苏州高新区实验初级中学(新实初中)数学圆 几何综合(篇)(Word版 含解析)
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年七年级下学期开学考试数学试题一、单选题1．下列语句中不是命题的是（ ） A ．锐角小于钝角 B ．作AC 的垂直平分线 C ．对顶角不相等D ．三角形的内角和等于180︒2．如图，AB CD EF ∥∥，BC AD ∥，AC 平分BAD ∠且与EF 交于点O ，那么与AOE ∠相等的角有（ ）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个3．如图，3=4∠∠，则下列条件中不能推出AB CD ∥的是（ ）A ．1∠与2∠互余B ．12∠=∠C ．13∠=∠且24∠∠=D ．BM CN ∥4．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（ ） A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形5．三角形的两边长分别为2和7，另一边长a 为偶数．且28a <<，这个三角形的周长是（ ） A ．13B ．15C ．15或17D ．176．如图，BE 、CF 都是ABC V 的角平分线，且70EDC ∠=︒，则A ∠=（ ）A ．50︒B ．40︒C ．70︒D ．35︒7．如图，AD 是ABC V 的中线，BE 是ABD △的中线，EF BC ⊥于点F ．若24ABC S =V ，4BD =，则EF 长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．ABC V 中，A m ∠=︒，ABC ∠和ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠，1A BC ∠和1ACD ∠的平分线交于点2A ，得2A ∠L 2023A BC ∠和2023A CD ∠的平分线交于点2024A ，则2024A ∠为（ ）A ．20222m B ．20232m C ．20242m D ．20252m二、填空题9．如图，x =，y =．10．如图，60EF BC ED AB FED ∠=︒∥，∥，，则B ∠=．11．如图，把△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，BC ∥DE ，若∠B ＝50°，则∠BDF ＝°．12．在一个凸多边形中，除去一个内角外，其余所有内角的和等于2290︒，则该凸多边形的边数为．13．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，这个多边形是边形． 14．设ABC V 的三边为a 、b 、c ，化简a b c a c b c a b -++--+----=． 15．如图所示，则A DBE C D E ∠+∠+∠+∠+∠=．16．如图，在四边形ABCD 中，DAB ∠的角平分线与ABC ∠的外角平分线相交于点P ，且240D C ∠+∠=°，则P ∠=．三、解答题17．网格中每个小正方形的边长都是一个单位长度，将△ABC 经过一次平移后得到△A ′B ′C ′，图中标出了点B 的对应点B ′．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：(1)补全△A′B′C′；(2)画出AC边上的中线BD和AC边上的高线BE；(3)求△ABD 的面积．18．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠BCD＝100°，CE平分∠ACB．求∠A和∠BEC的度数．19．已知：如图，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度数．四、填空题20．已知：如图，AD⊥BC于D，EG⊥BC与G，∠E＝∠3，试问：AD是∠BAC的平分线吗？若是，请说明理由．解：是，理由如下：∵AD ⊥BC ，EG ⊥BC （已知） ∴∠4＝∠5＝90°（ ） ∴AD ∥EG （ ） ∴∠1＝∠E （ ） ∠2＝∠3（ ） ∵∠E ＝∠3（已知） ∴＝（ ）∴AD 是∠BAC 的平分线（ ）五、解答题21．如图，在ABC V 中，CD ，CE 分别是ABC V 的高和角平分线，28,58A B ∠=︒∠=︒，求DCE ∠的度数．22．如图，在六边形ABCDEF 中，140165AF CD A C ∠=︒∠=︒∥，，．(1)求B ∠的度数；(2)当D ∠=度时，可使AB DE ∥．试说明你的结论．23．（1）如图①，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCED 的内部点 A′的位置，试说明 2∠A=∠1+∠2；（2）如图②，若把△ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在四边形 BCED 的外部点A′的位置，写出∠A 与∠1、∠2 之间的等量关系（无需说明理由）；（3）如图③，若把四边形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 、D 落在四边形BCFE 的内部点 A′、D′的位置，请你探索此时∠A 、∠D 、∠1 与∠2 之间的数量关系，写出你发现的结论并说明理由．24．【概念认识】如图①所示，在ABC ∠中，若ABD DBE EBC ∠=∠=∠，则BD ，BE 叫做ABC ∠的“三分线”．其中，BD 是“邻AB 三分线”，BE 是“邻BC 三分线”．(1)如图②所示，在ABC V 中，100A ∠=︒，=45ABC ∠︒．若ABC ∠的三分线BD 交AC 于点D ．求BDC ∠的度数．(2)如图③所示，在ABC V 中，BP ，CP 分别是ABC ∠的邻BC 三分线和ACB ∠的邻BC 三分线，且135BPC ∠=︒．求A ∠的度数． 【延伸推广】(3)在ABC V 中，ACD ∠是ABC V 的外角，ABC ∠的三分线所在的直线与ACD ∠的三分线所在的直线交于点P ，若()60A m m ∠=︒>︒，60ABC ∠=︒．求出BPC ∠的度敌．（用含m 的式子表示）。
江苏省苏州市高新区实验初级中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题【含答案】
江苏省苏州市高新区实验初级中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学学业水平测试试题题号一二三四五总分得分批阅人A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）将一组数据中的每一个数减去40后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数是（）A ．40B ．42C ．38D ．22、（4分）实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则化简﹣﹣的结果是（）A ．2b B ．2a C ．2（b ﹣a ）D ．03、（4分）如图，在ABC ∆中，8AB =，6BC =，10AC =，D 为边AC 上一动点，DE AB ⊥于点E ，DF BC ⊥于点F ，则EF 的最小值为()A ．2.4B ．3C ．4.8D ．54、（4分）下列图案中，不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．5、（4分）下列计算正确的是（）A ＝±2B ＝C ÷＝2D ．＝46、（4分）下列方程是关于x 的一元二次方程的是（）A ．20ax bx c ++=B ．12x x +=C ．()()110x x -+=D ．22340x xy y +-=7、（4分）1的平方根是()A ．1B ．-1C ．±1D ．08、（4分）如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象交于点P ，则根据图象可得，关于x 、y 的二元一次方程组的解是（）A ．.B ．．C ．．D ．．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是_______10、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（1，3）、（n ，3），若直线y=2x 与线段AB 有公共点，则n 的值可以为_____．（写出一个即可）11、（4分）如果2x =是关于x 的方程21124k x x =+--的增根，那么实数k 的值为__________12、（4分）若112a b -=，则422a ab b a ab b +---的值是________13、（4分）在平面直角坐标系中，一次函数y kx b =+(k 、b 为常数，0k ≠)的图象如图所示，根据图象中的信息可求得关于x 的方程3kx b +=的解为____.三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）如图，一根竹子高0.9丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面的高度是多少尺？（这是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，1丈=10尺）.15、（8分）在“6.26”国际禁毒日到来之际，为了普及禁毒知识，提高市民禁毒意识，某区发放了一批“关爱生命，拒绝毒品”的宣传资料．据统计，甲小区共收到宣传资料350份，乙小区共收到宣传资料100份，甲小区住户比乙小区住户的3倍多25户，若两小区每户平均收到资料的数量相同．求这两小区各有多少户住户？16、（8分）按照下列要求画图并作答：如图，已知ABC ．()1画出BC 边上的高线AD ；()2画ADC ∠的对顶角EDF ∠，使点E 在AD 的延长线上，DE AD =，点F 在CD 的延长线上，DF CD =，连接EF ，AF ；()3猜想线段AF 与EF 的大小关系是：______；直线AC 与EF 的位置关系是：______．17、（10分）“雁门清高”苦荞茶，是大同左云的特产，享誉全国，某经销商计划购进甲、乙两种包装的苦荞茶500盒进行销售，这两种茶的进价、售价如下表所示：进价(元/盒)售价(元/盒)甲种4048乙种106128设该经销离购进甲种包装的苦荞茶x 盒，总进价为y 元。
江苏省苏州市高新区实验初中2023-2024学年上学期七年级数学现场作业(12月)(含解析)
2023-2024学年新区实验学校初一年级12月份月考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，都是单选题，请将答案涂到答题卡上相应位置）1．12的倒数是（ ）A ．21B ．C ．D ．2．下列运算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．经综合测算，2023年中秋国庆长假期间苏州市累计接待游客1781.5万人次，实现旅游收入约230.4亿元，较2019年分别增长和，其中纳入省文旅厅监测的级景区和省级以上乡村旅游重点村累计接待游客10920000人次，居全省第一．将10920000用科学记数法表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知与是同类项，则的值为（ ）A ．B ．1C ．D ．5．下列说法中，不一定成立的是（ ）A ．如果，那么B ．如果，那么C ．如果，那么D ．如果，那么6．已知是方程的解，则的值是（ ）A ．1B ．C ．3D ．7．要使多项式化简后不含的二次项，则的值是（）A ．0B ．3C ．6D ．98．一批学生列队从学校到甲地去秋游，他们以每小时4千米的速度行进，走了1千米路时，一学生奉命回校取物，他以每小时5千米的速度回校取物后即以同样速度追赶队伍，结果同时到达甲地，求学校到甲地距离是多少？设学校到甲地距离为千米，则可列出方程是（ ）A ．B ．C ．D ．9．在如图的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，⋯，则第2023次输出的结果为（）11212-112-321a a -=23a a a+=325a b ab +=76ab ba ab-=43.3%25.8%A 80.109210⨯71.09210⨯61.09210⨯610.9210⨯2na b -325m a b +nm 1-278278-a b >a c b c +>+a c b c +>+a b >a b >22ac bc>22ac bc >a b>3x =24x x m -=-m 1-3-()2223253x x x mx-+++x m x 1145x x +-=1145x x -+=1145x x-=+1145x x+=-A ．3B ．6C ．1010D ．202310．已知为互不相等的三个有理数，且，若式子的最小值为3，则的值为（ ）A ．12B ．9C ．18D ．15二、填空题（共8小题，每小题3分，请将答案填到答题卡上）11．______．12．比较大小：______（用“>”“<”或“=”表示）．13．已知在数轴上的位置如图所示，化简的结果是______．14．如果关于的方程和的解相同，那么______．15．两地相距，慢车以的速度从地出发，同时一列快车以的速度从地出发相向而行，当两车相距时，两车行驶了______小时．16．关于的不等式的解集如图所示，则的值是______．17．已知，则的值等于______．18．如图，在长方形中，厘米，厘米，点在边上且，动点从点出发，先以每秒1厘米的速度沿运动，然后以每秒2厘米的速度沿运动，再以每秒1厘米的速度沿运动，最终到达点．设点运动的时间是秒，那么当______时，三角形的面积等于5平方厘米．,,x a b a b >x a x b -+-12a b +-()0.27-+=314-415-a b 、a b b a b +--+x 23x x =-4232x m x -=+m =A B 、1260km 50km /h A 70km /h B 60km x ()211a x a -≤+a 2225,23a ab ab b +=--=-2293332a ab b +++ABCD 4AB =6BC =E BC 2BE EC =P A A B →B C →C D →D P t t =APE三、解答题（共8小题，共56分，请将答案填到答题卡上）19．（6分）计算：（1）；（2）．20．（6分）解方程：（1）；（2）21．（6分）已知：．（1）计算：；（2）若的值与字母的取值无关，求的值．22．（6分）一个旅游团共26人去参观一个景点，已知成人票每张120元，儿童票每张80元，经预算，共需要门票钱2640元．（1）求这个旅游团成人和儿童的数量各是多少人？（2）到了售票窗口得知，购买两张成人票将会赠送一张儿童票，请计算共需门票钱多少元？23．（8分）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去．（1）如果剪次共能得到______个等边三角形，（2）若原等边三角形的边长为1，设表示第次所剪出的小等边三角形的边长，如；①试用含的式子表示______；13124243⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭42110.51(2)4⎡⎤--÷⨯+-⎣⎦()()2231413x x +=--()313122x xx x ⎧->⎪⎨--≤⎪⎩2,2A ab a B ab a b =-=-++52A B -52A B -b a n n a n 112a =n n a =②计算______；（3）运用（2）的结论，计算号的值24．（8分）现有三种边长分别为3，2，1的正方形卡片（如图1），分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ．还有一个长为a ，宽为b 的长方形．（1）如图2①，将Ⅰ放入长方形中，试用含a ，b 的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．（2）将Ⅰ，Ⅱ两张卡片按图2②的方式，放置在长方形中，试用含a ，b 的代数式表示阴影部分的面积，并求当，时阴影部分的面积．（3）将Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ三张卡片按图2③的方式，放置在长方形中，求右上角阴影部分与左下角阴影部分周长的差．图1图225．（8分）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“统一方程”．例如：方程和为“美好方程”．（1）方程与方程是“统一方程”吗？请说明理由；（2）若关于的方程与方程是“统一方程”，求的值；（3）若关于方程与是“统一方程”，求的值．26．（8分）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．（1）____________；123n a a a a +++⋅⋅⋅+=1111111113612244896192384768++++++++ 4.5a =4b =4.5a =4b =213x -=10x +=()451x x -+=23y y =+x 02xm +=326x x -=+m x 230x n -+=351x n +=n l AB 36cm AB =O AB 2OA OB =OA =cm,OB =cm（2）若点是直线上一点，且满足，求的长；（3）若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，．C AB AC CO CB =+CO ,P Q ,A B P 3cm /s Q 1cm /s s t P Q ,P Q t 28cm OP OQ -=2023-2024学年新区实验学校初一年级12月份月考数学试卷参考答案与解析一、选择题（共10小题，每小题2分，都是单选题，请将答案涂到答题卡上相应位置）1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A【解析】解：故选：A 5．【答案】C解：将解：当时，不等号不成立，所以C 选项不满足。
苏州高新区实验初级中学(新实初中)必修二第二章《解析几何初步》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，a R ∈，以下结论不正确的是（ ）A ．不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直B ．当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -C ．不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称D ．如果1l 与2l 交于点M ，则MO 2．已知圆22:1,O x y +=点()00,P x y 在直线20x y --=上，O 为坐标原点.若圆上存在点Q 使得30OPQ ∠=，则0x 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]0,1C ．[]0,2D ．[]22-,3．由直线1y x =+上的点向圆()2231x y -+=作切线，则切线长的最小值为（ ）A ．1B C ．D ．34．在坐标平面内，与点()1,2A 距离为1，且与点()3,1B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．在平面直角坐标系xOy 中，若圆()()222x a y a -+-=与圆()2268x y +-=外切，则实数a 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知圆221:(1)(1)1C x y ++-=，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）A ．22(2)(2)1x y -++=B ．22(2)(2)1x y ++-=C ．22(2)(2)1x y -+-=D ．22(2)(1)1x y -+-=7．已知正方体1111ABCD A BC D -，E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则EF 和BD 所成的角的大小是（ ） A ．30B ．45C ．60D ．908．在我国古代，将四个角都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．在“鳖臑”ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==，若该四面体的体积为43，则该四面体外接球的表面积为（ ）A ．8πB ．12πC ．14πD ．16π9．如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC ⊥，AB AP =，D 是棱BC 上一点（不含端点）且PD BD =，记DAB ∠为α，直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ，则（ ）A ．,γβγα≤≤B ．,βαβγ≤≤C ．,βαγα≤≤D ．,αβγβ≤≤10．下图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A ．64B ．48C ．32D ．1611．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．16B ．13C ．1D ．212．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论错误的是（ ）A ．1DC PC ⊥B ．异面直线AD 与PC 不可能垂直 C ．1D PC ∠不可能是直角或者钝角 D ．1APD ∠的取值范围是,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题13．若圆:C 22243x y x y ++-=-关于直线260mx ny ++=对称，过点(,)m n 作圆C 的切线，则切线长的最小值是_____________.14．经过直线20x y -=与圆224240x y x y +-+-=的交点，且过点()1,0的圆的方程为______.15．已知圆22:1O x y +=，直线:30l mx y m -=与圆O 交于A ､B 两点，1AB =，分别过A ､B 两点作直线l 的垂线交x 轴于C ､D 两点，则CD =__________.16．在平面直角坐标系xOy 中,A 的坐标为(2,0),B 是第一象限内的一点,以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点,且圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则直线PB 的方程为_____. 17．在平面上给定相异两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足PA PBλ=，当0λ>且1λ≠时，P 点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >），A ，B 为双曲线的左、右顶点，C ，D 为双曲线的虚轴端点，动点P 满足2PA PB=，PAB ∆面积的最大值为643，PCD ∆面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______. 18．若点P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=相切于点M ，则PM 的最小值为__________.19．已知正三棱锥A BCD -的四个顶点在球O 的球面上，2AB =，且π2BAC ∠=，则球O 的表面积为_______．20．如图，平面四边形ABCD 中，1AB AD ==，2,3,BD CD BD CD ==⊥将其沿对角线BD 折成四面体A BCD '-，使平面A BD '⊥平面BCD ，则四面体A BCD '-的外接球的球心到平面ACD '的距离等于__________．21．已知正三棱柱木块111ABC A B C -，其中2AB =，13AA =，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.22．在正三棱锥S ABC -中，23AB =，4SA =，E 、F 分别为AC 、SB 的中点，过点A 的平面α//平面SBC ，α平面=ABC l ，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为_________.23．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是__________．24．如图，已知正四面体D ABC -，P 为线段AB 上的动点（端点除外），则二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是___________．三、解答题25．设某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为cm )，（1）用斜二测画法画出该几何体的直观图(不写画法)； （2）求该几何体最长的棱长.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为平行四边形，1,2AB BC ==45ABC ∠=︒，AE PC ⊥垂足为E ．（Ⅰ）求证：平面AEB ⊥平面PCD ；（Ⅱ）若二面角B AE D --的大小为150︒，求侧棱PA 的长．27．在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面ABCD 的中心.（1）求证:1BO//平面11DA C ; （2）求点O 到平面11DA C 的距离.28．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，∠ADP =90°，PD =AD ，∠PDC =60°，E 为PD 中点.（1）求证：PB //平面ACE ： （2）求四棱锥E ABCD -的体积.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】利用直线垂直，系数满足()110a a ⨯+-⨯=即可判断A ；根据直线过定点与系数无关即可判断B ； 在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---，代入2:10l x ay ++=，左边可得不恒为0，从而可判断C ；将两直线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】对于A ，()110a a ⨯+-⨯=恒成立，1l 与2l 都互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线1:10l ax y -+=， 当a 变化时，0x =，1y =恒成立， 所以1l 恒过定点(0,1)A ；2:10l x ay ++=，当a 变化时，1x =-，0y =恒成立， 所以2l 恒过定点(1,0)B -，故B 正确. 对于C ，在1l 上任取点(),1x ax +，关于直线0x y +=对称的点的坐标为()1,ax x ---， 代入2:10l x ay ++=， 得20ax =，不满足不论a 为何值时，20ax =成立， 故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫⎪++⎝⎭，所以MO ==≤所以MO D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中档题.2．C解析：C 【分析】根据圆的切线的性质，可知当过P 点作圆的切线，切线与OP 所成角是圆上的点与OP 所成角的最大值，只需此角大于等于30即可，此时半径，切线与OP 构成直角三角形，由切线与OP 所成角大于等于30可得OP 小于等于半径的2倍，再用含0x 的式子表示OP ，即可求出0x 的取值范围．【详解】 设过P 的C 的切线切点为R ，根据圆的切线性质，有30OPR OPQ ∠∠=︒．反过来，如果30OPR ∠︒，则存在C 上点Q 使得30OPQ ∠=︒．∴若圆C 上存在点Q ，使30OPQ ∠=︒，则30OPR ∠︒||1OR =，||2OP ∴>时不成立，||2OP ∴．222222000000||(2)244OP x y x x x x =+=+-=-+200240x x ∴-，解得，0002x x ∴的取值范围是[0，2]故选：C ． 