赋权图的最短通路4-10
16.2最短树
例题2 一个赋权图如下， 例题 一个赋权图如下，请生成其最小 生成树。 生成树。 (x1,x2),(x2,x5),(x2,x4),(x3,x4)
最小生成树也可为： 最小生成树也可为： (x1,x2),(x2,x5),(x2,x4),(x2,x3)
V5 10 V4 V2
最长树: Kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱuskal算法中 最长树:将Kruskal算法中,每次加 算法中, 入最短边,改成每次加入最长边, 入最短边,改成每次加入最长边,即 可实现. 可实现.
V2 17
采用Kraskal方法 方法: 采用 方法 (v1,v2)=12,(v2,v3)=15,(v2,v4)=17,(v4,v5)=17
V5 25 36 V1 40 12 30 17 15 V3 19 V4
V2 17
采用Prim方法为 方法为: 例题 采用 方法为 (v1,v2)=15, 最近是v 离{v1,v2}最近是 4=(v2,v4)=20, 最近是 最近的是v 离{v1,v2, v4}最近的是 5=(v5,v4)=10 最近的是 最近的是v 离{v1,v2, v4 , v5}最近的是 3=(v3,v4)=10 最近的是
V2 15 V1 30 40 25 V5 10 30 20 15 V3 10 V4
Prime算法：首先任选一结点 构成 Prime算法：首先任选一结点V0构成 算法 集合U,然后不断在 然后不断在V-U中选一条到 中选一条到U 集合 然后不断在 中选一条到 中某点(比如 最短边(v,r)进入 ， 比如v)最短边 进入T， 中某点 比如 最短边 进入 U=U+r，直到 ，直到U=V. 书上提供的算法:以已生成的部分树 以已生成的部分树t 书上提供的算法 以已生成的部分树 为基准,最早进入该树的边是与 最早进入该树的边是与v1距 为基准 最早进入该树的边是与 距 离最短的边,然后依次计算与 然后依次计算与t距离最 离最短的边 然后依次计算与 距离最 短的点,将该对应边添入树中 将该对应边添入树中,直到有 短的点 将该对应边添入树中 直到有 n-1条边为止 条边为止. 条边为止
赋权图的最短路与关键路的算法与实现
赋权图的最短路与关键路的算法与实现赋权图的最短路与关键路的算法与实现摘要：图形是由点和线构成的集合．赋权图的最短路就是任意两个节点之间的权值之和最⼩的路径．最短路不仅仅指⼀般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量, 如时间、费⽤、线路容量等．本⽂介绍了如何求最短路的有效算法: Dijkstra算法．它能求出赋权图的任何两个节点之间权值之和的最⼩路径. 关键路径通常总是决定项⽬⼯期的进度活动序列．它是项⽬中从发点到收点的最长路径.关键路径法（Critical Path Method,CPM）是⼀种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的总时差最少来预测项⽬⼯期的⼀门⽹络分析技术．关键路径法,能推算出项⽬的最短完成时间和项⽬各项活动的可能开始和结束时间.关键词: 图的邻接矩阵; 最短路径; Dijkstra算法; 关键路径The algorithm and implementation of the Shortest Path andthe Critical PathＡbstract: Graphics are constituted by the sets of points and lines. The shortest path of the weighted graph is the minimum sum of the weight between any two vertices. The shortest path not only refers to the shortest distance, but also can be extended to other metrics, such as time, cost, line capacity and so on. Dijkstra’s algorithm was the most efficient algorithm for how to find the Shortest Path of weighted graph, which is studied in this paper. Dijkstra’s algorithm was used to calculate the m inimum value of weighted graph between any two vertices. The critical path is usually used to obtain the progress of the project in activities. It is the longest path of a project from the starting point to the ending point. The critical path method (Critical Path Method, CPM) which analysis a sequence of the least time in activities or predict (which route) the schedule better. The critical path method can be used to calculate the shortest completion time, starting and ending times in project activities.Keywords: Adjacency matrix of the graph; The Shortest Path; Dijkstra’s algorithm; The Critical Path⽬录第⼀章绪论 (1)1.1 课题的背景 (1)1.2 课题的⽬的 (1)1.3 课题的国内外研究状况 (1)1.4 课题的意义和研究⽅法 (1)1.5 课题的构成及主要研究内容 (2)第⼆章基础知识 (3)2.1 集合的概述 (3)2.2 图论基础 (4)第三章赋权图最短路的算法与应⽤ (9)3.1 最短路的概念 (9)3.2 最短路算法 (10)3.3 Dijkstra算法 (11)3.4 赋权图最短路算法在舰船通道路线设计中的应⽤ (14)第四章关键路径法与应⽤ (16)4.1 关键路径法的基本原理 (16)4.2 ⽹络计划的特点 (17)4.3 ⽹络计划的分类 (18)4.4 ⽹络计划关键路径的应⽤ (18)4.4.1 搭接⽹络计划⽰例 (18)4.4.2 搭接⽹络中的连接关系 (19)4.4.3 搭接⽹络计划的时间参数计算⽰例 (19)第五章⽹络计划优化 (25)5.1 ⼯期优化 (26)5.1.1 ⼯期优化的计算步骤 (26)5.1.2 宜缩短持续时间的关键⼯作的选择 (26)5.1.3 按要求⼯期优化⽹络计划的⽅法 (26)5.1.4 ⼯期优化⽰例 (27)5.2 资源优化 (29)5.2.1 资源优化的种类 (29)5.2.2 资源优化的原则 (30)5.3⼯期费⽤优化 (31)5.3.1 ⼯期与成本的关系 (31)5.3.2 ⼯期与成本优化⽰例 (34)总结 (41)参考⽂献 (42)致谢 (44)附录A (45)附录B (50)第⼀章绪论1.1 课题的背景当前社会发展迅猛, ⼈们为了顺应时代的发展, 对于实际问题在认识并处理的过程中, 探索到的解决问题的办法. 像在求解⽹络图上节点间最短路径, ⼯程进度计划的问题等. 所以我们提出了这⼀课题的研究. 特别是通过光纤⽹络经过⼗⼏年的⾼速建设与发展, ⽹络的规模越来越⼤, 业务也越来越丰富, ⽹络建设已趋向成熟. 在这种背景下, 光纤⽹络资源的管理问题也就迫在眉睫了. 因此对应我们找到了解决问题的正确并且⽅便的答案. ⽽且现在的理论依据已经⽇趋完善, 也为了符合的当前的形势. 所以提出了这⼀课题.1.2 课题的⽬的为了解决当前社会活动过程中的现实问题. 运⽤先进的计算机⼿段, 实现从⼯程规划设计到资源管理的全⾯图形化、可视化管理,并提供多层⾯的⽹络性能分析与优化⼿段. 利⽤其从多个⾓度对最短路径算法进⾏联合优化. ⽣产出有便携式GPS导航设备是集嵌⼊式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于⼀体的⾼科技产品.1.3 课题的国内外研究状况现在国内外研究依然很热, 像基于AOE⽹络的关键路径⽅法研究, 主要⽤于数字技术研究⽅向. ⽤关键路径法在挣值分析⽅法的研究, 资源约束的扩展关键路径法的研究. 在全球定位系统GPS导航⽅向的研究. 基于蚁群算法的最短路径搜索⽅法研究. 公交换乘最短路径算法研究, 基于GIS最短路径算法研究. 随机时间依赖⽹络的K期望寿命最短路径算法研究. ⽽在此我们主要研究的是图的最短路径和关键路径⼀系列问题. 建设项⽬管理是每个项⽬者所关⼼的重要内容之⼀. 就⼯程项⽬建设⽽⾔, 项⽬管理贯穿于项⽬建设的全过程. 关键路径法⾃20世纪60年代传⼊中国后, 在⽣产中得到了应⽤,它符合⼯程施⼯的要求,特别适⽤于⼯程管理. 从国内外的情况看, 应⽤这种⽅法最多的是⼯程施⼯单位. 同国外发达国家相⽐, ⽬前我国在理论⽔平与应⽤⽅⾯相差⽆⼏, 但在应⽤管理上, 基本上停留在计划的编制上. 