高中数学：教你分分钟搞定线面角

神马是线面角？

1.定斜足.

2.在斜线上找一个不同于斜足的点.

如上图所示，在斜线上找一个不同于斜足O的点 A. 3.过该点作平面的垂线，定垂足.

如上图所示，过点A作AB垂直于平面，垂足为点B. 4.定射影

连接斜足O与垂直B，得到斜线OA在平面内的射影OB.

5.定线面角

斜线与射影所成的锐角记为该直线与平面所成的角，简称线面角.当然，线面垂直时线面角为90度.

这个方法就是典型的“定义法”.

观察上面的5步，最困难的是第3步，即找到平面的垂线是关键所在.

用定义法找角

回到本题第（1）问，按照定义法去寻找线面角.

1.定斜足

A1B与平面AB D的交点B为斜足.

2.在A1B上再找一点.

找A1点呢，还是找E点呢？

显然，找E点比较好，因为E点在平面AB D的射影已知. 3.过E点作平面ABD的垂线，定垂足.

显然，EG垂直于平面AB D，G为垂足.

4.定射影

连接B点和G点得到射影BG

5.定线面角

斜线A1B与射影BG所成的角EB G就是所求的线面角.

找完角之后再解角

本题难就难在长度的计算.

我们取AB的中点F，连接DF.根据三角形重心的特点，点G 在DF的1/3点处（靠近F点）

如何求EG呢？

求边的长度的方法，就是把这条边放入到它所在的三角形（最好是直角三角形）或者平面图形中.利用解三角形的知识，或者利用平面几何的知识进行求解.

把EG放到哪个三角形中呢？

三角形EB G是需要求解的三角形，显然不能放在这个三角形中.

我们要尽量放在直角三角形中，因为计算比较简便；尽量放在已知条件比较多的三角形或平面图形中，以利于求解.

把所求边放到合适的三角形或平面图形中

经过权衡，我们把EG放在三角形EF D中.下面，画出这个平面三角形.

三角形EF D是否为直角三角形呢？

为方便观察，我们可以画出EG所在的平面四边形EF C D.

事实上，这个平面四边形EF C D为矩形.

下面作一简要证明.

在矩形EF C D中，我们来求解相关的边长.

根据这个图形的特点（直角三角形加上斜边的高线），我们多次用到射影定理.

下面求解EB.

EG，EB都已知，线面角大小可求.

最后一步用到的反三角函数，没有学习过的童鞋不用懂，哈哈.

等体积法求点面距

再说第（2）问.

求点到平面的距离（简称“点面距”）的方法有两种：

定义法：作出该点到平面的垂线，确定垂足，那么该点到垂足的距离就是点面距；

等体积法：把点面距看作三棱锥的高，利用三棱锥的顶点和底面可以任意变换的特点，实现高线的转化.

本题D点到平面AA1E的距离已知，所以采用方法2.

为什么D点到平面AA1E的距离已知呢？

下面我们采用等体积法求A1点到平面AD E的距离.