第一章 投影的基本知识

第一章 投影的基本知识
本章主要内容
第一节 投影的形成与分类 第二节 常用投影图表示法 第三节 三面正投影 第四节 点、直线、平面的投影 第五节 形体的投影 第六节 形体的剖切 第七节 轴测投影
第一节 投影的形成与分类
一、 投影的形成
如右图1-1所示，把光源S称为 投影中心，光线(SA、SB、SC、SD) 称为投射线，光线的射向称为投射 方向，落影的平面（如地面、墙面 等）称为投影面，影子的轮廓（abc） 称为投影，用投影表示物体的形状 和大小的方法称为投影法，用投影 法画出的物体图形称为投影图。
Z
Z
a’ b’
a’
b” YW
a’
a”
b’ b”
YW a’
b
YH
YH
特殊位置的点：
当点在某一投影面上时，它的坐标必有一个为 零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上；
当点在某一投影轴上时，它的坐标必有两个为 零，三个投影中必有两个投影位于投影轴上， 另一个投影则与坐标原点重合；
当点在坐标原点上时，它的三个坐标均为零。
a” YW
投影特性：
❖直线的三个投影仍为直线，但不反映实长； ❖直线的各个投影都倾斜于投影轴
一般位置线的判别 ：
三个投影三个斜，定是一般位置线。
2. 两直线的相对位置 空间两直线有三种不同的相对位置，即相交、平行和
交叉。
两相交直线或两平行直线都在同一平面上，所以它们 都称为共面线。
两交叉直线不在同一平面上，所以称为异面线。
如图3.23中，A、B是位于同一 投射线上的两点，它们在H面 上的投影a和b相重叠。A在H 面上为可见点，点B为不可见 点。
图1-16 重影点
被挡住的投 影加( )
A、C为H面的重影点
a
a
●
●
c●
●c
a (●c)
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
二、直线的投影
✓直线的投影规律 ❖ 真实性：直线平行于投影面时，其投影仍为直线，并且
投影得到投影图，如图1-13所示。
形体在三面投影体系中得到的三面投影图，也称三视
图。其中H面投影为俯视图，V面投影为正视图，W面的投
影为侧视图。
俯视
A
E
C B
D
侧视
正视
图1-13 视图
第四节 点、直线、平面投影
一、点的投影
1 . 点的三面投影
将空间点A置于三投影面体系中，自A点分别向三个投
影面作垂线（即投射线），三个垂足就是点A在三个
图1-10 投影图的形成
为了把空间三个投影面上所得到的投影画在一个平 面上，需将三个相互垂直的投影面展开摊平成为一个平 面。即V面保持不动，H面绕OX轴向下翻转90°，W面 绕OZ轴向右翻转90°，使它们与V面处在同一平面上， 如图。
图1-11 投影面展开
显而易见，展开的三面正投影位置与尺寸关系： ➢ 正面投影图和水平投影图左右对正、长度相等； ➢ 正面投影图和侧面投影图上下看齐，高度相等； ➢ 水平投影图和侧面投影图前后对应，高度相等。 从而得，投影对应规律是指各投影图之间在量度方向上 的相互对应。
cab
e d
它们的投影互相平行，即ae ∥ bd,
ab∥ed；点A是线段CA与BA的交点 图1-4 正投影的几何性质 则投影点a是线段CA与BA的交点。以上7个平面的集合就是该立体的正
投影。
第二节 常用的投影图表示方法
一、多面体的正投影
图1-5 多面正投影
二、轴测投影
正轴测图 轴测图
斜轴测图
正等轴测图 p = q = r 正二轴测图 p = r q 正三轴测图 p q r
投影面上的投影。
Z
V a ●
az
Z
a ●
az a ●
A
X ax
●
a●
H
●a
X
ax
W
O
ay
a●
图1-14 点的三面投影Biblioteka O ayYay
Y
点的投影规律
点的正面投影a′和水平投影a的连线必垂直于X轴，即 aa′⊥OX；
点的正面投影a′与侧面投影a″的连线必垂直于Z轴，即 a′a″⊥OZ；
点的水平投影a到OX轴的距离等于其侧面投影a″到OZ 轴的距离，即aax=a″az=Aa′；
应的投影轴且均反映实长。
垂直线空间位置的判别 ：
一点两直线，定是垂直线；点在哪个面，垂直 哪个面。
（2）投影面平行线 定义 ：
指平行于一个投影面，而倾斜于另外两个投影面的直线。 分类及投影图 ：
❖ 投影面平行线可分为： 正平线 水平线 侧平线
❖ 这三种平行线的投影图如表1-2所示。
名称
（3）一般位置线
定义：
与三个投影面都倾斜的直线成为一般位置线。
