电路信号与系统

*
*
+ u2 _
u1 N1 n u2 N2
（2）变流关系
i1
+ u1 _ * L1
n:1 M * L2
i2 + u2 _
di1 di2 u1 L1 M dt dt 1 t 0 M i1 ( t ) 0 u1 ( )d L1 i2 (t ) L1
考虑到理想化条件： L 1
3 2
1
i1
*

N1
i2
△
N2
i3
N3
△
*
注意：线圈的同名端必须两两确定。
由同名端及u、i参考方向确定互感线圈的特性方程
有了同名端，以后表示两个线圈相互作用，就不再 考虑实际绕向，而只画出同名端及参考方向即可。
M * i1 M * i1 * + u21 –
di1 u21 M dt
di1 u21 M dt
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3.耦合电感的T型等效
（1）同名端为共端的T型去耦等效


I1
j M * *

I2
2 jL2
I1
I2
2 j(L2-M) jM 3

1 j(L1-M)
1 jL1

3

I

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I
i1 + u1 _ * L1
M
L2 *
i2
i1
M * L1 L2 *
i2
_ u2 +
+ u2 _
+ u1 _
写 出 图 示 电 路 电 压、 电 流 关 系 式
5. 耦合系数 (coupling coefficient)
工程上，用耦合系数k 表示 两个线圈磁耦合的紧密程度。 当 k=1 称全耦合: 漏磁 s1 =s2=0 即 11= 一般有：
2.理想变压器的主要性能
（1）变压关系
+ u1 _ *
n:1
* + u2 _
k 1
1 2 11 22
d 1 d u1 N1 dt dt
d 2 d u2 N2 dt dt
若 n:1
理想变压器模型
u1 N 1 n u2 N 2
+ u1 _

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I 2



（2） 异名端为共端的T型去耦等效

I1
j M *



I2
2
I1
I2
2 j(L2＋M) －jM 3

1 jL1
* jL2

1 j(L1＋M)
* –
u21 +
例
+ u1 _
i1 * L1
M * L2
i2
i1
M * L1
i2
+ u2 _
+ u1 _
L2 *
+ u2 _
u1 L1
di1 di M 2 dt dt
di1 di2 u1 L1 M dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
di1 di2 u2 M L2 dt dt
去耦等效电路 i + + R1 L1 u1 M – +* u L2 R2 u2 – – + R u – L
i
*
u R1 i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt ( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di dt
u1
–
u2
–
i1 1 i2 n
1 p u1i1 u2 i2 u1i1 u1 ( ni1 ) 0 n
表明：
（a）理想变压器既不储能，也不耗能，在电路中只起传递信
号和能量的作用。
（b）理想变压器是无记忆的多端元件。
i1
u11
对于自感电压，由于电压电流为同一线圈上的，只需 参考方向确定，其数学描述便可容易地写出，而不用考虑 线圈绕向。
对于互感电压，因产生该电压的电流在另一线圈上，因 此，要确定其符号，就必须知道两个线圈的绕向。这在电路 分析中显得很不方便。为解决这个问题引入同名端和异名端 的概念。
同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端子同时 流入或流出，若所产生的磁通相互加强时，则这 两个对应端子称为两个互感线圈的同名端。
线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通 11 ，称为自感磁通 线圈2中通入电流i2时, 产生的磁通会有部分或全部穿过线圈1 这部分磁通 12称为互感磁通。 所以线圈1中的磁通由两部分组成，一部分是自身产生的 另一部分是线圈2对它的影响产生的。
11
12
i1
N1
i2
N2
载流线圈通过彼此的磁场相互联系的物理现象 1 磁耦合：
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为
U 1 jL1 I 1 jM I 2
U 2 jL2 I 2 jM I 1




4.互感线圈的同名端和异名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与符合右手螺 旋定则，其表达式为
dΨ 11 di1 u11 L1 dt dt
k 1 M L1 L2
L2 N 2 1 M L1 L1 N1 n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
1 i1 ( t ) i2 ( t ) n
若i1、i2一个从同名端流入，一个从同名端流出，则有：
（3）变阻抗关系



