初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式

合集下载

七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式(word打印版)

七年级竞赛数学培优辅导——乘法公式甲内容提要1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2,平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33.公式的推广：①多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得a2+b2=(a+b)2－2ab由(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

《乘法公式》课件2-优质公开课-北京版7下精品

结论
我们把 (a+b)(a-b)= a2 -b2 叫做平方差公式.
也就是：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.
概括总结
公式中的字母的意义很广泛,可以代表常数, 单项式或多项式
平方差公式的特征：（1）等号左边是两个数(字母)的和乘以这两个数(字母)的差.
（2）等号右边是这两个数(字母)的平方差.
概念
两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍. 我们把这个规律叫做两数差的完全平方公式
(a-b)2=a2-2ab+b2
两数和与两数差的完全平方公式，统称为完全平方公式.
例题解析
例3 运用两数差的完全平方公式计算： (1)(2x 1)2;(2)(3m 2n)2 .
解：(1)(2x 1)2 (2x)2 2 2 x 1 12 4x2 4x 1; (2)(3m 2n)2 (3m)2 2 3m 2n (2n)2 9m2 12mn 4n2 .
概念
两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍. 我们把这个规律叫做两数和的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2
例题解析
例1 运用两数和的完全平方公式计算： (1)( x 3)2;(2)(3m 4n)2 .
解：(1)( x 3)2 x2 2 x 3 32 x2 6x 9;
注：必须符合平方差公式特征的代数式才能用平方差公式
动脑筋你能快速算出多项式(2m+3n)与
多项式(2m-3n)的乘积吗？
可以这样做！
如果把2m与3n分别看成上式的a与b，不就可以直接得到结果吗？

乘法公式ppt课件

感悟新知
(2)几何图形证明法(数形结合思想)
知2－讲
图14.2－2 ①：大正方形的面积为(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab；
图14.2－2 ②：左下角正方形的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
感悟新知
知2－讲
3. 完全平方公式的几种常见变形
(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；
原式＝x2－4xy＋4y2；
(4)(－2xy－1)2.
原式＝4x2y2＋4xy＋1.
感悟新知
知2－练

2
例 4 计算：(1)999 ；(2) .
解题秘方：将原数转化成符合完全平方公式的形式，再
利用完全平方公式展开计算即可.
感悟新知
(1)9992；
知2－练
解：9992＝(1 000－1)2＝1 0002－2×1 000×1＋12
(2)(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab；
(3)(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(4)(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)；
(5)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab；
感悟新知
知2－讲

2
2
2
(6)ab＝［(a＋b) －(a ＋b )］＝

［(a＋b)2－(a－b)2］；
(7)(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc；
公式进行计算.
感悟新知
知2－练
(1)(x＋7y)2；
解：(x＋7y)2＝x2＋2·x·(7y)＋(7y)2
括号不能漏掉.
＝x2＋14xy＋49y2；
(2)(－4a＋5b)2；
(－4a＋5b)2 ＝(5b－4a)2

人教版初一数学培优竞赛讲炼教程：乘法公式

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（14）乘法公式【知识精读】1．乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。

2．基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

②二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5）…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律③由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4(a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n－1－a2n－2b+a2n－3b2－…＋ab2n－2－b2n－1)=a2n－b2n(a+b)(a2n－a2n－1b+a2n－2b2－…－ab2n－1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（a－b）(a n－1+a n－2b+a n－3b2+…＋ab n－2+b n－1)=a n－b n　4.公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)由公式的推广③可知：当n为正整数时a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。

八年级数学上-乘法公式省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

如图（2）中，大正方形旳边长是a，它旳面积是a2；矩形 DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是a，宽都是b，所以它们旳面积都是a•b；正方形HCGM 旳边长是b，其面积就是b2；
正方形AFME旳边长是（a-b），所以它旳面积是(ab)2．从图中能够看出正方形AEMF旳面积等于正方形 ABCD旳面积减去两个矩形DCGE和BCHF旳面积再加上正方形HCGM旳面积．也就是：(a-b)2=a22ab+b2．这也恰好符合完全平方公式．
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘旳法则：多项式与多项式相乘，先用一种多项式旳每一项乘另一种多项式旳每一项，再把所得旳积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发觉什么规律？
(1) (x+1)(x－1)； (3) (3－x)(3+x) ；
(2) (a+2)(a－2)； (4) (2x+1)(2x－1).
数学源于生活，又服务于生活，于是我们能够进一步了解完全平方公式旳构造特征．目前，大家能够轻松解开课时提出旳老人用糖招待孩子旳问题了．
(a+b)2-(a2+b2) =a2+2ab+b2-a2-b2=2ab．于是得孩子们第三天得到旳糖果总数比前两天他们得到旳糖果总数多2ab块．
例3 利用完全平方公式计算:
a
a
a-b a-b
b
a
b
a-b b
快乐学习1：
利用平方差公式计算
( 3x+2 )( 3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4 (b+2a)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2

