计算方法 函数逼近及FFT 有理逼近、三角函数逼近及FFTch03e r
计算方法 函数逼近及FFT 有理逼近、三角函数逼近及FFTch03e r
N 1 2( N 1) N N
( N 1) 2 N
性质 (1)
FN
1 N
2
N
性质 (2) F
1 FN N
13
DFT/FFT
DFT 与 IDFT
1 ck N
N 1 k 0
N 1 j 0
ye
j
ikj ikjFra bibliotek2 N
c DFT( y) y IDFT(c )
三角多项式逼近
结论 若 f ’(x) 在 [0, 2] 上分段连续，则
S( x ) lim Sn ( x ) f ( x )
n
8
最小二乘
2 jπ , j 0,1, ..., N 1 若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中 x j N
则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1)
5
则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近
三角多项式逼近
在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族： 1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，…
三角多项式逼近
设 f (x) 是以 2 为周期的平方可积函数，则可利 用上面的三角函数族对其进行数值逼近。
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
an cos( nx ) bn sin( nx )
2 2m 2πjk ak 2m 1 y j cos 2m 1 ( k = 0, 1, … , n ) j 0 其中 2m 2 2πjk ( k = 1, 2, … , n ) b y sin k j 2m 1 2 m 1 j 0 n<m
《数学函数逼近》课件
多项式逼近的性质
多项式逼近具有连续性和可微性，这意味着逼近函数在定义域内是连续的 ，并且可以求导。
多项式逼近的精度可以通过增加多项式的项数来提高，但同时也增加了计 算的复杂度。
多项式逼近的收敛性是指当多项式的项数趋于无穷时，逼近函数趋近于目 标函数。收敛速度决定了逼近的精度。
在数值分析中，线性逼近 被广泛应用于求解微分方 程、积分方程等数学问题 。
函数近似
在函数近似中，可以使用 线性逼近来近似复杂的函 数，以便于分析和计算。
数据拟合
在数据拟合中，线性逼近 可以用于拟合数据，并预 测未来的趋势。
03
多项式逼近
多项式逼近的定义
多项式逼近是使用多项式来近似表示 一个函数的方法。它通过选择一个多 项式，使其在某种意义下尽可能接近 给定的函数。
3
在金融领域，插值逼近被用于估计和预测股票价 格、利率等金融变量，例如在期权定价、风险评 估等方面。
05
样条逼近
样条逼近的定义
定义
样条逼近是一种数学方法，通过构建多项式样条来逼近给定的函数。样条是一 种连续、光滑的曲线，能够通过给定的离散数据点拟合出函数的变化趋势。
原理
通过选择合适的基函数（如多项式），并确定它们在离散数据点处的取值，可 以构建出一条连续、光滑的曲线，该曲线能够尽可能地逼近给定的函数。
数学函数逼近
xx年xx月xx日
• 引言 • 线性逼近 • 多项式逼近 • 插值逼近 • 样条逼近 • 傅里叶级数逼近
目录
01
引言
主题介绍
• 数学函数逼近是数学分析的一个重要分支，主要研究如何 用简单函数来近似表示复杂函数。
函数逼近理论
函数逼近理论函数逼近是数学中研究近似计算方法的重要分支，它通过寻找一个接近所需函数的近似函数来简化复杂的计算问题。
函数逼近理论涵盖了多项式逼近、三角函数逼近、最小二乘逼近等各种方法。
本文将从数学背景、函数逼近的原理和应用领域三个方面进行讨论。
一、数学背景在了解函数逼近理论之前，我们需要回顾一些数学背景知识。
首先，我们要了解函数及其性质的概念。
函数是一种将一个集合中的元素映射到另一个集合中元素的规则，常用来描述数学、物理和工程问题。
其次，我们要熟悉多项式的性质。
多项式是由常数和变量的乘积相加而成的表达式，其具有高度的可控性和计算性能。
最后，我们需要了解一些数学分析工具，如泰勒级数展开和傅里叶级数展开等。