因此, 提⾼关键路径法在⼯程项⽬管理中的应⽤显得尤为重要.1.4 课题的意义和研究⽅法研究⽆线传感器⽹络中单、多跳通信⽅式的能耗规律, 结合Dijkstra最短路径递增的思想形成最⼩能耗路径拓扑的⽣成规则, 建⽴了⼀种基于最短路径树的拓扑结构模型, 获得了每个节点到⽬的节点的最⼩能耗路径.从多个⾓度对最短路径算法进⾏联合优化.⽣产出有便携式GPS导航设备是集嵌⼊式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于⼀体的⾼科技产品.以电信光纤⽹络管理为核⼼, 运⽤先进的计算机⼿段, 实现从⼯程规划设计到资源管理的全⾯图形化、可视化管理, 并提供多层⾯的⽹络性能分析与优化⼿段.在求解⽹络图上节点间最短路径的⽅法中, ⽬前国内外⼀致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)算法. 这种算法中, ⽹络被抽象为⼀个图论中定义的有向或⽆向图, 并利⽤图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息. 在进⾏图的遍历以搜索最短路径时, 以该矩阵为基础不断进⾏⽬标值的最⼩性判别, 直到获得最后的优化路径. Dijkstra算法是图论中确定最短路的基本⽅法, 也是其它算法的基础. 为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径, 通常采⽤这种⽅法, 是每次以⼀个结点为源点, 重复执⾏Dijkstra算法n 次.使⽤关键路径法（Critical Path Method,CPM）是⼀种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的灵活性（总时差）最少来预测项⽬⼯期的⽹络分析技术. 具体⽽⾔, 该⽅法依赖于项⽬⽹络图和活动持续时间估计, 通过正推法计算活动的最早时间,通过逆推法计算活动的最迟时间, 在此基础上确定关键路线, 并对关键路线进⾏调整和优化, 从⽽使项⽬⼯期最短, 使项⽬进度计划最优.1.5 课题的构成及主要研究内容这篇论⽂可以进⾏如下的构成：第⼀章由绪论引⼊是开端, 包括毕业设计（论⽂）课题的背景及⽬的、国内外研究状况、课题的意义、研究⽅法、理论依据和具备的条件、毕业设计（论⽂）课题的构成及主要研究内容等.第⼆章简明扼要的概述了集合的相关理论以及图论的⼀些相关知识.第三章介绍图论中的最短路算法和应⽤.第四章介绍了关键路径法以及它的⼀些应⽤实例等内容.第五章着重介绍了⽹络计划的优化的三个⽅⾯：(1) 在现有条件的限制下,求⼯期最短;(2) 在规定的⼯期内,要求资源最均衡;(3) 加快⼯期⽽费⽤最少.第⼆章基础知识2.1集合的概述定义1 集合⽤于对象在⼀起的组. ⼀般情况下,是⼀组有相似的性质对象. ⼀个⽆序的⼀组对象我们定义为集合A, 其中的对象称为元素或集合的成员. ⽤a∈A来表⽰元素a是集合A当中的元素. ⽤a?A表⽰元素a不是集合A当中的元素.集合⼀般是使⽤⼤写字母来表⽰. ⼩写字母通常⽤来表⽰元素的集合. 有多种⽅法来描述集合：列举法、维恩图、描述法等. 但是最常采⽤的是列举法和维恩图⽅法. 例如: 元⾳字母在英⽂字母可以写成集合V = { a, e, i, o, u }. 通过维恩图来表⽰集合之间的关系的. 如下例:例2.1 画⼀维恩图⽤V表⽰, 在英⽂字母中集合⽤元⾳字母.解我们绘制⼀个矩形来表⽰通⽤集U, 这是组26个英⽂字母. 在这个矩形中我们画⼀个圆代表V. 在这个圈⼦, 我们指⽰V点为元⾳字母元素(见图1).图2-1维恩图元⾳集合定义2 ⼀个集合A是另⼀个集合B的⼦集; 当且仅当A的每个元素也是B的元素. 我们使⽤符号A?B表⽰B集合的⼦集A.当A?B时,有对于?x(x∈A→x∈B)是正确的. 若A不是B的⼦集, 我们只需要找到⼀个元素x∈A与x?B, 举出这样的⼀个x反例来. 我们有这样⼀个有⽤的规则可以决定是否有⼀个集合是另⼀个集合的⼦集.在集合相关领域我们介绍很少, 是因为我们会⽤到⼀些相关的知识, 其次主要也是为后续的问题引线和做铺垫. 有了这些前期的相关的储备知识, 我们就要进⼀步来研究图论当中的基本概念.2.2 图论基础定义1 设V和E是两个有限⾮空集合, V中的元素叫做节点（或顶点）, E中的元素叫做边, 且E中的每⼀条边恰好与V中的两个节点相对应, 就称G= (V,E)是⼀个图.如下图2-2：图2-2定义2 若G = (V, E)是⼀个图, 若E中的每条边所对应的两个节点没有次序之分, 则称为⽆向图(如图2-2）; 若E中的每条边所对应的两个节点有次序之分, 则称该图为有向图. 如下图2-3：图2-3注意：⼀般⽤⼩圆点或⼩圆圈表⽰节点, ⽤节点对连线表⽰边, 节点的位置和连线的曲直及长短是⽆关的.在⽆向图中, 若边e与节点(a, b)对应, 则称e与节点a关联, 同样, e与b关联. 若节点a和b之间有边连接, 则称节点a与b相邻, 否则不相邻. 若两条边关联⼀个共同的节点, 则称这两个边相邻, 否则, 若两条边不同时与任何⼀个节点关联, 则称这两个边不相邻. 有向图类似.定义3 关联同⼀个节点的边叫做⾃环. 在图2-3中, 像a, c, e都有⾃环.定义4 不与任何节点相邻的节点称为孤⽴点. 如图2-3, 点f就是孤⽴点.定义5 只与⼀条边关联的节点称为悬挂点. 如图2-4中的d点.图2-4定义6 如果顶点个数V 与边的条数E 都是有限的, 图G 就是有限图. 如果V =1, E =0,图G 称为平凡图. 这种仅含⼀个孤⽴点的图是有限图的特例. 如果V 或E 是⽆限的, 图G 称为⽆限图.定义7 如果⼀个图没有⾃环, 并且每两个顶点之间最多只有⼀条边, 这样的图称为简单图. 如图2-5：图2-5定义8 设图G = (V , E ), i v V , 其中的所有边都在E 当中. i=1,2,3, ……p , 所有边与节点i v 与j v 关联. ⽽且顶点和边交替出现, 将这样的⼀个交替序列称为路.图2-6如图2-6中a-b-d-c 就是⼀条路.定义10 若从起始节点出发结束到起始结点, 称这条路为回路或圈.如图2-6中a-b-d-c-a 就是⼀条回路.定义11 如果图G 中任意节点u 到任意节点v 都是有路相连的, 则称G 为连通图, 否则是⾮连通图. 如图2-7：图2-7定义12 ⼀个没有重边的图⽤⼀种⽅法将图的边可以⼀⼀列出来; 另⼀种⽅式是使⽤邻接矩阵. 假设G = (V , E )是⼀个简单的图, |V | = n. 假设v 1,v 2 ,……,v n 作为G 的任意顶点, G 的邻接矩阵就是这个图的边的顶点, 所构成的矩阵（n ×n ）的（0 - 1）矩阵. 当v i 和v j 是相邻的时候, 矩阵对应位置的值为1, 当它们不相邻时候, 对应值为0. 换句话说, 如果其邻接矩阵是⼀个A n ×n = [ij a ], 那么()()()=其它相邻如果 0, 1j i ij v v a 例2.2 ⽤邻接矩阵来表⽰如图2-8.图2-8解顶点为a , b , c , d. 这个图的邻接矩阵是：定义13 若图G=(V , E )中各边e 都赋有⼀个实数W (e ), W (e )是⼀个实数集, W 中的每个数与E 中的⼀个边相对应, W (e )对应的实数称为边e 的权, 这个图则称这种图为赋权图, 记为G = G (V , E , W ). 如图2-9:图2-9若图G =（V ,E ）是⼀个赋权图, 且W (e )≥ 0,e ∈E (G ), 若µ是v i 到v j 的路,()()i i e W W e µµ∈=∑的权, 则称()W µ为µ的长, 长度最⼩的v i 到v j 的路L 称为最短路.例2.3 如图2-10，求a 到z 的最短路.图2-10解 a 到z 的路径有a -b -d -z ，路长为2+5+2=9；a -b -e -z ，路长为2+2+4=8；a -c -e -z ，路长为3+5+4=12；a -b -e -d -z ，路长为2+1+4=7；a -c-e -d -z ，路长为3+5+1+2=13. 所以，a 到z 的最短路径是a -b -e -d -z . 距离是7.定义15 设G = (V , E , W )是有向带权图, 当G 满⾜以下四个条件时, 称G 为PERT 图, (1) G 是简单图; (2)G 中⽆回路; (3) G 有⼀个节点的⼊度为0, 称此节点为发点, 有⼀个节点的出度为0, 称此节点为收点; (4) 边<i v="" ,="" j="" bdsfid="221">的权值为t (i , j ), 该权值常表⽰时间.。
离散数学最短路径问题
直到目的地z为某个目标集的最小指标点为止。
由此可见，求最短通路问题的关键是：如何求目标集中各点的指标。
.
10
以上用穷举法求目标集中各点的指标，思路简单， 但方法不可取,特别是图中的点较多时。
下面介绍用递推的方法来求目标集中各点的指标。
.
11
如果已经求得目标集T={t1, t2, …, tn}中各点的指标,设t1为T中指标最 小的点，那么能推出T1=T-{t1}中各点的指标.
最短路径问题
例:如下图所示的单行线交通网，每个弧旁边的
数字表示这条单行线的长度。现在有一个人要从v1出 发，经过这个交
通网到达v6， 要寻求总路 程最短的线 v1
路。
v2
6
3 14
5 1
v4
3
2
v6
6
v3
v5
.
1
从v1到v6的路线是很多的。比如从v1出发， 经过v2 ,v4到达v6或者从v1出发，经过v2，v3， v5到达v6等等。但不同的路线，经过的总长 度是不同的。例如，按照第一个线路，总长
.
4
如果图中各点表示各个城市，边表示城市间的公
路，这就是一个公路交通网络图，
如果从a点出发，目的地是z，那么如何寻求一条自点
a到z的通路，使通路上各边的权之和最小，
这就是赋权图的最短通路问题。
.
