综合法与分析法:数学解题运用解析
_高中数学第二章推理与证明2
跟踪练习
(2014~2015·合肥一六八中高二期中)观察下题的解答过
程:
已知正实数 a、b 满足 a+b=1,求 2a+1+ 2b+1的最
大值.
解:∵
2a+1· 2≤
2a+12+ 2
22=a+32,
2b+1· 2
≤
2b+12+ 2
22=b+32,
相 加 得 2a+1 · 2 + 2b+1 · 2 = 2 ( 2a+1 + 2b+1)≤a+b+3=4.
综合法: ∵a、b、c∈R+,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0, ∴2(a2+b2+c2)≥(ab+bc+ac), ∴3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac, ∴3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2, ∴ a2+b32+c2≥a+3b+c.
人教版 选修2-2
第二章 推理与证明
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法
目标导航
• 了解综合法与分析法的特点,熟练应用分析法与综合法证明 命题.
重点难点
• 重点:综合法和分析法的概念及思考过程、特点. • 难点:综合法和分析法的应用.
新知导学
1.综合法证明不等式
• 1.定义 • 利用___已__知__条__件___和某些数学__定__义____、__定__理____、
、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论;
• (2)适用范围:对于一些条件复杂,结构简单的不等式的证明 ,经常用综合法.而对于一些条件简单、结论复杂的不等式 的证明,常用分析法;
• (3)思路方法:分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出 发,逐步寻求使它成立的充分条件,最后得到的充分条件是 已知(或已证)的不等式;
探讨综合法和分析法在初中几何解题中的应用
探讨综合法和分析法在初中几何解题中的应用戴燕红(江苏省天一中学㊀214101)摘㊀要:初中几何解题是初中学习的重要内容ꎬ掌握必要的几何解题方法非常重要.本文就综合法与分析法在初中几何中的应用进行探讨.综合法与分析法并不是孤立存在的ꎬ在初中几何试题求证过程中ꎬ两种方法的运用是密不可分的ꎬ学生通过分析法对几何试题进行分析ꎬ运用综合法对试题进行罗列求证ꎬ最终完成几何试题的求证.关键词:综合法ꎻ解析法ꎻ初中几何解题中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2020)23-0007-02㊀㊀几何解题需要清醒的头脑与沉稳的心情ꎬ不要一看到几何证明题目凭着自己的直觉就开始着手解题ꎬ首先需要运用分析法细致㊁全面地分析几何题目的解题思路ꎬ然后再运用综合法对几何题目整体把控ꎬ开始证明.分析法讲的是以所要证明的几何题目结论为出发点ꎬ向前一步步寻找使其成立的充分条件ꎬ直到找到一个符合题目的条件.综合法讲的是在几何题目证明当中ꎬ通过已知条件开始证明ꎬ解题过程环环相扣ꎬ最终得到几何题目所要证明的结论成立ꎬ简而言之就是通过已知去看可知ꎬ步步接近未知的证明方法.综合法是初中几何试题常用的解题方法.㊀㊀一㊁综合法和分析法在初中几何解题中的应用例1㊀如图1所示ꎬ三角形ABC是一个等腰直角三角形ꎬCF是直角øACB的角平分线ꎬBF是外角øABE的角平分线ꎬCF与BF这两条角平分线相交于点Fꎬ探求øBFC与øBAC之间的数量关系.解㊀根据已知条件ꎬøACB=90ʎꎬCF是øACB的角平分线ꎬ所以øCAB=øBCF=1/2øBCA=45ʎ.因为BF是外角øABE的角平分线ꎬ所以øABF=1/2øEBA=1/2(180ʎ-øCBA)=1/2(180ʎ-45ʎ)=67.5ʎ.所以øFBC=67.5ʎ+45ʎ=112.5ʎꎬ所以øBFC=180ʎ-øFBC-øBCF=180ʎ-112.5ʎ-45=22.5ʎ.又因为øCAB=45ʎꎬ所以øBFC=1/2øBAC.例2㊀如图2所示ꎬ在等腰RtәABC中ꎬøACB=90ʎꎬ点E是әABC之外的一点ꎬ并且øAEC=45ʎꎬ求证线段AEʅBE.首先运用分析法探索几何题目的解题路线:若证明线段AEʅBEꎬ已知øAEC=45ʎꎬ需要证明øBEC=45ʎ.分析到这里ꎬ解题遇到第一个瓶颈ꎬ没有更多的已知条件可用ꎬ我们需要考虑借助辅助线来增加已知条件ꎬ通常会首先考虑具有特殊性的45ʎ角.继续分析:作线段BMʅEC并相交于点Mꎬ须证明线段BM=EMꎬ线段BM处在әBMC当中ꎬ通过看图直觉发现并没有与其全等的三角形ꎬ因此还需要增加一条辅助线构建一个与三角形BMC全等的三角形.已知AC=BCꎬ作线段ANʅEC相交于点Nꎬ得出AN=ENꎬ进而可以运用角角边的全等三角形定理证明әCBM全等于әACNꎬ进一步得到线段BM=CN.因为线段CM=AE=ENꎬ所以线段CN=EMꎬ所以线段BM=EMꎬ所以øBEC=45ʎ.进而得出所需要求证的结论ꎬ线段AEʅBE.㊀㊀二㊁激发学生几何学习兴趣ꎬ促进综合法和分析法在初中几何解题中的应用㊀㊀兴趣是最好的老师ꎬ学生自身对几何学习产生兴趣直接促进综合法和分析法在初中几何解题中的应用.首先ꎬ教师可以举出几何学习中具有代表性㊁通俗易懂的背景材料.举例来讲ꎬ教师在传授学生 平行线 这一概念的时候ꎬ教师可以先让学生们观察铁轨的图片㊁长方形黑板的左右边缘㊁直尺的上下边缘等ꎬ引导学生发现以上例子具有哪些共同点.学生在观察㊁分辨之后ꎬ老师可以让学生举手发言ꎬ同时通过举手数量来初步衡量学生们的观察情况ꎬ然后教师顺理成章地将本节课 平行线 的概念引出来ꎬ学生们就更容易理解 平行线 这一抽象的概念了.其次ꎬ可以通过就具体的实验来调动学生学习几何的积极性ꎬ恰到好处地使用几何教学工具就显得尤为重要ꎬ老师指导学生自己动手开展几何实验ꎬ引导学生主动探索几何的奥秘ꎬ由此一来ꎬ不仅在几何情景课堂创设方面收获意想不到的良好效果ꎬ同时还有助于培养初中学生的学习能力.比如ꎬ在学习证明三角形全等㊁角与角之间的关系时ꎬ教师可以向学生们发出疑问ꎬ两个三角形三个角的度数都一样就是全等三角形吗?学生们几乎都回答是ꎬ然后老师拿出两个角度相同但边长不等的两个三角形卡片ꎬ让学生们动手将两个三角形重合ꎬ学生们在亲自动手实践之后发现ꎬ两个三角形卡片大小不一致ꎬ根本不能说是全等三角形.