简谐激励的响应.ppt
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简谐激励下强迫振动的响应特性-57页文档资料
k o Fk
Δ
x
c
F Fc
m
mg
Solution
The equation of motion: 5 x 2 0 0 0 x 1 0 s in 2 0 t
n
2000 20 rad/s 5
例 （1）
Particular solution:
x 2 t tc 1 c2 o t c 0 s 2 s2 itn 0
简谐激励下强迫振动的响应特性
强迫振动的几种形式
强迫振动的运动方程
单自由度运动微分方程的一般形式
取不同形式时，振动特点不同
其中简谐激励为最简单的激励形式
简谐激励下的响应
运动微分方程的解
x(t)xh(t)xp(t)
其中, x h (t) 为相应齐次方程的解
瞬态响应
（有阻尼系统中该项解将逐渐消失）
运动方程一般形式 假设稳态解形式并代入运动方程得
用三角函数公式展开 令两边同谐波项相等
幅频特性 相频特性
无量纲化
式中：
振幅放大系数（幅值比）
力函数和响应相位差
稳态响应的相位特性
Force Excitation
F(t) Restoring
kx
Damping
cx
Inertia
m x 2
Amplitude F0
F
c
m
mg
Substitute above equations in equation of motion to obtain
2 c 1 s 0 2 t i c 2 0 c n 0 2 t o 2 0 t c 1 s c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0 2 n 0 t c 1 c 0 2 t o c 0 2 s 0 2 t s i 0
有限元第三节二自由度系统对简谐激励的响应
第三节 二自由度系统对简谐激励的响应一、二自由度系统对简谐激励的响应无阻尼二自由度系统在简谐激励作用下的振动微分方程为11111211222122220sin 0m x k k x F t m x k k x F ω⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎣⎦ 设方程的解为11sin x X t ω= ， 22sin x X t ω=写成矩阵形式{}1122sin x X x t x X ω⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭将{}x 以及二阶导数代入上式，得11121112212222200k k m X F k k m X F ω⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎡⎤-=⎨⎬⎨⎬ ⎪⎢⎥⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦⎣⎦⎝⎭ 解得2222112212221112221221112211222211122221()()()()()()k m F k F X k m k m k k m F k F X k m k m k ωωωωωω⎧--=⎪---⎪⎨--⎪=⎪---⎩（6-13） 为了讨论幅频特性，对上式的分母进行如下变换（因固有频率是上式分母的两个根）：2222222111222121212()()()()n n k m k m k m m ωωωωωω---=--故振幅公式又可改写为2222112212222121221112211222221212()()()()()()n n n n k m F k F X m m k m F k F X m m ωωωωωωωωωω⎧--=⎪--⎪⎨--⎪=⎪--⎩由此可见，振幅1X 和2X 不仅与激励的幅值1F 、2F 有关，而且与系统的固有频率和激励的频率之比有关。
且当1n ωω→ 或 2n ωω→有 1X →∞ ，2X →∞， 系统发生共振。
例题：如图所示两自由度系统，在质量m 1上作用一简谐激振力F 1(t)=F 0sin ωt ，其中m 1=m 2= m ，k 1=3k ，k 2=2k 。
单自由度系统在简谐激励下的受迫振动.ppt
Solution of the above equation gives the amplitude and phase angle of the steady state response of the damped mass-spring system under harmonic excitation:
幅频特性与相频特性
ψ 的讨论
1、 ＝ 0 的附近区域 (低频区或弹性控制区) ，β 1 ＝0，响
应与激励同相；对于不同的 值，曲线密集，阻尼影响不大。
