拉格朗日-欧拉方法二维数值模拟的研究

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数值方法
ALE 方法的坐标系实际上是拉格朗日坐标系和欧拉坐标系的组合。Euler 方法着重于在
2.1 ALE 方法的描述
参考坐标系固定的情况下考察流场的变场的变化,而 Lagrange 方法着重研究质团的位置、速 度和其他物理量的变化，两种方法各有其优缺点,如 Euler 方法网格固定,可计算多维空间中 流体具有较大畸变的流动问题,但流体的界面不能清晰地确定； 而 Lagrange 方法是把坐标系
对上和下边界 对左和右边界
e) 连续输出边界： V V邻界 此边界条件仅在边界网格流量全部为贡献单元时使用。 f) 特殊的输入或输出流边界：
V Vinput input I I input
g) 压力边界： p p ( , I ) 通过输入参数 WB,WL,WR,WT 来控制边界底、左、右和上的边界条件，他们的取值 范围为 0～6。
固定在物质上或随物质一起运动和变形， 处理自由表面和物质界面是直观而简单 的,但它不能处理滑移和畸变较大的流动 ,容易引起网格相交从而导致计算不能正常进行。
ALE 方法是将 Euler 方法和 Lagrange 方法结合起来,它既具有 Euler 方法的优点,可将网格固 定,并可让网格以任意方式运动,因而具有连续重分网格的能力;也具有 Lagrange 方法的优点, 可将网格嵌在流体内,与流体一起运动，因而它既能处理畸变较大的流动,又能提供流体内部 运动的细节,求解方法通用性较大。
Lagrangian-Eulerian method for the research of two-dimensional numerical simulation
Abstract: A finite difference method was presented based on the Simplified Arbitrary
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拉格朗日－欧拉方法二维数值模拟的研究
崔冰艳
内蒙古工业大学机械学院，呼和浩特 （010062） Email: yanbingll@163.com
摘要：从 Navier-Stoles 方程和连续方程出发，在 ALE 描述下，用有限差分的方法对计算区 域进行四边形单元的网格划分； 利用权因子对平流通量进行计算。 以速度和压力为基本变量， 在时间域上采用分步求解格式。文中介绍了 ALE 方法的特点和计算步骤。最后，利用 ALE 的有限差分方法对二维的不可压缩粘性液体的流动问题进行了算例数值模拟， 数值计算结果 验证了 ALE 方法的准确性和可靠性。 关键词：ALE 方法；数值模拟；Navier-Stokes 方程
1 引言
在现实生活中，带有自由液面的流体流动问题的非常常见，在航天,化工,贮运等领域,已 有大量用有限元法求解自由面流动时,运动的流体与有限元网格之间的关系即运动学描述是 极为重要的。 由于拉格朗日方法和欧拉方法这两种经典的描述方法各有优缺点， 这就促使人 们把这两种方法结合起来使用。ALE(Arditrary Lagrange Euler)方法正是由此而逐渐发展完善 起来的。ALE 描述的流体方程求解自由边界问题常采用拉格朗日、欧拉和任意拉格朗日一 欧拉三种方法进行描述．为了便于模拟自由液面、流体和结构相互作川边界的复杂运动，流 体的控制方程建立在任意拉格朗日一欧拉参考坐标系。用 ALE 方法解决二维的可压缩或不 可压缩流体的流动问题具有很大的优越性。
4 结论
根据算例的计算模拟图可以清晰地分辨出，在不同时刻，容器在水的作用下的动态的变 形情况，从而验证了 ALE 方法是可以解决并处理大变形问题。 参考文献
［1］A.A.Amsden,H.M.Ruppel,and C.W.Hirt. A Simplified ALE Computer Program for Fluid Flow at all speeds,LA-8095,June 1980. ［2］李德元，徐国荣，水鸿寿等，二维非定常流体力学数值模拟，科学出版社，1987. ［3］Careth S.Collins and H.Jay Melosh ,A multi-material extension to the SALE hydrocode with improved equation of state and constitutive model. August 5,2002. ［4］Thomas JR, Lagrangian-Eulerian finite element formulation for incompressible viscous flow.Computer Methods in Applied Mechanica And Engineering,1981. ［5］朱自强,吴子牛,李 津等, 应用计算流体力学[Ｍ],北京:北京航空航天大学出版社,1998. ［6］RAMASUWAMY B and KAWAHARA M, Arbitrary Lagrangian-Eulerian finite element method for unsteady convective incompressible viscous free surface fluid flow［J］.Int.J. Numer.Methods Fluids,1987,7
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程序的正确性。
图1
t=1.00000E-05s 时的网格图、运动状况图及压力图
图2
t=3.00001E+01s 时的网格图、运动状况图及压力图
图3
t=5.00003E+01s 时的网格图、运动状况图及压力图
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2.4 边界条件
