示范教案(121解决有关测量距离的问题)

1.2应用举例

1.2.1解决有关测量距离的问题

从容说课

解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识•对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语（如坡角、仰角、俯角、方位角、方向角等）的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决. 学习这部分知识有助于

增强学生的数学应用意识和解决实际问题的能力.

本节的例1、例2是两个有关测量距离的问题•例1是测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，例2是测量两个不可到达的点之间距离的问题•对于例1可以引

导学生分析这个问题实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，从而可以用正弦

定理去解决•对于例2首先把求不可到达的两点A、B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长的问题，然后把求未知的BC和AC的问题转化为例1中测量可到达的一点与不

可到达的一点之间的距离问题.

教学重点分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法

教学难点实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图.

教具准备三角板、直尺、量角器等

三维目标

一、知识与技能

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语，女口：坡度、俯角、方向角、方位角等•

二、过程与方法

1•首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫.其次结合学生的实际情况，采用提出问题一一引发思考一一探索猜想一一总结规律一一反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、

图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题. 对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，引导学生从多角度发现问题并进行适当的指点和矫正.

2•通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力•

三、情感态度与价值观

1•激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值；

2•通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用•同时培养学生运用图形、数学符号表

达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.

教学过程

导入新课

师前面引言第一章解三角形”中，我们遇到这么一个问题，遥不可及的月亮离我们地球究

竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的

测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施.如因为没有足够的空间，

不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性. 于是上面介绍的问题是用以

前的方法所不能解决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离.

推进新课

asin( )

sin [180 (

)]

asi n( ) sin(

)

解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意， 件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解

［例题剖析］

【例1】如图，设A 、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同侧，在

所在的河岸边选定一点 C ,测出AC 的距离是55 m ,Z BAC=51° / ACB=75°求A 、B 两 点的距离•（精确到0.1 m ）

师（启发提问）1 : △ ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较恰当？ 师（启发提问）2:运用该定理解题还需要哪些边和角呢？请学生回答.

生从题中可以知道角 A 和角C ,所以角B 就可以知道，又因为 AC 可以量出来，所以应该 用正弦定理.

生 这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题，题目条件 告诉了边AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边. 解：根据正弦定理，得

AB AC sin ACB sin ABC

AB AC sin ACB 55 sin ACB

^\B -------------------------- ----------------------

sin ABC sin ABC

答A B 两点间的距离为65.7米. ［知识拓展］

变题：两灯塔A 、B 与海洋观察站 C 的距离都等于 A km,灯塔A 在观察站C 的北偏东30° 灯塔B 在观察站C 南偏东60°则A 、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型.

解略：..2a km.

【例2】如图，A 、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A 、B 两点间距离的方 法 ［教师精讲］

这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三

角形，所以需要确定C 、D 两点.根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求 出另两边

的方法，分别求出 AC 和BC ,再利用余弦定理可以计算出 A 、B 的距离. 解：测量者可以在河岸边选定两点

C 、

D ，测得 CD=A ，并且在 C 、D 两点分别测得

/ BCA=a/ ACD =3Z CDB = Y /BDA = 3,在厶ADC 和厶BDC 中，应用正弦定理得

正确作出图形，把实际问题里的条

55 sin 75

sin( 180

51

75 )

55 sin 75

〜65.7(m)

sin 54

8

—

L

）