凯利公式理解

凯利公式的理解

一个极具应用价值的话题.

报名参与讨论，印象中这好像是第二次和Roy兄会面了。

对Roy上文列出6个方程中(式中各项含义见上文,不再赘述):

opt = (b/3)*(e*o-1) / (o-1) ----------------------- (1.精明方程)

b = (p*o-1) / (o-1) ----------------------- (2.基础方程)

K = W - (1-W)/R ----------------------- (3.个人因素方程)

b = K*(p*o-1) / (o-1) ----------------------- (4.系数变形方程)

G = P*log(1+L)+(1-p)log(1-L) ----------------------- (5.kelly方程)

Z = [(1－k0)*L + k0]^(S/N) * K0^(1－S/N) ---------- (6.不圆所列方程)

偶进行了化简,式(3)可以直接变换为(2)的形式;式(1)和式(4)在去掉系数(b/3或者K)后和式(2)完全一样

;式(5)和式(6)求导后对其中的投注比例项求解也可以得到式(2)的形式.因此上述6个方程在描述"如何确

定投注比例才能够使平均资金收益率最大"这个概念时是完全相同的,只是从不同的角度出发而已,为了日

后讨论方便,我们现在推导出更为一般的形式.

假设在一个博彩游戏中,初始资金是C,每次投注的比例是x,赢的概率是p,相对于x的获利比例为A;输的概

率是q,相对于x的亏损比例为B,进行了n次游戏后的剩余资金是:

F = C * (1+Ax)^np * (1-Bx)^nq ----------------- (7.复利公式)

则平均资金收益率是:

f = (1+Ax)^p * (1-Bx)^q ------------------------- (8.平均收益率,与C,n无关)

为使f最大,令df/dx=0,解得:

x = (Ap-Bq)/AB ---------------------- (9.描述最佳投注比例的最一般方程)

在式(9)中,

令A=o-1 (A是不含本金的赔率)

B=1 (B在足球博彩中恒等于1)

q=1-p (q,p就不用废话了)

式(9)即可化为式(2),式(1),式(3),式(4)同理.

对式(5)写成:

G = log(1+L)^p*(1-L)^(1-p),在这里:

A=1,B=1(即一对一对赌)

L是欲求的投注比例,

则令第一个L=AL,第二个L=BL,

则dG/dL有与df/dx同样的形式,故式(5)也可化为式(2)的形式.

在式(6)中,令

S/N=p

1-S/N=q

1-k0=x

L=A+1

则式(6)可写成:

Z = [x*(A+1)+(1-x)]^p * (1-x)^q

= (1+Ax)^p * (1-x)^q

此处,B=1,故式(6)具有与式(8)相同的形式,即也可化为与式(2)等同的形式.

罗嗦了这么多,让我们回头看看式(9.最一般方程)所对我们的指导意义.

把式(9)做一个变换,可得:

x=p/B-q/A ---------------------- (10.最一般方程的变形)

其中:

x: 最佳投注比例

p: 获胜概率

q: 失败概率(q=1-p)

A: 获胜时的获利比例(在足球博彩中,A=Odds-1)

B: 失败时的亏损比例(在足球博彩中,对于闲家来说B恒等于1)

1.式(10)影响x的4个变量中,因为B=1,故第一项即为p,而p值介于(0,1),因此无论获利比例(A)有多大,都

不允许满仓杀入.很多人玩球最终以输钱甚至血本无归告终,很大程度上便是因为没有真正理解B的含义.

说句题外话: 在目前现有的条件下,有没有办法让B变小? 别笑,答案是肯定的

2.在关乎赢的变量中,除了努力地使p提高以外,另一个途径是设法提高获利比例A,这也是此前我多次说明

某些类型的亚盘无利于闲家的原因,因为亚盘的A通常在1以下,最高不超过1.05(澳门).在p难以提高的时

候,关于A的研究给了我们另一个方向.

3.关于P是个永恒的话题了,早年偶在研究凯莉方程时,便对p产生了浓厚的兴趣,时至今日,关于p的理解也

走过了很多轮回.一个体会是无论通过什么样的途径来得到p,p终究有一个难以逾越的瓶颈.目前我更多关

注的是p的稳定性而并非p的绝对值,因为在p稳定的情况下,借助于A和B同样会有一个圆满的结局.

4.最后,对于凯莉方程式,任何一个学过微积分的人都可以在10分钟之内搞清它的数学含义.应用到博彩领

域,更重要的是把其中的各个变量和现实中的博彩思维(行为)联系起来,凯莉方程虽不能直接告诉你怎样

去玩,却明白无误地说明了为什么去玩,我觉得,这种指引正确方向的意义远远大于方程本身的意义.