学生们会继续思考ꎬ具备怎样的条件才能是全等三角形?进而对初中几何的学习兴趣愈加浓厚.在初中数学学习当中ꎬ几何部分的学习对于初中生来讲非常重要ꎬ也是很多学生认为较难的学习内容ꎬ很多几何图形较为抽象ꎬ需要学生在脑海中建立立体模型ꎬ所以ꎬ在初中几何学习中ꎬ教师要逐步降低几何题目的解题难度ꎬ对学生看到几何题目后的解题思路与寻找解题路径能力方面进行强化ꎬ可以借助图形㊁添加辅助线等来找到解题思路ꎬ帮助学生正确运用综合法和分析法ꎬ帮助学生很快解决几何试题的求证ꎬ提高学生几何解题能力.加强师生之间的沟通与交流ꎬ重点监督学生几何试题解题思路能力的掌握程度以及几何图形绘图能力.在学生掌握基础知识的同时ꎬ重点指导学生综合法和解析法在初中几何解题中的应用情况.㊀㊀参考文献:[1]查书平.浅析综合法和解析法在初中几何解题中的应用[J].数学学习与研究ꎬ2019(15):142.[2]黄德诚.浅谈 双垂直模型中的射影定理 在初中几何解题中的应用[J].科学咨询(教育科研)ꎬ2018(11):85.[3]毕明东.基于解题能力培养的初中几何教学探析[J].成才之路ꎬ2018(03):61.[责任编辑:李㊀璟]初中数学课堂激发学生学习兴趣的有效途径党大庆(陕西省咸阳师范学院附属中学㊀712000)摘㊀要:学生对于数学的学习兴趣是学生接受知识ꎬ提升自己数学素养的基础ꎬ教师在实际教学过程中ꎬ应针对性地采用科学且合理的教学方式与手段ꎬ通过激发学习兴趣的方式ꎬ让学生将兴趣转化为学习动力.文章主要分析与介绍激发学习兴趣对于初中数学课堂教学的重要价值与意义ꎬ并且针对当前初中数学教学存在的不足提出强化与激发学生学习兴趣的策略措施ꎬ期望可有效解决当前初中数学课堂教学中存在的部分问题.关键词:初中ꎻ数学课堂ꎻ学习兴趣中图分类号:G632㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1008-0333(2020)23-0008-02㊀㊀初中阶段的学生虽然已经具备一定的认知与理解能力ꎬ但是其各方面的发展整体而言并不完善.因此ꎬ教师在实际的教学过程中应采取科学合理的教学方法ꎬ达到高质量的教学目的.激发学生学习兴趣对于学生的发展有着重要价值与意义ꎬ兴趣是最好的动力ꎬ只有将学生的内在动力激发出来ꎬ才能让学生在实际学习过程中更加的集中与专注ꎬ充分提升学习的效率和质量.㊀㊀一㊁激发学生学习兴趣的重要价值与意义激发学习兴趣一直以来都是提升教学效率与教学质量的重要手段ꎬ教育界一直在致力于探索如何激发学生学习兴趣的有效途径.虽然ꎬ取得了一定的成果ꎬ但是大多停留在理论阶段ꎬ在实际的教学应用过程中还存在部分问题.激发学生学习趣对于教师教学㊁学生学习均有着极其重要的价值与意义ꎬ具体内容如下:1.提供学习动力激发学生学习兴趣对于初中数学教学有着积极的正面意义ꎬ兴趣可作为学生学习数学知识的动力来源之一ꎬ让学生在实际学习的过程中充分将自身的优势发挥出来ꎬ从而达到提升学习效率的目的.初中生正处于快速吸。
京改版九年级数学下册第二十六章 综合运用数学知识解决实际问题重点解析试题(含答案解析)
第二十六章综合运用数学知识解决实际问题重点解析考试时间:90分钟;命题人:数学教研组考生注意:1、本卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分100分,考试时间90分钟2、答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置,如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带,不按以上要求作答的答案无效。
第I卷(选择题 30分)一、单选题(10小题,每小题3分,共计30分)1、由邯郸到北京的某一次列车,运行途中停靠的车站依次是:邯郸—邢台—石家庄—保定—北京,那么要为这次列车制作的火车票有()A.9种B.20种C.10种D.72种2、“算经十书”是指汉唐一千多年间的十部著名数学著作,它们曾经是隋唐时期国子监算学科的教科书,这些流传下来的古算书中凝聚着历代数学家的劳动成果.下列四部著作中,不属于我国古代数学著作的是()A.B.C.D.3、一个物体从A 点出发,沿坡度为1:7的斜坡向上直线运动到B ,AB =30米时,物体升高( )米.A .307B .C .306D .以上的答案都不对4、某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度,在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ,如图所示,量出DF 的影子EF 的长度为1米,再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米,那么旗杆AC 的高度为( )A .6米B .7米C .8.5米D .9米5、为了求2320111+3+3+3++3…的值,可令2320111+3+3+3++3S =…,则233+3+S =320123++3…,因此2012331S S -=-,所以2012312S -=,仿照以上推理计算出2320151+7+7+7++7…的值是( ) A .2015712- B .2016712- C .2015716- D .2016716- 6、已知0a b m >>>,设,,,b m b m a m a m M N P Q a m a m b m b m +-+-====+-+-则M ,N ,P ,Q 四数中最大的是( )A .MB .NC .PD .Q7、大象是世界上最大的陆栖动物,它的体重可达到好几吨,下面哪个动物的体重相当于它的百万分之一( )A .啄木鸟B .蚂蚁C .蜜蜂D .公鸡 8、已知14a a +=,则331a a +=( ) A .64 B .52 C .24 D .169、郑州市某校建立了一个学生身份识别系统.利用图1的二维码可以进行身份识别,图2是某个学生的识别图案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a,b,c,d,那么可以转换为该生所在班级序号,其序号为a×23+b×22+c×21+d×20,如图2第一行数字从左到右依次为0,1,0,1,序号为0×23+1×22+0×21+1×20=5,表示该生为5班学生,请问,表示4班学生的识别图案是()A.B.C.D.10、纳米技术和纳米材料的应用几乎涉及各个领域,纳米指的是( )A.长度单位B.面积单位C.体积单位D.以上都不对第Ⅱ卷(非选择题 70分)二、填空题(5小题,每小题4分,共计20分)1、砸“金蛋”游戏:把210个“金蛋”连续编号为1,2,3,…,210,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎;然后将剩下的“金蛋”重新连续编号为1,2,3,…,接着把编号是3的整数倍的“金蛋”全部砸碎……按照这样的方法操作,直到无编号是3的整数倍的“金蛋”为止.操作过程中砸碎编号是“60”的“金蛋”共________个。
