要对三角函数进行各种变换和化简。
本文将介绍一些常用的三角变换方法和技巧。
一、和差化积与积化和差1.1和差化积和差化积是一种常用的三角函数变换方法，能够将两个三角函数的和（或差）表示为一个（或两个）三角函数的积。
具体公式如下：sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin bcos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin btan(a ± b) = (tan a ± tan b) / (1 ∓ tan a tan b)1.2积化和差积化和差则是和差化积的逆运算，能够将一个三角函数的积表示为两个三角函数的和（或差）。
具体公式如下：sin a sin b = (1 / 2) [cos(a - b) - cos(a + b)]cos a cos b = (1 / 2) [cos(a - b) + cos(a + b)]sin a cos b = (1 / 2) [sin(a + b) + sin(a - b)]二、倍角公式和半角公式2.1倍角公式倍角公式是将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数的公式。
具体公式如下：sin 2a = 2sin a cos acos 2a = cos² a - sin² a = 2cos² a - 1 = 1 - 2sin² atan 2a = (2tan a) / (1 - tan² a)2.2半角公式半角公式是将一个角的三角函数表示为另一个角的三角函数的公式。
具体公式如下：sin (a / 2) = ±√[(1 - cos a) / 2]cos (a / 2) = ±√[(1 + cos a) / 2]tan (a / 2) = ±√[(1 - cos a) / (1 + cos a)]三、和差化积与和差化积的扩展3.1和差化积的扩展除了上述提到的基本的和差化积公式外，还存在一些扩展的和差化积公式。
三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧
三角函数的像变换利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧三角函数是数学中一个重要的分支，广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
其中，像变换是指通过对三角函数的参数进行调整来改变函数图像在坐标平面上的位置、形状和大小。
本文将介绍一些利用三角函数解决像变换问题的方法与技巧。
一、平移变换平移变换是指通过改变三角函数的参数来移动函数图像在坐标平面上的位置。
对于正弦函数sin(x)而言，平移变换可以通过改变函数参数中的常数项实现。
具体来说，对于函数y = A*sin(x - B)，其中A和B 分别表示振幅和相位角，改变相位角B可以实现图像在水平方向上的平移。
当B为正时，图像向右移动；当B为负时，图像向左移动。
例如，在处理图像变换问题时，常常需要将函数图像沿x轴或y轴平移一定距离。
可以通过调整三角函数的相位角来实现。
如果需要将函数y = sin(x)向右平移2个单位，可以通过改变函数参数为y = sin(x - 2)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)向上平移3个单位，可以通过改变函数参数为y = 3 + cos(x)来实现。
二、伸缩变换伸缩变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的形状和大小。
对于正弦函数sin(x)而言，伸缩变换可以通过改变函数参数中的振幅A和频率k来实现。
具体来说，通过改变振幅A，可以改变函数图像的纵向拉伸或压缩；而通过改变频率k，可以改变函数图像的横向拉伸或压缩。
例如，在图像处理中，常常需要将函数图像沿x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。
可以通过调整三角函数的振幅A和频率k来实现。
如果需要将函数y = sin(x)在x轴方向上拉伸为原来的两倍，可以通过改变函数参数为y = sin(2x)来实现。
同样地，如果需要将函数y = cos(x)在y 轴方向上压缩为原来的一半，可以通过改变函数参数为y = 0.5*cos(x)来实现。
三、翻折变换翻折变换是指通过改变三角函数的参数来改变函数图像在坐标平面上的对称性。
三角恒等变换求值与化简
y
(1
m m)x
1
x
令 (1m )x1(m 0 ,x ≥ 1 )
x
则 (1m )x 1 2(1 x m 2)x 20
在 [ 1 , ) 上 为 增 函 数
≥ 1 m 1 2 m 0
又m0,y≤m m2
即 x1时 ,y取 得 最 大 值 m. 2m
三、针对性训练
(一)《状元360》P384 1. 3.
B． 6 10cm2
C． 3 55cm2
D． 20cm2
注:此类问题与解三角形结合时,应尽可能计算余
弦值或正切值.
变 式 1.已 知 、 都 是 锐 角 ， 且 sin 5,sin10,
5
10
求 .