关于P的计算

那么P到底怎么样来计算？上面的描述已经告诉我们，其实要真的把握并很好的利用kelly 方程实际上是

非常困难的，我现在也没有实际的试验经验，在接下来会有这样的想法去尝试，现在先从自己接触到的

一些理论和他人的经验来和大家分享一下。我个人觉得我们应当回到博彩的本质--博弈；这里面并不是

投注者之间的博弈，而是博彩公司和投注者，排除假球的情况下，博彩公司必须使其赔率体

系尽可能的

贴近比赛结果的长期统计规律，这也是为什么博彩公司花力气养一大帮人研究比赛的重要原因；并且博

彩公司利用操盘手来不断的根据实际的投注情况来调整赔率，通过大量的投注者之间对立的选择和降低

风险。这样博彩公司在开赔率的时候不仅仅是一个球队间实力的反映，还考虑到投注者的心理因素和投

注者的信息获得量，从这一方面来讲，博彩公司开出的赔率实际上并不会有太多的背离实际的情况出现

，诱盘并不是很好操作的-个人认为所谓诱盘只是针对特定信息群体的一个手段。由于博彩公司开出赔率

在前，投注者下注在后，这样博彩公司肯定不可能开出完全公平的赔率，这里面蕴涵着一些对于未来投

注额度的预期判断等信息在内；而投注者尽管信息量方面不够，但确实后面的一个主动者，选择或者放

弃的权利都在个人手上；从这两点来看，P首先不会太背离博彩公司的赔率体系，其次，P 可以通过个人

行为来得到提高。现在我们先来考虑通过博彩公司的赔率体系进行P的范围测量，事实上我个人一直觉

得博彩公司首先是获得了比赛的一个统计预测p，然后结合近况等要素以及心理期望等进行调整，将p放

大以便确保降低风险，然后根据放大的p来给出赔率；在1×2的三种可能概率上都放大了，但是肯定不是

正比例的放大的，可能某一个多一点某一个小一点，这样我们试图通过其赔率和返回率再推算回去，实

际上应该是不准确的。而且根据博彩公司开出的赔率直接推算的p其乘积肯定不不超过1的，没有什么有

利可图的；我们只能够通过一个大概的计算公式来获取，这个常见于各个咨询网站，那就是用

p1=1/(1/o1+1/o2+1/o3)/o1

p2和p3的计算也是这样的公司，可能有一些用的是101体系，那就把公式中的一些1该为1.01就是了。很

显然，这个公式计算出来的p乘以o的值也是小于1的；但是这个p是不是没有作用？后面我们来看看。

所以我觉得还是需要有某种方法来计算比较公平的p的，事实上很多数据模型能够提供这样的数据，比如

说elo模型，比如说很多基于possion公式的模型，都能够提供一个比较反应静态实力的概率，而许多基

础数据，则能够从免费的网站获得，问题是这个获得p是否能够有限的应用在kelly方程呢，不是的，让

我们来看看有个老外写的文章里面的研究事实，他自己建立的一个模型来计算p，是基于possion公式的

，然后采用不同的投注策略得到：

Margin Fixed% Kelly% 1/2Kelly%1/4Kelly% # of bets

1.1 94.23% 15.95% 61.49% 81.93% 712

1.2 94.44% 34.03% 70.05% 85.26% 346

1.3 96.84% 106.74% 105.02% 96.75% 174

1.4 99.63% 213.85% 156.68% 128.27% 87

1.45 100.53% 248.74% 175.36% 137.88% 72

1.5 101.09% 235.71% 167.97% 134.01% 51

1.6 101.67% 175.13% 137.65% 118.85% 28

1.7 10

2.07% 170.87% 136.05% 118.15% 23

上面是欧洲四大联赛和英甲等的统计数据，上面的数据数据里面，margin就是通过1/o1+1/o2+1/o3的计