2、 >>1的区域(高频区或惯性控制区)， ψ π ，响应与 β 0， 激励反相；阻尼影响也不大。 3、 ＝1的附近区域(共振区)， 急剧增大并在 ＝1略为偏左 处有峰值。通常将＝1，即 ＝ pn 称为共振频率。阻尼影响 显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭，峰值越大。 4、在相频特性曲线图上，无论阻尼大小， ＝1时，总有， ＝ /2 ,这也是共振的重要现象。
－曲线族－幅频特性曲线 －曲线族－相频特性曲线
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差 ψ 的讨论
－曲线族－幅频特性曲线;－曲线族－相频特性曲线
在低频区和高频区，当 <<1时，由于阻尼影响不大 ， 为了简化计算 ，可将有阻尼系统简化为无阻尼系统。
2.1.2 受迫振动的振幅B、相位差
z Zei ( t ) (Ze i )ei t
Substituting into Eq., we obtain
and
x ( Ze
i
Ze
i
m 2Y k m 2 i c
Y )e
i t
k i c i t ( ) Ye k m 2 i c
基础简谐激励下的结构动响应拓扑优化_李翔
［5 ］
1
基础简谐激励拓扑优化模型
假设结构在基础激励下受迫振动． 令基础振动 d2 s（ t ） ， 位移为 s（ t ） ， 加速度为 将结构有限元离散， d t2 得单元的动力微分方程 d2 s（ t ） dV e d t2
－ －
d2 u e （ t ） du e （ t） + ce + k e u e （ t） = － 2 dt dt
［6 ］
0
引
言
基础简谐激励振动是结构振动的常见形式之 一． 工程上， 基础激励的减振隔振问题常通过改变阻 尼、 主动或被动控制等手段实现； 结构响应优化从改 变结构的几何形状、 拓扑和布局等角度入手， 寻找使 结构振动响应最小的设计． 相比较而言， 通过优化设 计的减振隔振途径具有成本低、 无须能量输入和减 振隔振效果好等优点． 拓扑优化被公认为是继尺寸优化、 形状优化后 ［1 ］ 在结构优化领域内最有挑战性的课题之一． 依据 描述方式的不同， 目前常见的拓扑优化方法包括均 ［1 ］ ［23 ］ ［4 ］ 、 、 变密度法 渐进结构优化方法 和 匀化方法 优 水平集方法 等． 变密度法以其程序实现简单、 化效率高、 收敛速度快而受到青睐， 特别是在动力优 化中， 变密度法的快速收敛性质能适应动力问题的 ANSYS， OptiStruct 和 求解代 价 问 题． MSC Nastran， TOSCA 等商用软件均采用变密度法实现拓扑优化． 然而， 变密度法和拓扑优化能解决的问题范围十分 有限． 目前， 关于结构动响应的拓扑优化问题研究展 me
(
) )
(
－
（ 8）
2 式中： S = － ω M + iωC + K， 表示结构的动柔度矩
阵． 将式（ 8 ） 代入式（ 6 ） 并结合 S 的对称性， 得 M － T S － A +U = － f0 I T S x ρ e ρ e ρ e U T LS － 1 f0
1
基础简谐激励拓扑优化模型
假设结构在基础激励下受迫振动． 令基础振动 d2 s（ t ） ， 位移为 s（ t ） ， 加速度为 将结构有限元离散， d t2 得单元的动力微分方程 d2 s（ t ） dV e d t2
－ －
d2 u e （ t ） du e （ t） + ce + k e u e （ t） = － 2 dt dt
［6 ］
0
引
言
基础简谐激励振动是结构振动的常见形式之 一． 工程上， 基础激励的减振隔振问题常通过改变阻 尼、 主动或被动控制等手段实现； 结构响应优化从改 变结构的几何形状、 拓扑和布局等角度入手， 寻找使 结构振动响应最小的设计． 相比较而言， 通过优化设 计的减振隔振途径具有成本低、 无须能量输入和减 振隔振效果好等优点． 拓扑优化被公认为是继尺寸优化、 形状优化后 ［1 ］ 在结构优化领域内最有挑战性的课题之一． 依据 描述方式的不同， 目前常见的拓扑优化方法包括均 ［1 ］ ［23 ］ ［4 ］ 、 、 变密度法 渐进结构优化方法 和 匀化方法 优 水平集方法 等． 变密度法以其程序实现简单、 化效率高、 收敛速度快而受到青睐， 特别是在动力优 化中， 变密度法的快速收敛性质能适应动力问题的 ANSYS， OptiStruct 和 求解代 价 问 题． MSC Nastran， TOSCA 等商用软件均采用变密度法实现拓扑优化． 然而， 变密度法和拓扑优化能解决的问题范围十分 有限． 目前， 关于结构动响应的拓扑优化问题研究展 me
(
) )
(
－
（ 8）
2 式中： S = － ω M + iωC + K， 表示结构的动柔度矩
阵． 将式（ 8 ） 代入式（ 6 ） 并结合 S 的对称性， 得 M － T S － A +U = － f0 I T S x ρ e ρ e ρ e U T LS － 1 f0