答 案 : . 4
注:此类问题与解三角形结合时,应尽可能计算余弦值 或正切值.
变 式 2.已 知 函 数 f(x)tan(2x),f()2cos2,
42
其 中 0,4,求 角 .
(3)化运算：利用二倍角的三角函数公式实现函 数式的升幂或降幂的转化，或利用代数恒等式进行 运算的转化.
二、例题分析
考点一:知值求角
[方法点拨] 求角问题在高考中已降低要求，故若
有求角问题出现，往往应是特殊角，解决方法是
先求该角的某种三角函数值，再利用角的范围确
定角.
例 1.设、(0， π),且tan4,tan1,则
三、针对性训练
(二)补充练习 4
1 .已 知 t a n x 4 2 ,则 t t a a n n 2 x x 的 值 为 _ _ _ _ 9 _ _ _ _ _ .1
2 . 已 知 s i n 2 s i n 2 1 , 则 c o s c o s 的 最 大 值 是 _ _ 2 _ .
三角函数的变换与计算
三角函数的变换与计算三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中有广泛的应用。
掌握三角函数的变换与计算是学好数学的基础，它们可以帮助我们解决很多与角度和边长相关的问题。
本文将介绍三角函数的常见变换形式和计算方法。
一、三角函数的变换1. 平移变换对于任意角度θ，sin(θ)和cos(θ)是周期为2π的函数。
通过平移变换，我们可以将其变换为其他周期为2π的函数。
平移变换的一般形式如下：f(x) = sin(x + a) 或 f(x) = cos(x + a)其中a为平移量，表示函数在x轴上平移的距离。
当a为正数时，向左平移；当a为负数时，向右平移。
2. 缩放变换缩放变换可以调整函数振幅的大小，使其变为原来的n倍或1/n倍。
缩放变换的一般形式如下：f(x) = a*sin(x) 或 f(x) = a*cos(x)其中a为缩放因子，当a大于1时，振幅增大；当0 < a < 1时，振幅减小。
3. 伸缩变换伸缩变换可以改变函数的周期长度，使其变为原来的n倍或1/n倍。
伸缩变换的一般形式如下：f(x) = sin(ax) 或 f(x) = cos(ax)其中a为伸缩因子，当a大于1时，周期缩短；当0 < a < 1时，周期延长。
二、三角函数的计算1. 三角函数的定义三角函数的最基本定义如下：sin(θ) = 对边/斜边cos(θ) = 临边/斜边tan(θ) = 对边/临边其中θ为角度，对边为角度对应的直角三角形中较远离直角的一条边，临边为角度对应的直角三角形中与直角相邻的边，斜边为角度对应的直角三角形的斜边。
2. 三角函数的计算公式三角函数还有很多计算公式，可以用来求解各种与角度和边长有关的问题。
以下是一些常见的计算公式：- 余角公式：sin(90°-θ) = cos(θ)cos(90°-θ) = sin(θ)tan(90°-θ) = 1/tan(θ)- 倍角公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ)tan(2θ) = 2tan(θ) / (1 - tan^2(θ))- 和差公式：sin(θ ± φ) = sin(θ)cos(φ) ± cos(θ)sin(φ)cos(θ ± φ) = cos(θ)cos(φ) ∓ sin(θ)sin(φ)tan(θ ± φ) = (tan(θ) ± tan(φ)) / (1 ∓ tan(θ)tan(φ))- 万能公式：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 11 + tan^2(θ) = sec^2(θ)1 + cot^2(θ) = csc^2(θ)三、总结三角函数的变换与计算是数学中重要的内容，它们在几何、物理、工程等领域中有着广泛的应用。
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三角函数中三角变换常用的方法和技巧三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)倍角公式tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2sin2A=2sinA*cosA半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))一、角的变换在三角函数的求值、化简与证明题中，表达式往往出现较多的相异角，此时可根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解。
常见角的变换方式有：ββαα-+=)(；)()(2βαβαα-++=；αβαβα+-=-)(2；22αα=等等。
