最新 2020年上海市中考数学试卷及答案(Word版)-2020上海市中考卷数学
2020年上海市数学中考试题及答案
2020年上海市数学中考试题一.选择题（共6小题）1.下列二次根式中，与。
々是同类二次根式的是（）A.雨B.«C. y[12D. KHS2.用换元法解方程哼+三=2时，若设哼=y,则原方程可化为关于y的方程是（）A . y2- 2y+1 =0 B. y2+2y+1=0 C. y2+y+2 = 0 D. y2+y- 2= 03.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示.下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A.条形图B.扇形图C.折线图D.频数分布直方图4.已知反比例函数的图象经过点（2, -4）,那么这个反比例函数的解析式是（）X X I X5.下列命题中，真命题是（）A .对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B .对角线互相垂直的平行四边形是正方形C .对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D.对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形.下列图形中，平移重合图形是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.正六边形D.圆二.填空题（共12小题）7.计算：2a?3ab =一I 2 …，…一8.已知f （x）那么f （3）的值是 .9.已知正比例函数y=kx （k是常数，kw0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而 .（填“增大”或“减小”）10.如果关于x的方程x2 - 4x+m= 0有两个相等的实数根，那么m的值是.11.如果从1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是.12.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 .13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 .14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法.如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD,从木杆的顶端D观察井水水岸C,视线DC与井口的直径AB交于点E,如果测得AB =1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为米.15.如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设BC=a, CA = b，那么向量BD用向16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米.图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行米.17.如图，在△ ABC 中，AB = 4, BC = 7, / B = 60°，点D 在边BC 上，CD = 3,联结AD .如果将△ ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E,那么点E到直线BD的距离为.18.在矩形ABCD中，AB=6, BC=8,点O在对角线AC上，圆O的半径为2,如果圆O 与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是 .三.解答题(共7小题)19.计算：27^+-^--(=)2+|3-V5|.I L0X>7K+6320.解不等式组：, iv立L丁21.如图，在直角梯形ABCD 中，AB//DC, / DAB = 90° , AB=8, CD = 5, BC=375.(1)求梯形ABCD的面积；(2)联结BD,求/ DBC的正切值.22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12% .(1)求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；(2)去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等.求该商店去年8、9月份营业额的月增长率. 23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF, CE的延长线交DA的延长线于点G , CF的延长线交BA的延长线于点H .(1)求证：△ BEC^A BCH;(2)如果BE2=AB?AE,求证：AG=DF.24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=- x+5与x轴、y轴分别交于点A、B (如图).抛物线y=ax2+bx (aw0)经过点A.(1)求线段AB的长;(2)如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C,且BC=JE,求这条抛物线的表达式;(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于4AOB内，求a的取值范围.25.如图，△ ABC中，AB=AC,。
2020年上海市中考数学试卷(解析版)
2020年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A.与的被开方数不相同，故不是同类二次根式；B.，与不是同类二次根式；C.，与被开方数相同，故是同类二次根式；D.，与被开方数不同，故不是同类二次根式．故选：C．2．用换元法解方程+＝2时，若设＝y，则原方程可化为关于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0B．y2+2y+1＝0C．y2+y+2＝0D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设＝y，则原方程化为y+＝2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y代入原方程得：y+＝2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．故选：A．3．我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）A．条形图B．扇形图C．折线图D．频数分布直方图【分析】根据统计图的特点判定即可．【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图，故选：B．4．已知反比例函数的图象经过点（2，﹣4），那么这个反比例函数的解析式是（）A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣【分析】已知函数图象上一点的坐标求反比例函数解析式，可先设出解析式y＝，再将点的坐标代入求出待定系数k的值，从而得出答案．【解答】解：设反比例函数解析式为y＝，将（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以这个反比例函数解析式为y＝﹣，故选：D．5．下列命题中，真命题是（）A．对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B．对角线互相垂直的平行四边形是正方形C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D．对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故错误；B、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故错误；C、正确；D、对角线平分一组对角的梯形是菱形，故错误；故选：C．