单自由度简谐激励的响应资料PPT文档共41页
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❖ 知识就是财富 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
单自由度简谐激励的响应资料
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
机械动力学——简谐惯性力激励
k 2
c
k 2
x
k
M
t
e m
d2 m 2 ( x e sin t ) cx kx 0 ( M m) x dt
c
cx kx me 2 sin t M x
17
谢 谢！
18
D
支撑运动： x f (t ) Dsint
系统固有频率从左到右：
0 1.6, 0 1.0, 0 0.63
1.001
10
简谐惯性力激励的受迫振动
• 已知质量块相对基座位移为x1， 而基s
2
2
x1 (t ) Dsin(t ) x f (t ) Dsint
2 0 x 20 x x 0
cx kx F0 sin t mx
• 变换动力学方程可以得到：
2 0 x 2 0 x x
固有频率：
0
k m
F0 sin t m 相对阻尼系数： c 2 km
（齐次微分方程）
x (t )
a
z
14
简谐惯性力激励的受迫振动
满载时阻尼比ζ1=0.5； 空载时阻尼比ζ2=1.0； 满载时频率比s1=1.87； 空载时频率比s2=0.93 记：满载时振幅 B1，空载时振幅 B2。 有：
B1 1 (2 1s1 ) 2 0.68 2 2 2 a (1 s1 ) (2 1s1 )
m
k/2 xf
c
x 0 k/2 xf
l =5 m
a l
z
B2 1 (2 2 s 2 ) 2 1.13 2 2 2 a (1 s 2 ) (2 2 s 2 )
因此满载和空载时的振幅比：
03-1 单自由度简谐激励的响应
1的频率范围称为惯性区过共振燕山大学yanshanuniversity阻尼对动力放大因子的影响幅频特性曲线由幅频特性曲线可以看出放大因子的峰值点随的增大而向低频方向移动而且越大峰值越小
第3章 单自由度系统的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
强迫振动：系统在持续性的外激励作用下所产生的振动。
(k m 2 ) X sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
为便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F0 sin t F0 sin[(t ) ]
F0 cos sin t F0 sin cos(t )
Cx Kx F (t ) mx
激励分类：
激励力 外激励 激励位移 简谐激励 周期性变化的激励力 任意周期激励 任意激励
3.1
简谐激励的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
简谐激励运动微分方程为：
m x cx kx F (t ) F0 sin t
燕山大学
Yanshan University
(k m 2 ) X sin(t ) c X cos(t ) F0 cos sin t F0 sin cos(t )
2 ( k m ) X F0 cos sin(t )
共振频率
1 2 2
r 1 2 2 n
共振时放大因子 共振振幅
1 2 1 2
实际使用时，由于ζ较小，一 般将ωr ＝ωn作为共振率。
X
X0 2 1
2
共振时的响应
燕山大学
第3章 单自由度系统的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
强迫振动：系统在持续性的外激励作用下所产生的振动。
(k m 2 ) X sin(t ) cX cos(t ) F0 sin t
为便于比较，把上式右端的F0sint改写如下
F0 sin t F0 sin[(t ) ]
F0 cos sin t F0 sin cos(t )
Cx Kx F (t ) mx
激励分类：
激励力 外激励 激励位移 简谐激励 周期性变化的激励力 任意周期激励 任意激励
3.1
简谐激励的强迫振动
燕山大学
Yanshan University
简谐激励运动微分方程为：
m x cx kx F (t ) F0 sin t
燕山大学
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(k m 2 ) X sin(t ) c X cos(t ) F0 cos sin t F0 sin cos(t )
2 ( k m ) X F0 cos sin(t )