【点睛】本题主要考查了直线与圆相切时切线的性质，以及一元二次不等式的解法，综合考查了学生的转化能力，计算能力．3．B解析：B 【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值． 【详解】切线长的最小值是当直线1y x =+上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d =圆的半径为1，= 故选：B ． 【点睛】本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题．4．B解析：B 【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为y ＝kx ＋b ， 即kx －y ＋b ＝0，所以11d ==，22d ==，解之得k ＝0或43k =-， 所以所求直线方程为y ＝3或4x ＋3y －5＝0， 所以符合题意的直线有两条，选B.5．C解析：C 【分析】根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，由圆与圆的位置关系可得222(6)a a +-=，解可得a 的值，即可得答案．【详解】根据题意，圆22()()2x a y a -+-=的圆心为(,)a a，半径1r 22(6)8x y +-=的圆心为(0,6)，半径2r =若圆22()()2x a y a -+-=与圆22(6)8x y +-=相外切，则有222(6)a a +-=， 解可得：3a =； 故选：C. 【点睛】本题考查圆与圆的位置关系，注意圆与圆外切的判断条件，属于基础题．6．A解析：A 【分析】设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，解方程组111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩得22a b =⎧⎨=-⎩，即得解.【详解】圆1C 的圆心为1(1,1)C -，设圆2C 的圆心为2(,)C a b ，依题意得111022111a b b a -+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，又圆2C 的半径与圆1C 的半径相等， 所以圆2C 的方程为22(2)(2)1x y -++=. 故选：A. 【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，考查点线点对称，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．C解析：C 【分析】作出图形，连接1AD 、11B D 、1AB ，推导出1//EF AB ，11//BD B D ，可得出异面直线EF 和BD 所成的角为11AB D ∠，分析11AB D 的形状，即可得出结果. 【详解】如下图所示，连接1AD 、11B D 、1AB ，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，则11112AD AB B D ===， 所以，11AB D 为等边三角形，则1160AB D ∠=，因为E 、F 分别是正方形1111D C B A 和11ADD A 的中心，则E 、F 分别是11B D 、1AD 的中点，所以，1//EF AB ，在正方体1111ABCD A BC D -中，11//BB DD 且11BB DD =， 所以，四边形11BB D D 为平行四边形，则11//BD B D ， 所以，异面直线EF 和BD 所成的角为1160AB D ∠=. 故选：C. 【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形； （4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．8．B解析：B 【分析】由题意计算2,AB BD CD ===分析该几何体可以扩充为长方体，所以只用求长方体的外接球即可. 【详解】因为AB ⊥平面BCD ，BD CD ⊥且AB BD CD ==， 43A BCD V -=， 而114323A BCD V BD CD AB -=⨯⨯⨯=,所以2AB BD CD ===， 所以该几何体可以扩充为正方体方体，所以只用求正方体的外接球即可.设外接球的半径为R ，则223R =, 所以外接球的表面积为2412S R ππ== 故选：B 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．9．A解析：A 【分析】由AB AP =，PD BD =，可得ABD △≌APD △，从而得DAB DAP α∠=∠=，而直线PA 与平面ABC 所成角为γ，由最小角定理可得γα≤，再由P ABC B PAC V V --=，PACABCSS≤，进而可比较,βγ的大小【详解】解：因为AB AP =，PD BD =，所以ABD △≌APD △， 所以DAB DAP α∠=∠=，因为直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以由最小角定理可得γα≤， 因为AB AC ⊥，所以12ABCS AB AC =⋅, 因为1sin 2PACS AC AP PAC =⋅∠，AB AP =， 所以PACABCSS≤，令点P 到平面ABC 的距离为1d ，点B 到平面PAC 的距离为2d ， 因为P ABC B PAC V V --=，1211,33P ABC ABC B PACPACV S d V S d --=⋅=⋅所以12d d ≤，因为直线AB 与平面PAC 所成角为β，直线PA 与平面ABC 所成角为γ， 所以21sin ,sin d d AB PAβγ== 因为AB AP =， 所以sin sin βγ≥ 因为,(0,]2πβγ∈所以βγ≥， 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与平面所成的角，考查推理能力，解题的关键是利用了等体积法转换，属于中档题10．C解析：C 【分析】在长方体中还原三视图后，利用体积公式求体积. 【详解】根据三视图还原后可知，该四棱锥为镶嵌在长方体中的四棱锥P -ABCD （补形法）且该长方体的长、宽、高分别为6、4、4，故该四棱锥的体积为1(64)4323V=⨯⨯⨯=.故选C．【点睛】(1)根据三视图画直观图，可以按下面步骤进行：①、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；②、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；③、画出整体，让后再根据三视图进行调整；(2)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．11．B解析：B【分析】根据三视图得到直观图，根据棱锥的体积公式可得结果.【详解】由三视图可知，该几何体是长、宽、高分别为1,2,1的长方体中的三棱锥D ABC-，如图所以：所以该几何体的体积为111121323 V=⨯⨯⨯⨯=.故选：B【点睛】关键点点睛：根据三视图还原出直观图是本题解题关键.12．D解析：D【分析】在正方体中根据线面垂直可判断A，根据异面直线所成角可判断B，由余弦定理可判断CD.【详解】如图，设正方体棱长为2，在正方体中易知1DC ⊥平面11A BCD ，P 为线段1A B 上的动点，则PC ⊂平面11ABCD ,所以 1DC PC ⊥，故A 正确；因为异面直线AD 与PC 所成的角即为BC 与PC 所成的角，在Rt PBC 中不可能BC 与PC 垂直，所以异面直线AD 与PC 不可能垂直，故B 正确；由正方体棱长为2，则222222211114480D P PC DC A P BP A P BP +-=+++-=+>， 所以由余弦定理知1cos 0D PC ∠>，即1D PC ∠不可能是直角或者钝角，故C 正确； 设1(022)A P x x =≤≤，则2214D P x =+，222422cos4224AP x x x x π=+-⨯=+-，由余弦定理，222211111222cos =22AP D P AD x xAP D P A PD P AP D ∠=+--⋅⋅，当2x <1cos 0APD ∠<，所以1APD ∠为钝角，故D 错误.故选：D 【点睛】关键点点睛：判断正方体中的角的范围时，可选择合适三角形，利用正方体中数量关系，位置关系，使用余弦定理，即可判断三角形形状或角的范围，属于中档题.二、填空题13．4【分析】先由圆的方程得到圆心坐标根据题意得到；记点则点在直线设切点为由得到最小时切线最小根据点到直线距离公式求出的最小值即可得出结果【详解】由得因为圆关于直线对称所以圆心在直线上因此即记点则点在直解析：4 【分析】先由圆的方程，得到圆心坐标，根据题意，得到30m n -+=；记点(,)P m n ，则点P 在直线30x y -+=，设切点为M ，由2222PM PC CM PC =-=-PC 最小时，切线PM 最小，根据点到直线距离公式，求出PC 的最小值，即可得出结果. 【详解】由22243x y x y ++-=-得22(1)(2)2x y ++-=，因为圆:C 22243x y x y ++-=-关于直线260mx ny ++=对称，所以圆心()1,2C -在直线260mx ny ++=上，因此2260m n -+=，即30m n -+=， 记点(,)P m n ，则点P 在直线30x y -+=上，设切点为M ，则PM ==所以，当PC 最小时，切线PM 最小，而PC 的最小值是圆心()1,2C -到直线30x y -+=的距离，因此min PC ==所以min4PM==.故答案为：4. 【点睛】本题主要考查圆的切线长的最值问题，熟记直线与圆的位置关系即可，属于常考题型.14．【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程代入已知点坐标可求出的值即可确定所求圆的方程【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：∵所求圆过点∴解得所以圆的方程为化简得故答案为：【点睛】本题主要 解析：2231240x y x y ++--=【分析】根据题意设出过直线和圆的交点的圆系方程，代入已知点坐标，可求出λ的值，即可确定所求圆的方程. 【详解】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：()2242420x y x y x y λ+-+-+-=∵所求圆过点()1,0 ∴70λ-+= 解得7λ=所以圆的方程为()22424720x y x y x y +-+-+-=，化简得2231240x y x y ++--=.故答案为：2231240x y x y ++--=. 【点睛】本题主要考查求解圆的方程，设出过已知直线和圆的交点的圆系方程是解本题的关键.15．【分析】利用垂径定理可求得的值设则联立方程利用韦达定理可求【详解】由可得圆心半径设圆心到直线距离为则由垂径定理可得解得设联立直线与圆方程得∴∴∴故答案为：【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题【分析】1AB =，利用垂径定理可求得m 的值，设()11A x y ，，()22B x y ，，则12CD x x =-=CD .【详解】由22:1O x y +=，可得圆心O ()00，，半径1R =，设圆心到直线:0l mx y -=距离为d ，则d ==，由垂径定理可得2222AB R d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222112⎛⎫=+⎝⎪⎭， 解得213m =， 设()11A x y ，，()22B x y ，，联立直线l与圆O 方程得221x y y mx ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，∴()22221310m x x m +++-=，∴12131113x x m -+===++，212213131301113m x x m ⨯--===++，∴12CD x x =-===. 【点睛】本题考查利用垂径定理解决圆的弦长问题，联立方程利用韦达定理求线段长度，考查运算求解能力，是中档题.16．x+7y ﹣18=0【分析】先求出圆C （11）半径r=|AC|设PB 的方程为y ﹣2=k(x ﹣4)由题得解方程即得解【详解】根据题意A 的坐标为(20)以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点则圆心C 在线段OA 的解析：x +7y ﹣18=0.【分析】先求出圆C （1,1），半径r =|AC|=设PB 的方程为y ﹣2=k (x ﹣4),由题得=.【详解】根据题意,A 的坐标为(2,0),以C 为圆心的圆经过O ､A ､B 三点, 则圆心C 在线段OA 的垂直平分线上, 设圆心C 的坐标为(1,b ),圆C 在点A ,B 处的切线相交于P ,若P 的坐标为(4,2),则k PA 2042-==-1,则k AC 012b -==--1, 解可得:b =1,即C (1,1),圆C 的半径r =|AC|=其圆C 的方程为(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=2,直线PB 的斜率必定存在, 设PB 的方程为y ﹣2=k (x ﹣4),即kx ﹣y ﹣4k +2=0,=解可得k 17=-或1(舍);故PB 的方程为y ﹣217=-(x ﹣4),变形可得x +7y ﹣18=0; 故答案为:x +7y ﹣18=0. 【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.17．【分析】根据为双曲线的左右顶点可设由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程由为双曲线的左右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大根据面积最大值求得当位于圆的最左端时的面积最小结合最小面积可求得即可求得解析：54【分析】根据,A B 为双曲线的左、右顶点可设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y ,由两点间距离公式并化简可得动点P 的轨迹方程.由,A B 为双曲线的左、右顶点可知当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,根据面积最大值求得a .当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,结合最小面积可求得b ,即可求得双曲线的离心率. 【详解】设(),0A a =-,(),0B a ,(),P x y , 依题意,得2PA PB =,=两边平方化简得2225433a x y a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则圆心为5,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,半径43a r =, 当P 位于圆的最高点时PAB ∆的面积最大,最大面积为14642233a a ⨯⨯=, 解得4a =；当P 位于圆的最左端时PCD ∆的面积最小,最小面积为154242333a b a a b ⎛⎫⨯⨯-=⨯= ⎪⎝⎭, 解得3b =,故双曲线的离心率为54e ==.故答案为: 54【点睛】本题考查了两点间距离公式的应用,轨迹方程的求法,圆与双曲线的综合应用,双曲线离心率的求法,属于中档题.18．【分析】求出圆心坐标圆的半径结合题意利用圆的到直线的距离半径满足勾股定理求出就是最小值【详解】解：因为的圆心半径为则圆心到直线的距离为：点在直线上过点的直线与曲线只有一个公共点则的最小值：故答案为：解析：【分析】求出圆心坐标，圆的半径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，||PM 满足勾股定理，求出||PM 就是最小值． 【详解】解：因为()22:54C x y -+=的圆心(5,0)，半径为2，则圆心到直线1:30l x y ++=的=P 在直线1:30l x y ++=上，过点P 的直线2l 与曲线()22:54C x y -+=只有一个公共点M ，则||PM故答案为：【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用，属于基础题．19．【分析】经分析正三棱锥是以△BCD 底面的三棱锥可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的可借助于正方体的外接球求解【详解】正三棱锥中所以△BCD 为底面且所以正三棱锥是以AB 为边长的正方体切割下来的所以 解析：6π【分析】经分析，正三棱锥A BCD -是以△BCD 底面的三棱锥，可以把看出以AB 为边长的正方体切割下来的，可借助于正方体的外接球求解. 【详解】正三棱锥A BCD -中，π2BAC ∠=， 所以△BCD 为底面，且π2BAD DAC BAC ∠=∠=∠=, 所以正三棱锥A BCD -是以AB 为边长的正方体切割下来的， 所以正三棱锥A BCD -的外接球就是正方体的外接球. 设外接球的半径为R ,所以232R = 所以外接球的表面积为246S R ππ==． 故答案为：6π 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．20．【分析】取的中点为可证明为四面体外接球的球心利用等体积可得答案【详解】取的中点为连接因为平面平面平面平面平面故平面因为平面故因为故故又故平面因为平面故而为的中点故又所以故为四面体外接球的球心设球心到解析：12【分析】取BC 的中点为M ，可证明M 为四面体A BCD '-外接球的球心，利用等体积可得答案. 【详解】取BC 的中点为M ，连接,A M DM '，因为平面A BD '⊥平面BCD ，BD CD ⊥，平面A BD'平面BCD BD =，CD ⊂平面BCD ，故CD ⊥平面A BD '， 因为BA '⊂平面A BD '，故CD BA '⊥，因为1A B A D ''==，2BD =，故222BD A B A D ''=+，故''⊥BA A D ，又A D DC D '⋂=，故'⊥BA 平面ACD '，因为A C '⊂平面ACD '，故A D A C ''⊥，而M 为BC 的中点，故MA MB MC '==，又BD DC ⊥，所以MD MB =，故M 为四面体A BCD '-外接球的球心.设球心M 到平面ACD '的距离为h ，因为2B A CD M A CD V V ''--=，所以11233A CDA CD S AB S h '''=⨯，即12h =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查四面体的外接球，此类问题一般是先确定球心的位置，再把球的半径放置在可解的平面图形中处理，如果球心的位置不易确定，则可以通过补体的方法来处理.21．【分析】将正三棱柱的侧面沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时的点可知点为棱的中点即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面连接与的交点即为满足最小时 解析：1:1【分析】将正三棱柱111ABC A B C -的侧面沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M ，可知点M 为棱1BB 的中点，即可计算出沿着蚂蚁走过的路径截开木块时两几何体的体积之比. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C -沿棱1BB 展开成平面，连接1AC 与1BB 的交点即为满足1AM MC +最小时的点M .由于2AB =，13AA =，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自A 点出发经过线段1BB 上的一点M 到达点1C ，当沿蚂蚁走过的最短路径， M ∴为1BB 的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：1111:1:1C AMB A A CBMC V V --=.故答案为：1:1.【点睛】本题考查棱柱侧面最短路径问题，涉及棱柱侧面展开图的应用以及几何体体积的计算，考查分析问题解决问题能力，是中档题．22．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的 解析：217 【分析】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，根据题意得//l BC ，//DE BC ，故//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角，再根据几何关系求得在Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===，227EF DE DF =+321cos 77DE DEF EF ∠===，进而得答案. 【详解】取AB 、BC 中点D 、G ，连结DE 、DF 、GS 、GA ，依题意：//l BC ，//DE BC ，所以//l DE ，所以DEF ∠为异面直线l 和EF 所成角.在正三棱锥S ABC -中，G 是BC 中点，所以SG BC ⊥，AG BC ⊥，又因为SG AG G ⋂=，SG ⊂平面SAG ，AG ⊂平面SAG ，所以BC ⊥平面SAG ，所以BC SA ⊥.因为F 、D 分别是SB 、AB 的中点，所以//DF SA .所以DE DF ⊥.Rt DEF ∆中，122DF SA ==，11322DE BC AB ===， 所以227EF DE DF +. 所以321cos 7DE DEF EF ∠===. 故异面直线l 和EF 21 21 【点睛】 本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题.23．【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥再根据锥体的体积计算公式求解即可【详解】利用正方体法还原三视图如图所示根据三视图可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形高为2的三棱锥解析：43. 【分析】先根据三视图得到几何体是底面是直角三角形的一个三棱锥，再根据锥体的体积计算公式求解即可. 【详解】 利用正方体法还原三视图，如图所示，根据三视图，可知该几何体是底面直角边为2的等腰直角三角形，高为2的三棱锥S-ABC ，故其体积114222323V =⨯⨯⨯⨯=. 故答案为：43. 【点睛】本题主要考查三视图还原几何体，锥体的体积公式，考查考生的观察分析能力与空间想象能力及运算能力，属于中档题. 24．【分析】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大二面角的平面角最小趋于二面角的平面角最大趋于二面角的平面角的补角求出二面角的平面角和二面角的平面角即可【详解】当点从点运动到点时二面角的平面角逐渐增大解析：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于二面角D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，求出二面角D AC B --的平面角和二面角D BC A --的平面角即可.【详解】当点P 从点A 运动到点B 时，二面角D PC B --的平面角逐渐增大，二面角D PC B --的平面角最小趋于D AC B --的平面角，最大趋于二面角D BC A --的平面角的补角，设正四面体的棱长为2a ，如图所示，取AC 的中点E ，连接DE 、BE ，易知DEB ∠为二面角D AC B --的平面角，3DE BE a ==，所以((()()()2223321cos 3233a a a DEB a a +-∠==⨯⨯， 同理可得：二面角D BC A --的平面角的补角的余弦值为13-， 故二面角D PC B --的平面角的余弦值的取值范围是11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭， 故答案为：11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的求解，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题25．（1）答案见解析；（2）4cm .【分析】（1）直接画出三棱锥S ABC -即可；（2）作SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，分别在等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △中，求出线段长度，得到该几何体最长的棱长．【详解】（1）（2）如下图，SE ⊥面ABC ，线段AC 中点为D 2,3,1,4,2,=1SE cm AE cm CE cm AC cm AD DC cm DE cm ======，BD AC ⊥，3BD cm =，在等腰ABC 中，222313cm AB AC ==+=在Rt SEA △中，22222313cm SA SE AE +=+=在Rt SEC △中，2222215cm SC SE CE =++=在Rt BDE △中，22223110cm BE BD DE ++=SE ⊥面ABC ，SE BE ∴⊥ 在Rt SEB △中，22222(10)14cm SB SE BE =+=+ 在三梭锥S-ABC 中，SC AB AC SA SB AC <==<<，所以最长的棱为AC ，长为4cm【点睛】关键点点睛：本题考查几何体的三视图，以及棱锥的性质，解决本题的关键点是作出SE ⊥面ABC ，取线段AC 中点为D ，由三视图得出等腰ABC ，Rt SEA △，Rt SEC △，Rt BDE △和Rt SEB △，分别求出线段长度，得出答案，考查学生空间想象能力与计算能力，属于中档题．26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ2【分析】（Ⅰ）推导出AB AC ⊥，CD AC ⊥，PA CD ⊥，从而CD ⊥平面PAC ，进而CD AE ⊥，AE PC ⊥，由此能证明平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出侧棱PA 的长．【详解】证明：（Ⅰ）1,2,45AB BC ABC =∠=︒，AB AC ∴⊥ 又//AB CD ，CD AC ∴⊥，PA ⊥平面ABCD ，PA CD ∴⊥，又AC AP A =，,AC AP ⊂平面PAC ， CD平面PAC ， AE ⊂平面PAC ，CD AE ∴⊥， 又AE PC ⊥，PC CD C =，,PC CD ⊂平面PCD ，AE ∴⊥平面PCD ，又AE ⊂平面AEB ，∴平面AEB ⊥平面PCD ．（Ⅱ）以A 为原点，以AB ，AC ，AP 所在射线分别为x ，y ，z 的正半轴，建立空间直角坐标系．设AP t =，则(0A ，0，0)，(1B ，0，0)，(0C ，1，0)，(1,10)D -，(0P ，0，)t ， AB PC ⊥，AE PC ⊥，PC ∴⊥平面ABE ，∴平面ABE 的一个法向量为(0,1,)n PC t ==-在Rt PAC △中，PA t =，211AC PC t =∴=+，又AE PC ⊥，21AE t =+，得222(0,,)11t t E t t ++ 设平面ADE 的一个法向量为(,,)m x y z =由m AD m AE ⎧⊥⎨⊥⎩，得222··0110t t y z t t x y ⎧+=⎪++⎨⎪-+=⎩，解得(1,1,)m t =- 二面角B AE D --的大小为150︒，∴222||3|cos ,||cos150|||||12m n m n m n t t 〈〉===︒=++， 解得2t =，故侧棱PA 的长为2．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.。
苏州高新区实验初级中学（新实初中）小升初数学期末试卷（篇）（Word版 含解析） (3)
苏州高新区实验初级中学（新实初中）小升初数学期末试卷（篇）（Word版含解析）一、选择题1．钟面上5时整，时针与分针形成的角是（）。
A．钝角B．直角C．平角2．一堆石子，用去60%后还剩13吨，求这堆石子原来共有多少吨，正确的算式是（）A．60%+13B．13÷60% C．13÷（1﹣60%）3．一个三角形三个内角度数的比是1∶2∶1，这个三角形是（）。
