数列的综合应用范文

()

,(),,

,.

1(1),,()(2),,第五讲、数列的综合应用主讲：叶导数列的综合应用题一般包括数列的求和数列不等式的证明

通常用放缩法或数学归纳法数列规律的探索、归纳分析一般结合方程、函数和不等式是考试的难点之一一、知识要点

、数列和函数的综合问题：已知函数解决数列问题这类问题一般利用函数的图像和性质奇偶性、对称性、周期性等来研究数列的问题；已知数列条件解决函数问题这类问题一般要利用数列的范围、(1),(2),2,(1,1,2,1,1,2,3,2,1,),

1

35714

6810357()(791113

91113110121416通项公式、求和方法、对式子进行适当的变形.

方法：深刻理解等差、等比数列的性质熟悉它们的推导过程.

不但熟知数列的概念和基本方法而且熟悉中常见的思想方法；“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”.

、规律探索问题：形式比较多有直线型比如：…矩阵型、金字塔型2149(,)).51719212325272931

(1),()1()1,2,1()1,2,3,2,1.1,1,1,.

(2),(324).

(3)n k m n I II III a a a a a m n a m n =====+-方法：直线型一般要分组通过每一组的首项或末项寻找规律.比如以上例子可分组：；；发现每一组的末项都是即得出这样就可以推算出矩阵型一般研究每一行或每一列的首项可以推导出第行第列的通项公式比如以上例子金字塔型2(,),(2421,121).

3(),4(1)()m n m n a n n m n m I =-++≤≤-一般研究每一行的首项或末项可以推导出第行第个数的通项公式比如以上例子其中、实际应用问题：充分利用观察、归纳分析、猜想的方法建立等差数列、等比数列、递推数列等模型得出通项公式或递推公式然后结合函数与方程、不等式的方法解决问题.

、数列不等式的证明：

构造函数法：一般根据通项公式的特点构造函数用导数证明.常见的不等式：111ln(1)(0)()ln(1)(0).1(2)1,,1.1,.

x x x II x x x x

n n k n k n k k >+><+<>+===++；数学归纳法：首先验证时成立接着假设时成立再根据已知条件和已验证的条件推导出也成立必须要注意：从变为所增加的项数不一定只有一项有时有很多项

2222(3),.

()()()

111111111,()(2),(1)1(1)(1)211144112().(21)(21)21214I II n n n n n n n n n n n

n n n n n n

<=-<=-≥--+--+=<=-+--+放缩法：利用不等式的传递性设置一个中间量将不等式的一边进行适当地放大或缩小常用技巧：适当地增加或舍弃某些项.

在分式中适当地放大或缩小分子或分母一般与裂项相消法有关比如：注意：上面有三种方,()().

()().

()().

2121211().42422(21)2()(,).

22122n n n n n n n n n

n III IV V VI n n +++≥==++++≤法放缩的程度不同因不同的题目而用.

利用基本不等式进行放缩一般用均值不等式利用函数的单调性进行放缩通常通过导数研究单调性构造等比数列进行放缩一般分子分母有指数形式比如：放缩后等比数列求和利用错位相减法进行放缩一般分子含一次函数分母含指数函数

比如：121().12()().

()().

1111.23422

111111111()()()(2345891621n n

n n n VII VIII n -+<+=>=-++++≥+++++++++++++放缩后错位相减法求和根据已知裂项条件进行放缩不等式一边出现裂项的形式分组成几个部分放缩一般用于末项不是通项公式的题型比如：求证…证明：因为…………1)2

111111112482,2481622222

1111.23422

()()(),(),,,,,.n n n n n n I II III IV -≥+⨯+⨯+⨯++⋅=+++=++++≥……所以…注意问题：放缩的方向要一致；放缩的大小要适当；

有时候保留数列的第一项或前几项后面的项放缩；

放缩法的证明比较简单但是技巧性极强稍有不慎就会出现放缩不当的情况所以对于放缩法一定要把握住数列不等式的特点

111113,,40000,A 14 B 15 C 16 D 17

{},5,21().

21(1)2(1).

{1}n n n n n n n n a a a a n a a a a a +++==-=-⇔-=--二、例题分析

例、瓶子里有个活细胞每分裂一次数目增倍但是都要死一个要使活细胞总数超过个分裂的次数至少是( )

、、、、解：构造数列满足为分裂次数可知数列是11111*(,)2,14,

1422,2 1.

2140000(),15,.

2,2,1357

261014(1),4122028

8244056

(2)1,6,20,56,n n n n n n m n n a a a n N n B m n a n S -+++-=-=⋅==++>∈≥==公比为的等比数列首项所以得由已知得解得故选例、某方形矩阵的第一行是正奇数每一列都是公比为的等比数列如左图所示.则第行第列的通式( )斜对角线上…个数的和(1(,1)11(,)1(,)2123(1),12,

2,

2(1)2(21)2.

(2)(1),(21)2.

13252(21)2,

223252(21)2.

m m m m m m m n n n n n n n n m a m m n a n n a n S n S n -----==+-⋅=-⋅=-⋅=+⋅+⋅++-⋅=+⋅+⋅++-⋅ ).

解：由题意知第行第个数的通式因为第行的数是公差为的等差数列所以第行第列的通式由知斜对角线上的数可以表示为所以……

两212222212(222)(21)2,

12(22)(21)2,(23)2 3.

1113(1+1)(1)(1)(1)3521

441,4(21)(21),

(2)2121

,12121

21(21)n

n n n n n

n n S n S n S

n n n

n n n n n

n n n n

n n --=

++++-

-⋅-=+-

--⋅=-⋅+

+++>->

->+-+>>+>----式相减得…即得例、求证：…证明：因为即所以得即111(1+1)(1)(1)(1)3521,.

,11,21

n n +++>=-=

+>-所以…因为左边式子是乘积的形式所以采用根式的累乘相消法即可这样没有剩余项于是只要证明所以累乘相消的思考方向正确.