5
三、赋权图的最短通路
基本思想：先求出a到某一点的最短通路， 然后利用这个结果再去确定a到另一点的最短通路， 如此下去，直到找到a到z的最短通路为止。
对于T1中与t1不邻接的点 t2 , 那么它的指标没有发生变化, 即 DT1(t2) = DT (t2)
当t1 和t2不邻接时,令W(t1,t2)=∞,则t2关于T1的指标也写作 DT1(t2) =min(DT(t2), DT(t1)+W(t1,t2))
8.2 赋权图
⑦ ABEFCD 长度为14；
⑧ ABCD 长度为12； ⑨ A对BC于F大E规D 模长复度杂为赋17权图，这种方法显然是不现实的， 所以也，不A到易D计的算最机短上通实路现是。A需F要CD寻，找A合到适D的的求距解离算为法3。。
二、Dijkstra算法
问题：从某个顶点出发，求到达各个顶点的最短路径。
对于简单图，当e=(vi,vj)(或e=<vi,vj>)时，也把w(e)记做 wij。
v3
5 e4
v4
3 e3
e2 8
v1
e1
6
v2
二、边权矩阵
设赋权图G=<V,E,w>, V={v1,v2,…,vn}
令aij为：
aij
wij (vi, vj)E（ <vi, vj>E ） (vi, vj)E （<vi, vj>E ）
转②； ⑤ 输出u到其它各个结点的最短通路的长度L(v)。
二、Dijkstra算法（续）
例 对于赋权图G1，求其中结点v1到各结点的最短通路？ 解 根据Dijkstra算法步骤，可得如下运算过程：
从上可知，结点v1到结点v2的最短通路为v1v2，距离为1； 结点v1到结点v3的最短通路为v1v2v3，距离为3；结点v1到 结点v4的最短通路为v1v2v3v5v4，距离为7；结点v1到结点 v5的最短通路为v1v2v3v5，距离为4；结点v1到结点v6的最 短通路为v1v2v3v5v4v6，距离为9。
算法核心：结点u到结点集V 的距离为：
d(u, V ) = minvV {d(u, v)} 等价于 d(u, V ) = min vV，xV {d(u, v) + w(v, x)}
邻接矩阵求带权图中最短通路
第 ４期
黄９ 币 化： 邻接矩阵求带权 图中最短通路
・２ ７・
最 短 通 路 时 进 行 回 溯 ，构 造 出 一 个 矩 阵 Ｄ ＝ （ ｄ ｉ ， ） …， 其中ｄ ， 表示顶 点 到 ｆ 之 间最 短通 路
的 步长 。 Ａ 的构造 过程 分为两 步 ：
第一 步 ： 初步计算 ４ ， Ａ ＝ Ａ ・ ＋Ａ ＝
（ Ⅱ ： ） ， ｚ ＝ ２ ， ３ ， ４ ， …， ｎ一 １ 。
邻 接矩 阵 求 两 个 不 同点 间最 短 通 路 的思 想
是： 在构造 Ａ ＝ （ ０ ） …， ｚ＝２ ， ３ ， ４， …， ｎ一１的
收 稿 日期 ：２ ０ ｌ ３— ０ ５—２ ９ 作者简介 ：黄师化 ， 女， 安徽太湖人 ， 安庆师范学院计算机 信息学院讲师 ， 研究方 向： 智能计算。
两 点不 连通 ， 可 以理 解距 离为 无穷大 。 最后 求得 的 矩 阵 Ｄ， 其 中元素 ｄ ， 代 表 的就是顶 点 与 之 问
最 短通 路 的步长 。
２ 两点间最短通路及距离的求解算法
带权邻 接 矩阵求 两个 不 同点之 间距 离 的思 想 是： 在 两点 问步 长 为 １ ， ２ ， ， ３ …， 凡一 ｌ的通 路 中找
邻 接矩 阵求 带 权 图 中最 短通 路
黄 师 化
（ 安庆师范学院 计算机与信息学院 ， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要 ：通 过对带权邻接矩阵定义一种运算 ， 计算 ｎ阶简单带权 图中任意两点之间步长为 ｌ ， ２ ， …， ｎ—ｌ的最短通路
长度， 逐 步比较 ， 确定通路所过各边权值之和最小的即最短路径 。 在汁算 的过 程中用矩阵记 下最短路径 所经过 的所有 结 点， 最后验证 了其在无 向和有向简单带权 图中的有效性 。 关键词：带权邻接矩 阵； 带权图 ； 最短通路 ； 矩阵算法 中图分类号 ：０ １ ５ ７ ． ５ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ：１ ０ ０ ７— ４ ２ ６ ０ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４— ０ ０ ２ ６—０ ３
赋权图的最短路与关键路的算法与实现
赋权图的最短路与关键路的算法与实现摘要：图形是由点和线构成的集合．赋权图的最短路就是任意两个节点之间的权值之和最小的路径．最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量, 如时间、费用、线路容量等．本文介绍了如何求最短路的有效算法: Dijkstra算法．它能求出赋权图的任何两个节点之间权值之和的最小路径. 关键路径通常总是决定项目工期的进度活动序列．它是项目中从发点到收点的最长路径.关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的总时差最少来预测项目工期的一门网络分析技术．关键路径法,能推算出项目的最短完成时间和项目各项活动的可能开始和结束时间.关键词: 图的邻接矩阵; 最短路径; Dijkstra算法; 关键路径The algorithm and implementation of the ShortestPath and the Critical PathＡbstract: Graphics are constituted by the sets of points and lines. The shortest path of the weighted graph is the minimum sum of the weight between any two vertices. The shortest path not only refers to the shortest distance, but also can be extended to other metrics, such as time, cost, line capacity and so on. Dijkstra’s algorithm was the most efficient algorithm for how to find the Shortest Path of weighted graph, which is studied in this paper. Dijkstra’s algorithm was used to calculate the minimum value of weighted graph between any two vertices. The critical path is usually used to obtain the progress of the project in activities. It is the longest path of a project from the starting point to the ending point. The critical path method (Critical Path Method, CPM) which analysis a sequence of the least time in activities or predict (which route) the schedule better. The critical path method can be used to calculate the shortest completion time, starting and ending times in project activities.Keywords: Adjacency matrix of the graph; The Shortest Path; Dijkstra’s algorithm; The Critical Path目录第一章绪论 (1)1.1 课题的背景 (1)1.2 课题的目的 (1)1.3 课题的国内外研究状况 (1)1.4 课题的意义和研究方法 (1)1.5 课题的构成及主要研究内容 (2)第二章基础知识 (2)2.1 集合的概述 (2)2.2 图论基础 (3)第三章赋权图最短路的算法与应用 (9)3.1 最短路的概念 (9)3.2 最短路算法 (9)3.3 Dijkstra算法 (10)3.4 赋权图最短路算法在舰船通道路线设计中的应用 (13)第四章关键路径法与应用 (15)4.1 关键路径法的基本原理 (15)4.2 网络计划的特点 (16)4.3 网络计划的分类 (17)4.4 网络计划关键路径的应用 (17)4.4.1 搭接网络计划示例 (17)4.4.2 搭接网络中的连接关系 (18)4.4.3 搭接网络计划的时间参数计算示例 (18)第五章网络计划优化 (24)5.1 工期优化 (24)5.1.1 工期优化的计算步骤 (24)5.1.2 宜缩短持续时间的关键工作的选择 (24)5.1.3 按要求工期优化网络计划的方法 (24)5.1.4 工期优化示例 (26)5.2 资源优化 (27)5.2.1 资源优化的种类 (27)5.2.2 资源优化的原则 (28)5.3工期费用优化 (29)5.3.1 工期与成本的关系 (29)5.3.2 工期与成本优化示例 (32)总结 (37)参考文献 (38)致谢 (39)附录A (40)附录B (45)第一章绪论1.1 课题的背景当前社会发展迅猛, 人们为了顺应时代的发展, 对于实际问题在认识并处理的过程中, 探索到的解决问题的办法. 像在求解网络图上节点间最短路径, 工程进度计划的问题等. 所以我们提出了这一课题的研究. 特别是通过光纤网络经过十几年的高速建设与发展, 网络的规模越来越大, 业务也越来越丰富, 网络建设已趋向成熟. 在这种背景下, 光纤网络资源的管理问题也就迫在眉睫了. 因此对应我们找到了解决问题的正确并且方便的答案. 而且现在的理论依据已经日趋完善, 也为了符合的当前的形势. 所以提出了这一课题.1.2 课题的目的为了解决当前社会活动过程中的现实问题. 运用先进的计算机手段, 实现从工程规划设计到资源管理的全面图形化、可视化管理,并提供多层面的网络性能分析与优化手段. 利用其从多个角度对最短路径算法进行联合优化. 生产出有便携式GPS导航设备是集嵌入式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于一体的高科技产品.1.3 课题的国内外研究状况现在国内外研究依然很热, 像基于AOE网络的关键路径方法研究, 主要用于数字技术研究方向. 用关键路径法在挣值分析方法的研究, 资源约束的扩展关键路径法的研究. 在全球定位系统GPS导航方向的研究. 基于蚁群算法的最短路径搜索方法研究. 公交换乘最短路径算法研究, 基于GIS最短路径算法研究. 随机时间依赖网络的K期望寿命最短路径算法研究. 而在此我们主要研究的是图的最短路径和关键路径一系列问题. 建设项目管理是每个项目者所关心的重要内容之一. 就工程项目建设而言, 项目管理贯穿于项目建设的全过程. 关键路径法自20世纪60年代传入中国后, 在生产中得到了应用,它符合工程施工的要求,特别适用于工程管理. 从国内外的情况看, 应用这种方法最多的是工程施工单位. 同国外发达国家相比, 目前我国在理论水平与应用方面相差无几, 但在应用管理上, 基本上停留在计划的编制上. 因此, 提高关键路径法在工程项目管理中的应用显得尤为重要.1.4 课题的意义和研究方法研究无线传感器网络中单、多跳通信方式的能耗规律, 结合Dijkstra最短路径递增的思想形成最小能耗路径拓扑的生成规则, 建立了一种基于最短路径树的拓扑结构模型, 获得了每个节点到目的节点的最小能耗路径.从多个角度对最短路径算法进行联合优化.生产出有便携式GPS导航设备是集嵌入式技术、全球定位系统GPS、地理信息系统GIS、智能交通系统ITS、计算机科学技术、多媒体技术和现代通信技术于一体的高科技产品.以电信光纤网络管理为核心, 运用先进的计算机手段, 实现从工程规划设计到资源管理的全面图形化、可视化管理, 并提供多层面的网络性能分析与优化手段.在求解网络图上节点间最短路径的方法中, 目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)算法. 这种算法中, 网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图, 并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息. 