分析综合法
提要分析法就是执果索因的解题方法,即首先抓住问题的结论,追索结论成立的条件,该条件找到后,在追索该条件成立的另一个条件,这样一直追索下去,直到最后出现显然成立的条件;综合法是一种由因索果的解题方法,从顺序上看其与分析法恰好相反,是从已知到未知(即从题设到结论)的推理方。
解题时,分析法和综合法是交替使用的。
知识全解一.分析法的概念解数学问题,若从命题的结论出发,根据已知的定义、公理和定理逐步寻找这个结论成立的条件,直至这个结论成立的条件就是已知条件,这种方法叫作分析法。
它的思维形式是逆向推理。
对问题的分析过程不能代替解答过程的书写,通常是“倒退着分析”,书写解题过程时则需反过来“顺着书写”。
二.综合法的概念解数学问题,若从已知条件出发,运用已学过的公理、定义和定理逐步推理,直到推出结论为止,这种方法叫作综合法。
用综合法进行推理时,语气是肯定的,且每一步推理都必须是正确的。
书写时应先写原因后写结论,一般都用“因为……,所以……”来表述推理。
在叙述过程中,当前面一步陈述的结论,同时是后面一步陈述的条件时,常把后一步推理的条件省略不写。
三.分析综合法的概念对于比较复杂的数学问题,利用分析法和综合法很难解决问题,常常将分析法和综合法结合起来使用。
一方面从已知条件入手,看能推出什么结论;另一方面从结论着眼,想需要找到什么条件,从而找到解题途径。
这种方法称为分析综合法。
寻求解题要因题而异,有时用分析法,有时用综合法;有时用分析法分析思路,用综合法书写表达;有时分析法,综合法同时并用,一边分析,一边综合或交替使用。
四.分析法,综合法的解题策略应用分析法证明数学问题,尤其是证明几何问题时,语言是假定的;若要证明A成立则先证明B成立,若要证明B成立,则先证明C成立……应用综台法时,语气是肯定的,且每一步的推理都必须是正确的。
解题时,分析是为了综合,综合又必须根据分析。
因而有的题目往往同时应用两种方法:一边分析,一边综合,有时甚至交替运用。
小学六年级数学解题技巧方法
小学六年级数学解题技巧方法小学数学是一门很有趣的课程,可以启迪孩子的心智,可以培养孩子的逻辑思维,六年级是学生学习数学的重要阶段,不仅体现在难度上,还体现在应试压力上。
下面是小编为大家整理的关于小学六年级数学解题技巧,希望对您有所帮助!六年级数学题解题小技巧1、以不变应万变阳光印刷厂有150名职工,其中男职工占2/5,后来又进来一批男职工,现在男、女职工人数的比是3:2。
后来又进来多少名男职工?提示:在这一题中,关键是抓住女职工的人数不变,“以静制动”,也就是说女职工从职工总数(150人)的3/5转变成变化后的职工总数的2/5,职工总数的变化原因就是因为又进来了一批男职工,也就先求变化后的单位一。
2、转化单位一兄弟三人合买一幢别墅,老大出50万元,老二出资额是另外两弟兄总额的1/2,老三出资是另外两兄弟总额的1/3.这幢别墅售价多少万元?提示:此题老二出资额是另外两弟兄总额的1/2 ,老二出资额是三弟兄总额的1/3;同理,老三出资是三弟兄总额的1/4,三弟兄总额就是50÷(1-1/3-1/4)=120万元。
3、找对应分率一根绳子用去1/3后,又接上了16米,结果超过了原来的1/5,原来绳子有多长?提示:可以画线段图,明白接上的16米不仅填补了“用去的1/3”,还“超过了原来的1/5”,也就是16米的对应分率是(1/3+1/5)4、理解重点句甲乙两人从AB两地相向而行,甲每小时行50千米,乙每小时行40千米,若干小时后,他们在距离中点30米处相遇,AB两地相距多少千米?提示:此题的“相遇”非“常规相遇”,理解他们在距离中点30米处相遇就是要弄明白甲比乙多走了60千米,而他们的速度差是10千米,相遇时间则是30×2÷(50-40)=6(小时),两地距离也就迎刃而解了。
5、活用假设策略从甲地去乙地,先上坡后下坡,共用5小时,甲乙间相距150千米,上坡速度每小时15千米,下坡速度每小时40千米,问上坡有多少千米?提示:行程问题的题目对学生来说不容易想到“鸡兔同笼”,因此关键是引导学生找等量关系,活用假设策略:假设全当上坡算,则(150-5×15)÷(40-15)=3(小时)就能算出下坡时间。
六年级数学专题复习二
(5)列方程:部分应用题传统的算术方法思考、解答比较困难,而 列方程解应用题,用字母表示未知数,将未知数直接参与计算,思考时 就比较方便。
及路程就是在相同的时间(追及时间)内一方比另一方多走的路程。 在流水问题中,顺水速度=船速+水流速度 逆水速度=船速—水流速
度 典例解析及同步练习
典例1 从A到B是1千米的下坡路,从B到C是3千米的平路,从C到D 是2.5千米的上坡路,小张和小王步行,下坡路速度都是每小时6千米, 平路速度都是每小时4千米,上坡路速度都是每小时2千米。小张和小王 分别从A、D同时出发相向而行,经过多长时间两人相遇?
3、已知大小两个数的差,还知道大数是小数的几倍,求大小两个 数各是多少的应用题,我们通常把它叫做差倍问题。差倍问题也是一种 典型的应用题。那么,如何解决差倍问题呢?和解答和倍问题类似的, 我们仍可以用画线段图的方法来帮助分析、思考,它具有形象、直观等 特点。我们可以通过分析数量关系,发现条件和问题之间的内在联系, 找出解题规律,正确列式解答。常用的数量关系式有:两数差÷(倍数 —1)=小数;小数×倍数=小数+差=大数。 典例解析及同步训练
3、甲河是乙河的支流,甲河水流速度为3千米/时,乙河水流速度 为2千米/时,一艘船沿乙河逆流行驶6小时,行驶84千米到达甲河,在 甲河还要顺流航行133千米,这艘船一共航行多少小时?
4、甲、乙两个码头相距130千米,汽船从乙码头逆流行驶6.5小时 到达甲码头,又知汽船在静水中每小时行驶23千米。汽船从甲码头顺流 开回乙码头需要几小时?
