梯形的性质与判定知识梳理
七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定鲁教版知识精讲
七年级数学梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定某某教育版【本讲教育信息】一. 教学内容：梯形以及特殊的梯形——等腰梯形、直角梯形的性质与判定二. 学习重难点：运用梯形和等腰梯形的特征解决有关梯形的问题三. 知识要点讲解：同学们，前面我们研究了特殊的四边形——--平行四边形以及特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形。
今天我们研究另外一类特殊的四边形——梯形。
1、梯形的意义：①定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
②有关概念：平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰，夹在两底之间的垂线段叫做高。
注：较长的底叫做下底、较短的底叫做上底。
2、等腰梯形：定义：两腰相等的梯形叫做直角梯形。
探究：如图，在半透明的方格纸上，画一个等腰梯形ABCD，过两底边AD、BC的中点E、F画一条直线，将等腰梯形ABCD沿直线EF对折。
你发现了什么？我们可以发现等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下特征等腰梯形的性质：①等腰梯形同一底边上的两个内角相等；②等腰梯形的两条对角线相等；③两腰相等；④是轴对称图形。
3、直角梯形——一条腰与底垂直的梯形叫做直角梯形。
4、梯形的研究方法：思考：你能应用梯形的研究方法得到等腰梯形的性质吗？探究：如图、四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，将腰AB平移到DE的位置。
（1）DE把四边形ABCD分成了怎样的两个图形？（2）图中有哪些相等的线段、相等的角？证明：∵AD∥BC，AB∥DE，∴四边形ABED是平行四边形，∠B=∠DEC，∴AB=DE ∵AB=CD，∴DE=CD ∴∠C=∠DEC，∴∠B=∠C注：利用全等三角形也可以证明等腰梯形的对角线相等，不妨试一试！做一做：在一个三角形中怎样画一条线段，可得到一个梯形？自己画一画.如图所示，在三角形中画一条线段得到一个梯形，并说明在不同情况下得到的分别是什么？由上面可知：（3）（4）还可以得到等腰梯形. 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形吗？探究：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，腰BA、CD的延长线相交于点E，则梯形ABCD是等腰梯形吗？证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC，又∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠C=∠EDA，∴∠EAD=∠EDA，∴EA=ED∴EB－EA=EC－ED，即：AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形思考：利用平移的方法你能证明两底角相等的梯形是等腰梯形吗？分析：将腰AB平移到DE，则四边形ABED是平行四边形，AB∥DE，∠B=∠DEC ∵∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∵AB=DE，∴AB=CD∴四边形ABCD是等腰梯形。
梯形与重心
梯形与重心知识点一：梯形要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质要点诠释： 1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定要点诠释： 1.梯形的定义。
2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类要点诠释：知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心要点诠释：1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心。
2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导知识点回顾：2 •梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究,类型一：梯形中的辅助线1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于Jr ,它的两底分别是L■一，和「Ed，求它的腰长思路点拨：已知：如图，在梯形 ABC ［中，』応一 ,?'1 / C - . r':■ . -….求：AB 的长.解析：过点A 作/I C I 1' D 交BC 于E,•••四边形ABCD 是等腰梯形， AB=CD∙∙∙ AD// BC又∙∙∙ m∙四边形AECD 是平行四边形•∙，■ -I ：-：：-' ..J-V ：-* _：■∙厶一二••• ― -HN',∙二二】是等边三角形.又•••丄J —’w ∙二丄 / √L ∙ 一 二-总结升华：在用平移线段的方法作梯形的辅助线时， 无论是平移一腰还是平移一条对角线，都是将梯形问题转化成三角形和平行四边形的问题来解决；举一反三：【变式1】（平移对角线）已知梯形 ABCe 的面积是32,两底与高的和为 一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为【答案】梯形 ABCD 中, AD// BC, BD ⊥ BC.由题得：x+y+z=16 ,仗+ "二322设 AD=X BC=y DB=z,（熟记梯形面积公式）解得 χ+y=8 , z=8,过D 作DE// AC 交BC 的延长线于∙四边形ADEC 是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用） E.16,如果其中B∙∙∙ DE=AC AD=CE (将“上底+下底”转化到一条线段上)在Rt △ DBE 中，∠ DBE=90 , BE=BC+CE=x+y=8 BD=8根据勾股定理得[]τ —“I ■ ' - ■,∙∙∙ AC=DE.-，■ -7-,?.【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC AB// CD ∠ D=90°, AEI BC.求证：CD=CE【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB,可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的.证明：如图，连结AC,过C作CF⊥AB于F.在厶CFB和厶AEB中，（这是直角梯形中常见的辅助线）ZCFB=ZAEB = 90°^ZB=ZBAB = BC•••△CFB^△AEB (AAS•CF=AEτ∠D=90°, CF⊥AB 且AB// CD,•AFCD是矩形•AD=CF•AD=AE在Rt △ ADC和Rt △ AEC 中,AD=AEAC = AC•Rt △ ADC^ Rt △ AEC ( HL)•CD=CE【变式3】（延长两腰）如图，在梯形亠匸•中，一’】」，—「■ ——1 '「，=、-■为一二、一 \的中点。
【数学课件】等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明
延长梯形的两交于一点，得到两个三 角形。如果是等腰梯形，则得到分别以梯 形两底为底的等腰三角形。
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭 2、教育人就是要形成人的性格。——欧文 3、自我教育需要有非常重要而强有力的促进因素——自尊心、自我尊重感、上进心。——苏霍姆林斯基 4、追求理想是一个人进行自我教育的最初的动力，而没有自我教育就不能想象会有完美的精神生活。我认为，教会学生自己教育自己，这是一种 最高级的技巧和艺术。——苏霍姆林斯基 5、没有时间教育儿子——就意味着没有时间做人。——（前苏联）苏霍姆林斯基 6、教育不是注满一桶水，而且点燃一把火。——叶芝 7、教育技巧的全部奥秘也就在于如何爱护儿童。——苏霍姆林斯基 8、教育的根是苦的，但其果实是甜的。——亚里士多德 9、教育的目的，是替年轻人的终生自修作准备。——R.M.H. 10、教育的目的在于能让青年人毕生进行自我教育。——哈钦斯 11、教育的实质正是在于克服自己身上的动物本能和发展人所特有的全部本性。——（前苏联）苏霍姆林斯基 12、教育的唯一工作与全部工作可以总结在这一概念之中——道德。——赫尔巴特 13、教育儿童通过周围世界的美，人的关系的美而看到的精神的高尚、善良和诚实，并在此基础上在自己身上确立美的品质。——苏霍姆林斯基 14、教育不在于使人知其所未知，而在于按其所未行而行。——园斯金 15、教育工作中的百分之一的废品，就会使国家遭受严重的损失。——马卡连柯 16、教育技巧的全部诀窍就在于抓住儿童的这种上进心，这种道德上的自勉。要是儿童自己不求上进，不知自勉，任何教育者就都不能在他的身 上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱 心就是流淌在班级之池中的水，时刻滋润着学生的心田。——夏丐尊 20、教育不能创造什么，但它能启发儿童创造力以从事于创造工作。——陶行知
梯形的性质与判定 PPT课件 人教版
F
∴DF=CF=2 ∴BC=3 又 BF=AD=1 ， 45º C 3 在Rt△BEC中，求得BE= 2 2
Байду номын сангаас
解法二：作DF⊥BC， 连结BD
典型例 题
A
B
1 S BC DF BCD 2 1 CD BE BCD D S 2 E BC×DF=CD×BE DF=2，BC=3， C CD= 2 2 F
典型例 题
D E
C
H A
B
3. 梯形的中位线 例7.在直角梯形ABCD中，AD//BC, ∠A=90°，AB=5,中位线EF=6,则梯形 ABCD的面积=_______ 30
B E A C
典型例 题
1 S （上底 下底） 高 梯形 2 F 中位线 高
D
及时反 馈
1.在梯形ABCD中,AD//BC,中位线EF=35cm, 下底BC=45cm,则上底AD=____cm. 25 2.顺次连结等腰梯形各边中点所得的 四边形是（ D ） A.四边形 B.平行四边形 C.矩形 D.菱形
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
等腰梯形的性质定理和判定定理及其证明最新版
2
C
E
知识拓展：用下面方法证明等腰梯形的判定定理
⑴如图，分别延长梯形ABCD的腰BA、CD设它 们相交于点E.通过证明Δ EAD 和Δ EBC是
等腰三角形，来证明定理
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C
求证：AB=CD 证明：∵∠B=∠C ∴EB=EC
又∵ AD∥BC ∴∠1=∠B, ∠2=∠C
现代人每天生活在纷繁、复杂的社会当中，紧张、高速的节奏让人难得有休闲和放松的时光。人们在奋斗事业的搏斗中深感身心的疲惫。然而，如果你细心观察，你会发现作 为现代人，其实人们每天都在尽可能的放松自己，调整生活节奏，追求充实快乐的人生。看似纷繁的社会里，人们的生活方式其实也不复杂。大家在忙忙碌碌中体味着平凡的 人生乐趣。由此我悟出一个道理，那就是----生活简单就是幸福。生活简单就是幸福。一首优美的音乐、一支喜爱的歌曲，会让你心境开朗。你可以静静地欣赏你喜爱的音乐， 可以在流荡的旋律中回忆些什么，或者什么都不去想；你可以一个人在房间里大声的放着摇滚，也可以在网上用耳麦与远方的朋友静静地共享；你还可以一边放送着音乐，一 边做着家务....生活简单就是幸福。一杯清茶，或一杯咖啡，放在你的桌边，你的心情格外的怡然。你可以浏览当天的报纸，了解最新的国内外动态，哪怕是街头趣闻；或者捧 一本自己喜欢的杂志、小说，从字里行间获得那种特别的轻松和愉悦....生活简单就是幸福。经过精心的烹制，一桌可心的菜肴就在你的面前，你招呼家人快来品尝，再备上最 喜欢的美酒，这是多么难得的享受！生活简单就是幸福。春暖花开的季节，或是清风送爽的金秋，你和家人一起，或是朋友结伴，走出户外，来一次假日的郊游，享受大自然 带给你的美丽、芬芳。吸一口新鲜的空气，忘却都市的喧嚣，身心仿佛受到一番洗涤，这是一种什么样的轻松感受！生活简单就是幸福。你参加朋友们的一次聚会，那久违的 感觉带给你温馨和激动，在觥酬交错之间你享受与回味真挚的友情。朋友，是那样的弥足珍贵....生活简单就是幸福。周末的夜晚，一家老小围坐在电视机旁，尽享团圆的欢乐 现代人越来越会生活，越来越会用各种不同的方式来放松自己。垂钓、上网、打牌、玩球、唱卡拉OK、下棋.....不一而足。人们根据自己的兴趣爱好寻找放松身心的最佳方式， 在相对固定的社交圈子里怡然的生活，而且不断的扩大交往的圈子，结交新的朋友有时，你会为新添置的一套漂亮时装而快乐无比；有时，你会为孩子的一次小考成绩优异而 倍感欣慰；有时，你会为刚参加的一项比赛拿了名次而喜不自胜；有时，你会为完成了上司交给的一个任务而信心大增生活简单就是幸福！生活简单就是幸福，不意味着我们 放弃了对目标的追逐，是在忙碌中的停歇，是身心的恢复和调整，是下一步冲刺的前奏，是以饱满的精力和旺盛的热情去投入新的“战斗”的一个“驿站”；生活简单就是幸 福，不意味着我们放弃了对生活的热爱，是于点点滴滴中去积累人生，在平平淡淡中寻求充实和快乐。放下沉重的负累，敞开明丽的心扉，去过好你的每一天。生活简单就是 幸福！我的心徜徉于春风又绿的江南岸，纯粹，清透，雀跃，欣喜。原来，真正的愉悦感莫过于触摸到一颗不染的初心。人到中年，初心依然，纯真依然，情怀依然，幸甚至 哉。生而为人，芳华刹那，真的不必太多要求，一盏茶，一本书，一颗笃静的心，三两心灵知己，兴趣爱好一二，足矣。亦舒说：“什么叫做理想生活？不用吃得太好穿得太 好住得太好，但必需自由自在，不感到任何压力，不做工作的奴隶，不受名利的支配，有志同道合的伴侣，活泼可爱的孩子，丰衣足食，已经算是理想。”时间如此猝不及防， 生命如此仓促，忠于自己的内心才是真正的勇敢，以不张扬的姿态，将自己活成一道独一无二的风景，才是最大的成功。试问，你有多久没有靠在门槛上看月亮了，你有多久 没有在家门口的那棵大树下乘凉了，你有多久没有因为一个人一件事而心生感动了，你又有多久没有审视自己的内心了？与命运的较量中，我们被迫前行，却忘记了来时的方