6．如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）A．平行四边形B．等腰梯形C．正六边形D．圆【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．【解答】解：如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．∵四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∵平行四边形ABCD是平移重合图形，故选：A．二．填空题（共12小题）7．计算：2a•3ab＝6a2b．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2a•3ab＝6a2b．故答案为：6a2b．8．已知f（x）＝，那么f（3）的值是1．【分析】根据f（x）＝，可以求得f（3）的值，本题得以解决．【解答】解：∵f（x）＝，∵f（3）＝＝1，故答案为：1．9．已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随着x的值增大而减小．（填“增大”或“减小”）【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．10．如果关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式∵＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依题意，∵方程x2﹣4x+m＝0有两个相等的实数根，∵∵＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案为：4．11．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是．【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∵取到的数恰好是5的倍数的概率是＝．故答案为：．12．如果将抛物线y＝x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．13．为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．【解答】解：8400×＝3150（名）．答：估计该区会游泳的六年级学生人数约为3150名．故答案为：3150名．14．《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB＝1.6米，BD＝1米，BE ＝0.2米，那么井深AC为7米．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵BD∵AB，AC∵AB，∵BD∵AC，∵∵ACE∵∵DBE，∵，∵＝，∵AC＝7（米），答：井深AC为7米．15．如图，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，设＝，＝，那么向量用向量、表示为2 +．【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝BC，AD∵BC，AB＝CD，AB∵CD，∵＝＝，∵＝+＝+，∵＝＝+，∵＝+，∵＝++＝2+，故答案为：2+．16．小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t（分钟）的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．【分析】当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15时s的值，从而得出答案．【解答】解：当8≤t≤20时，设s＝kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∵s＝70t+400；当t＝15时，s＝1450，1800﹣1450＝350，∵当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米，故答案为：350．17．如图，在∵ABC中，AB＝4，BC＝7，∵B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，联结AD．如果将∵ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为．【分析】如图，过点E作EH∵BC于H．首先证明∵ABD是等边三角形，解直角三角形求出EH即可．【解答】解：如图，过点E作EH∵BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∵BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∵B＝60°，∵∵ABD是等边三角形，∵ADB＝60°，∵∵ADC＝∵ADE＝120°，∵∵EDH＝60°，∵EH∵BC，∵∵EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∵EH＝DE•sin60°＝，∵E到直线BD的距离为，故答案为．18．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜．【分析】根据勾股定理得到AC＝10，如图1，设∵O与AD边相切于E，连接OE，如图2，设∵O与BC边相切于F，连接OF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∵D＝90°，AB＝6，BC＝8，∵AC＝10，如图1，设∵O与AD边相切于E，连接OE，则OE∵AD，∵OE∵CD，∵∵AOE∵∵ACD，∵，∵＝，如图2，设∵O与BC边相切于F，连接OF，则OF∵BC，∵OF∵AB，∵∵COF∵∵CAB，∵＝，∵＝，∵OC＝，∵AO＝，∵如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是＜AO＜，故答案为：＜AO＜．三．解答题（共7小题）19．计算：27+﹣（）﹣2+|3﹣|．【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．【解答】解：原式＝（33）+﹣4+3﹣＝3+﹣﹣4+3﹣20．解不等式组：【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．【解答】解：，解不等式∵得x＞2，解不等式∵得x＜5．故原不等式组的解集是2＜x＜5．21．如图，在直角梯形ABCD中，AB∵DC，∵DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面积；（2）联结BD，求∵DBC的正切值．【分析】（1）过C作CE∵AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根据勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH∵BD于H，根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到结论．【解答】解：（1）过C作CE∵AB于E，∵AB∵DC，∵DAB＝90°，∵∵D＝90°，∵∵A＝∵D＝∵AEC＝90°，∵四边形ADCE是矩形，∵AD＝CE，AE＝CD＝5，∵BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∵CE＝＝6，∵梯形ABCD的面积＝×（5+8）×6＝39；（2）过C作CH∵BD于H，∵CD∵AB，∵∵CDB＝∵ABD，∵∵CHD＝∵A＝90°，∵∵CDH∵∵DBA，∵，∵BD＝＝＝10，∵＝，∵CH＝3，∵BH＝＝＝6，∵∵DBC的正切值＝＝＝．22．