在进行图的遍历以搜索最短路径时, 以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别, 直到获得最后的优化路径. Dijkstra算法是图论中确定最短路的基本方法, 也是其它算法的基础. 为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径, 通常采用这种方法, 是每次以一个结点为源点, 重复执行Dijkstra算法n次.使用关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的灵活性（总时差）最少来预测项目工期的网络分析技术. 具体而言, 该方法依赖于项目网络图和活动持续时间估计, 通过正推法计算活动的最早时间,通过逆推法计算活动的最迟时间, 在此基础上确定关键路线, 并对关键路线进行调整和优化, 从而使项目工期最短, 使项目进度计划最优.1.5 课题的构成及主要研究内容这篇论文可以进行如下的构成：第一章由绪论引入是开端, 包括毕业设计（论文）课题的背景及目的、国内外研究状况、课题的意义、研究方法、理论依据和具备的条件、毕业设计（论文）课题的构成及主要研究内容等.第二章简明扼要的概述了集合的相关理论以及图论的一些相关知识.第三章介绍图论中的最短路算法和应用.第四章介绍了关键路径法以及它的一些应用实例等内容.第五章着重介绍了网络计划的优化的三个方面：(1) 在现有条件的限制下,求工期最短;(2) 在规定的工期内,要求资源最均衡;(3) 加快工期而费用最少.第二章基础知识2.1 集合的概述定义1 集合用于对象在一起的组. 一般情况下,是一组有相似的性质对象. 一个无序的一组对象我们定义为集合A, 其中的对象称为元素或集合的成员. 用a∈A来表示元素a是集合A当中的元素. 用a∉A表示元素a不是集合A当中的元素.集合一般是使用大写字母来表示. 小写字母通常用来表示元素的集合. 有多种方法来描述集合：列举法、维恩图、描述法等. 但是最常采用的是列举法和维恩图方法. 例如: 元音字母在英文字母可以写成集合V = { a, e, i, o, u }. 通过维恩图来表示集合之间的关系的. 如下例:例2.1 画一维恩图用V表示, 在英文字母中集合用元音字母.解我们绘制一个矩形来表示通用集U, 这是组26个英文字母. 在这个矩形中我们画一个圆代表V. 在这个圈子, 我们指示V点为元音字母元素(见图1).图2-1维恩图元音集合定义2 一个集合A是另一个集合B的子集; 当且仅当A的每个元素也是B的元素. 我们使用符号A⊆B表示B集合的子集A.当A⊆B时,有对于∀x(x∈A→x∈B)是正确的. 若A不是B的子集, 我们只需要找到一个元素x∈A与x∉B , 举出这样的一个x反例来. 我们有这样一个有用的规则可以决定是否有一个集合是另一个集合的子集.在集合相关领域我们介绍很少, 是因为我们会用到一些相关的知识, 其次主要也是为后续的问题引线和做铺垫. 有了这些前期的相关的储备知识, 我们就要进一步来研究图论当中的基本概念.2.2 图论基础定义1 设V和E是两个有限非空集合, V中的元素叫做节点（或顶点）, E中的元素叫做边, 且E中的每一条边恰好与V中的两个节点相对应, 就称G = (V,E)是一个图.如下图2-2：图2-2定义2 若G = (V, E)是一个图, 若E中的每条边所对应的两个节点没有次序之分, 则称为无向图(如图2-2）; 若E中的每条边所对应的两个节点有次序之分, 则称该图为有向图. 如下图2-3：图2-3注意：一般用小圆点或小圆圈表示节点, 用节点对连线表示边, 节点的位置和连线的曲直及长短是无关的.在无向图中, 若边e与节点(a, b)对应, 则称e与节点a关联, 同样, e与b关联. 若节点a和b之间有边连接, 则称节点a与b相邻, 否则不相邻. 若两条边关联一个共同的节点, 则称这两个边相邻, 否则, 若两条边不同时与任何一个节点关联, 则称这两个边不相邻. 有向图类似.定义3 关联同一个节点的边叫做自环. 在图2-3中, 像a, c, e都有自环.定义4 不与任何节点相邻的节点称为孤立点. 如图2-3, 点f就是孤立点.定义5 只与一条边关联的节点称为悬挂点. 如图2-4中的d点.图2-4定义6 如果顶点个数V 与边的条数E 都是有限的, 图G 就是有限图. 如果V =1, E =0,图G 称为平凡图. 这种仅含一个孤立点的图是有限图的特例. 如果V 或E 是无限的, 图G 称为无限图.定义7 如果一个图没有自环, 并且每两个顶点之间最多只有一条边, 这样的图称为简单图. 如图2-5：图2-5定义8 设图G = (V , E ), i v V , 其中的所有边都在E 当中. i=1,2,3, ……p , 所有边与节点i v 与j v 关联. 而且顶点和边交替出现, 将这样的一个交替序列称为路.图2-6如图2-6中a-b-d-c 就是一条路.定义10 若从起始节点出发结束到起始结点, 称这条路为回路或圈.如图2-6中a-b-d-c-a 就是一条回路.定义11 如果图G 中任意节点u 到任意节点v 都是有路相连的, 则称G 为连通图, 否则是非连通图. 如图2-7：图2-7定义12 一个没有重边的图用一种方法将图的边可以一一列出来; 另一种方式是使用邻接矩阵. 假设G = (V , E )是一个简单的图, |V | = n. 假设v 1,v 2 ,……,v n 作为G 的任意顶点, G 的邻接矩阵就是这个图的边的顶点, 所构成的矩阵（n ×n ）的（0 - 1）矩阵. 当v i 和v j 是相邻的时候, 矩阵对应位置的值为1, 当它们不相邻时候, 对应值为0. 换句话说, 如果其邻接矩阵是一个A n ×n =[ij a ], 那么()()()⎩⎨⎧=其它相邻如果 0, 1j i ij v v a 例2.2 用邻接矩阵来表示如图2-8.图2-8解 顶点为a , b , c , d. 这个图的邻接矩阵是：定义13 若图G=(V , E )中各边e 都赋有一个实数W (e ), W (e )是一个实数集, W 中的每个数与E 中的一个边相对应, W (e )对应的实数称为边e 的权, 这个图则称这种图为赋权图, 记为G = G (V , E , W ). 如图2-9:图2-9若图G =（V ,E ）是一个赋权图, 且W (e )≥ 0,e ∈E (G ), 若μ是v i 到v j 的路,()()i i e W W e μμ∈=∑的权, 则称()W μ为μ的长, 长度最小的v i 到v j 的路L 称为最短路.例2.3 如图2-10，求a 到z 的最短路.图2-10解 a 到z 的路径有a -b -d -z ，路长为2+5+2=9；a -b -e -z ，路长为2+2+4=8；a -c -e -z ，路长为3+5+4=12；a -b -e -d -z ，路长为2+1+4=7；a -c-e -d -z ，路长为3+5+1+2=13. 所以，a 到z 的最短路径是a -b -e -d -z . 距离是7.定义15 设G = (V , E , W )是有向带权图, 当G 满足以下四个条件时, 称G 为PERT 图, (1) G 是简单图; (2)G 中无回路; (3) G 有一个节点的入度为0, 称此节点为发点, 有一个节点的出度为0, 称此节点为收点; (4) 边<i v , j v >的权值为t (i , j ), 该权值常表示时间.在工程技术中, PERT 图中的边边<i v , j v >常表示一道工序, 对应的权值表示完成该工作需要的时间, 并称i v 为j v 的紧前节点.定义16 对于PERT 图, 从发点（记为1v ）开始到达任一节点i v 的最长路径（按权计算）的长度称为节点i v 的最早完成时间, 记作()i t E . 显然()1E t = 0, 当j ≠1时()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=, 式中求最大值是对节点j v 的所有紧前节点i v 进行的.总之有: ()1E t = 0和 ()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=.定义17 对于PERT 图, 称从发点1v 到收点n v 的最长路径为关键路径, 而关键路径的长度称为收点n v 的最早完成时间.定义18 对于PERT 图, 在保证收点n v 的最早完成时间不增加的条件下, 自1v 最迟到达i v 的时间称为i v 的最晚完成时间, 记作()i t L . 显然()()n t n t L E = , 当j ≠1 时总之有()()(){}j i t j t i t L L ,min -=, ()总工期=n t L .定义19 对于PERT 图, 各节点的最晚完成时间与最早完成时间之差称为该节点的缓冲时间, 即()()i t i t E L -, i = 1, 2, 3, …, n第三章 赋权图最短路的算法与应用3.1 最短路的概念上一章节一些预备知识进行了介绍. 下面着重讲述最短路相关知识.图G = (V , E )中各边e 都赋有一个实数W (e ), 称为边e 的权, 则称这种图为赋权图,记为G = G (V , E , W ).若图G =（V ,E ）是一个赋权图, 且W (e )≥ 0,e ∈E (G ), 若μ是v i 到v j 的路,()()i i e W W e μμ∈=∑的权, 则称()W μ为μ的长, 长度最小的v i 到v j 的路L 称为最短路.3.2 最短路算法对于无向图我们可以用动态规划的方法来解决这一类问题. 1、可以将全过程求解分为若干阶段求解; ------多阶段决策问题 2、在全过程最短路径中, 将会出现阶段的最优路径; -----递推性 3、前面的终点确定, 后面的路径也就确定了, 且与前面的路径（如何找到 这个终点）无关; -----无后效性4、逐段地求解最优路径,势必会找到一个全过程最优路径. -----动态规划 多阶段决策问题中, 常见的目标函数形式之一是取各阶段效应之和的形式. 例3.1 利用动态规划求解图3-1的最短路问题：最短路的求解:阶段: 可分为4个阶段, k = 1, ..., 4.状态: 可用城市编号, S1={Q}, S2={A1, A2, A3}, S3={B1, B2, B3}, S4={C1,C2}, S5={T }决策: 决策变量也可用城市编号; 状态转移方程: k k x s =+1 阶段指标函数：()k k x s k k k c x s v =,过程指标（阶段递推）函数:()()(){}1*1*,min +++=k k k k k k k s f x s v s f因为无向图也可以看做双向图, 所以对于有向图求最短路, Dijkstra 算法更有效.3.3 Dijkstra 算法1 最优化原则：整体最优, 则部分最优.反之未必. 如图3-2：图3-2如果求出了从a 到z 的最短距离, 必然可以知道a 到每一个点的最短距离. 2 基本原理V =S ⋃T , S={x|a 到x 的已知最短路} T ={y |a 到y 的未知最短距离}开始S ={a }, T=V -S. 把T 中的到a 距离最短的点找出来, 放到S 中, 逐步进行下去,直到S=V , T=Ø为止.3 Dijkstra 算法基本步骤：令：{}{}n i v v v T i v S ,,, ,1 ,32 ===,()⎩⎨⎧∈∞==T v v T v W j j ,0)(1先取()10W v =意即1v 到1v 的距离为0, 而()j T v 是对()j T v 所赋的初值. (1). 对T v j ∈, 求()(){}()min ,j i ij j T v W v w T v +=.利用()1W v 已知, 根据()(){}min ,j i ij T v W v w +对()j T v 进行修正.(2). 求(){},min j Sv v T j ∈得()k v T , 使()k v T =(){},min j S v v T j ∈令()()k k W v T v =. 对所有修正后的()j T v 求出其最小者()k T v . 其对应的点k v 是1v 所能一步到达的点j v 中最近的一个, 由于所有()0W u ≥. 因此任何从其它点j v 中转而到达k v 的通路上的距离都大于1v 直接到k v 的距离()k T v , 因此()k T v 就是1v 到k v 的最短距离, 所以在算法中令()()k k W v T v =并从s 中删去k v , 若k =n 则()()k n W v W v =就是1v 到n v 的最短路线, 计算结束. 否则令i k v v =回到第二步, 继续运算, 直到k =n 为止.