算值，我们可以清楚的看到，采用不同的投资策略下的收益是不一样的，收益低于100％意味着什么呢？

意味着亏损，从上面的统计实例我们可以看到，博彩公司开出的赔率里面，如果按照严格的统计规律来

进行的话，投注者基本上是亏损的－这也是博彩公司抽水所导致的。而在我们最为常见的1.1庄家利润期

望值的赔率体系中，kelly方程式是亏损得最为厉害的。我想这个是大大出乎我们所有人的意料的吧。这

个也说明，不要以为只有我们在研究投资策略，其实博彩公司应该是比我们更加精通这个东西，毕竟，

我们所看到的，庄家的期望值高于1.3也是很少。

上面的数据表明我们还是需要对比赛进行选择，从而提高这个P的值的，如何选择比赛，kelly方程并不

能够告诉我们什么，但是，我想，我们上面的分析已经告诉我们，怎么样去发觉一些比较可靠的比赛，

这也是为什么我认为庄家的赔率仍旧对P产生影响的一个重要原因。

接下来为大家奉上一篇风险管理的文章作为参考，文章是Ed Seykota所写的，我进行了一些节选：

风险管理总结

一般来说，好的风险管理者包含下列要素：

阐明交易系统和风险管理系统，直到可以转化为程序代码为止。

包含风险分散和投资工具选择，再做好历史测试。

历史测试和压力测试决定交易参数敏感性以及最佳化数字。

所有参与者，对于变动率和获利率，有清楚的共识。

投资人和管理者之间，维持具有支持作用的关系。

最重要的是，坚守系统。

风险

风险的意义是损失的可能性。也就是说，如果我们拥有一些股票，这些股票价格有下跌的可能性，那么

我们就具有风险。股票本身不是风险，损失也不是风险，损失的可能性才是风险。只要我们一天还拥有

这些股票，我们就具有风险。控制这些风险的唯一方式就是买进或卖出股票。就拥有股票，想赚取利润

这件事来说，风险基本上是无可避免的。我们所能做的，就是管理风险。

风险管理

管理的意思是引导和控制。风险管理在于指引导及控制损失的可能性。风险管理者的任务即在于测量风

险，并买进或卖出股票以增加或减少风险

直觉和系统

直觉（Hunch）是一种决定赌注的方式。也许我们预感要押$100。

虽然以直觉来决定赌注确实是现实世界里最多人用的方式，它还是有几个问题。它需要一个操作者特续

的产生这些预感来决定赌注，把这些预感转为实际的赌注。比较起科学方法来说，这些赌注更仰赖心情

和感觉。

要改善以直觉来下注的方式，我们可以使用一套系统。系统的意思是一套逻辑化的方法，来规定一连串

的赌注。比较这两种方法，系统的好处在于(1) 我们不需要操作者(2)赌注变得有规律，可预期，前后

一致，而非常重要的是 (3)我们能够在计算机上执行历史数据的仿真，将下注系统最佳化（Optimize）

。

虽然一般来说系统的好处很明显，实际上风险管理者却很少清楚定义他们的系统，足以在计算机上进行

回溯测试。

我们丢铜板的例子满简单的，我们可以帮它准备一个下注系统。此外，我们可以藉此测试这些系统，找

出系统的最佳参数，以便执行最佳化的风险管理。

固定赌注以及固定下注比例

我们的下注系统必须定义赌注。定义赌注的其中一个方法是使用固定金额，例如每次下注$10，不管我们

输还是赢。这种就叫做固定赌注（Fixed Bet）。在这个情况下，我们$1,000的资本可能会减少或增加，

一直到$10比例上会变得太大或太小，而变成不是最好的赌注了。

要解决固定赌注中资本变动的问题，我们可以定义固定下注比例（Fixed-Fraction）。在我们的资本中

，1%的赌注等于$10。这次，不管我们的资本上升或下降，固定下注比例都会和资本成比例。由固定下注比例我们发现一个有趣的事情，既然赌注和资本保持一定的比例，理论上来说完全破产不可

