605高等数学基础

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高等数学打基础的教材

高等数学打基础的教材高等数学是大学本科数学学科中一门重要的基础课程，对学习后续的高级数学课程以及其他相关学科都起到了至关重要的作用。

而选择一本合适的教材对于打好高等数学基础来说至关重要。

本文将介绍一本适合打基础的高等数学教材，帮助学生们更好地理解和掌握高等数学的知识。

《高等数学》第七版，是一本经典的高等数学教材，适用于大部分高等院校开设的高等数学课程。

下面将从教材的编排结构、内容特点以及教学应用三个方面来进行介绍。

首先，教材的编排结构清晰合理。

整本教材分为16章，从函数、极限、连续性开始，逐步引入微分学、积分学、多元函数以及数列和级数等内容，理论与应用相结合。

每一章都明确划分了主要内容，通过引入例题和习题，循序渐进地帮助学生建立起扎实的数学基础。

其次，教材的内容特点突出。

这本教材在讲解数学理论的同时，注重培养学生的数学思维和解题能力。

在阐述概念的同时融入大量典型例题，通过实际问题的分析和解决，引导学生理解数学的应用价值。

此外，教材还注重培养学生的数学证明能力，通过引入一些简单的证明题目，激发学生对于数学证明的兴趣和探索欲望。

最后，教材的教学应用广泛。

《高等数学》第七版是以教学为导向的教材，既适用于理工科相关专业的学生，也适用于非数学专业学生。

不仅可以作为普通高等院校的教学教材，还可以作为自学的参考书。

这本教材的理论深度和教学内容的层次感都非常符合高等数学课程的要求，通过辅以适量的习题练习，帮助学生夯实基础，提高数学素养。

总之，《高等数学》第七版是一本很好的高等数学教材，它具有清晰的编排结构、突出的内容特点和广泛的教学应用。

通过学习这本教材，学生们能够系统掌握高等数学的知识，打好高等数学的基础。

同时，学生们还可以通过这本教材培养自己的数学思维和解题能力，为将来的学习和研究打下坚实的基础。

有了一本好的高等数学教材作为学习的指导，学生们在学习高等数学的过程中将更加轻松和自信。

希望大家都能够选到适合自己的高等数学教材，打好高等数学的基础，为将来的学习和发展打下坚实的基础！。

数字媒体技术专业考研指导

数字媒体技术(复试科目)
不指定参考书
(02)网络多媒体
三、教育技术专业方向：可以选择数字媒体技术或教育游戏方向或教育影视方向
大学
研究方向
初试科目
复试科目
参考书
南京师范大学
01 视觉文化与信息技术教育
02 教育数据挖掘与智能处理
03 教育游戏与3D建模
①政治
②英语或俄语或日语
③C语言与Web技术
④教学设计或数据结构
（4）数字媒体展示与控制
山东大学
（1）三维建模与渲染
101.思想政治理论
201.英语一
301.数学一
408.计算机学科专业基础综合
不指定参考书
（2）可视媒体计算
（3）数字化艺术与设计
浙江大学
01产品创新技术与系统：
①101政治②201英语01数学（一）④408计算机学科专业基础综合（含数据结构、计算机组成原理、操作系统和计算机网络）
北京师范大学
01教育技术基本理论
02教学设计与绩效技术
03知识媒体
04人工智能教育应用
05信息技术教育
06教育信息管理
07信息技术与课程整合
08数字化学习环境与资源
09职业课程与教学论
华东师范大学
01 教育技术学理论
02 教育测评与信息处理
03 网络远程教育
04 虚拟现实与游戏设计
05 教育培训系统设计
①101政治
②201英语一
③311教育学专业基础综合
复试：①笔试：计算机操作、教育技术学
四川师范大学
01信息化教学资源设计与开发
02教育软件研究与开发
03数字传媒技术与艺术
华南师范大学

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =;*1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *00()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),n n n S x a x x ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞;*lim ()x f x →∞(含x →±∞);*0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x →→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x→+∞=,0lim ln 0n x x x +→=,0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时,sin ()()u x u x ;tan ()()u x u x ;211cos ()()2u x u x -; ()1()u x e u x -; ln(1())()u x u x +;(1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++. 五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:000,∞) 4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞;1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法);(注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分; (4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a +=*21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?):00lim'()x ff x x→=3. 积分和:10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim [()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞)(2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七.常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性:([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理:(附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数:'()f x =0()()limx f x x f x x →+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-=(注:0()lim(x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==) (2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导:22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C u v C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1)'()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点)(2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格;(0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用:在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用]第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰;()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()kf x kg x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x=+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n axnx edx xxdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kxp x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*20(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bb aaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分,对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式,三角式,根式 (3)含()ba f t dt ⎰的方程.4. 变量代换:()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aa aaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰(如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性:2220sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰2200sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];b aS f x g x dx =-⎰ (2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理):(1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰; (2)0()[0)limxx f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x ey M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1.通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解:1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程:含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆(3),limx y f x f ydf + (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:0(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx y f x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点):[(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩(存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性):0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握):*D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称;*重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=-:1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5.无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1na ∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质:(1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散,则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征:nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n ∑, (2)ln k nnα∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):npk a n (估计), 如1()nf x dx ⎰;()()P n Q n ∑ (2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n 应用: 幂级数收敛半径计算) 三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n pn+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0n n a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)nna-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=-3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)23111,2!3!x e x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω=2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一):(2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型:(注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1.12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦)01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式):000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式;*参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法: (1)平面束方程:11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++=(2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z =或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩,或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面 1. 圆柱面:222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a =4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件):(,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒==(2)结论()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心(2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤(4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4.应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰;(代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A dS ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰(其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Qy y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)dr ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层):(,,1)x y n z z =--[()()]x y Pdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ=(cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分:A d S ∑Φ=⋅⎰⎰(∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)dS ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 00F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A d r A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