《数学思维方法》题库
小教101班数学思维方法题库一、选择题:1、以下说法正确的是:()见课本P.97~98A.专注与灵感是创造性思维的主要标志。
B.发散性思维与收敛性思维结合是创造性思维的基本图式。
C.积极的创造是创造性思维的重要环节。
D.创见性与新颖性是创造性思维的重要特点。
答案:B2、下列关于数学概念之间的关系的说法中错误的是()A最小的质数与最小的正偶数这两个概念是同一关系B平行四边形与长方形这两个概念是从属关系C等腰梯形与直角梯形这两个概念是矛盾关系D等腰三角形与直角三角形这两个概念是交叉关系答案:C。
(分值:3分)解释:C选项的说法是错误的,等腰梯形与直角梯形的外延互相排斥,尽管它们都包含于梯形的概念之中,它们是对立关系而不是矛盾关系。
A选项正确,最小的质数和最小的正偶数均为2,这两个概念的外延相同,为同一关系;B选项正确,平行四边形包含长方形,长方形属于平行四边形的一种,页脚内容1二者为从属关系;D选项正确,等腰直角三角形就是等腰三角形和直角三角形这两个概念的重合,二者为交叉关系。
3、分析法与综合法的区别在于A.分析法、综合法——已知到未知B. 分析法——已知到未知、综合法——未知到已知C.分析法、综合法——未知到已知D. 分析法——未知到已知、综合法——已知到未知答案:D4、选择题:在△ABC中,求cosA+ cosB+ cosC的最大值( )A.3B. 2C. 1.5D. 1参考答案:解题思路(直觉思维):可以从三角形内角和与三角函数值的角度直觉的猜得,即A=B=C=60°时可取得最大值1.5。
4x-4 x≤ 15、f (x)={ 求与g(x)=log2X的交点数量()x^2-4x +3 x>1页脚内容2A. 1B.2C. 3D.4答案是C6、一个多边形的内角和为720°,这是一个()边形。
(3分)A. 四B.五C.六D.七答案:BC7、在指导学生运用观察与实验的方法学习数学时,应注重数学自身的结构,鼓励学生的_________,增强学生对数学的兴趣与信心,学会运用数学_________。
分析法——精选推荐
分析法分析演绎归纳类⽐推理分析法是"综合法"的对称。
把复杂的经济现象分解成许多简单组成部分,分别进⾏研究的⽅法。
其实质是: 通过调查研究,找出事物的内在⽭盾,并对⽭盾的各个⽅⾯进⾏深⼊研究。
剔除那些偶然的、⾮本质的东西,抽象出必然的、本质的因素,并由此得出⼀些反映本质的简单规定,以把握⽭盾的各个⽅⾯的特殊性。
分析法所提供的只是对于经济现象的⽚⾯理解,它还不能从总体上、从各个部分之间的相互联系上来把握经济现象。
因此,在分析的基础上,还必须运⽤综合的⽅法,使分析得到的各个⽅⾯的本质规定,按照经济现象内在的逻辑联系,形成有机的体系,这样才能全⾯、深刻地认识经济现象,提出解决问题的有效办法。
从已知数量与已知数量的关系⼊⼿,逐步分析已知数量与未知数量的关系,⼀直到求出未知数量的解题⽅法叫做综合法。
分析法--通过对事理原因或结果的周密分析,从⽽证明论点的正确性、合理性的论证⽅法。
也称为因果分析。
事物都有⾃⼰的原因和结果。
从结果来找原因,或从原因推导结果,就是找出事物产⽣、发展的来龙去脉和规律,这就起到了证明论点的合理性和正确性的作⽤。
综合分析法是指运⽤各种统计综合指标来反映和研究社会经济现象总体的⼀般特征和数量关系的研究⽅法。
主要释义1.从求解的问题出发,正确地选择出两个所需要的条件,依次推导,⼀直到问题得到解决的解题⽅法叫做分析法。
2.⽤分析法解题时如果解题所需要的两个条件,(或其中⼀个条件)是未知的时候,就要分别求解找出这两个(或⼀个)的条件,⼀直到问题都是已知的时候为⽌。
3.分析法指从要证的结论出发,逐步寻求使它成⽴的充分条件,直到归结为判定⼀个显然成⽴的条件(已知量、定义、公理、定理、性质、法则等)为⽌,从⽽证明论点的正确性、合理性的论证⽅法。
也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。
数学思想从求证的不等式出发,"由果索因",逆向逐步找这个不等式成⽴需要具备的充分条件。
分析法 证明辨析(精选多篇)
分析法证明辨析(精选多篇)分析法证明辨析师:我们已经学习了综合法证明不等式.综合法是从已知条件入手去探明解题途径,概括地说,就是"从已知,看已知,逐步推向未知".综合法的思路如下:(从上往下看)(用投影片)师:其中,a表示已知条件,由a可以得到它的许多性质,如b,b1,b2,而由b又可以得到c,由b1还可以得到c1,c2,由b2又可以得到c3,…,而到达结d的只有c,于是我们便找到了a→b→c→d这条通路.当然,有时也可以有其他的途径达到d,比如a→b1→c1→d等.但是有许多不等式的证明题,已知条件很隐蔽,使用综合法证明有一定困难.这一命题若用综合法证明就不知应从何处下手,今天我们介绍用分析法证明不等式,来解决这个问题.(复习了旧知识,并指出单一用综合法证明的不足之处,说明了学习分析法的必要性)分析法是从结论入手,逆求使它成立的充分条件,直到和已知条件沟通为止,从而找出解题途径.概括地说,就是"从未知,看需知,逐步靠拢已知".分析法的思路如下:(从下往上看)(用投影片)师:欲使结论d成立,可能有c,c1,c2三条途径,而欲使c成立,又有b这条途径,欲使c1成立,又有b1这条途径,欲使c2成立,又有b2,b3两条途径,在b,b1,b2,b3中,只有b可以从a得到,于是便找到了a→b→c→d这条解题途径.(对比综合法叙述分析法及其思路,便于学生深刻理解分析法的实质及其与综合法的关系)师:用分析法-论证"若a到b"这个命题的模式是:(用投影片)欲证命题b为真,只需证命题b1为真,只需证命题b2为真,只需证命题a为真,今已知a真,故b必真.师:在运用分析法时,需积累一些解题经验,总结一些常规思路,这样可以克服无目的的乱碰,从而加强针对性,较快地探明解题途径.下面举例说明如何用分析法证明不等式.首先解决刚才提出的问题.(板书)(此题以教师讲解,板书为主,主要讲清证题格式)师:请看投影,这个题还有一种证法.(投影片)师:这种证法是综合法.可以看出,综合法有时正好是分析过程的逆推.证法2虽然用综合法表述,但若不先用分析法思索,显然用综合法时无从入手,有时综合法的表述正是建立在分析法思索的基础上,分析法的优越性正体现在此.师:若此题改为下面的证法是否有错?(投影片)①②③④⑤⑥只需证63<64,⑦因为63<64成立,⑧⑨(学生自由讨论后,请一位同学回答)生:我认为第②步到⑦步有错,不等式①两边都是负的,不能平方.师:这位同学找到了证明过程中的错误,但错误原因叙述得不够准确.这种证法错在违背了不等式的性质.若a>b>0,则a2>b2;若a第二篇:病句辨析—结构分析法病句辨析—结构分析法一、方法解读经常考查及设误的标点符号不多,只要掌握几种特殊标点符号的正确用法及常见错误类型。
北师大版高中数学选修(2-2)-1.2分析法与综合法的区别和联系
分析法与综合法的区别和联系一、知识要点:综合法与分析法是中学数学解题思想中最基本的两种方法.所谓综合法,是指“由因导果”的思想方法,即从已知条件或某些已经证明过的结论出发,不断地展开思考,去探索结论的方法.综合法的思维过程的全貌可概括为下面形式:“已知…可知1…可知2…结论”.所谓分析法,是指“执果索因”的思想方法,即从结论出发,不断地去寻找须知,直至达到已知事实为止的方法.分析法的思维过程的全貌可概括为下面形式:“结论须知1须知2…已知”;基本步骤:要证……只需证……,只需证……①“分析法”证题的理论依据:寻找结论成立的充分条件或者是充要条件②“分析法”证题是一个非常好的方法,但是书写不是太方便,所以我们可以利用分析法寻找证题的途径,然后用“综合法”进行表达⑴用分析法和综合法证明不等式常要用等价转化的数学思想的换元的基本方法⑵用分析法探索证明的途径,然后用综合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要的数学思想方法⑶“分析法”证明不等式就是“执果索因”,从所证的不等式出发,不断利用充分条件或者充要条件替换前面的不等式,直至找到显然成立的不等式,书写方法习惯上用“ ”来表达分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用,两个重要策略原则是:正难则反原则:若从正面考虑问题比较难入手时,则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法,即我们常说的逆向思维,由结论向条件追溯简单化原则:寻求解题思路与途径,常把较复杂的问题转化为较简单的问题,在证明较复杂的不等式时,可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化,得到一个较易证明的不等式。