2023年初中数学培优竞赛讲座第讲乘法公式

第十八讲乘法公式乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出的既有特殊性、又有实用性的具体结论，在复杂的数值计算，代数式的化简求值、代数式的恒等变形、代数等式的证明等方面有着广泛的应用，在学习乘法公式时，应当做到以下几点：1．熟悉每个公式的结构特性，理解掌握公式；2．根据待求式的特点，模仿套用公式；3．对公式中字母的全面理解，灵活运用公式；4．既能正用、又可逆用且能适当变形或重新组合，综合运用公式．例题【例1】 (1)已知两个连续奇数的平方差为2023，则这两个连续奇数可以是．(江苏省竞赛题)(2)已知(2023一a)(1998一a)=1999，那么(2023一a)2+(1998一a)2= ． (重庆市竞赛题) 思绪点拨 (1)建立两个连续奇数的方程组；(2)视(2023一a)·(1998一a)为整体，由平方和想到完全平方公式及其变形．注：公式是如何得出来的?一种是由已知的公式，通过推导，得到一些新的公式；另一种是从大量的特殊的数量关系入手，并用字母表达数来揭示一类数量关系的一般规律—一公式．从特殊到一般的过程是人类结识事物的一般规律，而观测、发现、归纳是发现数学规律最常用的方法．乘法公式常用的变形有：(1)ab b a b a 2)(222 ±=+，2)()(2)()(222222b a b a b a b a ab --+=+-+=． (2)222222)()(b a b a b a +=-++；(3) ab b a b a 4)()(22=--+；（4）4)()(22b a b a ab --+=，)(2)(2222ac bc ab c b a c b a ++-++=++ 【例2】若x 是不为0的有理数，已知)12)(12(22+-++=x x x x M ，)1)(1(22+-++=x x x x N ，则M 与N 的大小是（） A ．M>N B ． M<N C ． M=N D ．无法拟定思绪点拨运用乘法公式，在化简M 、N 的基础上，作差比较它们的大小．【例3】计算：(1)6(7十1)(72十1)(74十1)(78十1)+1； (天津市竞赛题)(2)1.345×0.345×2.69—1.3452一1.345×0.3452． (江苏省竞赛题)思绪点拨若按部就班计算，显然较繁．能否用乘法公式，简化计算，关键是对待求式恰当变形，使之符合乘法公式的结构特性，对于(2)，由于数字之间有联系，可用字母表达数(称为换元)，将数值计算转化为式的计算，更能反映问题的本质特性．【例4】 (1)已知x 、y 满足x 2十y 2十45＝2x 十y ，求代数式y x xy +的值． (“希望杯”邀请赛试题) (2)整数x ，y 满足不等式y x y x 22122+≤++，求x+y 的值． (第14届“希望杯”邀请赛试题)(3)同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整．甲商场：第一次提价的百分率为a ，第二次提价的百分率为b ，乙商场：两次提价的百分率都是2b a +(a>0，b>o)，丙商场：第一次提价的百分率为b ，第二次提价的百分率为a ，则哪个商场提价最多?说明理由． (河北省竞赛题)思绪点拔对于(1)，(2)两个未知数一个等式或不等式，须运用特殊方法与手段方能求出x 、y 的值，由平方和想到完全平方公式及其逆用，解题的关键是拆项与重组；对于(3)把三个商场经两次提价后的价格用代数式表达，作差比较它们的大小．注：有些问题经常不能直接使用公式，而需要发明条件，使之符合乘法公式的特点，才干使用公式．常见的方法是：分组、结合，拆添项、字母化等．完全平方公式逆用可得到两个应用广泛的结论： (1)0)(2222≥±=+±b a b ab a ；揭示式子的非负性，运用非负数及其性质解题． (2)ab b a 222≥+应用于代数式的最值问题．代数等式的证明有以下两种基本方法：(1) 由繁到简，从一边推向另一边； (2)相向而行，寻找代换的等量．【例5】已知a 、b 、c 均为正整数，且满足222c b a =+，又a 为质数．证明：(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数．思绪点拨从222c b a =+的变形入手；222b c a -=，运用质数、奇偶数性质证明．学力训练1．观测下列各式：(x 一1)(x+1)＝x 2一l ；(x 一1)(x 2+x+1)=x 3一1；(x 一1)(x 3十x 2+x+1)=x 4一1．根据前面的规律可得(x 一1)(x n +x n-1+…+x+1)= ． (武汉市中考题) 2．已知052422=+-++b a b a ，则ba b a -+= ． (杭州市中考题) 3．计算：(1)1.23452+0.76552+2.469×0.7655：；(2)19492一19502+19512一19522+…+19972一19982+19992 = ； (3)2199919991999199719991998222-+ ．4．如图是用四张全等的矩形纸片拼成的图形，请运用图中空白部分的面积的不同表达方法写出一个关于a 、b 的恒等式． (大原市中考题)5．已知51=+a a ，则2241aa a ++= ． (菏泽市中考题) 6．已知5,3-=+=-cb b a ，则代数式ab a bc ac -+-2的值为( )．A ．一15B ．一2C ．一6D ．6 (扬州市中考题) 7．乘积)200011)(199911()311)(211(2222----等于( )． A ．20001999 B ．20002001 C ．40001999 D ．40002001 (重庆市竞赛题) 8．若4,222=+=-y x y x ，则20022002y x +的值是( )．A ．4B ．20232C ． 22023D ．420239．若01132=+-x x ，则441xx +的个位数字是( )． A ．1 B ．3 C ． 5 D ．710．如图①，在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a>b)，把余下的部分剪拼成一个矩形(如图②)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，验证了一个等式，则这个等式是( )．A ．))((22b a b a b a -+=-B ．2222)(b ab a b a ++=+C ．2222)(b ab a b a +-=-D ．222))(2(b ab a b a b a -+=-+ (陕西省中考题)11．(1)设x+2z ＝3z ，判断x 2一9y 2+4z 2+4xz 的值是不是定值?假如是定值，求出它的值；否则请说明理由．(2)已知x 2一2x=2，将下式先化简，再求值：(x —1)2+(x+3)(x 一3)+(x 一3)(x 一1)． (上海市中考题)12．一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数．13．观测：2514321=+⋅⋅⋅21115432=+⋅⋅⋅21916543=+⋅⋅⋅……(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；(2)根据(1)，计算2023×2023×2023×2023+1的结果(用一个最简式子表达)． (黄冈市竞赛题)14．你能不久算出19952吗?为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成l0n+5(n 为自然数)，即求(10n+5)2的值，试分析 n=1，n=2，n ＝3……这些简朴情形，从中探索其规律，并归纳猜想出结论．(1)通过计算，探索规律．152225可写成100×1×(1+1)+25；252=625可写成100×2×(2+1)+25；352=1225可写成100× 3×(3+1)+25；452＝2025可写成100×4×(4+1)+25；……752＝5625可写成；852＝7225可写成．(2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得(10n+5)2= ．(3)根据上面的归纳猜想，请算出19952＝． (福建省三明市中者题)15．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． (天津市选拔赛试题)16．(1)若x+y ＝10，x 3+y 3=100，则x 2+y 2＝．(2)若a-b=3，则a 3-b 3-9ab ＝．17．1，2，3，……，98共98个自然数中，可以表达成两整数的平方差的个数是． (初中数学联赛)18．已知a-b=4，ab+c 2+4=0，则a+b=( )． A ．4 B ．0 C ．2 D ．一219．方程x 2-y 2=1991，共有( )组整数解． A ．6 B ．7 C ．8 D ．920．已知a 、b 满足等式)2(4,2022a b y b a x -=++=，则x 、y 的大小关系是( )．A ．x ≤yB ．x ≥yC ．x<yD ．x>y (大原市竞赛题)21．已知a=1999x+2023，b ＝1999x+2023，c ＝1999x+2023，则多项式a 2+b 2+c 2一ab —bc-ac 的值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 (全国初中数学竞赛题)22．设a+b=1，a 2+b 2=2，求a 7+b 7的值． (西安市竞赛题)23．已知a 满足等式a 2-a-1=0，求代数式487-+a a 的值． (河北省竞赛题)24．若b a y x +=+，且2222b a y x +=+，求证：1997199719971997b a y x+=+． (北京市竞赛题)25．有l0位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场)，用xl ，y 1顺次表达第一号选手胜与负的场数；用x 2，y 2顺次表达第二号选手胜与负的场数；……；用x 10、y 10顺次表达十号选手胜与负的场数．求证：21022212102221y y y x x x +++=+++ ．26．（1）请观测： 222233*********,335112225,351225,525====写出表达一般规律的等式，并加以证明．(2)26＝52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选此外两个类似26、53的数，使它们能表达成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗?你能说出其中的道理吗?注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过度析，可发现其中的奥秘．瑞士数学家欧拉曾对26(2)的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表达为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表达为四个平方数之和．即(a 2+b 2+c 2十d 2)(e 2+f 2+g 2+h 2)=A 2+B 2+C 2+D 2．这就是著名的欧拉恒等式．第十八讲乘法公式参考答案。

