简单多面体的外接球问题 优质课课件 (共18张PPT)
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甘肃省武威第十八中学高中数学必修二课件：球与多面体的切接关系(共18张PPT)
2R a2 a2 (2a)2 6 a
构造法 构造正方体或者长方体
例 1 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外
接球的表面积是______
D
O A
C
B
解：设该球的直径为2R，则 2R
2
2
2
3 3 3 3
所以球的表面积为9π.
反思：如果三条棱不相等，应该构造什么形状了？
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
答案：C [解析] 当截面不平行于任一侧面， 也不过体对角线时，所得截面为①； 当截面过正方体体对角线时，所得截 面为②；当截面平行于正方体的一个 侧面时，所得截面为③；但是无论如 何截面都不会为④.
第
二
种
截
正
面
方
体
外
接
第
球
三
种
截
面
变式1．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示， 且图中的四边形是边长为2的正方形，那么该球的表面积 是________．
，则球O的
体积等于_________
小结
归纳总结：在解决外接球问题中，具备那种特 征的棱柱和棱锥可以构造成正方体或者长方体？
底面是直角三角形，侧棱垂直于底面的棱锥或棱柱 对棱相等的三棱锥可以构造成正方体或者长方体
D
A
C B
[解析] 此四面体可看成一长方体的一部分，长方体的长、宽、
高分别为 21,4, 13 ，四面体ABCD如图所示，所以此四面体的外
接球的直径即为长方体的体对角线长，即
2
2
21 4 13 50
所以外接球的半径为 5 2 ，外接球的表面积为50π.
构造法 构造正方体或者长方体
例 1 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外
接球的表面积是______
D
O A
C
B
解：设该球的直径为2R，则 2R
2
2
2
3 3 3 3
所以球的表面积为9π.
反思：如果三条棱不相等，应该构造什么形状了？
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
答案：C [解析] 当截面不平行于任一侧面， 也不过体对角线时，所得截面为①； 当截面过正方体体对角线时，所得截 面为②；当截面平行于正方体的一个 侧面时，所得截面为③；但是无论如 何截面都不会为④.
第
二
种
截
正
面
方
体
外
接
第
球
三
种
截
面
变式1．已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体， 如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示， 且图中的四边形是边长为2的正方形，那么该球的表面积 是________．
，则球O的
体积等于_________
小结
归纳总结：在解决外接球问题中，具备那种特 征的棱柱和棱锥可以构造成正方体或者长方体？
底面是直角三角形，侧棱垂直于底面的棱锥或棱柱 对棱相等的三棱锥可以构造成正方体或者长方体
D
A
C B
[解析] 此四面体可看成一长方体的一部分，长方体的长、宽、
高分别为 21,4, 13 ，四面体ABCD如图所示，所以此四面体的外
接球的直径即为长方体的体对角线长，即
2
2
21 4 13 50
所以外接球的半径为 5 2 ，外接球的表面积为50π.
第1部分专题4微专题6多面体的外接球问题-高三数学二轮复习课件
的平面角为 120°，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A．7π
B．8π
C．136π
D．283π
答案 D
解析 如图①，取 BD 的中点 E，连接 AE，CE，因为△ ABD，△CBD 为等边三角形，所以 AB＝AD，CB＝CD，所以 AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC 为 A－BD－C 的二面角，即 ∠AEC＝120°，BE＝DE＝1，所以 AE＝CE＝ 22－12＝ 3，因 为 AE⊥BD，CE⊥BD，AE∩CE＝E，所以 BD⊥平面 AEC， 取△ABD 的外心 M，△CBD 的外心 N，如图②，过点 M 作 MP⊥AE，过点 N 作 NQ⊥CE，AE 与 CE 交于点 O，O 在平面 AEC 内，O 即为三棱锥 A－BCD 外接球的球心，连接 OE，
2．已知直三棱柱 ABC－A1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球 面上，若 AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球 O 的半径 为( )
A．3
17 2
B．2 10
C．123 答案 C
D．3 10
解析 如图所示，过球心作平面 ABC 的垂线，则垂足为 BC 的中点 M.又 AM＝12BC＝52，OM＝12AA1＝6，所以球 O 的 半径 R＝OA＝ 522＋62＝123.故选 C 项．
故 AO＝ 23，PO＝32，又△AHO 为直角三角 形，AH＝PH＝r，所以 AH2＝AO2＋OH2， 所以 r2＝ 232＋32－r2，所以 r＝1，所以 V＝43π×13＝43π.故选 D 项．
【例 6】 直三棱柱 ABC－A1B1C1 的各顶点都在同一球面 上，若 AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120°，则此球的表面积等 于( )
所以半径 R＝ 12＋ 32＋12＝ 5.