A．等边三角形B．等腰直角三角形C．钝角三角形4．小胖有88枚邮票，比小亚邮票枚数的一半多2枚。
小亚有多少枚邮票？解：设小亚有x枚邮票。
下列方程错误的是（）。
A．x÷2－2＝88 B．x÷2＋2＝88 C．88－x÷2＝2 D．x÷2＝88－25．下图是一个正方体表面展开图，每个面上标有一个数字，与标有数字“2”的面相对的面上标的是数字（）。
A．3 B．4 C．5 D．66．下列陈述中，错误的是（）。
A．直径是圆内最长的线段B．31名生日在7月的学生中一定有2人的生日是同一天C．同一钟表上时针与分针的速度比是1:127．如图将一个圆柱转化成一个长方体、体积（）。
A．不变B．增加C．减少8．某地出租车行S千米收费3S元。
甲、乙、丙三人约定：由甲在A地租一辆出租车，途中乙在B地上车，丙在其后的C地上车，三人同时在D地下车。
已知AB＝BC＝CD＝10千米，出租车按规定收费90元，那么这笔车费由甲、乙、丙三人按乘车的路程合理分摊，顺次应付（）元。
A．40，30，20 B．50，30，10 C．45，30，15 D．55，25、109．按如图所示3×3方格中的规律，在下面4个符号中选择一个，填入第三行的空格内，你选的是（）A．B．C．D．二、填空题10．2小时35分＝____小时； 3.8m3＝_____m3_____dm3.11．179的分数单位是（________），加上（________）个这个分数单位是最小合数。
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题(含答案解析)
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．2cm 4．如图，为了估计一池塘岸边两点点P ，测得PA ＝5m ，A ．6.5m 5．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（A ．()()21+-=x x C ．21y xy y ++=A ．45°B ．28°C ．25°D ．30°8．如图，一辆超市购物车放置在水平地面上，其侧面四边形ABCD 与地面某条水平线l 在同一平面内，且AB ∥l ．若∠A ＝93°，∠D ＝111°，则直线CD 与l 所夹锐角的度数为（）A ．24°B ．34°C ．39°D ．83°9．4张长为a 、宽为()b a b >的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为()a b +的正方形，图中空白部分的面积为1S ，阴影部分的面积为2S ．若122S S =，则a 、b 满足（）A ．25a b =B ．23a b =C ．3a b =D ．2a b=10．如图2是从图1的时钟抽象出来的图形，已知三角形ABC 是等边三角形，60A ∠=︒，当时针OP 正对点A 时恰好是12:00．若时针OP 与三角形ABC 一边平行时，时针所指的时间不可能是（）A ．1：00B ．3：00C ．5：00D ．8：00二、填空题11．若正多边形的一个内角等于144︒，则这个正多边形的边数是______．12．计算：3a a ÷=__________．13．已知7a b +=，11ab =，则22a b +=________．14．如图，已知180ABC C ∠+∠=︒，BD 平分ABC ∠，若50D ∠=︒，则C ∠=______度．15．若x 2+mx ﹣15=（x +3）（x +n ），则mn 的值为_____．16．若3a b +=，则226a b b -+的值为________．17．聪聪想借助学过的几何图形设计图案，首先她将如图1的小长方形和如图2的小正方形组合成如图3的大正方形图案，已知小长方形的长为()cm a ，宽为()cm b ，则图2的小正方形的边长可用关于a 和b 的代数式表示为a b -；聪聪随后用3个如图3的完全相同的图案和8个如图1的小长方形，组合成如图4的大长方形图案，则图4中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________.∥，将纸片沿EF折叠，点A、D分别落在18．如图，在四边形纸片ABCD中，AB CDA'、D¢处，且A D''经过点B，FD'交BC于点G，连接EG，EG平分BEF∥，∠，EG A D''∠的度数是________.A DFE130∠+∠=︒，则CFE三、解答题∥；(1)求证：CD FG(2)若∠A＝60°，∠B＝50°，⨯的网格中，23．如图，在710顶点都在格点上（格点是指每个小正方形的顶点）B、C的对应点是分别是A'(1)求出ABC 的面积，并利用无刻度的真尺画出(2)如图，直线l 经过点C '，请在直线四点围成的四边形的面积为24．阅读：一个三位数，百位数字是表示，而要表示为10010x +10010xyz x y z =++．(1)类比：ab =______________(2)观察下列等式2151001225=⨯⨯+2252451004525=⨯⨯+猜想：①255=___________②25a =______________；(3)验证：利用所学知识证明猜想②．25．小明和小红在计算1⎛- ⎝小明的解法：100101133⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭小红的解法：100101133⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭例如：分解因式：()()()()()()2222321414121231x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；求代数式2246x x +-的最小值；()()222246226218x x x x x +-=+-=+-，可知当=1x -时，2246x x +-有最小值，最小值是8-．根据阅读材料，用配方法解决下列问题：(1)分解因式：245m m --=________；(2)求代数式281a a -++的最大值；(3)将一根长为24cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，求此时这根铁丝剪成两段后做成两个正方形面积的和；若没有，请说明理由．27．如图1，已知两条直线AB 、CD 被直线EF 所截，分别交于点E 、点F ，EM 平分AEF ∠交CD 于点M ，且FEM FME ∠=∠．(1)判断直线AB 与直线CD 是否平行，并说明理由；(2)点G 是射线MD 上一动点（不与点M 、F 重合），EH 平分FEG ∠交CD 于点H ，过点H 作HN EM ⊥于点N ，设EHN α∠=，EGF β∠=．①如图2，若40β=︒，求α的度数；②当点G 在运动过程中，α和β之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．参考答案：【点睛】本题考查了三角形外角的性质和平行线的性质，结合的思想解答．9．D【分析】先用a、b的代数式分别表示∴22222(2)a b ab b +=-，整理，得2(2)0a b -=，∴20a b -=，∴2a b =．故选D ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练运用完全平方公式是解题的关键．10．D【分析】根据题意可知，需要分三种情况，分别画出图形，可根据时钟得出结论．【详解】解：根据题意可知，需要分三种情况，如下图所示：当OP AB ∥时，如图2（1），此时对应的时间为1:00或7:00；当OP AC 时，如图2（2），此时对应的时间为5:00或11:00；当OP BC ∥时，如图2（3），此时对应的时间为3:00或9:00；故选：D ．【点睛】本题主要考查分类讨论思想，对于时钟的认识，找到每种情况是解题关键．11．10/十【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．【详解】解：设这个正多边形是正n 边形，根据题意得：()2180144n n -⨯︒÷=︒，解得：10n =．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关键．12．2a ．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减【详解】解：原式＝312a a -=．故答案为2a ．13．27【分析】根据完全平方公式变形可得222()2a b a b ab +=+-，代入求解即可．【详解】222()2a b a b ab +=+- ，7a b +=，11ab =，2227211492227a b ∴+=-⨯=-=，故答案为：27．【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，代入求值，熟练掌握知识点是解题的关键．14．80【分析】根据平行线的判定与性质及角平分线的定义进行解答即可．【详解】解：∵180ABC C ∠+∠=︒，∴AB DC ,∴∠ABD =50D ∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴2100ABC ABD ∠=∠=︒，∴18010080C ∠=︒-︒=︒．故答案为：80．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，解题关键掌握平行线的判定与性质定理．15．10【分析】根据整式的乘法即可化简求出m ，n ，即可求解．【详解】∵（x +3）（x +n ）=x 2+nx +3x +3n =x 2+mx ﹣15∴n +3=m ，3n =-15，∴m =-2，n =-5∴mn =10．故答案为∶10（2）由（1）可得''A B C S '= 当Q 在C '左边时，由点A '、B '、C '、Q 四点围成的四边形的面积为由122B C Q S C Q '''=⨯⨯△可得当Q 在C '右边时，由点A '、B '、C '、Q 四点围成的四边形的面积为由142C QA S C Q '''=⨯⨯△可得【点睛】此题考查了平移作图，三角形面积的求解，解题的关键是掌握平移的性质，正确求得对应三角形的面积．24．(1)10a b+(2)①1005625⨯⨯+；②100(3)证明见解析【分析】（1）参照阅读材料中的表示方法即可得；（2）①观察等式的规律：由此即可得；②5a 表示的一个两位数，这个两位数的十位上的数字为等式的规律即可得；（3）根据()225105a a =+，先利用完全平方公式进行计算，再利用单项式乘以多项式法则②分两种情况讨论：如图2，当点G 在点F 的右侧时，证明：AB CD ∥ ，答案第15页，共15页证明：AB CD ∥ ，AEG EGF β∴∠=∠=，又EH 平分FEG ∠，EM 平分∠12HEF FEG ∴∠=∠，12MEF AEF ∠=∠。
专题23 圆(解析版)
∴ ∠ECB = 90∘，
̂ =
̂
∵
∴ ∠AEC = ∠BEA，
∵ ∠BEA = ∠，
∴ ∠ = ∠AEB = ∠AEC
∵ ∠ + ∠AEB + ∠AEC = 180∘ ，
∴ ∠ = ∠AEB = ∠AEC = 30∘ ，
∵ EC = 3，
∴ EB = 2EC = 6，
由已知条件无法得出∠C=∠D，故 C 选项错误，
故选 C.
2．
（2018·北京中考模拟）有下列四种说法：
①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中，错误的
说法有（
A．1 种
）
B．2 种
C．3 种
D．4 种
【答案】B
【详解】
圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；
【答案】C
【详解】
（1）一个三角形只有一个外接圆，正确；
（2）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
（3）在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，正确；
（4）三角形的内心是三个内角平分线的交点，到三边的距离相等，错误；
故选：C．
4．
（2018·湖北中考模拟）有下列说法：①等弧的长度相等；②直径是圆中最长的弦；③相等的圆心角对的
弧相等；④圆中 90°角所对的弦是直径；⑤同圆中等弦所对的圆周角相等．其中正确的有（
A．1 个
B．2 个
C．3 个
）
D．4 个
【答案】B
【解析】试题解析：
同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫等弧，所以长度相等，故正确；
连接圆上任意两点的线段叫做弦，所以直径是最长的弦，故正确；
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年八年级上学期12月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．24y y6A．50︒中，6．如图，在ABCEF=，则AC的长是（3A ．3B ．47．如图，在平面直角坐标系中，接AB ，将线段AB 先向上平移论：①3CD =；②OBA OCD ∠+∠标为()0,3或()0,5-；④若P 点不在直线四边形ABDC 面积为z ，则x A ．①②④B ．①③④8．如图，在ABC 中，ACB ∠DE 的对称点分别是G ，F ，若A ．3632-B ．326-二、填空题9．近似数42.810⨯精确到位．10．已知分式3x n x m++，当3x =时，分式的值不存在：当15．如图，四边形ABCD 中，=60B ∠到线段DE ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为16．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，∠与点A 重合），AED △为等边三角形，过点接EF ，G 为EF 的中点，连接BG ，则（1）求证：AD⊥BC．（2）若∠BAC=75°，求∠23．如图，在平面直角坐标系中，(1)在图中作出ABC 关于x 轴的对称图形(2)ABC 的面积＝______；(3)点(),2P a a -与点Q 关于x 轴对称，若24．如图，函数23y x =-+与12y =-(,2)P n -．(1)m =______，n =______；(2)直接写出不等式1232x m x -+>-+的解集；(3)若点C 在x 轴上，且满足13BCP S S =△△25．学校需要添置教师办公桌椅A B 、两型共共需2000元，1套A 型桌椅和3套B 型桌椅共需(1)求A ，B 两型桌椅的单价；(2)若需要A 型桌椅不少于120套，B 型桌椅不少于元．求出总费用最少的购置方案．26．我们定义：在等腰三角形中，腰与底的比值叫做等腰三角形的正度．如图△ABC 中，AB ＝AC ，AB BC的值为△ABC 已知：在△ABC 中，AB ＝AC ，若D 是△（1）若∠A＝90°，则△ABC的正度为；（2）在图1，当点D在腰AB上（D与A、B不重合）时，请用尺规作出等腰△保留作图痕迹；若△ACD的正度是22，求∠A的度数．（3）若∠A是钝角，如图2，△ABC的正度为35，△ABC使△ACD具有正度？若存在，求出△ACD的正度；若不存在，说明理由．27．如图1，直线AB与x轴、y轴分别交于点()1,0A和。
江苏省苏州市苏州高新区实验初级中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题(含解析)
2023-2024学年苏州新区实验中学八年级月考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共16分）1．如图所示新能源车企的车标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，将△ABC 绕点A 逆时针旋转70°，得到△ADE ，若点D 在线段BC 的延长线上，则∠B 的大小是（ ）A ．45°B ．55°C ．60°D ．100°3．以下命题中，真命题是（）A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．矩形和等边三角形都是中心对称图形C ．顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形4．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（）A ．同旁内角互补的两条直线平行B ．同旁内角互补的两条直线不平行C ．同旁内角不互补的两条直线平行D ．同旁内角不互补的两条直线不平行5．如图，四边形ABCD 中，，，，连接BD ，∠BAD 的角平分线交BD ，BC 分别于点O 、E ，若，，则BO 的长为（ ）A ．4B ．CD ．6．如图，点E ，F 分别是菱形ABCD 边AD ，CD 的中点，交CB 的延长线于点G ．若，则∠A 的度数是（ ）AD BC 90C ∠=︒AB AD =3EC =4CD =EG BC ⊥66GEF ∠=︒A ．24°B ．33°C ．48°D ．66°7．如图，矩形OABC 的顶点O 为坐标原点，，对角线OB 在第一象限的角平分线上．若矩形从图示位置开始绕点O 以每秒45°的速度顺时针旋转，则当第2024秒时，矩形的对角线交点G 的坐标为（）A ．（2，0） B ．（0，2） C ． D ．8．如图，正方形ABCD 中，，点E 在边CD 上，且，将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连接AG 、CF ，下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共8小题，共16分）9．平行四边形ABCD 中，，则∠C ＝________．10．菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且，，则菱形ABCD 的面积为_______．11．如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点O 旋转了80°，小孩的位置从A 点运动到了B 点，则∠OAB 的度数为________．4AC=(6AB =3CD DE =ABG AFG ≌△△BG GC =AG CF 3FGC S =△3A B ∠=∠6AC =8BD =12．如图，在△ABC 中，，，于点D ，．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为________．13．有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图①所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A 顺时针旋转，使，如图②所示，则旋转角∠BAD 的度数为________．14．如图，四边形ABCD 为菱形，，延长BC 到点E ，在∠DCE 内作射线CM ，使得，过点D 作，垂足为F ，若，则BD 的长为________．15．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若，，则CE 的长为________．45B ∠=︒60C ∠=︒AD BC⊥BD =BC DE 72ABC ∠=︒18ECM ∠=︒DF CM ⊥6DF =4BG =3CG =16．如图，在平面直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），点P 是x 轴上一动点，四边形ABPQ 是平行四边形，当值最小时，点Q 的坐标为________．三、解答题（本大题共11小题，共68分）17．（4分）如图，在Rt △ABC 中，，，，将△ABC 绕点C 逆时针旋转得到△DEC ，使点A 的对应点D 落在BC 边上，点B 的对应点为E ，求线段BD ，DE 的长．18．（4分）如图，在□ABCD 中，BE 、CF 分别是∠ABC 、∠BCD 的平分线，若，．（1）求□ABCD 的周长；（2）求线段EF 的长．19．（4分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐BP BQ +90ACB ∠=︒3AC =4BC =6AB =10BC =标系，△ABC 的顶点都在格点上．（1）将△ABC 向右平移6个单位长度得到请画出；（2）画出关于点O 的中心对称图形；（3）若将△ABC 绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为________．20．（5分）如图，在△ABC 中，，DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线．求证：．证法1：∵DE 是△ABC 的中位线，∴________．∵AF 是△ABC 的中线，，∴________，∴．（1）请把证法1补充完整；（2）试用不同的方法证明．21．（5分）如图1，某小区的大门是伸缩电动门，安装驱动器的门柱EFGH 是宽度为30cm 的矩形，伸缩电动门中有20个全等的菱形，每个菱形边长为30cm ，大门的总宽度为10.3m ．（门框的宽度忽略不计）111A B C △111A B C △111A B C △222A B C △222A B C △90BAC ∠=︒DE AF =DE =90BAC ∠=︒AF =DE AF =DE AF =（1）当每个菱形的内角度数为60°（如图2）时，大门打开了多少m ？（2）当每个菱形的内角度数张开至为90°时，大门未完全关闭，有一辆宽1.8m 的轿车需进入小区，计算说明该车能否直接通过．）22．（5分）如图，已知点M 在直线l 外，点N 在直线l 上，完成下列问题：（1）请用无刻度的直尺和圆规，以线段MN 为一条对角线作菱形MPNQ ，使菱形的边PN 落在直线l 上（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）若点M 到直线l 的距离为4，MN 的长为5，求这个菱形的边长．23．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，把矩形COAB 绕点C 顺时针旋转α角，得到矩形CFED ．设FC 与AB 交于点H ，且A （0，3），C （5，0）．（1）当时，△CBD 的形状是________；（2）当旋转过程中，连接OH ，当△OHC 为等腰三角形时，求点H 的坐标．24．（6分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作于点E ，延长BC 到点F ，使得，连接DF ．1.41≈60α=︒090α︒<<︒AE BC ⊥CF BE =（1）求证：四边形AEFD 是矩形；（2）连接OE ，若，，求AE 的长．25．（7分）如图，四边形ABCD 为正方形，点E 为线段AC 上一点，连接DE ，过点E 作，交射线BC 于点F ，以DE 、EF 为邻边作矩形DEFG ，连接CG ．（1）求证：；（2）若，，求CG 的长度；（3）当线段DE 与正方形ABCD 的某条边的夹角是30°时，求∠EFC 的度数．26．（10分）在学习了“中心对称图形⋯平行四边形”这一章后，同学小明对特殊四边形的探究产生了浓厚的兴趣，他发现除了已经学过的特殊四边形外，还有很多比较特殊的四边形，勇于创新的他大胆地作出这样的定义：有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”．请你根据以上定义，回答下列问题：（1）下列关于“双直四边形”的说法，正确的有_________（把所有正确的序号都填上）；①“双直四边形”的对角线不可能相等：②“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半；③若一个“双直四边形”是中心对称图形，则其一定是正方形．（2）如图①，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，连接CE ，BF ，EF ，CF ，若，证明：四边形BCFE 为“双直四边形”；（3）如图②，在平面直角坐标系中，已知点A （0，6），C （8，0），点B 在线段OC 上且，是否存在点D 在第一象限，使得四边形ABCD 为“双直四边形”，若存在；求出所有点D 的坐标，若不存在，请说明理由．27．（12分）实践操作在矩形ABCD 中，，，现将纸片折叠，点D 的对应点记为点P ，折痕为EF （点E 、F 是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．5AB=OE =EF DE ⊥ED EF =2AB=CE =AE DF =AB BC =4AB =3AD =初步思考（1）若点P 落在矩形ABCD 的边AB 上（如图①）．当点P 与点A 重合时，_________°；当点E 与点A 重合时，________°；深入探究（2）当点E 在AB 上，点F 在DC 上时（如图②），求证：四边形DEPF 为菱形，并直接写出当时的菱形EPFD 的边长．拓展延伸（3）若点F 与点C 重合，点E 在AD 上，射线BA 与射线FP 交于点M （如图③）．在折叠过程中，是否存在使得线段AM 与线段DE 的长度相等的情况？若存在，请求出线段AE 的长度；若不存在，请说明理由．2023-2024学年苏州新区实验中学八年级月考数学试题参考答案与解析1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A 、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B 、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；C 、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；D 、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A ．2．【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC 绕点A 逆时针旋转70°得到△ADE ，∴，，∴，故选：B ．3．【分析】根据菱形的判定、中心对称图形的概念、平行四边形的判定判断即可．【解答】解：A 、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；B 、矩形是中心对称图形，而等边三角形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；C 、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；D 、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；故选：C．DEF ∠=DEF ∠=72AP =AB AD =70BAD ∠=︒AB AD =70BAD ∠=︒180552BAD B ADB ︒-∠∠=∠==︒4．【分析】首先明确什么反证法，然后根据命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”可以得到应先假设什么，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，故选：C ．5．【分析】连接DE ，因为，，，可证四边形ABED 为菱形，从而得到BE 、BC 的长，进而解答即可．【解答】解：连接DE ．在直角三角形CDE 中，，，根据勾股定理，得．∵，AE 平分∠BAD ，∴，∴AE 垂直平分BD ，．∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形ABED 是菱形，由勾股定理得出，∴故选：D ．6．【分析】连接AC ，由菱形的性质推出，，判定，得到，求出，由三角形中位线定理推出，得到，即可求出．【解答】解：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∵E ，F 分别是AD ，CD 的中点，∴EF 是△DAC 的中位线，∴，∴，∴，故选：C ．AB AD =AE BD ⊥AD BC 3CE =4CD =5DE =AB AD =AE BD ⊥BAE DAE ∠=∠5DE BE ==AD BC DAE AEB ∠=∠BAE AEB ∠=∠5AB BE ==8BC BE EC =+=BD ===12BO BD ==AD BC 2BAD DAC ∠=∠EG AD ⊥90DEF FEG ∠+∠=︒24DEF ∠=︒EF AC 24DAC DEF ∠=∠=︒22448BAD ∠=⨯︒=︒AD BC 2BAD DAC ∠=∠EG BC ⊥EG AD ⊥90DEF FEG ∠+∠=︒66GEF ∠=︒24DEF ∠=︒EF AC 24DAC DEF ∠=∠=︒22448BAD ∠=⨯︒=︒7．