去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【分析】（1）根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额＝前六天的总营业额+第七天的营业额，即可求出结论；（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，根据该商店去年7月份及9月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．23．已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE＝DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：∵BEC∵∵BCH；（2）如果BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF．【分析】（1）想办法证明∵BCE＝∵H即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∵CD＝CB，∵D＝∵B，CD∵AB，∵DF＝BE，∵∵CDF∵CBE（SAS），∵∵DCF＝∵BCE，∵CD∵BH，∵∵H＝∵DCF，∵∵BCE＝∵H，∵∵B＝∵B，∵∵BEC∵∵BCH．（2）证明：∵BE2＝AB•AE，∵＝，∵AG∵BC，∵＝，∵＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∵BE＝AG＝DF，即AG＝DF．24．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC＝，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于∵AOB内，求a的取值范围．【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；（2）设点C（m，﹣m+5），则BC＝|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．【解答】解：（1）针对于直线y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∵B（0，5），令y＝0，则﹣x+5＝0，∵x＝10，∵A（10，0），∵AB＝＝5；（2）设点C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∵BC＝＝|m|，∵BC＝，∵|m|＝，∵m＝±2，∵点C在线段AB上，∵m＝2，∵C（2，4），将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∵，∵抛物线y＝﹣x2+x；（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∵b＝﹣10a，∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∵抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），将x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵顶点D位于∵AOB内，∵0＜﹣25a＜，∵﹣＜a＜0；25．如图，∵ABC中，AB＝AC，∵O是∵ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．（1）求证：∵BAC＝2∵ABD；（2）当∵BCD是等腰三角形时，求∵BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长．【分析】（1）连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．（2）分三种情形：∵若BD＝CB，则∵C＝∵BDC＝∵ABD+∵BAC＝3∵ABD．∵若CD＝CB，则∵CBD＝∵CDB ＝3∵ABD．∵若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．（3）如图3中，作AE∵BC交BD的延长线于E．则＝＝，推出＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，根据BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，构建方程求出a即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OA．∵AB＝AC，∵＝，∵OA∵BC，∵∵BAO＝∵CAO，∵OA＝OB，∵∵ABD＝∵BAO，∵∵BAC＝2∵BAD．（2）解：如图2中，延长AO交BC于H．∵若BD＝CB，则∵C＝∵BDC＝∵ABD+∵BAC＝3∵ABD，∵AB＝AC，∵∵ABC＝∵C，∵∵DBC＝2∵ABD，∵∵DBC+∵C+∵BDC＝180°，∵8∵ABD＝180°，∵∵C＝3∵ABD＝67.5°．∵若CD＝CB，则∵CBD＝∵CDB＝3∵ABD，∵∵C＝4∵ABD，∵∵DBC+∵C+∵CDB＝180°，∵10∵ABD＝180°，∵∵BCD＝4∵ABD＝72°．∵若DB＝DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述，∵C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，作AE∵BC交BD的延长线于E．则＝＝，∵＝＝，设OB＝OA＝4a，OH＝3a，∵BH2＝AB2﹣AH2＝OB2﹣OH2，∵25﹣49a2＝16a2﹣9a2，∵a2＝，∵BH＝，∵BC＝2BH＝．。
2020年上海市中考数学试题及详解(WORD版)
2020年上海市中考数学试题及详解(WORD版)一．选择题（共6小题）1.下列二次根式中，与 $\sqrt{2}+1$ 是同类二次根式的是（）解析：$\sqrt{2}+1$ 可以化简为 $\dfrac{\sqrt{2}+1}{1}$，而 $\sqrt{2}-1$ 可以化简为 $\dfrac{\sqrt{2}-1}{1}$，它们的分母都是 $1$，因此选项 B 正确。
2.用换元法解方程 $y^2-2y+1=x$，则原方程可化为关于$y$ 的方程是（）解析：将 $y^2-2y+1=x$ 中的 $x$ 替换为 $y$，得到 $y^2-2y+1=y$，移项化简得到 $y^2-3y+1=0$，因此选项 C 正确。
3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示。
下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（）解析：条形图和频数分布直方图主要用于表示数据的数量，扇形图主要用于表示数据的比例，而折线图可以凸显数据的趋势和变化，因此选项 C 正确。
4.已知反比例函数的图象经过点 $(2,-4)$，那么这个反比例函数的解析式是（）解析：反比例函数的通式为 $y=\dfrac{k}{x}$，代入点$(2,-4)$ 得到 $-4=\dfrac{k}{2}$，解得 $k=-8$，因此反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{8}{x}$，选项 B 正确。
5.下列命题中，真命题是（）解析：对角线互相垂直的梯形不一定是等腰梯形，因此选项 A 错误；对角线互相垂直的平行四边形不一定是正方形，因此选项 B 错误；对角线平分一组对角的平行四边形不一定是菱形，因此选项 C 错误；但是对角线平分一组对角的梯形一定是直角梯形，因此选项 D 正确。
6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形。
下列图形中，平移重合图形是（）解析：平行四边形和等腰梯形可以沿某个方向平移后重合，因此选项 A 和 B 都可以；正六边形无法沿任何方向平移后重合，因此选项 C 错误；圆也无法沿任何方向平移后重合，因此选项 D 错误。
2020上海中考数学试卷(含答案)
25. 如图，在△ABC 中，AB=AC，⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长线交边 AC 于点 D.