高考复习中关于简单几何体的外接球问题省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
高考复习中有关简朴几何体旳外接球旳问题
球旳性质
性质2: 球心和截面圆心旳连线垂 直于截面．
性质1：用一种平面去截球，截面是圆面；
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面但是球心
性质3: 球心到截面旳距离d与球 旳半径R及截面旳半径r 有下面旳关系:
是不是全部旳三棱锥都能够补形成长方体呢？
经过这个图，我们发觉不补形也能够做，只要求出小圆旳直径，利用勾股定理就能够解出斜边长，即球旳直径
已知三棱锥P-ABC，在底面ABC中， ，BC= ， PA 底面ABC，PA=2， 则此三棱锥旳外接球旳体积为
练习2（2）
分析：该怎么放这个三棱锥在球体内呢？
为何？
因为圆周角为90°所正确弦为圆旳直径，所以AC为圆 旳直径，即为球旳直径
大
小
AB
AC
认知：性质三是大圆旳内在局部特征，有时不妨拓展到大圆旳内接三角形去看待它，就比较轻易找到球心，或球旳直径
拓展时候要记得分析小圆旳直径，
例题2：（2023年高考文科数学全国2卷15）设一种长方体旳长宽高分别为1,2,3，求外接球旳直径.。
例题2：（2023年高考文科数学全国2卷15）设一种长方体旳长宽高分别为1,2,3，求外接球旳直径.。
为何外接球旳直径就是 长方体旳对角线长度呢？
那么我们用球旳性质3去解这个问题，还是用刚刚我们小结旳拓展到大圆旳内接三角形处理比较直接呢？
练习2.(1)已知三棱锥 三条侧棱两两相互垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该外接球旳体积为_____
1）若在图1(2)大圆中三角形ABC为等边三角形，且 ,求球旳表面积。
思索：
2）.若图1(2)大圆中三角形ABC为等腰三角形，且 , AC=2,求球旳表面积及体积。
球旳性质
性质2: 球心和截面圆心旳连线垂 直于截面．
性质1：用一种平面去截球，截面是圆面；
大圆--截面过球心，半径等于球半径；小圆--截面但是球心
性质3: 球心到截面旳距离d与球 旳半径R及截面旳半径r 有下面旳关系:
是不是全部旳三棱锥都能够补形成长方体呢？
经过这个图，我们发觉不补形也能够做，只要求出小圆旳直径，利用勾股定理就能够解出斜边长，即球旳直径
已知三棱锥P-ABC，在底面ABC中， ，BC= ， PA 底面ABC，PA=2， 则此三棱锥旳外接球旳体积为
练习2（2）
分析：该怎么放这个三棱锥在球体内呢？
为何？
因为圆周角为90°所正确弦为圆旳直径，所以AC为圆 旳直径，即为球旳直径
大
小
AB
AC
认知：性质三是大圆旳内在局部特征，有时不妨拓展到大圆旳内接三角形去看待它，就比较轻易找到球心，或球旳直径
拓展时候要记得分析小圆旳直径，
例题2：（2023年高考文科数学全国2卷15）设一种长方体旳长宽高分别为1,2,3，求外接球旳直径.。
例题2：（2023年高考文科数学全国2卷15）设一种长方体旳长宽高分别为1,2,3，求外接球旳直径.。
为何外接球旳直径就是 长方体旳对角线长度呢？
那么我们用球旳性质3去解这个问题，还是用刚刚我们小结旳拓展到大圆旳内接三角形处理比较直接呢？
练习2.(1)已知三棱锥 三条侧棱两两相互垂直，且SA=2，SB=SC=4，则该外接球旳体积为_____
1）若在图1(2)大圆中三角形ABC为等边三角形，且 ,求球旳表面积。
思索：
2）.若图1(2)大圆中三角形ABC为等腰三角形，且 , AC=2,求球旳表面积及体积。
【课件】球与多面体的内切、外接课件2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
o2
o
5πa2
●
R
r o1
课堂练习
2．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球
32π
的体积为
，那么这个正三棱柱的体积是(
3
A．96 3
C．24 3
)
B．16 3
√D．48
3
1 3
3
设正三棱柱的底面边长为a，则球的半径 R＝ × a＝ a，
3 2
6
3
正三棱柱的高为 a.