能，形式上毕业出场的风险是零。在实务上，崩溃和心理上的 Uncle Point 比较有关系，参照下文

模拟测试

我们可以针对历史数据进行仿真测试（Simulate），以便测试我们的下注系统。假设我们丢十次铜板，

有五次正面五次反面，我们可以如图二般安排模拟测试。

请注意，两个系统第一次都赚了$20.00（赌注的两倍），开出来的是正面。第二次，固定赌注的系统输

了$10.00，而固定比例系统输了1%，也就是$1,020.00的1%，也就是$10.20，资本剩下$1,009.80。

两种系统跑出来的结果几乎没什么不同。然而经过长时间后，固定比例系统会以几何级数成长，超越以

线性成长的固定赌注系统。另外，系统的结果取决于正反面的个数，至于正反面的顺序并不会影响结果

。读者可以自行以电子表格进行测试

金字塔型加码（Pyramiding）以及赌注加倍（Martingale）

如果过程是随机的，像是丢铜板，规律的正反顺序是不可能的，因此会发生一连串的正面或反面的状况

。然而，我们无法利用这个现象获利，因为它的本质就是随机的。在非随机的过程中，例如股票价格的

趋势，金字塔型加码或是其它趋势追踪技巧都可能有用。

金字塔型加码，是在获利时加码的一种方式。这个技技有助于交易者加码至最佳化部位。在已最佳化的

部位之上加码只会引起过度交易的灾难。一般来说，这种系统的小修小补对系统来说，远远不如坚守系

统来得重要。事实上，这样的修修补补使交易者对系统的信号产生诠释的空间，可能导致直觉化的交易

，徒然削弱坚守系统的努力罢了。

赌注加倍（Martingale）的意思是在赌输时加倍下注。如果又输，则再加倍，如此一直下去。这种方式

好比赶在压路机前捡硬币，只要一次失手，资本就完蛋。

最佳化－使用模拟测试

一旦我们选定了一个下注系统，例如固定比例下注系统，我们就能依系统找出最佳化的参数（Parameters），得到最好的期望值（Expected Value）。在丢铜板的例子中，我们唯一的参数就是那

个固定比例。再次重申，我们可以经由模拟测试找到答案。

请注意，丢铜板的例子的用意在于强调风险的某些元素，以及它们之间的关系，特别是我们的例子是报

酬2:1，胜率50%。这个例子没有考虑正反面不均匀的情况，也没有考虑一连串的正面或反面。它的用意

并非在建议任何市场交易里风险管理的参数

%时，资本不会改变。在5%时，赌注是资本$1000.00的5%，也就是$50.00。第一次期望值是$1,100，以灰

色部份表示。第二次的赌注一样是资本的5%，$55.00，这次我们会输，剩下$1,045.00。请注意，在赌注

为25%时，表现最好，以红色部份表示。再请注意，最佳化参数(25%) 在一次正反面周期后就很明显了。

这让我们能够以单一周期求得最佳化参数。

请注意，系统的期望值在25%下注比例时，从$1000.00提高到最大值$1,800。从这之后，随着提高下注比

例，获利减少。这条曲线表示了两个表达了两个风险管理的根本法则，(1) 胆小交易者法则：如果你下

的注不够大，你的获利也不会大。 (2)鲁莽交易者法则：如果你下的注太大，破产是必然的。在具有多

个部位，多个赌注的投资组合中，总风险我们称之为投资组合热度（Heat）。

这个图同时说明了在报酬为2:1的情形下，期望值和下注比例的关系。这样的关系在不同报酬的情况。

最佳化－使用微积分

因为我们的丢铜板游戏满简单的，我们也可以用微积分求最佳下注比例。因为我们知道，最佳系统在一

次正面和反面的周期后就是显而易见的了，我们也可以用一个正面一个反面的周期，来简化问题。

一正一反的组合后，赌注变成：

S = (1 + b*P) * (1 - b) * S0

S - 一个周期后的赌注

b - 下注比例

P - 报酬2:1

S0 - 一个周期前的赌注

(1 + b*P) - 赢时的影响

(1 - b) - 输时的影响

所以，一个周期后的影响就是：

R = S / S0

R = (1 + bP) * (1 - b)