二、综合应用(2)综合证明表述如下:∵ AF是直线,且∠1=∠2(已知),∴∠3=∠4(等量减等量其差相等).又∵ BE=CD(已知),BC=BC(公共边),∴△EBC≌△DCB(边角边).∴ BD=CE(全等三角形对应边相等).例1 已知AD是∠BAC的平分线,DE∥CA,且交AB于E(如图).求证:DE=AE.思路分析(1)用综合法探求,其思路如下: (2)用分析法探求,其思路如下:至此,恰好是题设条件,问题得到解决.评述:由于分析是执果索因,立足于寻找欲证结论的合适的充分条件,利于思考;而综合法是由因导果,立足于寻找已知条件合适的必要条件,适宜于表述.因此,对于一个新的问题,多半采取先用分析法寻求解法,后用综合法有条理地表述.例如对下面这道数学问题:例2 已知AF是直线,∠1=∠2,BE=CD,如图4-4.求证:BD=CE.思路分析 (1)分析思路如下:至此步骤,均为题设中提供的条件,问题获得解决.。
高中数学综合法与分析法
高中数学综合法与分析法高中数学的综合法与分析法是高中数学教学的两种基本方法。
这两种方法虽然有不同的教学目标和教学内容,但都是为了提高学生的数学能力和数学思维,培养学生的数学兴趣和数学素养。
综合法是指将数学的各个分支有机地结合起来,使学生在学习中能够全面地认识数学的发展和应用。
综合法要求学生从整体上理解数学的概念和原理,学会将所学的知识和技巧应用到实际问题中,并且能够解决复杂的综合性问题。
综合法注重学生的思维能力和合作能力的培养,鼓励学生主动探索和发现问题,并通过合作解题、讨论与思考来提高学生的综合素质。
高中数学综合法和分析法在教学方法上有着不同的特点和优势。
综合法注重培养学生的合作精神和团队意识,通过合作解题和实际问题的分析解决来提高学生的综合素质和实际应用能力。
综合法能够激发学生的学习兴趣和主动性,培养学生的创新精神和解决问题的能力。
而分析法则注重发展学生的逻辑思维和推理能力,通过逐步分析和推导,使学生能够深入地理解和掌握数学的基本概念和原理。
分析法能够提高学生的数学思维和抽象能力,培养学生的数学思维方式和问题解决能力。
高中数学的综合法和分析法在教学中可以相互融合和补充,形成一种有机的教学体系。
在教学中,可以根据教学目标和教学内容的不同,灵活运用综合法和分析法,使学生能够全面地认识和理解数学的各个分支,掌握数学的基本方法和技巧,培养学生的数学思维和创新能力。
同时,教师应注重培养学生的数学素养和学习能力,引导学生主动参与到课堂教学中,提高学生的学习兴趣和能动性。
总之,高中数学的综合法和分析法是高中数学教学的两种基本方法。
综合法和分析法在教学方法上有着不同的特点和优势,能够有效地提高学生的数学能力和数学思维,培养学生的数学兴趣和数学素养。
在教学中,教师应根据教学目标和教学内容的不同,灵活运用综合法和分析法,使学生能够全面地理解和掌握数学的各个分支和基本原理,提高学生的数学思维和解决问题的能力。
综合法和分析法在初中几何解题中的应用探讨
综合法和分析法在初中几何解题中的应用探讨摘要:内容复杂、形式多变的几何习题始终是初中数学教学中的难点与重点。
本文从综合法和分析法的内涵出发,深入探讨初中几何解题中综合法和分析法的具体特征与应用效果,并以此为基础全面对初中几何解题的现状进行分析,进而围绕实际例题对综合法和分析法在初中几何解题中的具体运用展开阐述,以期为相关教学工作者的内容设计与教学实践提供有效的参考经验。
关键词:综合法;分析法;初中几何解题;应用探讨前言:作为数学教学的成果体现,学生的几何习题解题能力不仅是学生应对考试的重要倚仗,更是实现数学学科素养培育的关键跳板。
但受教学形式与学科能力的限制,大部分学生并未针对初中数学几何习题的解题方法形成明确认识、构建完善体系,导致其几何学习出现困难,无法充分应用已掌握的学科概念参与解题活动,继而丧失学习数学的信心与积极性。
在这种态势下,综合法和分析法这两种常见解题方法在初中几何解题中的应用分析就成为一线教学工作者关注的话题。
一、综合法和分析法的内涵作为初中几何解题的常用办法,综合法主要利用已经证明过的定理与不同几何图形的具体形制推导出所要证明的内容成立;其强调正向思维逻辑下的“执因求果”,要求学生通过对图形直观分析与文字逻辑论证的深度结合,将已有的图形结构、文字条件与论证结论梳理为完整的解题过程,从而将题干信息与学科概念进行整合联系,得出结论。
相较于综合法,分析法则从求证的结论出发,分析使这个结论成立的充分条件,并将证明结论转化为判定这些充分条件是否具备的问题;其强调逆向思维逻辑下的“执果索因”,要求学生通过完善的学科知识体系与逻辑思维能力追溯结论这一因素,通过反推的形式逐步整理使结论成立的充分条件,理清题目的线索链条,从而最终解决问题[1]。
二、初中几何解题教学的现状分析初中几何习题因其内容复杂、形式多变,向来是初中数学教学中的重点与难点,也正是因此,在进行几何习题解题方法的教授时常出现以下问题:(1)课前预习与课后复习的缺位。
分析与综合法
AD BD
1
4.前进型分析法 这种分析法,其思路是从整体物中已经成立的某 一部分出发,运用已有的知识逐步寻找并扩展到 其它部分成立的条件,最终挺进到原事物成立的 必要条件,也就是原命题成立的必要条件。
数论常用的方法
例3 设在一个由实数组成的有限数列中,任意7个相继项的 和都是负数,而任意11个相继项的和都是正数,试问,这 样的数列最多能包含多少项。 解:从已经明确的部分出发,即(最小项) ∵a1+…+a7<0,a1+a2+…+a11>0, ∴a8+a9+…+a11>0。(由已知:到11项是已成立的部分) 顺序往前推进,可得a11+a12+…+a14>0,则有 a8+a9+…+2a11+…+a14>0。 但∵ a8+a9+…+a14<0,∴a11>0。(从11进到14,得a11>0) 用同样的方法,顺序往前推进,可得a12>0,a13>0,因 而a11+a12+a13>0,(推至16项)但因为a11+a12+…+a17<0, ∴a14+…+a17<0。(考察17项) 另一方面,从a7+…+a17>0及a7+…+a13<0,可得 a14+…+a17>0。与前矛盾,因此项数≤16。(从11前进到17项, 第17项不成立,故只能是≤16)
分析与综合法
一、分析法与数学解题的分析法 1、分析法:把研究的对象分为各个组成部分,各个不同的 因素、不同的层次,然后分别地加以研究探索,从而认识 和理解事物的一种方法,这是方法论中的分析法,也是数 学思想方法中的分析法。 2、数学解题中的分析法: 指从结果追溯到其产生的原因的思维方法,它是从所需要 论证的结论出发,以一系列的已知定义、定理为依据逐步 逆推,从而达到已知条件(也叫执果索因)
小学数学六种常见解题方法和技巧
小学数学解题方法和技巧中小学数学,还包括奥数,在学习方面要求方法适宜,有了好的方法和思路,可能会事半功倍!那有哪些方法可以依据呢?希望大家能惯用这些思维和方法来解题!1形象思维方法形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。
它的思维基础是具体形象,并从具体形象展开来的思维过程。
形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。
它的认识特点是以个别表现一般,始终保留着对事物的直观性。
它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。
它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象,对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律,或求出对象。
它的思维目标是解决实际问题,并且在解决问题当中提高自身的思维能力。
01实物演示法利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题,及条件与条件,条件与问题之间的关系,在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。
这种方法可以使数学内容形象化,数量关系具体化。
比如:数学中的相遇问题。
通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语,而且为学生指明了思维方向。