共振频率
1 2 2
r 1 2 2 n
共振时放大因子 共振振幅
1 2 1 2
实际使用时，由于ζ较小，一 般将ωr ＝ωn作为共振率。
X
X0 2 1
2
共振时的响应
燕山大学
谐响应响应谱分析随机振动与模态分析》ppt课件模板
2
0
Courseware template
2 1 /
施加谐波载荷并求解
7
/
2
6 施加谐波载荷并求解
典型命令:
所有施加的载荷以规定的频率（或频率范 围）简谐地变化
“载荷”包括：
DK,… ! 或 D或DSYM DA,... DL,…
位移约束-零或非零的 作用力 压强
*AFUN,DEG FK,…
注意：如果要施加重力和热载荷，它 们也被当作简谐变化的载荷来考虑！
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查看结果
7
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2
6
确定各临界频率
和相角
• 用图形显示最高振幅 发生时的频率；
• 由于位移与施加的载 荷不同步（如果存在 阻尼的话），需要确 定出现最大振幅时的 相角；
– 要进行上述工作， 首先要选择振幅+ 相位选项。
Courseware template
On the evening of July 24, 2021
2
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Courseware template
2 1 /
查看结果
7
/
2
6
1.绘制结构上的特殊点处的位移-频率曲线
2.确定各临界频率和相应的相角
3.观看整个结构在各临界频率和相角时的位移和应力
典型命令: /POST26 NSOL,… PLVAR,...
On the evening of July 24, 2021
• 输入：
– 已知大小和频率的谐波载荷（力、压力和强迫位移）；
– 同一频率的多种载荷，可以是同相或不同相的。
• 输出：
– 每一个自由度上的谐位移，通常和施加的载荷不同相；
《自由度系统》PPT课件
系统稳态振动时，惯性力、弹性力、阻尼力都是与激励同频 率的简谐量，分别为：
频率比所处区域不同，与激励构成动平衡的力的种类不同
图2—16
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
0
弹性控制区
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图2—16
惯性控制区
H ()
1
[1(/n)2]2(2/ n)2
图 2—14
从波形图可以看出：
求通解的过程
全解
通解
特解
通解
衰减因子
全解=瞬态响应+稳态响应 瞬态响应昙花一现，不劳多谈； 稳态响应主导江山，集中研判！
今后，只研究稳态响应项。
稳态响应项的规律
要命的是频率（比）！
2.4.2 复频率响应 幅频特性与相频特性
稳态响应的幅值和相角是激励频率的非线性函数，在理论 分析和实际工作中常引进复频率响应来描述激励频率对响 应的影响。
得到运动微分方程的又一种方法
机械能守恒
x,v
简谐运动能量图
xt 0
o
t xA co ts
T vt v A si n t
能量
o T T 3T T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1kA2c 2
o2st
t Ek
1m2A2sin2t
2
E 1 kA2 简谐运动能量守恒，振幅不变 2
简谐运动势能曲线
1．静态位移法
用静力学的方法确定动 力学系统的固有频率
妙！
横梁与弹簧串联： 总变形量为分变形量之和
2.能量法
系统振动时动能、势能要相互转换。根据能量关系也能 求系统的固有频率。对于单自由度系统，用能量法求固有频 率有两种方法：
动力学分析.ppt
单元，。利用给定的位移插值方式表 示单元内任一点的位移{δ(t)}e, 进而 确定节点的速度和加速度。
3.整体分析 利用各节点处的变形协调条件和动力平衡条件即达朗贝尔原理，建立整体刚度方程；
[M]{(t)}[C]{(t)}[K]{ (t)}{Pf (t)}
三、动力学分析的定义和目的
1.什么是动力学分析? 动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着重要作用
时结构或构件动力学特性的技术。
2.“动力学特性”分析的目的 – 寻求结构振动特性（固有频率和主振型）以便更好地利用或减 小振动。 – 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时的动力响应和动 位移的大小及其变化规律。
M1-9
四、动力学分析类型
1、模态分析 2、谐响应分析 3、瞬态动力学分析 4、谱分析
M1-10
• 什么是模态分析?