二、函数逼近的原理函数逼近的核心思想是通过构造一个近似函数，在一定范围内保持与所需函数的接近程度。
常用的函数逼近方法包括最小二乘逼近、插值逼近和曲线拟合等。
最小二乘逼近是一种基于最小化残差平方和的方法。
其基本思想是通过寻找一个多项式函数，使得所需函数与多项式函数的差异最小化。
这种逼近方法在实际问题中应用广泛，如信号处理、数据拟合等领域。
插值逼近是一种通过在给定数据点上构造插值多项式来逼近函数的方法。
插值多项式与原函数在数据点处相等，通过连接这些数据点构造出一个逼近函数。
插值逼近在图像处理、数值计算和计算机图形学等领域具有重要应用。
曲线拟合是一种寻找一条曲线与给定数据集最匹配的方法。
常用的曲线拟合方法包括多项式拟合、指数拟合和对数拟合等。
曲线拟合方法在统计学、经济学和物理学等领域具有广泛应用。
三、函数逼近的应用领域函数逼近理论在数学和工程领域中有着广泛的应用。
在数学领域，函数逼近可用于求解复杂的数学问题，如微积分、方程求解等。
在工程领域，函数逼近可用于优化算法、信号处理、图像处理等领域。
在优化算法中，函数逼近可用于近似解决无法求得精确解的优化问题。
通过构造一个逼近函数，可以减少计算量和提高计算效率，从而更好地解决实际问题。
函数逼近
第七章 函数逼近用简单的函数p (x )近似地代替函数f (x )，是计算数学中最基本的概念和方法之一。
近似代替又称为逼近，函数f (x )称为被逼近的函数，p (x )称为逼近函数，两者之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项在计算数学里，所谓简单的函数主要是指可以用加、减、乘、除四则运算进行计算的函数，如有理分式函数、多项式等。
由于多项式最简单，计算其值只需用到加、减与乘三种运算，且求其微分和积分都很方便，所以常用它来作为逼近函数，而被逼近的函数f (x )一般是一个比较复杂的不易计算的函数或以表格形式给出的函数。
第六章介绍的插值法实际上也是函数逼近的一种方法。
不过，它要求函数p (x )与f (x )在节点处具有相同的函数值 (甚至要求有相同的导数值)，但在非节点处，p (x ) 虽然有可能很好地逼f (x )，但也可能使逼近f (x ) 的误差很大，如果实际问题要求p (x )在区间[a , b ] 上每一点都“很好”地逼近的话，用插值多项式p (x ) 去逼近f (x )有时就要失败，所谓龙格现象，就是典型一例。
大家知道，用f (x )的泰勒(Taylor)展开式)()()!1()()(!)()(!2)())(()()(010)1(00)(200000之间与在x x x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n n ξξ++-++-++-''+-'+=Λ的部分和去逼近函数f (x )，也是常用的方法。
这种方法的特点是：x 越接近于x 0，误差就越小，x 越偏离x 0，误差就越大。
若要使这种逼近在整个所讨论的区间上都达到精度要求，则需取很多项，这样，计算工作量就大大增加。
因此，如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题，这个问题的一般提法是：对于函数类A 中给定的函数f (x )，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类B (⊂ A )中寻找一个函数p (x )，使p (x )与f (x )之差在某种度量意义下最小。
函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数
函数逼近使用多项式和三角函数逼近函数函数逼近是数学中一个重要的概念，它允许我们使用简单的数学模型来近似更加复杂的函数。
在函数逼近中，多项式和三角函数是两种常见的逼近方法。
本文将介绍多项式和三角函数逼近函数的相关概念和应用。
一、多项式逼近函数多项式逼近是将给定的函数用多项式函数来近似的过程。
多项式逼近可通过拉格朗日插值法、牛顿插值法以及最小二乘法等方法实现。
这些方法都是通过在给定的区间内找到合适的多项式函数，使其与待逼近函数之间的误差最小化。
在拉格朗日插值法中，我们通过在给定的数据点上构造拉格朗日多项式，来逼近待求函数。
拉格朗日插值法的优点在于其简单易理解，但是在处理大规模数据时，计算量较大。
因此，牛顿插值法应运而生，它通过使用差商来构造逼近多项式，计算效率更高。