(3). 若k n v v =则已找到1v 到n v 的最短路距离,()k W v 否则令i k =从T 中删去i v 转1.这样每一次迭代, 得到1v 到一点k v 的最短距离, 重复上述过程直到k n v v =. 例3.2 最短路在运输网络中的应用实例: 设6个城市126,,,v v v 之间的一个公路网(图3-3)每条公路为图中的边, 边上的权数表示该段公路的长度(单位:百公里), 设你处在城市1v , 那么从1v 到6v 应选择哪一路径使你的费用最省.图3-3解 首先设每百公里所用费用相同, 求1v 到6v 的费用最少, 既求1v 到6v 的最短路线.为了方便计算, 先作出该网络的距离矩阵, 如下:1234561234560525015921081058025910202520v v v v v v v v L v v v v ⎡⎤⎢⎥∞∞∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥=∞⎢⎥⎢⎥∞⎢⎥∞⎢⎥⎢⎥∞∞∞⎣⎦(0)设()(){}654321,,,, , ,0v v v v v T v v T v W j =∈∞== (1)第一次迭代①计算(),2,3,4,5,6j T v j =如下()()(){}{}22112min ,min ,055T v T v W v w =+=∞+= ()()(){}{}33113min ,min ,022T v T v W v w =+=∞+=()()(){}{}44114min ,min ,0T v T v W v w =+=∞+∞=∞()()56,T v T v =∞=∞②取(){}()32min v T v T j Tv j ==∈, 令()()332W v T v ==③由于()36k n =≠=, 令{}6542,,,v v v v T =, i =3转(1) 第二次迭代:①算(),2,4,5,6j T v j =如下()()(){}{}22323min ,min 5,213T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}44334min ,min 8,288T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}55335min ,min 10,21010T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}66336min ,min ,2T v T v W v w =+=∞+∞=∞ ②取(){}()23min v T v T j Tv j ==∈令()()223W v T v ==③由于()26k n =≠=, 令{}654,,v v v T =, i =2转(1) 第三次迭代:①算(),4,5,6j T v j =如下()()(){}{}44224min ,min 8,358T v T v W v w =+=+= ()()(){}{}55225min ,min 10,3910T v T v W v w =+=+=()6T v =∞②取(){}(),8min 4v T v T j Tv j ==∈ ()()844==v T v W ③由于()46k n =≠=, 令{}4 ,,65==i v v T 转(1) 第四次迭代:①算(),5,6j T v j =如下()()(){}{}55445min ,min 10,2810T v T v W v w =+=+=()()(){}{}66446min ,min ,8513T v T v W v w =+=∞+=②取(){}(),10min 5v T v T j Tv j ==∈ ()()1055==v T v W③由于()56k n =≠=, 令{}6v T =转(1)第五次迭代:①算(),6j T v j =如下()()(){}{}66556min ,min 13,10212T v T v W v w =+=+=②由于6k n ==. 因此已找到1v 到6v 的最短距离为12. 计算结束.找最短路线: 逆向追踪得132456v v v v v v →→→→→.最短距离为12, 即从城市1v 到城市6v 的距离最短, 即费用最省.3.4 赋权图最短路算法在舰船通道路线设计中的应用利用图论的经典理论和人群流量理论研究舰船人员通道路线的优化设计及最优线路选择. 首先介绍图论相关理论, 对船舶通道进行路网抽象, 建立网络图,然后根据人群流动的相关理论, 选取不同拥挤情况下的人员移动速度, 从而确定各条路段(包括楼梯)的行程时间. 以行程时间作为通道网络的路权, 得出路阻矩阵以选择一对起点/终点的最短时间路线为目标, 建立最短路径问题的数学模型, 利用经典的算法确定最短路径. 将此方法应用于某舰艇多层甲板的通道网络中, 计算结果并进行讨论, 最后在此研究的基础上对通道设计相关问题的深化和拓展进行了探讨和总结, 并提出设想.路线优化技术通常采用图论中的“图”来表示路网, 船舶通道路网与图论的路网对应关系为: 结点—通道的交叉口或断头路的终点; 边—两结点之间的路段称为边, 若规定了路段的方向, 则称为弧; 边(弧)的权—路段某个或某些特征属性的量化表示.路权的标定决定了最短的路径搜索依据, 也就是搜索指标. 根据不同的最优目标, 可以选择不同的路段属性, 由于舰船上除了平面上的通道之外还有垂直方向的楼梯(或直梯), 如果以最短路程距离作为优化目标, 路线的效率未必最高(距离最短未必耗时最少). 所以以最短行程时间作为优化的目标, 道路权重即为各路段的平均行程时间.对于要研究的对象, 取各条通道的起点(或终点)和交叉点为图的顶点, 各路段为边, 路权为路段行走的平均时间. 寻找从起点到终点的最短时间路径即为最优路径. 在规定了结点、边和权值以后, 便将路网抽象为一个赋权无向图或赋权有向图, 从而确定路网中某两地间的最优路线便转化为图论中的最短路径问题.首先将空间问题抽象为图, 图3-4为某舰的两层甲板的部分抽象图, 上下两个平面上纵横交错的直线为各层甲板的主要通道, 连接两层甲板的直线表示楼梯,包括2个直梯和3个斜梯.每条路段上的标注(),a b中, a表示路段实际长度或者楼梯的类型, b表示此路段的行程时间(即路权), 例如(40, 32). 图3-5为图3-4对应的赋权图.图3-4两层甲板的部分抽象图图3-5赋权图再利用上述求最短的方法即可求得需要的通道路线.第四章 关键路径法与应用4.1 关键路径法的基本原理定义1 设G = (V , E , W )是有向带权图, 当G 满足以下四个条件时, 称G 为PERT 图, (1) G 是简单图; (2) G 中无回路; (3) G 有一个节点的入度为0, 称此节点为发点, 有一个节点的出度为0, 称此节点为收点; (4) 边<i v , j v >的权值为t (i ,j ), 该权值常表示时间.在工程技术中, PERT 图中的边边<i v , j v >常表示一道工序, 对应的权值表示完成该工作需要的时间, 并称i v 为j v 的紧前节点.定义2 对于PERT 图, 从发点（记为1v ）开始到达任一节点i v 的最长路径（按权计算）的长度称为节点i v 的最早完成时间, 记作()i t E . 显然()1E t = 0, 当j ≠1时()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=, 式中求最大值是对节点j v 的所有紧前节点i v 进行的. 总之有: ()1E t = 0和 ()()(){}j i t i t i t E iE ,max +=. 定义3 对于PERT 图, 称从发点1v 到收点n v 的最长路径为关键路径, 而关键路径的长度称为收点n v 的最早完成时间.定义4 对于PERT 图, 在保证收点n v 的最早完成时间不增加的条件下, 自1v 最迟到达i v 的时间称为i v 的最晚完成时间, 记作()i t L . 显然()()n t n t L E = , 当j ≠ 1 时总之有()()(){}j i t j t i t L L ,min -=, ()总工期=n t L .定义5 对于PERT 图, 各节点的最晚完成时间与最早完成时间之差称为该节点的缓冲时间, 即()()i t i t E L -, i = 1, 2, 3, …, n关键路径法（Critical Path Method,CPM）是一种通过分析哪个活动序列（哪条路线）进度安排的灵活性（总时差）最少来预测项目工期的网络分析技术. 具体而言,该方法依赖于项目网络图和活动持续时间估计, 通过正推法计算活动的最早时间, 通过逆推法计算活动的最迟时间, 在此基础上确定关键路线, 并对关键路线进行调整和优化, 从而使项目工期最短, 使项目进度计划最优.关键路径法的关键是确定项目网络图的关键路线, 这一工作需要依赖于活动清单、项目网络图及活动持续时间估计等, 采用手工计算, 可以遵循以下步骤:(1) 把所有的项目活动及活动的持续时间估计反映到一张工作表中;(2) 计算每项活动的最早开始时间和最早结束时间, 计算公式为EF=ES+活动持续时间估计;(3) 计算每项活动的最迟结束时间和最迟开始时间, 计算公式为LS=LF-活动持续时间估计;(4) 计算每项活动的总时差, 计算公式为TS=LS-ES=LF-EF;(5) 找出总时差最小的活动, 这些活动就构成关键路线.总而言之, 网络计划的基本原理是：首先绘制拟建工程施工进度网络图, 用以表达一项计划中各项工作的开展顺序及其相互之间逻辑关系; 然后通过对网络计划时间参数进行计算, 找出网络计划关键工作和关键线路; 再按选定的工期、成本或资源等不同目标, 对网络计划进行调整、改善和优化处理, 选择最优方案; 最后在网络计划的执行过程中, 对其进行有效的控制与监督, 以确保拟建工程施工按网络计划确定的目标和要求顺利完成.4.2 网络计划的特点网络计划具有以下主要特点：(1) 网络计划能够明确表达各项工作之间的逻辑关系. 所谓逻辑关系, 是指各项工作之间的先后顺序关系. 网络计划能够明确地表达各项工作之间的逻辑关系, 对于分析各项工作之间的相互影响及处理它们之间的协作关系具有非常重要的意义.(2) 通过网络计划时间参数的计算, 可以找出关键线路和关键工作. 在关键线路法(CPM)中, 关键线路是指在网络计划中从起点节点开始, 沿箭线方向通过一系列箭线与节点, 最后到达终点节点为止所形成的通路上所有工作持续时间总和最大的线路. 关键线路上各项工作持续时间总和即为网络计划的工期, 关键线路上的工作就是关键工作, 关键工作的进度将直接影响到网络计划的工期. 通过时间参数的计算, 能够明确网络计划中的关键线路和关键工作, 也就明确了工程进度控制中的工作重点, 这对提高建设工程进度控制的效果具有非常重要的意义.(3) 通过网络计划时间参数的计算, 可以明确各项工作的机动时间, 又称时差. 所谓工作的机动时间, 是指在执行进度计划时除完成任务所必需的时间外尚剩余的、可供利用的富余时间. 在一般情况下, 除关键工作外, 其他各项非关键工。
赋权图的最短通路4-10
1、赋权图 设G=(V,E)是有限图,如果对E中的每一条边e, 都有一个实数W(e)附着其上,则称G为赋权图,则称 W(e)为边e的权.
a
例 右图就是一个赋权图.
a
14
a
12
a
b 13 c
d a
a
9
d a
a
d a
e
a
7
d
a
10
d
a
5
d
a
a
6a
d a
8
d a
a
11
d a
d
a
1
对于赋权图 G=(V,E),规定:
16
17
18
19
当我们比较熟练地掌握了狄克斯特洛算法后, 可用列表法来求最短路,它使求解过程显得十分 简洁.下面以一例来介绍此法. 例 求右图中a到z的最短路及其长度
20
方法： (1)先把T1=V-{a}中的点写在第一行上，把这些点 关于a的权相应地写在第二行上,并圈出其中最小 者b,相应值为1. (2)令T2=T1-{b},在第三行上先标出T1中与b不邻接 的点d,e,g,h, i, z，对于S1中与b 邻接的点c,f, 则用1+W(b,c),1+ W(b,f)与第二行c,f的值10与∞ 比较,然后取最小者写在第三行的相应位置,并圈出 最小点e及相应值3. (3)令T3=T2-{e},并其上的点写在第4行上,重复(2). 如此继续下去,直至z成为某个目标集的最小值为止.
21
(4)由表可得最短路的长度为15.要得到最短路，
可以用逆向检查法：从Z开始，往上检查，直止 z的值发生变化为止，在此行中找到最小者，然 后由此最小者开始往上检查，直止发生变化， 在此行中找最小者，重复这一过程直止到a为止. 最后倒着把最小者所对应的点写成序列,此序列 即为最短路.