R = 1 - b + bP - b2P

R = 1 + b(P-1) - b2P

注意，b值很小时，R随着b(P-1)的增加而增加；b值很大时，R随着b2P而减小。这就是胆小交易者、鲁莽

交易者法则背后的数学意义。

我们可以画一张图显示R和b之间的关系，这张图看起来会很像我们从模拟的结果，以目测选择最大值。

我们也可以观察到，最大值时斜率为零，所以我们也可以令斜率为零，即可求最大值。Slope = dR/db = (P-1) - 2bP = 0, 于是

b = (P-1)/2P , and, for P = 2:1,

b = (2 - 1)/(2 * 2) =0 .25

所以最佳化的下注比例就是资金的25%。

最佳下注比例随着胜率而增加，趋近报酬。

这张图显示在不同的胜率和报酬下的最佳下注比例。最佳下注比例随着酬酬的增加而增加。对于很高的

报酬率时，最佳下注比例等于胜率。举例来说，一个5:1报酬的公平铜板，最佳化下注比例趋近于50%。

过程中的期望值和最佳下注比例

几乎确定会毁灭的策略

全押，本质上来说是几乎确定会毁灭的策略。因为对一个公平的铜板来说，存活的机率，变成(.5)N，N

表示丢铜板的次数。十次铜板之后，存活的机率大约是千分之一。大部份的交易者当然不想破产，所以

就不会采用这样的策略。但是，这种策略的期望值真的很诱人。在毁灭只代表资产的损失时，我们会想

要找到这样的系统。

例如，一个将军管理着好多可有可无的士兵。他也许会让士兵全部上场，全面攻坚，不考虑士兵会不会

死掉。用这样的战术，将军也许会失去很多士兵，但也许会有一两个士兵攻坚成功。整体上来说，任务

成功的机率就大增。

相同的，一个投资组合管理者也许会把资本分散在许多账户中，然后赌上每个账户里100%的资本。他想

，他也许会输掉很多账户，但有些账户的胜利势必可以使整体的期望值最大化。这就是风险分散

（Diversification）的原则。当个别的报酬率非常高时适用。

风险分散

风险分散就是把资金分散到很多不同的投资工具，单一投资工具失败时，损失得以限制。这样的策略必

须符合「所有部位平均起来有获利期望值」这样的条件。比较起单一投资工具，风险分散也提供心理上

的好处。短期内投资的变动，可以由不同投资工具间的成果抵消，而获得较为平滑的投资组合变动率。

The Uncle Point

从分散的投资组合的观点，个别投资工具组合成为总合的绩效。就风险管理者或基金投资人来说，基金

的表现就成了注意力的焦点。基金的表现，也会受上述两种人的感觉、态度、还有投资者对个别股票态

度上管理者的态度所影响。

基金管理中最重要的，也许也是最不受注意的观点，就是Uncle Point。它的意思是净值水平降低，引发

投资者或管理者信心丧失的那个点。如果投资人或管理者失去信心而进行赎回，那基金就宣告死亡。正

因Uncle Point发生时的环境通常是很灰心气馁的，很少文献对这个现象有详尽的记载。尤其是当基金在安全范围里的时候，除了法律文件里必要但却含糊的贴示外，没什么人会注意Uncle