数学物理专业的书单

数学物理专业的书单目录：1 数学书目21.1 《数学分析--高等数学》31.2 《高等代数--线性代数》41.3 《空间解析几何》51.4 《常微分方程》61.5 《单复变函数》81.6 《关于自学数学》111.7 《实变函数论与泛函分析》11 1.8 《抽象代数》161.9 《组合基础》171.10 《数学物理方程》191.11 《拓扑学》211.12 《微分几何》221.13 《微分流形》232 数学参考书目252.1 说明252.2 1.逻辑272.3 组合，形式计算302.4 数论312.5 代数，同调代数，范畴，层32 2.6 K-理论，C^*-代数332.7 代数几何342.8 群，李群和李代数362.9 代数拓扑，微分拓扑372.10 微分几何392.11 动力系统402.12 实分析，调和分析422.13 泛函分析432.14 复分析，解析几何，奇性45 2.15 线性偏微分方程，D-模462.16 非线性偏微分方程472.17 数学物理492.18 数值分析502.19 概率512.20 统计522.21 博弈论，经济数学，最优化542.22 数学史553 物理学书单563.1 量子力学573.2 理论力学573.3 电动力学583.4 固体物理583.5 数理方法593.6 统计力学603.7 一些补充604 理论物理605 物理经典教材636 A hysics Booklist: Recommendations from the Net 656.1 Subject Index 666.2 General hysics (so even mathematicians can understand it!) 666.3 Classical Mechanics 676.4 Classical Electromagnetism 686.5 Quantum Mechanics 686.6 Statistical Mechanics and Entropy 706.7 Condensed Matter 716.8 Special Relativity 716.9 article hysics 726.10 General Relativity 736.11 Mathematical Methods (so that even physicists can understand it!) 746.12 Nuclear hysics 746.13 Cosmology 746.14 Astronomy 766.15 lasma hysics 766.16 Numerical Methods/Simulations 766.17 Fluid Dynamics 776.18 Nonlinear Dynamics, Complexity, and Chaos 776.19 Optics (Classical and Quantum), Lasers 786.20 Mathematical hysics 786.21 Atomic hysics 796.22 Low Temperature hysics, Superconductivity 807 习题808 推荐给大家的优秀数学参考书809 数理逻辑8510 现在在中国买得到的100本经典物理学专著86----------------------------------------------------------------------------1 数学书目1.1 《数学分析--高等数学》1.菲赫今哥尔茨"微积分学教程","数学分析原理".前一本书,俄文版共三卷,中译本共8本;后一本书,俄文版共二卷,中译本共4本.此书堪称经典."微积分学教程"其实连作者(莫斯科或者列宁格勒大学的教授,门下弟子无数,包括后来得诺贝尔经济学奖的著名数学家Kantorovitch)都承认不太合适作为教材,为此他才给出了能够做教材的后一套书,可以说是一个精简的版本(有所补充的是在最后给出了一个后续课程的简介).相信直到今天,很多老师在开课的时候还是会去找"微积分学教程",因为里面的各种各样的例题实在太多了.如果想比较扎实的打基础的话,可以考虑把里面的例题当做有答案的习题来做,当然不是每道题都可以这么办的.如果你全部做完了那里的题目然后考试的时候碰到你做过的可别怪我.毫无疑问,这套书代表了以古典的方式处理数学分析内容(指不引入实变,泛函的观念)的最高水平,考虑到在中国的印数就以十万计,可能在世界范围内也只有Goursat 的书可以与之相比了.2.Apostol "Mathematical Analysis"在西方(西欧和美国),这应该算得上是一本相当完整的课本了,在总书库里面有.3.W.Rudin "Principles of Mathematical Analysis"(有中译本:卢丁"数学分析原理",理图里有)这也是一本相当不错的书,后面我们可以看到,这位先生写了一个系列的教材.该书的讲法,(指一些符号,术语的运用)也是很好的.这里附带说一句,因为在理基里面当年念的是后来复旦出版社出的秦老师和余跃年编的"高等数学",虽然我一向认为该书编的很是不好,但是在这里想引秦老师的一句话,希望能对非数学专业的ddmm 有所帮助:就是学完"高等数学"以后,可以找一本西方advanced calculus水平的书来看,基本上就能够达到一般数学系的要求了.当时秦老师曾特别指出Rudin的书.说到Advaced Calculus,在这个标题下面有一本书也是可以一看的,就是L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,其第一版在总书库里面有不少,第二版在理图外国教材中心有一本,系资料室是不是有不清楚.这本书的观点还是很高的,毕竟是人家Harvard的课本. 4."数学分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等"数学分析习题集","数学分析习题课教材".北大的这套课本写得还是可以的,不过最好的东西还是两本关于习题的东西.大家知道,吉米多维奇并不是很适合数学系的学生的,毕竟大多是计算题(一个比较有意思的地方是那套被广大教师痛骂的习题解答其实有一个题的第二小题是没答案的,原因好象是编书的人也没做出来,好象是关于级数收敛的一个题目).相比之下北大的这本习题集就要好许多,的的确确值得一做.那本习题课教材也是很有意思的书,包括一些相当困难的习题的解答,5.克莱鲍尔"数学分析"记得那是一本以习题的形式讲分析的书,题目也很不错.理图里有.6.张筑生"数学分析新讲"(共三册)我个人认为这是中国人写的观点最新的数学分析课本,张老师写这书也实在是呕心沥血,手稿前后写了差不多五遍.象他这样身有残疾的人做这样一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在后记中也引了"都云作者痴,谁解其中味".在这套书里,对于许多材料的处理都和传统的方法不太一样.非常值得一读.唯一的遗憾是,按照张老师本人的说法,北大出版社找了家根本不懂怎么印数学书的印刷厂,所以版面不是很好看.----------------------------------------------------------------下面的一些书可能是比较"新颖"的.7a.尼柯尔斯基"数学分析(教程?)"理图里有,是清华的人翻译的,好象没翻全.那属于80年代以后苏联的新潮流的代表,不管怎么说,人家是苏联科学院院士.7b."数学分析"忘了是谁写的了, 也是苏联的,莫斯科大学的教材.理图里面有第一卷的中译本,分两册.那里面从极限的讲法(对于拓扑基的)开始就能够明显得让人感觉到观点非常的"高".8.狄多涅"现代分析基础(第一卷)"那是一套二十世纪的大家写的一整套教材的第一卷,用的术语相当"高深",可能等以后学了实变,泛函再回过头来看感觉会更好一些.9.说两句关于非数学专业的高等数学.这里强烈推荐理图里面几本法国人写的数学书.因为在法国高等教育系统里面,对于最好的学生,中学毕业以后念的是两年大学预科,这样就是不分系的,所以他们的高等数学(比如理图里面有J.Dixmier院士的"高等数学"第一卷)或者叫"普通数学"(理图里面有一套书就是这个标题),其水平基本上介于国内数学系和物理系的数学课之间.---------------------------1.1 《高等代数--线性代数》高等代数可以认为处理的是有限维线性空间的理论.如果严格一点,关于线性空间的理论应该叫线性代数,再加上一点多项式理论(就是可以完完全全算做代数的内容的)就叫高等代数了.