(精品)数学讲义七年级同步第18讲：分式的乘除-教师版

本节教材是初中数学的重要内容之一．一方面，这是在学习了分式基本性质、分式的约分和因式分解的之后，进一步学习分式的乘除法；另一方面，又为学习分式加减法和分式方程等知识奠定了基础．因此，本节课起着承前启后的作用．一、分式的乘除：1.分式的乘法：两个分式相乘，将分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，用式子表示A C ACB D BD⋅=．2.分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母各自乘方．即n nnA AB B⎛⎫=⎪⎝⎭．【例1】计算：（1）2234a ba⋅；（2）223y xx y⋅．【难度】★【答案】（1）ab61；（2）y32．【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．分式的乘除知识结构知识精讲内容分析模块一：分式的乘法例题解析【例2】计算：()()2332339y x x x y +-⋅-．【难度】★【答案】()yx y x 362332+=+．【解析】考察分式的乘法法则，注意先约分，后计算．【例3】计算：（1）323⎛⎫⎪⎝⎭；（2）222x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【难度】★【答案】（1）278；（2）244x y ．【解析】考察分式乘方的法则．【例4】计算：422ab a b ⎛⎫⎪⎝⎭．【难度】★【答案】44ab ．【解析】442424=ab b b a b a a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例5】计算：242212x x x x -+⋅+-．【难度】★★ 【答案】42--x ．【解析】()()()22221422=241212x x x x x x x x x x+-+-+⋅⋅=--+-+-．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例6】计算：224422x xy y xx y x y-+⋅+-．【难度】★★ 【答案】yx xyx 222+-．【解析】()()222222442222222x y x x y x xy y x xx xy x y x y x y x y x y x y---+-⋅=⋅==+-+-++．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例7】计算：2422368()()4x xx y y x y⋅-⋅．【难度】★★ 【答案】236yx -．【解析】242422222368368()()3644x x x y x xx y x y y x y y x y⋅⋅⋅-⋅=-=-⋅．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．【例8】计算：32422329yz xz x x y yz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★★【答案】3432x z y -．【解析】324236224343244323481298812yz xz x y z x z x x z x y yz x y y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅-⋅=-⋅⋅=- ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘方法则的运用．【例9】计算：当99a =时，()221121614a a a-⋅-+的值是多少？【难度】★★★【答案】10750【解析】∵()()()()()()221111112161428128a a a a a a a a a +-⋅=+-⋅=-++-+，∴当99a =时，原式=()107508992199=+⨯+．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用，注意先约分，后计算．4/ 19一、分式的除法法则：分式除以分式，将除式的分子和分母颠倒位置后，再与被除式相乘．用公式表示为A C A D ADB D BC BC ÷=⋅=．【例10】计算：（1）25103m m n n -⎛⎫÷⎪⎝⎭；（2）2236102y y x x÷；（3）2222()()64y y x x÷-．【难度】★ 【答案】（1）m 23-；（2）y x 10；（3）2294yx ．【解析】主要考察分式的除法法则的运用．【例11】计算：（1）211231x x x x x ++÷+--；（2）222222242a b a b a ab b ab a b--÷-+-；（3）221()1+1x x x -÷+．【难度】★【答案】（1）31+x ；（2）(2)()ab a b b a +-；（3）142-x ．【解析】（1）()()2111112313113x x x x x x x x x x x +++-÷=⋅=+--+-++；（2）()()()()2222222242222(2)()ab b a a b a b a b aba ab b ab a b a b a b a b b a a b ----÷=⋅=-+-+-+--；（3）()()()222214144()1+111111x x x x x x x x x -+÷=⋅==+-+--+．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．模块二：分式的除法知识精讲例题解析【例12】代数式211x xx x +÷--有意义，则x 的取值范围是（）． A 、1x ≠B 、10x x ≠≠且C 、21x x ≠-≠且D 、20x x ≠-≠且【难度】★ 【答案】B【解析】考察分式有意义的条件分母不为0．【例13】计算：34222a ab a b c ac ⎛⎫⎛⎫+-÷ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】()()47b a b a ca -+-．【解析】()()()()()34332224474443a ab a ab a b ac a cc ac c a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫+-÷=-⋅=- ⎪ ⎪--+-+-⎝⎭⎝⎭．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例14】计算：22222662x x x x x x x x --+-÷--+-．【难度】★★【答案】9122--x x ．【解析】()()()()()()()()()()()()222222212111261623232339x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-+---+--÷=⋅==--+--++--+-．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【例15】计算：222221211()()22x x x x x x x x --+÷÷---+．【难度】★★ 【答案】xx -22．【解析】原式()()()()()222222121211x x x x x x x --=⋅⋅+-+-22x x=-．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．6/ 19【例16】求值：已知6,2a b ab +==-，求代数式()()224466a b a b a b ab+-÷÷-的值．【难度】★★★ 【答案】-2【解析】()()224466a b a b a b ab+-÷÷-()()()()()()6612222b a ab b a b a ab b a b a b a +=-⋅+⋅+-+=已知62a b ab +==-，，∴原式=2662-=⨯-．【总结】本题一方面考查分式的除法的运算，另一方面考查整体代入思想的运用．一、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算，有括号先算括号里的，没有括号按从左到右的顺序计算．【注意】1、在分式除法运算中，除式或（被除式）是整式时，可以看作分母是1的分式，然后按照分式的乘除法的法则计算．2、要注意运算顺序，对于分式的乘除来讲，它只含同级乘除运算，而在同级运算中，如果没有附加条件（如括号等），那么就应该按照由左到右的顺序计算．模块三：分式的乘除混合运算知识精讲【例17】桶中装有液状纯农药a 升，刚好一满桶，第一次倒出8升后用水加满，第二次倒出混合药4升，则这4升混合药液中的含药量为（）升． A 、32aB 、4(8)a a -C 、24(8)a a - D 、48a - 【难度】★ 【答案】B【解析】这4升混合药液中的含药量百分比为aa 8-．【总结】本题主要考查了学生对含药量的理解．【例18】大拖拉机m 天耕地a 公顷，小拖拉机n 天耕地b 公顷，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率（）倍． A 、a b B 、nmC 、anbmD 、ab mn【难度】★【答案】C【解析】bmann b m a =÷．【总结】本题主要考查分式的除法的运用．【例19】在下列各式中：①222()mn a b -；②42528m n an a b bm -⋅；③2222()()m nb ab a-⋅；④2322mn a ab m ÷，相等的两个式子是（）．A 、①②B 、①③C 、②③D 、③④【难度】★ 【答案】B【解析】①22224224()mn m n a b a b -=；②4223524288m n an m n a b bm a b-⋅=-；③2222222224242244()()m nb m n b m n ab a a b a a b -⋅=⋅=； ④2322222342222mn a mn m m n ab m ab a a b÷=⋅=．【总结】本题主要考查分式的乘除运算，在计算时要注意法则的准确运用．例题解析【例20】下列各式计算正确的是（）． A 、1x y x y÷⋅=B 、1x y x y ⋅÷⋅=C 、21111x x x÷⋅=D 、211x x x÷÷= 【难度】★★ 【答案】C【解析】A 正确答案为211x xx y y y y y÷⋅=⋅=； B 正确答案为2x y x y y y y ⋅÷⋅=⋅=；D 正确答案为2221x x x x x x x÷÷=⋅÷=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例21】计算：31a a a÷⋅．【难度】★★ 【答案】a ．【解析】3211a a a a a a÷⋅=⋅=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例22】计算：()234a a a b b b ⎛⎫⎛⎫-⋅-÷- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】6b a．【解析】()2323423461a a a a a a b b b b b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⋅-÷-=⋅-⋅-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一定要注意运算顺序．【例23】计算：22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy-+++-÷⋅-----．【难度】★★【答案】x y zx y--+．【解析】22222222222()()x y x xy y x xy xzx y z x y z x xy -+++-÷⋅-----()()()()()()()()()2x y x y x y x x y z x y z x y z x y z x y z x x y -+++-=÷⋅-++----+-()()()()()()()()()2x y x y x y z x y z x x y z x y z x y z x x y x y -+---++-=⨯⋅-++--+ x y zx y--=+．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在运算时一要注意运算顺序，二要注意先约分后化简．【例24】若1x x=，求234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭的值．【难度】★★★ 【答案】1±【解析】234433x x x x x x x --+⎛⎫÷⋅- ⎪+⎝⎭=()34334x x x x x x x -+⎛⎫=⋅⋅- ⎪+-⎝⎭1x=． ∵1x x=， ∴1±=x ． ∴1=±原式．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例25】先化简，后求值：222221221()214841x x x x x x x --÷⋅++++-，其中13x =．【难度】★★★【答案】29．【解析】原式()()()()()()222112111()1141x x x x x x x +-+-=÷⋅-++()()()()()()22211411()21111x x x x x x x +-+=⋅⋅+--+()221x =-．当31=x 时，原式=22912(1)3=-．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用．【例26】已知a ，b ，x ，y 是有理数，且2()0x a y b -++=，求代数式2222a ay bxb a ax by b x y a b+-+++-÷++的值．【难度】★★★【答案】21【解析】由题意有：a x =，b y -=．原式()222222a a b ba b a a b b a ba b +⋅--++--=÷-+()()2222a b a b a ba b a b a b+--+=÷-+ ()()()22a b a b a ba b a b -+=⋅-+-12=．【总结】本题是分式乘除的混合运算，在计算时注意法则的准确运用，另外还要注意几个非负数的和为零时，则每个非负数都为零．【习题1】下列计算中，错误的是（）．A 、332628y y x x -⎛⎫= ⎪-⎝⎭B 、2362441639b b c c ⎛⎫= ⎪-⎝⎭ C 、22222x y x y x y x y ⎛⎫--=⎪++⎝⎭D 、22436n nn b b a a⎛⎫= ⎪-⎝⎭【难度】★ 【答案】C【解析】正确答案为2222222x y x y xyx y x y xy ⎛⎫-+-= ⎪+++⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的乘法法则的运用．【习题2】计算：2361053x y y x-⋅．【难度】★【答案】24xy-．【解析】考察分式的乘法法则，先约分后计算．【习题3】下列运算中正确的是（）．A 、m n m m ÷⋅=B 、1m n m n÷⋅=C 、11m m m÷⋅=D 、n m m n ÷⋅=【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为2m m m n m m n n÷⋅=⋅= ；B 正确答案为211m mm n n n n n ÷⋅=⋅= ；C 正确答案为1111m m m m m m m÷⋅=⋅⋅=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．随堂检测【习题4】计算：（1）3222x x y y ⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）223328ab a bc cd-÷．【难度】★【答案】（1）y x 4；（2）234acbd-．【解析】（1）322644232x x x y x y y y y x ⎛⎫⎛⎫-÷=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）222332238428233ab a b ab cd bdc cd c a b ac -÷=⨯=--．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，在计算时要先将除法转化为乘法再计算．【习题5】计算：（1）222222105x y a ba b x y +⋅-；（2）24334x x x x x -+⋅+-．【难度】★ 【答案】（1）yx -4；（2）x ．【解析】（1）()()()2222222221010455x y x y a b a b a b x y a b x y x y x y++⋅=⋅=-+--；（2）()244333434x x x x x x x x x x x --++⋅=⋅=+-+-．【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．【习题6】计算：（1）；（2）45a b a a b a -⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭．【难度】★★ 【答案】（1）122--a a ；（2）a b a-．【解析】（1）()()()()()()()()1211221331222333442222--=+--=++-⋅---+=++-⋅+--a a a a a a a a a a a a a a a a a a ；（2）()()445554a b a b a a a a b a a b a b a --⎛⎫⎛⎫⋅=⋅= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭-．【总结】本题主要考查分式乘法法则的运用，在计算时要要注意先约分，后计算．222434332a a a a a a --⋅-+++【习题7】计算：11x y y y⋅÷⋅．【难度】★★ 【答案】xy ．【解析】111x y x y y xy y y y⋅÷⋅=⋅⋅⋅=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题8】计算：22266(3)(2)443x x x x x x x x -+-÷+⋅⋅--+-．【难度】★★ 【答案】2 【解析】原式()()()2233(2)1(2)332x x x x x x x -+-=⋅⋅⋅-+--2=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题9】计算： 22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--．【难度】★★ 【答案】1【解析】22222444121112x x x x x x x x x x +-+--⋅÷⋅-++--()()()()()()222222111121x x x x x x x x x x --++-=⋅÷⋅++---()()()()()()222112112221x x x x x x x x x x -+-+-=⋅⋅⋅+-+--1=．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题10】计算：若代数式1324x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是_______．【难度】★★【答案】2-≠x 且3-≠x 且4-≠x ．【解析】考察分式有意义的条件【习题11】计算：2111a b c d b c d÷÷÷⨯÷⨯．【难度】★★★【答案】222dc a ．【解析】2222211111111a a b c d a b b c d b c c d d c d ÷÷÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=⨯．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【习题12】已知x 为整数，且分式2221x x +-的值为整数，则x 可取的值有（）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【难度】★★★ 【答案】D【解析】∵()()()2212221111x x x x x x ++==-+--， ∴要使分式值为整数，则11111212x x x x -=-=--=-=-或或或，∴x 的值为2，0，3，-1．【总结】本题主要考查分式值为整数的条件．【习题13】已知2320x x --=，那么代数式()32111x x x --+-.的值是____________．【难度】★★★ 【答案】2 【解析】()()()()()()3322211111113211x x x x x x x x x x x --+--+-==--+=-=--．【总结】本题一方面考查分式的化简，另一方面考查整体代入思想的运用．【习题14】计算：已知234a b c==，求22a ab ac a b c a b c --⋅---+的值．【难度】★★★【答案】34【解析】设k a 2=，k b 3=，k c 4=．则()22222242343a a b c a ab ac a k a b c a b c a b c a b c a b c k k k ----⋅⋅=⋅===---+---+-+-+．【总结】本题主要是考查利用设k 法求分式的值．【习题15】阅读理解：符号“a cb d ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为ac bd=ad bc -，例如32 54的计算方法为32 54=342512102⨯-⨯=-=.请根据阅读理解，化简下面的二阶行列式：1aaa-211a -．【难度】★★★ 【答案】a a 22+．【解析】1aa a-211a -()()a aa a a aa a a 211122+=++=-⋅--=．【总结】本题属于阅读理解题，计算时要注意对法则的正确理解和运用．16/ 19【作业1】下列各式计算正确的是（）． A 、222a ab b a b b a-+=--B 、2232()x xy y x y x y ++=++C 、23546x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、11x y x y-=-+- 【难度】★ 【答案】D【解析】A 正确答案为()()2222a b a ab b a b b a a b --+==-+--- ；B 正确答案为()2223321()()x y x xy y x y x y x y+++==+++；C 正确答案为23648x x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭．【总结】本题主要考查分式的化简和分式乘法法则的运用．【作业2】计算：（1）232384xx y y⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭；（2）2221x x xx x +⋅-．【难度】★【答案】（1）y x 36-；（2）11-x ．【解析】（1）原式36x y =-；（2）原式2(1)(1)(1)x x x x x x +=⋅-+11x =-．【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．【作业3】计算：（1）28123aba b x ÷ ；（2）2222111x x x x x x-+-÷-+．【难度】★【答案】（1）ax92；（2）x ．【解析】（1）2288121233129ab ab a b x x a b ax ÷=⋅=；（2）原式2(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x -+=⋅=+-- 【总结】考察分式乘法的运算法则，注意先约分后计算．课后作业【作业4】计算：（1）()()222211x xy x yx x x x -+⋅--；（2）222()a b ab b ab b a b ⎡⎤++÷-⎢⎥--⎣⎦．【难度】★★ 【答案】（1）x y；（2）2bb a --．【解析】（1）()()()()()()()222221111111x x xy x xy x yy x xx x x x x x x x --++⋅=⋅=-+---；（2）()()22222()()a b ab b a b a b a bab b a b b a b b a b b ⎡⎤⎡⎤+++--÷-=⋅-=-⎢⎥⎢⎥---+⎢⎥⎣⎦⎣⎦．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业5】计算：()()422222a a b a a b b b aa b +-÷⋅-．【难度】★★ 【答案】ba b -4．【解析】()()()()()()24222224222a a b a a b a b a a b b b b b b a a a b a a b a b a b +-+-÷⋅=⋅⋅=+---．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业6】若某分式乘以2m m -所得的积为214m -，求这个分式．【难度】★★【答案】212m m +．【解析】()()()2211211422222m m m m m m m m m m m -÷=⋅==--+-++．【总结】本题主要考查分式除法法则的运用，注意对题意的理解．【作业7】先化简后求值：()()()22515a a a a a a-+÷+-，其中13a =-．【难度】★★ 【答案】9 【解析】()()()22515a a a a a a-+÷+-()()()()51151a a a a a a -+=⨯-+21a =．当31-=a 时，原式=9．【总结】本题是分式的乘除法的混合运算，计算时要注意法则的运用．【作业8】阅读理解：计算1(2)2x x x ÷-⋅-时，小虎给出了他的解答过程如下：解：12(2)122x x x x x x x x -÷-⋅=÷=÷=--. 试说明小虎的求解过程是否正确？如果不正确，请你指出错误之处，并写出你认为正确的解答过程．【难度】★★★【答案】不正确．运算顺序有错误．正确解答过程如下： ()2111(2)2222x x x x x x x x ÷-⋅=⋅⋅=----．【解析】注意运算顺序是按照从左到右的顺序计算．【作业9】先化简，再求值：22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+，其中21a a =-．【难度】★★★ 【答案】-1【解析】22214121(1)a a a a a --⋅÷+-+()()()()2221(1)211a a a a a a a -+-=⋅⋅++-+()()21a a =-+ 22a a =--．∵21a a =-， ∴21a a -=-．∴原式123=--=-．【总结】本题一方面考查分式的混合运算，另一方面考查整体代入思想的运用．【作业10】甲、乙两种茶叶，以:x y （重量比）相混合制成一种混合茶．甲种茶叶的价格每500克50元，乙种茶叶的价格每500克40元，现在甲种茶叶的价格上调了10%，乙种茶叶的价格下调了10%，但混合茶的价格不变，求:x y 的比值．【难度】★★★【答案】54【解析】()()yx yx y x y x +-++=++％％10140101504050 y x y x 36554050+=+ y x 45=54:=y x ．【总结】本题主要是对之前所学知识的一个综合运用，注意解题方法的选择．。

