材料力学第二章

Fmax W sin
FRCx
C

FmaxA
FRCy
W
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d
由三角形ABC求出
C 1.9m

A
BC 0.8 sin 0.388 AB 0.82 1.92 W 15 Fmax 38.7kN sin 0.388
斜杆AB的轴力为
I
50kN FN
II
+
100kN
| FN |max=100kN
§2.2 轴向载荷作用下杆件横截面上的应力 轴力FN是截面上轴向分布内力的合力。如果确定了轴 力，又知道分布内力在横截面上是怎样分布的，根据：
FN dA
A
就可以确定横截面上各点的应力 应力、变形、应变之间的相互关系
横截面上的应力分布状态
第二章 轴向载荷作用下杆件的材料 力学问题
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
轴力与轴力图 轴向载荷作用下杆件横截面上的应力 最简单的强度问题 轴向载荷作用下的变形分析与计算 两种典型材料拉伸时的力学性能 两种典型材料压缩时的力学性能 结论与讨论
§2.1
轴力与轴力图
F
k

k k p
F
FN F A A
A A F F F F cos k F F F k p cos cos F A A A p 2 对于等直杆 k p cos cos 当有多段轴力时，最大轴力所对应的截面 ----危险截面。 0 , max 危险截面上的正应力 ----最大工作应力 p sin cos sin sin 2 45 , max 2
解：1、计算轴力（设斜杆为1杆，水平杆 为2杆）用截面法取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0
F
y
0
FN1 sin - F 0
FN1 F / sin 2F
FN 1
FN 2 α
y
AFra Baidu bibliotekF
FN 2 -FN1 cos - 3F
2、根据斜杆的强度，求许可载荷
FN 2 45°
y
B F
F
FN 1 28.3 103 1 A1 202 10-6 4 90106 Pa 90MPa
FN 2 - 20 103 2 2 -6 A2 15 10 - 89 106 P a -89MP a
x
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
B d
C 1.9m

例题 悬臂吊车的斜杆AB为直径 d=20mm的钢杆，载荷W=15kN。当W 移到A点时，求斜杆AB横截面上的 A 应力。
0.8m
解： 当载荷W移到A点时，斜杆AB
受到拉力最大，设其值为Fmax。
讨论横梁平衡
W
Fmax
Fmax
M
c
0
Fmax sin AC -W AC 0
失效、安全因数和强度计算
例题 油缸盖与缸体采用6个螺栓连接。已知油缸内径 D=350mm，油压p=1MPa。螺栓许用应力[σ]=40MPa， 求螺栓的内径。 解： 油缸盖受到的力 F
π 2 D p 4
p D
每个螺栓承受轴力为总压力的1/6
即螺栓的轴力为
FN F π 2 D p 6 24
2、根据胡克定律计算杆的变形。
FN 1
FN 2
300
y
A F
x
FN1l1 20103 2 -3 l1 1 10 m 1mm 斜杆伸长 9 -6 E1 A1 20010 20010 FN 2l2 17.32103 1.732 -3 0 . 6 10 m 0.6mm 水平杆缩短 l2 9 -6 E2 A2 20010 25010
§2.5 材料拉伸时的力学性能
力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方 面所表现出的力学特性。 一 试 件 和 实 验 条 件
2.3 简单的强度问题
所谓强度设计是指将杆件中的最大应力限制在允许的范围内，以保证杆件正常工作， 不仅不发生强度失效，而且还要具有一定的安全裕度。对于拉伸和压缩杆件，杆件 的最大正应力满足：
max
FN，max A
[σ]----许用应力 σu---- 极限应力 n----安全因数
FN 根据强度条件 max A FN d 2 D 2 p 得 A 即 4 24
D2 p 0.35 2 10 6 -3 d 22 . 6 10 m 22.6mm 螺栓的直径为 6 6 6 40 10
例题
斜杆AC的面积为A1=2×4.8cm2，水平杆AB 的面积为A2=2×12.74cm2，〔σ〕=120MPa。 确定许可载荷F。
x
Fx 0 F
y
FN1 cos45 FN 2 0 FN1 sin 45 - F 0
FN 2 -20kN
0
FN1 28.3kN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
FN1 28.3kN
FN 2 -20kN
2、计算各杆件的应力。
B
C
2
FN 1
A
B C 500KN 300KN D 200KN
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
A 1
45°
C
2
FN 1
FN 2 45°
y
B F
图示结构，试求杆件AB、CB的 应力。已知 F=20kN；斜杆AB为直 径20mm的圆截面杆，水平杆CB为 15×15的方截面杆。 解：1、计算各杆件的轴力。 B （设斜杆为1杆，水平杆为2杆） 用截面法取节点B为研究对象 F
横向应变
钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33
§2.4 轴向拉伸或压缩时的变形
§2.4 轴向拉伸或压缩时的变形
对于变截面杆件（如阶梯 杆），或轴力变化。则
FNi li l li Ei Ai
求变截面杆AB、BC、CD段各段的轴向变形及杆的 总变形量，已知AB和BC段的长度为300mm，横截面面 积为AAB=ABC=2500mm2；CD段的长度为400mm横截面 面积ACD=1000mm2,材料弹性模量为200GPa，求杆的总伸 长量。