这门课在西方的对应一般叫Linear Algebra,就是苏联人喜欢用高等这个词,你可以在外国教材中心里面找到一本Kurosh(库落什)的Higher Algebra.从这门课的内容上说,是可以有很多种讲法的.线性空间的重点自然是线性变换,那么如果在定义空间和像空间里面取定一组基的话,就有一个矩阵的表示.因此这门课的确是可以建立在矩阵论上的.而且如果要和数值搭界的话还必须这么做.复旦以前有两本课本就是这么做的.1.蒋尔雄,吴景琨等"线性代数"这是那时候计算数学专业的课本,其教学要求据说是比数学专业相应的课程要高的.因为是偏向计算的缘故,你可以找到一些比较常用的算法.我个人以为还是比较有意思的.2.屠伯埙等"高等代数"这就是在上海科技出版的一整套复旦数学系教材里讲高等代数的那本.不记得图书馆里面有,不过系里可能可以买到翻印的.这本书将80%的篇幅贡献给矩阵的有关理论.有大量习题,特别是每章最后的"选做题".能独立把这里面的习题做完对于理解矩阵的各种各样的性质是非常有益的.当然这不是很容易的:据说屠先生退休的时候留下这么句话:"今后如果有谁开高等代数用这本书做教材,在习题上碰到麻烦的话可以来找我."有此可见一斑.如果从习题方面考虑,觉得上面的书太难吃下去的话,那么下面这本应该说是比较适当的.3.屠伯埙等"线性代数-方法导引"这本书比上面那本可能更容易找到,里面的题目也更"实际"一些.值得一做.另外,讲到矩阵论.就必须提到4.甘特玛赫尔"矩阵论" （P.IAHTMAXEP）我觉得这恐怕是这方面最权威的一本著作了.其中译者是柯召先生.在这套分两册的书里面,讲到了很多不纳入通常课本的内容.举个例子,大家知道矩阵有Jordan标准型,但是化一个矩阵到它的Jordan标准型的变换矩阵该怎么求?请看"矩阵论".这书里面还有一些关于矩阵方程的讨论,非常有趣.5.许以超"线性代数和矩阵论"虽然许先生对复旦不甚友好(高三那会他对我说要在中国念大学数学系要么去北大,要么去科大--他是北大毕业的,现在数学所工作--我可没听他的),但是必须承认这本书还是写得很不错的,习题也不错.必须指出,这里面其实对于空间的观念很重视.不管怎么样,他还是算华先生的弟子的.6.华罗庚"高等数学引论"华先生做数学研究的特点是其初等直观的方法别具一格,在矩阵理论方面他也有很好的工作.甘特玛赫尔的书里面你只能找到两个中国人的名字,一个是樊畿先生,另一个就是华先生.可能是他第一次把下述观点引进中国的数学教材的(不记得是不是在这本书里面了):n阶行列式是n个n维线性空间的笛卡尔积上唯一一个把一组标准基映到1的反对称线性函数.这就是和多线性代数或者说张量分析的观点很接近了.高等代数的另外一种考虑可能是更加代数化的.比如7.贾柯勃逊(N.Jacobson) Lectures on Abstract Algebra ,II inear Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31 ("抽象代数学"第二卷:线性代数)这里想说的是,这套书的中译者黄缘芳先生,大概数学系里面已经没多少人还记得文革前复旦有这么一位代数学教授了.8.Greub Linear Algebra(GTM23)这里面其实更多讲的是多线性代数.里面的有些章节还是值得一读的.还有两本书我觉得很好,不知道图书馆里面是不是有:9.丘维声"高等代数"(上,下)北大94级的课本,相当不错.特点是很全,虽然在矩阵那个方向没有上面提到的几本书将得深,但是在空间理论,具体的说一些几何化的思想上讲得还是非常清楚的.多项式理论那块也讲了不少.10.李炯生,查建国"线性代数"这是中科大的课本,可能是承袭华先生的一些传统把,里面有一些内容的处理在国内可能书属于相当先进的了.1.2 《空间解析几何》空间解析几何实在是一门太经典,或者说古典的课.从教学内容上说,可以认为它描述的主要是三维欧氏空间里面的一些基本常识,包括最基本的线性变换(那是线性代数的特例),和二阶曲面的不变量理论.在现行的复旦的教材,苏先生,胡先生他们编的"空间解析几何"里面,最后还有一章讲射影几何.这本书非常之薄.但是内容还是比较丰富的.特别是有些习题并不是非常容易.最后一章射影的内容还不是很好念的.可以考虑的参考书包括:1.陈(受鸟) "空间解析几何学"内容基本上和课本差不多,不过要厚许多,自然要好念点.陈先生是吴大任先生(大猷先生的堂弟,南开多年的教务长) 的夫人,也是中国早期留学海外的女学者.2.朱鼎勋"解析几何学"这本书基本上只在欧氏空间里面讨论问题.优点是非常易懂,连二维的不变量理论也在附录里面交代得异常清楚.那里面的习题也比较合理,不是非常的难(如果我没有记错的话).朱先生相当有才华,可惜英年早逝.如果想了解比较"新"的动态,可以考虑3.Postnikov"解析几何学与线性代数(?)"(第一学期)这是莫斯科大学新的课本,从课程形式就可以看出,解析几何这样一门课如果不是作为对刚进大学的学生的一个引导,给出一些具体的对象的话,迟早是要给吃到线性代数里面去的.海外教材中心有一本英文本.我个人以为,现在教委的减轻学生负担的做法迟早是要遭报应的.中国的中学教育水平也就比美国最糟糕的中学好点,从整体上说,比整个欧洲都要差.我相信所谓三维的"解析"几何的内容总有一天要下放到高中里面去.上面的书如果撑不饱你,你又不想学其它的课程的话.可以考虑下面两本经典.其好处是看过以后可以对很多几何对象(当然具体说是指三维空间里面的二次曲面)有相当深刻的了解. 4.狄隆涅"(解析)几何学"这套三卷本的大书包括了许多非常有意思的讨论,记得五年前看的时候感觉非常有意思.这位苏联科学院院士真是够能写的.5.穆斯海里什维利"解析几何学教程"这套书在上面提到的陈先生的书里面就多次引用了.具体的说特别值得参考的是它里面关于射影的一些观点和讲法(比如认为椭圆也是有渐近线的,只不过是"虚"的而已).1.3 《常微分方程》从常微分方程开始,数学课就变成没底的东西,每一个标题做下去都是数学研究里面庞大的一块.对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断.这里我打算还是从现行课本讲起.常微分方程这门课,金福临先生和李迅经先生在六十年代写过一本课本,后来在八十年代由控制那一块的老师们修订了一下,变成第二版,就是现在常用的课本.上海科技出版社出版.应该说,金先生他们的第一版在今天看来还是很好的一本课本(这本书估计受了下面的一本参考书的不小的影响), 该书在理图老分类的那一块里有. 但是第二版有那么点不敢恭维.不知为什么,似乎这本书对具体方程的求解特别感兴趣,对于一些比较"现代"的观点,比如定性的讨论等等相当地不重视.最有那么点好笑的是在某个例子中(好象是介绍Green函数方法的),在解完了之后话锋一转,说"这个题其实按下面的办法解更简单..."而这个所谓更简单的办法是根本不具一般性的.下面开始说参考书,毫无疑问,我们还是得从我们强大的北方邻国说起.1.彼得罗夫斯基"常微分方程讲义"在20世纪数学史上,这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位.从学术上说,他在偏微那一块有非常好的工作,五十年代谷先生去苏联读学位的时候还参加过他主持的讨论班.他从三十年代末开始就转向行政工作.在他早年的学生里面有许多后来苏共的高官,所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个保护伞,他本人也以一个非共产党员得以做到苏联最高苏维埃主席团成员.下面将提到的那个天不怕地不怕的Arnold提起他来还是满恭敬的.他这本书在相当长的时期里是标准教材,但是可能和性格,地位有关吧,对此书的一种评论是有学术官僚作风,讲法不是非常活泼.2.庞特里亚金"常微分方程"庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明,在母亲的鼓励和帮助下,他以惊人的毅力走上了数学道路,别的不说,光看看他给后人留下的"连续群","最佳过程的数学理论",你就不得不对他佩服得五体投地,有六体也投下来了.他的这本课本就是李迅经先生他们翻译的.此书影响过很多我们的老师辈的人物,也很大的影响了复旦的课本.如果对没有完全简化的字不感冒的话绝对值得一读.下面转到欧美方面,3.Coddington & Levinson "Theory of Ordinary Differnetial Equations"这本书自五十年代出版以来就一直被奉为经典,数学系里有.说老实话这书里东西太多,自己看着办吧.