Point。在Uncle Point认知上的不协调可以导致其中一方的放弃，说起来也很不幸，明明另一方要的只

是再次保证。

当压力真的很大的时候，投资人和管理者不会去看那个看也看不懂的法律文件，他们会看的是自己够不

够胆。在净值常常降低，高表现，高变动率的创业界尤其重要。

若双方对Uncle Point没有清楚的共识，风险管理者往往必须假设Uncle Point就在不远处，于是他们寻

找降低变动率的方法。如同我们上面所看到的，低变动率系统很少能有最好的获利。然而压力和紧张局

势使得对于变动率的侦查和处罚变成必要。

测量投资组合的变动率（Sharpe, VaR, Lake Ratio and Stress Testing）

从分散投资组合的观点，个别投资工具的成败总合成为整体绩效的一部份。投资组合管理者依赖一整套

测量基金表现的工具，例如Sharpe Ratio，VaR，Lake Ratio以及Stress Testing。

威廉夏普先生在1966年提出了他的「报酬－变动率比」。经过长时间，它成为我们所熟知的Sharpe

Ratio。Sharpe Ratio利用对变动率调整绩效的方法，提供了比较不同绩效不同变动率投资工具间比较的

标准。

S = mean(d)/standard_deviation(d) ... the Sharpe Ratio, 而

d = Rf - Rb ... th

e differential return, 而

Rf - 基金报酬率

Rb - 基准报酬率

夏普指标的变形不断出现。其中一种变形舍弃了基准点，将它设为零。另一个，基本上就只是夏普指数

的平方，但它使用获利的变异数，而不是标准差。在使用夏普指标上，一个重要的考虑是它并未将上方

下方变动率加以区分。高杠杆高绩效的系统，必然有很大的上方变动率，在这标准下也变得不太好了。

VaR，或称风险承担价值，是另一种衡量投资组合风险的方法。基本上它只测量最大净值下降百分比，这

种情况很久才会发生一次，机率约95%。VaR的缺点是，(1)历史的计算结果只能提供大概值(2)还是有

5%的机率超过预期。净值下降产生的信心问题多半在非预期中发生，VaR也就无法真正预测它真正想要

解决的状况了

心理面的考虑

在实际操作上，最重要的心理考虑就是坚守系统的能力。要达到这个目标，必须(1)全然了解系统的规则

(2)了解系统行为 (3)在所有参与者中，找到清楚的共识，能够坚守系统的共识。

例如，就我们刚所说的，获利和亏损不见得会平稳的交换出现，通常来说都是一串赢的，一串输的。当

一组投资人－管理者团队都了解到这是正常的，在净值降低时坚守系统的可能性就大增，赚大钱的时候

也会比较谦虚谨慎。

除此之外，研讨会，心灵支持团体都有助于保持一贯的态度，让组织里上下都能照计划进行。补充：

假设一个人全胜，P=1，也就是说从kelly方程来讲就是全额投注，这是一个危险的理论值；实际上，我

们的操作不可能达到100％的胜率。但是p＝1有还是有一个启发的地方，在博彩领域长期而言相对于博彩

公司，彩民们的长期赔率正是0.9附近，即返回率。也就是说，博彩公司拥有全局方面获得0.1佣金的优

势。但对于个体，如果自己操作得当，有可能维持在高获胜概率，这个时候个人的一点想法

概率的提高，所采用的p应该增大博彩公司所开出赔率的考虑因素，p应该是跟个人操作和赔率所蕴含p有

关，前面我们已经提到，p不仅跟个人有关，也更理论上的胜率有关，两者之间需要权衡。假定P＝f

(p1,p2),其中p为kelly中要采用的概率，p1为个人胜率，p2为理论胜率，P应该是这两者加权平均，并且

其权重存在反比关系为妥，能够使得个人胜率的回归理论胜率一以此来降低个人操作方面的风险这个是

由于我们的个人操作中会存在一些隐性假设所引发的，规避这样的风险使得不至于在风险发生时损失过

大，值得我们关注；个人正在试验，不知是否还会满足kelly方程的特性，让我们共同关注和测试

例如，如果我们采用简单权重平均，对于180赔率的比赛，个人的操作得当，使得胜率达到80％，这个时

候建议在kelly中要采用两者的平均值，比方说采用个人的80％和理论的50％的平均数，以此来降低风险

。（转载于信凌-梦想港湾作者roy_caich）

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二凯利公式

威斯(ralph vince)，關於賭二十一點的資金管理公式論文，資訊比例新解(a new interprepation

of information rate)，內容探討資訊流的概念，現被期貨交易員稱做凱利公式(kelly formula)

f = ( ( r + 1 ) * p - 1 ) / r

p = 系統獲利準確率的百分比

r = 交易獲利相對交易虧損的比例

若以一個65%準確率及贏家為輸家1.3倍的系統範例做計算

f = ( ( 1.3 + 1 ) * 0.65 - 1 ) / 1.3 = 38% 用於交易之資金

在本例中，你會用38%的自有資金來支持每一筆交易，假如你的帳戶有100萬元，你就用38萬元除以保

證金，計算出合約數量。

凱利公式的盲點

凱利公式原本是為了協助規劃電子位元流量設計，後來被引用於賭二十一點上去，麻煩就出在一個簡

單的事實，二十一點並非商品或交易。賭二十一點時，你可能會輸的賭本只限於所放進去的籌碼，而可

能會贏的利潤，也只限於賭注籌碼的範圍。但商品交易輸贏程度是沒得準的，會造成資產或輸贏有很大

的震幅。

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交易员对资金管理的颂赞充斥着书本，但这些基础对你将大有帮助。（如果你仍不确信资金

性，可以参考 Jack Schwager 所著《Market Wizard(金融怪杰)》）。在这里，我们可以看到一些既定

的数学，来告诉我们在你自身的操作计划中那里可以用得到，同时我们也可以发现在一个简单的操作中

一些不同的理论和运用。

在你决定要如何管理你的资金之前，你必须正确地运用客观和专业。在进一步分析你的资金管理策

略之前，大部分的专家着眼于三个区域:

1 你所操作市场的波动率(volatility)

