实数,平方根等知识

实数

知识点一、【平方根】如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也

即，当)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。因此：

1、当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

2、当a ＞0时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。

3、当a ＜0时，也即a 为负数时，它不存在平方根。

例1.

（1） 的平方是64，所以64的平方根是 ；

（2） 的平方根是它本身。

（3）若x 的平方根是±2，则x= ；的平方根是

（4）当x 时，x 23－有意义。

（5）一个正数的平方根分别是m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？ 知识点二、【算术平方根】：

1、如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2

，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a”，其中，a 称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2、算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。

3、算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。

例2.

（1）下列说法正确的是 （ ）

A ．1的立方根是1±；

B ．24±=； （

C ）、81的平方根是3±； （

D ）、0没有平方根；

（2）下列各式正确的是（ ）

A 、981±=

B 、14.314.3-=-ππ

C 、3927-=-

D 、235=-

（3）2

)3(-的算术平方根是 。

（4）若x x -+有意义，则=+1x ___________。

（5）已知△ABC 的三边分别是,,,c b a 且b a ,满足0)4(32=-+-b a ，求c 的取值范围。

（7）如果x 、y 分别是4－ 3 的整数部分和小数部分。求x － y 的值.

（8）求下列各数的平方根和算术平方根.

64； 121

49； 0.0004； (－25)2； 11.

1.44， 0，8， 49

100， 441， 196， 10－4 （9）(64)2等于多少？(121

49)2等于多少？

（10） (2.7)2等于多少？

（11）对于正数a ，(a )2等于多少？

我们共学了加、减、乘、除、乘方、开方六种运算.加与减互为逆运算，乘与除互为逆运算，乘方与开方互为逆运算.

知识点三、【开平方性质】 (1)94⨯=_________，94⨯=_________； (2)(2)916⨯=_________，916⨯=_________； (3)9

4=_________，94=_________； (4)(4)

=25

16_________，2516=_________. 知识点四、【立方根】：

1、如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。记做：3a ，读

作，3次根号a 。注意：这里的3表示的是根指数。一般的，平方根可以省写根指数，但是，当根指数在两次以上的时候，则不能省略。

2、平方根与立方根：每个数都有立方根,并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个

数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

例3.

（1）64的立方根是

（2）若9.28,89.233==ab a ，则b 等于（ ）

A. 1000000

B. 1000

C. 10

D. 10000

（3）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832

±=±。 其中正确的有 （ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

知识点五、【无理数】：

1、无限不循环小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。在初中阶段，

无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π

2、 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则

是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例4.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥3

2-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。（填序号）

（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个

A 2

B 3

C 4

D 5

知识点六、【实数】：

1、有理数与无理数统称为实数。在实数中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值

最小的实数是0，最大的负整数是-1，最小的正整数是1.

2、实数的性质：实数a 的相反数是-a ；实数a 的倒数是a

1（a≠0）；实数a 的绝对值