例1 函数ππ2sin cos ()36y x x x ⎛⎫⎛⎫=--+∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭R 的最小值等于（ ）． （A ）3- （B ）2-（C ）1-（D）解析：注意到题中所涉及的两个角的关系：πππ362x x ⎛⎫⎛⎫-++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以将函数()f x 的表达式转化为πππ()2cos cos cos 666f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小值为1-．故选（C ）．评注：常见的角的变换有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-，22αβαββ+-=-，3πππ()442βααβ⎛⎫⎛⎫+--=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ44αβαβ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．只要对题设条件与结论中所涉及的角进行仔细的观察，往往会发现角之间的关系． 例2、已知 βαβαα,,1411)cos(,71cos -=+=均是锐角，求βcos 。
解：。
）21734143571)1411(cos 1435sin(,734sin .sin )sin(cos )cos(])cos[(cos =⨯+⨯-=∴=+=+++=-+=ββαααβααβααβαβ小结：本题根据问题的条件和结论进行])[(αβαβ-+=的变换。
例3、已知cos(91)2-=-βα,sin(2α-β)=32,且,20,2πβπαπ<<<<求.2cosβα+ 分析：观察已知角和所求角，可作出)2()2(2βαβαβα---=+的配凑角变换，然后利用余弦的差角公式求角。
解：.2757329543591)]2()2cos[(2cos,35(1)2cos(,954(1)2sin(.224,24,20,2)32)9122=•+⨯-=---=+∴=--=-=-=-<-<-<-<∴<<<<βαβαβαβαβαπβαππβαππβπαπ例4、已知),2sin(sin βαβ+=m 求证：分析：由角的特点，因已知条件所含角是,,2ββα+所证等式含角,,αβα+所以以角为突破口。
证明：.tan 11tan(1sin )cos()1(cos )sin()1(,sin )cos(cos )sin(sin )cos(cos )sin(],)sin[(])sin[(,)(,)(2αβααβααβααβααβααβααβααβααβααβαβαβαβαmmm m m m m m -+=+∴≠++=+-∴+++=+-+++=-+∴-+=++=+）即 小结：抓住题设与结论中角的差异，利用角的和，差，倍等关系，变不同的角为同角，在三角变换中角的变换很重要。
二、函数名称变换三角函数包括六种形式，因此，对于含有多种三角函数的问题，要从题目中所给的各函数间的关系入手，寻求统一函数名称的变换途径，正确选用三角变换公式，通过变换尽量减少三角函数的种类，可以使问题得到快速的解决．例1、若sin （α+β）=12, sin （α—β）＝110，求tan tan αβ解：由sin=（α+β）=12, s in （α—β）＝110得 ∴tan tan αβ＝sin cos cos sin αβαβ＝32例2、当π04x <<时，函数22cos ()cos sin sin x f x x x x =-的最小值是（ ）．（A ）4 （B ）12（C ）2 （D ）14解析：注意到函数的表达式的分子与分母是关于sin x 与cos x 的齐二次式，所以，分子与分母同时除以2cos x 转化为关于tan x 的函数进行求解．因为π04x <<，所以0tan 1α<<，所以2211()4tan tan 11tan 24f x x x x ==-⎛⎫--+⎪⎝⎭≥．故选（A ）． 评注：切、割化弦，弦化切是解答三角问题中对函数名称进行转化的最常见、最基本的两种方法：（1）若所给的三角式中出现了“切、割函数”，则可利用同角三角函数基本关系将“切、割函数”化为“弦函数”进行求解、证明；（2）若所给的三角式中出现了“弦函数”与“切函数”，有时可以利用公式sin tan cos x x x=将“弦函数”化为“切函数”进行解答． 例3、化简：0cos10(tan10sin50解：原式000000sin10cos102cos 40(2cos10sin 50sin 50-====-例4、已知tan()34πα+=-，求22sin cos sin sin cos 1ααααα-+的值。