比较"现代"的表述有4.Hirsh & Smale "Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems"(中译本"微分方程,线性代数和动力系统")这两位重量级人物写的书其实一点都不难念,非常易懂.所涉及的内容也是非常基本,重要的.关于作者嘛, 可以提一句,Smale现在在香港城市大学,身价是三年1000万港币.我想称他为在中国领土上工作的最重要的数学家应该没有什么疑问.5.Arnol\'d "常微分方程"必须承认,我对Arnol\'d是相当崇拜的.作为Kolmogorov的学生,他们两就占了KAM里的两个字母.他写的书,特别是一些教材以极富启发性而著称.实际上,他的习惯就是用他自己的观点把相应的材料全部重新处理一遍.从和他的几个学生的交往中我也发现他教学生的本事也非常大.特别是他的学生之间非常喜欢讨论,可能是受他言传身教的作用吧.他自己做学生的时候就和其它几个学生(都是跟不同的导师的)组织了讨论班,互相教别人自己的专长,想想这里都走出来了些什么人物吧:Anosov,Arnol\'d,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可见互相讨论的重要性.从学术观点上说,他更倾向于比较几何化的想法,在这本书里面也得到了相当的体现.近年来,Arnol\'d对于Bourbaki的指责已经到了令大家瞠目结舌的程度.不过话说回来,在日常生活中他还是个非常平易近人的人,至少他的学生们都是这么说的.这本书理图里有中译本,不过应当指出译者的英文水平不是很高,竟然会把"北极光"一词音译,简直笑话. 再说一句,Arnol\'d的另外一本书,中文名字叫"常微的几何方法...."的,程度要深得多.看了半天,讲来讲去都是外国人写的东西,有中国人自己的值得一看的课本吗?答曰Y es.6.丁同仁,李承治"常微分方程教程"这绝对是中国人写的最好的常微课本,内容翔实,观点也比较高.在复旦念这本书还有一个有利的地方,袁小平老师是丁先生的弟子,有不懂的话不愁找不到人问.附带提一句,理图里面有这书,但是是第一次(?)印刷的,里面有一个习题印错了,在后来印刷的书里面有改动.再说一句,就是真的对解方程感兴趣的话不妨去看看7.卡姆克(Kamke) 常微分方程手册那里面的方程多得不可胜数, 理图里有.对于变系数常微分方程,有一类很重要的就是和物理里常用的特殊函数有关的.对于这些方程,现在绝对是物理系的学生比数学系的学生更熟悉.我的疑问是不是真有必要象现在物理系的"数学物理方法"课里那样要学生全部完全记在心里.事实上,我很怀疑,不学点泛函的观点如何理解这些特殊函数系的"完备性",象8.Courant-Hilbert "数学物理方法"第一卷可以说达到古典处理方法的顶峰了,但是看起来并不是很容易的.我的理解是学点泛函的观点可以获得一些统一的处理方法,可能比一个函数一个方法学起来更容易一些. 而且，9.王竹溪,郭敦仁"特殊函数概论"的存在使人怀疑是不是可以只对特殊函数的性质了解一些框架性的东西,具体的细节要用的时候去查书.要知道,查这本书并不是什么丢人的事情,看看扬振宁先生为该书英文版写的序言吧:"(70年代末)...我的老师王竹溪先生送了我一本刚出版的\'特殊函数概论\'...从此这本书就一直在我的书架上,...经常在里面寻找我需要的结论..."连他老先生都如此,何况我们?1.4 《单复变函数》单复变函数论从它诞生之日(1811年的某天Gauss给Bessel写了封信,说"我们应当给\'虚\'数i 以实数一样的地位...")就成为数学的核心,上个世纪的大师们基本上都在这一领域里留下了一些东西,因此数学的这个分支在本世纪初的时候已经基本上成形了.到那时为止的成果基本上都是学数学的学生必修的东西.1.范莉莉,何成奇"复变函数论"这是上海科技出版的那套书里面的复变.今天回过头来看,这本书讲的东西也不是很难,包括那些数量很不少的习题.但是做为第一次学的课本,应当说还不是很容易的.总的说来,从书的序言里面列的参考书目就可以看出两位先生是借鉴了不少国际上的先进课本的.不知道数学系的学生还发这本书吗?如果要列参考书的话,单复变的课本真是多得不可胜数,从比较经典的讲起吧:2.普里瓦洛夫"复变函数(论)引论"这是我们的老师辈做学生的时候的标准课本.内容翔实,具有传统的苏联标准课本的一切特征.听说过这么一个小故事:普里瓦洛夫是莫斯科大学的教授,一次期末口试(要知道,口试可比笔试难多了,无论是从教师还是从学生的角度来说),有一个学生刚走进屋子,就被当头棒喝般地问了一句"sin z有界无界?"此人稀里糊涂地回答了一句"有界",就马上被开回去了,实在是不幸之至.3.马库雪维奇"解析函数论(教程?)"这本厚似砖头的书可以在总书库里找到.它比上面这本要深不少.张老师说过,以前学复变的学生用2.做课本,学完后再看3.,然后就可以开始做研究了. 这本书的一个毛病是它喜欢用自己的一套数学史,所以象Cauchy-Riemann方程它也给换了个名字,好象是Euler-D\'Alembert 吧!再说点西方的:4.L.Alfors(阿尔福斯) "Complex Analysis(复分析)"这应该是用英语写的最经典的复分析教材.Alfors是本世纪最重要的数学家之一(仅有的四个既得过Fields奖又得过Wolf奖的人物之一),单复变及相关领域正好是他的专长.他的这本课本从六十年代出第一版开始就好评如潮,总书库里面有英文的修订本,理图里面是不是有中译本(好象是张驰译的)记不清了,建议还是看英文的.这里需要说明的是,复分析在十九世纪的三位代表人物分别对应三种处理方式:Cauchy--积分公式;Riemann--几何化的处理;Weierstrass--幂级数方法.这三种方法各有千秋,一半的课本多少在其中互有取舍.Alfors的书的处理可以说是相当好的.5.H.Cartan(亨利.嘉当) "解析函数论引论"这位Bourbaki学派硕果仅存的第一代人物在二十世纪复分析的发展史上也占有很重要的地位.他在多复变领域的很多工作是开创性的.这本课本内容不是很深,从处理方法上可以算是Bourbaki学派的上程之作(无论如何比那套"数学原理"好念多了:-))6.J.B.Conway "Functions of One Complex V ariable"(GTM 11) "Functions of One Complex V ariable,II"(GTM 159)(GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-V erlag的一套丛书,后面的数字是编号)第一卷也是 1.的参考书目之一.作者后来又写了第二卷.当然那里面讲述的内容就比较深一点了.这本书第一卷基本上可以说是Cauchy+Weierstrass,对于在1.中占了不少篇幅的Riemann的那套东西要到第二卷里面才能看到.7.K.Kodaira(小平邦彦) "An Introduction to Complex Analysis"这就是四年前张老师给我们94理基的7个人开课是用的课本.Kodaira也是一位复分析大师,也是Fields+Wolf.这本书属于"不深,但该学的基本上都有了"的那种类型.总书库或系资料室有.需要注意的是这本书(英译本)的印刷错误相对多,250来页的书我曾经列出过100多处毛病.由此我对此书的英译者F.Beardon极为不满,因为同样Beardon自己的一本"Complex Analysis"我就找不出什么错.人家的课本基本上就是这些了.下面说说习题9.G.Polya(波利亚),G.Szego(舍贵)的"数学分析中的问题和定理"第一卷的后半段就是单复变的相当高质量的习题,第二卷的大部分也是,只不过那就有点太过专门了而已.看看这本书的序言就可以多少体会到单复变的地位了.一般来说,里面的题目都有答案或提示,不过我以为一般来说还是可以独立做出来的.10."解析函数论习题集"实在不好意思,作者(大概是三个苏联人)的名字忘了,这本书里面的题目相当多.理图里面有,系资料室有一本英文的.其它的书我认为可以翻翻的包括11.张南岳,陈怀惠"复变函数论选讲"这是北大出版的研究生课本,基本上可以说和上面提到的Conway的第二卷属于同一水平.从内容上来看,第一章"正规族",第二章"单连通区域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函数"同样如此.看一点第七章"Gamma函数和Riemann zeta函数"(这部分内容在6.里面也有),然后去看12.J.-P. Serre(塞尔) "A course of Arithmetics"(数论教程)。