七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式

七数培优竞赛讲座第18讲乘法公式乘法公式是数学中一种重要的运算法则，它能够帮助我们计算两个或多个数的乘积。

在数学的学习过程中，乘法公式是一个非常基础和必须掌握的知识点。

掌握了乘法公式，能够帮助我们更好地解决数学题目，提高计算能力。

在初等数学中，我们学过了乘法公式的一些基本形式，如乘法分配律、乘法交换律、乘法结合律等。

乘法分配律告诉我们，当一个数与两个数的和相乘时，可以先分别将这个数与两个加数相乘，然后将乘积相加。

乘法交换律告诉我们，两个数的乘积与这两个数的顺序无关，即a*b=b*a。

乘法结合律告诉我们，三个或三个以上数相乘时，可以先将其中两个数相乘，然后再将积与第三个数相乘，逐次进行下去，结果不变。

这些乘法公式在解决数学题目时经常用到。

比如，在进行代数运算时，我们常常需要使用乘法分配律将一个代数式分解成两个因子的和的形式；在计算乘方时，也要使用乘法结合律将多个相同的因子相乘。

此外，在解决实际问题时，也常常需要使用乘法公式。

例如，在计算商品的总价格时，我们需要将商品的单价与数量相乘；在计算面积和体积时，我们需要将各个边长相乘。

在乘法公式的运用中，还有一些常见的小技巧可以帮助我们更快地进行计算。

比如，当计算一个数与10的倍数相乘时，我们可以利用移位法，将这个数的位数向左移动相应的倍数；当计算一个数与11的倍数相乘时，我们可以利用11的特殊性质，将这个数的各个位上的数字相加，并在相加的过程中保留进位，最终得到的数字就是乘积。

此外，在乘法题目中，我们还常常遇到一些特殊的乘法公式，如差的平方公式、和的平方公式等。

这些特殊的乘法公式在解决数学题目时能够帮助我们简化计算步骤，节省时间。

总之，乘法公式是数学中重要的基础知识，不仅在学习中起着重要的作用，而且在实际生活中也有广泛的应用。

掌握乘法公式，能够提高我们的计算能力，更好地解决数学题目。

因此，在学习数学过程中，我们要重视对乘法公式的学习，不断巩固和运用，提高自己的数学水平。

初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式

初中数学培优竞赛讲座第18讲__乘法公式乘法公式是初中数学中非常重要的一个概念，它在解决很多数学问题中起着关键的作用。

本次讲座将详细介绍乘法公式的概念、应用以及相关的解题技巧。

一、乘法公式的概念在初中数学中，我们通常将两个数的乘积称为乘法。

而乘法公式则是指对特定形式的乘法运算提出的一种常用的计算方法。

常见的乘法公式有两个，即分配率和乘方公式。

1.1分配率分配率是指对于两个数a、b和一个数c来说，a与(b+c)的乘积等于a与b的乘积加上a与c的乘积。

数学表达式为：a×(b+c)=a×b+a×c。

分配率的应用非常广泛，常见的运用场景有列式展开、计算面积和周长等。

在列式展开中，我们可以根据分配率将一个较为复杂的数学表达式，通过拆分成多个简单的乘法运算来计算。

例如，(2x+3)×4x=2x×4x+3×4x=8x²+12x。

1.2乘方公式乘方公式也是乘法公式的一种，它是指一个数a的n次方等于a连乘n次的乘积。

数学表达式为：a^n=a×a×…×a(共n个a)。

乘方公式的应用也非常广泛，尤其在解决求幂问题时经常使用。

通过运用乘方公式，我们可以将复杂的指数运算转化成简单的乘法运算。

例如，2的3次方等于2×2×2=8二、乘法公式的应用乘法公式在实际应用中有着广泛的应用。

下面我们将介绍一些常见的乘法公式应用场景。

2.1代数式展开在代数式展开中，我们经常需要将一个括号内含有多个项的式子，根据分配率拆分成多个简单的乘法运算。

通过这种方式，我们可以更方便地计算其值。

例如，(2x+3)×(4x+5)=2x×4x+2x×5+3×4x+3×5=8x²+10x+12x+15=8x²+22x+152.2计算面积和周长在计算面积和周长时，我们通常需要根据给定的条件，运用分配率进行计算。

初中七年级培优竞赛辅导讲义全册(207页)