另一种常用的多项式逼近方法是最小二乘法。
最小二乘法通过将待逼近函数的残差平方和最小化来找到最佳的逼近多项式。
最小二乘法的优点在于能够处理一些非线性问题，并且具有较好的稳定性和数值精度。
二、三角函数逼近函数三角函数逼近是使用正弦函数和余弦函数来近似给定函数的过程。
正弦函数和余弦函数是周期性函数，具有良好的周期性特征，因此在一定范围内可以较好地逼近一些周期性函数。
在三角函数逼近中，我们通常使用傅里叶级数来表示待逼近函数。
傅里叶级数是将函数表示为一系列正弦函数和余弦函数的线性组合。
通过调整不同频率的正弦函数和余弦函数的系数，可以逐渐逼近待求函数。
三、多项式逼近与三角函数逼近的比较多项式逼近和三角函数逼近都是函数逼近的有效方法，但适用于不同的函数类型和问题。
在选择逼近方法时，需要根据问题的特点和需求做出明智的选择。
多项式逼近适用于大多数常见的函数类型，不受函数的周期性特征限制。
它可以逼近非周期性函数以及周期性函数，对于一些不规则的散点数据，多项式逼近也有很好的表现。
三角函数逼近更适用于一些周期性函数的逼近问题。
正弦函数和余弦函数作为周期性函数，可以很好地逼近一些展现出明显周期性特征的函数。
函数逼近的几种算法及其应用
函数逼近的几种算法及其应用函数逼近是数值计算中的一种重要技术，用于在给定的函数空间中找到与目标函数最相近的函数。
函数逼近算法可以在不知道目标函数解析表达式的情况下，通过对给定数据进行处理来逼近目标函数的结果。
这篇文章将介绍几种常见的函数逼近算法及其应用。
1.多项式逼近：多项式逼近是一种利用多项式函数逼近目标函数的方法。
多项式逼近算法有很多种，常见的有最小二乘法、拉格朗日插值法和牛顿插值法等。
多项式逼近广泛应用于数据拟合、信号处理和图像处理等领域。
最小二乘法是一种通过最小化实际观测值与多项式模型之间的差异来确定多项式系数的方法。
最小二乘法可以用于拟合非线性和线性函数。
拉格朗日插值法和牛顿插值法是通过插值多项式来逼近目标函数的方法，可以用于填充缺失数据或者生成曲线过程中的中间点。
2.三角函数逼近：三角函数逼近是一种利用三角函数来逼近目标函数的方法。
三角函数逼近算法有傅里叶级数逼近和小波变换等。
傅里叶级数逼近是一种利用三角函数的线性组合来逼近目标函数的方法。
这种方法广泛应用于信号处理、图像处理和数学建模等领域。
小波变换是一种通过特定的基函数来逼近目标函数的方法。
小波变换可以用于信号去噪、图像压缩和模式识别等应用。
3.插值逼近：插值逼近是一种通过已知数据点在给定区间内的函数值来确定目标函数的方法。
常见的插值逼近方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和差值多项式法等。
插值逼近广泛应用于任何需要通过已知数据点来逼近目标函数的领域。
在实际应用中，函数逼近常用于数据分析和模型构建。
例如，在金融领域，函数逼近可以用于确定股票价格走势的模型和预测。
在工程领域，函数逼近可以用于建立复杂系统的模型和优化控制。
在计算机图形学领域，函数逼近可以用于生成真实感图像和动画。
总结起来，函数逼近是一种重要的数值计算技术，有多种算法可供选择。
多项式逼近、三角函数逼近和插值逼近是常见的函数逼近算法。
函数逼近广泛应用于数据分析、模型构建和优化控制等领域，对于解决实际问题具有重要作用。
计算方法讲义：六 函数逼近
第六章 函数逼近用简单的函数近似代替复杂函数，是计算数学中最基本的方法之一。
近似又称为逼近，被逼近的函数与逼近函数之差)()()(x p x f x R -=称为逼近的误差或余项。
简单函数：仅用加、减、乘、除。
多项式是简单函数。
插值也可以理解为一种逼近形式。
用Taylor展开：10)1(00)(000)()!1()()(!)())(()()(++-++-+-'+=n n nn x x n f x x n x fx x x f x f x f ξ 的部分和逼近f (x )也是一种逼近方法，其特点是：x 越接近于x 0，误差就越小。
如何在给定精度下求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。
逼近的度量标准有：一致逼近和平方逼近。
6.1 函数内积本节介绍几个基本定义：权函数、内积、正交、正交函数系。
