第二节 解直角三角形的应用 教学案

第二节 解直角三角形的应用 教学案
【回顾与回顾】
问题⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩
转化---直角三角形视角常用术语坡度方位角 【例题经典】
关于坡角
【例1】（2005年济南市）下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，•它高出水平地面24米，从A 到B ，从B 到C 是两段不同坡角的山坡路．山坡路AB 的路面长100米，•它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，•政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．（精确到0.01米）
（1）求山坡路AB 的高度BE ．
（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？
（sin5°=0.0872，cos5°=0.9962，sin12°=0.2079，cos12°=0.9781
）
方位角.
【例2】（2006年襄樊市）如图，MN 表示襄樊至武汉
的一段高速公路设计路线图，•在点M 测得点N
在它的南偏东30°的方向，测得另一点A 在它的
南偏东60°的方向；•取MN 上另一点B ，在点B
测得点A 在它的南偏东75°的方向，以点A 为圆
心，500m•为半径的圆形区域为某居民区，已知
MB=400m ，通过计算回答：如果不改变方向，•高速公路是否会穿过居民区？
【点评】通过设未知数，利用函数定义建立方程来寻求问题的解决是解直角三角形应用中一种常用方法．
坡度
【例3】（2005年辽宁省）为了农田灌溉的需要，某乡利用一土堤修筑一条渠道，•在堤中间挖出深为1.2米，下底宽为2米，坡度为1：0.8的渠道（其横断面为等腰梯形）•，并把挖出来的土堆在两旁，使土堤高度比原来增加了0.6米（如图所示）求：
（1）渠面宽EF ；
（2）修200米长的渠道需挖的土方数．
例题精讲
α
C
B A 例1、在Rt △AB
C 中，∠C=90°，a = 1 , c = 4 , 则sinA 的值是 ( )
A 、1515
B 、41
C 、31
D 、4
15 答案：B
例2．在A ABC 中，已知∠C=90°，sinB=5
3，则cosA 的值是 ( ) A ．43 B ．34 c ．54 D ．5
3 答案：D
例3.在Rt ΔABC 中,∠C=900,则下列等式中不正确的是( )
（A ）a=csinA ；（B ）a=bcotB ；（C ）b=csinB ；
（D ）c=cos b B .
答案：D
例4.为测楼房BC 的高，在距楼房30米的A 处，测得楼顶B 的仰角为α,则楼房
BC 的高为( )B
（A ）30tan α米；（B ）
30tan α米； （C ）30sin α米； （D ）30sin α米
答案：B
例5．在ABC ∆中，︒=∠90C ，23cos =A ，则B ∠为（ ）C A ．︒30 B ．︒45 C ．︒60 D ．︒90
答案：C
例6.如图，是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室的距离AC 为( )
A ．23 米
B ．3米 c ．3．2米 D ．2
33米 答案：B
例7.某人沿倾斜角为β的斜坡走了100米，则他上升的高度是 米 答案：100sin β
例8.如图7，初三年级某班同学要测量校园内国旗旗杆的高度，在地面的C 点用
测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AFE=60°，再沿直线CB 后退8米到D 点，在D 点又用测角器测得旗杆顶A 点的仰角∠AGE=45°；已知测角器的高度是1．6米，求旗杆AB 的高度．(3的近似值取1．7，结果保留小数)
解：设AE 为x 米，在Rt △EF 中，∠AFE=60°，
∴EF=3x/3
在Rt △AGE 中，∠AGE=45° AE=GE 8+3x/3=x ∴x=12+43
即x ≈18．8(3的近似值取1．7，结果保留小数)
∴AB=AE+EB ≈20．4
答：旗杆高度约为20．4米
例9.如图(1)是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和b ，斜边长为c ．图(2)是以c 为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

(1)画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形证明勾股定理．
(3)假设图(1)中的直角三角形有若干个，你能运用图(1)中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图(无需证明)
解：(1)图形规范、正确 写出是直角梯形
(2)S 梯形=2
1 (a-b)
2 S 梯形==ab-2
1 c 2
21 (a-b)2=ab-2
1 c
2 整理，得a 2+b 2=c 2 (3)拼出能证明勾股定理的图形．
例10.下图表示一山坡路的横截面，CM 是一段平路，它高出水平地面24米．从A 到B 、从B 到C 是两段不同坡角的山坡路，山坡路AB 的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC 的坡角∠CBH=12°．为了方便交通，政府决定把山坡路BC 的坡角降到与AB 的坡角相同，使得∠DBI=5°．(精确到0．O1米)
(1)求山坡路AB 的高度BE ．
(2)降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米?
(sin5°=0．0872，cos 5°=0．9962,sin12°=0．2079，cos12°=0．9781) ．
解：(1)在Rt △ABE 中，BE=8．72(米)
(2)在Rt △CBH 中，CH=CF-HF=15．28．BC=73．497
在Rt △DBI 中，DB=175．229
∴DB-BC ≈175．229-73．497=101．732≈101．73(米)。