2015考研数学高等数学零基础入门讲义

x0
并称 x0 为 f ( x ) 的连续点.否则称 x0 为 f ( x ) 的间断点. 定义 2：设函数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有定义，如果有 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，那么就称 f ( x ) 在 x0
x x0
处连续，否则在 x0 处间断. 注： lim f ( x) f ( x0 ) lim f ( x) lim f ( x) f ( x0 ) ，
x 0
（4）无穷大量定义：任給 M 0 ，当 x 变化一定以后，总有 f x M ，则称 f x 为无穷大量，记 lim f x . （5）无穷小和无穷大的关系： 1) 若 lim f ( x ) ，则 lim
1 0； f ( x)
2) 若 lim f ( x ) 0 ，且 f ( x ) 0 ，则 lim
（ Qm ( x0 ) 0)
0 当m n时 a x a x a1 x a0 am ＝当m n时 lim m n m1 n 1 x b x b b1 x b0 n n 1 x bn 当m n时
1 . f ( x)
第三讲
【教学目的】掌握微积分的理论基础
函数、极限、连续
【教学重点】连续的定义以及间断点的类型【教学难点】连续与间断的判定【内容展开】 1．函数在某点连续的定义：定义 1：设函数 f ( x ) 在 U ( x0 ) 内有定义, 且 lim y 0 ,此时就称函数 f ( x ) 在点 x0 连续,
f ( x) lim f ( x) A （ B 0) g ( x) lim g ( x) B
注意：该性质要运用时一定要注意每一部分都要有极限才能使用 3．极限的计算（1）极限存在的两个准则，则有极限. 定理 1（单调有界准则）：若数列 xn 满足单调上升（下降）有上界（下界）定理 2（夹逼准则）：设数列 xn 满足以下两个条件 1）从某项起 y n xn z n 2） lim y n lim z n a

大学高等数学基础教材答案

大学高等数学基础教材答案（字数：1631）第一章：函数与极限1. 函数与映射1.1 函数定义与性质1.2 函数的四则运算1.3 反函数与复合函数2. 极限的概念与性质2.1 极限的定义2.2 极限存在的判定定理2.3 极限的性质与四则运算2.4 极限存在的唯一性3. 极限运算法则3.1 数列极限的性质3.2 函数极限的性质3.3 极限运算法则第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质1.1 导数定义1.2 导数存在的条件1.3 函数可导的判定定理2. 导数运算法则2.1 基本导数运算法则2.2 高阶导数与Leibniz公式3. 高阶导数与隐函数求导3.1 高阶导数定义与性质3.2 隐函数求导原理第三章：微分中值定理及其应用1. 微分中值定理1.1 罗尔中值定理1.2 拉格朗日中值定理1.3 柯西中值定理2. 函数的极值与最值2.1 函数极值的判定定理2.2 求解函数最值的方法3. 函数图形的简单性质与描绘 3.1 函数的对称轴与奇偶性3.2 函数的图像描绘第四章：不定积分1. 不定积分的定义与性质1.1 不定积分的定义1.2 不定积分的基本性质2. 基本不定积分与换元积分法 2.1 基本不定积分表2.2 第一换元法2.3 第二换元法3. 分部积分法与有理函数的积分 3.1 分部积分法3.2 有理函数的积分第五章：定积分1. 定积分的概念与性质1.1 定积分的定义1.2 定积分的基本性质1.3 可积函数与Riemann积分2. 定积分计算方法2.1 基本积分公式2.2 定积分的几何应用3. 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的换元法 3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.2 定积分的换元法第六章：微分方程1. 微分方程的基本概念1.1 微分方程的定义与解1.2 微分方程的阶与类型2. 可分离变量的微分方程2.1 可分离变量的微分方程解法2.2 可分离变量的应用3. 一阶线性微分方程3.1 一阶线性微分方程解法3.2 一阶线性微分方程的应用第七章：级数1. 级数的定义及基本性质1.1 级数的定义1.2 级数的基本性质1.3 级数的敛散性判定2. 收敛级数的性质与判别法2.1 收敛级数性质2.2 正项级数判别法2.3 任意项级数判别法3. 幂级数3.1 幂级数的性质3.2 幂级数的收敛半径以上是大学高等数学基础教材的答案，希望对你的学习有所帮助。