1、模态分析
模态分析是用来确定结构的振动特性（固有频率 和振型）的一种技术。
• 模态分析的好处：
– 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬 声器）；
– 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷是 如何响应的；
建议： 在准备进行其它动力分析之前首先要进行模态
谐响应分析：用于确定横幅变频 简谐激励Pf（t）下的响应。
[M ]{} [C]{} [K ]{ } {Pt} t 1 ~ 2
[M ]{} [C]{} [K ]{ } {a0 sin tt}
M1-12
3、瞬态动力学分析
–一个网球排框架应该设计得能承受网球的冲击，但会稍稍发生弯曲 . – 解决办法 ：进行 瞬态动力学分析 来计算结构对随时间变化载荷的响应.
•美国塔可马吊桥坍塌之谜
重庆綦江彩虹桥-新彩虹桥
3.整体分析 利用各节点处的变形协调条件和动力平衡条件即达朗贝尔原理，建立整体刚度方程；
[M]{(t)}[C]{(t)}[K]{ (t)}{Pf (t)}
三、动力学分析的定义和目的
1.什么是动力学分析? 动力学分析是用来确定惯性（质量效应）和阻尼起着重要作用
时结构或构件动力学特性的技术。
2.“动力学特性”分析的目的 – 寻求结构振动特性（固有频率和主振型）以便更好地利用或减 小振动。 – 分析结构的动力响应特性，以计算结构振动时的动力响应和动 位移的大小及其变化规律。
M1-9
四、动力学分析类型
1、模态分析 2、谐响应分析 3、瞬态动力学分析 4、谱分析
M1-10
• 什么是模态分析?
1、模态分析
模态分析是用来确定结构的振动特性（固有频率 和振型）的一种技术。
• 模态分析的好处：
– 使结构设计避免共振或以特定频率进行振动（例如扬 声器）；
– 使工程师可以认识到结构对于不同类型的动力载荷是 如何响应的；
建议： 在准备进行其它动力分析之前首先要进行模态
谐响应分析：用于确定横幅变频 简谐激励Pf（t）下的响应。
[M ]{} [C]{} [K ]{ } {Pt} t 1 ~ 2
[M ]{} [C]{} [K ]{ } {a0 sin tt}
M1-12
3、瞬态动力学分析
–一个网球排框架应该设计得能承受网球的冲击，但会稍稍发生弯曲 . – 解决办法 ：进行 瞬态动力学分析 来计算结构对随时间变化载荷的响应.
•美国塔可马吊桥坍塌之谜
重庆綦江彩虹桥-新彩虹桥
简谐振动;简谐激励
Mechanics of Vibration
大桥振动破坏
1940年，美国华盛顿州 Tacoma大桥 悬索桥结构，中央跨距为853m
Mechanics of Vibration
Tacoma大桥遭风塌毁的原因 ：
Mechanics of Vibration
实验表明：振动频率在 4~8Hz 时，人体将处于垂直方向振动 的 共 振 状 态 ， 胸 、 心 脏 不 适 。 1 0 ~ 1 2 Hz 时 ， 腹 部 共 振 。 0.1~0.3Hz时，头晕。
保守系统的拉格朗日方程为：
d T j dt q T U 0, q q j j j 1,2, , n
拉格朗日函数：
L T U
以拉格朗日函数表示的，保守系统的拉格朗日方程为：
d L j dt q L 0, q j j 1,2,, n
Mechanics of Vibration
楼房的抗震
Mechanics of Vibration
汽车的振动控制
Mechanics of Vibration
四、振动问题的提法
系统：通常的研究对象；
它可以是一个零部件、一台机器或者一个完整的工程结构等。
激励（输入）：外部激振力等因素； 响应（输出）：系统发生的振动；