I I11
n:1
* *
I2
I I11
12
3. 耦合电感上的电压、电流关系
当i1、 i2为时变电流时，磁通链也将随时间变化，从而 在线圈两端产生感应电压u1、 u2 。 当i1、 i2、 u1、u2方向与 符合右手螺旋时，根据电磁感 应定律和楞次定律， u1、u2 分别由两部分组成：
di1 di2 d 1 d( 11 12 ) d(L1 i1 Mi2 ) L1 M u1 dt dt dt dt dt
（1）无损耗 （2）全耦合 （3）参数无限大
线圈导线无电阻，做芯子的铁磁材料的 磁导率无限大。
k 1 M L1 L2
L1, L2 , M , 但 L1 L2 N 1 N 2 n
以上三个条件在工程实际中不可能满足，但在一些实际工 程概算中，在误差允许的范围内，把实际变压器当理想变压器 对待，可使计算过程简化。
解得u, i 的关系： i
M i1 * L1
* i2 L2
i = i1 +i2
去耦等效电路
+ u –
i + u –
( L1 L2 M ) di u L1 L2 2 M dt
2
Leq
等效电感：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
（2） 异侧并联
i + u – i1 * L1
k
def
M L1 L2
21 ， 22 = 12
12 21 1 11 22
k
M L1 L2

M2 L1 L2
( Mi1 )( Mi2 ) L1 i1 L2 i2
耦合系数k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关
10.2
（1）顺接串联
含有耦合电感电路的计算
1. 耦合电感的串联
2 自感磁通链和互感磁通链：
对线圈1来说， 磁通 11在交链自身的线圈时产生的磁通链Ψ11 称为自感磁通链 磁通 12在交链线圈1时的产生的磁通链Ψ12 称为互感磁通链
11 12
i1 N1 i2 N2
所以线圈1中的磁通链Ψ1由自感磁通链Ψ11和互感磁通链Ψ12组成
1 11 12 L1i1 M 12 i2
M
di1 di2 u L1 M dt dt di2 di1 u L2 M dt dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
i2
*
L2
( L1 L2 M 2 ) di u L1 L2 2 M dt
等效电感：
( L1 L2 M 2 ) Leq 0 L1 L2 2 M
是利用互感来实现从一个电路向另一个电路传输能量或信号的器件。 当变压器线圈的芯子为非铁磁材料时，称空心变压器。
1. 空心变压器电路

I1

R1
j M *
R2

+ –
j L1
* j L2
I2
Z=R+jX
US
副边回路 原边回路
2 理想变压器的三个理想化条件
理想变压器是实际变压器的理想化模型，是对互感元件的 理想科学抽象，是极限情况下的耦合电感。
Ri L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2 M
（2）反接串联
i + + R1 L1 u1 M – + u L2 R2
去耦等效电路
+
i R
*
* u2
– –
u –
L
u R1i L1 di M di L2 di M di R2 i dt dt dt dt
同样线圈2中的的磁通链也由两部分组成
2 22 21 L2 i2 M 21i1
称M12和M21为互感系数，单位亨利（H）
注 （1）M值与线圈的形状、几何位置、磁介质有关，与
线圈中的电流无关，一般满足M12=M21 （2）L总为正值，M值有正有负。
11
i1 N1 + u1 i2 N2 + u2 -
自感电压 互感电压
同理，线圈2两端的电压为
di2 di1 d 2 d( 22 21 ) d(L2 i2 Mi1 ) L2 M u2 dt dt dt dt dt di1 di2 d 1 d( 11 12 ) d(L1 i1 Mi2 ) L1 M u1 dt dt dt dt dt
( R1 R2 )i ( L1 L2 2 M ) di dt Ri L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2 M
L L1 L2 2 M 0
2. 耦合电感的并联
（1）同侧并联
di1 di2 u L1 M dt dt
di2 di1 u L2 M dt dt
第十章 含有耦合电感的电路
耦合电感元件属于多端元件，在实际电 路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振 荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦 合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌 握包含这类多端元件的电路问题的分析方法 是非常必要的。
10.1
11
互感
12
i1
N1
i2
N2
两线圈间有磁的耦合。
+

+
+
U 11 U
U 22
–

Z

U U11
n2Z
–
–
U1 nU 2 U2 2 n ( ) n2 Z I1 1 / nI 2 I2
理想变压器的阻抗变换性质只改变阻抗的大 小，不改变阻抗的性质。
（4）功率性质
i1
+
n:1
* *
i2
+
u1 nu2
3

I

I

U 13 jL1 I 1 jM I 2 jω( L1 M ) I 1 jM I

U 23 jL2 I 2 jM I 1 jω( L2 M ) I 2 jM I

I I1 I 2



10.3
理想变压器
变压器由两个具有互感的线圈构成，一个线圈接电源， 另一线圈接负载。