3
4 3 32π
三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥都分别可构造长方体或
A
正方体．
P
B
C
探究新知
总结：正四面体的棱长与外接球、内切球的半径总结的关系
1.若正四面体棱长为a，外接球半径为R，内切球半径为r，则
r PO R
6
R
a
4
R : r 3 :1
6
r
a
12
6
6
6
a
a
a.
3
4
12
P
P
a
a
A
V 球＝ πR ＝ .∴a＝4 3.
3
3
3
3
2
∴V 柱＝ ×(4 3) × ×4 3＝48 3.
4
3
例题讲解
（4）正棱锥、圆锥 ①内切球
P
例6 正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与
它的四个面都相切，求内切球的表面积与体积．
A
解1：如图，P-ABC为正三棱锥,
设球的半径为r，底面中心为D,取BC边中点E ∴PD=2,易知
1
V锥体 Sh
3
人教A版高二数学必修二.2 简单多面体的外接球问题 优质课课件
•
4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀 璨，不 可名状 。一是 苏州光 福的石 壁，也 是太湖 的一角 ，更见 得静止 处，已 不是空 阔浩渺 的光景 。而即 小见大 ，可以 使人有 更多的ห้องสมุดไป่ตู้推想.
•
5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽 然看似 一个似 有似无 ，亦真 亦幻的 所在， 但它是 陶渊明 心灵酿 出的一 杯美酒 ，是他 留给后 世美好 的向往.
•
2.许地山这样说，也是这样做的，他 长大后 埋头苦 干，默 默奉献 ，成为 著名的 教授和 作家， 他也因 此取了 个笔名 叫落花 生，这 就是他 笔名的 由来。
•
3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃 窗透进 一股不 很明亮 的光线 ，沉重 的琴声 好像是 把人的 心都洗 淘了一 番似的 ，我感 到了我 自己的 渺小。
5 3
人教A版高二数学必修二1.1.2 简单多面体的外接球问题 优质课课件
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例 6.(安 顺 市 •二 模 )已 知 三 棱 锥 SABC的 所 有 顶 点 都 在 球 O的 球 面 上 ，
SA平 面 ABC， SA=23,AB1,AC2,BAC600,则 球 O的 表 面 积 为 (B )
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小结：
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径 6 a
4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法
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球的内切和外接问题课件ppt课件
ppt课件
10
2、构造长方体 已知A点B A、6,BA、C=C2、1D3在,A同D一=8个，球则面B上、，CA两B点间平的面A 球BC面D距离B是C 34DC.