定义1 设ρ (x )定义在有限或无限区间[a , b ]上，若具有下列性质：(1) ρ(3) 对非负的连续函数g (x )，若⎰=ba dx x x g 0)()(ρ，则在(a ,b )上g (x ) ≡ 0，称ρ (x )为[a , b ]上的权函数。
常用权函数有：211)(],1,1[xx -=-ρ；x e x -=∞)(],,0[ρ；2)(],,[x e x -=∞+-∞ρ；1)(],1,1[=-x ρ等。
定义2 设f (x )，g (x ) ∈ C [a , b ]，ρ (x )是[a , b ]上的权函数，则称⎰=ba dx x g x f x g f )()()(),(ρ为f (x )与g (x )在[a ,b ]上以ρ (x )为权函数的内积。
内积有如下性质：(1) (f , f )≥0，且(f , f )=0 ⇔ f = 0；(2) (f , g ) = (g , f )；(3) (f 1 + f 2, g ) = (f 1, g ) + (f 2,g )；(4)对任意实数k ，(kf , g ) = k (f , g )。
《数值分析》第3讲：函数逼近与计算
函数的逼近与计算
pn * ( x) ? 1、Chebyshev给出如下概念
设 f ( x) C[a,b], 如p果( x) Hn ,
f (x)
|
p( x0 )
f
(
x0
)
|
max
a xb
|
p( x)
f ( x) |
p4 0*(x)
则称 x是0 偏差点。
如果 p( x0 ) f ( x0 ) 则称 x是0 正偏差点。
b
2a
a0 (
x ) 0 (
x)k
(
x)dx
b
b
2a an( x)n( x)k ( x)dx 2a ( x) f ( x)k ( x)dx
即
I ak
2a0 0( x),k ( x) 2a11( x),k ( x)
2an n( x),k ( x) 2 f ( x),k ( x)
函数的逼近与计算
则
1
1 1
2
n1
1 H 2
1 3
1 n2
1 n 1
1 n2
1 2n 1
例3.2 (P56)
已知 f ( x) 1 x2 C[0, 1], span{1, x}
则
1
(0 , 0 )
1dx 1,
0
(0 , 1)
1
1
xdx
0
2
(1, 0 )
1
1
xdx ,
▲ 1856年解决了椭圆积分的雅可比逆转问题，建立了椭圆函数 新结构的定理，一致收敛的解析函数项级数的和函数的解析性的 定理，圆环上解析函数的级数展开定理等。
函数的逼近与计算
3.6 三角多项式逼近与快速傅里叶变换
k =0
其中 w = exp( −i2 π / N ) (正变换) 或 w = exp( i2π / N ) (反变换)，
{ x k }( k = 0 ,1, L , N − 1) 是已知复数序列.
主讲: 施明辉 厦门大学
如直接用（6.9）计算 c j ，需要 N 次复数乘法和 N 次
复数加法，称为 N 个操作，计算全部
k
1 2=
0
x
(
k
2
k
1
k
0
)
w
⎥⎤ w j 0 ( k 2 k 1 k 0 ) ⎦
j1 ( k 1 k 0
0)
⎪⎫ ⎬
⋅
w
⎪⎭
j 2 ( k 0 00 )
若引入记号
⎧ A 0 ( k 2 k 1 k 0 ) = x ( k 2 k 1 k 0 ),
⎪
1
∑ ⎪
⎪⎪
A1 ( k1k 0
j0 )
=
A0 (k 2k1k0 )w
主讲: 施明辉 厦门大学
3.6.1 最佳平方三角逼近与三角插值
设 f ( x ) 是以2 π为周期的平方可积函数，用三角多
项式.
Sn
(x)
=
1 2
a0
+
a1
cos
x
+
b1
sin
x
+L
+
an
cos
nx
+
bn
sin
nx
（6.1）
做最佳平方逼近函数. 由于三角函数族
1 , cos x, sin x, L , cos kx, sin kx, L
k2 =0
数值分析--第3章 函数逼近和快速傅里叶变换-文档资料
则称 x1, , xn 线性相关. 否则，若等式(1.1)只对 成立， 0 1 2 n
, xn线性无关. 则称 x 1,
2019/2/17 课件 6
若线性空间 S是由 n 个线性无关元素 x1, , xn 生成的，
x S 都有 x x x 1 1 n n
, xn 称为空间 S 则 x1, 的一组基，记为
S span { x , , x } 1 n
并称空间 S 为n 维空间，系数 称为 x 在基 , 1, n
, , x1, , xn下的坐标， 记作 ( 1 n).