（1）求证： BAC = 2ABD ； （2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小； （3）当 AD=2，CD=3 时，求边 BC 的长.
ZGH
参考答案
一. 选择题
1. C
2. A
3. B
第 17 题
16. 小明从家步行到学校需走的路程为 1800 米，图中的折线 OAB 反映了小明从家步行到
学校所走的路程 s（米）与时间 t（分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家
出发去学校步行 15 分钟时，到学校还需步行
米.
17. 如图，在△ABC 中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点 D 在边 BC 上，CD=3，联结 AD。
23. 已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，BE=DF，CE 的延长线 交 DA 的延长线于点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H.
（1）求证：△BEC∽△BCH ； （2）如果 BE2 = AB AE ，求证：AG=DF.
C
D
B
F
E
A
H
G
ZGH
24. 在平面直角坐标系 xOy 中（如图），直线 y = − 1 x + 5 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B， 2
D
C
A
B
22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为 450 万元，第七天 的营业额是前六天总营业额的 12%. （1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额； （2）去年，该商店 7 月份的营业额为 350 万元，8、9 月份营业额的月增长率相同，“十 一黄金周”这七天的总营业额与 9 月份的营业额相等，求该商店去年 8、9 月份营业额的月 增长率.
上海市中考数学试题及答案(WORD版)
2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷一、选择题（每小题4分，共24分）1．计算23的结果是（ B ）．(A) 5； (B) 6； (C) 23； (D) 32．2．据统计，2020年上海市全社会用于环境保护的资金约为60 800 000 000元，这个数用科学记数法表示为（C ）．(A)608×108； (B) 60.8×109； (C) 6.08×1010； (D) 6.08×1011．3．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（ C ）．(A) y＝x2－1； (B) y＝x2＋1； (C) y＝(x－1)2； (D) y＝(x＋1)2．4．如图，已知直线a、b被直线c所截，那么∠1的同位角是（ A ）．（此题图可能有问题）(A) ∠2； (B) ∠3； (C) ∠4； (D) ∠5．5．某事测得一周PM2.5的日均值（单位：）如下：50， 40， 75， 50， 37， 50， 40 ，这组数据的中位数和众数分别是（A ）．(A)50和50； (B)50和40； (C)40和50； (D)40和40．6．如图，已知AC 、BD 是菱形ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是（ B ）． (A)△ABD 与△ABC 的周长相等； (B)△ABD 与△ABC 的面积相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍； (D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍． 二、填空题（每小题4分，共48分） 7．计算：a(a ＋1)＝2a a +． 8．函数11y x =-的定义域是1x ≠． 9．不等式组12,28x x ->⎧⎨<⎩的解集是34x p p ．10．某文具店二月份销售各种水笔320支，三月份销售各种水笔的支数比二月份增长了10%，那么该文具店三月份销售各种水笔352支．11．如果关于x 的方程x 2－2x ＋k ＝0（k 为常数）有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是1k p ．12．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i ＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为26米．13．如果从初三（1）、（2）、（3）班中随机抽取一个班与初三（4）班进行一场拔河比赛，那么恰好抽到初三（1）班的概率是13．14．已知反比例函数k y x=（k 是常数，k ≠0），在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着x 的值的增大而增大，那么这个反比例函数的解析式是1(0y k x=-p 即可）（只需写一个）．15．如图，已知在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且AB ＝3EB ．设AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，那么DE u u u r ＝23a b -r r（结果用a r 、b r表示）．16．甲、乙、丙三人进行飞镖比赛，已知他们每人五次投得的成绩如图所示，那么三人中成绩最稳定的是乙．17．一组数：2， 1， 3， x ， 7， y ， 23，…，满足“从第三个数起，前两个数依次为a 、b ，紧随其后的数就是2a －b ”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2－1”得到的，那么这组数中y 表示的数为-9．18．