【分析】求出OG ，每秒旋转45°，8次一个循环，，第2024秒时，矩形的对角线交点G 在第一象限，由此可得结论．【解答】解：∵四边形ABCO 是矩形，∴，，，∴，∴，∵每秒旋转45°，8次一个循环，，∴点G 在第一象限，∴点G 的坐标为．故选：C ．8．【分析】根据翻折的性质可得，，，然后利用“HL ”证明Rt △ABG 和Rt △AFG 全等，判断出①正确；根据全等三角形对应边相等可得，再根据“”求出DE 的长，然后设，表示出CG 、EG ，然后利用勾股定理列出方程求出x ，从而求出，判断出②正确；根据等边对等角可得，根据全等三角形对应角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，然后求出，再根据同位角相等，两直线平行可得，判断出③正确；然后求出△CEG 的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△CGF 的面积，判断出④错误．【解答】解：∵△ADE 沿AE 对折至△AFE ，∴，，，∵四边形ABCD 是正方形，∴，∴，在Rt △ABG 和Rt △AFG 中，，∴，故①正确；∴，∵，，∴，，20248253÷=4AC OB ==AG CG =OG BG =2OG=G 20248253÷=AF AD =90AFE D ∠=∠=︒DE EF =BG FG =3CD DE =BG x =BG FG CG ==GCF GFC ∠=∠AGB AGF ∠=∠BGF GCF GFC ∠=∠+∠AGB GCF ∠=∠AG CF AF AD =90AFE D ∠=∠=︒DE EF =AB AD =AB AF =AG AG AB AF =⎧⎨=⎩()Rt ABG Rt AFG HL ≌△△BG FG =6AB =3CD DE =2DE =624CE =-=设，则，，在Rt △CEG 中，，即，解得，∴，故②正确；∴，由Rt △ABG 和Rt △AFG 得，，由三角形的外角性质，，∴，∴，故③正确；△CEG 的面积，∴△CGF 的面积，故④错误；综上所述，正确的是①②③共3个．故选：C ．9．【分析】由平行四边形的性质可得，，可得，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，故答案为：135°．10．【分析】直接利用菱形的面积公式得出答案．【解答】解：∵在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，，，∴菱形ABCD 的面积是：．故答案为：24．11．【分析】先根据题意得到，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理进行解答即可．【解答】解：由题意可知：，，∵，∴，∵，∴，∴，故答案为：50°．12．【分析】根据等腰直角三角形的性质求出AD ，根据正弦的定义求出AC ，根据三角形这中位线定理计算即可．【解答】解：在Rt △ADB 中，，，∴，∵E ，F 分别为AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴，故答案为：4．BG x =6CG x =-2EG x =+222CG CE EG +=222(6)4(2)x x -+=+3x =3BG FG CG ===GCF GFC ∠=∠AGB AGF ∠=∠BGF GCF GFC ∠=∠+∠AGB GCF ∠=∠AG CF 1134622CG CE =⋅=⨯⨯=3186235=⨯=+A C ∠=∠AD BC 180A B ∠+∠=︒A C ∠=∠AD BC 180A B ∠+∠=︒3A B ∠=∠135A ∠=︒135C ∠=︒6AC =8BD =11682422AC BD ⋅=⨯⨯=OA OB =80AOB ∠=︒OA OB =80AOB ∠=︒OA OB =OAB OBA ∠=∠180OAB OBA AOB ∠+∠+∠=︒18080100OAB OBA ∠+∠=︒-︒=︒50OAB OBA ∠=∠=︒45B ∠=︒BD =AD BD ==8sin AD AC C ===142EF AC ==13．【分析】由平行线的性质可得，由外角的性质可求∠BAD 的度数．【解答】解：如图，设AD 与BC 交于点F ，∵，∴，∵，∴故答案为：30°．14．【分析】连接AC 交BD 于点H ，先证，再证，得，即可得出答案．【解答】解：如图，连接AC 交BD 于点H∵四边形ABCD 是菱形，，∴，，，，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在△CDH 和△CDF 中，，∴，∴，∴，故答案为：12．15．【分析】连接EG ，根据AG 垂直平分EF ，即可得出，设，则，，再根据Rt △CEG 中，，即可得到CE 的长．【解答】解：如图所示，连接EG，90CFA D ∠=∠=︒BC DE 90CFA D ∠=∠=︒60CFA B BAD BAD ∠=∠+∠=︒+∠30BAD ∠=︒CDH CDF ∠=∠()CDH CDF AAS ≌△△6DH DF ==72ABC ∠=︒BH DH =AC BD ⊥CB CD =1362CBD ABC ∠=∠=︒AB CD 90DHC ∠=︒36CDB CBD ∠=∠=︒72DCE ABC ∠=∠=︒18ECM ∠=︒721854DCF DCB ECM ∠=∠-∠=︒-︒=︒DF CM ⊥90DFC ∠=︒9036CDF DCF ∠=︒-∠=︒CDH CDF ∠=∠90DHC DFC CDH CDF CD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()CDH CDF AAS ≌△△6DH DF ==212BD DH ==EG FG =CE x =7DE x BF =-=11FG EG x ==-222CE CG EG +=由旋转可得，，∴，，又∵，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴，设，则，，∴，∵，∴Rt △CEG 中，，即，解得，∴CE的长为，故答案为：．16．【分析】先得出点Q 是直线上的动点，再将转化成，考虑将军饮马．【解答】解：A （-1，0），B （0，2），点P 是x 轴上一动点，四边形ABPQ 是平行四边形，根据平移的性质得，∴点Q 是直线上的动点，作B （0，2）关于直线的对称点B′，连接B′Q 、AB′，则B′（0，-6），∵四边形ABPQ 是平行四边形，∴，∴，设直线AB′的表达式为，代入A （-1，0）得，，∴，令，得，∴点Q 的坐标为，故答案为：．ADE ABF ≌△△AE AF =DE BF =AG EF ⊥EG FG =CE x =7DE x BF =-=11FG CF CG x =-=-11EG x =-90C ∠=︒222CE CG EG +=2223(11)x x +=-5611x =561156112y =-BP BQ +AQ BQ +2Q y =-2y =-2y =-BP AQ =BP BQ AQ BQ AQ B Q AB ''+=+=+≥6y kx =-6k =-66y x =--662y x =--=-23x =-2(,2)3--2(,2)3--17．【分析】由题意推出，所以，，，，再运用勾股定理，求得，即推出．【解答】解：根据题意，得，∴，，∵，∴，∵，∴，在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得．∴．18．【分析】（1）证出，则可得出答案；（2）根据（1）可知，，同理可证：，则可求出答案．【解答】解：（1）四边形ABCD 是平行四边形，∴，，∴，∵BE 平分∠ABC ，∴，∴，∴，∵，∴，∴□ABCD 的周长是：；（2）根据（1）可知，，同理可证：，则．19．【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A ，B ，C 的对应点，，即可；（2）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；（3）对应点连线的交点即为旋转中心．【解答】解：（1）如图，即为所求；（2）如图，即为所求；ABC DEC ≌△△AB DE =AC DC =3DC =1BD =5AB =5DE =ABC DEC ≌△△AB DE =AC DC =3AC =3DC =4BC =1BD=5AB ==5DE =6AB AE ==6AB AE ==6DF DC ==AD BC AD BC =AEB EBC ∠=∠ABE EBC ∠=∠ABE AEB ∠=∠6AB AE ==10BC =10AD =66101032AB CD AD BC +++=+++=6AB AE ==6DF DC ==66102EF AE FD AD =+-=+-=1A 1B 1C 1A 1B 1C 2A 2B 2C 111A B C △222A B C △（3）旋转中心Q 的坐标为（-3，0），故答案为：（-3，0）．20．【分析】（1）根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形的性质得到，等量代换证明结论；（2）连接DF 、EF ，根据三角形中位线定理得到，，证明四边形ADFE 是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．【解答】解：（1）∵DE 是△ABC 的中位线，∴，∵AF 是△ABC 的中线，，∴，∴；故答案为：；．（2）连接DF 、EF ，∵DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线，∴DF 、EF 是△ABC 的中位线，∴，，∴四边形ADFE 是平行四边形，∵，∴四边形ADFE 是矩形，∴．21．【分析】（1）连接BD ，根据菱形的性质可得，从而可得△ABD 是等边三角形，然后利12DE BC =12AF BC =DF AC EF AB 12DE BC =90BAC ∠=︒12AF BC =DE AF =12BC 12BC DF AC EF AB 90BAC ∠=︒DE AF =30cm AB AD ==用等边三角形的性质可得，最后进行计算，即可解答；（2）根据已知可得△ABD 是等腰直角三角形，从而可得，然后进行计算即可解答．【解答】解：（1）连接BD ，∵四边形ABCD 是菱形，∴，∵，∴△ABD 是等边三角形，∴，∴，∵大门的总宽度为10.3m ，∴大门打开的宽度，∴大门打开了4m ；（2）该车不能直接通过，理由：∵，，∴，∴∵大门的总宽度为10.3m ，∴大门打开的宽度，∵，∴该车不能直接通过．22．【分析】（1）连接MN ，作MN 的垂直平分线交直线l 于P ，交MN 于O 点，然后截取，则四边形MPNQ 满足条件；（2）设菱形的边长为x ，根据菱形的性质得到，，，根据菱形的面积公式得到，则，接着在Rt △OPM 中利用勾股定理得到，然后解方程即可．【解答】解：（1）如图，菱形MPNQ 为所作；（2）如图，设菱形的边长为x ，30cm BD AB AD ===BD =30cm AB AD ==60A ∠=︒30cm BD AB AD ===302030630(cm) 6.3(m)⨯+==10.3 6.34(m)=-=AB AD =90A ∠=︒BD ==203030)cm 8.76(m)+=+≈10.38.76 1.54(m)=-=1.54m 1.8m <OQ OP =OM ON =OP OQ =MN PQ ⊥1542PQ x ⨯⨯=85PQ x =22254(()25x x +=∵四边形MPNQ 为菱形，，，，∵点M 到直线l 的距离为4，MN 的长为5，∴，∴，∴，，在Rt △OPM 中，，解得，即这个菱形的边长为．23．【分析】（1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断；（2）分三种情形分别求解即可解决问题；【解答】解：（1）∵图形旋转后，，∴△BCD 是等边三角形；故答案为：等边三角形．（2）①当时，在Rt △AHO 中，，∴H （4，3）．②当时，，∴H （2.5，3）．③当时，，，∴H （1，3）综上所述，点的坐标是（1，3）（2.5，3）（4，3）．24．【分析】（1）先证，再证四边形AEFD 是平行四边形，然后证，即可得出结论；（2）由菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质得，，再由勾股定理得【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴且，∵，∴，即，∴，∵，∴四边形AEFD 是平行四边形，又∵，∴，∴平行四边形AEFD 是矩形；（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，，∴，，，，∵，∴，∴，∴∵菱形ABCD 的面积，即，解得：．25．【分析】（1）作于P ，于Q ，证明，得到；（2）通过计算发现E 是AC 中点，点F 与C 重合，△CDG 是等腰直角三角形，由此即可解决问题．（3）分两种情形考虑问题即可；OM ON =OP OQ =MN PQ ⊥1542PQ x ⨯⨯=85PQ x =52OM =45OP x =22254()()25x x +=256x =256BC CD =60BCD α∠=∠=︒5OH OC ==4AH ==HO HC = 2.5AH BH ==CH CO =4BH =1AH =AD EF =90AEF ∠=︒12OE AC OA ===2AC OE ==OB =2BD OB ==AD BC AD BC =CF BE =CF CE BE CE +=+EF BC =AD EF =AD EF AE BC ⊥90AEF ∠=︒5AB =5BC AB ==AC BD ⊥12OA OC AC ==12OB OD BD ==AE BC ⊥90AEC ∠=︒12OE AC OA ===2AC OE ==OB ===2BD OB ==12BD AC BC AE =⋅=⋅152AE ⨯=⨯4AE =EP CD ⊥EQ BC ⊥Rt EQF Rt EPD ≌△△EF ED =【解答】（1）证明：作于P ，于Q ，∵，∴，∵，，∴，在Rt △EQF 和Rt △EPD 中，，∴，∴，（2）解：如图2中，在Rt △ABC 中．∵，∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形，易知．（3）解：①当DE 与AD 的夹角为30°时，点F 在BC 边上，，则，在四边形CDEF 中，由四边形内角和定理得：，②当DE 与DC 的夹角为30°时，点F 在BC 的延长线上，，如图3所示：∵，，∴，综上所述，．26．【分析】（1）由“双直四边形”的定义依次判断可求解；EP CD ⊥EQ BC ⊥DCA BCA ∠=∠EQ EP =45QEF FEC ∠+∠=︒45PED FEC ∠+∠=︒QEF PED ∠=∠QEF PED EQ EP EQF EPD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()Rt EQF Rt EPD ASA ≌△△EF ED =AC ==EC =AE CE =CG =30ADE ∠=︒903060CDE ∠=︒-︒=︒360909060120EFC ∠=︒-︒-︒-︒=︒30CDE ∠=︒90HCF DEF ∠=∠=︒CHF EHD ∠=∠30EFC CDE ∠=∠=︒12030EFC ∠=︒︒或（2）由“SAS ”可证，可得，由余角的性质可证，可得结论；（3）先求出BH 的解析式，分两种情况讨论，将点D 横坐标代入，即可求解．【解答】（1）解：∵有一个内角是直角，且对角线互相垂直的四边形称为“双直四边形”，∴正方形是“双直四边形”，“双直四边形”的面积等于对角线乘积的一半，故②正确；∴“双直四边形”的对角线可能相等，故①错误∵中心对称的四边形是平行四边形，且有一个内角是直角，对角线互相垂直，∴这样的“双直四边形”是正方形，故③正确；故答案为：②③；（2）证明：设BF 与CE 交于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又∵，∴四边形BCFE 为“双直四边形”；（3）解：如图，设BD 与AC 交于点H ，∵点A （0，6），C （8，0），∴，，∵，，∴，∴，∴，∴点，∵四边形ABCD 为“双直四边形”，∴，∵，∴，即点H 是AC 的中点，ABF BCE ≌△△ABF BCE ∠=∠BF CE ⊥AB BC AD ==90A ABC ∠=∠=︒AE DF =BE AF =()ABF BCE SAS ≌△△ABF BCE ∠=∠90ABF CBF ∠+∠=︒90BCE CBF ∠+∠=︒90BOC ∠=︒BF CE ⊥90EBC ∠=︒6OA =8OC =AB BC =222AB AO OB =+2236(100)BC BC =+-254BC =74OB =7(,0)4B AC BD ⊥AB BC =AH HC =∵点A （0，6），C （8，0），∴点H （4，3），设直线BH 的解析式为，∴，∴，∴直线BH 的解析式为，当时，点D 的横坐标为8，∴，∴点，当时，∵，，∴BD 是AC 的垂直平分线，∴，又∵，∴，∴，∴点，当时，过点D 作于E ，于F ，同理可求点D （7，7），综上所述：点D 的坐标或（7，7）．27．【分析】初步思考（1）当点P 与点A 重合时，EF 是AD 的中垂线，，当点E 与点A 重合时，此时；深入探究（2）当点E 在AB 上，点F 在DC 上时，EF 是PD 的中垂线，，，四边形ABCD 是矩形，，，四边形DEPF 是平行四边形，□DEPF 为菱形，当时，设菱形的边长为x ，则，，由勾股定理得：，进而求得AP ；拓展延伸（3）情况一：，，设，则，则，，求得AE ；情况二，，，设，则，则，，，求得AE ．【解答】初步思考y kx b =+70434x b k b ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩4373k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩4733y x =-90BCD ∠=︒253y =25(8,)3D 90DAB ∠=︒AB BC =BH AC ⊥AD CD =BD BD =()BDA BDC SSS ≌△△90DAB DCB ∠=∠=︒25(8,3D 90ADC ∠=︒DE BC ⊥DF OA ⊥25(8,)390DEF ∠=︒1452DEF DAB ∠=∠=︒DO PO =EF PD ⊥()DOF POE ASA ≌△△DF PE =EF PD ⊥72AP =72AE x =-DE x =222AD AE DE +=DE EP AM ==EAM MPE ≌△△AE x =3AM DE x ==-1BM x =+222(1)3(4)x x ++=-DE EP AM ==GAM GPE ≌△△AE x =3DE x =-3AM PE DE x ===-MP AE x ==222(7)3(4)x x -+=+（1）当点P 与点A 重合时，如图1，∴EF 是AD 的中垂线，∴，当点E 与点A 重合时，如图2，此时，故答案为：90，45；深入探究（2）当点E 在AB 上，点F 在DC 上时，如图3，∵EF 是PD 的中垂线，∴，，∵四边形ABCD 是矩形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴四边形DEPF 是平行四边形，∵，∴□DEPF 为菱形，当时，设菱形的边长为x ，则，，90DEF ∠=︒1452DEF DAB ∠=∠=︒DO PO =EF PD ⊥DC AB FDO EPO ∠=∠DOF EOP ∠=∠()DOF POE ASA ≌△△DF PE =DF PE EF PD ⊥72AP =72AE x =-DE x =在Rt △ADE 中，由勾股定理得：，∴，∴，∴时的菱形EPFD的边长为：；拓展延伸（3）存在，情况一：如图4，连接EM ，∵，∴，设，则，则，∵，，∴，∴，解得：；情况二，如图5，∵，∴，设，则，则，，则，，，∴，解得：，综上，线段AE 的长为：或．222AD AE DE +=22273()2x x +-=8528x =72AP =8528DE EP AM ==()EAM MPE HL ≌△△AE x =3AM DE x ==-1BM x =+MP EA x ==4CP CD ==4MC x =-222(1)3(4)x x ++=-35x =DE EP AM ==()GAM GPE AAS ≌△△AE x =3DE x =-3AM PE DE x ===-MP AE x ==4MC MP PC x =+=+3BC =7BM x =-222(7)3(4)x x -+=+2111x =352111。
江苏省苏州高新区实验初级中学2024-2025学年度八年级上学期数学单元测试卷(含答案详细解析)
苏州高新区实验初级中学数学学科单元测试卷（1）班级:______ 姓名:______ 学号______一、选择题（共8小题，每小题2分，共16分）1.下列四个图标中，是轴对称图形的是（ ）2.如图，已知OC 平分∠AOB ，P 是OC 上一点，PH ⊥OB 于H ，若PH ＝5，则点P 与射线OA 上某一点连线的长度可以是（ ）A.6B.4C.3D.2.如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝40°，∠ACB ＝60°，DE 垂直平分AC ，连接AE ，则∠BAE 的度数是（ ）A.10°B.15°C.20°D.25°4.如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D ，E 是边BC 的中点，ED ＝3，AE ＝5，则DC 的长是（ ）A.1B.32C.2D.525.如图，点P 是∠AOB 外的一点，点M ，N 分别是∠AOB 两边上的点，点P 关于OA 的对称点Q 恰好落在线段MN 上,点P 关于OB 的对称点R 落在MN 的延长线上.若PM ＝2.5cm,PN ＝3cm,MN ＝4cm,则线段QR 的长为（ ）A.4.5cmB.5.5cmC.6.5cmD.7cm6.用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（ ）A.5B.6C.7D.87.有下列命题说法:① 锐角三角形中任何两个角的和大于90°;② 等腰三角形一定是锐角三角形;③ 等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形;④ 等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°;⑤ 一个三角形中至少有一个角不小于60度.其中正确的有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个8.如图，点P是∠AOB的角平分线OC上一点，PN⊥OB于点N，点M是线段ON上一点，已知OM＝3，ON＝4.点D为OA上一点，若满足PD＝PM，则OD的长度为（ ）A.3B.4C.5D.3或5二、填空题（共10小题，每小题3分，共24分）9.等腰三角形周长为36cm，两边长之比为4:1，则底边长为_____.10.已知等腰三角形的一个外角等于70°，则它的顶角是_____°.11.如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AB＝5，BC＝7，则△ABD的周长是 .12.如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF，若∠BAE＝25°，则∠ACF＝_____度.13.如图所示,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,MN∥BC,MN经过点O,若AB＝12,AC＝18,则△AMN的周长是_____.14.如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.若∠BAC＝130°，那么∠EAD ＝。
苏州高新区实验初级中学(新实初中)九年级数学上册第四单元《圆》测试题(答案解析)
一、选择题1．下列说法正确的是（ ）A ．圆是轴对称图形，任何一条直径都是圆的对称轴B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的弧是等弧D ．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等2．如图，AB 、AC 是⊙O 的切线，B 、C 为切点，∠A ＝50°，点P 是圆上异于B 、C 的点，则∠BPC 的度数是（ ）A ．65°B ．115°C ．115°或65°D ．130°或65° 3．已知O 的直径10CD cm ，AB 是O 的弦，AB CD ⊥，垂足为M ，且8AB cm =，则AC 的长为（ ） A ．25 B ．43 C ．25或45 D ．23或43 4．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，7AB =，4AC =，以点C 为圆心、CA 为半径的圆交AB 于点D ，求弦AD 的长为（ ）A ．4337B ．327C ．337D ．1675．下列说法正确的有（ ）①垂直平分弦的直线经过圆心；②平分弦的直径一定垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④等弧所对的弦相等；⑤等弦所对的弧相等A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 6．已知O 的半径为4，点P 在O 外，OP 的长可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5 7．如图，O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 可取的整数值有（ ）个A ．1B ．2C ．3D ．4 8．在下列命题中，正确的是( )A ．弦是直径B ．半圆是弧C ．经过三点确定一个圆D ．三角形的外心一定在三角形的外部 9．点A ，B 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，点C 为坐标平面内一点，BC ﹦2，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ）A ．22＋1B ．22＋2C ．42＋1D ．42-2 10．如图，PA 、PB 、CD 是O 的切线，切点分别是A 、B 、E ，CD 分别交PA 、PB 于C 、D 两点，若60APB ∠=︒，则COD ∠的度数（ ）A ．50°B ．60°C ．70°D ．75°11．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，28CDB ∠=︒，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则E ∠等于（ ）A ．28︒B ．34︒C ．44︒D ．56︒12．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点C 为BD 的中点．若50A ∠=︒，则B 的度数是（ ）A ．50︒B ．55︒C ．60︒D ．65︒二、填空题13．如图，A 、B 、C 是O 上顺次三点，若AC 、AB 、BC 分别是O 内接正三角形、正方形、正n 边形的一边，则n =______．14．如图，有一半径为6cm 的圆形纸片，要从中剪出一个圆心角为60︒的扇形ABC ，AB ，AC 为⊙O 的弦，那么剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为 ___________．15．一排水管截面如图所示，截面半径13dm OA =，水面宽10dm AB =，则圆心O 到水面的距离OC =______dm ．16．已知O 的面积为π，则其内接正六边形的边长为______．17．如图，把边长为12的正三角形ABC 纸板剪去三个小正三角形（阴影部分），得到正六边形DEFGHK ，则剪去的小正三角形的边长为__________________．18．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE ，过点 B 作 BG ⊥AE 于点 G ， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F ，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．19．如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点E ，且AB BC CD ==，若∠BEC=130°，则∠ACD 的度数为_____20．