从能量观点出发，将系统中的动能、势能和功等物 理量表达为自由度坐标及其导数的函数，从动力学普 遍方程推到出来。
对于具有完整约束的质点系，拉格朗日方程为：
d T j dt q T Qj , q j j 1,2, , n
T 为系统的 式中，q j 为系统中的第j个广义坐标（自由度坐标）： Q j为作用于系统的所有主动力关于广义坐标q j的广义力， 动能， 可用虚功求出。
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第3章 单自由度系统的强迫振动
振动研究的重要内容之一就是求解振动系统对 外部激励的响应。第2章讨论了振动系统在外部初 始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振 动。本章将主要讨论振动系统在外部持续激励作用 下所产生的振动，称为强迫振动。强迫振动从外界 不断地获得能量来补偿阻尼所消耗的能量，使系统 得以持续振动。
外部激励引起的系统的振动状态称为响应。系 统对外部激励的响应取决于激励的类型，依照从简 单到复杂的次序，外部激励可分为：简谐激励、周 期激励及非周期激励。
叠加原理是线性振动系统分析的基础。即对于 线性系统，可以先分别求出对所给定的各种激励的 响应，然后组合得出总响应。
3．1 对简谐激励的响应 如图所示为二阶线性有阻尼质量—弹簧系
第一项是初始条件产生的自由振动；第二项是简谐
激励产生的强迫振动；第三项是不论初始条件如何
都伴随强迫振动产生的自由振动。同时，系统中不
可避免地存在着阻尼，自由振动将不断地衰减。当
t=0时，
，上式简化为
在有阻尼的情况下，后一种自由振动在一段时 间内逐渐衰减，系统的振动逐渐变成稳态振动。如 图所示。
例3.1—2 如图所示为一无重刚杆。其一端铰支， 距铰支端l处有一质量为m的质点；距2l处有一阻尼 器，阻尼系数为c；距31处有一刚度为k的弹簧，并 作用一简谐激励F=F0sinωt。刚杆在水平位置平衡， 试列出系统的振动微分方程，并求当激励频率ω等 于固有频率ωn时质点的振幅。
实际上，当有阻尼作用时，振幅最大并不在 ω=ωn处，而发生在
从图中同样可以看出振幅最大的峰点在 λ=ω/ωn=1的左面，为了确定曲线峰点的位置， 可以采用计算极值的标准数学方法，即将方程对 ω(或λ)进行微分，并令其结果等于零。即
有时，把强迫振动振幅最大时的频率称为共振 频率，也可以把振动系统以最大振幅进行振动的现 象称为共振。据此，放大因子与振幅
今天着重讨论正弦型激扰的情形，因为这种情形比较简单， 而所得结论却有很重要的工程应用。任意的周期激扰，都 可以通过谐波分析，分解为若干个正弦型激扰，只要分别 求出各个正弦型激扰单独引起的振动，然后叠加，就可以 得到振系对任意周期激扰的响应．
叠加原理适用于线性系统． 振系由周期激扰所引起的振 动，需要同初始激扰所引起的自由振动相叠加，才得到振 系总的运动．
由此可得
为了便于进一步讨论，把上两式的分子分母同除以 k，得如下变化形式
式中
，得特解为
这就是在简谐激励作用下系统的位移响应。由此可 以看出强迫振动的一些带有普遍性质的特点：
(1)在简谐激励作用下，强迫振动是简谐振动， 振动的频率与激励频率ω相同，但稳态响应的相 位滞后于激励相位。
(2)强迫振动的振幅X和相位差φ都只决定于 系统本身的物理性质、激励的大小与频率，与初 始条件无关。初始条件只影响系统的瞬态振动。
上次内容回顾：有阻尼系统的自由振动
讲述的内容
第三章 强迫振动 3.1 对简谐激励的响应 1、无阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动 2、有阻尼振系在正弦型挠力作用下的强迫振动