初中七年级培优竞赛辅导讲义目录（共207页，按住ctrl键点击目录直接跳转到对应章节）第01讲与有理数有关的概念第02讲有理数的加减法第03讲有理数的乘除、乘方第04讲整式第05讲整式的加减第06讲一元一次方程概念和等式性质第07讲一元一次方程解法第08讲实际问题与一元一次方程第09讲多姿多彩的图形第10讲直线、射线、线段第11讲角第12讲与相交有关概念及平行线的判定第13讲平行线的性质及其应用第14讲平面直角坐标系（一）第15讲平面直角坐标系（二）第16讲认识三角形第17讲认识多边形第18讲二元一次方程组及其解法第19讲实际问题与二元一次方程组第20讲三元一次方程组和一元一次不等式组第21讲一元一次不等式（组）的应用第22讲一元一次不等式（组）与方程（组）的结合第23讲数据的收集与整理第1讲与有理数有关的概念考点·方法·破译1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想.3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析【例1】写出下列各语句的实际意义⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等”解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克.【变式题组】01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（） A ．－18% B ．－8% C ．＋2% D ．＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ．－5吨 B ．＋5吨 C ．－3吨 D ．＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____【例２】在－227，π，0.033.3这四个数中有理数的个数（ )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926…是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ．【变式题组】01．在7，0．1 5，－12，－301.31.25，－18，100.l ，－3 001中，负分数为，整数为，正整数 .02．（河北秦皇岛）请把下列各数填入图中适当位置 15，－19，215，－138，0.1．－5.32，123, 2.333【例３】（宁夏）有一列数为－1，12，－13，14．－15，16，…，找规律到第2007个数是 .【解法指导】从一系列的数中发现规律，首先找出不变量和变量，再依变量去发现规律．击归纳去猜想，然后进行验证.解本题会有这样的规律：⑴各数的分子部是1；⑵各数的分母依次为1，2，3，4，5，6，…⑶处于奇数位置的数是负数，处于偶数位置的数是正数，所以第2007个数的分子也是1．分母是2007，并且是一个负数，故答案为－12007.【变式题组】 01．（湖北宜宾）数学解密：第一个数是3＝2 ＋1，第二个数是5＝3 ＋2，第三个数是9＝5＋4，第四十数是17＝9＋8…观察并精想第六个数是 . 02．（毕节）毕选哥拉斯学派发明了一种“馨折形”填数法，如图则？填____. 03．（茂名）有一组数l ，2，5，10，17，26…请观察规律，则第8个数为____. 【例４】（2008年河北张家口）若l ＋m 2的相反数是－3，则m 的相反数是____.【解法指导】理解相反数的代数意义和几何意义，代数意义只有符号不同的两个数叫互为相反数.几何意义：在数轴上原点的两旁且离原点的距离相等的两个点所表示的数叫互为相反数，本题m2＝－4,m ＝－8【变式题组】 01．（四川宜宾）－5的相反数是( ) A ．5 B ． 15 C ．－5 D ．－1502．已知a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，则a ＋b ＋cd ＝______03．如图为一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A 、B 、C 内分别填人适当的数，使得它们折成正方体.若相对的面上的两个数互为相反数，则填人正方形A 、B 、C 内的三个数依次为( )A ．－ 1 ,2，0B ． 0，－2，1C ．－2，0，1D ． 2，1，0 【例５】（湖北）a 、b 为有理数，且a ＞0，b ＜0，|b|＞a ，则a,b 、－a,－b 的大小顺序是( ) A ． b ＜－a ＜a ＜－b B ． –a ＜b ＜a ＜－b C ． –b ＜a ＜－a ＜b D ． –a ＜a ＜－b＜ b【解法指导】理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离,即|a|,用式子表示为|a|＝0)0(0)(0)a a a a a >⎧⎪=⎨⎪-<⎩(.本题注意数形结合思想，画一条数轴标出a 、b,依相反数的意义标出－b,－a,故选A ．【变式题组】01．推理①若a ＝b ，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则a ＝b ；③若a ≠b ，则|a |≠|b|；④若|a |≠|b|，则a ≠b ，其中正确的个数为（） A ． 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个02．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，则|a|a ＋|b|b ＋|c|c ＝ .03．a 、b 、c 为不等于O 的有理散，则a |a|＋b |b|＋c|c|的值可能是____.【例６】（江西课改）已知|a －4|＋|b －8|＝0，则a+bab的值.【解法指导】本题主要考查绝对值概念的运用，因为任何有理数a 的绝对值都是非负数，即|a|≥0．所以|a －4|≥0，|b －8|≥0.而两个非负数之和为0，则两数均为0.解：因为|a －4|≥0，|b －8|≥0，又|a －4|＋|b －8|＝0，∴|a －4|＝0，|b －8|＝0即a －4＝0，b －8＝0，a ＝4，b ＝8.故a+b ab ＝1232＝38【变式题组】01．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，且a ＞b ＞c ，求a ＋b ＋C ． 02．（毕节）若|m －3|＋|n ＋2|＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ． 0 D ． 403．已知|a|＝8，|b|＝2，且|a －b|＝b －a ，求a 和b 的值【例７】（第l8届迎春杯）已知(m ＋n)2＋|m|＝m ，且|2m －n －2|＝0．求mn 的值．【解法指导】本例关键是通过分析(m ＋n)2＋|m|的符号，挖掘出m 的符号特征,从而把问题转化为(m ＋n)2＝0，|2m －n －2|＝0，找到解题途径. 解：∵(m ＋n)2≥0，|m|≥O∴(m ＋n)2＋|m|≥0，而(m ＋n)2＋|m|＝m ∴ m ≥0,∴(m ＋n)2＋m ＝m ，即(m ＋n)2＝0 ∴m ＋n ＝O ① 又∵|2m －n －2|＝0 ∴2m －n －2＝0 ②由①②得m ＝23，n ＝－23，∴ mn ＝－49【变式题组】01．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5且|2a －b –l|＝0，求a －B ． 02．（第16届迎春杯）已知y ＝|x －a|＋|x ＋19|＋|x －a －96|，如果19＜a ＜96．a ≤x ≤96,求y 的最大值.演练巩固·反馈提高01．观察下列有规律的数12,16,112,120,130,142…根据其规律可知第9个数是( )A ． 156B ． 172C ． 190D ． 111002．（芜湖）－6的绝对值是( )A ． 6B ．－6C ． 16D ．－1603．在－227,π,8..0.3四个数中，有理数的个数为( )A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个 04．若一个数的相反数为a ＋b ，则这个数是( )A ． a －bB ． b －aC ． –a ＋bD ． –a －b05．数轴上表示互为相反数的两点之间距离是6，这两个数是( ) A ． 0和6 B ． 0和－6 C ． 3和－3 D ． 0和3 06．若－a 不是负数，则a( )A ．是正数B ．不是负数C ．是负数D ．不是正数 07．下列结论中，正确的是( )①若a ＝b,则|a|＝|b| ②若a ＝－b,则|a|＝|b| ③若|a|＝|b|，则a ＝－b ④若|a|＝|b|,则a ＝b A ． ①② B ． ③④ C ． ①④ D ． ②③08．有理数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示,则a 、b ，－a ，|b|的大小关系正确的是( )A ． |b|＞a ＞－a ＞bB ． |b| ＞b ＞a ＞－aC ． a ＞|b|＞b ＞－aD ． a ＞|b|＞－a ＞b09．一个数在数轴上所对应的点向右移动5个单位后，得到它的相反数的对应点，则这个数是____.10．已知|x ＋2|＋|y ＋2|＝0，则xy ＝____.11．a 、b 、c 三个数在数轴上的位置如图，求|a|a ＋|b|b ＋|abc|abc ＋|c|c12．若三个不相等的有理数可以表示为1、a 、a ＋b 也可以表示成0、b 、ba 的形式，试求a 、b 的值.13．已知|a|＝4，|b|＝5，|c|＝6，且a ＞b ＞c ，求a ＋b －C ．14．|a|具有非负性，也有最小值为0，试讨论：当x为有理数时，|x－l|＋|x－3|有没有最小值，如果有，求出最小值；如果没有，说明理由.15．点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为|AB|．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，|AB|＝|OB|＝|b|＝|a－b| 当A、B两点都不在原点时有以下三种情况:①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝b－a＝|a－b|；②如图3，点A、B都在原点的左边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－(－a)＝|a－b|；③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|＝|OB|－|OA|＝|b|－|a|＝－b－（－a）＝|a－b|；综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|＝|a－b|．回答下列问题:⑴数轴上表示2和5的两点之间的距离是 , 数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 , 3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 4；⑵数轴上表示x和－1的两点分别是点A和B，则A、B之间的距离是 |x+1|，如果|AB|＝2，那么x＝ 1或3；⑶当代数式|x＋1|＋|x－2|取最小值时，相应的x的取值范围是 7．