保险精算练习题

保险精算练习题

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4．假设1000元在半年后成为12０0元,求 ⑴

)2(i ,⑵ ｉ, ⑶ )3(d 。

解：⑴ 1200)2

1(1000)

2(=+⨯i ;所以4.0)2(==i ⑵2

)2()2

1(1i i +=+;所以44.0=i ⑶n n m m n

d d i m i ---=-=+=+)1()1(1)1()

(1)(；

所以， 13)3()1()3

1(-+=-i d ;34335.0)3(=d 5．当1>n

时,证明:

i i

d

d n n <<<<)

()

(δ。

证明:①)

(n d d <

因为,

+⋅-⋅+⋅-⋅=-=-3)(3

2)(2)

(10)()()(1)1(1n

d C n d C n d C C n d d n n n n n n n n n )

(1n d ->所以得

到,)

(n d d <;

②

δ<)(n d )1()

(m

n e

m d

δ

-

-=;m

m C m C m C m e

n

n

n

m

δ

δ

δ

δ

δ

δ

-

>-⋅+⋅-⋅+-

=-

1)()()(14

43

32

2

所以,

δ

δ

=-

-<)]1(1[)

(m

m d

n

③

)(n i <δ

i n

i n

n +=+1]1[)(， 即，δ=+=+⋅)1ln()1ln()(i n i n n 所以，

)1()(-⋅=n n e n i δ

m

m

C m

C m

C m

e n n n n δ

δ

δ

δ

δ

δ

+

>+⋅+⋅+⋅++

=1)(

)(

)(

144

33

22

δ

δ

=-+>]1)1[()(n

n i n

④

i i n <)(

i n

i n

n +=+1]1[)

(,)(2)(2)(10)(1)(1]1[n n n n n n n n i n i C n i C C n i +>+⋅+⋅+⋅=+

所以,

i

i

n <)

(

6．证明下列等式成立,并进行直观解释:

⑴n m

m

n m a v a a +=+;

解:i

v

a n

m n

m ++-=

1,

i

v a m m

-=

1，i

v v i v v a v n

m m n m

n

m +-=-=1

所以，n m n

m m m n m

m

a i

v v v a v a ++=-+-=+1

⑵n m

m

n m s v a a -=-；

解:

i v a n m n

m ---=1,i

v a m m -=1,i v v s v n m m n m

--=

-

所以,n m n

m m m n m

m

a i

v v v s v a --=-+-=-1

⑶

n

m

m n m a i s s )1(++=+;

解:

i i s m m

1)1(-+=，i

i i i i i s i m n m n m n m )1()1(1)1()

1()1(+-+=-++=++

所以,n m m

n m m n m

m

s i

i i i a i s ++=+-++-+=++)1()1(1)1()1(

⑷

n

m

m n m a i s s )1(+-=-。

解：（同上题）略。

７．某人今年３０岁，ﻩ其计划每年初存3００元,共存30年建立个人存款能从６０岁退休开始每年年末得到固定金额,共能领取20年。假设存款利率在前十年为6%，后20年为12％,求每年能取的养老金额。

解：2

10

2202110120

2021030

1)1()1(1)1()1(i i i i i s i s s

-+++⋅-+=++⋅=

所以60岁时存款有5.5975930030=⋅s （元）

由此知,20

20s a X =⋅，可得X=7774.1２(元)