空间直线按其相对于三个投影面的不同位置关系可分为三种： 投影面平行线、投影面垂直线和投影面倾斜线。
前两种称为特殊位置直线，后一种称为一般位置直线。
Z
V
b’ b”
b’ b”
a’
B W
a’ X
X
A b
a”
a
图1-18一般位置线的投影
YH
如图1-2（c）、图1-3。
平行投影
斜投影 正投影
图1-2 投影法
图1-3 正投影图
三、正投影的几何性质
从属性：点在直线上，点的正投影在这条直线上。 平行性：两直线平行，它们的投影也互相平行，且线段长度之
比等于它们的正投影长度之比。 定比性：点分线段所形成的的比例等于点的正投影分线段的正
水平位置的平面称作水平投影面H；与水平投影面 垂直相交呈正立位置的平面称为正立投影面V；位于右 侧与H、V面均垂直相交的平面称为侧立投影面W。
图1-9 三投影面的建立
二、三面投影图的形成
将物体置于三面投影体系中，同时尽可能地使形 体表面平行或垂直于投影面，分别向三个投影面作正 投影，如图1-10所示。 由上往下在H面上得到的投影称为水平投影图（简称 平面图） 由前往后在V面上得到的投影称作正立投影图（简称 正面图） 由左往右在W面上得到的投影称作侧立投影图（简称 侧面图）
⒈ 两直线平行
投影特性：
b
V
d
a
Bc
A
x
C
D
空间两直线平行，则 其各同名投影必相互平行， 反之亦然。
两平行线段的长度之
a
c
比等于同面投影的长度之 比
b
dH
。 例1：判断图中两条直线是否平行
① AB//CD
② AB与CD不平行
b
x
d
a
c
a
c
bd 对于一般位置直线，只要 有两个同名投影互相平行，空 间两直线就平行。
p
S
图1-7 透视投影
四、标高投影 标高投影是采用正投影的方法绘制，用以表示地势
特征的单面正投影。 这种投影由一系列高程相等的封闭曲线组成，是
进行建筑规划、总平面布置的主要图样，如下图1-8 所示。
图1-8 标高投影
第三节 三面正投影
一、三投影面体系
通常，采用三个相互垂直的平面作为投影面，构成 三投影面体系。。
三、两直线的相对位置
⒈ 平行：同名投影互相平行。 ⒉ 相交：同名投影相交，交点是两直线的共有点，且 符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（交错）：同名投影可能相交，但“交点”不 符合空间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。
三、平面的投影
平面表示法（了解）
●c
●c
●c
a●
a●
a●
●d
●b ●b
a●
x
o a●
●b ●b
x
o a●
●b ●b
o
●
d
● c
● c
●c
（1） （2）
（3）
不在同一直 线上的三个
直线及线 外一点
两平行直线
点
●c
a●
x ●b
●b o
a●
●c （4） 两相交 直线
斜等轴测图 p = q = r 斜二轴测图 p = r q 斜三轴测图 p q r
图1-6 轴测投影
三、透视投影
透视投影是以人的眼镜为投影中心的中心投影，也称为 透视图，简称“透视”。
如图1-7所示，点S为人的眼睛，当其透过平面P观看形 体时，视线与P面交点围成的图形称为透视图。
透视投影是用中心投影的方法将形体投射到选定的一个 投影面上得到的单面投影图。常用作建筑方案设计和建筑效 果图表达，是工程中的辅助图样。
反映实长，这种性质称为真实性。 ❖ 积聚性：直线垂直于投影面时，其投影积聚为一点，这
种性质称为积聚性。 ❖ 收缩性：直线倾斜于投影面时，其投影仍是直线，但长
度缩短，不反映实长，这种性质称为收缩性。
图1-17 直线的投影
1 . 直线与投影面的位置关系 直线与投影面的相对位置可分为投影面垂直线、投
影面平行线、一般位置直线三种。
（1）投影面垂直线 定义 ：
指垂直于一个投影面，而平行于另外两个投影面的直线。 分类及投影图 ：
❖ 投影面垂直线可分为： 正垂线 铅垂线 侧垂线
❖ 这三种垂直线的投影图如表1-1所示。
名称
直 观 图
铅垂线
表1.1 投影面垂直线 正垂线
投 影 图
侧垂线
投影特性：
❖ 直线在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。 ❖ 直线在另外两个投影面上的投影同时平行于一条相
点在任何投影面上的投影仍然是点 。
已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a ●
az ●a
通过作45°线
使aaz=aax
ax