高等数学基础知识点大全94页完美打印版

高等数学基本知识点一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。

大学高等数学基础教材下册

大学高等数学基础教材下册第一章导数和微分第一节函数导数的定义与性质第二节常见函数的导数1. 幂函数的导数2. 指数函数的导数3. 对数函数的导数4. 三角函数的导数5. 反三角函数的导数第三节高阶导数1. 二阶导数2. 高阶导数的计算第四节隐函数与参数方程的导数1. 隐函数的导数2. 参数方程的导数第二章积分与定积分第一节不定积分1. 基本积分表2. 特殊积分a. 有理函数的积分b. 三角函数的积分c. 指数函数与对数函数的积分第二节定积分1. 定积分的定义2. 定积分的性质3. 定积分的计算方法a. 改变积分区间b. 分部积分法c. 凑微分法4. 定积分的应用a. 几何应用b. 物理应用c. 经济应用第三章微分方程第一节微分方程的基本概念1. 微分方程的定义2. 解的概念第二节常微分方程1. 高阶线性常微分方程a. 齐次线性微分方程b. 非齐次线性微分方程2. 一阶线性常微分方程3. 可分离变量微分方程4. 高阶常系数齐次线性微分方程5. 可降阶的高阶常系数齐次线性微分方程第三节常微分方程的应用1. 生物学应用2. 物理学应用3. 工程学应用第四章无穷级数第一节数项级数1. 无穷级数的收敛与发散2. 收敛级数的性质3. 收敛级数的求和第二节幂级数1. 幂级数的基本概念2. 幂级数的收敛域3. 幂级数的性质第三节泰勒级数1. 泰勒级数的定义2. 常见函数的泰勒展开a. 指数函数的泰勒展开b. 对数函数的泰勒展开c. 三角函数的泰勒展开第五章多元函数微分学第一节二元函数的极限与连续1. 极限的定义2. 连续的定义第二节偏导数与全微分1. 偏导数的定义与计算2. 全微分的定义与计算第三节隐函数与参数方程的偏导数与全微分1. 隐函数的偏导数与全微分2. 参数方程的偏导数与全微分第六章多元函数的积分学第一节二重积分1. 二重积分的定义与性质2. 二重积分的计算方法a. 矩形区域上的二重积分b. 一般区域上的二重积分c. 极坐标下的二重积分第二节三重积分1. 三重积分的定义与性质2. 三重积分的计算方法a. 长方体上的三重积分b. 一般区域上的三重积分c. 柱面坐标与球面坐标下的三重积分第三节多重积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 经济应用第七章空间解析几何基础第一节空间直线与平面1. 空间直线的方程2. 空间平面的方程第二节空间曲线与曲面1. 空间曲线的参数方程2. 空间曲面的方程第三节空间向量与标量积1. 空间向量的定义与性质2. 空间向量的运算3. 空间向量的模与方向角4. 空间向量的数量积与向量积第四节空间直线与平面的位置关系1. 点与直线的位置关系2. 直线与平面的位置关系3. 平面与平面的位置关系第八章多元函数微分学应用第一节多元函数的极值与条件极值1. 多元函数的极值与最值2. 多元函数的条件极值第二节多元函数的梯度与方向导数1. 多元函数的梯度2. 多元函数的方向导数第三节多元函数的泰勒展开1. 二元函数的泰勒展开2. 三元函数的泰勒展开第九章多重积分的应用第一节物理应用1. 质心与重心2. 质量、重力与力矩第二节统计应用1. 概率密度函数与分布函数2. 期望值与方差第十章曲线与曲面积分第一节曲线积分1. 第一类曲线积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲线积分a. 定义b. 性质与计算第二节曲面积分1. 第一类曲面积分a. 定义b. 性质与计算2. 第二类曲面积分a. 定义b. 性质与计算第十一章常微分方程的定性与数值解第一节常微分方程的定性1. 稳定性与解的性态2. 解的存在唯一性第二节常微分方程的数值解1. 插值法2. 数值微分与数值积分3. 数值解的稳定性第十二章矩阵与线性方程组第一节矩阵的基本概念1. 矩阵的定义与运算2. 矩阵的基本性质第二节线性方程组的解1. 线性方程组的表示与解的存在唯一性2. 齐次线性方程组的基础解系3. 非齐次线性方程组的通解与特解第三节矩阵的秩与逆矩阵1. 矩阵的秩与线性独立性2. 逆矩阵的定义与性质第十三章局部极值与最值第一节多元函数的极值与最值1. 多元函数的极值与最值的定义2. 多元函数的极值判定第二节约束条件下的极值与最值1. 拉格朗日乘子法2. 约束条件下的条件极值第十四章重积分的应用第一节应用于质量与质心1. 三维物体的质量2. 质心的位置与坐标第二节应用于流量与通量1. 二维平面上的流量2. 曲面上的通量第十五章傅里叶级数与傅里叶变换第一节傅里叶级数1. 傅里叶级数的定义2. 傅里叶级数的性质第二节傅里叶变换1. 傅里叶变换的定义2. 傅里叶变换的性质。

2020年湖南师范大学605高等数学基础考研专业课考试大纲(含参考书目)

湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题考试大纲
（含参考书目清单）
考试科目代码：[605] 考试科目名称：高等数学基础
一、考试形式与试卷结构
1)试卷成绩及考试时间：
本试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

高等数学基础篇教材

高等数学基础篇教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它是一门极具挑战性的学科，涵盖了微积分、线性代数、概率论等多个分支。