如果 S中有无限个线性无关元素 x , ,x , 则称 S 1 n, 为无限维线性空间.
n
的一组基，故
n H span { 1 , x , , x }, n
a ,a , ,a )是 p ( x ) 的坐标向量，H n 是 n 1 维的. 且( 0 1 n
2019/2/17
课件
8
对连续函数 f( ，它不能用有限个线性无关的 x ) C [ a , b ] 函数表示，故 C[a, b] 是无限维的，但它的任一元素 f ( x)
( x ) span { ( x ), ( x ), , ( x )} C [ a , b ]
0 1 n
可表示为
( x ) a ( x ) a ( x ) a ( x ). （1.4）
0 0 1 1 n n
*
*
函数逼近问题就是对任何 f( ， x ) C [ a , b ] 在子空间Φ
个代数多项式 p ( x ) ， 使
在 [ a , b ] 上一致成立. 伯恩斯坦1912年给出的证明是一种构造性证明. 他根据函数整体逼近的特性构造出伯恩斯坦多项式
ch函数逼近与计算
Ch3、函数逼近与计算§ 1、引言1、引例某气象仪器厂要在某仪器中设计一种专用计算芯片， 以便于计算观测中经常 遇到的三角函数以及其它初等函数.设计要求x 在区间a,b 中变化时，近似函数 在每一点的误差都要小于某一指定的正数 …① 由于插值法的特点是在区间 a,b 】中的n 1个节点处，插值函数P n (x)与被插值 函数f(x)无误差，而在其它点处P n(x) f(x).对于x=x i， P n(x)逼近f (x)的效 果可能很好，也可能很差.在本问题中要求P n(x)在区间a,b 中的每一点都要“很 好”地逼近f(x)，应用插值方法显然是不可行的，龙格现象就是典型的例证 . ② 可以采用泰勒展式解决本问题.将f (x)在特殊点x 0处做泰勒展开取其前n 1作为f (x)的近似，即P n (X )= f(x o ) f (X o )(X -X 。
)但泰勒展式仅对X 。
附近的点效果较好，为了使得远离 X 。
的点的误差也小于■:, 只好将项数n 取得相当大，这大大增加了计算量，降低了计算速度.因此，从数值 计算的角度来说，用泰勒展式做函数在区间上的近似计算是不合适的 •③ 引例提出了一个新的问题，即能否找到一个近似函数 P n (x)，比如说，它仍然 是一个n 次多项式，P n (x)不一定要在某些点处与f(X)相等，但P n (x)却在区间 a,b 中的每一点处都能“很好”地、“均匀”地逼近f (x ). 2、逼近问题对f(x)・ C[a,b]，求一个多项式p(x)，使f(x)-p(x)在某种衡量标准下最 小•① 一致逼近(均匀逼近)无穷范数：| f (x) - p(x^ = max f(x) - p(x)最小 ② 平方逼近(均方逼近)欧氏范数：f (x) - p(x) 2 - f (x) - p(x) Fdx 最小.f (x) = f (X 。
) f (x °)(x -X 。
第三章 函数逼近与计算
三、常用的度量标准：
(一) 最佳一致逼近
若以函数f (x)和P(x)的最大误差
max f x P x
x a ,b
f x P x
作为度量误差 f (x) － P (x) “大小”的标 在这种意义下 准, 的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。
(二) 最佳平方逼近：
.
2、最小偏差
定义
若记集合的下确界为
En inf f , P inf max f n
P H n n P H n n a x b
x Pn x
则称 E n 为 f x 在 a , b 上的最小偏差。
3、偏差点
定义 设 f x C a , b , P x H n , 若在 x x 0 上有
解得
x2 2 1 2 0 .4 5 5 1, f
x2
1 x 2 1 .0 9 8 6 .
由 a0
f a f x2 2
1
2
f b f a a x2 ba
a1 x2 2
.
得
2
0 .9 5 5 ,
a0
1 x2 2
推论3
设 f x 是区间 a , b 上的连续函数， f x 的 则
n 次最佳一致逼近多项式是 f x 的某个 n 次插值多
项式。
七、一次最佳逼近多项式 n 1
1、推导过程
设
f
f
x C a , b ，且
2f Leabharlann x 在 a , b 内不变号， 要求
1
函数逼近与快速傅里叶变换
1 x1 n xn 0,
（1.1）
, xn 否则，则称 x1 , 线性无关 .