3.1 对简谐激励的响应
引言
讨论单自由度线性系统在周期激扰作用下的强迫振动，通 常称为振系对周期激扰的响应．周期激扰可以是作用于振 系的周期扰力，也可以是振系支座的周期运动．
例3·1-1 在一质量—弹簧系统上作
用 一 简 谐 力 F=F0sinωt 如 图 所 示 。
初始瞬时x(0)=x0，
，试
求系统的响应。
解：系统的振动微分方程为
其解为
式中A1和A2是由初始条件确定的常数。代入初始条
件x(0)=x0，
，得
把A1和A2值代入解中，得
上式表明，强迫振动初始阶段的解由三部分组成：
统。这一系统的运动微分方程为
这个单自由度强迫振动微分方程 的全部解包括两部分，一是通解 想x1，二是特解x2，即
通解x1是对应于有阻尼自由振动的齐次方程的解， 第2章已经讨论过了，在小阻尼情况下，为衰减振 动，只在振动开始后的一段时间内才有意义，所 以称为瞬态振动。一般情况下可以不考虑它。特 解x2表示系统在简谐激励下产生的强迫振动，它 是一种持续等幅振动，称为稳态振动。
(3)强迫振动振幅的大小在实际工程问题中具 有重要意义。如果振幅超过允许的限度，构件中 会产生过大的交变应力，而导致疲劳破坏，或者 影响机器及仪表的精度。
引入符号： 频率比；
振动系统零频率挠度，即在常力F0
作用下的静挠度(注意不要与
混淆)；
放大因子。 可以将下式写成无量纲的形式
以λ为横坐标，β和φ为纵坐标，对于不同 的ζ值，可以得到幅频特性曲线和相频特性曲线。
从图可以看出：当频率比λ《1时，放大因 子很接近于1，即振幅X几乎与激励幅值引起的静 变形X0差不多。当频率比λ》1时，β趋于零， 振幅可能非常小。当激励频率与振动系统频率很 接近，即λ≈1时，强迫振动的振幅可能很大， 比X0大很多倍，唯一的限制因素是阻尼。由式可 见，在λ=1时，有
可见如果没有阻尼，即ζ=0的情况下，振幅X 为无穷大。通常把激励频率ω与系统固有频率ωn 相等时称为共振。
解：设刚杆在振动 时的摆角为θ，由 刚杆转动微分方程 可建立系统的振动 微分方程。
整理后得 从上式可得 ωn，即系统的固有频率，当ω=ωn时，其振幅为
在图示的结构中，机器质量ｍ=60千克，放在 支承上，支承的弹簧刚度ｋ=6000牛顿/米，阻 尼系数ｃ=720牛顿•秒/米，在机器上作用一个 激扰力F。假设在t=0时，将机器从平衡位置压 低2厘米后，以初速V0=1厘米/秒 释放。当激扰 力F=230sin5t牛顿，求系统此后的=ωn，有
根据微分方程理论可知：当ω=ωn时，其特解为
这就说明在共振时，如 无阻尼，振幅将随时间无限 地增大，如图所示。共振时， 响应滞后激励的相位角为 π/2。
共振现象是工程中需要研究的重要课题，工程 中通常取0.75<λ<1.25的区间为共振区，在共振区 内振动都很强烈，会导致机器或结构的过大变形， 造成破坏。
因为激励是简谐函数，可以容易地证明稳态 响应也是简谐函数，而且具有相同的频率ω。设 特解为
式中X为强迫振动的振幅，φ为相位差，是两个待 定常数。将上式代入方程得
为了便于比较，把上式右端的F0sinωt改写如下
将上式代回方程式，整理后得 这个方程对于任意时间t都应恒等于零，所以 sin(ωt-φ)和cos(ωt-φ)前面括号内的量都必须分 别等于零，有
从图可以看出，相位差φ与频率比λ有很大关 系。在λ<<l的低频范围内，相位差φ≈0，即响应 与激励接近于同相位。在λ>>1时，相位差φ≈π， 即在高频范围内，响应与激励接近于反相位。在 λ=1，即共振时，相位差φ≈π/2，此时φ与阻尼 大小无关，这是共振时的一个重要特征。
再研究当激励频率ω与系统固有频率ωn相等 (即共振)时的响应情况。在方程