计算方法 函数逼近及FFT 有理逼近、三角函数逼近及FFTch03e r
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9
三角插值
三角插值
当 n=m 时可以证明
Sn ( x j ) y j
( j = 0, 1, … , 2m )
故 Sn(x) 为 f(x) 在点集 x0, x1, , x2m 上的三角插值
10
DFT
考虑在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族：
1, e , e , e ,
ikx
ix
2 ix
3 ix
,e
( N 1) ix
这里的 i 是虚部单位
2 jπ 则 e 在 x j N , j 0,1, ..., N 1 处的函数值为 1 ik 2 π N 1 i ( j k ) l 2 e N 0, j k N k j , k e l 0 N , j k ik 2( N 1) π N e 离散正交
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
an cos( nx ) bn sin( nx )
2 2m 2πjk ak 2m 1 y j cos 2m 1 ( k = 0, 1, … , n ) j 0 其中 2m 2 2πjk ( k = 1, 2, … , n ) b y sin k j 2m 1 2 m 1 j 0 n<m
三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近
6
最佳平方三角逼近
最佳平方三角逼近 f (x) 以 2 为周期且平方可积，则其在 [0, 2] 上 的最佳平方三角逼近为
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
其中
an cos( nx ) bn sin( nx )
n1
ikπ
1 其中 ck N
N 1 j 0
ye
j
ikj
2 N
( k = 0, 1, … , n-1 ) 当 n=N 时，Sn(x) 即为 f(x) 在 x0, x1, , xn-1 上的插值函数
y j ck e
k 0
N 1
ikj
2 N
离散 Fourier 逆变换 ( j = 0, 1, … , N-1 )
11
DFT
设 f (x) 以 2 为周期的复函数，给定函数值 ( xj, yj )，其中 2 jπ xj , j 0,1, ..., N 1 离散 Fourier 变换 N 则 f(x) 的最小二乘 Fourier 逼近为 (n m)
Sn ( x ) ck e
k 0
三角多项式逼近
结论 若 f ’(x) 在 [0, 2] 上分段连续，则
S( x ) lim Sn ( x ) f ( x )
n
8
最小二乘
2 jπ , j 0,1, ..., N 1 若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中 x j N
则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1)
Pade 逼近
设 f (x) CN+1(-a, a), N=m+n, 若有理函数
Pn ( x ) a0 a1 x an x n Rnm ( x ) Qm ( x ) 1 b1 x bm x m
(k) Rnm (0) f ( k ) (0)
其中 Pn(x) 与 Qm(x) 无公因式，且满足 k = 0, 1, …, N
5
则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近
三角多项式逼近
在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族： 1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，…
三角多项式逼近
设 f (x) 是以 2 为周期的平方可积函数，则可利 用上面的三角函数族对其进行数值逼近。
an x n bm x m
若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近 可能会取得较好Hale Waihona Puke Baidu逼近效果
3
举例
2 3 4 x x x 例： ln(1 x ) x 2 3 4
xk ( 1) k k 1
k
ln(1 x ) 1
x x
Taylor 展开
x 2 连分式 22 x 3 22 x 4 5 6x 3x2 R22 ( x ) 6 6 x x2 420 x 630 x 2 260 x 3 25 x 4 R44 ( x ) ex35.m 2 3 4 420 840 x 540 x 120 x 6 x
12
DFT
令 N e
i 2π N
2π 2π cos i sin N N
计算方法
第三章
函数逼近与FFT
—— 有理逼近、三角函数逼近与FFT
1
本节内容
有理函数逼近
有理逼近与连分式 Pade 逼近
三角函数逼近
最佳平方逼近 最小二乘 FFT（快速 Fourier 变换）
2
有理逼近
有理逼近
用有理函数来做函数逼近
Pn ( x ) a0 a1 x Rnm ( x ) Qm ( x ) b0 b1 x
1 2π ak f ( x ) cos( kx ) dx ( k = 0, 1, … , n-1 ) π 0 2π b 1 f ( x ) sin( kx ) dx ( k = 1, 2, … , n-1 ) k 0 π
7
当 n 趋于无穷大时，Sn(x) 即为 f(x) 的 Fourier 展开
4
Pade 逼近
设 f (x) 的Taylor 展开为 f ( x )
k 1 N
f ( k ) (0) k f ( N 1) ( ) N 1 x x k! ( N 1)!