数学建模国赛17年d题2
前 i 段的时间间隔之和大于第 i 段末尾巡检点的累计时间 gik ，但不超过第 i 1段首位巡检
点的累计时间 gi1,1 ，即
i
gik yh gi1,1, i 1, 2,..., m
h1
目标函数为求 m 的最小值，即
min f m
汇总得
（7） （8）
5
min f m
（1）固定时间上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； （2）固定时间上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； （3）错时上班，不考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； （4）错时上班，考虑巡检人员的休息时间和吃饭时间； 每班至少需要多少人？巡检线路和时间表如何安排？
二、问题分析
题目要求：（1）把所有的巡检点都要遍历；（2）耗费的人力资源尽可能少；（3）巡检人 员的工作量尽可能均衡；（4）巡检人员上班时间固定或错时上班；（5）巡检人员有休息时间 和吃饭时间；（6）每天三班倒；（7）每班工作 8 小时；
方案的优劣就体现在两个方面，其一是人员空闲时间；其二是人员加班时间。 设最短回路被划分为 p1, p2,..., pm 段，各段对应的巡检耗时（不包括走路时间）分别为
q1, q2,..., qm ，每一段安排一名巡检工人，需要 m 个工人。
设第 i 人的空闲时间和加班时间（巡检耗时和走路时间）分别为i , i ，根据假设（2），
i 1
（11）
其中， k 1,2,3 分别表示早班、中班和晚班。
若人力资源消耗量，可通过设计 3 天的轮班，就能使得不同班次（早班、中班、晚班） 的人力资源消耗量绝对均衡。
根据假设（4），每天人力资源耗费量为
3
=k
k 1
若人力资源消耗量，可以 3m 天为周期轮换，就实现了一个轮岗轮班大循环，实现了人力 资源耗费量的绝对均衡。
图论中最短路径问题
图论最短路径问题 在消防选址中的应用【摘 要】 最短路径问题是图论解决的典型实际问题之一，可用来解决管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等实际问题。
介绍了图论最短路径问题及其算法，并应用图论最短路径问题的分析方法，解决城市消防站的选址问题。
【关键词】 最短路径；Floyd 算法；消防1 引言图论是运筹学的一个重要分支，旨在解决离散型的优化问题，近年来发展十分迅速。
在人们的社会实践中，图论已成为解决自然科学、工程技术、社会科学、生物技术以及经济、军事等领域中许多问题的有力工具之一。
图论中的“图”，并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图，也不是工程设计图中的“图”，而是以一种抽象的形式来表达一些确定的对象，以及这些对象之间具有或不具有某种特定关系的一个数学系统。
也就是说，几何图形是表述 物体的形状和结构，图论中的“图”则描述一些特定的事物和这些事物之间的联系。
它是数学中经常采用的抽象直观思维方法的典型代表。
2 图论基本概念2.1 图的定义有序三元组),,(ϕE V G =称为一个图，其中：(1)),,,(21n V V V V =是有穷非空集，称为顶点集，其元素叫做图的顶点； (2)E 称为边集，其元素叫做图的边；(3)ϕ是从边集E 到顶点集V 的有序或者无序对集合的影射，称为关联函数。
2.2 图的分类在图G 中，与V 中的有序偶),(j i V V 对应的边e 称为图的有向边(或弧)，而与V 中顶点的无序偶对应的边e 称为图形的无向边，每一条边都是无向边的图，叫做无向图，记为),(E V G =；每一条边都是有向边的图叫做有向图，记为),(E V D =；既有无向边又有有向边的图叫做混合图。
2.3 权如果图G 中任意一条边),(j i V V 上都附有一个数ij W ，则称这样的图G 为赋权图，ij W 称为边),(j i V V 上的权。
3 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个基本问题。
数学建模最短时间路径(新)
最短时间路径摘要：本问题是一个最短时间问题，本文首先对路线图进行分析，找出并画出了汽车在拐弯时所消耗时间的等效图，经分析，找到四条规则（具体见：五、模型的建立与求解），可以按这四条规则把转弯的时间算在南北走向的路线上，对图形上数据进行处理，然后通过Dijkstra算法求的从入口点v1到出口点的v8最短时间路径为：v1——>v2——>v4——>v7——>v8，时间为：15。
关键词：最短路径Dijkstra算法的最1.2.15（53.3条路线使东西2条路线相同，那么是否可以把转弯的时间统一加在南北路线上，经分析是可行的，而且有一定的规则（具体见：五、模型的建立与求解）问题的关键:1.找到把转弯时间附加在南北路线的内在规则。
2.找到一个等效的图形（等效的办法）使得求解更为方便。
三、模型假设1.无论何时交通路线是可行的。
2.城市的路线均为方行路线（直线图）。
四、符号说明v i ——两条路的交汇处或重要地点.L i,j ——v i 与v j 两地之间的这条路。
T ij ——vi 到v j 所花费的时间 T ——是时间的总和。
五、模型建立与求解一、问题的回答把转1.2.3.4.，而此时 图一T于是建立问题的最短时间模型如下：T=T ij +T jk +···+ T km (1)按照图二写出G 的带权邻接矩阵),(v u wDijkstra 算法【1】：求G 中从顶点0u(即v 1)到其余顶点的最短路. 设G 为赋权有向图或无向图，G 边上的权均非负． 对每个顶点，定义两个标记（l v ()，z v ()），其中: l v ()：表从顶点u 到v 的一条路的权．z v ()：v 的父亲点，用以确定最短路的路线算法的过程就是在每一步改进这两个标记，使最终l v ()为从顶点u 到v 8的最短时间的权．S ：具有永久标号的顶点集。
输入: G 的带权邻接矩阵),(v u w (1)赋初值：令 S ＝{u 0, l u ()0=0},∀∈=v S V S \，令l v ()=W u v (,)0,z v ()= u 0 u ←u 0 （2）更新l v ()、z v ()： ∀∈=v S V S \,若l v ()>l u W u v ()(,)+ 则令l v ()=l u W u v ()(,)+,z v ()= u就得>v8，，为六、模型推广一、对问题的进一步的讨论对于题中简单图形进行分析，通过把转弯时所要浪费的时间附加再南北路线上进行处理，可以求的一定点到另一定点所需时间最少。
离散2-12-赋权图&矩阵
i到v
j的长为m
1的通路数
k 1
显然，atii是vi到自身的长度-吴扬为扬t-的回路数。
7
§11.3 图的矩阵表示 1. 邻接矩阵(3)
例2：求例1中v2到其他顶点的长为3的通路数。
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 1 0 0 2 0 1 0 0 2 1 0 0 0 A2 A A 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
此时系统是否处于死锁状态？
-吴扬扬-
3
§11.2 通路回路和连通性 3. 赋权图最短通路问题
赋权图 设G=<V, E>, 若eE, 有一实数w(e)与之对应, 则称G为赋权图， 记为G=<V, E, W>, w(e)称为e的权。 在赋权图中，一条通路的长为该通路上边权之和，
顶点u, v的距离d(u, v)为从u到v的最短通路的长度。
{v1,v2,v3}
7 6 ∞ v5 6
{v1,v2,v3,v5}
7
10 v4 7
{v1,v2,v3,v5,v4}
9 v6 59
§11.3 图的矩阵表示 1. 邻接矩阵(1)
邻接矩阵性质
定义：设G=<V, E>是有向图，V={v1, v2, …,vn},
则G的邻接矩阵A=(aij)nn, 其中aij是vi邻接vj的边的条数。
例1：
v2 10 v4
v1
3 6
3
2 2 v6
4 24 v3 v5
d(v1,v4)=?
最短通路问题：设赋权图中的权值均为正数，求赋权图中两顶
有向赋权图
图论基本概念重要定义：有向图：每条边都是有向边的图。
无向图：每条边都是无向边的图。
混合图：既有有向边又有无向边的图。
自回路：一条边的两端重合。
重数：两顶点间若有几条边，称这些边为平行边，两顶点a,b间平行边的条数成为（a,b）的重数。
多重图：含有平行边的图。
简单图：不含平行边和自回路的图。
注意！一条无向边可以用一对方向相反的有向边代替，因此一个无向图可以用这种方法转化为一个有向图。
定向图：如果对无向图G的每条无向边指定一个方向由此得到的有向图D。
称为的G定向图.底图：如果把一个有向图的每一条有向边的方向都去掉，得无向图G称为的D底图。
逆图：把一个有向图D的每条边都反向由此得到的图称为D的逆图。
赋权图：每条边都赋上了值。
出度：与顶点相连的边数称为该定点的度数，以该定点为始边的边数为出度。
入度：以该定点为终边的边数为入度。
特殊！度数为零的定点称为孤立点。
度数为一的点为悬挂点。
无向完全图：在阶无向图中如果任何两点都有一条边关连则称此图是无向完全图。
Kn完全有向图：在阶有向图中如果任意两点都有方向相反的有向边相连则称此图为完全有向图。
竟赛图：阶图中如果其底图是无向完全图，则程此有向完全图是竟塞图。
注意！n阶有向完全图的边数为n的平方；无向完全图的边数为n(n-1)/2。
下面介召图两种操作：①删边：删去图中的某一条边但仍保留边的端点。
②删点：删去图中某一点以及与这点相连的所有边。
子图：删去一条边或一点剩下的图。
生成子图：只删边不删点。
主子图：图中删去一点所得的子图称的主子图。
补图：设为阶间单无向图，在中添加一些边后，可使成为阶完全图；由这些添加边和的个顶点构成的图称为的补图。
重要定理：定理5.1.1 设图G是具有n个顶点m条边的有向图，其中点集V={v,v, (v)deg+(vi)=deg-(vi)=m定理5.1.2 设图G是具有n个顶点m条边的无向图，其中点集V={v,v,v, (v)deg(vi)=2m推论在无向图中，度数为积数的顶点个数为偶数。
最小费用最大流问题
P
P
B ij
P
B ij
P
B ij
P
B ij
称为可改进路P的“费 用”。
4
假设： ① F是流量为V(F)的所有可行流中费用最小者 ② P是关于F的所有可改进路中费用最小的可改进路 那么沿着P去调整F，得到的可行流F′，就是容量为V(F′) 的所有可行流中最小费用者。 当F′是最大流时，也就是所要求的最小费用最大流了。
(2,6)
Vs (8,1) V2
2
(5,2) (10,3)
(4,2)
(a)
V3
1 数学模型
求一个最大流F，使得流的总运输费用最少
B(F )
V i ,V j A
V1 (10,4)
B ij F ij
Vt (4,2) (a)
(7,1)
(2,6)
Vs (8,1)
(5,2) V2
3
(10,3)
(g) F(3)，V(F(3))=10
Vs -1
-2
-3
(h) W(F(3))
V2
12
3
V3
V1
7 0
Vt 4
W ij
3
Vs
B ij B ij
若 Fij C ij 若 Fij C ij 若 Fij 0 若 Fij 0
W
ji
4 8
V2 V1 4 -4 4 -1 6 V3 Vt
(i) F(3)，V(F(3))=11
Vs -1
-2 V2
2
-3 3
2 V3
(j) W(F(4)) 没有最短路径了
13