如图，MN 是O 的直径，2MN =，点A 在O 上，30AMN ∠=︒，B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA PB +的最小值为_______．三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．E 为CD 边上的一个动点（不与C 、D 重合），⊙O 是BCE 的外接圆．（1）若2CE =，⊙O 交AD 于点F 、G ．求FG 的长度；（2）若CE的长度为m，⊙O与AD的位置关系随着m的值变化而变化，试探索⊙O与AD的位置关系及对应的m的取值范围．22．如图，在⊙O中，C是AB的中点，∠ACB=∠AOB．求证：四边形OACB是菱形．23．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm2，求大正方形的面积．24．如图，BC是圆O的直径，AD垂直BC于D，弧AB=弧AF，BF与AD交于E，求证：=（1）AE BEBC=，求AD的长．（2）若A，F把半圆三等分，1225．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，以CD为直径的⊙O分别交AC、BC于点M、N，过点N作NE⊥AB，垂足为E．（1）求证：NE与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为52，AC=6，求BN的长．26．如图，在33⨯的网格中有一个圆，请仅用无刻度直尺作图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，圆过格点A，B，请作出圆心O；（2）在图2中，⊙O的两条弦AB CD=，请作一个45圆周角．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】根据对称轴的定义对A进行判断；根据垂径定理的推论对B进行判断；根据等弧定义对C 进行判断；根据圆心角定理对D进行判断．【详解】解：A、圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以A选项错误；B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以B选项错误；C、长度相等的弧不一定能重合,所以不一定是等弧，所以C选项错误；D、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所以D选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了圆的有关性质，掌握相关定理是解题关键．2．C解析：C【分析】根据切线的性质得到OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，求出∠BOC ，分点P 在优弧BC 上、点P 在劣弧BC 上两种情况，根据圆周角定理、圆内接四边形的性质计算即可．【详解】解：∵AB 、AC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠OBA ＝90°，∠OCA ＝90°∵∠A ＝50°，∴∠BOC ＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，如图，当点P 在优弧BPC 上时，∠BPC ＝12∠BOC ＝65°， 当点P ′在劣弧BC 上时，∠BP ′C ＝180°﹣65°＝115°，故选：C ．【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理是解题的关键．3．C解析：C【分析】连结OA ，由AB CD ⊥，根据垂径定理可以得到4AM =,结合勾股定理可以得到3OM =．在分类讨论，如图，当8CM =和2CM =时，再结合勾股定理即可求出AC ．【详解】连结OA ，∵AB CD ⊥， ∴118422AM BM AB ===⨯=， 在Rt OAM 中，5OA =， ∴223OA OM AM -==，当如图时，538CM OC OM =+=+=，在Rt ACM △中，2245AC AM CM =+=，当如图时，532CM OC OM =-=-=，在Rt ACM △中，2225AC AM CM =+=故选C ．【点睛】 本题考查垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”．分类讨论思想也是解决本题的关键．4．B解析：B【分析】过C 作CF ⊥AB 于F ，根据垂径定理得出AD=2AF ，根据勾股定理求BC ，根据三角形面积公式求出CF ，根据勾股定理求出AF 即可．【详解】过C 作CF ⊥AB 于F ，∵CF ⊥AB ，CF 过圆心C ，∴AD=2AF ．∵△ABC 中，∠ACB 是直角，AC=4，AB=7，∴由勾股定理得：22227433AB AC -=-=由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，即=7CF，∴CF=7，在△AFC中，由勾股定理得：167==，∴AD=2AF=327．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长．5．B解析：B【分析】根据垂径定理及其推论即可判定①正确，②错误；根据弧、弦、圆周角之间的关系可知③⑤错误，④正确．【详解】解：①根据垂径定理的推论可知，垂直平分弦的直线经过圆心；故本选项正确；②直径是最长的弦，任意两条直径互相平分，但不一定互相垂直，故被平分弦不能是直径；故本选项错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本选项错误；④相等的弧所对的弦一定相等，故本选项正确；⑤∵在一个圆中一条弦所对的弧有两条，∴等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理及其推论、圆周角、弧、弦的关系，解题的关键是正确理解各知识点．6．D解析：D【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，∴OP＞4，故选：D．【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解答本题的关键是明确题意，求出OP的取值范围．7．C解析：C【分析】当M与A或B重合时，达到最大值；当OM⊥AB时，为最小，从而确定OM的取值范围即可解决问题．【详解】解：如图所示，过O作OM′⊥AB，连接OA，∵过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短，∴当OM于OM′重合时OM最短，∵AB=8，OA=5，∴AM′=1×8=4，2∴在Rt△OAM′中，2222-'=3，54OA AM=-∴线段OM长的最小值为3，最大值为5．所以，OM的取值范围是：3≤OM≤5，故线段OM长的整数值为3，4，5，共3个．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点M的运动状态不清楚，无法判断什么时候会为最大值，什么时候为最小值．8．B解析：B【分析】根据命题的“真”“假”进行判断即可．【详解】解：A、弦不一定是直径，原说法错误，不符合题意；B、半圆是弧，说法正确，符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，原说法错误，不符合题意；D、三角形的外心不一定在三角形的外部，原说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．9．A解析：A【分析】根据同圆的半径相等可知：点C 在半径为2的B 上，通过画图可知，C 在BD 与圆B 的交点时，OM 最小，在DB 的延长线上时，OM 最大，根据三角形的中位线定理可得结论．【详解】解：如图，点C 为坐标平面内一点，2BC =，C ∴在B 上，且半径为2，取4OD OA ，连接CD ， AM CM =，OD OA =，OM ∴是ACD ∆的中位线， 12OM CD ， 当OM 最大时，即CD 最大，而D ，B ，C 三点共线时，当C 在DB 的延长线上时，OM 最大， 4OB OD ，90BOD ∠=︒，42BD ∴= 422CD ， 1142222122OM CD ， 即OM 的最大值为221；故选：A ．【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM 为最大值时点C 的位置是解题的关键．10．B解析：B【分析】连接AO ，BO ，OE 由切线的性质可得90PAO PBO ︒∠=∠=，结合已知条件和四边形的内角和为360°可求出AOB 的度数，再由切线长定理即可求出COD 的度数.【详解】如图，连接AO ，BO ，OE ，∵PA 、PB 是O 的切线，∴∠PAO =∠PBO =90∘，∵60APB ∠=︒，∴36029060120AOB ∠=︒-⨯︒-︒=︒，∵PA 、PB 、CD 是⊙O 的切线，∴∠ACO =∠ECO ，∠DBO =∠DEO ，∴∠AOC =∠EOC ，∠EOD =∠BOD ， ∴1602COD COE EOD AOB ∠=∠+∠=∠=︒， 故选B.【点睛】本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角.11．B解析：B【分析】连接OC ，由CE 为圆O 的切线，利用切线的性质得到OC 垂直于CE ，由OA=OC ，利用等边对等角得到一对角相等，再利用外角性质求出∠COE 的度数，即可求出∠E 的度数．【详解】解：连接OC ，∵CE 为圆O 的切线，∴OC ⊥CE ，∴∠COE=90°，∵∠CDB 与∠BAC 都对BC ，且∠CDB=28°，∴∠BAC=∠CDB=28°，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=28°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=56°，则∠E=34°．故选：B．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．12．D解析：D【分析】连接AC，根据圆心角、弧、弦的关系求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠ACB=90°，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：连接AC，∵点C为BD的中点，∠BAD=25°，∴∠BAC=12∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=65°，故选：D．【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、圆周角定理的应用，掌握圆心角、弧、弦的关系定理和圆周角定理是解题的关键．二、填空题13．12【分析】如图连接OAOCOB根据角的转换求出中心角即可解决问题【详解】如图连接OAOCOB∵若ACAB分别是内接正三角形正方形的一边∴∴由题意得：∴12故答案为：12【点睛】本题考查了正多边形与解析：12【分析】如图，连接OA 、OC 、OB ，根据角的转换求出中心角BOC ∠即可解决问题．【详解】如图，连接OA 、OC 、OB ．∵若AC 、AB 分别是O 内接正三角形、正方形的一边，∴120AOC ∠=︒，90AOB ∠=︒，∴30BOC AOC AOB ∠=∠-∠=︒， 由题意得：36030n︒︒=， ∴n =12，故答案为：12．【点睛】本题考查了正多边形与圆：把一个圆分成n （n 是大于2的自然数）等份，一次连接各分点所得到的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆，熟练的掌握正多边形的有关概念是解答本题的关键． 14．【分析】如图（见解析）先根据等边三角形的判定与性质可得再根据圆周角定理可得然后根据垂径定理勾股定理可得BC 的长从而可得AB 的长最后利用扇形的面积公式即可得【详解】如图连接OBOCBC 过点O 作于点D 由 解析：218cm π【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得AB BC =，再根据圆周角定理可得120BOC ∠=︒，然后根据垂径定理、勾股定理可得BC 的长，从而可得AB 的长，最后利用扇形的面积公式即可得．【详解】如图，连接OB 、OC 、BC ，过点O 作OD BC 于点D ，由题意得：,60,6AB AC A OB OC cm =∠=︒==，ABC ∴是等边三角形，AB BC ∴=，由圆周角定理得：2120BOC A ∠=∠=︒，OD BC ⊥，160,22BOD BOC BC BD ∴∠=∠=︒=， 30OBD ∴∠=︒，在Rt BOD 中，2213,332OD OB cm BD OB OD cm ===-=， 263AB BC BD cm ∴===，则剪下的扇形ABC （阴影部分）的面积为()()22606318360cm ππ⨯=，故答案为：218cm π．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形的面积公式等知识点，通过作辅助线，利用到垂径定理是解题关键．15．12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm 再根据勾股定理求出OC 即可【详解】∵OC ⊥AB ∴AC=5dm 在Rt △AOC 中∴OC==12dm 故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理勾股定理熟记垂径定理是解题解析：12【分析】根据垂径定理求出AC=5dm ，再根据勾股定理求出OC 即可．【详解】∵OC ⊥AB ，10dm AB =，∴AC=5dm ，在Rt △AOC 中，13dm OA =，∴2222135OA AC -=-，故答案为：12【点睛】此题考查垂径定理，勾股定理，熟记垂径定理是解题的关键．16．1【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论【详解】解：如图的面积为设半径为r ∴解得∵OA=OB 为等边三角形故故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆熟知正六边形【分析】首先根据圆的面积求出圆的半径，再证明△AOB 是等边三角形即可得到结论．【详解】解：如图，O 的面积为π，设半径为r ，2S r ππ∴==，∴21r =，解得，1r =， ∵360606AOB ︒∠==︒，OA=OB AOB ∴为等边三角形，故1AB OA ==．故答案为：1【点睛】本题考查的是正多边形和圆，熟知正六边形的半径与边长相等是解答此题的关键． 17．4【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形可知得到剪去的小正三角的边长为4【详解】解：∵剪去三个三角形∴AD=AE=DEBK=BH=HKCG=CF=GF ∵六边形DEFGHK 是正六边形∴D解析：4【分析】由题意可知剪去的三个三角形是全等的等边三角形，可知得到剪去的小正三角的边长为4．【详解】解：∵剪去三个三角形∴AD=AE=DE ，BK=BH=HK ，CG=CF=GF ，∵六边形DEFGHK 是正六边形，∴DE=DK=HK=GH=GF=EF ，∴剪去的三个三角形是全等的等边三角形；∴AD=DK=BK=123=4， ∴剪去的小正三角形的边长4．故答案为：4．本题考查了等边三角形以及正六边形的定义，熟练掌握定义是解题的关键．18．8【分析】以AB为直径作圆O则∠AGB=90º当CF与圆O相切时AF最大AF=2由切线长定理的AF=FGBC=CG过F作FH⊥BC与H则四边形ABHF为矩形AB=FHAF=BH=2设正方形的边长为x解析：8．【分析】以AB为直径作圆O，则∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．【详解】以AB为直径作圆O，∵AB为直径，∴∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，在Rt△FHC中，由勾股定理得，x2+(x-2)2=(x+2)2，整理得：x2-8x=0，解得x=8，x=0（舍去），故答案为：8．【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．19．105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA＝∠CBD＝∠CDB然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA与∠CED再在△CDE中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠解析：105°【分析】根据圆周角定理的推论可得∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，然后根据三角形的内角和定理即可求出∠BCA 与∠CED ，再在△CDE 中利用三角形的内角和求解即可【详解】解：∵AB BC CD ==，∴∠BCA ＝∠CBD ＝∠CDB ，∵∠BEC ＝130°，∴∠BCA ＝∠CBD ＝25°，∠CED ＝50°，∴∠CDB ＝25°，∴∠ACD ＝180°﹣50°﹣25°＝105°．故答案为：105°．【点睛】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 20．【分析】作点A 的对称点根据中位线可知最小时P 正好在上在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得再利用勾股定理即可求解【详解】如图作点关于的垂线交圆与连接交于点连接则此时的值最小∵∴∵点是的中点∴∵关于 解析：2【分析】作点A 的对称点，根据中位线可知PA PA =' ，PA PB +最小时P 正好在A B '上，在根据圆周角定理和等弧所对圆心角相等求得90AOB ∠'=︒，再利用勾股定理即可求解．【详解】如图，作点A 关于MN 的垂线交圆与A ' ，连接A B ' 交MN 于点P ，连接AP OB OA OA '、、、 ，则此时AP BP + 的值最小A B =' ，∵30AMN ∠=︒，∴60AON ∠=︒，∵点B 是AN 的中点，∴30BON ∠=︒ ，∵A A '、 关于MN 对称，∴60AON AON ∠'=∠=︒，∴306090AOB ∠'=︒+︒=︒，又∵112122OA OB MN '===⨯=， 在RT A OB '△中 ∴221+1=2A B '=，即AP BP + 的值最小=2．故答案为2．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂直平分线定理、勾股定理等．在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．本题是与圆有关的将军饮马模型． 三、解答题21．（1）2FG =；（2）当704m <<时，⊙O 与AD 相离；当74m =时，⊙O 与AD 相切；当744m <<时，⊙O 与AD 相交 【分析】（1）过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ．在Rt BCE ∆中，利用勾股定理求出BE ，再在Rt OMG ∆中求出MG 即可解决问题．（2）如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．求出相切时，m 的值即可判断．【详解】解：（1）解：过点O 作OM FG ⊥于点M ，延长MO 交BC 于点N ，连接OG ，四边形ABCD 是矩形，90C D ∴∠=∠=︒，BE ∴是O 的直径．90C D DMN ∠=∠=∠=︒，∴四边形MNCD 是矩形，MN BC ∴⊥，4MN CD AB ===，BN CN ∴=．OB OE =，ON ∴是BCE ∆的中位线， 112ON CE ∴==， 413OM ∴=-=，在Rt BCE ∆中，22210=+=BE BC CE ， 1102OG BE ∴==， 在Rt OMG ∆中，221=-=MG OG OM ， 22FG MG ∴==． （2）解：如图1中，当O 与AD 相切于点M 时，连接OM 并反向延长交BC 于点N ．由（1）易得1122==ON CE m ，142==-OB OM m ，3BN =， 在Rt BON ∆中，222+=ON BN OB ，即22211()3(4)22m m +=-， 解得74m =， ∴当704m <<时，O 与AD 相离， 当74m =时，O 与AD 相切， 当744m <<时，O 与AD 相交． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，矩形的性质，垂径定理，三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22．见解析【分析】如图，连接OC ．欲证明四边形OACB 是菱形，只需推知====AC BC OC OA OB 即可．【详解】证明：如图，连接OC ． C 是AB 的中点，∴AC BC =，AC BC ∴=，在AOC ∆和BOC ∆中，AC BC OA OB OC OC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()AOC BOC SSS ∴∆≅∆．12ACOBCO ACB ∴∠=∠=∠，12AOC BOC AOB ∠=∠=∠． 又ACB AOB ∠=∠．ACO BCO AOC BOC ∴∠=∠=∠=∠．AC BC OC OA OB ∴====，∴四边形OACB 是菱形．【点睛】此题考查了圆周角定理，菱形的判定，以及圆心角、弧、弦间的关系，难度不大． 23．64cm 2【分析】连接OA 、OB 、OE ，证Rt △ADO ≌Rt △BCO ，推出OD=OC ，设AD=a ，则OD=12a ，由勾股定理求出OA=OB=OE=5a ，求出EF=FC=4cm ，在△OFE 中由勾股定理求出a ，即可求出答案．【详解】解：连接OA 、OB 、OE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=BC ，∠ADO=∠BCO=90°，∵在Rt △ADO 和Rt △BCO 中∵OA OB AD BC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ADO ≌Rt △BCO ，∴OD=OC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=DC ，设AD=acm ，则OD=OC=12DC=12AD=12acm ，在△AOD 中，由勾股定理得：acm ， ∵小正方形EFCG 的面积为16cm 2，∴EF=FC=4cm ，在△OFE 中，由勾股定理得：a)2=42+(12a+4)2， 解得：a=-4（舍去），a=8，∴正方形面积为264cm故答案为：64cm²．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生运用定理进行计算的能力，用的数学思想是方程思想．24．（1）见解析；（2）【分析】（1）连接AC ，则∠BAC=90°，进而证得∠C=∠BAE ，由弧AB=弧AF 证得∠C=∠ABF ，则∠ABE=∠BAE ，根据等腰三角形的等角对等边证得结论；（2）由A ，F 把半圆三等分可得∠ACB=30°，再由BC=12和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AB=6，由勾股定理求得AC==AC AD 的长．【详解】（1）证明：连AC ，如图，∵BC 为直径，则90BAC ∠=︒， 90C ABC ∴∠+∠=︒，又∵AD ⊥BC90BAE ABC ∴∠+∠=︒，C BAE ∴∠=∠，由弧AB=弧AF ，可得C ABF ∠=∠，ABE BAE ∴∠=∠，AE BE ∴=；（2）∵A ，F 把半圆三等分，30ACB ∴∠=︒，在直角三角形ABC 中，12BC =，则162AB BC ==，363AC AB ==， 在直角三角形ADC 中，1332AD AC ==， 所以33AD =．【点睛】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等、直径所对的圆周角是直角、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本知识和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解答的关键．25．（1）见解析；（2）4．【分析】（1）连接DN,根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质证得ON ⊥NE 即可证明；（2）连接ON ，先根据直角三角形的性质求得AB=10，再由勾股定理可求BC=8，最后由等腰三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）如图：连接DN∵∠ACB=90°，D 为斜边的中点，∴CD=DA=DB=12AB ， ∴∠BCD=∠B ，∵OC=ON ，∴∠BCD=∠ONC ，∴∠ONC=∠B ，∴ON//AB ，∵NE ⊥AB ，∴ON ⊥NE ，∴NE 为OO 的切线;（2）如图：连接ON∵⊙O 的半径为52∴CD=5∵∠ACB=90°，CD 是斜边AB 上的中线，∴BD=CD=AD=5，∴AB=10，∵AC=6 ∴BC=22106-=8∵CD 为直径∴∠CND=90°，且BD=CD∴BN=NC=4．【点睛】本题主要考查圆的切线判定和性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及平行线的判定与性质等知识点，掌握圆的切线判定和性质是解答本题的关键．26．（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）如图3，连接AN 、BM ，通过圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径来确定圆心位置；（2）连接BC 、AD 、BD ，通过同（等）弧所对圆周角相等推出ABD CDB ∠=∠，进而推出45BDC ∠=︒．【详解】（1）如图3，连接AN 、BM 交点O 即为圆心∵9090ABN BAM ∠=︒∠=︒，，∴AN 、BM 是直径，∴直径交点O 就是圆心．（2）如图4，连接BC 、AD 、BD∵AB=CD ，∴AB CD =，∴ADB CBD ∠=∠，又∵AC CA =，∴ABC CDA ∠=∠，∴ABD CDB ∠=∠，又∵90BED ∠=︒，∴45ABD CDB ∠=∠=︒，故连接BD ，则45BDC ∠=︒．【点睛】本题考查确定圆心和确定圆弧圆周角等问题，解题的关键是圆内接三角形是直角三角形时，斜边就是直径以及同（等）弧所对圆周角相等．。