培优升级·奥赛检测01．（重庆市竞赛题）在数轴上任取一条长度为199919的线段，则此线段在这条数轴上最多能盖住的整数点的个数是( )A ． 1998B ． 1999C ． 2000D ． 2001 02．（第l8届希望杯邀请赛试题）在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①abc ＜0;②|a －b|＋|b －c|＝|a －c|；③（a －b ）(b －c)(c －a)＞0；④|a|＜1－bc ．其中正确的结论有( )A ． 4个B ． 3个C ． 2个D ． 1个03．如果a 、b 、c 是非零有理数，且a ＋b ＋c ＝0．那么a |a|＋b |b|＋c |c|＋abc|abc|的所有可能的值为（）A ．－1B ． 1或－1C ． 2或－2D ． 0或－2 04．已知|m|＝－m ，化简|m －l|－|m －2|所得结果( ) A ．－1 B ． 1 C ． 2m －3 D ． 3－ 2m05．如果0＜p ＜15，那么代数式|x －p|＋|x －15|＋|x －p －15|在p ≤x ≤15的最小值( ) A ． 30 B ． 0 C ． 15 D ．一个与p 有关的代数式 06．|x ＋1|＋|x －2|＋|x －3|的最小值为 .07．若a ＞0，b ＜0，使|x －a|＋|x －b|＝a －b 成立的x 取值范围 . 08．（武汉市选拔赛试题）非零整数m 、n 满足|m|＋|n|－5＝0所有这样的整数组(m ，n)共有组09．若非零有理数m 、n 、p 满足|m|m ＋|n|n ＋|p|p ＝1．则2mnp|3mnp|＝ .10．（19届希望杯试题）试求|x －1|＋|x －2|＋|x －3|＋…＋|x －1997|的最小值.11．已知(|x ＋l|＋|x －2|)（|y －2|＋|y ＋1|）（|z －3|＋|z ＋l|）＝36，求x ＋2y ＋3的最大值和最小值.12．电子跳蚤落在数轴上的某点k0，第一步从k0向左跳1个单位得k1，第二步由k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位到k4…按以上规律跳100步时，电子跳蚤落在数轴上的点k100新表示的数恰好19.94，试求k0所表示的数.13．某城镇，沿环形路上依次排列有五所小学，它们顺扶有电脑15台、7台、1l台、3台，14台，为使各学校里电脑数相同，允许一些小学向相邻小学调出电脑，问怎样调配才能使调出的电脑总台数最小？并求出调出电脑的最少总台数.第02讲有理数的加减法考点·方法·破译1．理解有理数加法法则，了解有理数加法的实际意义.2．准确运用有理数加法法则进行运算，能将实际问题转化为有理数的加法运算.3．理解有理数减法与加法的转换关系，会用有理数减法解决生活中的实际问题.4．会把加减混合运算统一成加法运算，并能准确求和.经典·考题·赏析【例１】（河北唐山）某天股票A开盘价18元，上午11:30跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价为（）A．0.3元B．16.2元C．16.8元D．18元【解法指导】将实际问题转化为有理数的加法运算时，首先将具有相反意义的量确定一个为正，另一个为负，其次在计算时正确选择加法法则，是同号相加，取相同符号并用绝对值相加，是异号相加，取绝对值较大符号，并用较大绝对值减去较小绝对值.解：18＋（－1.5）＋（0.3）＝16.8，故选C．【变式题组】01．今年陕西省元月份某一天的天气预报中，延安市最低气温为－6℃，西安市最低气温2℃，这一天延安市的最低气温比西安低（）A．8℃B．－8℃C．6℃D．2℃02．（河南）飞机的高度为2400米，上升250米，又下降了327米，这是飞机的高度为__________03．（浙江）珠穆朗玛峰海拔8848m，吐鲁番海拔高度为－155 m，则它们的平均海拔高度为__________【例２】计算（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）【解法指导】应用加法运算简化运算，－83与－17相加可得整百的数，＋26与－26互为相反数，相加为0，有理数加法常见技巧有：⑴互为相反数结合一起；⑵相加得整数结合一起；⑶同分母的分数或容易通分的分数结合一起；⑷相同符号的数结合一起.解：（－83）＋（＋26）＋（－17）＋（－26）＋（＋15）＝[（－83）＋（－17）]＋[（＋26）＋（－26）]＋15＝（－100）＋15＝－85【变式题组】01．（－2.5）＋（－312）＋（－134）＋（－114）02．（－13.6）＋0.26＋（－2.7）＋（－1.06）03．0.125＋314＋（－318）＋1123＋（－0.25）【例３】计算1111 12233420082009 ++++⨯⨯⨯⨯【解法指导】依111(1)1n n n n=-++进行裂项，然后邻项相消进行化简求和.解：原式＝1111111 (1)()()()2233420082009 -+-+-++-＝1111111 12233420082009 -+-+-++-＝112009-＝20082009【变式题组】01．计算1＋（－2）＋3＋（－4）＋…＋99＋（－100）02．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的正方形，再把面积为14的正方形等分成两个面积为18的长方形，如此进行下去，试利用图形揭示的规律计算11111111 248163264128256+++++++＝__________.【例４】如果a＜0，b＞0，a＋b＜0，那么下列关系中正确的是（）A．a＞b＞－b＞－a B．a＞－a＞b＞－bC．b＞a＞－b＞－a D．－a＞b＞－b＞a【解法指导】紧扣有理数加法法则，由两加数及其和的符号，确定两加数的绝对值的大小，然后根据相反数的关系将它们在同一数轴上表示出来，即可得出结论.解：∵a ＜0，b ＞0，∴a ＋b 是异号两数之和又a ＋b ＜0，∴a 、b 中负数的绝对值较大，∴| a |＞| b |将a 、b 、－a 、－b 表示在同一数轴上，如图，则它们的大小关系是－a ＞b ＞－b ＞a 【变式题组】01．若m ＞0，n ＜0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）02．若m ＜0，n ＞0，且| m |＞| n |，则m ＋n ________ 0.（填＞、＜号）03．已知a ＜0，b ＞0，c ＜0，且| c |＞| b |＞| a |，试比较a 、b 、c 、a ＋b 、a ＋c 的大小【例５】425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）【解法指导】有理数减法的运算步骤：⑴依有理数的减法法则，把减号变为加号，并把减数变为它的相反数；⑵利用有理数的加法法则进行运算.解：425－（－33311）－（－1.6）－（－21811）＝425＋33311＋1.6＋21811 ＝4.4＋1.6＋（33311＋21811）＝6＋55＝61【变式题组】01．21511()()()()(1)32632--+---+-+02．434－（＋3.85）－（－314）＋（－3.15）03．178－87.21－（－43221）＋1531921－12.79【例６】试看下面一列数：25、23、21、19…⑴观察这列数，猜想第10个数是多少？第n个数是多少？⑵这列数中有多少个数是正数？从第几个数开始是负数？⑶求这列数中所有正数的和.【解法指导】寻找一系列数的规律，应该从特殊到一般，找到前面几个数的规律，通过观察推理、猜想出第n个数的规律，再用其它的数来验证.解：⑴第10个数为7，第n个数为25－2(n－1)⑵∵n＝13时，25－2(13－1)＝1，n＝14时，25－2(14－1)＝－1故这列数有13个数为正数，从第14个数开始就是负数.⑶这列数中的正数为25,23,21,19,17,15,13,11,9,7,5,3,1，其和＝（25＋1）＋（23＋3）＋…＋（15＋11）＋13＝26×6＋13＝169【变式题组】01．(杭州)观察下列等式1－12＝12，2－25＝85，3－310＝2710，4－417＝6417…依你发现的规律，解答下列问题.⑴写出第5个等式；⑵第10个等式右边的分数的分子与分母的和是多少？02．观察下列等式的规律9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20⑴用关于n（n≥1的自然数）的等式表示这个规律；⑵当这个等式的右边等于2008时求n.【例７】（第十届希望杯竞赛试题）求12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋（15＋25＋35＋45）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）【解法指导】观察式中数的特点发现：若括号内在加上相同的数均可合并成1，由此我们采取将原式倒序后与原式相加，这样极大简化计算了.解：设S＝12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950）则有S＝12＋（23＋13）＋（34＋24＋14）＋…＋（4950＋4850＋…＋250＋150）将原式和倒序再相加得2S＝12＋12＋（13＋23＋23＋13）＋（14＋24＋34＋34＋24＋14）＋…＋（150＋250＋…＋4850＋4950＋4950＋4850＋…＋250＋150）即2S＝1＋2＋3＋4＋…＋49＝49(491)2⨯+＝1225∴S＝1225 2【变式题组】01．计算2－22－23－24－25－26－27－28－29＋21002．（第8届希望杯试题）计算（1－12－13－…－12003）（12＋13＋14＋…＋12003＋12004）－（1－12－13－…－12004）（12＋13＋14＋…＋12003）演练巩固·反馈提高01．m是有理数，则m＋|m|（）A．可能是负数B．不可能是负数C．比是正数D．可能是正数，也可能是负数02．如果|a|＝3，|b|＝2，那么|a＋b|为（）A． 5 B．1 C．1或5 D．±1或±503．在1，－1，－2这三个数中，任意两数之和的最大值是（）A． 1 B．0 C．－1 D．－304．两个有理数的和是正数，下面说法中正确的是（）A．两数一定都是正数B．两数都不为0C．至少有一个为负数D．至少有一个为正数05．下列等式一定成立的是（）A．|x|－ x ＝0 B．－x－x ＝0 C．|x|＋|－x| ＝0 D．|x|－|x|＝0 06．一天早晨的气温是－6℃，中午又上升了10℃，午间又下降了8℃，则午夜气温是（）A．－4℃B．4℃C．－3℃D．－5℃07．若a＜0，则|a－(－a)|等于（）A．－a B．0 C．2a D．－2a08．设x是不等于0的有理数，则||||2x xx值为（）A．0或1 B．0或2 C．0或－1 D．0或－2 09．（济南）2＋(－2)的值为__________10．用含绝对值的式子表示下列各式：⑴若a＜0，b＞0,则b－a＝__________，a－b＝__________⑵若a＞b＞0，则|a－b|＝__________⑶若a＜b＜0，则a－b＝__________11．计算下列各题：⑴23＋（－27）＋9＋5 ⑵－5.4＋0.2－0.6＋0.35－0.25⑶－0.5－314＋2.75－712⑷33.1－10.7－（－22.9）－|－2310|12．