2 你所运用的分析技巧所预测的成功率

3 你的操作资金市场

波动率是资金管理经常被忽略的部份，如果你能承受的最大风险是 500 美元，但是你要交易的市场

其当日波动达 3000 美元，你将会失败。如果你不能交易得起 SP500 或是咖啡，你必须承认它。

你同时必须理解你的分析的可行性，除非你知道你的平均亏损是多少，否则你如何去计划它？根据

大量的历史资料测试或是仿真交易，你可以估计这些参数。那么一些简单的公式可以帮助你获得潜在成

功对等的图表。

你的期望报酬是你预期多久会赢或输，以及你预期要赢或输多少的函数。

期望报酬的公式（经常以数学的期望值来表示）：

EP=P1*W-P2*L

P1 为胜率

P2 为败率

Ｗ为赢的数目

Ｌ为输的数目

值得交易的系统其期望报酬必须为正数。当赢或输因变动而无法准确地估计时，大部分的专家建议

使用回测的平均获利“Ｗ”以及平均亏损“Ｌ”来决定。同时，当它并非固定交易时，你可

“Ｐ１”及败率“Ｐ２”。在”史瓦格期货交易技术分析”一书中，，这些数字被用来计算每笔交易的

预期净利。

资金管理最重要的一环是必须有足够的资金可供交易，如果你不能运用足够的资金，一个超额的亏

损最后终将把你扫出场，不管你的资金是多少，你所需的必须能配合你所能承受的。在计算你亏损的风

险或你亏损多少必须停止交易的机会前，你可以估计是否有足够的资金。当然风险承受度每个人不同，

但是市场专家建议超过 10%就太多了，破产风险的公式为：

RoR=((1-A)/(1+A))C

A 是你的操作优势

C 是你拥有的单位数

如何计算 A，从你获胜机会的百分比减去你失败机会的百分比。因此，如果你预期在你的交易中有

55%可以获利，你的操作优势为 10%。

要计算 C，用１除以你每笔交易平均亏损占总资金的百分比，也就是说，如果你每笔交易亏损控制

在 4%，你就等于拥有 25 个单位。

“破产风险”（如下图）指在既定的交易优势中你将被判出局的机会。你拥有多少单位对结果有相

当的影响，过度侵略性的交易──在每一笔交易押大注──可能带给你一些丰厚的获利，但它最终将带

给你破灭。

关于破产风险计算的一项重要警告是不太可能发生的，它假设你的盈亏是相等的，然而，这仍然可

以是对于你技巧可行性不错的估计。而赢家和输家对计算破产风险的数学所专注的方向有相当程度的不

同。

补充：

最重要补充：

如果能重仓是最大的成就

如果能少下一点，规避风险，两者兼之更好？

拉瑞用这个公式大赚过也大赔过，最后在WS的帮助下看到了它致命的缺陷。

见《短线交易秘诀》一书p241－254，读一下还是有意义的。

有一个更精确的算法，不过算式相对复杂，并需数学软件的支持，

软件有多种，其中 Mathematica 5 ，网上有下载有破解（下面以此为例）。

关于算式，以下是演示与详解：

假设过去我有50次交易，并假定未来一个时期，交易情况仍大致相仿，

那么，我就能以前50次来测算未来交易的最佳仓位策略，及理想状态的最大收益率。

1、为演示方便，先作一个设定：

设定操作总是严格止损，且每次止损只损失账户余额的一个固定比例x，

而盈利的交易可以换算成它与止损比例的一个比值，即盈利可用1x、2x、10x之类来表示，

2、又设过去50次交易中，

30次亏损x ,15次盈利x，2次盈利5x，2次盈利8x，1次盈利15x，

如果初始帐户为1，那么，以复利计算，50次交易的期末帐户是：

f[x] = (1-x)^30(1+x)^15(1+5x)^2(1+8x)^2(1+15x)^1

注：(1-x)^30即(1-x)相乘30次，表示共有30次亏损x，余类推

3、调用求最大值函数 FindMaximum[]，具体来说，输入：

FindMaximum[f[x],{x,0,0.5}] 注：{x,0,0.5} 是为了给x一个范围，如0到0.5

软件运算后输出： {3.26631, {x -> 0.113104}}

意思是当 x = 0.113104 时，f[x] 最大值为 3.26631

也就是说，当保持单次亏损为11.3104％时，50次交易的期末帐户为3.26631 ，收益率为266.31％

4、还可以绘出直观的曲线，观察单次亏损额定值x与收益f[x]的关系，

输入并运算下式： Plot[Evaluate[f[x]],{x,0,0.5}]

即输出一条钟形曲线，呵呵，一幅图胜过一千句话……自己看吧

再说几句，

其实我赞成一粒沙的话：

“市场不是赌博，压下去就等着开结果，而是个连续的过程。过程中概率和赔率就在不断变化”

因此，不论巴菲特公式，凯利公式，还是我前面的算式，

都不具有精确指导交易的意义，不过略作参考也无妨

比较而言，前面所述的算式，含义更丰富些，可能参考价值相对大些

比如说，算式中的x，它不是直接代表投入资金的大小，而单次亏损的额定量，

只要保证止损结果的亏损是x，具体持仓是多大，没有限制。

但x与仓位可以建立联系，一个简单的方法是：

根据x值及止损宽度，可以反推算出“亏得起”的仓位

所谓“亏得起”的仓位，其实是开首仓的数量，

一旦首仓盈利可观，即可考虑加仓。

本质上，首仓克制，只是为了控制不确定性带来的风险，而加仓，才是真正“让利润飞跑”所以使用额定亏损x的概念，似乎比直接计算仓位或投入资金，更本质，更灵活

巴菲特的公式是凯利公式中R=1(赔率为1)的简化表示，本质是一样的。

市场不是赌博，压下去就等着开结果，而是个连续的过程。过程中概率和赔率就在不断变化。

另外，概率和赔率是带主观性的，按传统科学难以测量。

凯利公式的一个推论是：寻找高胜率的机会，然后押大赌注，但是这个赌注不能超过所能承受的极限，因为投资中的概率都是主观概率。

所以那种初始仓位固定一个百分比止损并不是一个很好的主意，可以根据主观概率设定不同的级别。比如普通 3%止损，高胜率 5%，低胜率1%。

从资金管理看机械化交易系统的结构性风险

Z总资金

N(安全头寸)=----------------------------------------------------------

B（保证金) + M(最大连续亏损次数）* P（最大单次止损额)

