(教案)高三二轮复习专题：概率、统计和导数

概率、统计与导数

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一、考试内容随机事件的概率，等可能性事件的概率，互斥事件、相互独立事件同时发生的概率，独立重复试验.

抽样方法，总体分布的估计，总体期望值和方差的估计.

导数的背景，多项式函数的导数.

利用多项式研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值.

二、考试要求

1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

2. 了解等可能事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.

3.了解互斥事件与相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率.

4. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率.

5. 了解随机抽样，了解分层抽样的意义，会对简单实际问题进行抽样.

6. 会用样本频率分布估计总体分布.

7. 会用样本平均数估计总体期望值，会用样本的方差估计总体方差.

8. 了解导数概念的实际背景.

9. 理解导数的几何意义. 切线斜率=该点处导数值.

10. 掌握函数 y＝x n ( n ∈z) 的导数公式，会求多项式函

数的导数.

11. 理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间，极大值、极小值及闭区间上的最大、最小值.

12.会利用导数求最大值和最小值的方法，解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题.

二、考点简析

1.概率

(1)随机事件及其概率

①理清“频率”与“概率”之间的关系

②随机事件概率的取值范围0

m

(2)等可能事件的概率：P(A)＝

n

(3)互斥事件有一发生的概率

互斥事件就是不可能同时发生的事件P(A＋B)＝P(A)＋P(B)对

立事件：其中必有一个发生的互斥事件，对立事件必互斥.互

斥事件不一定对立，对立事件公式：P(A)＋P(A)＝1

(4)相互独立事件同时发生的概率

相互独立是指其中一个事件是否发生对另一个事件的发生的

概率没有影响.

要注意“互斥”与“相互独立”的区别.

(5)独立重复试验.

“独立”是指每次试验的结果与其他各次试验的结果无关.

“重复”是指试验为一系列试验，试验并非一次而是多次.

独立重复试验的概率公式为

P n ( k)＝C k n P k (1－P)n-k . 2. 统计

(1) 抽样方法

简单随机抽样：对于一个总体，只要是通过逐个抽取的方法从

中抽取一个样本，而且每次抽取时各个个体被抽到的概率相

等，这样的抽样方法叫简单随机抽样.

分层抽样：将总体中的个体按不同特点分类，形成几个层次上

的不同部分，然后按照各部分所占的比重实施抽样，这样的抽

样方法叫分层抽样.

(2) 总体分布的估计

频数 频率 累积频率 直方图

(3) 总体的期望和方差

总体的期望和方差用样本的期望值和方差来估计.

样本的平均数(期望值)x ＝n 1( x 1+x 2+…+x n )

方差：S 2＝n 1［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －

x )2］ 方差：S*2＝

11n -［( x 1－x 1 )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2］ 3. 导数

(1) 定义式 f ′(x)＝ lim

0→∆x x

x f x x f ∆-∆+)()(=lim 0→∆x x y ∆∆ (2) 几何意义 k ＝f ′(x 0)＝tanx ，切线方程为：y －y 0＝k(x －x 0)

(3) 多项式函数求导法则(x n)′＝nx n-1.

(4) 函数单调性判别方法(如图12-1、图12-2所示)

x∈(a，b)，f′(x)＞0 x∈(a，b)，f′(x)＜0

f(x)在(a,b)内递增f(x)在(a，b)内递减图12-1 图12-2

(5) 函数极值判别法(如图12-3、图12-4所示)

a＜x＜x0，f′(x)＞0a＜x＜x o，f′(x)＜0 x0＜x＜b，f′(x)＜0 x o＜x＜b，f′(x)＞0 f′(x0)＝0f f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内，f(x)max＝f(x o) f(x)在(a，b)内，f(x)min＝f(x o) 图12-3 图12-4

(6) 最值方法步骤

①求f(x)在(a，b)中极值;

②求f(a)，f(b);

③比较f(a)，f(b)与极值大小.

四、思想方法

本讲涉及的思维方法有：观察与试验，分析与综合，一般化与特殊化，联想与猜想，抽象与概括，类比等.

【典型例题】

【例1】采用系统抽样法，从121人中抽取一个容量为12的样本，求每个人被抽取的概率.

【解】用系统抽样法，要先从121中剔除1人，然后将120人分为12组，每组10人，在每组中抽1人，则不被剔除的概率为120 /121 ，分组后被抽取的概率为1 /10 ，

∴被抽取的概率为 120112 12110121

⋅=

【例2】甲、乙两人各进行一次射击，甲击中目标的概率是0.8，乙击中目标的概率是0.6，求：

(1)两人都击中目标的概率；

(2)恰有一人击中目标的概率；

(3)至少一人击中目标的概率.

【解】设A＝｛甲射击一次击中目标｝，B＝｛乙射击一次击中目标｝，

A、B是相互独立事件.P(A)＝0,8，P(B)＝0.6 .

(1) P(A·B)＝P(A)·P(B)＝0.8×0.6＝0.48 .

(2)恰有一人击中目标，即两个互斥事件 A·B与A·B 中有

一个发生，

P(A B＋A·B)＝ P(A B)＋P(A·B) ＝P(A)·［1－P(B)］＋［1