计算1－3＋5－7＋9－11＋…＋97－9913．某检修小组乘汽车沿公路检修线路，规定前进为正，后退为负，某天从A地出发到收工时所走的路线（单位：千米）为：＋10，－3，＋4，－2，－8，＋13，－7，＋12，＋7，＋5⑴问收工时距离A地多远？⑵若每千米耗油0.2千克，问从A地出发到收工时共耗油多少千克？14．将1997减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，再减去余下的15……以此类推，直到最后减去余下的11997，最后的得数是多少？15．独特的埃及分数：埃及同中国一样，也是世界著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为1的分数，例如13＋115来表示25，用14＋17＋128表示37等等.现有90个埃及分数：12，13，14，15，…190，191，你能从中挑出10个，加上正、负号，使它们的和等于－1吗？培优升级·奥赛检测01．（第16届希望杯邀请赛试题）1234141524682830-+-+-+-+-+-+-等于（）A．14B．14-C．12D．12-02．自然数a、b、c、d满足21a＋21b＋21c＋21d＝1，则31a＋41b＋51c＋61d等于（）A．18B．316C．732D．1564534333231303．（第17届希望杯邀请赛试题）a 、b 、c 、d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，则a ＋b ＋c ＋d 值是（）A ．30B ．32C ．34D ．3604．（第7届希望杯试题）若a ＝1995199519961996，b ＝1996199619971997，c ＝1997199719981998，则a 、b 、c大小关系是（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．a ＜c ＜b05．11111(1)(1)(1)(1)(1)1324351998200019992001+++++⨯⨯⨯⨯⨯的值得整数部分为（）A ．1B ．2C ．3D ．4 06．(－2)2004＋3×(－2)2003的值为（）A ．－22003B ．22003C ．－22004D ．2200407．（希望杯邀请赛试题）若|m|＝m ＋1，则(4m ＋1)2004＝__________08．12＋（13＋23）＋（14＋24＋34）＋ … ＋（160＋260＋…＋5960）＝__________ 09．19191976767676761919-＝__________10．1＋2－22－23－24－25－26－27－28－29＋210＝__________ 11．求32001×72002×132003所得数的末位数字为__________ 12．已知(a ＋b)2＋|b ＋5|＝b ＋5，且|2a －b －1|＝0，求aB ．13．计算(11998－1)(11997－1) (11996－1) … (11001－1) (11000－1)14．请你从下表归纳出13＋23＋33＋43＋…＋n3的公式并计算出13＋23＋33＋43＋…＋1003的值.第03讲有理数的乘除、乘方考点·方法·破译1．理解有理数的乘法法则以及运算律，能运用乘法法则准确地进行有理数的乘法运算，会利用运算律简化乘法运算.2．掌握倒数的概念，会运用倒数的性质简化运算.3．了解有理数除法的意义，掌握有理数的除法法则，熟练进行有理数的除法运算.4．掌握有理数乘除法混合运算的顺序，以及四则混合运算的步骤，熟练进行有理数的混合运算.5．理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方运算的符号法则，进一步掌握有理数的混合运算.经典·考题·赏析【例１】计算⑴11()24⨯-⑵1124⨯⑶11()()24-⨯-⑷25000⨯⑸3713 ()()(1)() 5697 -⨯-⨯⨯-【解法指导】掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.解：⑴11111 ()() 24248⨯-=-⨯=-⑵11111() 24248⨯=⨯=⑶11111 ()()() 24248 -⨯-=+⨯=⑷250000⨯=⑸3713371031 ()()(1)()() 569756973 -⨯-⨯⨯-=-⨯⨯⨯=-【变式题组】01．⑴(5)(6)-⨯-⑵11()124-⨯⑶(8)(3.76)(0.125)-⨯⨯-⑷(3)(1)2(6)0(2)-⨯-⨯⨯-⨯⨯-⑸111112(2111)42612-⨯-+-02．24(9)5025-⨯3．1111(2345)()2345⨯⨯⨯⨯---04．111 (5)323(6)3333 -⨯+⨯+-⨯【例２】已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（）A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大【解法指导】依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．【变式题组】01．若a＋b＋c＝0，且b＜c＜0，则下列各式中，错误的是（）A．a＋b＞0 B．b＋c＜0 C．ab＋ac＞0 D．a＋bc＞002．已知a＋b＞0，a－b＜0，ab＜0，则a___________0，b___________0，|a|___________|b|.03．(山东烟台)如果a＋b＜0，ba>，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＜0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＞0 04．(广州)下列命题正确的是（）A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＜0，则a＜0，b＜0C．若ab＝0，则a＝0或b＝0 D．若ab＝0，则a＝0且b＝0 【例３】计算⑴(72)(18)-÷-⑵11(2)3÷-⑶13()()1025-÷⑷0(7)÷-【解法指导】进行有理数除法运算时，若不能整除，应用法则1，先把除法转化成乘法，再确定符号，然后把绝对值相乘，要注意除法与乘法互为逆运算.若能整除，应用法则2，可直接确定符号，再把绝对值相除.解：⑴(72)(18)72184 -÷-=÷=⑵1733 1(2)1()1()3377÷-=÷-=⨯-=-⑶131255 ()()()() 10251036 -÷=-⨯=-⑷0(7)0÷-=【变式题组】01．⑴(32)(8)-÷-⑵112(1)36÷-⑶10(2)3÷-⑷13()(1)78÷-02．⑴12933÷⨯⑵311()(3)(1)3524-⨯-÷-÷⑶530()35÷-⨯03．113()(10.2)(3) 245÷-+-÷⨯-【例４】（茂名）若实数a、b满足a ba b+=，则abab＝___________.【解法指导】依绝对值意义进行分类讨论，得出a、b的取值范围，进一步代入结论得出结果.解：当ab＞0，2(0,0)2(0,0)a ba ba ba b>>⎧+=⎨-<<⎩；当ab＜0，a ba b+=，∴ab＜0，从而abab＝－1.【变式题组】01．若k是有理数，则(|k|＋k)÷k的结果是（）A．正数 B．0 C．负数 D．非负数02．若A．b都是非零有理数，那么aba ba b ab++的值是多少？03．如果x yx y+=，试比较xy-与xy的大小.【例５】已知223(2),1 x y=-=-⑴求2008xy 的值； ⑵求32008x y 的值.【解法指导】na 表示n 个a 相乘，根据乘方的符号法则，如果a 为正数，正数的任何次幂都是正数，如果a 是负数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.解：∵223(2),1x y =-=- ⑴当2,1x y ==-时，200820082(1)2xy =-= 当2,1x y =-=-时，20082008(2)(1)2xy =-⨯-=- ⑵当2,1x y ==-时，332008200828(1)x y ==- 当2,1x y =-=-时，3320082008(2)8(1)x y -==--【变式题组】 01．（北京）若2(2)0m n m -+-=，则nm 的值是___________.02．已知x 、y 互为倒数，且绝对值相等，求()n nx y --的值，这里n 是正整数.【例６】（安徽）2007年我省为135万名农村中小学生免费提供教科书，减轻了农民的负担，135万用科学记数法表示为（）A ．0.135×106B ．1.35×106C ．0.135×107D ．1.35×107【解法指导】将一个数表示为科学记数法的a×10n 的形式，其中a 的整数位数是1位.故答案选B ．【变式题组】 01．（武汉）武汉市今年约有103000名学生参加中考，103000用科学记数法表示为（） A ．1.03×105 B ．0.103×105 C ．10.3×104 D ．103×103 02．（沈阳）沈阳市计划从2008年到2012年新增林地面积253万亩，253万亩用科学记数法表示正确的是（）A ．25.3×105亩B ．2.53×106亩C ．253×104亩D ．2.53×107亩【例７】（上海竞赛）222222221299110050002200500010050009999005000k k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+【解法指导】找出21005000k k -+的通项公式＝22(50)50k -+原式＝2222222222221299(150)50(250)50(50)50(9950)50k k ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ ＝222222222222199298[][](150)50(9950)50(250)50(9850)50++++⋅⋅⋅+-+-+-+-+ 222222222495150[](4950)50(5150)50(5050)50++-+-+-+＝49222+1++⋅⋅⋅+个＝99【变式题组】3333+++=( )2+4+6++10042+4+6++10062+4+6++10082+4+6++2006⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ A ．31003 B ．31004 C ．1334 D ．11000 02．（第10届希望杯试题）已知11111111 1.2581120411101640+++++++= 求111111112581120411101640---+--++的值.演练巩固·反馈提高01．三个有理数相乘，积为负数，则负因数的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．1个或3个 02．两个有理数的和是负数，积也是负数，那么这两个数（）A ．互为相反数B ．其中绝对值大的数是正数，另一个是负数C ．都是负数D ．其中绝对值大的数是负数，另一个是正数 03．已知abc ＞0，a ＞0，ac ＜0，则下列结论正确的是（）A ．b ＜0，c ＞0B ．b ＞0，c ＜0C ．