而学习高等数学的第一步，就是从基础篇教材开始。

在高等数学基础篇教材中，学生将接触到许多重要的概念和定理，这些知识将为他们打下坚实的数学基础。

教材通常按照章节进行组织，每个章节都涵盖了一个特定的主题。

下面我们将从微积分、线性代数和概率论三个方面来介绍高等数学基础篇教材中的内容。

微积分是高等数学的核心内容之一。

在微积分部分，教材会介绍导数和积分这两个基本概念。

首先是导数，学生将学习如何求解函数在某一点的斜率，以及导数的基本性质和计算方法。

然后是积分，学生将了解积分的几何意义和计算方法，以及通过积分计算曲线下的面积或弧长。

此外，教材还会介绍微分方程、多元函数微积分等内容，帮助学生理解微积分在实际问题中的应用。

线性代数是高等数学中另一个重要的分支。

在线性代数部分，教材将主要介绍向量、矩阵和线性方程组的基本概念和运算法则。

学生会学习向量的线性组合、内积外积以及向量空间的性质。

矩阵的内容包括矩阵的加减乘法、逆矩阵和特征值等。

而线性方程组的内容涉及齐次和非齐次线性方程组的解法，以及矩阵的行列式和秩等概念。

线性代数的知识将为学生今后学习更高级的数学和应用数学打下基础。

概率论是高等数学中的另一个重要内容。

在概率论部分，教材会教授学生如何计算事件的概率，并介绍概率的基本性质和运算法则。

学生将学习随机变量、概率分布以及期望和方差等概念。

此外，教材还会介绍大数定律和中心极限定理等重要的概率论理论。

概率论的知识不仅在统计学和概率统计学中有广泛的应用，也在其他学科中发挥着重要的作用。

总结一下，在高等数学基础篇教材中，微积分、线性代数和概率论是三个重要的学科。

通过研究这些学科，学生将掌握数学的基本概念和运算法则，为今后的学习打下坚实的基础。

同时，高等数学基础篇教材还会引导学生学会运用数学知识分析和解决实际问题，培养他们的数学思维和创新能力。

高等数学基础教材上册目录

高等数学基础教材上册目录【高等数学基础教材上册目录】第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限的定义与性质1.3 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的定义与求导法则2.2 函数的微分与近似计算2.3 高阶导数与高阶微分第三章：一元函数的应用3.1 函数的单调性与极值3.2 函数的图像与曲线的凸凹性3.3 驻点与拐点的判定方法第四章：多元函数及其微分学4.1 多元函数的概念与性质4.2 偏导数与全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数第五章：一元函数积分学5.1 不定积分与不定积分法5.2 定积分的概念与性质5.3 定积分的计算方法第六章：多元函数积分学6.1 二重积分的概念与性质6.2 三重积分的概念与性质6.3 曲线积分与曲面积分第七章：常微分方程7.1 一阶常微分方程与初值问题7.2 二阶常系数线性齐次微分方程7.3 高阶线性齐次微分方程第八章：级数与幂级数8.1 数项级数的概念与性质8.2 幂级数的收敛半径与和函数8.3 函数的泰勒展开与幂级数展开第九章：常微分方程的级数解法9.1 二阶微分方程的级数解法9.2 非齐次线性微分方程的级数解法9.3 常微分方程组的级数解法第十章：线性代数基础10.1 向量与矩阵的基本概念与运算10.2 线性方程组的解法与矩阵的初等变换10.3 矩阵的特征值与特征向量第十一章：线性方程组与矩阵的应用11.1 矩阵的相似对角化与对角化的应用11.2 线性方程组稳定性分析11.3 矩阵的二次型与正定性判定第十二章：多元函数的泛函分析12.1 标架空间与线性空间的性质12.2 置换算子与对称变换的特征值问题12.3 点集拓扑与连续映射第十三章：傅里叶级数与傅里叶变换13.1 傅里叶级数的基本概念与性质13.2 傅里叶级数的收敛与满足条件的函数展开13.3 傅里叶变换的基本概念与性质第十四章：常微分方程的变分法14.1 非定常泛函与泛函极值问题14.2 欧拉方程与最小作用量原理14.3 约束条件下的变分问题第十五章：偏微分方程的基本理论15.1 偏微分方程基本概念与分类15.2 二阶线性偏微分方程的特征方程与性质15.3 分离变量法与定解问题的解法这是《高等数学基础教材上册》的目录，让我们逐步深入了解高等数学的各个领域与概念。

高等数学零基础同济教材版

高等数学零基础同济教材版高等数学是大部分理工科专业学生必修的一门重要课程，对于零基础的同学来说，可能会感到困惑和压力。

然而，同济大学出版社的《高等数学同济教材版》为我们提供了一本详尽的教材，旨在帮助初学者轻松入门，并逐步提高数学水平。

《高等数学同济教材版》是为大学生编写的一本教材，针对零基础的学生进行了全面易懂的讲解。

本教材不仅内容全面，而且编排合理，使学生可以逐步深入理解数学的基本概念和方法。

下面，我们将从几个方面介绍这本教材的特点和优势。

首先，该教材采用了教材标准结构，包括导言、主体内容和习题，使学习过程更加有条不紊。

导言部分对该章节的主要内容进行了简要介绍，激发了学生的学习兴趣。

主体内容详细地讲解了各个概念和理论，使用通俗易懂的语言，避免了高深数学术语的使用，使学生更容易理解和掌握知识点。

而习题部分提供了丰富的练习题，有助于学生巩固所学的知识，并培养解决实际问题的能力。

其次，教材的内容贴近实际，注重实践应用。

对于零基础的学生来说，数学概念可能较为抽象，难以理解。

但是，《高等数学同济教材版》通过实际应用的案例和示例问题来解释概念，帮助学生将抽象的数学概念与实际问题联系起来。

例如，在讲解极限的时候，教材给出了很多实际问题，如速度、密度等，使学生能够更好地理解极限的概念和应用。

此外，教材还包括了大量的图表和图像，以图文并茂的方式呈现知识点，使学习过程更加直观和生动。

图表和图像可以帮助学生更清晰地理解数学概念和数学方法，减少了学习时的困惑和疑惑。

同时，教材还给出了详细的步骤和解题思路，引导学生正确地进行数学推导和计算，培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

最后，教材还附有答案和解析，供学生进行自测和对照。

这样，学生可以及时了解自己的学习成果，找到自己的不足之处，并进行及时纠正。

同时，答案和解析也可以帮助学生更好地理解和掌握解题方法，提高解题的准确性和效率。

总的来说，《高等数学同济教材版》是一本非常优秀的教材，适合零基础学生学习和掌握高等数学知识。

2023高考数学基础知识清单

2023高考数学基础知识清单2023年高考数学基础知识清单高考是每位学生求学生涯中的一场重要考试，而数学作为其中的一科，具备着重要的地位。

为了帮助同学们更好地备考和复习，以下是2023年高考数学基础知识清单，希望能够对大家有所帮助。

1. 数系与集合论1.1 自然数、整数、有理数、实数和复数的概念及其表示方法1.2 集合的概念、基本运算、集合间的关系和函数的概念2. 代数基础2.1 代数式的基本概念和性质，如同类项、合并同类项、提公因式等2.2 一次、二次和简单高次方程的解法2.3 二次函数及其图像、性质和应用3. 几何基础3.1 点、线、面和体的基本概念3.2 直线、射线、线段、角的基本性质和相互关系3.3 三角形、四边形和多边形的基本性质3.4 圆的基本概念、性质和相关定理的应用4. 函数基础4.1 函数的概念、性质和表示方法4.2 幂函数、指数函数、对数函数和三角函数的性质和图像特征4.3 函数的运算、复合函数和反函数的求解5. 排列与组合5.1 排列、组合和二项式系数的概念与计算5.2 错排、组合恒等式等排列组合问题的解法6. 概率与统计6.1 随机事件与概率的基本概念与计算6.2 离散型随机变量及其分布律、数学期望与方差的计算6.3 统计基本概念，如样本调查、频率分布、样本均值和总体均值的估计等7. 数列与数学归纳法7.1 等差数列、等比数列及其前n项和的计算7.2 递推数列、定义域、递推式、通项公式及其应用7.3 数学归纳法的基本原理和使用方法8. 解析几何8.1 点、向量、线、曲线的基本概念与性质8.2 向量的线性运算、数量积、向量积的计算和应用8.3 直线与圆的方程及其相互关系的分析和应用9. 导数与微分9.1 函数的导数与导数的基本性质9.2 常见初等函数的导数及其应用9.3 微分的基本概念与计算10. 定积分与不定积分10.1 函数的定积分与不定积分的基本概念与性质10.2 基本初等函数的不定积分和定积分的计算10.3 定积分的应用，如曲线与坐标轴所围的面积、平均值等以上就是2023年高考数学基础知识清单的内容，希望同学们能够认真复习并熟练掌握这些知识点。