二年级数学教材中,“三个小朋友见面握手,每两人握一次,共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数,共可以摆成多少个两位数”。
像这样的有关排列、组合的知识,在小学教学中,如果实物演示的方法,是很难达到预期的教学目标的。
特别是一些数学概念,如果没有实物演示,小学生就不能真正掌握。
长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习,都依赖于实物演示作思维的基础。
02图示法借助直观图形来确定思考方向,寻找思路,求得解决问题的方法。
图示法直观可靠,便于分析数形关系,不受逻辑推导限制,思路灵活开阔,但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上,一旦图示与实际情况不相符,易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区,最后导致错误的结果。
在课堂教学当中,要多用图示的方法来解决问题。
有的题目,图画出来了,结果也就出来的;有的题,图画好了,题意学生也就明白了;有的题,画图则可以帮助分析题意、启迪思路,作为其他解法的辅助手段。
分析与综合法
由A、B、C成等差数列→B=60° →b² =a² +c² -2accosB=a² +c² -ac。 思路接近,整理一下即得完整的证明。(从两 条线进行考察)
二、综合法
1、综合法:把研究的对象的各部分、方面、因素都联系起 来加以研究考察,从而在整体上认识和掌握事物的本质属 性和规律的一种思维方法。 特点是:从事物各部分、方面、因素的特点和属性出发寻找 内在联系,然后再去认识事物的整体规律。 2、数学解题中的综合法:指从已知的定义、定理、条件出 发,逐步推演从而导致所求结论的一种方法,是由因索果 的方法。 3、分析法与综合法混合使用 思维层面:解决问题总是从分析模式开始,找到方法后再 综合理解和表达出来。 方法层面:分析法和综合法是解决问题时的两种表达方式 4、联合使用二者的优势:目的性更明确;整体性更充分。
例2 已知A、B为锐角三角形之二内角,求证tgA· tgB>1。 证明 • 考虑到tgA· tgB,可作CD⊥AB,则应有 (要证明结论, 也就是要证) CD 2
tan A tan B
即 CD² >AD· BD。 我们希望能在CD所在直线上找一点E,使得ED² = AD· BD,且有CD>ED。(是否存在这样的点E?不明确) 假设这个不明确的部分是成立的,则E点应在CD内。通 过已有的知识和C是锐角, 我们很快知道E点即是以AB为直径的半圆与CD的交点,且落 在CD内,即原命题是成立的。
例1 若x、y、z为互不相等的正数,求证
证明 把要求证的不等式看成是一个整体事物,并假设其 成立。 然后变形(即把它分解成一些适当的部分,以找出能解决 问题的一种分解形式),即需证明
那么,原不等式做为一个整体,就可分解成以下三个部分 , 且有 这三个部分按题设条件是成立的,所以原不等式成立
高中数学第一章-2.2
2.2分析法[学习目标]1.理解分析法的意义,掌握分析法的特点.2.会用分析法解决问题.3.会综合运用分析法、综合法解决数学问题.[知识链接]用分析法证明不等式时,是否要找使结论成立的充要条件?分析法证题过程如何写?答(1)证明不等式时往往误用分析法,把“逆求”作“逆推”,分析法过程没有必要“步步可逆”,仅需寻求充分条件即可,而不是充要条件.(2)分析法的过程要正确使用一些联结关联词,如“要证明”“只需证明”“即证”等.[预习导引]1.分析法的定义从求证的结论出发,一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件,直到归结为这个命题的条件,或者归结为定义、公理、定理等,这种思维方法称为分析法.2.分析法证明的思维过程用Q表示要证明的结论,则分析法的思维过程可用框图表示为:Q⇐P1―→P1⇐P2―→P2⇐P3―→…―→得到一个明显成立的条件3.综合法和分析法的综合应用在解决问题时,我们经常把综合法和分析法结合起来使用:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q′;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P′.若由P′可以推出Q′成立,即可证明结论成立.要点一 用分析法证明不等式 例1 已知a ,b 是正实数,求证:a b +ba≥a +b . 证明 要证a b +ba≥a +b . 只需证a a +b b ≥ab (a +b ). 即证(a +b -ab )(a +b )≥ab (a +b ). 即证a +b -ab ≥ab . 也就是要证a +b ≥2ab .因为a ,b 为正实数,所以a +b ≥2ab 成立. 所以a b +ba≥a +b . 规律方法 (1)对于一些含有分式、根式、对数式、指数式的不等式(等式)的命题不便于用综合法证明时,常常考虑用分析法证明.(2)分析法证明命题成立必须保证步步有理有据,转化合理,得到的结果必须是显然的,如已知条件、定理、定义、公理等.(3)本题中立方和公式a a +b b =(a +b -ab )(a +b )的应用比较关键,解题时应注意合理的应用.跟踪演练1 已知a 、b 是正实数,求证:a +b 2≥21a +1b .证明 要证a +b 2≥21a +1b ,由于a ,b 是正实数,1a +1b >0, 只需证:(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b ≥4,即证:1+b a +1+ab ≥4, 也就是证b a +ab ≥2,因为a ,b 为正实数,所以b a +ab ≥2成立. 所以a +b 2≥21a +1b.要点二 用分析法证立体几何问题例2 如图所示,SA ⊥平面ABC ,AB ⊥BC ,过A 作SB 的垂线,垂足为E ,过E 作SC 的垂线,垂足为F ,求证:AF ⊥SC . 证明 要证AF ⊥SC ,只需证SC ⊥平面AEF , 只需证AE ⊥SC (因为EF ⊥SC ). 只需证AE ⊥平面SBC , 只需证AE ⊥BC (因为AE ⊥SB ), 只需证BC ⊥平面SAB , 只需证BC ⊥SA (因为AB ⊥BC ),由SA ⊥平面ABC 可知,上式成立.∴AF ⊥SC .规律方法 立体几何问题证明中,由于垂直、平行关系较多,不容易确定如何在证明过程中使用条件,因此利用综合法证明比较困难.这时,可用分析法.跟踪演练2 如图,AB 为圆O 的直径,圆O 在平面α内,SA ⊥平面α,∠SBA =30°,动点P 在圆O 上移动(与A 、B 两点不重合),以点N ,M 表示点A 在SP ,SB 上的射影.用分析法证明AN ⊥平面SPB . 证明 要证明AN ⊥平面SPB ,只需证明AN 垂直于平面SBP 内的两条相交直线.由已知条件AN ⊥SP ,所以只需证明AN ⊥BP 或AN ⊥SB .因为SA ⊥平面α,所以SA ⊥BP .又因为AB 为圆O 的直径,P 为圆O 上异于A ,B 的点,所以AP ⊥BP .又因为SA ∩AP =A ,所以BP ⊥平面SAP . 因为AN 在平面SAP 内, 所以AN ⊥BP . 于是问题得证.要点三 综合法和分析法的综合应用例3 已知a 、b 、c 是不全相等的正数,且0<x <1. 求证:log x a +b 2+log x b +c 2+log x a +c2<log x a +log x b +log x c . 证明 要证明:log x a +b 2+log x b +c 2+log x a +c2<log x a +log x b +log x c , 只需要证明log x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2·b +c 2·a +c 2<log x (abc ).由已知0<x <1,只需证明a +b 2·b +c 2·a +c2>abc . 由公式a +b 2≥ab >0,b +c2≥bc >0, a +c2≥ac >0.又∵a ,b ,c 是不全相等的正数, ∴a +b 2·b +c 2·a +c2>a 2b 2c 2=abc . 即a +b 2·b +c 2·a +c2>abc 成立.