如图，已知在矩形ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ＝2CE ，将矩形沿着过点E 的直线翻折后，点C 、D 分别落在边BC 下方的点C ′、D ′处，且点C ′、D ′、B 在同一条直线上，折痕与边AD 交于点F ，D ′F 与BE 交于点G ．设AB ＝t ，那么△EFG 的周长为23t （用含t 的代数式表示）．三、解答题（本题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）计算：13128233--+-．233=20．（本题满分10分）解方程：2121111xx x x+-=--+．0;1(x x==舍）21．（本题满分10分，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分3分）已知水银体温计的读数y（℃）与水银柱的长度x（cm）之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰（如图），表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．水银柱的长度x（cm）4.2 …8.2 9.8体温计的读数y（℃）35.0 …40.0 42.0（1）求y关于x的函数关系式（不需要写出函数的定义域）； 1.2529.75y x=+（2）用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2cm，求此时体温计的读数．37.522．（本题满分10分，每小题满分各5分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sinB 的值；5,sinB sinCAE 5B DCB CAE ∠=∠=∠∴== （2）如果CD ＝5，求BE 的值．5;2525cos 4;25sin 2tanCAE 13CD AB BC B AC B CE AC BE BC CE =∴=∴====∴==∴=-=Q g g g23．（本题满分12分，每小题满分各6分） 已知：如图，梯形ABCD 中，AD//BC ，AB ＝DC ，对角线AC 、BD 相交于点F ，点E 是边BC 延长线上一点，且∠CDE ＝∠ABD ．（1） 求证：四边形ACED 是平行四边形；,//DE //,,ABCD ADB DAC A CDE ABD CDE AC AD CE ADEC BD DCA DCA ∠∴∆≅∆∴∠=∠=∠∠∴∴∠∴Q Q Q Y＝等腰梯形，为为（2）联结AE ，交BD 于点G ，求证：DG DFGB DB=． //,;,,;DG AD DF ADAD BC GB BE FB BCDF AD DF AD FB BC DF FB AD BCADEC AD CE AD BC BE DF AD DF AD DF FB AD BC DB BE DG DF GB DB ∴===∴=++∴=∴+=∴=⇒=++∴=Q Q Q Y 为24．（本题满分12分，每小题满分各4分）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223y x bx c =++与x 轴交于点A(－1,0)和点B ，与y 轴交于点C(0,－2)．（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P(t, 0)，且t ＞3，如果△BDP 和△CDP 的面积相等，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分5分，第（1）小题满分6分），点P是边BC 如图1，已知在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝8，cosB＝45上的动点，以CP为半径的圆C与边AD交于点E、F（点F在点E的右侧），射线CE 与射线BA交于点G．（1）当圆C经过点A时，求CP的长；（2）联结AP，当AP//CG时，求弦EF的长；（3）当△AGE是等腰三角形时，求圆C的半径长．图1 备用图。
2020年上海市中考数学试卷(解析版)
【分析】根据从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意选取一个数，得出是 5 的倍数的数据， 再根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：∵从 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 这 10 个数中任意选取一个数，是 5 的倍数的有：5，10，
∴取到的数恰好是 5 的倍数的概率是 ＝ ．
∴EH＝DE•sin60°＝ ，
∴E 到直线 BD 的距离为 ，
故答案为 ．
18．在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 O 在对角线 AC 上，圆 O 的半径为 2，如果圆 O 与矩形 ABCD 的各边都没有公共点，那么线段 AO 长的取值范围是 ＜AO＜ ．
【分析】根据勾股定理得到 AC＝10，如图 1，设⊙O 与 AD 边相切于 E，连接 OE，如图 2，设⊙O 与 BC 边相切于 F，连接 OF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：在矩形 ABCD 中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8， ∴AC＝10， 如图 1，设⊙O 与 AD 边相切于 E，连接 OE， 则 OE⊥AD， ∴OE∥CD， ∴△AOE∽△ACD，
三．解答题（共 7 小题）
9
19．计算：27 +
﹣（ ）﹣2+|3﹣ |．
上海市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