智慧树知道网课《离散数学(西南大学)》课后章节测试答案【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版绪论单元测试1【多选题】(100分)本教材的《离散数学》有下列（）内容.A.初等数论B.图论基础C.代数结构D.命题逻辑与谓词逻辑E.组合计数F.集合与关系第一章测试1【单选题】(10分)设，则有两个块的划分有（）种.A.6B.8C.5D.72【单选题】(10分)设，则=().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设是正整数,定义Z上模加法运算“”和模乘法运算“”如下：对于任意,，则()A.B.C.D.4【单选题】(10分)令,若是单射,则().A.是满射B.是单射C.是满射D.是单射5【单选题】(10分)函数的复合运算“”满足()A.消去律B.交换律C.结合律D.幂等律6【单选题】(10分)设N是自然数集，对于任意,定义N到N的对应关系如下:对于任意，,则()A.不是函数B.仅是单射C.仅是满射D.是双射7【单选题】(10分)设,则可定义到的函数()个。
A.6B.8C.2D.38【单选题】(10分)设,则=().A.B.C.D.9【单选题】(10分)设集合中有个元素，则的子集有()个.A.B.C.D.10【单选题】(10分)设,下列()是的.A.B.C.D.第二章测试1【单选题】(10分)设={1,2,3},上二元关系={(1,1)，(2,2),(1,3)}，则关系的对称闭包是()A.B.C.D.2【单选题】(10分)设,是上恒等关系，要使为上的等价关系,应取().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设和是集合上的相容关系，下列关于复合关系的说法正确的是()A.一定不是相容关系B.一定是等价关系C.一定是相容关系D.可能是也可能不是相容关系4【单选题】(10分)设偏序集的哈斯图见下图,的上确界和下确界分别为().A.B.C.D.5【单选题】(10分)若,则上的关系共有()个.A.8B.32C.16D.46【单选题】(10分)设={0,1,2,3,4}，上的关系，则=().A.{(0,0),(1,0),(1,2),(2,1),(2,4),(3,2),(4,3)}B.{(0,1),(2,1),(2,3),(3,4)}C.{(0,0),(0,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,4)}D.{(0,1),(1,2),(2,1),(2,3),(2,4),(3,4)}7【单选题】(10分)设，则下述结论正确的是().A.若和是自反的，则是自反的.B.若和是对称的，则是对称的.C.若和是传递的，则是传递的.D.若和是反对称的，则是反对称的.8【单选题】(10分)设，上二元关系的关系图如下,具有的性质是（）A.反自反性B.对称性C.自反性D.传递性9【单选题】(10分)设集合={1,2,3,4,5}上的关系，则的性质是().A.自反的B.对称的C.反自反的、传递的D.对称的、传递的10【单选题】(10分)设,上关系，则的运算结果是（）.A.B.C.D.第三章测试1【单选题】(10分)下列语句()是命题.A.B.中国碳基半导体芯片领先世界.C.什么是区块链技术?D.玩《王者荣耀》网络游戏时间过得好快！2【单选题】(10分)“很多人都喜欢骑自行车”的否定是（）A.有些人不喜欢骑自行车B.并不是很多人都喜欢骑自行车C.很多人不喜欢骑自行车D.少数人喜欢骑自行车3【单选题】(10分)设：我们游泳，：我们玩游戏,则命题“我们不能既游泳又玩游戏”符号化为()A.B.C.D.4【单选题】(10分)下列命题公式()是永真式.A.B.C.D.5【单选题】(10分)命题公式与()等值.A.B.C.D.6【单选题】(10分)下列()组命题公式是等值的.A.B.C.D.7【单选题】(10分)命题公式的主合取范式为().A.B.C.D.8【单选题】(10分)下面()是功能完备联接词集合.A.B.C.D.9【单选题】(10分)对于命题公式，则由可得出().A.B.C.D.10【单选题】(10分)对于命题公式，则由可得出().A.B.C.D.第四章测试1【单选题】(10分)有和可推出().A.B.C.D.2【单选题】(10分)的前束范式为A.B.C.D.3【单选题】(10分)在谓词逻辑中，下列各式中正确的是().A.B.C.D.4【单选题】(10分)谓词公式是().A.中性式B.永真式C.无法确定D.永假式5【单选题】(10分)设个体域是整数集Z，则下列命题（）的真值为真.A.B.C.D.6【单选题】(10分)设是实数，，则“不存在最大实数”可符号化为().A.B.C.D.7【单选题】(10分)令是金子，是闪光的，则命题“闪光的未必是金子”符号化为().A.B.C.D.8【单选题】(10分)令是老虎，要吃人,将“凡是老虎都是要吃人的”符号化为().A.B.C.D.9【单选题】(10分)谓词公式中的().A.既是约束变元又是自由变元B.既非约束变元又非自由变元C.只是约束变元D.只是自由变元10【单选题】(10分)谓词公式中量词的辖域为（）A.B.C.D.第五章测试1【判断题】(10分)对于整除关系“|”，有0|0.A.对B.错2【单选题】(10分)下列()是15的所有因数集合.A.{-15,-5,-3,-1,1,3,5,15}B.{-15,-5,-3,-1}C.{-5,-3,-1,1,3,5}D.{1,3,5,15}3【单选题】(10分)下述()是正确的.A.7(mod6)=3B.-7(mod6)=5C.-49(mod6)=1D.58(mod6)=24【单选题】(10分)对于正整数，用表示小于等于且与互素的正整数个数，则=().A.2B.3C.4D.15【单选题】(10分)对于正整数，用表示小于等于且与互素的正整数个数.对于不同素数和，下面()是正确的.A.B.C.D.6【单选题】(10分)设是素数，则关于模乘法运算“”().A.每个元素都有逆元B.每个元素都没有逆元C.每个非零元素都有逆元D.每个非零元素都没有逆元7【单选题】(10分)gcd(2035,2019)=().A.19B.35C.2D.18【单选题】(10分)下列各式中，()为真.A.445≡536(mod18).B.446≡278(mod7).C.383≡126(mod15).D.2019≡1883(mod17).9【单选题】(10分)线性同余方程3≡5(mod8)的解为=().A.5B.3C.7D.810【单选题】(10分)线性同余方程的解为=().A.8,6B.1,4C.8,2D.2,6第六章测试1【单选题】(10分)5阶完全无向图的边有()条.A.20B.5C.10D.2【单选题】(10分)无向图有6条边，各有一个3度和5度节点，其余均为2度节点，则的阶数为().A.4B.5C.3D.63【单选题】(10分)3阶完全无向图的不同构的生成子图有()A.5B.4C.3D.4【单选题】(10分)一个简单无向图图,若,则称为自补图.下列()是自补图.A.B.C.D.5【单选题】(10分)在下图中，节点到节点的所有路径有()条.A.7B.6C.8D.56【单选题】(10分)下图的点连通度为().A.5B.4C.3D.27【单选题】(10分)下列各有向图（）是强连通图.A.B.C.D.8【单选题】(10分)有向图是单向连通图当且仅当（）.A.中有通过每个节点至少一次的回路B.中至少有一条回路C.中至少有一条路D.中有通过每个节点至少一次的路9【单选题】(10分)设有向图，，若的邻接矩阵,则的出度和入度分别为().A.3,3B.2,4C.2,3D.1,210【单选题】(10分)在下图中，到的最短路径的权是().A.13B.15C.17D.11第七章测试1【单选题】(10分)下图的节点着色数().A.2B.4C.5D.32【单选题】(10分)捕获6名间谍会汉语、法语和日语,会德语、日语和俄语,会英语和法语,会汉语和西班牙语,会英语和德语,会俄语和西班牙语.将这6人用两个房间和监禁可以使得在同一房间里的任意两人不能相互直接交谈,这时().A.B.C.D.3【单选题】(10分)设是连通平面图，中有7个节点3个面，则的边数是().A.8B.6C.9D.74【单选题】(10分)一棵树有3个5度点、1个4度点、3个2度点，其它的点都是1度，那么它的边数是（）A.19B.C.17D.205【单选题】(10分)下面边赋权图的最小生成树的权为().A.41B.39C.40D.38【单选题】(10分)从6阶完全无向图至少要删除()条边可得到其生成树.A.5B.6C.15D.107【单选题】(10分)不同构的5阶无向树有()棵.A.3B.2C.4D.58【单选题】(10分)设是阶简单无向图，则下列说法不正确的是().A.若是欧拉图，则中必有桥B.若是无向树，则其边数等于C.若中任意一对顶点的度数之和大于等于，则中有Hamilton路D.若中有欧拉路，则是连通图且有零个或两个奇度数顶点9【单选题】(10分)下面既是汉密尔顿图又是欧拉图的图形是().A.B.C.D.10【单选题】(10分)下列图（）是欧拉图.A.B.C.D.第八章测试1【单选题】(10分)将四个人分成两个组，有()种不同的分组方法.A.5B.4C.7D.62【单选题】(10分)在平面上15个点，且任意三个点都不在同一条直线上，通过这些点可以得到()个位置不同的三角形.A.B.C.D.3【单选题】(10分)6个人围圆桌有()就座方式.A.6!B.6·5!C.5!D.4!4【单选题】(10分)五男五女圆桌交替就座的方式有()种.A.4!5!B.5!C.4!D.5!6!5【单选题】(10分)在平面上15个点，且任意三个点都不在同一条直线上，通过这些点可以确定()条不同直线.A.21B.105C.35D.156【单选题】(10分)现有黄球两只，白球和红球各一只，共有()种不同的选球方式.A.12B.9C.10D.117【单选题】(10分)有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，能组成四位数的个数为().A.40B.38C.37D.398【单选题】(10分)某人举步上楼梯，每步跨1个台阶或2个台阶，设上个台阶的不同方式数为，则().A.初始条件为,递归关系为.B.初始条件为,递归关系为.C.初始条件为,递归关系为.D.初始条件为,递归关系为.9【单选题】(10分)设平面上有条直线，其中无两线平行也无三线共点，用表示平面被这条直线分成的连通区域，则().A.B.C.D.10【单选题】(10分)在初始条件下，递归关系的解为().A.B.C.D.第九章测试1【单选题】(10分)Z为整数集,为的幂集为,为数的加、减、除运算,∩为集合的交运算，下列()是代数结构.A.B.C.D.2【单选题】(10分)下列集合关于运算“*”，()是群.A.=Q,“*”是数的乘法.B.={0,1,3,5},“*”是模7加法.C.={1,3,4,5,9},“*”是模11乘法.D.=Z,“*”是数的减法.3【单选题】(10分)在群中,元素2的阶为().A.2B.4C.3D.64【单选题】(10分)设i是虚数，·是复数乘法运算，则={1,-1,i,-i}关于·构成群，下列()是的子群.A.B.C.D.5【单选题】(10分)设是群，且，则下列()命题是不成立的.A.中有幺元B.中任一元素有逆元C.中有零元D.中除了幺元外无其他元素满足6【单选题】(10分)设是有限循环群，则下列说法不正确的是A.设是的生成元，则对任意正整数，存在正整数使B.中存在一元素，使中任意元素都是的某整数方幂组成C.有限循环群中的运算满足交换律D.的生成元是唯一的7【单选题】(10分)半群、群及独异点的关系是（）.A.{独异点}⊂{半群}⊂{群}B.{半群}⊂{群}⊂{独异点}C.{群}⊂{独异点}⊂{半群}D.{独异点}⊂{群}⊂{半群}8【单选题】(10分)域与整环的关系为().A.域不是整环B.域是整环C.整环不是域D.整环是域9【单选题】(10分)下列四个格中，()是分配格.A.B.C.D.。