∴log x a +b 2+log x b +c 2+log x a +c2<log x a +log x b +log x c 成立.规律方法 综合法推理清晰,易于书写,分析法从结论入手,易于寻找解题思路,在实际证明命题时,常把分析法与综合法结合起来使用,称为分析综合法,其结构特点是:根据条件的结构特点去转化结论,得到中间结论Q ;根据结论的结构特点去转化条件,得到中间结论P ;若由P 可推出Q ,即可得证.跟踪演练3 设实数a ,b ,c 成等比数列,非零实数x ,y 分别为a 与b ,b 与c 的等差中项,试证:a x +c y =2.证明 由已知条件得b 2=ac ,① 2x =a +b,2y =b +c .②要证a x +cy =2,只要证ay +cx =2xy , 只要证2ay +2cx =4xy .由①②得2ay +2cx =a (b +c )+c (a +b )=ab +2ac +bc ,4xy =(a +b )(b +c )=ab +b 2+ac +bc =ab +2ac +bc ,所以2ay +2cx =4xy .命题得证.1.分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的( ) A .充分条件 B .必要条件 C .充要条件 D .等价条件答案 A 2.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接证明法;⑤分析法是逆推法. 其中正确的语句有( )A .2个B .3个C .4个D .5个 答案 C解析 ①②③⑤正确.3.要证:a 2+b 2-1-a 2b 2≤0,只要证明( ) A .2ab -1-a 2b 2≤0 B .a 2+b 2-1-a 4+b 42≤0C.(a +b )22-1-a 2b 2≤0D .(a 2-1)(b 2-1)≥0答案 D4.欲证2-3<6-7成立,只需证( ) A .(2-3)2<(6-7)2 B .(2-6)2<(3-7)2 C .(2+7)2<(3+6)2D.(2-3-6)2<(-7)2答案C解析根据不等式性质,a>b>0时,才有a2>b2,∴只需证:2+7<6+3,只需证:(2+7)2<(3+6)2.1.分析法的特点(1)分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是寻找使结论成立的充分条件.(2)分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已知条件、定义、公理、定理等.2.分析法证题的书写格式用分析法书写证明过程时的格式为:“要证……,只需证……,只需证……,…由于…显然成立(已知,已证…),所以原结论成立.”其中的关联词语不能省略.3.综合法与分析法的比较(1)综合法是由因导果,步骤严谨、逐层递进、步步为营,书写表达过程条理清晰、形式简洁,宜于表达推理的思维轨迹.缺点是探路艰难、困于思考、不易达到所要证明的结论.(2)分析法是执果索因,方向明确、利于思考、思路自然,便于寻找解题思路.缺点是思路逆行、易表述出错.一、基础达标1.在△ABC中,tan A·tan B>1,则△ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A解析tan A·tan B>1,∴tan A>0,tan B>0,∴A、B为锐角,又tan (A+B)=tan A+tan B1-tan A tan B<0,∴A+B>π2,∴C<π2,∴△ABC是锐角三角形,故选A.2.设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若关于x的不等式f(x-1)≥0的解集为[0,1],则关于x的不等式f(x+1)≤0的解集为()A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞)C.[-2,-1] D.(-∞,-2]∪[-1,+∞)答案D解析将函数y=f(x-1)的图像向左平移2个单位得到函数y=f(x+1)的图像,不等式f(x-1)≥0的解集为[0,1],所以y=f(x-1)的图像是开口向下的拋物线,与x轴的交点为(0,0),(1,0).不等式f(x+1)≤0的解集为(-∞,-2]∪[-1,+∞),故选D.3.已知p=a+1a-2(a>2),q=2-a2+4a-2(a>2),则()A.p>q B.p<q C.p≥q D.p≤q 答案A解析p=a-2+1a-2+2≥2+2=4,q=2-(a-2)2+2,∵a>2,∴-(a-2)2+2<2,∴q<22=4,∴p>q.4.设0<x<1,则a=2x,b=1+x,c=11-x中最大的一个是()A.a B.b C.c D.不能确定答案C解析易得1+x>2x>2x.∵(1+x)(1-x)=1-x2<1,又0<x<1,即1-x>0,∴1+x <11-x. 5.等式“sin x 1+cos x =1-cos x sin x ”的证明过程“等式两边同时乘以sin x1-cos x 得,左边=sin x 1+cos x ·sin x 1-cos x =sin 2x 1-cos 2x =sin 2xsin 2x=1,右边=1,左边=右边,故原等式成立”应用了________的证明方法.(填“综合法”或“分析法”) 答案 综合法6.在同一平面内,已知OP 1→+OP 2→+OP 3→=0,且|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|,则△P 1P 2P3的形状是________. 答案 等边三角形解析 因为|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|,三个向量在同一平面内,且OP 1→+OP 2→+OP 3→=0,所以三个向量间两两所成角相等,如图所示,顺次连结P 1,P 2,P 3,得P 1P 2=P 1P 3=P 2P 3,所以三角形P 1P 2P 3为等边三角形. 7.设a ≥b >0,求证:3a 3+2b 3≥3a 2b +2ab 2.证明 法一 3a 3+2b 3-(3a 2b +2ab 2)=3a 2(a -b )+2b 2(b -a )=(3a 2-2b 2)(a -b ). 因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,3a 2-2b 2>0,从而(3a 2-2b 2)(a -b )≥0, 所以3a 3+2b 3≥3a 2b +2ab 2.法二 要证3a 3+2b 3≥3a 2b +2ab 2,只需证3a 2(a -b )-2b 2(a -b )≥0, 只需证(3a 2-2b 2)(a -b )≥0,∵a ≥b >0.∴a -b ≥0,3a 2-2b 2>2a 2-2b 2≥0, ∴上式成立. 二、能力提升8.如果正数a 、b 、c 、d 满足a +b =cd =4,那么( ) A .ab ≤c +d ,且等号成立时,a 、b 、c 、d 的取值唯一 B .ab ≥c +d ,且等号成立时,a 、b 、c 、d 的取值唯一 C .ab ≤c +d ,且等号成立时,a 、b 、c 、d 的取值不唯一 D .ab ≥c +d ,且等号成立时,a 、b 、c 、d 的取值不唯一答案 A解析 ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a +b 22=4,4=cd ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫c +d 22,∴2≤c +d 2, ∴c +d ≥4故ab ≤c +d ,当且仅当a =b =c =d =2时等号成立.9.设x ,y ,z 为正实数,满足x -2y +3z =0,则y 2xz 的最小值为________. 答案 3解析 由x -2y +3z =0得y =x +3z 2,则y 2xz =x 2+9z 2+6xz 4xz ≥6xz +6xz4xz =3,当且仅当x =3z 时等号成立.10.当x ∈(1,2)时,不等式x 2+mx +4<0恒成立,则m 的取值范围是________. 答案 m ≤-5解析 因为x ∈(1,2),所以x 2+mx +4<0⇔m <-x -4x .因为y =-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x 在(1,2)上单调递增,所以-⎝ ⎛⎭⎪⎫x +4x ∈(-5,-4),所以m ≤-5.11.