b ＜0，c ＜0D ．b ＞0，c ＞0 04．若|ab|＝ab ，则（）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．a ＜0，b ＜0D ．ab ＜005．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，则代数式a bm cd m +-+的值为（）A ．－3B ．1C ．±3D ．－3或106．若a ＞1a ，则a 的取值范围（）A ．a ＞1B ．0＜a ＜1C ．a ＞－1D ．－1＜a ＜0或a ＞107．已知a 、b 为有理数，给出下列条件：①a ＋b ＝0；②a －b ＝0；③ab ＜0；④1ab =-，其中能判断a 、b 互为相反数的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个08．若ab≠0，则a b a b+的取值不可能为（）A ．0B ．1C ．2D ．－209．1110(2)(2)-+-的值为（）A ．－2B ．(－2)21C ．0D ．－21010．(安徽)2010年一季度，全国城镇新增就业人数289万人，用科学记数法表示289万正确的是（）A ．2.89×107B ．2.89×106C ．2.89×105D ．2.89×10411．已知4个不相等的整数a 、b 、c 、d ，它们的积abcd ＝9，则a ＋b ＋c ＋d ＝___________.12．21221(1)(1)(1)n n n +--+-+-（n 为自然数）＝___________.13．如果2x y x y +=，试比较xy -与xy 的大小.14．若a 、b 、c 为有理数且1a b ca b c++=-，求abc abc的值.15．若a 、b 、c 均为整数，且321a b c a -+-=.求a c cb b a-+-+-的值.培优升级·奥赛检测01．已知有理数x 、y 、z 两两不相等，则,,x y y z z xy z z x x y ------中负数的个数是（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个或2个02．计算12345211,213,217,2115,2131-=-=-=-=-=⋅⋅⋅归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测201021-的个位数字是（）A．1 B．3 C．7 D．503．已知23450ab c d e＜，下列判断正确的是（）A．abcde＜0 B．ab2cd4e＜0 C．ab2cde＜0 D．abcd4e＜004．若有理数x、y使得,,,xx y x y xyy+-这四个数中的三个数相等，则|y|－|x|的值是（）A．12-B．0 C．12 D．3205．若A＝248163264(21)(21)(21)(21)(21)(21)(21)+++++++，则A－1996的末位数字是（）A．0 B．1 C．7 D．906．如果20012002()1,()1a b a b+=--=，则20032003a b+的值是（）A．2 B．1 C．0 D．－107．已知5544332222,33,55,66a b c d====，则a、b、c、d大小关系是（）A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．a＞d＞b＞c08．已知a、b、c都不等于0，且a b c abca b c abc+++的最大值为m，最小值为n，则2005()m n+＝___________.09．（第13届“华杯赛”试题）从下面每组数中各取一个数将它们相乘，那么所有这样的乘积的总和是___________.第一组：15,3,4.25,5.753-第二组：11 2,315 -第三组：5 2.25,,412-10．一本书的页码从1记到n，把所有这些页码加起来，其中有一页码被错加了两次，结果得出了不正确的和2002，这个被加错了两次的页码是多少？11．（湖北省竞赛试题）观察按下列规律排成一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，3 2，41，15，24，23，42，51，16，…(＊)，在(＊)中左起第m个数记为F(m)，当F(m)＝12001时，求m 的值和这m 个数的积.12．图中显示的填数“魔方”只填了一部分，将下列9个数：11,,1,2,4,8,16,32,6442填入方格中，使得所有行列及对角线上各数相乘的积相等，求x 的值.13．(第12届“华杯赛”试题)已知m 、n 都是正整数，并且111111(1)(1)(1)(1)(1)(1);2233A m m =-+-+⋅⋅⋅-+ 111111(1)(1)(1)(1)(1)(1).2233B n n =-+-+⋅⋅⋅-+证明：⑴11,;22m n A B m n ++==⑵126A B -=，求m 、n 的值.第04讲整式考点·方法·破译1．掌握单项式及单项式的系数、次数的概念.2．掌握多项式及多项式的项、常数项及次数等概念.3．掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式.4．了解整式读、写的约定俗成的一般方法，会根据给出的字母的值求多项式的值.经典·考题·赏析【例1】判断下列各代数式是否是单项式，如果不是请简要说明理由，如果是请指出它的系数与次数.【解法指导】理解单项式的概念:由数与字母的积组成的代数式，单独一个数或一个字母也是单项式，数字的次数为0，是常数，单项式中所有字母指数和叫单项式次数.解：⑴不是，因为代数式中出现了加法运算；⑵不是，因为代数式是与x的商；⑶是，它的系数为π，次数为2；⑷是，它的系数为32，次数为3.【变式题组】01．判断下列代数式是否是单项式02．说出下列单项式的系数与次数【例２】如果与都是关于x、y的六次单项式，且系数相等，求m、n 的值.【解法指导】单项式的次数要弄清针对什么字母而言，是针对x或y或x、y等是有区别的，该题是针对x与y而言的，因此单项式的次数指x、y的指数之和，与字母m无关，此时将m看成一个要求的已知数.解：由题意得【变式题组】01．一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3.且当x＝2,y＝－1时，这个单项式的值为32，求这个单项式.02．（毕节）写出含有字母x、y的五次单项式______________________.【例３】已知多项式⑴这个多项式是几次几项式？⑵这个多项式最高次项是多少？二次项系数是什么？常数项是什么？【解法指导】 n个单项式的和叫多项式，每个单项式叫多项式的项，多项式里次数最高项的次数叫多项式的次数.解：⑴这个多项式是七次四项式；(2)最高次项是,二次项系数为－1，常数项是1.【变式题组】01．指出下列多项式的项和次数⑴ (2)02．指出下列多项式的二次项、二次项系数和常数项⑴ (2)【例４】多项式是关于x的三次三项式，并且一次项系数为－7.求m+n－k的值【解法指导】多项式的次数是单项式中次数最高的次数，单项式的系数是数字与字母乘积中的数字因数.解：因为是关于x的三次三项式，依三次知m＝3，而一次项系数为－7，即－（3n+1）＝－7，故n＝2.已有三次项为,一次项为－7x，常数项为5，又原多项式为三次三项式，故二次项的系数k＝0，故m+n－k＝3+2－0＝5.【变式题组】01．多项式是四次三项式，则m的值为（）A．2 B．－2 C．±2 D．±102．已知关于x、y的多项式不含二次项，求5a－8b的值.03．已知多项式是六次四项式，单项式的次数与这个多项式的次数相同，求n的值.【例５】已知代数式的值是8,求的值.【解法指导】由，现阶段还不能求出x的具体值，所以联想到整体代入法.解：由得由（3【变式题组】01．(贵州)如果代数式－2a+3b+8的值为18，那么代数式9b－6a+2的值等于（）A．28 B．－28 C．32 D．－3202．（同山）若,则的值为_______________.03．（潍坊）代数式的值为9,则的值为______________.【例６】证明代数式的值与m的取值无关.【解法指导】欲证代数式的值与m的取值无关，只需证明代数式的化简结果不出现字母即可.证明：原式＝∴无论m的值为何，原式值都为4.∴原式的值与m的取值无关.【变式题组】01．已知,且的值与x无关，求a的值.02．若代数式的值与字母x的取值无关，求a、b 的值.【例７】（北京市选拔赛）同时都含有a、b、c，且系数为1的七次单项式共有（）个A．4 B．12 C．15 D．25【解法指导】首先写出符合题意的单项式,x、y、z都是正整数，再依x+y+z＝7来确定x、y、z的值.解：为所求的单项式，则x、y、z都是正整数，且x+y+z＝7.当x＝1时，y＝1,2,3,4,5,z ＝5,4,3,2,1.当x＝2时，y＝1,2,3,4,z＝4,3,2,1. 当x＝3时，y＝1,2,3,z＝3,2,1.当 x ＝4时，y＝1,2,z＝2,1.当 x＝5时，y＝z＝1.所以所求的单项式的个数为5+4+3+2+1＝15，故选C．【变式题组】01．已知m、n是自然数，是八次三项式，求m、n值.02．整数n＝___________时，多项式是三次三项式.演练巩固·反馈提高01．下列说法正确的是（）A．是单项式 B．的次数为5 C．单项式系数为0 D．是四次二项式02．a表示一个两位数，b表示一个一位数，如果把b放在a的右边组成一个三位数.则这个三位数是（）A．100b+a B．10a+b C．a+b D．100a+b03．若多项式的值为1，则多项式的值是（）A．2 B．17 C．－7 D．704．随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低，某品牌电脑原售价为n元，降低m 元后，又降低20%，那么该电脑的现售价为（）A． B． C． D．05．若多项式是关于x的一次多项式，则k的值是（）A．0 B．1 C．0或1 D．不能确定06．若是关于x、y的五次单项式，则它的系数是____________.07．电影院里第1排有a个座位，后面每排都比前排多3个座位，则第10排有_______个座位.08．若,则代数式xy+mn值为________.09．一项工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，如果甲、乙合做7天完成工作量是____________.10．(河北)有一串单项式(1)请你写出第100个单项式；⑵请你写出第n个单项式.11．（安徽）一个含有x、y的五次单项式，x的指数为3,且当x＝2，y＝－1时，这个单项式值为32，求这个单项式.12．（天津）已知x＝3时多项式的值为－1，则当x＝－3时这个多项式的值为多少？13．若关于x、y的多项式与多项式的系数相同，并且最高次项的系数也相同，求a－b的值.14．某地电话拨号入网有两种方式，用户可任取其一.A：计时制：0.05元/分B：包月制：50元/月（只限一部宅电上网）.此外，每种上网方式都得加收通行费0.02元/分.⑴某用户某月上网时间为x小时，请你写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2)若某用户估计一个月内上网时间为20小时，你认为采用哪种方式更合算.培优升级·奥赛检测01．（扬州）有一列数,从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差.若,则为（）。