n (1) x1 , , xn 是线性空间 中 S 个线性无关的元素 (2)对x S 都有 x 1 x1 n xn , xn 则 x1 , 称为空间 的一组基， 记 S span{ x1 ,, xn } S
17
2015/8/10
函数逼近与快速傅立叶变换
在 中，满足‖ · ‖2 =1 ，即 x1 的向量 x2 1 R2 为单位圆; 满足‖· , x2 } 1 ‖∞ =1 ，即 max{ x1 的向量为
2
2
单位正方形. 2)、连续函数空间 C[a, 的范数，若 b] 定义三种常用范数如下： f max f ( x ) , 范数，
第3章 函数逼近与快速傅里叶变换
Approximation of Function and Fast Fourier Transform
3.1 函数逼近的基本概念
3.2 正交多项式
3.3 最佳平方逼近
3.4 曲线拟合的最小二乘法
3.5 有理逼近
3.6 三角多项式与快速傅里叶变换
2015/8/10 函数逼近与快速傅立叶变换 1
f
f
1
2
f ( x), C[a, b]
a xb b
a
b a
f ( x ) dx ,1-范数，
(
2f 2 ( x )dx )范数 , .
1 2
线性空间 + 赋范数 = 赋范线性空间
3.1.3 内积与内积空间 线性空间 + 赋内积 = 内积空间
R n 中两个向量 x ( x1 , , xn )T及 y ( y1 , , yn )T 内积 ( x , y ) x1 y1 xn yn . （1.5）
数值分析第三章函数逼近与快速傅立叶变换 ppt课件
45
x１＝1/(2a１)２. 因为x=0,1为交错点，由〔x-(a0+a1x)〕x=0＝〔x-(a0+a1x)〕 得 a1=1
将a１＝１代入x１＝1/(2a１)２得x１＝1/4.
〔x-(a0+a1x)〕x1=1/4＝-〔x-(a0+a1x)〕x2=1 得a０＝1/8
说明n次多项式Q(x)至少在［a,b］上有n+1个根， 矛盾.
‖f(x)- pn(x)‖∞≤‖f(x)-qn(x)‖∞.
36
三、关于最佳一致逼近多项式的求解
定理 在区间1,1] 上所有最高次项系数为1的n次多项式中，
n(x)21n1Tnx 与零的偏差最小，其最小偏差为
1 2 n1
对任意首一n次多项式f(x)，Chebyshev多项式 对零的一致误差最小
13
3.2 正交多项式
定义1：设
f(x )g ( ,x ) c a ,b ,称 a b(x )f(x )g (x ) d 为 x
f(x),g(x)关于权(x)的内积，记为(f, g).
定义2 如果函数f(x), g(x) 在[a,b]上连续,满足
a b(x)f(x)g(x)d x0
则称f(x)与g(x)在[a,b]上关于权 (x)正交,如果[a,b]
第三章 函数逼近与 快速傅立叶变换
1
3.1 函数逼近的基本知识
第三章 第一节
函数逼近:用比较简单的函数代替复杂的函数 误差为最小，即距离为最小（不同的度量意义）
对同一个被逼近函数，不同度量意义下的逼近， 逼近函数是不同的.
2
精品资料
• 你怎么称呼老师？ • 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你
函数逼近法python
函数逼近法python
函数逼近法是一种数值分析方法，用于以一系列简单函数的线性组合来逼近复杂函数。
在Python中，可以使用多项式逼近、三角函数逼近等方法实现函数逼近。
多项式逼近是指将待逼近函数表示为若干次多项式的和的形式。
在Python中，可以使用numpy.polyfit()函数实现多项式逼近。
该函数可以输入待逼近的数据点和多项式的次数，返回多项式系数。
三角函数逼近是指将待逼近函数表示为三角函数的线性组合的
形式。
在Python中，可以使用scipy.fft()函数和np.fft.ifft()
函数实现三角函数逼近。
具体步骤是将待逼近的数据进行离散傅里叶变换，然后只保留前几项系数，再进行傅里叶逆变换，得到逼近函数。
函数逼近法在数值计算中有着广泛的应用，在信号处理、图像处理、机器学习等领域都有着重要的地位。
Python提供了丰富的函数库和工具，使得函数逼近法的实现变得简单而高效。
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Pade 逼近
设 f (x) CN+1(-a, a), N=m+n, 若有理函数
Pn ( x ) a0 a1 x an x n Rnm ( x ) Qm ( x ) 1 b1 x bm x m
(k) Rnm (0) f ( k ) (0)
其中 Pn(x) 与 Qm(x) 无公因式，且满足 k = 0, 1, …, N
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DFT
令 N e
i 2π N
2π 2π cos i sin N N
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
an cos( nx ) bn sin( nx )
2 2m 2πjk ak 2m 1 y j cos 2m 1 ( k = 0, 1, … , n ) j 0 其中 2m 2 2πjk ( k = 1, 2, … , n ) b y sin k j 2m 1 2 m 1 j 0 n<m
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三角插值
三角插值