建立在古典概率基础上的机械化交易系统的M(最大连续亏损次数）理论值为无穷大，因此N(安全头寸)等于零。

举例：一套65%的趋势跟踪系统，碰到盘局会有亏损。理论上的盘局可无限长，因此安全头寸为零。长期运作

在市场上的交易者会碰到小概率事件，所以结局已经必然肯定了。

结论：采用古典概率的参数优化等方法的机械化交易系统不成立。

多思了一下，还是觉得自由飞翔的分级别设置止损百分比没有必要

分级设置的本意是：更为精细的控制风险，同时不至于过分削弱仓位的盈利能力。

但是否真能更加精细的控制风险，疑问很大

理由主要是，针对具体交易对象的“主观概率”，其实也不可靠，

甚至不比从历史交易得来的“一般概率”更可靠。

即使伟大的作手，不也常有“主观概率”定义错误，重仓导致重伤的吗？

根据大量统计得来的“一般概率”，其实

已经内涵了过去在定义“主观概率”时，可能发生的错误。

也就是说，“一般概率”正是修正过去的“主观概率”的结果。

一个修正反而比它所要修正的东西更不可靠，这并非不可能，

但如果这个修正是正确运用概率分析的结果，那它就是更有效的。

所以，分级别设置止损百分比，是过度优化，实际是反优化。

设置止损百分比的根本目的，是给出一个简明、可靠的风险控制规则。

规则的意义，除了它的内在有效性，还在于它是可被执行的，

一条最大限度排除现场主观判断（主观概率之类）的规则，具有最高的明确性，以及刚性，当你执行之时，你不必受到当时环境条件、心理状态、技术状态的影响，

长期来看，你的失误可能将被降到最低。

规则就要简明、刚性，不必过度细化、优化

其实这就是风险百分比的仓位原则。可以看看《短线交易秘诀》。拉瑞在书里暗示是他发明了这个原则，并建立了新的公式

拉瑞提出风险百分比是为改进凯利公式，因为这个公式先使他大胜，后又令他惨败。凯利公式可能是引用交易成功率 P 来计划仓位的最著名算法，但公式的最致命处正是 P 并非永远可靠，P 值的大出入会导致错误的大量持仓，引发大的亏损。

可以想见，所有引用 P 的公式，都难免这样的失误。而风险百分比原则废弃了主观估量的P ，转而定量、刚性的规定一次交易允许暴露的风险，避免了采用 P 时风险暴露的意外失

控，因此它更符合仓位控制的风险管理本质。可以说，如果不考虑操作上的技术性失误，则风险百分比在理论上没有意外风险，失败交易的单次亏损全在计划之内。

说到它的灵活性，则有两个含义。一，虽然它对风险的控制是定量、刚性的，但并未直接规定每次交易的仓位，它允许根据交易的实际情形来决定仓位（这一点《趋势交易大师》里讲得具体）。二，交易者保有一个权利，随时可以根据当前持仓的盈利及趋势情况，考虑扩大持仓。这是利润的重要来源，特别对于追求较大级别趋势交易者，更是如此。

在执行层面说，额定的风险百分比最大意义是提供了一个简明、刚性的规则，而这样的规则相对容易执行。至于额定值具体多少才是最佳，无法精确计算。拉瑞建议在10％到18％之间，但他的操作可能都是一次性仓位，且是期市。我是主张步步加码的，说的是股市，所以以为，新手1％-1.5％，中级2％，高手3％以上，反正差不多就行，关键还是执行规则，真正执行

还可以参考一下《通向金融王国的自由之路》，书里包含了几个头寸方案的测试对比。几个电子书网上都

不觉得固定比率本身就很主观吗？

为什么是2%而不是1.8%或2.2%？？？哈哈。

分级别设置并没有重仓阿，最高级别也已经把足够的风险考虑进去了。

看看概率的一般性定义，投机中遇到的都是一次性事件（社会事件也如如此），所以不能用传统概率定义来计算，只能是主观概率，但主观概率不等于看心情办事，同样可以一定的数量化。

巴菲特和索罗斯都是善于下重注的人，但同时也是最善于躲避风险的人。这并不矛盾。

其实很多概念都是混淆不清的，风险、概率等等莫不如此。