苏州高新区实验初级中学(新实初中)选修一第二单元《直线和圆的方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若a R ∈，b R ∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A ．72B ．4C ．1D ．52．已知(,0)A a ，(3,0)B a +，直线1x =上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，则a 的值为（ ）A ．6-B ．2-或6C ．2或6-D ．2-3．直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，那么点(),a b 与圆22+1x y =的位置关系是（ ） A ．点在圆外B ．点在圆内C ．点在圆上D ．不能确定4．设有一组圆()()()224*:1k C x y k k k N -+-=∈，给出下列四个命题：①存在k ，使圆与x 轴相切 ②存在一条直线与所有的圆均相交 ③存在一条直线与所有的圆均不相交 ④所有的圆均不经过原点 其中正确的命题序号是（ ） A ．①②③ B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．已知(1,1)P ，(2,3)Q --，点P ，Q 到直线l 的距离分别为2和4，则满足条件的直线l的条数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．已知0a >，0b >，直线1l ：()410x a y +-+=，2l ：220bx y +-=，且12l l ⊥，则1112a b++的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．23D ．457．过坐标原点O 作圆()()22341x y -+-=的两条切线，切点为,A B ，直线AB 被圆截得弦AB 的长度为( )A BCD 8．111222(,),(,)P a b P a b 是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A ．无论12,,k P P 如何，总是无解B ．无论12,,k P P 如何，总有唯一解C ．存在12,,k P P ，使12x y =⎧⎨=⎩是方程组的一组解 D ．存在12,,k P P ，使之有无穷多解9．一艘海监船上配有雷达，其监测范围是半径为26 km 的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40 km 的A 处出发径直驶向位于海监船正北30km 的B 处岛屿，船速为10 km/h 这艘外籍轮船能被海监船监测到且持续时间长约为（ ） 小时 A ．1B ．2C ．3D ．410．过点(1,2)的直线被圆229x y +=所截弦长最短时的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y -= C ．230x y -+=D ．20x y +=11．已知直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，则k 的值是（ ） A ．1或0B ．5C ．0或5D ．1或512．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ） A．)1,+∞B．)1- C．()1-D．()1二、填空题13．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.14．已知圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>被直线:30l x y -+=截得的弦长为，则m =______．15．已知M ，N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则线段MN 的长度为______.16．若实数x ，y 满足关系10x y ++=，则式子S =______．17．曲线1y =与直线()35y k x =-+有两个交点，则实数k 的取值范围是______．18．若直线y x b =+与曲线y =b 的范围______________.19．经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____.20．已知圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则原点O 到直线AB 距离的最大值是______.三、解答题21．已知直线l 经过点(2,5)P -，l 的一个方向向量为(4,3)d =-. （1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.22．在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆.最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB 的最小覆盖圆就是以AB 为直径的圆； ②锐角ABC 的最小覆盖圆就是其外接圆.已知曲线W ：244x y +=，()0,A t ，()2,0B ，()0,2C ，()2,0D -为曲线W 上不同的四点.（1）求实数t 的值及ABC 的最小覆盖圆的方程； （2）求四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程； （3）求曲线W 的最小覆盖圆的方程.23．如图，已知圆22:414450C x y x y +--+=及点(2,3)Q -.（1）若点(,1)P m m +在圆C 上，求直线PQ 的斜率以及直线PQ 与圆C 的相交弦PE 的长度；（2）若(,)N x y 是直线10x y ++=上任意一点，过N 作圆C 的切线，切点为A ，当切线长NA 最小时，求N 点的坐标，并求出这个最小值； （3）若(,)M x y 是圆上任意一点，求32y x -+的最大值和最小值. 24．如图，圆22():21M x y -+=，点(1,)P t -为直线:1l x =-上一动点，过点P 引圆M 的两条切线，切点分别为,A B .（1）若1t =，求两条切线所在的直线方程；（2）求直线AB 的方程，并写出直线AB 所经过的定点的坐标. 25．已知直线:3470l x y +-=．（1）若直线m 与直线l 平行，且直线m 过点(2,5)P -，求直线m 的方程；（2）若点C 坐标为10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭，过点C 的直线与直线l 垂直，垂足为M ，求点M 的坐标. 26．△ABC 中∠C 的平分线所在直线方程为y x =，且A （－1，52），B （4，0）.（1）求直线AB 的截距式．．．方程； （2）求△ABC 边AB 的高所在直线的一般式．．．方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知两圆外切，可得出2249a b +=，然后将代数式2211a b +与2249a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b +的最小值. 【详解】圆222240x y ax a +++-=的标准方程为()224x a y ++=，圆心为()1,0C a -，半径为12r =，圆2224140x y by b +--+=的标准方程为()2221x y b +-=，圆心为()20,2C b ，半径为21r =.由于圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，则这两圆外切，所以，1212C C r r =+3=，所以，2249a b +=，所以，222222222211411141551999a b a b a b a b b a ⎛⎛⎫+⎛⎫+=+=++≥⨯+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当222a b =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为1. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．B解析：B 【分析】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()2214x a y -++=，则本题等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】设(),P x y ，由||2||PB PA =可得()()2222344x a y x a y --+=-+，整理可得()2214x a y -++=，则直线1x +=上存在唯一一点P ，使得||2||PB PA =，等价于直线1x =与圆()2214x a y -++=相切，2=，解得2a =-或6.故选：B. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键是将题转化为直线1x +=与圆()2214x a y -++=相切，利用圆心到直线的距离等于半径求解.3．A解析：A 【分析】直线1ax by +=与圆221x y +=||1<，即为1>，由此可得点与圆的位置关系．【详解】因为直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，1<，1>，因为点(,)b a 与221x y += 圆224x y +=的半径为1，所以点P 在圆外. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将直线与圆的位置关系的判断式和点与圆的关系的判断式联系起来.4．C解析：C 【分析】取特殊值1k =，圆与x 轴相切，①正确；利用圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，可判定②③的正误；利用反证法说明④错误. 【详解】选项①中，当1k =时，圆心()1,1，半径1r =，满足与x 轴相切，正确； 选项②③中，圆心()1,k 恒在直线0kx y 上，该线与圆一定相交，故②正确，③错误；选项④中，若()0,0在圆上，则241k k +=，而*k N ∈，若k 是奇数，则左式是偶数，右式是奇数，方程无解，若k 是偶数，则左式是奇数，右式是偶数，方程无解，故所有的圆均不经过原点，正确. 故选：C. 【点睛】本题解题关键是发现圆心()1,k 恒在直线0kxy 上，确定该线与圆一定相交，再结合特殊值法和反证法逐个击破即可.5．B解析：B 【分析】以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ，利用圆P 与圆Q 相交，两圆有两条公切线，可得结果.【详解】||5PQ ==，以P 为圆心，以2为半径的圆记为圆P ，以Q 为圆心，以4为半径的圆记为圆Q ， 因为42-<524<+，所以圆P 与圆Q 相交，所以两圆有两条公切线， 所以满足条件的直线l 的条数是2. 故选：B 【点睛】关键点点睛：转化为判断两个圆的公切线的条数是解题关键.6．D解析：D 【分析】根据12l l ⊥得到125a b ++=，再将1112a b++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为12l l ⊥，所以240b a +-=，即125a b ++=， 因为0,0a b >>，所以10,20a b +>>， 所以1112a b ++=1112a b ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭()1125a b ⨯++1212512b a a b +⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭14255⎛≥+= ⎝， 当且仅当35,24a b ==时，等号成立. 故选：D 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方7．A解析：A 【分析】求得圆的圆心坐标和半径，借助11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，即可求解. 【详解】如图所示，设圆()()22341x y -+-=的圆心坐标为(3,4)M ，半径为1r =， 则22345OM =+=,2512426OA =-==，则11222AOM AB S OA MA OM ∆=⨯⨯=⨯⨯，可得246OA MA AB OM ⨯⨯==， 故选A.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到圆的切线方程应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．B解析：B 【分析】由点在直线上，点的坐标代入直线方程，确定1221a b a b -是否为0，不为0，方程组有唯一解，为0时，再讨论是否有无数解． 【详解】由题意112211b ka b ka =+⎧⎨=+⎩，则1221122112(1)(1)a b a b a ka a ka a a -=+-+=-，∵直线1y kx =+的斜率存在，∴12a a ≠，120a a -≠，∴方程组112211a x b y a x b y +=⎧⎨+=⎩总有唯一解．A ，D 错误，B 正确；若12xy=⎧⎨=⎩是方程组的一组解，则11222121a ba b+=⎧⎨+=⎩，则点1122(,),(,)a b a b在直线21x y+=，即1122 y x=-+上，但已知这两个在直线1y kx=+上，这两条直线不是同一条直线，∴12xy=⎧⎨=⎩不可能是方程组的一组解，C错误．故选：B．【点睛】本题考查直线方程，考查方程组解的个数的判断．掌握直线方程是解题关键．9．B解析：B【分析】根据题意建立合适平面直角坐标系，将问题转化为求直线被圆所截得的弦长问题，然后根据弦长对应的距离求解出监测时间.【详解】根据题意以海监船的位置为坐标原点，其正东方向为x轴，正北方向为y轴，所以()()40,0,0,30A B，圆22:676O x y+=，记从N处开始被监测，到M处监测结束，所以:14030ABx yl+=，即:341200ABl x y+-=，因为O到:341200ABl x y+-=的距离为221202434OO-'==+，所以22220MN MO OO'=-=，所以监测时间持续2010=2小时，故选：B.【点睛】思路点睛：建立平面直角坐标系求解直线与圆的有关问题的思路：（1）选择合适坐标原点（方便求解直线、圆的方程），建立平面直角坐标系； （2）根据题意写出直线与圆的方程；（3）根据直线与圆的位置关系，采用几何法计算相关长度，完成问题的求解.10．A解析：A 【分析】分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直，先求出过点(1,2)的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点(1,2)的直径垂直， 圆229x y +=的圆心为(0,0)，所以过点(1,2)的直径的斜率为20210-=-， 故所求直线为12-，所求直线方程为12(1)2y x ，即250x y +-=. 故选：A . 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题.11．C解析：C 【分析】由两直线平行得出()224k k k -=-，解出k 的值，然后代入两直线方程进行验证. 【详解】 解:直线1l ：(4)10kx k y +-+=与2l ：2230kx y -+=平行，()224k k k ∴-=-，整理得()50k k -=，解得0k =或5.当0k =时，直线11:4l y =-，23:2l y =，两直线平行；当5k =时，直线1:510l x y -+=，23:502l x y -+=，两直线平行. 因此，0k =或5. 故选:C. 【点睛】方法点睛:本题考查直线的一般方程与平行关系，在求出参数后还应代入两直线方程进行验证.(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-.(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②2112210A A l B B l +⇔=⊥；12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.14．1【分析】根据题意求出圆的圆心与半径由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d 利用点到直线的距离公式可得解可得m 的值即可得答案【详解】根据题意圆即其圆心C 为半径若圆C 被直线截得的弦长为则圆心到直线解析：1 【分析】根据题意，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系可得圆心到直线l 的距离d ，利用点到直线的距离公式可得d ==m 的值，即可得答案.根据题意，圆()222:2400C x y mx y m m +--+=>，即()()2224-+-=x m y ，其圆心C 为()m,2，半径2r，若圆C 被直线:30l x y -+=截得的弦长为则圆心到直线l 的距离d ==圆心到直线l 的距离d ==，则有=1m =或-3（舍），故1m =，故答案为：1． 【点睛】思路点睛：涉及直线与圆相交的弦长问题，主要是利用垂径定理，即圆心到直线的距离、弦长的一半以及圆的半径构成直角三角形来解.15．【分析】利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程然后求出点到直线的距离再根据勾股定理可求得弦长【详解】由两圆方程相减消去二次项可得两圆公共弦所在直线方程为：又圆的圆心半径所以点到直线的距离所以故答案为【分析】利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程，然后求出点A 到直线MN 的距离，再根据勾股定理可求得弦长. 【详解】由两圆方程相减，消去二次项可得两圆公共弦MN 所在直线方程为：0x y -=， 又圆22:20A x y x +-=的圆心(1,0)A ，半径R =1，所以点A 到直线MN 的距离2d ==，所以||MN ===【点睛】关键点点睛：利用两个圆的方程求出公共弦所在直线方程是解题关键.16．【分析】化简看成是一个动点到一个定点的距离结合点到直线的距离公式即可求解【详解】由题意化简可得所以上式可看成是一个动点到一个定点的距离从而即为点与直线：上任意一点的距离由点到直线的距离公式可得所以的解析：2=，看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】=，所以上式可看成是一个动点(),M x y 到一个定点()1,1N 的距离， 从而S 即为点N 与直线l ：10x y ++=上任意一点(),M x y 的距离，由点到直线的距离公式，可得2d ==，所以S 的最小值为min 2S d ==故答案为：2. 【点睛】形如：22()()x a y b -+-的形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题，结合两点间的距离公式或点到直线的距离公式进行求解.17．【分析】化简式子可得作出图形然后求出直线与该半圆相切时的依据图形简单计算和判断可得结果【详解】由题可知：所以如图又直线即过定点当直线与半圆相切时则当直线过点时所以故答案为：【点睛】本题考查直线与圆的解析：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【分析】化简式子可得()()22191+-=≥x y y ，作出图形，然后求出直线与该半圆相切时的k ，依据图形，简单计算和判断可得结果. 【详解】由题可知：1y =，所以()()22191+-=≥x y y 如图又直线()35y k x =-+，即350kx y k 过定点()A 3,5213573241--+=⇒=+k k k 当直线过点()3,1B -时，()512333-==--k所以72,243⎛⎤∈⎥⎝⎦k 故答案为：72,243⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查直线与圆的应用，数形结合形象直观，考查分析能力以及计算能力，属中档题.18．或【分析】由曲线变形为画出的图象当直线经过时直线与曲线有两个公共点求出此时的以及直线过时的值再求出当直线与曲线相切时的的值数形结合即可得b 的范围【详解】由曲线变形为画出的图象①当直线经过时直线与曲线解析：22b -≤<或22b = 【分析】 由曲线24y x =-()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图 象，当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，求出此时的b ，以及直线y x b =+过(2,0)C 时b 的值，再求出当直线与曲线相切时的b 的值，数形结合即可得b 的范围. 【详解】 由曲线24y x =-()2204y x y +=≥，画出 y x b =+，()2204y x y +=≥的图象，①当直线经过()2,0A - ，()0,2B 时，直线与曲线有两个公共点，此时2b =， 当直线y x b =+过(2,0)C 时02b =+，得2b =-， 所以若直线与曲线有1个公共点，则22b -≤<. ②当直线与曲线相切时，联立224y x bx y =+⎧⎨+=⎩ ，化为222240x bx b ++-=， 令2248(4)0b b ∆=--=，解得：22b =，或22b =-（舍去）， 综上所述b 的范围: 22b -≤<或22b =. 故答案为：22b -≤<或22b =.【点睛】本题主要考查了直线与圆相交相切问题、采用数形结合思想，属于中档题.19．x+2y ﹣4＝0；【分析】先设出直线方程然后表示出三角形的面积利用基本不等式即可求解【详解】由题意可知直线的斜率一定存在故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2）k ＜0令x ＝0可得y ＝1﹣2k 令y ＝0可得x ＝解析：x +2y ﹣4＝0；【分析】先设出直线方程，然后表示出三角形的面积，利用基本不等式即可求解． 【详解】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0， 令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1k， 则11121222AOBSOA OB k k =⋅=⨯--＝()1114444422k k ⎛⎫--+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当﹣4k ＝﹣1k即k ＝﹣12时取等号，此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用及利用基本不等式求最值问题，属于基础题．20．【分析】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是应当最小进而得到应当最小然后利用点到直线的距离公式求得的最小值利用直角三角形相似求得原点到直线距离的最大值【详解】为使原点到直线距离的最大则应当最小于是 解析：5 【分析】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，进而得到OP 应当最小，然后利用点到直线的距离公式求得OP的最小值，利用直角三角形相似求得原点O 到直线AB 距离的最大值. 【详解】为使原点O 到直线AB 距离的最大，则AOB ∠应当最小，于是AOP ∠应当最小，∴OA OP应当最大，∴OP 应当最小，当且仅当OP 与直线136x y+=垂直时OP 最小，OP 的最小值为O 到直线136x y +=,即260x y +-=的距离22665521d ==+，设OP 与AB 交于点,Q 则2~,||Rt OQA Rt OAP OQ OP OA ∴⨯=, ∴max 5||,365OQ ==5 【点睛】本题考查与圆有关的最值问题，属中等难度的题目，关键在于转化为OP 最小，同时注意利用三角形相似进行计算.三、解答题21．（1）34140x y +-=；（2）3410x y ++=或34290x y +-=. 【分析】（1）利用l 的方向向量，求出直线l 的斜率，代入点斜式方程求出直线l 的方程； （2）根据（1）设直线m 的方程为340x y c ++=，将点到直线的距离转化为平行线间的距离求c ，从而求出直线m 的方程. 【详解】（1）由l 的一个方向向量为(4,3)d =-，即直线l 的斜率34k =- 由点斜式方程得：35(2)4y x -=-+，即34140x y +-=. 所以直线l 的方程为：34140x y +-=（2）因为直线m 与l 平行，则可设m 的方程为340x y c ++=，由平行线间的距离公式得，|14|35c +=，解得：1c =或29-. 所以直线m 的方程为：3410x y ++=或34290x y +-=.【点睛】结论点睛：本题主要考查两直线的位置关系与斜率的关系，常用结论：在斜率存时， （1）1212//l l k k ⇔= （121221//0l l A B A B ⇔-=）；（2）12121l l k k ⊥⇔⋅=-（1212120l l A A B B ⊥⇔⋅+⋅=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.22．(1) t =2220x y x +--=；(2) 224x y +=；(3) 22174x y +=. 【分析】（1）根据点()0,A t 在曲线W ：244x y +=上，由44t =求解，设ABC 的外接圆方程220x y Dx Ey F ++++=,将A ，B ，C 的坐标代入求解.（2）根据BD 的最小覆盖圆是以BD 为直径的圆，然后再验证点A ，C 在圆即可. （3）设(),P a b ，244a b +=，由222424OP a b b b =+=-++最小时求解.【详解】（1）因为点()0,A t 在曲线W ：244x y +=上，所以44t =，解得t =t =（舍去），所以(0,A ，()2,0B ，(C ，设ABC 的外接圆方程为：220x y Dx Ey F ++++=,则2020420F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩，解得102D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩， 所以圆的方程为：2220x y x +--=. 因为ABC 是锐角三角形，所以ABC 的最小覆盖圆的方程是2220x y x +--=. （2）因为BD 的最小覆盖圆是以BD 为直径的圆， 所以BD 的最小覆盖圆的方程为：224x y +=,又因为2OA OA ==， 所以点A ，C 在圆内，所以四边形ABCD 的最小覆盖圆的方程是224x y +=.（3）因为曲线W ：244x y +=是中心对称图形，设(),P a b ，222424OP a b b b =+=-++，(2211724b b ⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭， 当 212b =时，min OP所以曲线W 的最小覆盖圆的方程是22174x y +=. 【点睛】关键点点睛：本题关键是由最小覆盖圆的性质转化为求覆盖平面图形最小圆的方程. 23．（1）13k =；PE =2）()3,2N -，3）最大值为2+，最小值为2. 【分析】（1）通过点(,1)P m m +在圆C 上，求出4m =，推出P 的坐标，求出直线PQ 的斜率，得到直线PQ 的方程，利用圆心(2,7)到直线的距离d ，求解即可；（2）判断当NC 最小时，NA 最小，结合当NC l ⊥时，NC 最小，求出NC 的最小值，然后求解直线方程；（3）利用32MQ y k x -=+，题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，利用圆心到直线的距离求解即可.【详解】 （1）点(,1)P m m +在圆C 上，代入圆C 的方程，解得4m =，(4,5)P ∴，故直线PQ 的斜率5314(2)3k -==--.因此直线PQ 的方程为15(4)3y x -=-.即3110x y -+=，而圆心(2,7)到直线的距离d ===所以||PE ====.（2）NA ==∴当NC 最小时，NA 最小，又知当NC l ⊥时，NC 最小，∴NC d ==由题得过C 且与直线10x y ++=垂直的直线方程为50x y -+=，(3,2)N ∴-（3）32MQ y k x -=+， ∴题目所求即为直线MQ 的斜率k 的最值，且当直线MQ 为圆的切线时，斜率取最值.设直线MQ 的方程为3(2)y k x -=+，即230kx y k -++=.当直线与圆相切时，圆心到直线的距离d r ===两边平方，即22(44)8(1)k k -=+，解得2k=2k =+所以32y x -+的最大值和最小值分别为2+2. 【点睛】方法点睛：求最值常用的方法有：（1）函数法（利用函数的单调性求解最值）；（2）导数法（利用导数求函数的单调性即得最值）；（3）数形结合法（通过“数”和“形”的有机结合求解最值）；（4）基本不等式法（利用基本不等式求解最值）.要根据数学情景灵活选择方法解答.本题的最值就利用了数形结合的方法.24．(1) 切线方程为1y =和3410x y +-=;(2) 直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【分析】(1) 设切线方程为()1y t k x -=+，由相切可得圆心到切线的距离等于半径，结合1t =即可求出切线的斜率，从而可求出切线方程.(2)求出以P 为圆心，PA 为半径的圆方程，与圆M 方程联立即可求出直线AB 的方程，进而可求出定点的坐标. 【详解】解：(1)由题意知，切线的斜率一定存在，设切线方程为()1y t k x -=+，即y kx k t =++，则圆心()2,0到直线的距离1d ===，整理得228610k kt t ++-=.当1t =时，222861860k kt t k k ++-=+=，解得0k =或34-， 则切线方程为1y =和3410x y +-=. (2)由题意知，()()22221209PMt t =--+-=+，所以22228PA PM MA t =-=+，即以P 为圆心，PA 为半径的圆方程为()()22218x y t t ++-=+，与圆M 方程联立得，()()2222218(2)1x y t t x y ⎧++-=+⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减整理得350x ty --=，当0y =时，53x =， 所以直线AB 的方程为350x ty --=，恒过定点5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】 方法点睛:直线和圆相切问题的处理方法一般有两种:一是联立直线方程和圆的方程，通过0∆=解决问题；二是结合几何意义，即圆心到直线的距离等于半径求解. 25．（1）34140x y +-=；（2）(1,1)M . 【分析】（1）通过平行设出直线方程，代入(2,5)P -即可；（2）过点C 10,3⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线与直线l 垂直，可得004310x y --=，加上M 在直线上，联立求交点即可. 【详解】（1）因为直线m 与直线l 平行，设直线m ：340(7)x y a a ++=≠-， 将点(2,5)P -代入得：14a =-，所以直线m ：34140x y +-=. （2）设()0,0M x y ，则001433CMy k x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==，即004310x y --=①， 又M 在直线l 上，所以003470x y +-=②，①②联立得：0011x y =⎧⎨=⎩，所以(1,1)M .【点睛】本题主要考查直线的一般式的平行关系与垂直关系，正确写出解析式是处理此题的关键. 26．（1）142x y+=；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设出直线的截距式方程1x ya b+=，代入点的坐标，求解出参数的值，从而截距式方程可求；（2）先求解出A 关于直线y x =的对称点A '，然后根据A '在BC 上求解出C 点坐标，再根据高所在直线的斜率与AB 斜率的关系，从而可求解出AB 的高所在直线的一般式方程. 【详解】（1）设AB 的方程为1x y a b +=，代入点()51,,4,02A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以1512401a b a b -⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以42a b =⎧⎨=⎩，所以AB 的截距式方程为：142x y+=；（2）设A 关于y x =的对称点为A '，所以5,12A ⎛⎫'- ⎪⎝⎭且A '在直线BC 上，又因为()4,0B ，所以()()01:04542A B l y x '---=--，即2833y x =-， 又因为C 在y x =上，也在2833y x =-上，所以2833y xy x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以88x y =-⎧⎨=-⎩，所以()8,8C --，又因为512142ABk -==---，设AB 的高所在直线的一般式方程为20x y m -+=，代入点()8,8C --，所以1680m -++=，所以8m =，所以AB 的高所在直线的一般式方程为280x y -+=. 【点睛】思路点睛：点关于直线l 的对称点坐标的求解步骤（直线的斜率存在且不为零，已知点()11,A x y ，直线l 的斜率k ）：（1）设出对称点的坐标(),A a b '； （2）AA '的中点11,22x a y b ++⎛⎫⎪⎝⎭必在l 上，由此得到第一个方程； （3）根据1AA k k '=-得到第二个方程； （4）两个方程联立可求解出(),A a b '.。