2
例 作图示杆件的轴力图，并求1-1、2-2、3-3截面的应 力。
轴向拉伸和压缩
1 30
60kN
2 20 40kN
3 35 30kN 50kN
FN1 0 FN 2 60kN FN 3 50kN
FN1 0 A1
1
2
60
3 50 20
kN
FN图
1
+
FN 2 60103 4 2 191 MP a A2 (2010-3 ) 2 FN 3 50103 4 3 52MP a -3 2 A3 (3510 )
l l l1 - l l FN F A A l E E l
一 轴向变形
F
l l1
二 横向变形
b b1 - b
F
b1
b
{
FN l Fl l EA EA

1 l F , l l EA
EA为抗拉刚度

b b
泊松比
-
再次，应用截面法，用假想截面从控制面处将杆件截开 在截开的截面上，画出未知轴力，并假设为正方向。
对截开的部分杆件建立平衡方程，确定轴力的大小与 正负：产生拉伸变形的轴力为正，产生压缩变形的为负。 最后，建立FN-x坐标系，画出轴力图。
§2.1
例题
轴力与轴力图
图中所示直杆，A处固定，在B、C两处作用有集中 载荷F1和F2，其中F1=5kN，F2=10kN。试画出轴力图

u
n
根据强度条件可进行强度计算： ①强度校核 ——已知杆件的几何尺寸、受力大小以及许用应力， 校核杆件或结构的强度是否安全(判断构件是否破坏) ②设计截面 ——已知杆件的受力大小以及许用应力，根据设计 准则，计算所需要的杆件横截面面积，进而设计出合理的横截面 尺寸(构件截面多大时，才不会破坏) ③求许可载荷——确定杆件或结构所能承受的许用载荷，确定杆 件或结构所能承受的最大轴力，进而求得所能承受的外加载荷 (构件最大承载能力)
2.3 简单的强度问题
上面分析了轴向载荷作用下杆件横截面上的应力，但这并不是我们的最终目标。应力 分析只是工程师借助以完成下列任务的中间过程：
①分析已有的或设想中的机器或结构，确定它们在特定载荷条件的性态。 ②设计新的机器或新的构件，使之安全而经济地实现特定的功能。
A
提出以下三个问题？
B C F
①在给定载荷和材料的情形下，怎么判断三角架结构 能否安全可靠地工作？ ②如果材料是未知的，在所得到的应力水平下，二杆 分别选用什么材料，才能保证三角架结构可以安全可 靠地工作？ ③如果载荷时未知的，在给定杆件截面尺寸和材料的 情形下，怎么确定三角架结构所能承受的最大载荷？ 这些问题都是强度涉及所涉及的内容。
轴力图
（1）集中外力多于两个时，分段用截面法求轴力，作轴力图。
轴向拉伸和压缩
（2）轴力图中：一坐标代表横截面位置，另一坐标轴代表轴力大小。标出轴力值及 正负号。
（3）轴力只与外力有关，截面形状变化不会改变轴力大小。
例 作图示杆件的轴力图，并指出| FN |max
I
50kN
150kN
II
100kN
I 50kN I II FN2 100kN II FN2= -100kN FN1 FN1=50kN
1 1 A2 F2 120106 2 12.7410-4 1.732 3 176.7 103 N 176.7kN
FN 1
FN 2 α
y
A
F
x
4、许可载荷
min 57.6kN F Fi min 57.6kN 176.7kN
§2.4 轴向拉伸或压缩时的变形
x
F1
FN1 2F1 A1
1 A1 1 120106 2 4.8 10-4 2 2 57.6 103 N 57.6kN
失效、安全因数和强度计算
3、根据水平杆的强度，求许可载荷
FN 2 -FN1 cos - 3F
FN 2 3F2 A2
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 观察变形：
F
a b
a
c
c d
F
b
d
横界面在杆件 变形后仍保持 平面，两相邻 截面只在轴向 载荷作用下相 互平行的移动。
可以假设两相邻截面间材料的变形相同。
截面上正应力均匀分布，σ为常数。
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题
求变截面杆AB、BC、CD段横截面上的正应力， 已知AB和BC段的横截面面积为A1=A2=2000mm2； CD段的横截面面积A3=1000mm2
当所有外力均沿杆的轴线方向作用时， 杆的横截面上只有轴力FN一种内力分量。 表示轴力沿杆轴线方向变化的图形，称为轴力图。
杆件同一处两侧横截面上的轴力必须具有相同的 正负号。使杆件受拉的轴力为正；受压为负。
§2.1
轴力与轴力图
绘制轴力图的方法与步骤如下： 首先，确定作用在杆件上的外载荷与约束力。
其次，根据杆件上作用的载荷以及约束力，确定轴力图 的分段点：在有集中力作用处即为轴力图的分段点。
A B C 500KN 300KN D 200KN
§2.4 轴向拉伸或压缩时的变形
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求两杆的变形。
解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2杆）取节点A为研究对象 Fx 0 FN1 cos FN 2 0 Fy 0 FN1 sin - F 0 FN1 F / sin 2F 20kN FN 2 -FN1 cos - 3F -17.32kN
0.8m
Fmax
FN Fmax 38.7kN
W Fmax
斜杆AB横截面上的应力为
FRCx
C

FmaxA
FRCy
W
FN 38.7 103 A (20 10-3 ) 2 4 123 106 Pa 123MPa
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 实验表明：拉（压）杆的破坏并不总是沿 横截面发生，有时却是沿斜截面发生的。