若a ,b ∈(0,+∞),且2c >a +b ,求证:c -c 2-ab <a <c +c 2-ab . 证明 要证c -c 2-ab <a <c +c 2-ab ⇐-c 2-ab <a -c <c 2-ab ⇐|a -c |<c 2-ab ⇐(a -c )2<c 2-ab ⇐a 2-2ac +ab <0 ⇐a (a +b -2c )<0.而a >0,即需证a +b -2c <0 ⇐a +b <2c ,已知.∴c -c 2-ab <a <c +c 2-ab .12.已知1-tan α2+tan α=1,求证:cos α-sin α=3(cos α+sin α).证明 要证cos α-sin α=3(cos α+sin α), 只需证cos α-sin αcos α+sin α=3,只需证1-tan α1+tan α=3,只需证1-tan α=3(1+tan α),只需证tan α=-12, ∵1-tan α2+tan α=1,∴1-tan α=2+tan α, 即2tan α=-1.∴tan α=-12显然成立, ∴结论得证. 三、探究与创新13.函数f (x )=ax 2+2(b +1)x ,g (x )=2x -c ,其中a >b >c ,且a +b +c =0. (1)求证:13<a a -c<23;(2)求证:f (x ),g (x )的图像总有两个不同的交点;(3)设f (x ),g (x )的图像有两个交点A 、B ,求证:15<|AB |<215. 证明 (1)因a -c >0,欲证13<a a -c <23,只需证a -c <3a <2a -2c .由a >b >c ,a +b +c =0,得⎩⎨⎧a +(a +c )>0,-a -c >c ,进而可推出a -c <3a <2a -2c 成立. 所以原不等式得证.(2)由⎩⎨⎧y =ax 2+2(b +1)x ,y =2x -c ,消去y ,得ax 2+2bx +c =0①由a +b +c =0得Δ=4b 2-4ac =4(a +c )2-4ac =4⎝ ⎛⎭⎪⎫a +c 22+3c 2>0.故f (x ),g (x )的图像总有两个不同的交点.(3)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)对于①式,由根与系数的关系,得x 1+x 2=-2ba,x 1x 2=ca .又y 1=2x 1-c ,y 2=2x 2-c ,a +b +c =0. ∴|AB |2=(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=(x 1-x 2)2+[(2x 1-c )-(2x 2-c )]2 =(1+22)[(x 1+x 2)2-4x 1x 2]=(1+22)×⎝ ⎛⎭⎪⎫4b 2a 2-4c a =20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫c a +122+34. ∵a >b >c ,a +b +c =0,∴1>b a >c a .∴c a =-1-b a <-1-c a ,即c a <-12,又c a =-1-b a >-1-1=-2,∴-2<c a <-12.∴15<|AB |2<60. 故15<|AB |<215.高考数学:试卷答题攻略一、“六先六后”,因人因卷制宜。
综合法与分析法
定义: 一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求推证过程中,使每
一步结论成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止, 这种证明的方法叫做分析法(逆推证法)。特点:执果索因
分析法的框图表示:
Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 得到一个明显成立的条件
2.函数 f(x)=xlo|xg|a|x|(0<a<1)的图象大致是
中物理
解析 取 a=12,当 x=2 时,f(2)=-1<0,排除 A,B; 当x=-2时,f(-2)=1>0,排除D,故选C.
3.设a,b∈(0,+∞),且a≠b,a+b=2,则必有
a2+b2 A.1≤ab≤ 2
√ a2+b2
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q
用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表 示所要证明的结论.
1.从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,由因导果,其 逐步推理实质上是寻找它的 必要条件 . 2.用综合法证明不等式,其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、 形式简洁.
综合法 分析法
综合法和分析法,是直接证明中最基本的两种证明方 法,也是解决数学问题时常用的思维方式.
不等式:a
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证明.
运用以前学过的数学知识,大家自己证明试试看!
证明:
∵ ( a b)2 0
∴ a + b 2 ab 0
∴ a + b 2 ab
∴
a+b 2
ab
又∵ c2+b2 ≥ 2bc,b>0 ∴ b(c2+a2) ≥ 2abc.
浅谈分析法和综合法在初中数学中的应用
浅谈分析法和综合法在初中数学中的应用作者:莫学欢来源:《课程教育研究·学法教法研究》2017年第15期【摘要】分析法与综合法这两种方法是在初中数学的学习中比较常用到的,它不仅可以用于概念的分析和学习过程中,还可以用于解答数学问题的过程。
在本文中,我将为大家谈谈初中数学学习中所常用到的分析法与综合法。
【关键词】分析法;综合法;初中数学【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 2095-3089(2017)15-0-01一、初中数学为何需要分析法与综合法?新课标虽然对初中数学证明的内容进行了调整、难度要求降低、证明技巧淡化,但对数学几何证明教学的最基本能力要求其实并没有降低,课标中已明确指出:在“图形与几何”的教学中,应帮助学生建立空间观念,注重培养学生的几何直观与推理能力。
虽然新的课程理念要求,推理过程不能过繁,一切从简,但证明的过程要求做到事实准确、道理严密、证明过程完整。
数学几何证明作为初中数学教与学的一个重点和难点,其难点在于如何运用众多的定义、定理等寻找证明思路,从而提高学生分析问题、严密逻辑思维推理、语言组织表达等能力。
而教师在平时教学中常常遇到学生不知从何下手,分析思维模糊不清,书写证明张冠李戴,欠缺严密逻辑推理等,更有甚者是毫无头绪。
初中学生的数学学习在内容上要经历从“直观”到“论证”的转轨。
在思维方式上需要解决从“形象思维”到“逻辑思维”的过渡,而学生开始学习数学几何证明,没有适应论证数理的答题模式、语言表达方面的特别要求,从而难以适应从直观到论证之间思维要求上的跳跃。
因此,为学生构建从内容到形式,从题设到结论的“桥梁”就显得非常必要了。
为此,笔者构建了一种统一综合法与分析法,让学生易于沟通题设和结论,便于分析问题、书写解题过程、拓展解题思路又易于被学生接受和掌握的教学方法,并坚持在实际教学中运用,取得了良好的效果。
二、对初中数学分析法的概述对分析法的运用主要就是把整体的内容分解为若干个部分,是一个从整体到局部,从复杂到简单的过程,再针对各个部分进行分析和探究。
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综合法与分析法:数学解题运用解析
作者:袁青超
来源:《数学大世界·上旬刊》2019年第09期
综合法与分析法是数学解题中两个最基本的方法,是思维方向截然相反的两种方法,它们在数学解题过程中有着十分重要的作用。
因此,我们在平时的教学中要有意识地渗透给学生,让他们切实地掌握这两种方法,形成真正的分析问题和解决问题的能力,这也是发展学生思维能力的需要。
综合法是从问题的已知条件出發,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题,即“已知→结论”;分析法是从问题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后到题设的已知条件,即“结论→已知”。