解：∵tan()14tan tan()2441tan()4παππααπα+-=+-==++， ∴222222sin cos 2sin cos 2tan 47sin sin cos 1sin sin cos sin cos 2tan tan 1ααααααααααααααα===-+-++-+ 点评：在求值、化简、恒等式证明中，切化弦与弦化切是常用的三角变换技巧。
三、升幂与降幂变换分析三角函数中的次数，是低次的升次，还是高次的降次，要充分结合题中的要求，正确选用半角公式或倍角公式等三角公式，达到次数的统一．例1、 已知α为第二象限角，且sin α=πsin 4sin2cos 21ααα⎛⎫+ ⎪⎝⎭++的值． 分析：由于已知条件中知道sin α的值，而所求三角函数式中所涉及的角是与α有关的复角，因此可利用同角三角函数的基本关系式，二倍角公式以及三角函数式的恒等变形获得解答．解：原式2(sin cos )cos )22sin cos 2cos 4cos (sin cos )αααααααααα++==++当α为第二象限角，且sin4α=时，sin cos0αα+≠，1cos4α=-，所以πsin4sin2cos214cosαααα⎛⎫+⎪⎝⎭==++．评注：解答本题的关键是将含有二倍角的一次式转化为二次式，消去常数1．例2、求值：︒︒︒+︒-480sin20sin220sin820sin433解：原式：＝︒︒-︒-20sin3)20sin21(20sin432＝︒︒︒-20sin340cos20sin43=︒︒︒-︒+︒20sin340cos20sin4)2040sin(2=︒︒︒-︒︒20sin320sin40cos20cos40(sin2＝︒︒-︒20sin3)2040sin(2＝332注：怎样处理sin320°和3是本题的难点，解决的方法是“降幂”和“常数变换法”。
例3、化简βαβαβα2cos2cos21coscossinsin2222-+。
分析：从“幂”入手，利用降幂公式。
解：原式四、常数变换在三角函数的、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数，例如常数“1”的变换有：αααααα222222cotcsctanseccossin1-==+=，0045sin90sin1==，ααααsincsc1,cossec1=⋅=等等。
例1、已知πtan24α⎛⎫+=⎪⎝⎭，求212sin cos cosααα+的值．分析：由已知易求得tanα的值，而所求三角函数式中的分母所涉及的函数是正、余弦函数且各式都为二次式，而分子是常数1，可将1化为22sin cosαα+，再利用同角三角函数基本关系将所求式转化为正切函数进行求解．解：由π1tan tan 241tan ααα+⎛⎫+==⎪-⎝⎭，得1tan 3α=，于是原式2222sin cos tan 122sin cos cos 2tan 13ααααααα++===++．评注：对于题中所给三角式中的常数（如：1，比照特殊角的三角函数值，将它们化为相应的三角函数，参与其它三角函数的运算，在解题中往往起着十分奇妙的作用．例2、 求值（21cos 80o —23cos 10o ）·1cos 20o解：∵21cos 80o —23cos 10o ＝2222cos 103cos 80cos 80cos 10o o o o －＝22cos10cos 10sin 10o oo o o o o o o o 4（sin30+cos30sin10）（sin30cos10－cos30sin10）＝24sin 40sin 201sin 204o o o ＝16sin 40sin 20o o＝32cos20o∴原式＝32例3、(2004年全国高考题)求函数xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=的最小正周期，最大值和最小值。
分析：由所给的式子x x x x 2244cos sin cos sin ++可联想到222)cos (sin 1x x +=。
解：xxx x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=212sin 41+=x 。
所以函数)(x f 的最小正周期是π，最大值为43，最小值为41。
五、消参变换当题设或结论中含有参数时，我们可以采用消去参数法来解决．例1、已知sin sin(3)m βαβ=+，1m ≠且ππ()2k k αβ+≠+∈Z ，π()2k k α≠∈Z ．求证：1tan()tan 1mmαβα++=-． 分析：由于已知和结论中都含有参数m ，所以我们可以把已知变形，求出sin sin(2)m m βαβ=+，，代入1tan 1mmα+-化简，即可证得等式成立．评注：在解答含有参数的等式证明问题时，我们往往可以采用这种办法．本例并未给出证明过程，同学们可试着自己完成．六、变换公式的方法使用任何一个公式都要注意它的逆向变幻，多向变幻，这是灵活，深刻地使用公式所必须的，尤其是三角公式众多，把这些公式变活，显得更加重要。