高等数学基础教程

高等数学基础教程高等数学基础教程是大学数学系列课程中的一门重要课程，它是建立在初等数学知识的基础上，对数学的基本概念、原理和方法进行深入探讨的一门学科。

本文将为大家介绍高等数学基础教程的内容和重要性。

高等数学基础教程主要包括数列和级数、函数与极限、微分学和积分学等内容。

首先是数列和级数部分，这一部分主要介绍了数列及其性质，如收敛性、极限等，以及级数的概念和性质。

通过数列和级数的学习，可以帮助学生建立起数学思维和推理的基础。

其次是函数与极限部分，这一部分是高等数学的核心内容之一。

它介绍了函数的概念、性质和运算规则，同时讲解了极限的定义、性质和运算法则。

函数与极限是高等数学中最基本也是最重要的概念之一，它为后续的微积分学和微分方程学打下了坚实的基础。

接下来是微分学部分，微分学是高等数学的核心内容之一。

在微分学部分中，我们学习了导数的定义、性质和相关的计算方法，以及函数的凹凸性、最值和曲线的图像等内容。

微分学可以帮助我们理解和描述函数的变化规律，为我们研究和解决实际问题提供了有效的数学工具。

最后是积分学部分，积分学是高等数学的另一个重要分支。

在积分学部分中，我们学习了不定积分和定积分的概念、计算方法和性质，以及积分与微分的关系、曲线下面积的计算等内容。

积分学是微分学的反向过程，它可以帮助我们求解面积、体积、曲线长度等实际问题。

高等数学基础教程的学习对于培养学生的数学思维、逻辑思维和分析能力非常重要。

通过学习高等数学，我们可以更加深入地理解数学的抽象概念和原理，提高数学问题的解决能力。

同时，高等数学也是其他理工科学科的基础，如物理学、化学、经济学等，它们都需要高等数学的方法和工具。

总之，高等数学基础教程是大学数学课程中的一门重要课程，它涵盖了数列和级数、函数与极限、微分学和积分学等内容。

通过学习这门课程，我们可以建立起数学思维和推理的基础，为后续学习打下坚实的基础，并为解决实际问题提供有效的数学工具。

希望大家能够重视高等数学基础教程的学习，积极提高自己的数学素养。

2010年上海交通大学参考书目

634设计史论
《中国工艺美术史新编》尚刚编著，高等教育出版社；《外国现代设计史》钱凤根、于晓红编著，西南师范大学出版社，《艺术设计概论》李砚祖编著
635传播学原理
《传播学原理》（第二版复旦大学出版社2009年7月）；《大众传媒素养论》陈先元著上海交通大学出版社2005
636影视艺术理论
《影视艺术鉴赏》吴贻弓、李亦中主编北京大学出版社2004；《中国电视史》郭镇之著文化艺术出版社1997
601药物化学基础
（每门150分，任选二门，共300分）《基础有机化学》邢其毅主编，高等教育出版社；《药物化学》双语教材李绍顺主编，科学出版社，2009；《天然药物化学》（第5版）吴立军主编，人民卫生出版社。
602药剂学基础
（每门150分，任选二门，共300分）《药剂学》第6版，崔福德主编（药学专业用），人民卫生出版社，2007.7；《物理化学》（上下册）第四版天津大学物理化学教研室编，王正列等修订，高等教育出版社；《基础有机化学》邢其毅主编，高等教育出版社；《生物化学》(第５版)吴梧桐主编（药学专业用），人民卫生出版社2006.7
《自动控制理论与设计》(新世纪版)徐薇莉、曹柱中、田作华编上海交通大学出版社2005；《现代控制理论基础》施颂椒、陈学中、杜秀华编著高等教育出版社2005；《自动控制原理》胡寿松编著科学出版社第四版
817自动控制原理
633美术史论
《中国绘画史》王伯敏著，上海人民美术出版社，1982年；《艺术的故事》贡布里希著，范景中译，林夕校，三联书店，1999年；《艺术风格学——美术史的基本概念》海因里希·沃尔夫林著，潘耀昌译，中国人民大学出版社，2004年；《希腊人的艺术》，温克尔曼著，邵大箴译，广西师范大学出版社，2001年
613城市规划原理

高等数学基础知识

高等数学基础知识高等数学是大学理工科学生必修的一门基础课程，它在数学领域中占据着核心地位，是许多后续专业课程的基石。

高等数学的学习不仅要求学生掌握一系列数学概念、定理和公式，还要求具备良好的逻辑推理能力和抽象思维能力。

以下是高等数学基础知识的概述：1. 极限与连续极限是高等数学中一个非常重要的概念，它描述了函数在某一点附近的行为。

当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于某个极限值，我们称这个极限值是函数在该点的极限。

连续性是函数的一个重要性质，一个函数在某区间内每一点都连续，我们称这个函数在该区间内是连续的。

2. 微分学微分学是研究函数局部变化率的数学分支。

导数是微分学的核心概念，它描述了函数在某一点处的瞬时变化率。

微分学还包括泰勒公式、高阶导数、微分方程等内容，这些都是研究函数局部性质的重要工具。

3. 积分学积分学是微分学的逆运算，它研究的是函数在某一区间上的累积变化量。

不定积分和定积分是积分学中的基本概念。

不定积分是求原函数的过程，而定积分则是求函数在某一区间上的积分值。

积分学在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

4. 级数级数是将无穷多个数相加的一种方法。

级数可以分为收敛级数和发散级数。

收敛级数是指其部分和序列趋向于一个确定的极限值，而发散级数则没有这样的极限值。

级数的收敛性是研究级数的一个重要方面，包括正项级数、交错级数、绝对收敛级数等。

5. 多元函数微分学多元函数微分学是研究多个自变量函数的微分和积分的数学分支。

它包括偏导数、全微分、多元函数的极值、方向导数和梯度等概念。

多元函数微分学在经济学、物理学等领域有着重要的应用。

6. 多元函数积分学多元函数积分学是研究多元函数在多维空间上的积分问题。

它包括二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分等。

多元函数积分学在物理学、工程学、概率论等领域有着广泛的应用。

7. 线性代数线性代数是研究向量空间、线性变换和矩阵理论的数学分支。

它包括向量空间、线性方程组、矩阵运算、特征值和特征向量、二次型等内容。

(整理)高等数学基础(原“微积分”)学习指导

《高等数学基础（原微积分）》学习指导一、课程介绍高等数学基础（原微积分）是一门必修基础课，它主要讲授微积分学中的最基本内容。

本课程的基础概念是函数。

学员在学习微积分内容之前应掌握幂函数，指数函数，对数函数及三角函数的基本性质。

对反三角函数的有关内容本课程要求不高。

微积分的研究对象是函数，主要涉及的是初等函数，极限是微积分研究的根本方法。

通过微积分学习，学员应掌握生命科学中定量研究函数单调性、极值、最大值、最小值的一般方法，理解微积分学发展的一般思想方法，掌握曲边梯形面积，旋转体体积等微元法的应用，为计算机基础、统计软件、动力学类等后续课程的学习奠定必要的基础，在未来生命科学的学习工作中逐步提高数学在广泛领域中的应用意识。

本课程除了课件、视屏讲座外、课程辅导外还有纸质教材。

本年级使用的纸质教材是高等教育出版社第七版《高等数学二》（教育部高校学生司推荐-全国各类成人高等复习考试辅导教材专科起点升本科）。

二、考试内容与试卷结构（2011年试卷结构一览表）试卷总分：100分考试时间：_90_分钟（以网络学院公布为准）答题方式：试卷分为试题册、答题卡，所有题型均为客观题,答案涂在答题卡上试卷题型比例：客观题：100% 单选或多选总成绩构成网上作业得分*30%+期末成绩*70% 满分100分单选题25题每题得分4分共100分每题四个选项选择最佳选项三、预备知识（基本初等函数图像见教材直线抛物线椭圆方程掌握）2222553363332622223111.)333812.33933.()2(2)(2)(2)642(2)(2)(2)(2)64.,4.()(.5.log m n m nm m m n nm n m n n mnnmmmb a a a a m a a a a a a a a m n aa a a m a c c ++--⋅=⋅=⋅=======⋅===⋅====初等数学公式讲解（个相乘定义为例题例题（）例题同时，注：取实数时，公式依然成立。