2020年寒假八年级数学课程第八讲 梯形
第八讲梯形第一部分知识梳理一、梯形的性质和判定1．梯形有关概念：一组对边平行而另一组对边______的四边形叫做梯形，梯形中平行的两边叫做底，按______分别叫做上底、下底(与位置无关)，梯形中不平行的两边叫做______，两底间的______叫做梯形的高．一腰垂直于底边的梯形叫做______；两腰______的梯形叫做等腰梯形．2．等腰梯形的性质：等腰梯形中______的两个角相等，两腰______，两对角线______，等腰梯形是轴对称图形，只有一条对称轴，______就是它的对称轴．3．等腰梯形的判定：______的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角______的梯形是等腰梯形．第二部分例题与解题思路方法归纳类型一梯形的面积【例题1】如图，点C是线段AB上的一个动点，△ACD和△BCE是在AB同侧的两个等边三角形，DM，EN分别是△ACD和△BCE的高，点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动（不与点A，B重合），连接DE，得到四边形DMNE．这个四边形的面积变化情况为（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、始终不变D、先增大后变小〖选题意图〗考查等边三角形的性质和梯形的面积公式．〖解题思路〗易得此四边形为直角梯形，AB的长度一定，那么直角梯形的高为AB的长度的一半，上下底的和也一定，所以面积不变．〖参考答案〗解：当点C在线段AB上沿着从点A向点B的方向移动时，设两个等边三角形的边长分别为a，b，根据等边三角形的性质，等边△ACD和△BCE的高DM和EN的和不会改变，即DM+EN=MC+CN=AC+CB=AB，而且MN的长度也不会改变，即MN=AC+CB=AB．∴四边形DMNE 面积= AB 2， ∴面积不会改变．故选C ．【课堂训练题】1．某校研究性学习小组在研究列车的行驶速度时，得到一个数学问题．如图，若v 是关于t 的函数，图象为折线O ﹣A ﹣B ﹣C ，其中A （t 1，350），B （t 2，350），C （，0），四边形OABC 的面积为70，则t 2﹣t 1=（ ）A ．B ．C ．D ．〖参考答案〗解：根据题意得， （AB+）×350=70，解之得，AB= ；读图可知，t 2﹣t 1=AB=．故选B ． 2．如图为菱形ABCD 与正方形EFGH 的重迭情形，其中E 在CD 上，AD 与GH 相交于I点，且AD ∥HE ．若∠A=60°，且AB=7，DE=4，HE=5，则梯形HEDI 的面积为（ ）A ．6B ．8C ．10﹣2D ．10+2〖参考答案〗解：四边形ABCD 为菱形且∠A=60°⇒∠ADE=180°﹣60°=120°，又AD ∥HE ⇒∠DEH=180°﹣120°=60°，作DM ⊥HE 于M 点，则△DEM 为30°﹣60°﹣90°的三角形，又DE=4⇒EM=2，DM=2 ，且四边形EFGH 为正方形⇒∠H=∠I=90°，即四边形IDMH 为矩形⇒ID=HM=5﹣2=3，梯形HEDI 面积=（ ）=8 ． 故选B ．类型二梯形的中位线相关【例题2】如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，AD=DC=4，BC=8，点N在BC上，CN=2，E是AB中点，在AC上找一点M使EM+MN的值最小，此时其最小值一定等于（）A．6 B．8C．4 D．4〖选题意图〗解决此题的关键是确定点M的位置．如果在直线的同侧有两个点，要在直线上找一点到两个点的距离之和最短，方法是找其中一个点关于直线的对称点，连接该点和另一个点，与直线的交点即为到两个点的距离之和最小的点的位置．〖解题思路〗此题关键是确定M的位置，将EM、MN转化到一条直线上，就可求出其和最小值．〖参考答案〗解：作N点关于AC的对称点N’，连接N’E交AC于M∴∠DAC=∠ACB，∠DAC=∠DCA，∴∠ACB=∠DCA，∵点N关于AC对称点N′在CD上，CN=CN′=2又∵DC=4∴EN’为等腰梯形的中线∴EN′=（AD+BC）=6，∴EM+MN最小值为：EN′=6故选A【课堂训练题】1．如图所示，DE是△ABC的中位线，FG为梯形BCED的中位线，若BC=8，则FG等于（）A．2cm B．3cmC．4cm D．6cm〖参考答案〗解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC=×8=4；∵FG为梯形BCED的中位线，∴FG=（DE+BC）=（4+8）=6．故选D．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=3CD，对角线AC、BD交于点O，中位线EF 与AC、BD分别交于M、N两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的（）A．B．C．D．〖参考答案〗解：过点D作DQ⊥AB，交EF于一点W，∵EF是梯形的中位线，∴EF∥CD∥AB，DW=WQ，∴AM=CM，BN=DN．∴EM=CD，NF=CD．∴EM=NF，∵AB=3CD，设CD=x，∴AB=3x，EF=2x，∴MN=EF﹣（EM+FN）=x，∴S△AME+S△BFN=×EM×WQ+×FN×WQ=（EM+FN）QW=x•QW，S梯形ABFE=（EF+AB）×WQ=QW，S△DOC+S△OMN=CD×DW=xQW，S梯形FECD=（EF+CD）×DW=xQW，∴梯形ABCD面积=xQW+xQW=4xQW，图中阴影部分的面积=x•QW+xQW=xQW，∴图中阴影部分的面积是梯形ABCD面积的：=．故选：C．类型三角度的相关问题【例题3】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC，求证：AC是∠DAB的平分线．〖选题意图〗本题考查了梯形的定义、平行线的性质及等腰三角形的性质，难度较小，是一道不错的证明题．〖解题思路〗利用梯形的一组对边平行可以得到内错角相等，然后利用等边对等角得到两个角相等，从而得到两个角相等，证得结论．〖参考答案〗解：∵AB ∥CD ，∴∠CAB=∠DCA ．∵AD=DC ，∴∠DAC=∠DCA ．∴∠DAC=∠CAB ，即AC 是∠DAB 的角平分线．【课堂训练题】1．在梯形ABCD 中，DC ∥AB ，AD ＝BC ，∠A ＝60°，BD ⊥AD .求∠DBC 和∠C 的大小.〖参考答案〗如图1，梯形ABCD 中，因为DC ∥AB ，∠A ＝60°，所以∠ADC ＝120°，又因为BD ⊥AD ，所以∠ADB ＝90°，即∠ABD ＝30°，而AD ＝BC ，所以∠ABC ＝60°，∠C ＝∠ADC ＝120°，所以∠DBC ＝30°.2．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC=90°．点E 是DC 的中点，过点E 作DC 的垂线交AB 于点P ，交CB 的延长线于点M ．点F 在线段ME 上，且满足CF=AD ，MF=MA ．（1）若∠MFC=120°，求证：AM=2MB ；（2）求证：∠MPB=90°﹣∠FCM ．〖参考答案〗证明：（1）连接MD ，∵点E 是DC 的中点，ME ⊥DC ，∴MD=MC ，A D C B又∵AD=CF，MF=MA，∴△AMD≌△FMC，∴∠MAD=∠MFC=120°，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=90°，∴∠MAB=30°，在Rt△AMB中，∠MAB=30°，∴BM=AM，即AM=2BM；（2）∵△AMD≌△FMC，∴∠ADM=∠FCM，∵AD∥BC，∴∠ADM=∠CMD∴∠CMD=∠FCM，∵MD=MC，ME⊥DC，∴∠DME=∠CME=∠CMD，∴∠CME=∠FCM，在Rt△MBP中，∠MPB=90°﹣∠CME=90°﹣∠FCM．类型四求线段的长的问题【例题4】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到点E，使BE=AD，连接DE交AB于点M．（1）求证：△AMD≌△BME；（2）若N是CD的中点，且MN=5，BE=2，求BC的长．〖选题意图〗本题考查了全等三角形的判断及三角形中位线定理的应用，熟记其性质、定理是证明、解答的基础．〖解题思路〗（1）找出全等的条件：BE=AD ，∠A=∠ABE ，∠E=∠ADE ，即可证明；（2）首先证得MN 是三角形的中位线，根据MN= （BE+BC ），又BE=2，即可求得． 〖参考答案〗证明：（1）∵AD ∥BC ，∴∠A=MBE ，∠ADM=∠E ，在△AMD 和△BME 中，，∴△AMD ≌△BME ；（2）∵△AMD ≌△BME ，∴MD=ME ，ND=NC ，∴MN= EC ，∴EC=2MN=2×5=10，∴BC=EC ﹣EB=10﹣2=8．【课堂训练题】1．如图，已知梯形ABCD ，上底AD ＝12，下底BC ＝28，EF ∥AB 分别交AD 、BC 于点E 、F ，且将梯形分成面积相等的两部分.试求BF 的长.〖参考答案〗设BF ＝x ，则FC ＝28－x.又设AD 与BC 间的距离为h ，即梯形和平行四边形ABFE 的BF 边上的高为h.在梯形ABCD 中，因为AD ∥BC ，EF ∥AB ，所以四边形ABFE 是平行四边形，所以AE ＝BF ＝x ，DE ＝12－x.因为平行四边形ABFE 的面积＝BE×h ，梯形EFCD 的面积＝12(DE+FC)×h ， 所以x×h ＝12[(12－x)+(28－x)]×h ，解得x ＝10， 答 BF 的长为10.2．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ．（1）求证：AD=AE ； D A FB C E（2）若AD=8，DC=4，求AB 的长．〖参考答案〗解：（1）连接AC ，∵AB ∥CD ，∴∠ACD=∠BAC ，∵AB=BC ，∴∠ACB=∠BAC ，∴∠ACD=∠ACB ，∵AD ⊥DC ，AE ⊥BC ，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC ，∴， ∴△ADC ≌△AEC ，（AAS ）∴AD=AE ；（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC ，设AB=x ，则BE=x ﹣4，AE=8，在Rt △ABE 中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x ﹣4）2=x 2，解得：x=10，∴AB=10． 类型五 线段的和差问题【例题5】已知：等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，MN 是中位线交AC 于P ，AC 平分∠BCD ，MP=12，PN=8，求：梯形ABCD 的周长．〖选题意图〗此题主要考查梯形、三角形中位线的性质和角平分线的定义，难度中等．〖解题思路〗由三角形中位线性质可求得上底为16，下底为24，再由角平分线和平行的性质，可求得腰长和上底相等，据此求解．〖参考答案〗解：∵AD∥BC，MN是中位线交AC于P，∴MP是△ABC的中位线，PN是△ACD的中位线，∠1=∠3，∵MP=12，PN=8，∴BC=2MP=24，AD=2PN=16，∵AC平分∠BCD，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴AD=CD=16，∴AB=CD=16，∴梯形ABCD的周长为：16×3+24=72．【课堂训练题】1．如图所示．△ABC外一条直线l，D，E，F分别是三边的中点，AA1，FF1，DD1，EE1都垂直l于A1，F1，D1，E1．求证：AA1+EE1=FF1+DD1．〖参考答案〗证明：连接EF，EA，ED．由中位线定理知，EF∥AD，DE∥AF，∴ADEF是平行四边形，∴对角线AE，DF互相平分，设它们交于O，作OO1⊥l于O1，则OO1是梯形AA1E1E及FF1D1D的公共中位线，∴（AA1+EE1）=（FF1+DD1）=OO1，即AA1+EE1=FF1+DD1．2．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，按下列要求画图并回答：（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于E，∠AEB是什么角？（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，AD+BC的值是否有变化？并说明理由．〖参考答案〗解：（1）∵AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN=180°，又AE，BE分别为∠MAB、∠NBA的平分线，∴∠1+∠3=（∠MAB+∠ABN）=90°，∴∠AEB=180°﹣∠1﹣∠3=90°，即∠AEB为直角；（2）过E点作辅助线EF使其平行于AM，如图则EF∥AD∥BC，∴∠AEF=∠4，∠BEF=∠2，∵∠3=∠4，∠1=∠2，∴∠AEF=∠3，∠BEF=∠1，∴AF=FE=FB，∴F为AB的中点，又EF∥AD∥BC，根据平行线等分线段定理得到E为DC中点，∴ED=EC；（3）由（2）中结论可知，无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，总满足EF为梯形ABCD中位线的条件，所以总有AD+BC=2EF=AB．类型六等腰梯形的判定【例题6】（2011•百色）已知矩形ABCD的对角线相交于点O，M、N分别是OD、OC上异于O、C、D的点．（1）请你在下列条件①DM=CN，②OM=ON，③MN是△OCD的中位线，④MN∥AB中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM为等腰梯形，你添加的条件是．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM是等腰梯形．〖选题意图〗本题主要考查了等腰梯形的判定，难度中等，注意灵活运用全等三角形的判定与性质、矩形的性质和平行线分线段成比例的关系．〖解题思路〗（1）从4个条件中任选一个即可，可以添加的条件为①．（2）先根据SAS证明△AND≌△BCN，所以可得AM=BN，有矩形的对角线相等且平分，可得OD=OC即OM=ON，从而知，根据平行线分线段成比例，所以MN∥CD ∥AB，且MN≠AB，即四边形ABNM是等腰梯形．〖参考答案〗解：（1）选择①DM=CN；（2）证明：∵AD=BC，∠ADM=∠BCN，DM=CN∴△AND≌△BCN，∴AM=BN，由OD=OC知OM=ON，∴∴MN∥CD∥AB，且MN≠AB∴四边形ABNM是等腰梯形．【课堂训练题】1．如图，在四边形ABCD中，AD＜BC，对角线AC、BD相交于O点，AC=BD，∠ACB=∠DBC．（1）求证：四边形ABCD为等腰梯形．（2）若E为AB上一点，延长DC至F，使CF=BE，连接EF交BC于G，请判断G点是否为EF中点，并说明理由．〖参考答案〗证明：（1）∵∠ACB=∠DBC，∴OB=OC∵AC=BD，∴OA=OD，∴∠OAD=∠ODA∵∠DOC=∠OAD+∠ODA=∠OBC+∠OCB∴2∠OAD=2∠OCB，∴∠OAD=∠OCB∴AD∥BC∵AD＜BC∴四边形ABCD为梯形．在△ABC和△DCB中：AC=BD，∠ACB=∠DBC，CB=BC．∴△ABC≌△DCB∴AB=CD∴四边形ABCD为等腰梯形．（2）点G是EF中点理由：过E作EH∥CD交BC于H．∴∠EHB=∠DCB，∠EHG=∠GOF∵梯形ABCD为等腰梯形∴∠EBH=∠DCB，∴EB=EH∵EB=CF，∴EH=CF在△EHG和△FGC中：∠EHG=∠FCG∠EGH=∠FGCEH=CF∴△EHG≌△FGC∴EG=FG即G为EF中点．2．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）若∠BDC=30°，AD=5，求CD的长．〖参考答案〗证明：（1）∵AE∥BD，∴∠E=∠BDC．∵DB平分∠ADC，∴∠ADC=2∠BDC．又∵∠C=2∠E，∴∠ADC=∠BCD．∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）由第（1）问，得∠C=2∠E=2∠BDC=60°，且BC=AD=5，∵在△BCD中，∠C=60°，∠BDC=30°，∴∠DBC=90°．∴DC=2BC=10．第三部分课后自我检测试卷A类试题：1．我们学习了四边形和一些特殊的四边形，如图表示了在某种条件下它们之间的关系．如果①，②两个条件分别是：①两组对边分别平行；②有且只有一组对边平行．那么请你对标上的其他6个数字序号写出相对应的条件．2．如图，在正六边形ABCDEF中，对角线AE与BF相交于点M，BD与CE相交于点N．（1）观察图形，写出图中两个不同形状的特殊四边形；（2）选择（1）中的一个结论加以证明．3．在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．4．如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC，∠A=60°．过点D作DE ⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF，求证：△DEF为等边三角形．5．已知，如图，MN是▱ABCD外的一条直线，AA′、BB′、CC′、DD′都垂直于MN，A′、B′、C′、D′为垂足．求证：AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，∠B=60°，BC=2AD，E、F分别为AB、BC的中点．（1）求证：四边形AFCD是矩形；（2）求证：DE⊥EF．7．在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，∠A=60°，AB=2CD，E、F分别为AB、AD的中点，连接EF、EC、BF、CF．（1）判断四边形AECD的形状（不证明）；（2）在不添加其它条件下，写出图中一对全等的三角形，用符号“≌”表示，并证明；（3）若CD=2，求四边形BCFE的面积．8．如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∠AEB=90°，设AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0．（1）求AD和BC的长；（2）你认为AD和BC还有什么关系？并验证你的结论；（3）你能求出AB的长度吗？若能，请写出推理过程；若不能，请说明理由．C类试题：9．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．10．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．（1）求证：AE⊥BF；（2）求证：点M在AB、CD边中点的连线上．课后自我检测试卷参考答案A类试题：1．解：③﹣﹣相邻两边垂直；④﹣﹣相邻两边相等；⑤﹣﹣相邻两边相等；⑥﹣﹣相邻两边垂直；⑦﹣﹣两腰相等；⑧﹣﹣一条腰垂直于底边．2．解：（1）矩形ABDE，矩形BCEF；或菱形BNEM；或直角梯形BDEM，AENB等．（2）选择ABDE是矩形．证明：∵ABCDEF是正六边形，∴∠AFE=∠FAB=120°，∴∠EAF=30°，∴∠EAB=∠FAB﹣∠FAE=90°．同理可证∠ABD=∠BDE=90°．∴四边形ABDE是矩形．选择四边形BNEM是菱形．证明：同理可证：∠FBC=∠ECB=90°，∠EAB=∠ABD=90°，∴BM∥NE，BN∥ME．∴四边形BNEM是平行四边形．∵BC=DE，∠CBD=∠DEN=30°，∠BNC=∠END，∴△BCN≌△EDN．∴BN=NE．∴四边形BNEM是菱形．选择四边形BCEM是直角梯形．证明：同理可证：BM∥CE，∠FBC=90°，又由BC与ME不平行，得四边形BCEM是直角梯形．3．（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，∴∠CAD=∠ACB．∵∠B=∠CAD，∴∠ACB=∠B．∴AB=AC．∵AB∥CD，∴∠B=∠DCE．又∵BC=CE，∴△ABC≌△DCE（SAS）．∴AC=DE=AB．∵AD∥BE，∴为等腰梯形．（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC=CE=4．∴△ABC为等边三角形．∴梯形高=三角形高=2．∴S=（4+8）×2×=12．4．证明：∵DC∥AB，AD=BC，∠A=60°，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°，∵DC∥AB，∴∠BDC=∠ABD=30°，∴∠CBD=∠CDB，∴CB=CD，∵CF⊥BD，∴F为BD的中点，∵DE⊥AB，∴DF=BF=EF，由∠ABD=30°，得∠BDE=60°，∴△DEF为等边三角形．5．证明：连接AC，BD交于O，过O作OO′⊥MN垂足为O′根据平行四边形的性质知OO′同为梯形BB′D′D与梯形AA′C′C的中位线得AA′+CC′=BB′+DD′．B类试题：6．证明：（1）∵F为BC的中点，∴BF=CF=BC，∵BC=2AD，即AD=BC，∴AD=CF，∵AD∥BC，∴四边形AFCD是平行四边形，∵BC⊥CD，∴∠C=90°，∴▱AFCD是矩形；（2）∵四边形AFCD是矩形，∴∠AFB=∠FAD=90°，∵∠B=60°，∴∠BAF=30°，∴∠EAD=∠EAF+∠FAD=120°，∵E是AB的中点，∴BE=AE=EF=AB，∴△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60°，BE=BF=AE，∵AD=BF，∴AE=AD，∴∠AED=∠ADE=﹣=30°，∴∠DEF=180°﹣∠AED﹣∠BF=180°﹣30°﹣60°=90°．∴DE⊥EF．7．解：（1）平行四边形；（2）△BEF≌△FDC或（△AFB≌△EBC≌△EFC）证明：连接DE，∵AB=2CD，E为AB中点，∴DC=EB，又∵DC∥EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∵AB⊥BC，∴四边形BCDE为矩形，∴∠AED=90°，Rt△ABF中，∠A=60°，F为AD中点，∴AE=AD=AF=FD，∴△AEF为等边三角形，∴∠BEF=180°﹣60°=120°，而∠FDC=120°，在△BEF和△FDC中DC=BE，∠CDA=∠FEB=120°，DF=EF，∴△BEF≌△FDC（SAS）．（其他情况证明略）（3）若CD=2，则AD=4，DE=BC=2，∴S△ECF=S AECD=CD•DE=×2×2=2，S△CBE=BE•BC=×2×2=2，∴S四边形BCFE=S△ECF+S△EBC=2+2=4．8．解：（1）∵AD=x，BC=y，且（x﹣3）2+|y﹣4|=0，∴AD=3，BC=4．（2）AD∥BC，∵在△AEB中，∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，又∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAB+∠ABC=180°．∴AD∥BC．（3）能．如图，过E作EF∥AD，交AB于F，则∠DAE=∠AEF，∠EBC=∠BEF，∵EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA，∴∠EAF=∠AEF，∠EBF=∠BEF，∴AF=EF=FB，又∵EF∥AD∥BC，∴EF是梯形ABCD的中位线，∴EF=，∴AB=7．C类试题：9．（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD，∴四边形ABED是菱形．（2）解：△CDE是直角三角形．如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE，∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形，∴DF=EF=FC，∴△CDE是直角三角形．10．（1）证明：如图，∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，即（∠1+∠2）+（∠3+∠4）=180°，2∠2+2∠3=180°，∴∠2+∠3=90°，而∠2+∠3+∠AMB=180°，∴∠AMB=90°，即AE⊥BF；（2）证明：如图，设AB、CD的中点分别为G、H，连接MG，∵M为Rt△ABM斜边AB的中点，∴MG=AG=GB，又∵∠1=∠2，∴∠1=∠5，∴GM∥AD．∵AD∥BC，∴四边形ABCD是以AD、BC为底的梯形，又G、H分别为两腰AB、DC的中点，由梯形中位线定理可知，GH∥AD，而证得GM∥AD，根据平行公理可知，过点G与AD平行的直线只有一条，∴M点在GH上，即M点在AB、CD边中点的连线上．。
梯形的性质和判定
梯形【学习目标】1、会识别梯形、等腰梯形；了解等腰梯形的性质和判定；2、掌握梯形的概念，会用等腰梯形的性质和判定解决简单问题． 【重点、难点】1、掌握梯形、等腰梯形、直角梯形等有关概念，并了解它们之间的关系；2、探索等腰梯形的有关性质和常用判别方法，并能运用它们进行有关的证明和计算；3、通过对梯形辅助线的探索，学会将未知问题转化为已知问题，培养化归意识． 【知识梳理】 一、相关概念定理 1．定义：四边形中还有一类特殊的四边形，它们的一组对边平行而另一组对边不平行，这样的特殊四边形就叫做梯形.研究梯形主要是研究两类：等腰梯形和直角梯形.是梯形四边形ABCD BC AD CD AB ⇒⎭⎬⎫≠//2．等腰梯形⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠=BDAC BCD ADC CBADAB ABCD BC AD BC AD CD AB 是等腰梯形四边形//3． 直角梯形是直角梯形四边形ABCD BC AD AB CB CD AB ⇒⎪⎭⎪⎬⎫≠⊥// . 4．平行线等分线段定理 1234l l l l A B B C C D ⎫⇒⎬==⎭∥∥∥11111A B B C C D ==.5．中位线定理⑴、三角形中位线定理ABC ∆中： 1122AM BM MN BC MN BC AN CN =⎫⇒=⎬=⎭∥，.⑵、梯形中位线定理 梯形ABCD 中： AB CD AM DM BN CN ⎫⎪=⇒⎬⎪=⎭∥()12MN AB CD MN AB CD =+∥∥，二、等腰梯形1. 等腰梯形的性质①、等腰梯形同一底边上的两个角相等； ②、等腰梯形的两条对角线相等．③、等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，底边的垂直平分线是它的对称轴； 2. 等腰梯形的判定①、同一底上两个内角相等的梯形是等腰梯形． ②、对角线相等的梯形是等腰梯形． C BAD底角腰底高BCAD CA B Dl 4l 3l 2l1D 1C 1B 1A 1DC B ABN CM A BN C AM DD C B A ABC D E F 我们可以看到，梯形本身的性质并不多，所以实际解梯形的问题时，往往通过添加辅助线将梯形分成三角形或平行四边形，三角形是最简单的直线形，而平行四边形具有很好的对称性质.下面给出几个常见的添加辅助线的方法.1. 作梯形的高：一般是过梯形的一个顶点作高，其好处是将梯形分成一个直角三角形和一个直角梯形，从而可以用勾股定理，如果过梯形的两个顶点分别作高，则会出现矩形.2. 过梯形的一个顶点作另一腰的平行线：这样便将梯形分成了一个平行四边形和一个三角形，这样做的好处是可以将两条腰拉到同一个三角形中，并且三角形的另一条边恰好是梯形的两底之差，从而将问题集中到三角形中.3. 延长梯形的两腰交于一点：这样做可以同样地使问题转化为三角形的问题.4. 过梯形一腰的中点作另一腰的平行线：可以将梯形等积变换成一个平行四边形.5. 连接梯形一个顶点和另一腰上的中点并延长交另一底边：可以将梯形等积变换成一个三角形.常见的辅助线添加方式如下：梯形中的辅助线较多，其实质是采用割补法将梯形问题划归为三角形、平行四边形问题处理．解题时要根据题目的条件和结论来确定作哪种辅助线． 【例题精讲】【板块一、特殊梯形的性质和判定】【例1】 (2006广安市中考)已知: 如图, 在梯形ABCD 中,AD BC ∥, AB CD =, E 是底边BC 的中点, 连接,AE DE . 求证:ADE ∆是等腰三角形.DE CAB【例2 】(希望杯试题)如图，等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，60DAB ∠=︒，AC 平分DAB ∠，且23AC =，则梯形ABCD 的周长等于________.【补充】(希望杯试题)如图，在直角ABC ∆中， 90ABC ∠=︒，60C ∠=︒，2BC =，D 为AC 的中点，从D 作DE AC ⊥与CB 的延长线相交于E ，以AB 、BE 为邻边作长方形ABEF ，连接DF ，则DF 的长为_________.【例3】如图所示．四边形ABCF 中，//12AB DF AC DF FC AD ∠=∠=<，，，． （1）求证：ADCF 是等腰梯形；（2）若ADC ∆的周长为16厘米，3AF =厘米，3AC FC -=厘米，求四边形ADCF 的周长．F EDCBA【板块二 梯形的常见辅助线】 【1、过顶点向底边作垂线】【例4】如图，已知等腰梯形周长是20，AD BC ∥，AD BC <，120BAD ∠=︒，对角线AC 平分BCD ∠，求梯形ABCD 的面积.DCB A【例5】(2007年北大附中期末试题、2007年北京市中考题)如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC AD ==，60C ∠=︒，AE BD ⊥于E ，1AE =，求梯形ABCD 的高.EDC BA【补充】如图，等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB DC =，对角线AC 与BD 相交于点O ，120BOC ∠=︒，2AD =，4BC =.求等腰梯形ABCD 的面积.DOC BA【例6】梯形的上底为a ，下底为b (b>a)，两个底角分别为45︒、60︒，求梯形的面积.ABCDDC A B A B CD 【补充】等腰梯形的下底等于对角线，而上底等于高，则上底与下底的比值为 .A BCD【例7】如图，已知梯形ABCD 中，DC AB ∥，BD AD =，AC AB =，90ADB ∠=︒， ⑴、求证：30CAB ∠=︒；⑵、若BD 和AC 交于E ，求证：BE BC =.ABCD E【补充】如图，梯形ABCD 中，AB CD AD DC BD a BC b ====∥，，，求AC 的长． DC BA【2、过顶点作一腰的平行线】【例8 】 (2007年北达资源期末考试)如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AC 平分BCD ∠，若50B ∠=︒，80C ∠=︒，2AD =，求BC 的长．ABCD【例9】(2006长沙中考)如图，已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠=，2AD =，8BC =，则此等腰梯形的周长为（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 22【例10】如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，8AB =，3AD =，6CD =，并且90B C ∠+∠=︒， 则该梯形的面积为_________．A B CDA B C D 【补充】(希望杯试题)在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，()12EF BC AD =-，则B C ∠+∠=_________.A BCDE F【补充】(全国联赛试题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，30B ∠=︒，60C ∠=︒，E 、M 、F 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，已知7BC =，3MN =，则EF =___________.N A BCDEF M【例11】（2008朝阳二模）在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3BC AD =． ⑴、如图甲，连接AC ，如果ADC ∆的面积为6，求梯形ABCD 的面积； ⑵、如图乙，E 是腰AB 上一点，连接CE ，设BCE ∆和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且1223S S =，AEBE的值； ⑶、如图丙，如果AB CD =，CE AB ⊥于点E ，且3BE AE =，求B ∠的度数．丙乙甲EDCBAEABC DDC BA【3、平移对角线】【例12】如图，等腰梯形ABCD 中， AC BC AD =+，则DBC ∠的度数是_________.【补充】如图，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系.ED C B A M D C B A A BC DENA B C D M 【例13】如图所示，等腰梯形ABCD 的下底AB a =，两对角线相互垂直且长均为b .试求上底的长及梯形的面积，并讨论问题有解时a 与b 之间的关系．DCBA【例14】已知：如图，梯形ABCD 中，512AD BC AC BD AC BD ⊥==∥，，，.求：梯形ABCD 中位线的长.DBCA【板块三 与梯形腰的中点及中点相关的题型】【例15】如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，M 是DC 的中点，试比较AM 、BM 的大小.MDCBA【补充】(重庆市数学竞赛题) 如图，梯形ABCD 中，AB DC ∥，E 是AD 的中点. ⑴、当AB 、DC 、BC 满足什么关系时，BE CE ⊥？ ⑵、若BC AB DC =+，是否有BE CE ⊥？⑶、当BC AB DC =+时，ABE ∠、CBE ∠满足什么关系？⑷、若DCE BCE ∠=∠，AB 、DC 、BC 满足何种关系？【例16】(重庆市数学竞赛题) 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，DEC ∆的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为_________.【补充】（上海市数学竞赛题）如图，等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，2AD =，8BC =，M 是AB 的中点，若MD CD ⊥，则梯形的面积为_______.【例17】(河南省数学竞赛试题)如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，M 是BC 的中点，MN AD ⊥，垂足为N . 求证：梯形面积S MN AD =⋅.【例18】如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，AD AB ⊥，E 是AD 上的点，BE CE =，90BEC ∠=︒，M 是BC 的中点.求证：ADM ∆是等腰直角三角形.ABCDE M【补充】（2009北京）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90B ∠=︒，45C ∠=︒，1AD =，4BC =，E 为AB 中点，EF DC ∥交BC 于点F ， 求EF 的长．FE DCBA【课后作业】1、已知：如图，梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB CD BD DC =⊥，，且BD 平分ABC ∠.若梯形ABCD 的周长为20cm ，求：梯形的中位线长.DCB A2、(浙江省中考题)梯形ABCD 中，//AD BC ，AB BC ⊥，BC DC =，30C ∠=︒，AD a =，则BC 的长为_________.DCBA3、在梯形ABCD 中，两底4AD =，8BC =，对角线AC BD ⊥，且6AC =，则DBC ∠=________. 【解析】 过点D 作AC 的平行线即可，30DBC ∠=︒.4、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，BD CD =，90BDC ∠=︒，3AD =，8BC =．求AB 的长．ODC BA5、如图，梯形ABCD 中，AB CD ∥，90D ∠=︒，M 是BC 的中点，2BC CD =，50DAM ∠=︒，则AMC ∠=__________.ABCD M6、（2006北京）已知：如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，BE CD ⊥于点E ，1AD =，22CD =．求BE 的长．ED C BA。
中考数学专题二十二：梯形(含详细参考答案)
中考数学专题复习第二十二讲梯形【基础知识回顾】一、 梯形的定义、分类、和面积：1、定义：一组对边平行，而另一组对边的四边形，叫做梯形。
其中，平行的两边叫做两底间的距离叫做梯形的2、分类：梯形3、梯形的面积：梯形= （上底+下底） X 高【赵老师提醒：要判定一个四边形是梯形，除了要注明它有一组对边外，还需注明另一组对边不平行或的这组对边不相等】二、等腰梯形的性质和判定：1、性质：⑴等腰梯形的两腰相等，相等⑵等腰梯形的对角线⑶等腰梯形是对称图形一般梯形特殊梯形等腰梯形：两腰 的梯形叫做等腰梯形直角梯形：一腰与底 的梯形叫做直角梯形2、判定：⑴用定义：先证明四边形是梯形，再证明其两腰相等⑵同一底上两个角的梯形是等腰梯形⑶对角线的梯形是等腰梯形【赵老师提醒：1、梯形的性质和判定中同一底上的两个角相等“不被成”两底角相等2、等腰梯形所有的判定方法都必须先证它是梯形3、解决梯形问题的基本思路是通过做辅助线将梯形转化为形式常见的辅助线作法有要注意根据题目的特点灵活选用辅助线】【重点考点例析】考点一：梯形的基本概念和性质例1 （2012•内江）如图，四边形ABCD是梯形，BD=AC且BD⊥AC，若AB=2，CD=4，则S梯形ABCD= 9．思路分析：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，判断出△BDE是等腰直角三角形，求出BF，继而利用梯形的面积公式即可求解．解答：解：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B 作BF⊥DC于点F，则AC=BE，DE=DC+CE=DC+AB=6，又∵BD=AC 且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF=DE=3，故可得梯形ABCD的面积为（AB+CD）×BF=9．故答案为：9．点评：此题考查了梯形的知识，平移一条对角线是经常用到的一种辅助线的作法，同学们要注意掌握，解答本题也要熟练等腰直角三角形的性质，难度一般．对应训练1.（2012•无锡）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=5，BC=9，CD的垂直平分线交BC于E，连接DE，则四边形ABED 的周长等于（）A．17B．18C．19D．201．考点：；．分析：由CD的垂直平分线交BC于E，根据线段垂直平分线的性质，即可得DE=CE，即可得四边形ABED的周长为AB+BC+AD，继而求得答案．解答：解：∵CD的垂直平分线交BC于E，∴DE=CE，∵AD=3，AB=5，BC=9，∴四边形ABED的周长为：AB+BE+DE+AD=AB+BE+EC+AD=AB+BC+AD=5+9+3=17．故选A．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用是解此题的关键．考点二：等腰梯形的性质例2 （2012•呼和浩特）已知：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD=3，BC=7，则梯形的面积是（）A．25B．50C．25 D．思路分析：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，作DF⊥BC 于F，证平行四边形ADEC，推出AC=DE=BD，∠BDE=90°，根据等腰三角形性质推出BF=DF=EF= BE，求出DF，根据梯形的面积公式求出即可．解答：解：过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E，∵AD∥BC （已知），即AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴AD=CE=3，AC=DE，在等腰梯形ABCD中，AC=DB，∴DB=DE （等量代换），∵AC⊥BD，AC∥DE，∴DB⊥DE，∴△BDE是等腰直角三角形，作DF⊥BC于F，则DF=BE=5，S梯形ABCD=（AD+BC）•DF=（3+7）×5=25，故选A．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，平行四边形的性质和判定，等腰梯形的性质，等腰直角三角形等知识点的理解和掌握，能求出高DF的长是解此题的关键．对应训练2．（2012•厦门）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，若OB=3，则OC= 3．2．3考点：．分析：先根据梯形是等腰梯形可知，AB=CD，∠BCD=∠ABC，再由全等三角形的判定定理得出△ABC≌△DCB，由全等三角形的对应角相等即可得出∠DBC=∠ACB，由等角对等边即可得出OB=OC=3．解答：解：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AB=CD，∠BCD=∠ABC，在△ABC与△DCB中，∵,∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，∴OB=OC=3．故答案为：3．点评：本题考查的是等腰梯形的性质及全等三角形的判定与性质，熟知在三角形中，等角对等边是解答此题的关键．考点三：等腰梯形的判定例3 （2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．考点：；；．分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE 于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．解答：（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=，∴S菱形AECD=EC•AG=2×=2。
梯形
梯形导读：本文是关于梯形，希望能帮助到您！教学建议知识结构梯形知识归纳1．梯形的定义及其有关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．平行的两边叫做梯形的底，其中长边叫下底；不平行的两边叫腰；两底间的距离叫梯形的高．一腰垂直于底的梯形叫直角梯形，两腰相等的梯形叫等腰梯形．2．梯形的性质及其判定梯形是特殊的四边形，它具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．3．等腰梯形的性质和判定性质：等腰梯形在同一底上的两个角相等，两腰相等，两底平行，两对角钱相等，是轴对称图形，只有一条对称轴，底的中垂线就是它的对称轴．判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角钱相等的梯形是等腰梯形．梯形重难点分析本节的重点是等腰梯形的性质和判定.梯形仍是具有特殊条件的四边形，它与平行四边形同属于特殊的四边形，它只有一组对边平行，而另一组对边不平行，但平行四边形两组对边分别平行.而等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性.本节的难点也是等腰梯形的性质和判定.由于等腰梯形又是特殊的梯形，它的许多性质和判定方法与矩形、菱形、正方形这些特殊的平行四边形有一定的相似性和可比性，虽然学生在小学时已经接触过等腰梯形，在认识和理解上有一定的基础，但还是容易同特殊的平行四边形混淆，再加上梯形问题往往要转化成平行四边形和三角形来处理，经常需要添加辅助线，学生难免会有无从下手的感觉，往往会有对题目一讲就明白但自己不会分析解答的情况发生，教师在教学中要加以注意.梯形的教学建议1.关于梯形的引入生活中有许多梯形的例子，小学又接触过梯形内容，学生对梯形并不陌生，梯形的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如防洪堤坝、飞机机翼，别致窗户、音箱外形等等；②从小学学习过的旧知识复习引入；③从发现的角度引入，比如给出一组图形，告诉学生这就是梯形，然后寻找这些图形的共同点，根据共同点对梯形进行定义以及性质、判定的研究；④可用问题式引入，开始时设计一系列与梯形概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出梯形的定义和性质.2.关于梯形的概念梯形的相关概念小学就已经接触过，但并不深入，在研究梯形的概念时可设计如下问题加深对梯形相关概念的理解：①一组对边平行的四边形是不是梯形？②一组对边平行一组对边相等的图形是不是梯形？③一组对边相等的图形是不是梯形？④一组对边相等一组对边不相等的图形是不是梯形？⑤对角线相等的图形是不是梯形？⑥有两个角是直角的梯形是不是直角梯形？⑦两个角相等的梯形是不是等腰梯形？⑧对角线相等的梯形是不是等腰梯形？一、教学目标1. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的有关概念．2. 掌握等腰梯形的两个性质：等腰梯形同一底上的两个角相等；两条对角线相等.3. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养学生的分析能力和计算能力．4. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想二、教法设计小组讨论，引导发现、练习巩固三、重点、难点1．教学重点：等腰梯形性质．2．教学难点：解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）．四、课时安排1课时五、教具学具准备多媒体，小黑板，常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生阅读课本；学生在教师引导下探索等腰梯形的性质，归纳小结梯形转化的常见的辅助线七、教学步骤【复习提问】1．什么样的四边形是平行四边形？平行四边形有什么性质？2．小学学过的梯形是什么样的四边形．（让学生动手画一个梯形，并找3名同学到黑板上来画，并指出上、下底和腰，然后由学生总结出梯形的概念）．【引入新课】（板书课题）梯形同样是一个特殊的四边形，与平行四边形一样，它也有它的特殊性，今天我们就重点来研究这个问题．1．梯形及梯形的有关概念（l）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．（2）底：平行的一组对边叫做梯形的底（通常把较短的底叫上底，较长的底叫下底）．（3）腰：不平行的一组对边叫做梯形的腰．（4）高：两底间的距离叫做梯形高．（5）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．（6）等腰梯形：两腰相等的梯形．（以上这一过程借助多媒体或投影仪演示）提醒学在注意：①梯形与平行四边形同属于特殊的四边形，因为它们具有不同的特殊条件，所以必然有不同的性质．②平行四边形的对边平行且相等，而梯形中，平行的一组对边不能相等（让学生想一想，为什么不能相等）．③上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是指位置来说的．2．等腰梯形的性质例1 如图，在梯形中，，，求证：．分析：我们学过“等腰三角形两底角相等”，如果能将等腰梯形在同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，问题就容易解决了．证明：（略）由此得出等旧梯形的性质定理：等腰梯形在同一高上的两个角相等．例2 如图，求证：等腰梯形的两条对角线相等．已知：在梯形中，，，求证：．分析：要证，只要用等腰梯形的性质定理得出，然后再利用，即可得出．证明过程：（略）．由此得到多腰梯形的第一条性质：等腰梯形的两条对角线相等．除此之外，等腰梯形还是轴对称图形，对称轴是过两底中点的直线．3．解决梯形问题常用的方法在证明梯形性质定理时，我们采取的方法是过点作交于，从而把梯形问题转化成三角形来解，实质上是相当于把采取平行移动到的位置，这种方法叫做平行移动（也可移对角线），这是解决梯形问题常用的方法之—（让学生想一想，还可以用什么样的方法作辅助线来解决梯形问题，多找几名学生回答，然后教师总结，可借助多媒体演示见图）．（1）“作高”：使两腰在两个直角三角形中．（2）“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．（3）“延腰”：构造具有公共角的两个等腰三角形．（4）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形．综上所述：解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．【总结、扩展】小结：（以提问的方式总结）（1）梯形的有关概念．（2）梯形性质（①－③）．（3）解决梯形问题的基本思想和方法．（4）解决梯形问题时，常用的几种辅助线．八、布置作业教材P179中2、3、4九、板书设计十、随堂练习教材P176中1、3。
第五章基本图形_第25课梯形
在△AMD 和△BME 中，
∠A＝∠MBE， AD＝BE， ∠ADM＝∠E，
∴△AMD≌△BME. (2)解：∵△AMD≌△BME，∴MD＝ME. 1 又∵ND＝NC，∴MN＝ EC. 2 ∴EC＝2MN＝2×5＝10. ∴BC＝EC－EB＝10－2＝8.
题型二
【例 2】
等腰梯形
如图，在等腰梯形ABCD中，∠C＝60°，
解析
连接 BD，由∠BCD＝90° ，BC＝CD，得∠CBD＝∠CDB，
1 1 又 EC＝ BC＝ CD＝CF，∠BCD 是公共角，得△BCF≌△DCE， 2 2 ∴∠CBF＝∠CDE，∴∠BDE＝∠DBF，PB＝PD. 又∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP，∠BCP＝∠DCP，CP 平分∠BCD； 1 ∵AD∥BE，BE＝ BC＝AD，∴四边形 ABED 是平行四边形； 2 由△BCF≌△DCE，得 BF＝DE， 又由□ABCD 得 AB＝DE，所以 AB＝BF， 所以△ABF 是等腰三角形；故结论 A、B、D 正确，选 C.
基础自测 1．(2011· 临沂)如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB
＝CD，AD＝2，BC＝6，∠B＝60°，则梯形
ABCD的周长是( A．12 C．16 ) B．14 D．18
答案
C
解析
作 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F.
1 易证△ABE≌△DCF，BE＝CF＝ (BC－AD) 2 1 ＝ ×(6－2)＝2. 2 又∵∠B＝60° ，∴AB＝4，梯形 ABCD 的周长 AB＋BC＋CD＋DA＝4＋6＋4＋2＝16.
2．梯形中经常用到的添辅助线方法 在解决梯形问题时，常常要视已知条件来添加某些辅助线， 将梯形化为三角形或平行四边形(或矩形)，从而使分散的条 件相对集中，找出原题的解答． (1)当已知条件中含梯形两腰时可延长两腰，把梯形问题转 化为三角形问题来解决；或平移一腰或过上底两端点作高， 把梯形转化为平行四边形和三角形来解； (2)当已知条件中含梯形对角线时，可平移一条对角线，把 梯形转化为平行四边形或三角形来解； (3)当已知对角线中点时，可将顶点与该中点连接并延长与 另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题来解； (4)当已知一腰中点时，可把一顶点与中点连接并延长与另 一底相交；或过这腰中点作梯形另一腰的平行线，把梯形问 题转化为平行四边形或三角形问题来解；或取梯形另一腰的 中点，构成梯形中位线问题．
梯形的性质和判定
2 C
4E F 1 D
BE
C F
2、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠1=∠2。 求证：四边形ABCD是等腰梯形。
证明：过点D作DE∥AC，与BC的延长线
交于点E
得到平行四边形ACED。
A
D
∴ AC∥DE且AC=DE
一、判断
1、有一组对边平行的四边形是梯形( × ) 2、等腰梯形的两个底角相等( × ) 3、等腰梯形的两条对角线相等( √ )
二、选择
１、对于等腰梯形，下列结论错误的是( B ) A.只有一组相等的对边 B.只有一对相等的内角
C.只有一条对称轴
D.两条对角线相等
２、有两个角相等的梯形是（ C ）
过点D作DF⊥BC于点F
过顶点作高线是梯形 常用的辅助线。
A
D
B
C
延长两腰BA、CD相交于点E
延长两腰是梯形常用
的辅助线。
在四边形ABCD中，AB∥CD，但AB≠CD的
条件下，老师说下列四个图形都是等腰梯形，
你相信吗?
A
B
A
B
3
3
D
C
D
两腰相等的梯形是等腰梯形。
A
B
不能确定 C
A
B
60°
60°
8
D
A．等腰梯形
B．直角梯形
C．等腰梯形或直角梯形 D．一般梯形
知识应用
例1.如图,延长等腰梯形ABCD的两腰BA与CD,相 交于点E.试说明△EBC和△EAD都是等腰三角形.
E
解:在等腰梯形ABCD中,
∠B=∠C
A
D
(等腰梯形同一底边上的两个内角相等)
梯形讲义
【讲义课题】：梯形及梯形的辅助线【考点及考试要求】一、学习目标：1. 掌握梯形的有关概念和基本性质。
2. 能够运用梯形的有关概念和性质进行有关问题的论证和计算，进一步培养分析问题能力和计算能力。
3. 通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，体会图形变换的方法和转化的思想。
总结作梯形常见辅助线的方法，通过添加辅助线，把梯形的问题转化成平行四边形或三角形的问题，使学生体会图形变换的方法和转化的思想．二、重点、难点：重点：等腰梯形的性质及其应用。
难点：解决梯形问题的基本方法：将梯形转化为平行四边形或三角形及正确添加辅助线。
解决梯形问题的基本方法（将梯形转化为平行四边形和三角形及正确运用辅助线）。
三、考点分析：考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用梯形直角梯形的概念√等腰梯形的概念√等腰梯形的性质与判定√知识梳理一、梯形的定义和分类梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
（强调：①梯形与平行四边形的区别和联系；②上、下底的概念是由底的长短来定义的，而并不是就位置来说的。
）1. 一些基本概念（如图）：底、腰、高。
2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
3. 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
二、梯形的性质梯形的上底和下底互相平行，两腰不平行。
三、等腰梯形的性质1. 等腰梯形同一底边上的两个角相等2. 等腰梯形的两条对角线相等3. 等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴四、等腰梯形的判定1. 有两腰相等的梯形是等腰梯形2. 同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形五、梯形的中位线1. 定义：梯形两腰中点的连线2. 定理：梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半六、梯形的面积梯形的面积=（上底+下底）×高÷2=中位线×高七、梯形中常作的辅助线（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长，使其与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）。
第11讲 梯形(学生版)
第11讲梯形【学习目标】1．理解梯形的有关概念，理解直角梯形和等腰梯形的概念．2．掌握等腰梯形的性质和判定．3．初步掌握研究梯形问题时添加辅助线的方法，使问题进行转化．4. 熟练运用所学的知识解决梯形问题．5. 掌握三角形，梯形的中位线定理.【要点梳理】知识点一、梯形的概念一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形. 在梯形中，平行的两边叫做梯形的底，较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，不平行的两边叫做梯形的腰，夹在两底之间的垂线段叫做梯形的高，一腰和底的夹角叫做底角.要点诠释：（1）定义需要满足三个条件：①四边形；②一组对边平行；③另一组对边不平行.（2）有一组对边平行的四边形有可能是平行四边形或梯形，关键在于另一组对边的位置或者数量关系的不同.梯形只有一组对边平行，而平行四边形两组对边都平行；平行四边形中平行的边必相等，梯形中平行的一组对边必不相等.（3）在识别梯形的两底时，不能仅由两底所处的位置决定，而是由两底的长度来决定梯形的上、下底.知识点二、等腰梯形的定义及性质1.定义：两腰相等的梯形叫等腰梯形.2.性质：（1）等腰梯形同一个底上的两个内角相等.（2）等腰梯形的两条对角线相等.要点诠释：（1）等腰梯形是特殊的梯形，它具有梯形的所有性质.（2）由等腰梯形的定义可知：等腰相等，两底平行.（3）等腰梯形同一底上的两个角相等，这是等腰梯形的重要性质，不仅是“下底角”相等，两个“上底角”也是相等的.知识点三、等腰梯形的判定1.用定义判定：两腰相等的梯形是等腰梯形.2.判定定理：（1）同一底边上两个内角相等的梯形是等腰梯形.（2）对角线相等的梯形是等腰梯形.知识点四、辅助线梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：分解成一个平行四边形和一个三角形过一腰中点作另一腰的平构造出一个平行四边形和一对全等的三角形过一顶点作一条对角线的构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形构造出一个矩形和两个直角三过一底边的端点作另一底角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等延长梯形的两腰使其交于构成两个形状相同的三角形连接一顶点和一腰的中点构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换知识点五、三角形、梯形的中位线联结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.联结梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线.梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.【典型例题】（基础）类型一、梯形的计算1、已知：如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝4.求 B的度数及AC的长.举一反三：【变式】如图所示，已知四边形ABCD是梯形，AD∥BC，∠A＝90°，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E．(1)求证：△ABD≌△ECB；(2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数．2、如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，对角线AC⊥BD，AD＝4，BC＝10，求梯形的面积．举一反三：【变式】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，将△ACD沿对角线AC翻折后，点D 恰好与边AB的中点M重合；（1）求证；四边形AMCD为菱形；（2）求证：AC⊥BC；（3）当AB=4时，求梯形ABCD的面积．类型二、梯形的证明3、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，点E、F分别是对角线AC、BD的中点，求证：四边形ADEF为等腰梯形．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠BAD、∠CDA的平分线AE、DF分别交直线BC于点E、F．求证：CE＝BF．4、如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC＝5，BD＝12，两底AD、BC的和为13．（1）求证：AC⊥BD；（2）求梯形ABCD的面积．类型三、三角形、梯形的中位线5、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是AB、CD的中点，我们把线段EF 称为梯形ABCD的中位线，通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置关系和数量关系，并证明你的结论．【典型例题】（提高）类型一、梯形的计算1、如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝4，AC＝3，BD＝4，求梯形ABCD 的面积．举一反三：【变式】如图所示，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD＝CD＝3，BC＝4，AB＝8，求梯形ABCD的面积．类型二、梯形的证明2、已知梯形ABCD 中，∠B ＋∠C ＝90°，EF 是两底中点的连线，试说明．3、 如图所示，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 是AB 的中点，DM 平分∠ADC ，CM 平分∠BCD ．求证：(1)；(2)DC ＝AD ＋BC ．1()2EF BC AD =-12DMC ABCDS S =△梯形举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是对角线AC延长线上一点，F是AD延长线上的一点，且EB⊥AB，EF⊥AF．（1）当CE=1时，求△BCE的面积；（2）求证：BD=EF+CE．类型三、三角形、梯形的中位线4、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB ＝12，AC＝18，求MD的长．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，E、F分别是DC、AB的中点，G是AC的中点，则EF与AD+BC 的关系是( )．A．2EF=AD+BC B．2EF＞AD+BC C．2EF＜AD+BC D．不确定5、梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF并延长并BC延长线于点G．求证：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．【巩固练习】一.选择题1.如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC平分∠BAD，∠B＝60°，CD＝2，则梯形ABCD的面积是( )A. B.6C.D.122．如图，在ABCD 中，AB=3，AD=5，AM 平分∠BAD ，交BC 于点M ，点E 、F 分别是AB ，CD的中点，DM 与EF 教育点N ，则NF 的长等于（ ）A ．0.5B ．1CD ．23．如图，平行四边形ABCD 是用12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个图形中等腰梯形的上底长与下底长的比是( )．A. 1∶2B. 2∶3C. 3∶5D. 4∶74．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若对角线AC ⊥BD ，且AC ＝5，BD ＝12，则梯形的面积等于( ) A.30B.60cC.90D.169c5.如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，则下列结论：①EF∥AD；②；③△OGH 是等腰三角形；④BG＝DG ；⑤EG＝HF ． 其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3336cm cm 2cm 2cm 2cm 2cm ABO DCO S S △△6. 如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的中点.已知两底的差是6，两腰的和是12，则△EFG的周长是（）A.8B.9C.10D.12二.填空题7. 如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD＝CB，对角线AC⊥BD，垂足为O.若CD=3，AB＝5，则AC的长为________.8.（嘉定区二模）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB=CD．如果AD=2，BD=3，∠DBC=45°，那么梯形ABCD的面积为．9. 如图，DE是△ABC的中位线，M、N分别是BD、CE的中点，MN＝6，则BC＝_____.10．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠B＝60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一点，那么PC＋PD的最小值为______．11.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，BC ＝7，若E 为DC 的中点，射线AE 交BC 的延长线于F 点，则BF ＝______．12.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝4AD ＝，∠B ＝45°．直角三角板含45°角的顶点E 在边BC 上移动，一直角边始终经过点A ，斜边与CD 交于点F ．若△ABE 为等腰三角形，则CF 的长等于_________.三.解答题13．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，DB 平分∠ADC ，过点A 作AE ∥BD ，交CD 的延长线于点E ，且∠C ＝2∠E.(1)求证：梯形ABCD 是等腰梯形；(2)若∠BDC ＝30°，AD ＝5，求CD 的长．14．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 、N 分别是AD ，BC 的中点，E ，F 分别是BM ，CM的中点．(1)求证：四边形MENF是菱形；(2)若四边形MENF是正方形，请探索等腰梯形ABCD的高和底边BC的数量关系，并证明你的结论．15．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=BC=3cm，CD=4cm，动点P从点A出发，先以1cm/s的速度沿A→B→C运动，然后以2cm/s的速度沿C→D运动．设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得△BPD的面积S=3cm2？【课后作业】【巩固练习】一.选择题1. 某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地，其各边的中点分别是E、F、G、H测量得对角线AC＝10米，现想用篱笆围成四边形EFGH场地，则需篱笆总长度是（）A. 40米B. 30米C.20米D.10米2. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝DC＝CB，若∠ABD＝25°，则∠BAD的大小是( )A．40° B．45° C．50° D．60°3.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，DE∥AB交BC于点E，若AD=3，BC=10，则CD的长是（）A ．7B ．10C ．13D ．144．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝30°，∠BCD ＝60°，AD ＝2，AC 平分∠BCD ，则BC 长为( )．A.4B.6C.D.5. 等腰梯形的下底是上底的3倍，高与上底相等，这个梯形的腰与下底所夹角的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．135°6. 若一个等腰梯形的周长为30，腰长为6, 则它的中位线长为（ ）A. 12B. 6C. 18D. 9二.填空题7. 顺次连接等腰梯形各边中点得到的四边形是_________________.8. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，•AD ＝•6，•BC ＝•8，•∠B ＝•60•°，•则AB ＝_______．9.如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、CD 的中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是 ．3433cm cm cm cm cm cm cm cmcm10．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，若AD＝3，AB＝4，BC＝7，则∠B＝______11.下面图1的梯形符合_____________条件时，可以经过旋转和翻折成图案2．12．如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点AD＝BC，∠PEF＝18°，则∠PFE的度数是．三.解答题13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=2，BD=6，AC=BC=8，求证：AC⊥BD．14. 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC， BD平分∠ABC，∠A＝60°.过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结EF，求证：△DEF为等边三角形.15. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，∠ADC＝105°，AD＝6，且AC⊥AB，求AB的长．。
第16讲梯形的性质与判定预习班讲义
梯形性质判定及多边形特征温馨提示：本文档包含讲义和作业两部分（均附答案），讲义为视频所讲题目，部分未讲到的题目，请及时练习；课程学习完毕，请及时完成作业，进一步巩固所学。
—————————————————————————————————————————————一、知识点睛1. 梯形定义及分类：_____________________________________________________________；2. 等腰梯形性质：_______________________________________________________________；3. 等腰梯形判定：① _______________________________________________________________________；② _______________________________________________________________________；4. n 边形的内角和等于________________；外角和等于_______；5. 中心对称图形________________________________________________________________________________________________________________________________________________________；6. 中心对称图形上的_________________都被_________________平分；7. 平面图形的镶嵌：_____________________________________________________________；二、精讲精练1. 如果等腰梯形两底之差等于一腰长，那么这个等腰梯形的锐角是_______.2. 在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =5，AB =6，BC =8，过点D 作DE ∥AB ，△DEC 的周长是_______.3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD =2，BC =4，高DF =2，求腰DC 的长.F DC B A4. 在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥CD 于点D ，若AB =1，AD =2，DC =4，则BC 的长为___________.5. 等腰梯形的腰长为5cm ，上下底的长分别为6cm 和12cm ，则它的面积为_____________.6. 等腰梯形的底角为45°，高等于上底，下底为9，那么它的腰长为_________.7. 已知梯形ABCD ，AB ∥CD ，AB =3，CD =10，AE ⊥DC ，BF ⊥CD ，AE =3，∠C =45°，求BF ，DE ，AD 的长及梯形ABCD 的周长和面积. FE D C BA8. 等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC =BC +AD ，求∠ACB 的度数. DC B A9. 如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =DC ，AC ⊥BD ，过D 点作DE ∥AC 交BC 的延长线于E 点.（1）求证：四边形ACED 是平行四边形（2）若AD =3，BC =7，求梯形ABCD 的面积.A B C DE10. 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC +∠BCD =90°，且DC =2AB ，分别以DA 、AB 、BC 为边向梯形外作正方形，其面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1、S 2、S 3之间的关系是 _________________.S 3S 2S 1B AC D11. 如图是由六个全等的正三角形拼成的，图中有_______个等腰梯形.12. 如图，五边形ABCDE 是正五边形，AC 、AD 、BD 、BE 、CE 是对角线，则图形中共有等腰梯形__________个．E C BB第11题图 第12题图 13. 以线段a =16，b =13，c =10，d =6为边作梯形，其中a ，c 作为梯形的两底，这样的梯形（ ）A ．可以作一个B ．可以作二个C ．可以作无数个D ．不能作14. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，E 是CD 的中点，则 （ ）A ．AE =BEB ．AE >BEC ．AE <BED ．AE ，BE 大小不确定15. 下列选项正确的是（ ）A ．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形B ．有一组对角互补的梯形是等腰梯形C ．有一组邻角相等的梯形是等腰梯形D ．有两组角分别相等的四边形是等腰梯形16. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，那么∠A :∠B :∠C :∠D 可以等于（ ）A ．4:5:6:3B ．6:4:5:3C ．6:5:4:3D ．3:4:5:617. 四边形ABCD 中，若∠A ：∠B ：∠C ：∠D =2：2：1：3，则这个四边形是（ ）A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形18. 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，若OA =OD ，OB =OC ，求证：梯形ABCD 是等腰梯形．OD C BA19. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点M 是AD 的中点，且MB =MC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形． M DC BA 20. 过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个三角形，这个多边形是______边形；它的内角和是______．21. 一个多边形的外角都等于60°，这个多边形是____边形． 22. 如图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是_____边形．23. 一个多边形的每个外角都等于与它相邻的内角，这个多边形是____边形；每个外角的度数为______．24. 如果一个多边形的内角和是外角和的5倍，那么这个多边形是 ___边形；25. (n +1)边形的内角和比n 边形的内角和大（ ）A ．1B ．180°C ．360°D ．以上都不对26. 正n 边形的内角和等于1080°，那么这个正n 边形的边数n =_____．27. 下列图形只是轴对称图形，而不是中心对称图形的是（ ）A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．等腰梯形28. 下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是 个．29. 下列美丽的图案，是中心对称图形是（ ）A B C D30. 能铺成一片可以不留空隙的平面图形有 （写三个）．31. 如果要用正三角形和正方形两种图形进行密铺，那么至少．．需要（ ） A ．三个正三角形，两个正方形B ．两个正三角形，三个正方形C ．两个正三角形，两个正方形D ．三个正三角形，三个正方形32. 使用同一种规格的下列地砖，不能密铺的是（ ）A ．正六边形地砖B ．正五边形地砖C ．正方形地砖D ．正三角形地砖33. 用两个全等的直角三角形拼下列图形，①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形．一定可以拼成的图形有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个34. 将一圆形纸片对折后再对折，得到图1，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其中一部分展开后的平面图形是（ ）图1D C B A35.把边长为2的正方形剪成四个全等的直角三角形，用这四个直角三角形拼成一个梯形，请你给出两种不同的拼法.21【讲义答案】一、知识点睛1.一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形；两条腰相等的梯形是等腰梯形；一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形.2.等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等.3.①两条腰相等的梯形叫做等腰梯形；②同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形.4.（n-2）·180°；360°5.在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.6.每一对对应点所连成的线段；对称中心.7.像这样用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌.二、精讲精练1．60°2．15 3．45．36cm26．8．60°7．BF=3，DE=4，AD=5，周长是18+3929．（1）证明略；（2）25 10．S1+S3=S211． 6 12．10 13．D 14．A 15．B 16．A 17．C 18．证明略19．证明略20．七；900° 21．六 22．六 23．四；90° 24．十二 25．B 26．8 27．D 28．1 29．B 30．正六边形，正方形，正三角形 31．A 32．B 33．B 34．C 35．略【作业】梯形性质判定及多边形特征1. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC =BD ，则四边形ABCD 是_________，若延长两腰BA ，CD 相交于E ，则△EBC 是_________．2. 已知等腰梯形的锐角等于60°，它的两底分别为15cm ，49cm ， 则它的腰长为_______．3. 等腰梯形上底为6cm ，下底为8cm ，高为3cm ，则腰长为_______．4. 若直角梯形的一腰长为18cm ，这条腰和一个底所成的角是30°，则另一条腰长是______．5. 若一底给定，一腰与底的夹角是90°时，等腰梯形（ ）A ．一定可以作出B ．一定作不出C ．可能作出D ．可以作出两个6. 如图，等腰梯形ABCD ，AD =BC ，AB ∥CD ，AC 和BD 是两条对角线，若不允许再添加任何的字母和线段，你能否在图中找出另一组相等的线段______，一组相等的角_______.7. 如图，将等腰梯形ABCD 的一条对角线BD 平移到CE 的位置，△CAE 是________三角形．A B C DED C B A第6题图 第7题图8.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，且AC⊥BD，AF是梯形的高，梯形面积是49，求高AF的长．F DCBA9.每个内角都是144°的多边形是边形．10.若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么这个多边形的边数为____________．11.若凸多边形的内角和等于它的外角和，则其边数是________．12.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为______，每个内角的度数为______．13.若一个多边形的内角和等于其外角和的2倍，则它是边形．14.下列正多边形中，能够铺满地面的正多边形有（）①正六边形；②正方形；③正五边形；④正三角形A．1种B．2种C．3种D．4种15.下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．线段B．矩形C．等腰梯形D．正方形16.请看几家银行标志，成中心对称图形有个．17.用两个全等（但不是等腰的）直角三角形，一定能拼成下列图形中的．①等腰三角形；②平行四边形；③矩形；④菱形；⑤正方形．②18. 将一张长与宽的比为2：1的长方形纸片按如图1、2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，得到图4，最后将图4的纸片再展开铺平，则所得到的图案是（ ）图3图4图2图1A B C D【作业答案】1. 等腰梯形；等腰三角形2. 34cm3. 2cm4. 9cm5.B6. AC =BD ；∠CAB=∠DBA （答案不唯一）7. 等腰8. 79. 十10. 811. 4 12. 36°；144° 13.六 14. C 15. C 16. 2 17. ①②③18.A。
梯形知识点梳理
梯形知识点梳理
梯形知识点梳理：
一、定义和性质
1.定义：梯形是一个四边形，其中一组对边平行，另一组对边不平行。
2.性质：
a)梯形有一组平行的对边，其长度不相等。
b)梯形有两个斜的边。
c)梯形的面积计算公式是(上底+下底)*高/2。
二、判定方法
1.有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形。
2.若一个四边形的对角线互相垂直且长度相等，则这个四边形是梯形。
3.若一个四边形的对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形，不是梯形。
三、相关定理和推论
1.梯形的中位线定理：梯形的中位线等于上底和下底的平均值。
2.梯形的角平分线定理：梯形的角平分线将底边分为两段相等的部分。
3.梯形的对角线性质：梯形的对角线互相平分。
4.直角梯形定理：直角梯形的直角边的长度相等。
5.等腰梯形定理：等腰梯形的两腰相等，且底角相等。
四、面积计算公式
1.梯形面积=(上底+下底)*高/2。
2.当已知梯形的上底、下底和高中的两个量时，可以代入公式计算面积。
3.当已知梯形的一组对角时，可以使用海伦公式计算面积。
五、应用举例
1.在实际生活中，梯形的应用非常广泛，如楼梯、斜面、栏杆等。
2.在几何证明题中，经常需要利用梯形的性质和判定方法进行证明。
梯形性质与判定
梯形练习姓名：1． 叫梯形 2、 叫等腰梯形 3、等腰梯形的性质：1）边 2）角 3）对角线： 4）对称性： 练一练:1.在梯形中，同一腰上的两组角的比值分别为1∶3和3∶7，则四个角的度数为 . 2、直角梯形一腰长16 cm,和一个底所成的角为30°,那么另一腰长________ cm.3.等腰梯形的两底差等于腰长，腰与下底边的夹角为________，与上底的夹角为________. ● 精讲精练1、等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，AC 平分DAB ∠，60DAB ∠=︒，若梯形周长为10cm 。
求AB 的长。
变式：等腰梯形ABCD 中，AD//BC,AB=CD,对角线AC 与BD 交于O ，求证：AO=OD,BO=OC.2、已知梯形ABCD ，AB=DC ，AD//BC ，60B ∠=︒,AD=15cm ，BC=49cm，求它的腰。
3：四边形ABCD 是等腰梯形，其中AD =BC ，若AD =5，CD =2，AB =8，求梯形ABCD 的面积.5.如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，设AC ，BD 交于O 点，则图中共有对面积相等的三角形.（ ）A.2B.3C.4D.56、在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =AC ，若∠D =110°，∠ACD =30°，则∠BAC 等于（ ） A.80° B.90° C.100° D.110°7.在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于E ，且AE =AD ，BC =3AD ，则∠B 等于（ ） A.30° B.45° C.60° D.135°8.若等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD ，AC 、BD 相交于点O ，那么图中全等三角形共有_______对；若梯形ABCD 为一般梯形，那么图中面积相等的三角形共有_______对. 9.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =50°，∠C =80°，AD =8，BC =11，则CD=_______.11.等腰梯形的腰长为5 cm ，上、下底的长分别为6 cm 和12 cm ，则它的面积为_______. 12.在梯形ABCD 中，AD ∥BC ,∠B =90°，∠C =45°，CD =10 cm ，BC =2AD ，则梯形的面积为_______. 梯形中位线的性质：梯形的面积练一练：1、梯形的中位线长为10，高为8，则梯形的面积是。
初中数学知识点精讲精析 等腰梯形的性质和判定
1.4 等腰梯形的性质和判定学习目标1.会能证明等腰梯形的性质定理和判定定理。
2.逐步学会分析和综合的思考方法,发展思考能力。
知识详解1.性质性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。
已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC。
求证：∠B＝∠C，∠A＝∠D。
证明：过点D作DE∥AB，交BC于点E，∴∠1＝∠B，∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB＝DE，∵AB＝DC，∴DE＝DC，∴∠1＝∠C，∴∠B＝∠C，∵∠A＋∠B＝180°，∠ADC＋∠C＝180°，∴∠A＝∠ADC。
性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等。
已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC、BD为梯形ABCD的对角线。
求证：AC＝DB。
证明：梯形ABCD中，AD∥BC，∵AB＝DC，∴∠ABC＝∠DCB，又∵BC ＝CB ，∴ΔABC ≌ΔDCB(SAS)，∴AC ＝DB 。
2.判定同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
已知：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠C 。
求证：AB ＝DC 。
证明：过点D 作DE ∥AB 交BC 于点E ，∴∠B ＝∠DEC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AB ＝DE ，又∵∠B ＝∠C ，∴∠DEC ＝∠C ，∴DE ＝DC ，∴AB ＝DC 。