当 n=m 时可以证明
Sn ( x j ) y j
( j = 0, 1,ห้องสมุดไป่ตู้… , 2m )
故 Sn(x) 为 f(x) 在点集 x0, x1, , x2m 上的三角插值
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DFT
考虑在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族：
1, e , e , e ,
an x n bm x m
若函数在某些点附近无界时，则使用有理逼近 可能会取得较好的逼近效果
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举例
2 3 4 x x x 例： ln(1 x ) x 2 3 4
xk ( 1) k k 1
k
ln(1 x ) 1
x x
Taylor 展开
x 2 连分式 22 x 3 22 x 4 5 6x 3x2 R22 ( x ) 6 6 x x2 420 x 630 x 2 260 x 3 25 x 4 R44 ( x ) ex35.m 2 3 4 420 840 x 540 x 120 x 6 x
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则称 Rnm(x) 为 f(x) 在 x=0 处的 (n, m) 阶 Pade 逼近
三角多项式逼近
在 [0, 2] 上带权 (x)=1 的正交三角函数族： 1，cos x，sin x，sin 2x，cos 2x，…
三角多项式逼近
设 f (x) 是以 2 为周期的平方可积函数，则可利 用上面的三角函数族对其进行数值逼近。
n1
ikπ
1 其中 ck N
N 1 j 0
ye
j
ikj
2 N
( k = 0, 1, … , n-1 ) 当 n=N 时，Sn(x) 即为 f(x) 在 x0, x1, , xn-1 上的插值函数
y j ck e
k 0
N 1
ikj
2 N
离散 Fourier 逆变换 ( j = 0, 1, … , N-1 )
计算方法
第三章
函数逼近与FFT
—— 有理逼近、三角函数逼近与FFT
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本节内容
有理函数逼近
有理逼近与连分式 Pade 逼近
三角函数逼近
最佳平方逼近 最小二乘 FFT（快速 Fourier 变换）
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有理逼近
有理逼近
用有理函数来做函数逼近
Pn ( x ) a0 a1 x Rnm ( x ) Qm ( x ) b0 b1 x
三角函数逼近主要用于周期函数的数值逼近
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最佳平方三角逼近
最佳平方三角逼近 f (x) 以 2 为周期且平方可积，则其在 [0, 2] 上 的最佳平方三角逼近为
a0 Sn ( x ) a1 cos( x ) b1 sin( x ) 2
其中
an cos( nx ) bn sin( nx )
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DFT
设 f (x) 以 2 为周期的复函数，给定函数值 ( xj, yj )，其中 2 jπ xj , j 0,1, ..., N 1 离散 Fourier 变换 N 则 f(x) 的最小二乘 Fourier 逼近为 (n m)
Sn ( x ) ck e
k 0
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Pade 逼近
设 f (x) 的Taylor 展开为 f ( x )
k 1 N
f ( k ) (0) k f ( N 1) ( ) N 1 x x k! ( N 1)!
部分和记为 PN ( x )
k 1
N
f ( k ) (0) k N x ck x k k! k 1
三角多项式逼近
结论 若 f ’(x) 在 [0, 2] 上分段连续，则
S( x ) lim Sn ( x ) f ( x )
n
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最小二乘
2 jπ , j 0,1, ..., N 1 若只给出离散数据 ( xj, yj )，其中 x j N
则可类似地得到 f(x) 离散 Fourier 逼近 (假定 N=2m+1)
1 2π ak f ( x ) cos( kx ) dx ( k = 0, 1, … , n-1 ) π 0 2π b 1 f ( x ) sin( kx ) dx ( k = 1, 2, … , n-1 ) k 0 π
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当 n 趋于无穷大时，Sn(x) 即为 f(x) 的 Fourier 展开
ikx
ix
2 ix
3 ix
,e
( N 1) ix
这里的 i 是虚部单位
2 jπ 则 e 在 x j N , j 0,1, ..., N 1 处的函数值为 1 ik 2 π N 1 i ( j k ) l 2 e N 0, j k N k j , k e l 0 N , j k ik 2( N 1) π N e 离散正交