O
B C
D 图 5
ppt课件
11
三、确定球心位置法
在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，AC沿将矩形
ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体 ABCD的外接球的体积为( Ｃ )
2
2
在RtAOO1中，由勾股定理得，R2
2 3
R
3 3
，解得R
6, 4
V球
4 R3 3
4 3
6 4
3
6 . 8
ppt课件
14
六、寻求轴截面圆半径法
正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长
都为 2，点S,A,B,C,D都在同一球面上，
ppt课件
1
一、直接法
A
C
O
A1
C1
1、求正方体的外接球的有关问题
例1、若棱长为3的正方体的顶点都在同一
球面上，则该球的表面积为 27 .
变式题：一个正方体的各顶点均在同一球的球 面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体
积为 4 3 .
ppt课件
2
2、求长方体的外接球的有关问题
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上， 且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此 球的表面积为 .
A.125
12
B.125
9
C.125
6
D.125
3
D
AO
人教版高三数学《多面体与球的接切问题》课件(共18张PPT)
直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在 球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在 半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
最大 值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面 上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
定义2：若一个多面体的各面都与一个 球的球面相切， 则称这个多面体是这 个球的外切多面体，这个球是这个多面 体的内切球。
正方体的外接球
例1：已知某一多面体
内接于球构成一个简 单组合体，如果该组 合体的正视图、侧视 图、俯视图均如图所 示，且图中的四边形 是边长为2的正方形， 则该球的表面积是
________.
思考： 已知一个正方体内接于一个球，若过球心作 一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小 题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5， 则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一 条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面
公开课课件：多面体的外接球问题
多面体与球的切接问题
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
基本知识回顾：
一、 球体的体积与表面积
二、球与多面体的接、切
4 3 ① V球 R 3
②
S球面 4 R
2
外接球球心到各顶点的距离相等 (R) 定义 1：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面体， 这个球是这个 多面体的外接球 。
(r) 定义内切球球心到各面的距离相等 2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体， 这个球是这个多面体的内切球 。
球与正方体的“切”“接”问题
一、直棱柱与球
若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ ⑵正方体的外接球直径＝ ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝
D A B
C
中截面 O
D1
C1
A1
B1
球的外切正方体的棱长等于球直径。
D A B
C
中截面
O D1 C1
.
A1
B1 正方形的对角线等于球的直径。
D A O D1 A1
2. （ 2013 郑州质检）在三棱锥 A-BCD 中， AB=CD=6 ， AC=BD=AD=BC=5.则三棱锥的外接球的表面积为________
总结 求棱锥外接球半径常见的补形有： 正四面体常补成正方体； 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体； 三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体； 侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
法1.勾股定理法
P
P
O
O
A
M
D
A M B D
E
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.补成正方体
A B A B
O
简单多面体的外接球问题 (共18张PPT)
,AB=AD=AC=2,求该棱锥的外接球半径。
z
D
A
x
B
Cy
巩固练习
1.若球的直径为SC,A,B是球面上两点,AB= 3 ,∠SCA=
2
∠SCB=60〫 ,且三棱锥S-ABC的体积为 3，
8
求该棱锥的外接球半径。
S
O
C
A
O1
B
巩固练习
2.已知四棱锥 P ABCD 的底面为矩形，PBC 为等 边三角形，平面 PBC ⊥平面 ABCD, AB 6 ，BC 3， 则四棱锥 P ABCD 外接球半径是多少？
空间几何体的外接球问题
复习回顾
一、几何体的外接球
定义：若一个几何体的各顶点都在一个球的球面上， 则称这个几何体是这个球的内接几何体， 这个球是这个几何体的外接球 。
二、球体的体积与表面积公式
V球
4
3
R3
S球面 4 R2
复习回顾 球的基本性质：
1. 球心和球面上任一点连线距离相等,都等于球的半径. 球的直径
球的半径
思考:球的方程?