用matlab寻找赋权图中的最短路
用matlab寻找赋权图中的最短路专业：小组：第22小组小组成员：课题：用matlab寻找赋权图中的最短路采用形式：集体讨论，并到图书馆搜集相关资料，进行编程，运行。
最后以论文的形式表现出来。
1引言图论是应用数学的一个分支，它的概念和结果来源都非常广泛，最早起源于一些数学游戏的难题研究，如欧拉所解决的格尼斯堡七桥问题，以及在民间广泛流传的一些游戏的难题，如迷宫问题，博弈问题等。
这些古老的难题，吸引了很多学者的注意。
1847年，图论应用于分析电路网络，这是它最早应用于工程科学，以后随着科学的发展，图论在解决运筹学，网络理论，信息论，控制论，博弈论以及计算机科学等各个领域的问题时，发挥出很大的作用。
在实践中，图论已成为解决自然科学，工程技术，社会科学，军事等领域中许多问题的有力工具之一。
最短路问题是图论理论中的经典问题，寻找最短路径就是在指定网络中两节点间找一条距离最小的路。
2 最短路2.1 最短路的定义（short-path problem）对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了，若网络中的每条边都有一个数值(长度、成本、时间等)，则找出两节点(通常是源节点和阱节点)之间总权和最小的路径就是最短路问题。
最短路问题是网络理论解决的典型问题之一，它不仅可以直接应用于解决生产实际的许多问题，如管路铺设、线路安装、厂区布局和设备更新等，而且经常被作为一个基本的工具，用于解决其他的做优化问题。
定义1：若图G=G（V，E）中个边[v i,v j]都赋有一个实数w ij ，则称这样的图G为赋权图，w ij 称为边[v i,v j]上的权。
定义2：给定一个赋权有向图，即给一个有向图D=（V,A），对每一个弧a=（v i,v j），相应地有权w（a）=w ij，又给定D中的两个顶点v s ，v t 。
设P是D中从v s 到v t 的一条路，定义路P的权是P中所有弧的权之和，记为w（P）。
最短路问题就是要在所有从v s到v t 的路中，求一条权最小的路，即求一条从v smin w（P）式中对D中所有从v s到v t 的路P最小，到v t 的路P0 ，使w（P0）=P称P0 是从v s到v t 的最短路。
图论dijkstra
赋权图的最短路算法 dijkstra算法
相关概念：
1.最短路是一条路径，且最短路的任一 段也是最短路．
2.我们考虑的是有向赋权图或者无向图， 假设G为赋权有向图或无向图，G边上 的权均非负。
赋权图的最短路算法 dijkstra算法
此时,开始第四轮迭代：
S {a, b,c,d,f}, S {e, g, z},u f dist[a] 0, dist[b] 1, dist[c] 3, dist[d ] 4, dist[ f ] 6 dist[e] min{dist[e], dist[u] w(u,e)} min{9,8} 8 dist[g] min{dist[g], dist[u] w(u, g)} min{8,12} 8 dist[z] min{dist[z], dist[u] w(u, z)} min{,10} ; prev[e] u f , prev[ f ] prev[g] c, prev[c] b; prev[b] prev[d] a; prev[z] f 此时a e道路被更新为a b c f e a z道路被更新为a b c f z 并且当前S中最短的dist是dist[e] 8，则a e的最短路已经确定即是a b c f e 下一轮迭代时，S {g,z}
赋权图的最短路算法 dijkstra算法
很多同学肯定是一头雾水吧，为了加强同学们对算法的理解，我们手动来走一遍流 程：
用筛选法求赋权图最短通路
用筛选法求赋权图最短通路
张光明
【期刊名称】《山东工业大学学报》
【年(卷),期】1990(020)004
【摘要】0 引言关于赋权图最短通路的计算,E·W·Floyd法是目前较好的方法.但它只能求出图中任意两点间的最短通路长(Shortest distance),不能求出实际的最短通路(Shortestpath).若要求任意两点间的最短通路,还需另外构造最优策略矩阵(Optimal-policy matrix),或称标记矩阵(Marked matrix).此法计算较繁,而且也只能求出任意两点间的一条最短通路,不能求出两点间的所有最短通路.
【总页数】4页(P95-98)
【作者】张光明
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.基于开关函数求广义最短通路的新算法 [J], 郑玉玺;李江;蒋黔麟
2.无向赋权图最短通路的矩阵算法 [J], 朱志雄;杨树清
3.邻接矩阵求带权图中最短通路 [J], 黄师化
4.赋权图上最短路径的一种简便算法 [J], 吴鹏
5.矩阵方法求赋权图中最短路的算法 [J], 张蕾
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图论的方法
G=<V,E>=<{a,b,c,d},{(a,b),(a,c),(b,d),(b,c), =<V >=<{a },{(a ),(a ),(b ),(b ),(a ),(b (d,c),(a,d),(b,b)}> G′=<V′,E′>=<{a,b,c,d,e,f},{<a,b>,<b,a>, =<V >=<{a ,f},{<a >,<b },{< >,<c >,<a >,<e <b,c>,<c,c>,<a,d>,<e,e>}>
={e }={(v ),(v V={v1,v2,v3} E={e1,e2}={(v1,v2),(v2,v3)} ={v )=5 )=8 f(v1)=5,f(v2)=8,f(v3)=11 )=11 g(e1)=4.6,g(e2)=7.5 )=4 )=7
图 1―4
结点的次数(度数) 1.2 结点的次数(度数)
G′=<V′,E′>=<{a,b,c,d,e,f},{<a,b>,<b,a>, =<V >=<{a ,f},{<a >,<b },{< >,<c >,<a >,<e <b,c>,<c,c>,<a,d>,<e,e>}>
图 1―2
我们仅讨论有向图和无向图, 我们仅讨论有向图和无向图,且V(G)和E(G)限于有限 仅讨论有向图和无向图 集 合 . 为 方 便 叙 述 , 我 们 约 定 用 <a,b> 表 示 有 向 ,(a 表示无向边, 边,(a,b)表示无向边,既表示有向边又表示无向边时 于是, 中的G 中的G 用 [a,b] .于是 , 图 1―1 中的 G 和图 1―2 中的 G′ 可分别 简记为 简记为
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1 10 6
10 6 10 5 10 9
3 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
3 11 11 11 11 11
∞ ∞ ∞ ∞
∞ ∞ 14 13 13 13 9 8 11 11 ∞ ∞
11 16 11 11 16 16 16 15
所以最短路为 a e d h c g z
23
v1 … v2 t1 t2 DT(t1) T DT(t2)
与DT(t1)的最短性相矛盾！ 学会多画图,多从图形直观上来看.
d=W(av1…v2t2…t1)
定理 在有限赋权图G=(V,E)中,顶点a为起点,|V|=n+1, 递归地定义目标集 T1=V-{a},Ti+1=Ti-{ti} 即 Ti={ti,ti+1,…,tn}(i=1,2,…,n) 其中ti为Ti中指标最小者, 即 DTi(ti)= min{DTi(ti),DTi(ti+1),…,DTi(tn)}. 则 DTi+1(t) DTi(t),当t与ti不邻接 = min{DTi(t),DTi(ti)+W(ti,t)},当t与ti邻接
21
(4)由表可得最短路的长度为15.要得到最短路，
可以用逆向检查法：从Z开始，往上检查，直止 z的值发生变化为止，在此行中找到最小者，然 后由此最小者开始往上检查，直止发生变化， 在此行中找最小者，重复这一过程直止到a为止. 最后倒着把最小者所对应的点写成序列,此序列 即为最短路.
22
a
b c d e f g h i z
16
17
18
19
当我们比较熟练地掌握了狄克斯特洛算法后, 可用列表法来求最短路,它使求解过程显得十分 简洁.下面以一例来介绍此法. 例 求右图中a到z的最短路及其长度
20
方法： (1)先把T1=V-{a}中的点写在第一行上，把这些点 关于a的权相应地写在第二行上,并圈出其中最小 者b,相应值为1. (2)令T2=T1-{b},在第三行上先标出T1中与b不邻接 的点d,e,g,h, i, z，对于S1中与b 邻接的点c,f, 则用1+W(b,c),1+ W(b,f)与第二行c,f的值10与∞ 比较,然后取最小者写在第三行的相应位置,并圈出 最小点e及相应值3. (3)令T3=T2-{e},并其上的点写在第4行上,重复(2). 如此继续下去,直至z成为某个目标集的最小值为止.
由各Ti的构造过程知,则存在 DTi(t) 一条从a发的粉色的最短路径. 最终, 从a出发的到t的粉色路径的权和 ≤ 从a出发的到t的黄色路径的权和
由上面的分析可知, 当t与ti邻接时,
DTi+1(t)
DTi(ti)+W(ti,t) ti Ti a Ti+1 … t
DTi(t)
=min{DTi(t),DTi(ti)+W(ti,t)},
设赋权图 G=(V,E),u,v∈V,从u到v所带权 的总和最小的通路,称为u到v的最短通路.
例
2
2、问题与求法 如何求一权图中任意两点间的最短路？这 里介绍狄克斯特洛算法(Dijkstra's algorthm.)
4
3、迪克斯特洛算法
5
T
a … t z
权和最小记为DT(t)
6
例
T
a→c→e权和为10
7
8
9
10
定理 在赋权图G=(V,E)中,起点a∈V-T,设目标集 T={t1,t2,…,tn},且t1为T中指标最小者, 即DT(t1)= min{DT(t1),DT(t2),…,DT(tn)}, 则a到t1的最短通路的权和为DT(t1). 证明 采用反证法.证明思路如右图所示. 若d<DT(t1),即黄色线比紫色线短, a 则从图形直观上则有 DT(t2)≤W(av1…v2t2)<d<DT(t1)
{
(i=1,2,…,n-1)
ห้องสมุดไป่ตู้
证明
当t与ti不邻接
a
Ti ti Ti+1
如右图所示可知 DTi+1(t)=DTi(t)
t DTi+1(t)=DTi(t)
当t与t1邻接时
DTi(ti) 如由图所示， 设黄线为a到ti的最短路径 a 若存在绿色边 … 则黄线与绿线也构成从 a到t的一条路径.
ti Ti W(tT i,t) i+1 t
赋权图的最短通路
1、赋权图 设G=(V,E)是有限图,如果对E中的每一条边e, 都有一个实数W(e)附着其上,则称G为赋权图,则称 W(e)为边e的权.
a
例 右图就是一个赋权图.
a
14
a
12
a
b 13 c
d a
a
9
d a
a
d a
e
a
7
d
a
10
d
a
5
d
a
a
6a
d a
8
d a
a
11
d a
d
a
1
对于赋权图 G=(V,E),规定: