圆锥曲线中一题多解

一道高三总复习练习题的一题多解

学生在高三复习的过程中，总能碰到一道题有好几种解法的问题，可学生只能做出一种方法，并且做出来后也不再去思考有没有其他的解法，导致学生在知识点上，解题方法中白白浪费了一次训练机会，现在我就以高三复习中的一道圆锥曲线问题为列来说明：

题目：如图，已知抛物线x y 42

=，直线l:与抛物线交于A,B 两点，求线段AB 的长.

这是一道圆锥曲线中直线与圆锥曲线相交后的求弦长问题，而此问题是比较基础的问题，在此问题的基础上进行变式后得到一些其他的问题。而学生在解决此问题时还是仅仅限于解出来但不再去思考方法的优劣。

解法一

解：设A （，），B （）

由

消y 得

解得=

， 由此可得A （，），B （） 再根据两点间的距离公式得=4

这种解法就是圆锥曲线中的一些通法，思维简单但是运算量比较大。

法二

解：设A （，），B （）

由

消y 得 1-=x y 1x 1y 22,y x {142-==x y x y 0162=+-x x 1x 223+2232

-=x 223+222+22-222-3，

AB 1x 1y 22,y x {142-==x y x y 0162=+-x x

所以

由弦长公式得=4

这种方法想到直线和圆锥曲线相交后弦长公式相比较法一就省去了解方程的运算，减少了出错的可能性。这种方法在圆锥曲线中比较常用。 法三

解：由直线方程中可得直线过点（1,0）而抛物线的焦点也为（1,0）

设A （，），B （）

由

消y 得

所以

由抛物线定义得=+2=8

此方法观察到了直线过了抛物线的焦点，从而联想到抛物线的定义。由抛物线定义

=+p 这就需要学生对抛物线的定义熟悉并且要有敏锐的观察力。

法四

解：由直线方程y=x -1可得直线斜率为1倾斜角为

再由直线与抛物线相交后弦长

，（ɑ为AB 所在直线的倾斜角）的公式可得 =8

这种方法只要记得直线过抛物线焦点相交后弦长公式，这需要学生要更高的思维训练。 法五

解：由直线方程y=x -1可得直线过了（1,0）点和倾斜角为，

所以直线方程的参数方程为，（t 为参数）

把它带入抛物线方程，得

621=+x x 121=x x AB ]4))[(1(212212x x x x k AB -++=1x 1y 22,y x {142-==x y x y 0162=+-x x 621=+x x AB 21x x +AB 21x x +4π

α2sin 2AB p =

4sin 4

AB 2π=4π

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221

解得

由参数的几何意义得

=

此种方法是由直线的参数方程的几何意义可得。坐标系和参数方程是选修4-4中的内容，每年高考都有一道选做题。 08242=--t t 422,42221-=+=t t AB 821=-t t