复习回顾
球的基本性质：
2. 用一个平面去截球，截面是圆面。 大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心
3. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
4. 球心到截面的距离d与球半径R 及截面圆半径r的关:
R2 = r2 +d 2
外心投影法
定球心
1、过两个面的外心做面的垂线 2、确定球心（两垂线的交点）
例4.已知在三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，∠BAC=30〫 ,AB=AD=AC=2,求该棱锥的外接球半径。
D
O
h
公开课课件：多面体的外接球问题30页PPT
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
பைடு நூலகம்
公开课课件：多面体的外接球问题
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
专题多面体的外接球问题彭中富PPT课件
3已知矩形abcd的面积为8当矩形周长最小时沿对角线ac4四面体abcd的四个顶点在同一个球面上abbccdda3ac5已知三棱锥sabc的所有顶点都在球o的球面bacacabsaabcsa6已知三棱锥pabc的四个顶点均在半径为1的球面上且满足papbpc两两垂直当abpc取最大值时三棱锥opabo为球心的高为7在三棱锥abcd中abcd6acbdadbc5
第二步：过O1作OO1
底面，O为球心且O1O=
1 2
h
(h为椎体的高)
第三步：利用勾股定理即可：
方法二：也可补成直棱柱，安汉堡型进行求解。
第23页/共37页
5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？
（1）找底面多边形外接圆的圆心O（1 顶点在底面 的投影），计算出小圆O1的半径O1D r(r利用 正弦定理计算可得);
2R2 22 22 42 R2 6 A
D1 C1
D
S 4 R2 24
B
C
第6页/共37页
例2：直三棱柱ABC A1B1C1的各个顶点 都在同一个球面上，若AB=AC=AA1 =2， BAC=120 ，则此球的表面积等于（20）
解：由余弦定理得 BC 2 3,
23
2r
4, r 2,
第三步：解OEH1，算出OH1，在RTO CH1中，勾股定理即可：OH12 +CH12 =R2
第18页/共37页
例7：棱形ABCD的边长为2，且BAD 60 ,
将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A'
BD 平面BCD，则三棱锥A'-BCD的外接球的
半径为（
）
A
D
B
C
第19页/共37页
第二步：过O1作OO1
底面，O为球心且O1O=
1 2
h
(h为椎体的高)
第三步：利用勾股定理即可：
方法二：也可补成直棱柱，安汉堡型进行求解。
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5、侧棱不垂直于底面且侧棱都相等的棱锥，如何找外接球的半径呢？
（1）找底面多边形外接圆的圆心O（1 顶点在底面 的投影），计算出小圆O1的半径O1D r(r利用 正弦定理计算可得);
2R2 22 22 42 R2 6 A
D1 C1
D
S 4 R2 24
B
C
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例2：直三棱柱ABC A1B1C1的各个顶点 都在同一个球面上，若AB=AC=AA1 =2， BAC=120 ，则此球的表面积等于（20）
解：由余弦定理得 BC 2 3,
23
2r
4, r 2,
第三步：解OEH1，算出OH1，在RTO CH1中，勾股定理即可：OH12 +CH12 =R2
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例7：棱形ABCD的边长为2，且BAD 60 ,
将棱形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面A'
BD 平面BCD，则三棱锥A'-BCD的外接球的
半径为（
）
A
D
B
C
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4 3
A
C
O
B
一条侧棱垂直于底面，底 面是直角三角形的三棱锥
P
例3、 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接 球的表面积。 3 2 a 正四面体 2
A B A B
O
D C C
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
对棱相等的三棱锥
二、确定球心位置法
简单多面体的外接球问题
汤阴一中 王国伟 2016年12 月
一.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心 2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系： R r d
O
C1
2a
B1
正方体外接球的直径等于正方体 的体对角线。
长方体的外接球
对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体 的体对角线。
两招搞定简单多面体外接球问题
一、构造法 构造正方体或长方体
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均 为 3，则其外接球的表面积是 9
SA 平面ABC，SA=2 3, AB 1, AC 2, BAC 600 , 则球O的表面积为( B ) A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
16 3
上下底面中心的连线的中点
在其高上
6 例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积． 8
谈谈收获
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接 球球心位置
