选修4-5学案.1.1数学归纳法证明不等式

选修4-5学案 §4.1.1数学归纳法证明不等式 姓名

☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤;

2. 会运用数学归纳法证明不等式

重点：应用数学归纳法证明不等式.

☻知识情景：

关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性：

10. 验证n 取 时命题 ( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题 ！(结论）

要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .

☆ 数学归纳法的应用：

例1. 用数学归纳法证明不等式sin sin n n θθ≤.

例2已知x > -1，且x ≠0，n ∈N*，n ≥2．求证：(1+x )n >1+nx .

例3 证明: 如果(n n 为正整数)个正数12,,,n a a a 的乘积121n a a a = , 那么它们的和12n a a a n +++ ≥.

例4 证明:222111112(,2).23≥n N n n n

+

++⋯+<-∈

例5.当2n ≥时,求证:1

+

+

++

>

选修4-5练习 §4.1.1数学归纳法证明不等式（1） 姓名

1、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n ∈N,都能使m 整除f(n)，则最大的m 的

值为( ) A.30

B.26

C.36

D.6

2、.观察下列式子：2

22

2213

1151117

1,1,122

233

2344

+

<+

+<+

++<

…则可归纳出____ _____.

3、已知112a =

, 133

n n n a a a +=+, 则2345,,,a a a a 的值分别为_____ ____，由此猜想 n a =_________.

4、用数学归纳法证明: 1*5231()n n n A n N -=+⋅+∈能被8整除.

5、用数学归纳法证明 n n n n n 21

2111211214131211+++++=--++-+-

6、.用数学归纳法证明412+n

+3n+2能被13整除，其中n ∈N

7、求证：

1115

(2,) 1236

n n N n n n

* +++>≥∈

++

8、已知，

111

1,

23

n

S n N

n

*

=++++∈

，用数学归纳法证明：

2

1(2,)

2

n

n

S n n N* >+≥∈

9、.求证：用数学归纳法证明 2*

22()n n n N +>∈．

答案:

1. 关于正整数n 的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n 取第一个值时命题成立( 即n ＝n 时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当n=k 时命题成立，证明当n=k ＋1时命题也成立(归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n ≥n 的自然数n 命题都成立！(结论）

要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

例1 ⑴当1n =时,上式左边sin θ

=右边,不等式成立.

⑵设当(1)n k k =≥时,不等式成立,即有sin sin k k θθ≤.

那么,当1n k =+时, sin(1)k θ+=

例2 证明:(1)当n =2时，左＝(1＋x )2=1+2x +x 2

∵ x ≠0，∴ 1+2x +x 2

>1+2x =右,∴n =2时不等式成立

（2）假设n =k (k ≥2)时，不等式成立，即 (1+x )k

>1+kx 当n =k +1时，因为x > -1 ，所以1+x >0，于是 左边=(1+x )

k +1

右边=1+(k +1)x ．

因为kx 2＞0，所以左边＞右边，即(1+x )k +1

>1+(k +1)x ． 这就是说，原不等式当n =k +1时也成立．

根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n 都成立.

例3 证明:⑴当1n =时,有11a =，命题成立.

⑵设当n k =(1)k ≥时，命题成立，即若k 个正数12,,,k a a a 的乘积121k a a a = , 那么它们的和12k a a a k +++ ≥.

那么当1n k =+时,已知1k +个正数121,,,,k k a a a a + 满足1211k k a a a a += .

若1k +个正数121,,,,k k a a a a + 都相等,则它们都是1.其和为1k +,命题成立.

若这1k +个正数121,,,,k k a a a a + 不全相等,则其中必有大于1的数,也有小于1的数 (否则与1211k k a a a a += 矛盾).不妨设121,1a a ><.

例4证:(1)当n =1时,左边=215124+

= ,右边=13222-= ,由于

5342

< 故不等式成立. (2)假设n =k ( ,2≥k N k ∈)时命题成立,即2221111

12.23k k

+

++⋯+<- 则当n =k +1时, 22222

111111

1223(1)(1)k k k k +

++⋯++<-+

++ 211111111

222()2.(1)(1)11

k k k k k k k k k -

+<-+=-+-=-++++ 即当n =k +1时,命题成立.

由(1)、(2)原不等式对一切,2≥n N n ∈都成立.

例5（1）当时，左式右式n ==+

=+

>>=2112

12

2

172. ∴=当时，不等式成立n 2