a) Lagrange 自由面： V Vl b) 水平和垂直的自由滑移面： u 0或v 0 c) 一般的自由曲面和斜面：
' uc u n sin u c cos 2 v c sin cos ' vc u n cos u c cos sin v c sin 2
其中下标 n 表示为边界上正法向方向速度，下标 c 为边界上切向速度，
y ilorJ 1 lorJ xi 1 tan j 1 y lorJ x j 1 lorJ
d) 无滑移表面： V 0
y ilorJ 1 xilorJ 1
j 1 y lorJ j 1 x lorJ
3 计算实例
计算实例为一球形容器，在水的冲击下产生的变形情况的分析。图中采用的压力方 程为 Tillotson 方程。球形容器在重力的作用下，流体是自由的流过外表面。在纯的拉格 朗日形式下，网格是允许运动的，上边界和右边界可作为拉格郎日自由表面处理，左边 界为无滑移面，底边界为水平底自由滑移面。计算运行是隐式的，不可压缩限制的。计 算底网格单元数为 200，节点数为 231 个，图 1、2、3 显示的是在不同时刻容器的网格、 速度、压力的变化情况。从而说明 ALE 方法计算冲击问题的可行性。由此说明 SALE
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2.2 控制方程
在 ALE 方法中应用的控制方程为 Navier-Stokes 方程、质量方程和内能方程：
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u 1 ru 2 uv ( p q ) 1 r xx xy g x t y x y r x r x r v 1 ruv v 2 ( p q ) 1 r xy yy g y t y y y r x r x 1 ru v 0 t r x y I 1 rIu Iv u u u v v ( p q ) D xx xy xy yy t r x y x y r x y 1 ru v D r x y
D 为速度散度， （u,v）是笛卡尔坐标系(x,y)或柱坐标系（r,z）的速度分量。当要求是笛卡尔 坐标系时，方程中所有的半径设置成：r=0。 p 为流体的压力； 为流体的密度； I 为流体 的能量； g x ，
gy
为体积加速度； xx ，
xy ， yy ， 为偏应力。
2.3 计算方法
Lagrangian-Eulerian(SALE) description for two-dimensional fluid flow with a free surface.2-D Navier-Stokes (NS) equation and the continuity equation were employed for fluid flow. The fluid do main was divided by quadrilateral elements ; By using power factorial calculated advection Flux. By using pressure and velocity as primary variables, this paper presents an ALE factional step procedure .The characteristics and calculation process of SALE method are introduced in the article .To confirm the electiveness of the method, two-dimensional liquid sloshing is simulated. The present numerical results had substantiated the veracity and reliability of the SALE methods.
ALE 方法采用交错网格离散方程定义除速度外所有的热力学参量位于常规网格单元中 心，定义速度位于常规网格单元的角点上，并以此角点为中心构成动量网格单元。凡需计算 通量的项，如扩散项与对流项，近似为沿单元 4 个表面求和；其他依赖体积的项，可以直接 对单元积分。 ALE 方法结合了 Lagrange 方法和 Euler 方法的优点产生的，因此计算步骤刻也含有这 两种方法，计算分为三步进行。 第一步 显示 Lagrange 计算，即只考虑压力梯度分布对速度和能量改变的影响，在动量 方程中压力取前一时刻的量,因此是显式格式。 这步是直接利用前一时步各参数和终了值来计算本阶段的速度、 密度和内能。这样计算 工作量较小， 但时间步长却受到较严的限制。 因此程序中通过一个可调的参数来控制差分格 式的显隐程度，在实际计算中可按需要进行调节。 第二步 用隐式格式进行 Newton-Raphon 迭代，而把第 1 步求得的速度分量作为迭代求 解的初始值。 ALE 方法是通过联立求解以面中心速度为自变量的动量方程、体积变化方程和经过线 性化处理的状态方程来确定压力。这部分要求降低 Courant 数的时间步长限制， 这样可以保 证在低速或不可压缩流的计算稳定性 第三步 重新划分网格和网格之间输运量的计算。 把所有的网格节点从当前移回到第 1 步开始前的位置， 并计算流体相对于网格运动的对
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流通量， 就是根据网格与其包含的流体单元的相对速度计算穿越各网格单元边界的各物理量 的对流能量，即控制方程中的对流项，这是用欧拉形式描述流场时所必须进行的。在程序中 对流项用显示时间计算，时间步长受到 Courant 条件的限制，而在前两个步骤的计算中基本 是以隐式为主，其时间步长可以取得比较大，因此在程序中计算对流项时采用子循环形式。 为了考虑对流项的单项传播特性，必须选择合理的空间差分格式。