苏州高新区实验初级中学(新实初中)高中数学选修4-1第一章《直线,多边形,圆》测试题(答案解析)
一、选择题1．已知圆关于直线成轴对称图形，则的取值范围A ．B ．C ．D ．2．已知点，点在圆上运动，为线段的中点，则使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．四棱锥P -ABCD 中，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（ ） A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．球的一部分D ．抛物线的一部分4．若直线2=-y x 被圆4)()1(22=++-a y x 所截的的弦长为22，则实数a 的值（ ）A 、－2或6B 、0或4C 、－1 或3D 、－1或35．（2015秋•河池期末）直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切，且实数m 的值为（ ）A ．log 23B ．2C ．log 25D ．3 6．若直线与圆相交与P ，Q 两点，且此圆被分成的两段弧长之比为1：2，则的值为（ ） A ．或B ．C ．或D ．7．已知0x >，0y >，21x y +=，若2240x y xy m -<++恒成立，则m 的取值范围是（ ）． A ．1617<m B ．1716m > C ．1617≤m D ．0>m8．若圆22:(5)(1)4C x y -++=上有n 个点到直线4320x y +-=的距离为1，则n 等于（ ） A ．2B ．1C ．4D ．39．已知恒过定点（1,1）的圆C 截直线所得弦长为2，则圆心C 的轨迹方程为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知点P （t ，t ），t ∈R ，点m 是圆221(1)4x y +-=上的动点，点N 是圆221(2)4x y -+=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） B ．2 C ．3 D ．11．直线0ax by a b +++=与圆222x y +=的位置关系为（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切12．过)1,21(M 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+= 交于A 、B 两点，当ACB ∆面积最大时，直线的方程为（ ）A ．0342=+-y xB ．2450x y +-=C ．430x y -+=D ．20x y -=二、填空题13．若直线cos ,sin x t y t θθ=⎧⎨=⎩(t 为参数，且2πθ≠)与圆42cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）相切，则直线的倾斜角θ=______.14．已知圆C ：x 2+y 2+kx +2y +k 2＝0，过点P （1，﹣1）可作圆的两条切线，则实数k 的取值范围是_____．15．已知圆22:1O x y +=和直线:2l y =，0(,2)P x 是直线l 上一点，若圆O 上存在,A B 两点，满足PA AB =，则实数0x 的取值范围是________． 16．(选修4-1:几何证明选讲)如图，是圆的直径，,为圆上的点，是的角平分线，与圆切于点且交的延长线于点，,垂足为点，若圆的半径为1，，则_____.17．（几何证明选讲选做题）如图，是圆的切线，是圆的割线，若，，，则圆的半径___.18．已知直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则实数b =_____． 19．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，E 为AB 的延长线上一点，过E 作圆O 的切线，切点为C ，过A 作直线C E 的垂线，垂足为D ．若4AB =，C 23E =D A =___________．20．如图，已知O 的弦AB 交半径OC 于点D ，若3AD =，2BD =，且D 为OC 的中点，则CD 的长为_______ ．三、解答题21．如图，CD 是圆O 的切线，切点为D ，CA 是过圆心O 的割线且交圆O 于点B ，过B 作圆O 的切线交CD 于点E ，12DE EC =. 求证：3CA CD =.22．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是是： 12x =-. （1）求抛物线方程；（2）设直线()2y k x =-与抛物线相交于M N 、两点， O 为坐标原点，证明以MN 为直径的圆过O 点.23．（12分） 圆8)1(22=++y x 内有一点P （-1,2）,AB 过点P , ①若弦长72||=AB ，求直线AB 的倾斜角α； ②圆上恰有三点到直线AB 的距离等于2，求直线AB 的方程．24．（本题12分）已知圆()22:21M x y +-=，Q 是x 轴上的动点，,QA QB 分别切圆M 于,A B 两点．（1）若点Q 的坐标为()1,0-，求切线,QA QB 的方程； （2）求四边形QAMB 的面积的最小值．25．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线与圆C 相切．（I ）求圆C 的方程；（II ）过点Q （0，－3）的直线l 与圆C 交于不同的两点A、B，当时，求△AOB的面积．26．选修4－1：几何证明选讲.如图，⊙O内切△ABC的边于D、E、F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.⑴证明：圆心O在直线AD上；⑵证明：点C是线段GD的中点.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得，根据二元二次方程表示圆得，再根据指数函数的单调性得的取值范围．【详解】解：圆关于直线成轴对称图形，圆心在直线上，，解得又圆的半径，，故选：D．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．2．C解析：C【解析】【分析】设M（x，y），P（a，b），由于M是AP的中点，点B（6，0），故可由中点坐标公式得到a ＝2x ﹣6，b ＝2y ，又P （a ，b ）为圆x 2+y 2＝1上一点动点，将a ＝2x ﹣6，b ＝2y 代入x 2+y 2＝1得到M （x ，y ）点的坐标所满足的方程，整理得点M 的轨迹方程，使△（为坐标原点）为直角三角形,讨论 分别为的情况即可.【详解】设M （x ，y ），P （a ，b ） 由B （6，0），M 是AP 的中点 故有a ＝2x ﹣6，b ＝2y 又P 为圆上一动点， ∴（2x ﹣6）2+（2y-4）2＝4，整理得（x ﹣3）2+＝1．故AP 的中点M 的轨迹方程是（x ﹣3）2+＝1． △（为坐标原点）为直角三角形，若=，以OA 为直径的圆的方程为，此时两圆圆心距为,故两圆相交，故M 有两个；若=，x=4与圆（x ﹣3）2+＝1相切,这样的M 点有一个;若=，这样的M 点不存在，故使△（为坐标原点）为直角三角形的点的个数为3个 故选：C. 【点睛】本题考查求圆的轨迹方程，考查圆与圆的位置关系，注意△直角三角形分类要全面.3．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点A B 、的坐标，根据条件设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式，代入上式化简，根据轨迹方程，即可得到结论 【详解】在平面PAB 内，以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴,建立平面直角坐标系． 设点P （x ，y ），则由题意可得 A （-3，0），B （3，0）AD α,BC α,AD 4,BC 8,AB 6,APD CPB ∠∠⊥⊥====则RtAPD Rt CPB ~4182AP AD BP BC ∴===， 即224BP AP =，则有()()2222343x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦ 整理可得()22516x y ++=，表示一个圆由于点P 不能在直线AB 上（否则，不能构成四棱锥）， 故点P 的轨迹是圆的一部分 故选A【点睛】本题考查点轨迹方程的求法，以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力4．D解析：D 【解析】试题分析：由圆的方程4)()1(22=++-a y x 可知圆心为()1,a -,半径为2. 圆心()1,a -到直线2=-y x 的距离()22121211a a d +--==+-.由题意可得222122222a ⎛⎫⎛-⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得3a =或1a =-.故D 正确. 考点：圆的弦长问题.5．A解析：A 【解析】试题分析：根据直线与圆相切，圆心到直线的距离d=r ，列出方程求出m 的值． 解：因为直线3x+4y+2m =0与圆x 2+（y ﹣）2=1相切， 所以圆心到直线的距离为d=r ； 即=1，化简得2+2m =5， 即2m =3， 解得m=log 23． 故选：A ．考点：圆的切线方程．6．A解析：A 【解析】试题分析：由题易知且圆心到直线的距离等于，所以，解得考点：•点到直线距离公式 直线与圆相交问题7．B解析：B 【解析】试题分析：若2240x y xy m -<++恒成立，即xy y x m ++>224恒成立，只需max22)4(xy y x m ++>，而1)(4144)2(42222++-=++-=+-+=++xy xy xy xy xy xy y x xy y x1617)81(42+--=xy ，当81=xy 时，取得最大值1617，所以1617>m ．考点：1．基本不等式；2．恒成立问题的转化；3．二次函数求最值8．B解析：B 【解析】 【分析】确定圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出结论． 【详解】圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4是一个以（5，﹣1）为圆心，以2为半径的圆． 圆心到4x+3y ﹣2＝0的距离为|2032|d 35--==， 所以圆C ：（x ﹣5）2+（y+1）2＝4上有1个点到直线4x+3y ﹣2＝0的距离为1. 故选：B ． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．9．D解析：D【解析】试题分析：设圆心，则，，则满足，∴.考点：1.轨迹求解问题；2.直线与圆相交形成弦问题.10．B解析：B 【解析】 试题分析：如图：圆 221(1)4x y +-=的圆心E （0，1），圆的圆心 F （2，0），这两个圆的半径都是21 要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由图可得，|PN|最大值为|PF|+21， PM|的最小值为|PE|-21 PN PM -=|PF|-|PE|+1，点P （t ，t ）在直线 y=x 上，E （0，1）关于y=x 的对称点E′（1，0），直线FE′与y=x 的交点为原点O ，则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2，故答案为B ． 考点：是圆的方程的综合应用．11．D解析：D 【解析】试题分析：由不等式知，222222b a b a b a b a +≥+∴+≤+)2(，因此圆心到直线的距离22ba b a d ++=2≤，即圆心到直线距离小于等于半径，故直线与圆相交或相切．选D ．考点：①直线与圆的位置关系；②重要不等式的应用．【方法点睛】（1）判断直线与圆的位置关系的方法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则：①若r d <，则直线与圆相交；②若r d ≤，则直线与圆相交或相切；③若r d >，则直线与圆相离；④若r d ≥，则直线与圆相离或相切．（2）需记忆常用的重要不等式①若,,00>>b a 则ab b a 2≥+；②22222b a b a ab +≤+≤)(． 12．A解析：A 【解析】试题分析：圆的圆心为()1,0，半径为2，当ACB ∆面积最大时90C = ()1,0∴到直线的1111022y k x kx y k⎛⎫-=-∴-+-=⎪⎝⎭= 12k∴=，所以直线为0342=+-yx考点：直线与圆相交的位置关系二、填空题13．或【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程再根据直线与圆的位置关系求解【详解】直线的普通方程为圆的普通方程为当它们相切时有解得故直线的倾斜角或【点睛】本题主要考查直线的参数方程与普通方程的转化以解析：6π或56π【解析】【分析】先把直线的方程转化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系求解。
江苏省苏州高新区实验初级中学2024-2025学年上学期八年级数学十月份月考试卷(含详解)
2024-2025学年新区实验学校初二数学十月份月考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．第19届亚运会在浙江杭州举行，下列与杭州亚运会相关的图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列四个实数中，是无理数的是（ ）A ．3.1415926BC ．5D3．如图，直线，，于点，若，则的度数为（ ）A ．．B ．C ．D ．4．等腰三角形的一个内角是，则另外两个角的度数分别是（ ）A ．，B ．，C ．，或，D ．，5．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点6．如图，在正方形网格中，点，在格点上，若点也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点的个数为（ ）12l l ∥AB BC =CD AB ⊥D 165∠= DCA ∠65 25 15 3550 65 65 50 80 65 65 50 80 50 50A B C 33⨯A B C ABC △CA ．1B ．2C ．3D ．47．一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（ ）A ．7B ．11C ．49D ．3248．如图，一架梯子斜靠在竖直墙上，点为梯子的中点，当梯子底端向左水平滑动到位置时，滑动过程中的变化规律是（ ）A ．变小B ．不变C ．变大D ．先变小再变大9．在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，交于点，连接，则的度数为（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，在中，，与的平分线交于点，过点作交于点，交于点，那么下列结论：①；②；③的周长；④；⑤．其中正确的有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③⑤D ．①③④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是__________．12的立方根为__________．13．比较大小：（填“”或“”）．14．地球的半径约为，这个近似数精确到__________位．15．如图，在等腰中，，点为的延长线上一点，连接，点、分别为线段、的中点，连接，若，则的长为__________．3a +215a -AB M AB CD OM ABC △50B ∠= 35C ∠= A C 12AC M N MN BC D AD BAD ∠60 70 75 85ABC △AB AC >ABC ∠ACB ∠F F DE BC ∥AB D AC E DE BD CE =+AD AE =ADE △AB AC =+BF CF =902A BFC ∠∠=+ 3cm 7cm cm 12><36.410km ⨯ABC △AB AC =D BC AD E F BC AD EF 2EF =AD16．如图，在中，，为边的延长线上一点，且，若，则__________．17．如图，中，，是上任意一点，过作于，于，若，则__________．18．如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是__________．三、解答题（本大题共9小题，共56分）19．计算：（1（2）20．在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，两格中有一个，该三角形的三个顶点均在格点上．（1）在图中作出关于直线对标的；（2）图中若有格点满足，则这样的格点有__________个．ABC △AB AC =D BA CD AB =32B ∠= D ∠=ABC △4AB AC ==P BC P PD AC ⊥D PE AB ⊥E 12ABC S =△PE PD +=ABC 90ACB ∠= AC BC >A B DE CD BD AC F ADF △A ∠01(12-+--2(2)16x +=ABC △ABC △MN A B C '''△P PA PC =P21．阅读下面的文字，解答问题：的小数部分我们不可能全部地写出来，于的小数部分，你同意小明的表示方法吗？的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，2，小数部分为．请解答：（1的整数部分为，求的值；（2）已知：，其中是整数，且，求的相反数．22．在中，，，，垂足为，且．，其两边分别交边，于点，．（1）求证：是等边三角形；（2）求证：．23．如图，在中，点在边上，连接，有，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，且，连接．求证：平分．1<<23<<)2-a b a b +-12x y +=+x 01y <<x y -ABC △AB AC =120BAC ∠= AD BC ⊥G AD AB =60EDF ∠= AB AC E F ABD △BE AF =ABC △D BC AD 100BAD ∠= ABC ∠BE AC E E EF AB ⊥BA F 50AEF ∠= DE DE ADC ∠24．如图，已知的高、相交于点，、分别是、的中点，求证：垂直平分．25．如图，在中，，分别垂直平分和，交于，两点，与相交于点．（1）若，则的度数为__________；（2）若，则的度数为__________；（用含的代数式表示）（3）连接、、，的周长为，的周长为，求的长．26．【了解概念】如图1，已知，为直线同侧的两点，点为直线的一点，连接，，若，则称点为点，关于直线的“等角点”．【理解运用】（1）如图2，在中，为上一点，点，关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点，关于直线的“等角点”，并说明理由；【拓展提升】（2）如图2，在（1）的条件下，若点是射线上一点，且点，关于直线的“等角点”为点，请利用无刻度的直尺和圆规在图2中确定点的位置；（3）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为点，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为__________．ABC △BD CE O M N BC AO MN DE ABC △DM EN AC BC AB M N DM EN F 110ACB ∠= MCN ∠MCN α∠=MFN ∠αFA FB FC CMN △6cm FAB △16cm FC A B MN P MN AP BP APM BPN ∠=∠P A B l ABC △D BC D E AB EB F B D F AB Q EF D Q AC C Q ABC △ABC ∠BAC ∠O O AC l BC P O B l OP BP 60ACB ∠= OP BP +27．如图，中，，点、分别从点、点同时出发，沿三角形的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点，点第一次相遇时，点，点同时停止运动，设点，点的运动时间为秒．（1）当点在上时，__________；当点在上时，__________（用含的代数式表示）．（2）点在上时，若为直角三角形，求的值．（3）连结，当线段的垂直平分线经的某一顶点时，直接写出的值．2024-2025学年新区实验学校初二数学十月份月考试卷参考答案与解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1．【解析】解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，符合题意；【答案】D2．【解析】解：A 、是有限小数，属于有理数，故不符合题意；B属于无理数，故符合题意；C 、5是整数，属于有理数，故不符合题意；D，是分数，属于有理数，故不符合题意；【答案】BABC △12cm AB BC AC ===M N A B M 4cm /s N 6cm /s M N M N M N (0)t t >M AC CM =N CB CN =t N CB AMN △t MN MN ABC △t 3.141592619=3．【解析】解：，，，，，，．【答案】B4．【解析】解：，，①当底角时，则，；②当顶角时，，，；即其余两角的度数是，或，，【答案】C5．【解析】解：在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在、、的角平分线的交点处．【答案】C6．【解析】解：以为腰的等腰三角形有两个，以为底的等腰三角形有一个，如图：所以符合条件的点的个数为3个，【答案】C7．【解析】解：一个正数的两个不同的平方根为和，，，，，这个正数是49，【答案】C165∠= 12l l ∥65ACB ∴∠= AB BC = 65BAC ∴∠= CD AB ⊥ 9025DCA BAC ∴∠=-∠= AB AC = B C ∴∠=∠50B ∠= 50C ∠= 18080A B C ∠=-∠-∠= 50A ∠= 180B C A ∠+∠+∠= B C ∠=∠()1180652B C A ∴∠=∠=⨯-∠= 50 80 65 65 A ∠B ∠C ∠AB AB C 3a +215a -32150a a ∴++-=4a ∴=37a ∴+=2749=∴8．【解析】解：，为的中点，．同理．．的长度不变．【答案】B9．【解析】解：，由作图可知，是线段的垂直平分线，，，，【答案】A10．【解析】解：如图：，，，与的平分线交于点，，，，，，，，故①是正确的；，，，，，故②是错误的；的周长，的周长，故③是正确的；，，，故④是错误的；，，，，故⑤正确，【答案】C二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）11．【解析】解：①当腰是，底边是时；不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．90AOB ∠=M AB 12OM AB ∴=12OM CD =AB CD = OM ∴18095BAC B C ∠=-∠-∠= MN AC DA DC ∴=35DAC C ∴∠=∠= 953560BAD BAC DAC ∴∠=∠-∠=-= DE BC ∥ 25∴∠=∠46∠=∠ABC ∠ ACB ∠F 12∴∠=∠43∠=∠51∴∠=∠63∠=∠BD DF ∴=FE CE =DE DF FE BD CE ∴=+=+AB AC > DE BC ∥ABC ACB ∴∠≠∠ADE AED ∠≠∠AD AE ∴≠ADE △AD DF FE AE AD BD CE AC =+++=+++ADE ∴△AB AC =+ABC ACB ∠≠∠ 24∴∠≠∠BF CF ∴≠()1801234180224A ∠=-∠-∠-∠-∠=-∠+∠ ()18024BFC ∠=-∠+∠ ()190242A ∴∠=-∠+∠ 902A BFC ∠∴∠=+ 3cm 7cm 3cm 7cm ()37717cm =++=故答案为：17．【答案】1712．【解析】解：，，2．【答案】213．【解析】解：，，，；【答案】．14．【解析】解：，则这个数近似到百位．【答案】百15．【解析】解：连接，，点是的中点，，点是的中点，，故答案为：4．【答案】416．【解析】解：，，，，，．故答案为：。