2. 棱长为a的正四面体外接球 半径
6 a 4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定 球心位置法
布置作业 给学生印发一张球的切接专题试卷！ 感觉到数学的美，感觉到数与 形的协调，感觉到几何的优雅，这 是所有真正的数学家都清楚的真实 的美的感觉。 — —庞加莱
欢 迎 各 位 提 出 宝 贵 意 见 ！
AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
4 3
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的 3 2 表面积。 a
2
A B A B
O
D C C
1.利用球的定义即球心到球面上各个点的距离都相等。
例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD 的外接球的体积为 125
6
翻折前后的垂直关系和长度是否改变？
例6.(安顺市 二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，
2 2 2
A
二.球体的体积与表面积
4 V球 = R 3 3
S球面 4 R
2
三. 多面体的外接球
定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这 个球是这个 多面体一多面体的外接球。
正方体的外接球
D A O D1 A1 C1
A1
C
对角面 A
B
C
2R 3a
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
29
思考总结：什么样的三棱锥可构造成 正方体或长方体？
一、构造法 构造正方体或长方体
三条侧棱两两垂直的三棱锥
3
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 9
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD， AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
A
C
O
B
一条侧棱垂直于底面，底 面是直角三角形的三棱锥
P
例3、 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接 球的表面积。 3 2 a 正四面体 2
A B A B
O
D C C
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
对棱相等的三棱锥
二、确定球心位置法
简单多面体的外接球问题
汤阴一中 王国伟 2016年12 月
一.球的性质
1. 用一个平面去截球，截面是圆面；用一个平面去
截球面， 截线是圆。
大圆--截面过球心,半径等于球半径; 小圆--截面不过球心 2. 球心和截面圆心的连线垂直于截面
3. 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r的关系： R r d
O
C1
2a
B1
正方体外接球的直径等于正方体 的体对角线。
长方体的外接球
对角面
2 R a 2 b2 c 2
a 2 b2
设长方体的长、宽、高分别为a、b、c
长方体外接球的直径等于长方体 的体对角线。
两招搞定简单多面体外接球问题
一、构造法 构造正方体或长方体
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均 为 3，则其外接球的表面积是 9
SA 平面ABC，SA=2 3, AB 1, AC 2, BAC 600 , 则球O的表面积为( B ) A. 64 B. 16 C. 12 D. 4
O
16 3
上下底面中心的连线的中点
在其高上
6 例7、求棱长为1的正四面体外接球的体积． 8
谈谈收获
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接 球球心位置
2. 棱长为a的正四面体外接球 半径
6 a 4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定 球心位置法
布置作业 给学生印发一张球的切接专题试卷！ 感觉到数学的美，感觉到数与 形的协调，感觉到几何的优雅，这 是所有真正的数学家都清楚的真实 的美的感觉。 — —庞加莱
欢 迎 各 位 提 出 宝 贵 意 见 ！
AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为
4 3
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面例3. 求棱长为 a 的正四面体 D – ABC 的外接球的 3 2 表面积。 a
2
A B A B
O
D C C
1.利用球的定义即球心到球面上各个点的距离都相等。
例5. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形 ABCD折成一个直二面角B-AC-D，则四面体ABCD 的外接球的体积为 125
6
翻折前后的垂直关系和长度是否改变？
例6.(安顺市 二模)已知三棱锥S ABC的所有顶点都在球O的球面上，
2 2 2
A
二.球体的体积与表面积
4 V球 = R 3 3
S球面 4 R
2
三. 多面体的外接球
定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面 上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这 个球是这个 多面体一多面体的外接球。
正方体的外接球
D A O D1 A1 C1
A1
C
对角面 A
B
C
2R 3a
O
D
6 R a 4 求正四面体外接球的半径 求正方体外接球的半径
29
思考总结：什么样的三棱锥可构造成 正方体或长方体？
一、构造法 构造正方体或长方体
三条侧棱两两垂直的三棱锥
3
例1、若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是 9
例2. 已知三棱锥A BCD的顶点都在球O的球面上，且AB 面BCD， AB 2, BD CD 1, BD CD, 则球O的体积为