【典型例题】例1. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．AC=BDB ．∠OBC=∠OCBC ．AOB DOC S S =△△D ．∠BCD=∠BDC【答案】D【解析】A 、∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AC=BD ，故本选项正确；B 、∵四边形ABCD 是等腰梯形，∴AB=DC ，∠ABC=∠DCB ，在△ABC 和△DCB 中，AB DC ABC BC CB DCB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABC ≌△DCB （SAS ），∴∠ACB=∠DBC ，∴OB=OC ，故本选项正确；C 、∵无法判定BC=BD ，∴∠BCD 与∠BDC 不一定相等，故本选项错误；D 、∵∠ABC=∠DCB ，∠ACB=∠DBC ，∴∠ABD=∠ACD ．故本选项正确．例2. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC，垂足分别为E、F，AD=4，BC=8，则AE+EF等于（）A．9B．10C．11D．12【答案】B【解析】作辅助线：延长BC至G，使DG∥AC，由AD∥BC，可知四边形ADGC为平行四边形，所以DG=AC，而等腰梯形中两对角线相等，所以DG=BD，而DF⊥BG，则△AEC为等腰直角三角形，从而得到FC=FG-AD=2，则EF=BC-2FC=8-2FC=4，所以AE+EF=6+4=10．例3. 如图，等腰梯形ABCD中，AD=5，AB=CD=7，BC=13，且CD之中垂线L交BC于P点，连接PD．求四边形ABPD的周长为何（）A．24B．25C．26D．27【答案】B【解析】∵L为中垂线，∴DP=CP，∴四边形ABPD的周长=AD+AB+BP+PD=AD+AB+BP+PC=5+7+13=25【误区警示】易错点1：理解等腰梯形判定1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，过C作CE∥AB，P为梯形ABCD内一点，连接BP并延长交CD于F，交CE于E，再连接PC，已知BP=PC，则下列结论中错误的是（）A．∠1=∠2B．∠2=∠EC．△PFC∽△PCED．△EFC∽△ECB【答案】D【解析】∵ABCD是等腰梯形，∴∠ABC=∠DCB，∵BP=CP，∴∠PBC=∠PCB，∴∠1=∠2（A 正确），∵CE∥AB，∴∠1=∠E，∴∠2=∠E（B正确），∵∠P=∠P，∠2=∠E，∴△PFC∽△PCE（C正确）．易错点2：理解等腰梯形性质2.如图所示，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，点E是BC边的中点，ED∥AB，则∠BCD 等于（）A．30°B．70°C．75°D．60°【答案】D【解析】已知四边形ABCD为等腰梯形，故AB=DC．∵AD∥BC，ED∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴DE=CD，∵BD⊥DC，点E是BC边的中点，∴DE=BE=CD，∴BE=ED=EC=DC，故△DCE为等边三角形，∴∠BCD=60°【综合提升】针对训练1. 如图是用若干个全等的等腰梯形拼成的图形，下列说法错误的是（）A．梯形的下底是上底的两倍B．梯形最大内角是120°C．梯形的腰与上底相等D．梯形的底角是60°2. 如图，小亮用六块形状、大小完全相同的等腰梯形拼成一个四边形，则图中∠α的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．45°3. 下列命题：①平行四边形对角线一定相等；②等腰梯形在同一底上的两个角相等；③四边形的内角和等于360°；④关于中心对称的两个图形是全等形．其中正确命题的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个1.【答案】D【解析】由图可知，较小的底角的3倍=180°，从而可得到较小的底角为60度，则最大的角为120°（B正确），过上底顶点作下底上的高，则可证得，梯形的腰等于其上底（C正确），2.【答案】A【解析】观察可看出，菱形的边长和对角线都等于下底与腰的和，所以∠α=60°，故选A．3.【答案】C【解析】平行四边形对角线不一定相等，故此项错误；其它三个均可由等腰梯形的性质，多边形的内角公式及中心对角的性质得到，所以正确的是：②；③；④共三个，故选C．课外拓展商高定理这个定理在中国又称为"商高定理"，在外国称为"毕达哥拉斯定理"。
梯形的性质与判定-火箭
梯形的性质与判定一、知识梳理1．梯形的定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．2．特殊梯形的定义：（1）等腰梯形：两腰相等的梯形．（2）直角梯形：一腰垂直于底的梯形．3．等腰梯形的性质：（1）从角看：等腰梯形同一底上的两个内角相等；（2）从边看：等腰梯形两腰相等；（3）从对角线看：等腰梯形两条对角线相等．4．等腰梯形的判定：（1）两条腰相等的梯形是等腰梯形．（2）在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）对角线相等的梯形是等腰梯形．二、易错点高效突破易错点：等腰梯形中识别全等三角形的对数例题1 如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则图中的全等三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对三、常见的重点与典型题1.考查等腰梯形的常见辅助线的作法【法一：平移对角线】例题1已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，DE∥AC，AD=3㎝，BC=7㎝，求BD的长.活学活用1：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，O是垂足，CE⊥AB于点E，试说明：2CE=AB+DC.活学活用2：课外活动上，老师让同学们做一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积是450㎝²，则作对角线的竹条至少需（）㎝.A.230 B.30 C.60 D.260【法二：连接底边上的一个顶点与腰的中点并延长与另一底的延长线相交构造全等三角形】例题2如图，但E是梯形ABCD的腰AD的中点，且AB+CD=BC，试说明BE平分∠ABC.活学活用1：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 的中点，若△DEC 的面积为S ，则梯形ABCD 的面积为（ ）A.S 25B.2SC.S 47D.S 49活学活用2：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB+CD=BC ，M 是AD 的中点，求证：BM ⊥CM.【法三：作高】例题3 如图，有两棵树，一棵树高8米，另一棵树高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.活学活用：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，∠D=120°，对角线CA 平分∠BCD ，且梯形的周长为20，则AC= ，梯形ABCD 的面积为 .2.已知梯形四边的长度，确定图形的形状和面积例题4 （2002，全国竞赛）用长1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 .活学活用：以线段a =16,b =13为梯形的两底，c =10，d =6为腰画梯形，这样的梯形（ ）A.只能画出一个B.能画出2个C.能画出无数个D.不能画出3.抓住平行四边形面积不变和作高的综合应用例题5 四边形ABED 和四边形AFCD 都是平行四边形，AF 和DE 相交成直角，AG=3㎝, DG=4㎝，平行四边形ABED 的面积是36㎝²，则四边形ABCD 的周长为（ ）㎝.A.49B.43C.41D.464.证两线段的和等于第三条线段的长度例题6 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，BG ⊥CD 于点G .若点P 在BC 上，过点P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥CD 于F ，求证:PE+PF=BG .5.考查等腰梯形的判定条件例题7 在梯形ABCD 中，AD//BC, E 为BC 中点，EF ⊥A B ，EG ⊥CD ，EF=EG .求证：梯形ABCD 为等腰梯形.活学活用1：在梯形ABCD中，AD//BC，∠ACB=∠DBC.求证:梯形ABCD是等腰梯形.活学活用2：在锐角△ABC中, AD⊥BC于D，E、F、G分别是AC、AB、BC的中点,求证:四边形DEFG是等腰梯形.6.梯形中的动态问题例题8如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3㎝，∠C=60°，BD⊥CD.（1）求BC、AD的长度；（2）若点P从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1㎝/秒的速度运动，当P、Q分别分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD 的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围（不包含P在B、C两点的情况）.活学活用：如图所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24㎝,BC=26㎝，动点P从A开始沿边AD向D以每秒1㎝的速度运动，动点Q从C开始沿CB边向B以每秒3㎝的速度运动，P、Q两点分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒.（1）t为何值时，四边形PQCD为平行四边形；（2）四边形PQCD会为等腰梯形吗？说明理由.四、中考与竞赛在线1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10㎝，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E为CG的中点，F是AB的中点，则EF的长为㎝.2.如图，已知直角梯形ABCD中，底角∠B=60°，对角线AC平分∠BAD，上底为1㎝，求梯形的面积.3.如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，且AC ⊥BD ，AF 是梯形的高，梯形的面积为49㎝².求梯形的高.4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，且AC=8㎝，BD=6㎝，求梯形的高.5.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC.（1）若AD=5,BC=11，梯形芳容高是4，求梯形的周长；（2）若AD=a,BC=b ，梯形芳容高是h ，求梯形的周长C ；（3）若AD=3,BC=7，BD=25，求证：AC ⊥BD.6.（2005，淄博）如图，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC 、BD 相交于点E ，若AC ⊥BD ，BD=BC,求证：CE=21(AD+BC).7.（2009，北京19）如图，在梯形A B C D 中，904514B C AD BC ∠=∠===°，°，，，A D B C ∥，E 为AB 的中点，E F D C ∥交B C 于点F ，求EF 的长.A D BEC F。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
梯形和等腰梯形的判定与性质
一、 考什么（知识梳理） 考点一：梯形及特殊梯形的定义： 1、 梯形： 2、 等腰梯形： 3、 直角梯形： 考点二：
(1) 梯形的性质：
①两底平行 ②梯形的面积S=
1
2
(a+b)h （2）等腰梯形的性质
①、等腰梯形在同一底上的两个角 。
②、等腰梯形的对角线 。
③、等腰梯形的对角 。
考点二：等腰梯形的判定
1、两腰相等的 是等腰梯形。
2、在同一底上的两个角 的梯形是等腰梯形。
3、两条对角线 的梯形是等腰梯形。
二、 怎么考（例题精讲）
例1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，AC ⊥BD 于点O ，过点A 作AE ⊥BC 于点E ，若BC=8，AD=2，则tan ∠ABE=__________。
例2、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90,∠C=45,AD=1,BC=4, E 为AB 中点，EF ∥DC 交BC 于F. 求EF 的长.
例3、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AB=8，3
4tan =∠CAD ，CA=CD
，
B F C
A D
图
2
E
图1
E 、
F 分别是线段AD 、AC 上的动点（点E 与点A 、D 不重合），且∠FEC=∠ACB ，设DE=x ，CF=y.
（1）求AC 和AD 的长； （2）求y 与x 的函数关系式；
（3）当△EFC 为等腰三角形时，求x 的值.
例4、如图4，在梯形ABCD 中．AD ∥BC ，AD=6．BC=I6。
E 是BC 的中点．点P 以每秒1个单位长度的速度从点A 出发，沿AD 向点D 运动：点Q 同时以每秒2个单位长度的速度从点C 出发．沿CB 向点B 运动．点P 停止运动时，点Q 也随之停止运动．
当运动时间t =_______ 秒时。
以点P ，Q ．E ．D 为顶点的四边形是平行四边形．
例5、如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB=BC ，且AE ⊥BC ． （1）求证：AD=AE （2）若AD=8，DC=4，求AB 的长
三、课堂练兵（课堂训练）
1、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD ，若AD=3，BC=7，则梯形ABCD 的面积为
2、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ， 点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）. (A)∠HGF ＝∠GHE (B)∠GHE ＝∠HEF (C)∠HEF ＝∠EFG (D)∠HGF ＝∠HEF
3、如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，C E 是∠BCD
的平分线，且CE ⊥AB ，E 为垂足，BE ＝2AE ，
若四边形AECD 的面积为1，则梯形ABCD 的面积为______．
4、如图，六边形ABCDEF 的六个内角都相等，若AB ＝1，BC ＝CD ＝3，DE ＝2，则这个
六边形的周长等于______．
第12题
B
G
A D
E
B F C
5．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝90°，AD ＝4，连接BD ，BD ⊥CD ，∠ADB ＝∠C ．若
P 是BC 边上一动点，则DP 长的最小值为______． 在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90º，对角线AC 、BD 相交于点O ．下列条件中，不能．．判断对角线互相垂直的是（ ） A ．∠1＝∠2 B ．∠1＝∠3
C ．∠2＝∠3
D ．OB 2＋OC 2＝BC 2
6、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的中点. 已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ）
A.8
B.9
C.10
D.12
7．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝6，对角线AC 平分∠BAD ，点
E 在AB 上，且AE ＝2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE ＋PB 的最小值是_ ．
8、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝3CD ，对角线
AC 、BD 交于点O ，中位线EF 与AC 、BD 分别交于M 、N 两点，则图中阴影部分的面积是梯形ABCD 面积的 A ．12
B ．13
C ．14
D ．4
7
9、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠ADC 的平分线与∠BDC 的平分线的交点E 恰在
AB 上．若AD ＝7cm ，BC ＝8cm ，则AB 的长度
10、如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ⊥CD ，∠B ＝60º，
BC ＝2AD ，E 、F 分别为AB 、BC 的中点． (1)求证：四边形AFCD 是矩形； (2)求证：DE ⊥EF ．
（第6题图）
A
B
第8题图
C D
11、在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC 与BD相交于O，线段OA、OB的中点分别为点E、F．
(1)求证：△FOE≌△DOC；
(2)求sin∠OEF的值；
(3)若直线EF与线段AD、BC分别相交于点G、H，求AB CD
GH
的值．
12、直角梯形纸片ABCD中，AD//BC，∠A=90º，∠C=30º．折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是折痕，且BF=CF=8．
（1）求∠BDF的度数；
（2）求AB的长．
13、如图直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC ，AD＝2，AB＝8，CD＝10．
(1)求BC的长；
(2)动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿B→A→D方向向点D运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度沿C→D方向向点D运动；过点Q作QF⊥BC于点F．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问：在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．。