江苏省苏州高新区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试题
江苏省苏州高新区实验初级中学2024-2025学年九年级上学期数学12月月考试题一、单选题1．已知O 的半径为5cm ，3cm =PO ，则点P 与O 的位置关系是（）A ．点P 在圆外B ．点P 在圆上C ．点P 在圆内D ．无法确定2．已知二次函数的解析式为22y x x =-+，下列关于函数图象的说法正确的是（）A ．对称轴是直线1x =-B ．图象经过原点C ．开口向上D ．图象有最低点3．一个不透明的袋子里装有3个红球和4个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出一个球是红球的概率为（）A ．37B ．47C ．17D ．134．如图，A B C D 、、、都是O 上的点，若108CD BD AOC =∠=︒，，则AOD ∠=（）．A ．140︒B ．144︒C ．146︒D ．150︒5．下列说法正确的是（）A ．三个点可以确定一个圆B ．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点C ．垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧D ．过弦的中点的直线必过圆心6．已知点()11,y -，()24,y ，()33,y -都在函数24(0)y ax ax c a =-+<上，则（）A ．231y y y <<B ．213y y y <<C ．321y y y <<D ．312y y y <<7．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，则ABC V 的内切圆的半径为（）A ．1B ．2C ．34D ．568．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是()3,4-，点B 是A 上一点，A 的半径为2，将OB 绕O 点顺时针方向旋转90︒得OC ，连接AC ，则线段AC 的最小值为（）A ．2B ．1-C ．5D ．6二、填空题9．某校随机抽查6名学生每天完成课后作业的时间(单位：分钟)是：54，62，74，86，90，97，则这组数据的中位数是．10．如图是一个可以自由转动的转盘，如果转动一次转盘，转盘中阴影部分的扇形的圆心角度数为120°．则停止后指针指向阴影部分的概率是．11．O 的直径为17cm ，若圆心O 与直线l 的距离为7.5cm ，则l 与O 的位置关系是（填“相交”、“相切”或“相离”）．12．抛物线2y x =的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是．13．一条弦把圆分成15：两部分，则这条弦所对的圆周角的度数是．14．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上，点A ，B 的读数分别为85︒，30︒，则ACB ∠的度数是．15．我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形,4,2ABCD AB AD ==，中心为O ，在矩形外有一点P ，3OP =，当矩形绕着点O 旋转时，则点P 到矩形的距离d 的取值范围为．16．如图，正方形ABCD 的边长是6cm ，E 是CD 边的中点．将该正方形沿BE 折叠，点C 落在点C '处．O 分别与AB AD BC '、、相切，切点分别为F G H 、、，则O 的半径为cm ．三、解答题17．某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下：甲7979106乙58910106(1)根据表格中的数据填空：甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环；(2)求甲、乙测试成绩的方差；(3)你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由．18．如图，在坐标系中，(1,6)A 、(5,6)B 、()7,4C ．(1)经过A 、B 、C 三点的圆弧所在圆的圆心M 的坐标为________；(2)这个圆的半径为：_______；(3)直接判断点(5,3)D -与M 的位置关系．点(5,3)D -在M ________．（填“内”、“外”、“上”）19．如图，O 的直径A 垂直于弦C ，垂足为E ，2AE =，8CD =．(1)求O 的半径长；(2)连接BC ，作OF BC ⊥于点F ，求OF 的长．20．为落实”双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间t （单位：分钟），按照完成时间分成五组：“A 组：45t ≤”“B 组：4560t <≤”“C 组：6075t <≤”“D 组：7590t <≤”“E 组：90t >”将收集的数据整理后，绘制成如图两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：(1)这次调查的样本容量是___________，请补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，B 组的圆心角是___________度；(3)若该校共有1600名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过90分钟的学生人数．21．一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有编号1,2,3,4，这些小球除编号外都相同．(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球的编号是2的概率为________________．(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录球的编号后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．求第2次摸到的小球编号比第1次摸到的小球编号大1的概率是多少？（用画树状图或列表的方法说明）22．如图，在ABC V 中，AB AC =，以AB 为直径的O 分别交AC 、BC 于点D 、E ．(1)求证：点E 是BC 的中点；(2)若70C ∠=︒，求ODE ∠的度数．23．某商场以每件30元的进价购进一批商品．当商品售价为60元时，月销量达到40件，现决定降价促销，提高利润，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加2件．(1)求出月销售量y （件）与售价x （元）之间的关系式．(2)当售价定为何值时，该商品月销售利润最大，求最大利润．24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC 、AC ．点P 是直线BC 上方抛物线上一点，连接PB 、PC ．(1)求直线BC 的解析式；(2)若12PBC ABC S S =，求点P 的坐标．25．石碾，是一种用石头和木材等制作的破碎或去皮工具（如图①），图2所示的是从石碾中抽象出来的几何模型，BD 是O 的直径，点C 在BD 的延长线上，BE 平分ABC ∠交于O点E ，BA CE ⊥交CE 的延长线于点A ．(1)求证：直线AC 是O 的切线；(2)若O 的半径是4，6AB =，求线段CE 的长．26．如图1，在矩形ABCD 中，边长AB a =，AD b =，其中a ，b（a b <）分别是方程27120x x -+=的两个根，连接BD ．点O 从点C 出发，沿CB 向点B 运动（到达点B 停止运动），速度为每秒1个单位，设运动时间为t 秒．在运动过程中，以O 为圆心，OC 的长为半径作半圆，交射线CB 于点Q ．(1)BD =______．(2)如图2，当t 为多少时，点O 运动到BDC ∠的角平分线上，此时，半圆O 与BD 有怎样的位置关系，并加以说明．(3)如图3，当半圆O 与ABD △的边有两个交点时，求t 的取值范围．27．如图1，抛物线21322y x x c =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且点A 坐标为()1,0-．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，y 轴上存在一点D ，使D 经过B ，C 两点，求点D 的坐标；(3)如图3，连结BC ，点(P 不与A ，B ，C 三点重合)为抛物线上一动点，连结BP ，在点P 运动过程中，是否能够使得45PBC ∠=︒？若存在，求出此时点P 的坐标，若不存在，请说明理由．。
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苏州高新区实验初级中学（新实初中）数学圆几何综合（篇）（Word版含解析）一、初三数学圆易错题压轴题（难）1．已知：四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝90°，DE⊥AB，垂足为点E，DE的锯长线交⊙O于点F，DC的延长线与FB的延长线交于点G．（1）如图1，求证：GD＝GF；（2）如图2，过点B作BH⊥AD，垂足为点M，B交DF于点P，连接OG，若点P在线段OG上，且PB＝PH，求∠ADF的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，点M是PH的中点，点K在BC上，连接DK，PC，D交PC点N，连接MN，若AB＝122，HM+CN＝MN，求DK的长．【答案】（1）见解析；（2）∠ADF＝45°；（3）18105．【解析】【分析】（1）利用“同圆中，同弧所对的圆周角相等”可得∠A＝∠GFD，由“等角的余角相等”可得∠A＝∠GDF，等量代换得∠GDF＝∠GFD，根据“三角形中，等角对等边”得GD＝GF；（2）连接OD、OF，由△DPH≌△FPB可得：∠GBH＝90°，由四边形内角和为360°可得：∠G＝90°，即可得：∠ADF＝45°；（3）由等腰直角三角形可得AH＝BH＝12，DF＝AB＝12，由四边形ABCD内接于⊙O，可得：∠BCG＝45°＝∠CBG，GC＝GB，可证四边形CDHP是矩形，令CN＝m，利用勾股定理可求得m＝2，过点N作NS⊥DP于S，连接AF，FK，过点F作FQ⊥AD于点Q，过点F 作FR⊥DK交DK的延长线于点R，通过构造直角三角形，应用解直角三角形方法球得DK．【详解】解：（1）证明：∵DE⊥AB∴∠BED＝90°∴∠A+∠ADE＝90°∵∠ADC＝90°∴∠GDF+∠ADE＝90°∴∠A＝∠GDF∵BD BD∴∠A ＝∠GFD∴∠GDF ＝∠GFD∴GD ＝GF（2）连接OD 、OF∵OD ＝OF ，GD ＝GF∴OG ⊥DF ，PD ＝PF在△DPH 和△FPB 中PD PF DPH FPB PH PB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DPH ≌△FPB （SAS ）∴∠FBP ＝∠DHP ＝90°∴∠GBH ＝90°∴∠DGF ＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°∴∠GDF ＝∠DFG ＝45°∴∠ADF ＝45°（3）在Rt △ABH 中，∵∠BAH ＝45°，AB ＝∴AH ＝BH ＝12∴PH ＝PB ＝6∵∠HDP ＝∠HPD ＝45°∴DH ＝PH ＝6∴AD ＝12+6＝18，PN ＝HM ＝12PH ＝3，PD ＝∵∠BFE ＝∠EBF ＝45°∴EF ＝BE∵∠DAE ＝∠ADE ＝45°∴DE ＝AE∴DF ＝AB ＝∵四边形ABCD 内接于⊙O∴∠DAB +∠BCD ＝180°∴∠BCD ＝135°∴∠BCG ＝45°＝∠CBG∴GC ＝GB又∵∠CGP ＝∠BGP ＝45°，GP ＝GP∴△GCP ≌△GBP （SAS ）∴∠PCG ＝∠PBG ＝90°∴∠PCD ＝∠CDH ＝∠DHP ＝90°∴四边形CDHP 是矩形∴CD ＝HP ＝6，PC ＝DH ＝6，∠CPH ＝90° 令CN ＝m ，则PN ＝6﹣m ，MN ＝m +3在Rt △PMN 中，∵PM 2+PN 2＝MN 2∴32+（6﹣m ）2＝（m +3）2，解得m ＝2∴PN ＝4过点N 作NS ⊥DP 于S ，在Rt △PSN 中，PS ＝SN ＝22DS ＝62﹣22＝42SN 221tan DS 242SDN ∠=== 连接AF ，FK ，过点F 作FQ ⊥AD 于点Q ，过点F 作FR ⊥DK 交DK 的延长线于点R 在Rt △DFQ 中，FQ ＝DQ ＝12∴AQ ＝18﹣12＝6∴tan 1226FQ FAQ AQ ∠=== ∵四边形AFKD 内接于⊙O ，∴∠DAF +∠DKF ＝180°∴∠DAF ＝180°﹣∠DKF ＝∠FKR在Rt △DFR 中，∵DF ＝1122,tan 2FDR ∠= ∴12102410,55FR DR == 在Rt △FKR 中，∵FR ＝1210 tan ∠FKR ＝2 ∴KR ＝610 ∴DK ＝DR ﹣KR ＝24106101810=-= ．【点睛】本题是一道有关圆的几何综合题，难度较大，主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，全等三角形性质及判定，等腰直角三角形性质，解直角三角形等知识点；解题关键是添加辅助线构造直角三角形．2．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）•（1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状；（2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题：①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t；②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由．【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．【解析】试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值；②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题．试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形．理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，∵t=5，∴AP=2×5=10．∵点Q是AP的中点，∴AQ=PQ=5．∵∠EDF=90°，DE=4，DF=3，∴EF==5，∴PQ=EF=5．∵AC∥EF，∴四边形EFPQ是平行四边形，且∠A=∠FEB．又∵∠QHA=∠FDE=90°，∴△AHQ∽△EDF，∴．∵AQ=EF=5，∴AH=ED=4．∵AE=12-4=8，∴HE=8-4=4，∴AH=EH，∴AQ=EQ，∴PQ=EQ，∴平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，此时AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．∵EF∥AC，∴△DEM∽△DAQ，∴，∴，解得t=；②存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，此时点Q在∠ADF的角平分线上或在∠FDB的角平分线上．Ⅰ．当点Q在∠ADF的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图③，则有∠HQD=∠HDQ=45°，∴QH=DH．∵△AHQ∽△EDF（已证），∴，∴，∴QH=，AH=，∴DH=QH=．∵AB=AH+HD+BD=12，DB=t，∴++t=12，∴t=5；Ⅱ．当点Q在∠FDB的角平分线上时，过点Q作QH⊥AB于H，如图④，同理可得DH=QH=，AH=．∵AB=AD+DB=AH-DH+DB=12，DB=t，∴-+t=12，∴t=10．综上所述：当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切．考点：1．圆的综合题；2．线段垂直平分线的性质；3．勾股定理；4．菱形的判定；5．相似三角形的判定与性质．3．在平面直角坐标系xOy中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB于点A，AC=2，BD⊥AB于点B，BD=6，以AB为直径的半圆O上有一动点P（不与A、B两点重合），连接PD、PC，我们把由五条线段AB、BD、DP、PC、CA所组成的封闭图形ABDPC叫做点P的关联图形，如图1所示.（1）如图2，当P运动到半圆O与y轴的交点位置时，求点P的关联图形的面积.（2）如图3，连接CD、OC、OD,判断△OCD的形状，并加以证明.（3）当点P运动到什么位置时，点P的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积的最大值.【答案】（1）12；（2）判断△OCD是直角三角形，证明见解析；（3）连接OC，交半圆O于点P，这时点P的关联图形的面积最大，理由风解析，82+【解析】试题分析：（1）判断出四边形AOPC是正方形，得到正方形的面积是4，根据BD⊥AB，BD=6，求出梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，二者相加即为点P的关联图形的面积是12．（2）根据CF=DF=4，∠DCF=45°，求出∠OCD=90°，判断出△OCD是直角三角形．（3）要使点P的关联图形的面积最大，就要使△PCD的面积最小，确定关联图形的最大面积是梯形ACDB的面积﹣△PCD的面积，根据此思路，进行解答．试题解析：（1）∵A（﹣2，0），∴OA=2，∵P是半圆O上的点，P在y轴上，∴OP=2，∠AOP=90°，∴AC=2，∴四边形AOPC是正方形，∴正方形的面积是4，又∵BD⊥AB，BD=6，∴梯形OPDB的面积=()(26)2822OP DB OB+⨯+⨯==，∴点P的关联图形的面积是12．（2）判断△OCD是直角三角形．证明：延长CP交BD于点F，则四边形ACFB为矩形，∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∴△OCD是直角三角形．（3）连接OC 交半圆O 于点P ，则点P 即为所确定的点的位置．理由如下：连接CD ，梯形ACDB 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==为定值， 要使点P 的关联图形的面积最大，就要使△PCD 的面积最小，∵CD 为定长，∴P 到CD 的距离就要最小，连接OC ，设交半圆O 于点P ，∵AC ⊥OA ，AC=OA ，∴∠AOC=45°，过C 作CF ⊥BD 于F ，则ACFB 为矩形， ∴CF=DF=4，∠DCF=45°，∴OC ⊥CD ，OC=22，∴PC 在半圆外，设在半圆O 上的任意一点P′到CD 的距离为P′H ，则P′H+P′O ＞OH ＞OC ， ∵OC=PC+OP ，∴P′H ＞PC ，∴当点P 运动到半圆O 与OC 的交点位置时，点P 的关联图形的面积最大．∵CD=42，CP=222-，∴△PCD 的面积=()(26)41622AC DB AB +⨯+⨯==， ∴点P 的关联图形的最大面积是梯形ACDB 的面积﹣△PCD 的面积=16(842)842--=+．考点：圆的综合题．4．已知：在△ABC 中，AB=6，BC=8，AC=10，O 为AB 边上的一点，以O 为圆心，OA 长为半径作圆交AC 于D 点，过D 作⊙O 的切线交BC 于E.（1）若O为AB的中点(如图1)，则ED与EC的大小关系为：ED EC（填“”“”或“”）（2）若OA<3时（如图2），（1）中的关系是否还成立？为什么？（3）当⊙O过BC中点时（如图3），求CE长.【答案】（1）ED=EC；（2）成立；（3）3【解析】试题分析：（1）连接OD，根据切线的性质可得∠ODE=90°，则∠CDE+∠ADO=90°，由AB=6，BC=8，AC=10根据勾股定理的逆定理可证得∠ABC=90°，则∠A+∠C=90°，根据圆的基本性质可得∠A=∠ADO，即可得到∠CDE=∠C，从而证得结论；（2）证法同（1）；（3）根据直角三角形的性质结合圆的基本性质求解即可.（1）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（2）连接OD∵DE为⊙O的切线∴∠ODE=90°∴∠CDE+∠ADO=90°∵AB=6，BC=8，AC=10∴∠ABC=90°∴∠A+∠C=90°∵AO=DO∴∠A=∠ADO∴∠CDE=∠C∴ED=EC；（3）CE=3.考点：圆的综合题点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．5．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；（3）点D、E均在抛物线上；（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．【解析】试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．试题分析：（1）∵⊙C经过原点O∴AB为⊙C的直径∴C为AB的中点过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1∴圆心C的坐标为（1，）．（2）∵抛物线过O、A两点，∴抛物线的对称轴为x=1，∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，∴顶点坐标为（1，﹣）．把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．（3）∵OA=2，OB=2，∴AB==4，即⊙C的半径r=2，∴D（3，），E（﹣1，），代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．（4）∵AB为直径，∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．考点：二次函数综合题．6．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．i．若点P正好在边BC上，求x的值；ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】（1）i．当x=2时，点P恰好落在边BC上；ii． y=，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2；（2）当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．【解析】试题分析：（1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上；ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=x2②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．试题解析：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，∴∠B=∠BPM，∴AM=PM=BM，∴点M是AB中点，即当x=AB=2时，点P恰好落在边BC上．ii．以下分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴，∴，∴AN=，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，∴，②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由（2）知ME=MB=4-x，∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，∴，∴S△PEF=（x-2）2，∴y=S△PMN-S△PEF=，∵当0＜x≤2时，y=x2，∴易知y最大=，又∵当2＜x＜4时，y=，∴当x=时（符合2＜x＜4），y最大=2，综上所述，当x=时，重叠部分的面积最大，其值为2．（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=MN．在Rt△ABC中，BC==5；由（1）知△AMN∽△ABC，∴，即，∴MN=x∴OD=x，过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=x，在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA，∴，∴BM=，AB=BM+MA=x+x=4∴x=，∴当x=时，⊙O与直线BC相切；当x＜时，⊙O与直线BC相离；x＞时，⊙O与直线BC相交．考点：圆的综合题．7．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（−4，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒45个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）132y x=-+（2）d=5t （3）故当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）．【解析】试题分析：（1）由C（0，8），D（-4，0），可求得OC，OD的长，然后设OB=a，则BC=8-a，在Rt△BOD中，由勾股定理可得方程：（8-a）2=a2+42,解此方程即可求得B的坐标，然后由三角函数的求得点A的坐标，再利用待定系数法求得直线AB的解析式；（2）在Rt△AOB中，由勾股定理可求得AB的长，继而求得∠BAO的正切与余弦，由PR//AC 与折叠的性质，易证得RQ=AR，则可求得d与t的函数关系式；（3）首先过点分别作NT⊥RQ于T，NS⊥EF于S，易证得四边形NTOS是正方形，然后分别从点N在第二象限与点N在第一象限去分析求解即可求解;试题解析：（1）∵C（0，8），D（-4，0），∴OC=8，OD=4，设OB=a，则BC=8-a，由折叠的性质可得：BD=BC=8-a，在Rt△BOD中，∠BOD=90°，DB2=OB2+OD2，则（8-a）2=a2+42，解得：a=3，则OB=3，则B（0，3），tan∠ODB=34OBOD=，在Rt△AOC中，∠AOC=90°，tan∠ACB=34OAOC=，则OA=6，则A（6，0），设直线AB的解析式为：y=kx+b，则60{3k bb+==，解得：1{23kb=-=，故直线AB的解析式为：y=-12x+3；（2）如图所示：在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OB=3，OA=6，则22135,tan2OBOB OA BAOOA+=∠==，255OAcos BAOAB∠==，在Rt△PQA中，905APQ AP t∠=︒=，则AQ=10cosAPtBAO=∠,∵PR∥AC，∴∠APR=∠CAB，由折叠的性质得：∠BAO=∠CAB，∴∠BAO=∠APR，∴PR=AR，∵∠RAP+∠PQA=∠APR+∠QPR=90°，∴∠PQA=∠QPR，∴RP=RQ，∴RQ=AR，∴QR=12 AQ=5t, 即d=5t;（3）过点分别作NT ⊥RQ 于T ，NS ⊥EF 于S ， ∵EF=QR ， ∴NS=NT ，∴四边形NTOS 是正方形， 则TQ=TR=1522QR t = ， ∴1115151022224NT AT AQ TQ t t t ==-=-=（）（） ， 分两种情况，若点N 在第二象限，则设N （n ，-n ），点N 在直线132y x =-+ 上， 则132n n -=-+ ， 解得：n=-6，故N （-6，6），NT=6，即1564t = ， 解得：85t = ;若点N 在第一象限，设N （N ，N ）， 可得：132n n =-+ , 解得：n=2， 故N （2，2），NT=2，即1524t =, 解得：t=815∴当 t=85，或815，时，QR=EF，N（-6，6）或（2，2）。