凯利公式理解

凯利公式的理解

一个极具应用价值的话题.

报名参与讨论，印象中这好像是第二次和Roy兄会面了。

对Roy上文列出6个方程中(式中各项含义见上文,不再赘述):

opt = (b/3)*(e*o-1) / (o-1) ----------------------- (1.精明方程)

b = (p*o-1) / (o-1) ----------------------- (2.基础方程)

K = W - (1-W)/R ----------------------- (3.个人因素方程)

b = K*(p*o-1) / (o-1) ----------------------- (4.系数变形方程)

G = P*log(1+L)+(1-p)log(1-L) ----------------------- (5.kelly方程)

Z = [(1－k0)*L + k0]^(S/N) * K0^(1－S/N) ---------- (6.不圆所列方程)

偶进行了化简,式(3)可以直接变换为(2)的形式;式(1)和式(4)在去掉系数(b/3或者K)后和式(2)完全一样

;式(5)和式(6)求导后对其中的投注比例项求解也可以得到式(2)的形式.因此上述6个方程在描述"如何确

定投注比例才能够使平均资金收益率最大"这个概念时是完全相同的,只是从不同的角度出发而已,为了日

后讨论方便,我们现在推导出更为一般的形式.

假设在一个博彩游戏中,初始资金是C,每次投注的比例是x,赢的概率是p,相对于x的获利比例为A;输的概

率是q,相对于x的亏损比例为B,进行了n次游戏后的剩余资金是:

F = C * (1+Ax)^np * (1-Bx)^nq ----------------- (7.复利公式)

则平均资金收益率是:

f = (1+Ax)^p * (1-Bx)^q ------------------------- (8.平均收益率,与C,n无关)

为使f最大,令df/dx=0,解得:

x = (Ap-Bq)/AB ---------------------- (9.描述最佳投注比例的最一般方程)

在式(9)中,

令A=o-1 (A是不含本金的赔率)

B=1 (B在足球博彩中恒等于1)

q=1-p (q,p就不用废话了)

式(9)即可化为式(2),式(1),式(3),式(4)同理.

对式(5)写成:

G = log(1+L)^p*(1-L)^(1-p),在这里:

A=1,B=1(即一对一对赌)

L是欲求的投注比例,

则令第一个L=AL,第二个L=BL,

则dG/dL有与df/dx同样的形式,故式(5)也可化为式(2)的形式.

在式(6)中,令

S/N=p

1-S/N=q

1-k0=x

L=A+1

则式(6)可写成:

Z = [x*(A+1)+(1-x)]^p * (1-x)^q

= (1+Ax)^p * (1-x)^q

此处,B=1,故式(6)具有与式(8)相同的形式,即也可化为与式(2)等同的形式.

罗嗦了这么多,让我们回头看看式(9.最一般方程)所对我们的指导意义.

把式(9)做一个变换,可得:

x=p/B-q/A ---------------------- (10.最一般方程的变形)

其中:

x: 最佳投注比例

p: 获胜概率

q: 失败概率(q=1-p)

A: 获胜时的获利比例(在足球博彩中,A=Odds-1)

B: 失败时的亏损比例(在足球博彩中,对于闲家来说B恒等于1)

1.式(10)影响x的4个变量中,因为B=1,故第一项即为p,而p值介于(0,1),因此无论获利比例(A)有多大,都

不允许满仓杀入.很多人玩球最终以输钱甚至血本无归告终,很大程度上便是因为没有真正理解B的含义.

说句题外话: 在目前现有的条件下,有没有办法让B变小? 别笑,答案是肯定的

2.在关乎赢的变量中,除了努力地使p提高以外,另一个途径是设法提高获利比例A,这也是此前我多次说明

某些类型的亚盘无利于闲家的原因,因为亚盘的A通常在1以下,最高不超过1.05(澳门).在p难以提高的时

候,关于A的研究给了我们另一个方向.

3.关于P是个永恒的话题了,早年偶在研究凯莉方程时,便对p产生了浓厚的兴趣,时至今日,关于p的理解也

走过了很多轮回.一个体会是无论通过什么样的途径来得到p,p终究有一个难以逾越的瓶颈.目前我更多关

注的是p的稳定性而并非p的绝对值,因为在p稳定的情况下,借助于A和B同样会有一个圆满的结局.

4.最后,对于凯莉方程式,任何一个学过微积分的人都可以在10分钟之内搞清它的数学含义.应用到博彩领

域,更重要的是把其中的各个变量和现实中的博彩思维(行为)联系起来,凯莉方程虽不能直接告诉你怎样

去玩,却明白无误地说明了为什么去玩,我觉得,这种指引正确方向的意义远远大于方程本身的意义.

关于P的计算

那么P到底怎么样来计算？上面的描述已经告诉我们，其实要真的把握并很好的利用kelly 方程实际上是

非常困难的，我现在也没有实际的试验经验，在接下来会有这样的想法去尝试，现在先从自己接触到的

一些理论和他人的经验来和大家分享一下。我个人觉得我们应当回到博彩的本质--博弈；这里面并不是

投注者之间的博弈，而是博彩公司和投注者，排除假球的情况下，博彩公司必须使其赔率体