部分和记为 PN ( x )
k 1
N
f ( k ) (0) k N x ck x k k! k 1
三角插值
三角插值
当 n=m 时可以证明
Sn ( x j ) y j
( j = 0, 1, … , 2m )
故 Sn(x) 为 f(x) 在点集 x0, x1, , x2m 上的三角插值
10
DFT
考虑在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族：
1, e , e , e ,
ikx
ix
2 ix
3 ix
,e
( N 1) ix
这里的 i 是虚部单位
2 jπ 则 e 在 x j N , j 0,1, ..., N 1 处的函数值为 1 ik 2 π N 1 i ( j k ) l 2 e N 0, j k N k j , k e l 0 N , j k ik 2( N 1) π N e 离散正交
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
an cos( nx ) bn sin( nx )
2 2m 2πjk ak 2m 1 y j cos 2m 1 ( k = 0, 1, … , n ) j 0 其中 2m 2 2πjk ( k = 1, 2, … , n ) b y sin k j 2m 1 2 m 1 j 0 n<m
三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近
6
最佳平方三角逼近
最佳平方三角逼近 f (x) 以 2 为周期且平方可积，则其在 [0, 2] 上 的最佳平方三角逼近为
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
其中
an cos( nx ) bn sin( nx )
n1
ikπ
1 其中 ck N
N 1 j 0
ye
j
ikj
2 N
( k = 0, 1, … , n-1 ) 当 n=N 时，Sn(x) 即为 f(x) 在 x0, x1, , xn-1 上的插值函数
y j ck e
k 0
N 1
ikj
2 N
离散 Fourier 逆变换 ( j = 0, 1, … , N-1 )
11
DFT
设 f (x) 以 2 为周期的复函数，给定函数值 ( xj, yj )，其中 2 jπ xj , j 0,1, ..., N 1 离散 Fourier 变换 N 则 f(x) 的最小二乘 Fourier 逼近为 (n m)
Sn ( x ) ck e
k 0
三角多项式逼近
结论 若 f ’(x) 在 [0, 2] 上分段连续，则
S( x ) lim Sn ( x ) f ( x )
n
8
最小二乘
2 jπ , j 0,1, ..., N 1 若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中 x j N
则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1)
Pade 逼近
设 f (x) CN+1(-a, a), N=m+n, 若有理函数
Pn ( x ) a0 a1 x an x n Rnm ( x ) Qm ( x ) 1 b1 x bm x m
(k) Rnm (0) f ( k ) (0)
其中 Pn(x) 与 Qm(x) 无公因式，且满足 k = 0, 1, …, N
5
则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近
三角多项式逼近
在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族： 1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，…
三角多项式逼近
设 f (x) 是以 2 为周期的平方可积函数，则可利 用上面的三角函数族对其进行数值逼近。
an x n bm x m
若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近 可能会取得较好Hale Waihona Puke Baidu逼近效果
3
举例
2 3 4 x x x 例： ln(1 x ) x 2 3 4
xk ( 1) k k 1
k
ln(1 x ) 1
x x
Taylor 展开
x 2 连分式 22 x 3 22 x 4 5 6x 3x2 R22 ( x ) 6 6 x x2 420 x 630 x 2 260 x 3 25 x 4 R44 ( x ) ex35.m 2 3 4 420 840 x 540 x 120 x 6 x
12
DFT
令 N e
i 2π N
2π 2π cos i sin N N
计算方法
第三章
函数逼近与FFT
—— 有理逼近、三角函数逼近与FFT
1
本节内容
有理函数逼近
有理逼近与连分式 Pade 逼近
三角函数逼近
最佳平方逼近 最小二乘 FFT（快速 Fourier 变换）
2
有理逼近
有理逼近
用有理函数来做函数逼近
Pn ( x ) a0 a1 x Rnm ( x ) Qm ( x ) b0 b1 x
1 2π ak f ( x ) cos( kx ) dx ( k = 0, 1, … , n-1 ) π 0 2π b 1 f ( x ) sin( kx ) dx ( k = 1, 2, … , n-1 ) k 0 π
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当 n 趋于无穷大时，Sn(x) 即为 f(x) 的 Fourier 展开
4
Pade 逼近
设 f (x) 的Taylor 展开为 f ( x )
k 1 N
f ( k ) (0) k f ( N 1) ( ) N 1 x x k! ( N 1)!
部分和记为 PN ( x )
k 1
N
f ( k ) (0) k N x ck x k k! k 1