上海市2020年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列各式中与√3是同类二次根式的是（）A. √6B. √9C. √12D. √18【答案】C【考点】最简二次根式，同类二次根式【解析】【解答】解：A、√6和√3是最简二次根式，√6与√3的被开方数不同，故A选项不符合题意；B、√9=3，3不是二次根式，故B选项不符合题意；C、√12=2√3，2√3与√3的被开方数相同，故C选项符合题意；D、√18=3√2，3√2与√3的被开方数不同，故D选项不符合题意；故答案为：C.【分析】根据同类二次根式的概念逐一判断即可.2.用换元法解方程x+1x2+ x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是( )A. y2﹣2y+1=0B. y2+2y+1=0C. y2+y+2=0D. y2+y﹣2=0 【答案】A【考点】列式表示数量关系，解分式方程，定义新运算，数学思想【解析】【解答】把x+1x2=y代入原方程得：y+ 1y=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1=0．故答案为：A．【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设x+1x2=y，则原方程化为y+ 1y=2，再转化为整式方程y2-2y+1=0即可求解．3.我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示．下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是( )A. 条形图B. 扇形图C. 折线图D. 频数分布直方图【答案】B【考点】扇形统计图，统计图的选择【解析】【解答】解：统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是扇形图．故答案为：B．【分析】根据统计图的特点判定即可．4.已知反比例函数的图象经过点(2，﹣4)，那么这个反比例函数的解析式是( )A. y= 2x B. y=﹣2xC. y= 8xD. y=﹣8x【答案】 D【考点】待定系数法求反比例函数解析式【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为y= k，x，将(2，-4)代入，得：-4= k2解得：k=-8，．所以这个反比例函数解析式为y=- 8x故答案为：D．，代入点(2,-4)求出k即可．【分析】设解析式y= kx5.下列命题中，真命题是( )A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形【答案】C【考点】菱形的判定，正方形的判定，直角梯形，等腰梯形的判定，真命题与假命题【解析】【解答】A．对角线互相垂直且相等的梯形是等腰梯形，故不符合题意；B．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故不符合题意；C．对角线平分一组对角的平行四边形是菱形，符合题意；D．对角线平分一组对角的梯形是菱形，故不符合题意．故答案为：C．【分析】利用特殊四边形的判定定理对每个选项逐一判断后即可确定正确的选项．6.如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是( )A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆【答案】A【考点】平行四边形的性质，图形的平移【解析】【解答】如图，平行四边形ABCD中，取BC，AD的中点E，F，连接EF．则有：AF=FD，BE=EC，AB=EF=CD，∴四边形ABEF向右平移可以与四边形EFCD重合，∴平行四边形ABCD是平移重合图形．故答案为：A．【分析】证明平行四边形是平移重合图形即可．二、填空题（共12题；共12分）7.计算：2a·3ab=________.【答案】6a2b.【考点】单项式乘单项式【解析】【解答】解：2a·3ab=6a2b故填：6a2b.【分析】利用单项式乘单项式的法则进行计算即可.8.已知f(x)= 2，那么f(3)的值是________．x−1【答案】1．【考点】代数式求值，代数式的定义，【解析】【解答】解：由题意得：f(x)= 2x−1∴将x=3代替表达式中的x，∴f(3)= 2=1．3−1故答案为：1．，将x=3代入即可求解．【分析】根据f(x)= 2x−19.如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而________．（填“增大”或“减小”）【答案】减小【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，故答案为：减小．【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可．10.如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是________．【答案】4．【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】依题意:∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，解得：m=4．故答案为：4．【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．11.如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是________．．【答案】15【考点】概率公式【解析】【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，∴取到的数恰好是5的倍数的概率是210= 15．故答案为：15．【分析】从1到10这10个整数中任意选取一个数，找出是5的倍数的个数，再根据概率公式求解即可．12.如果将抛物线y=x2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________．【答案】y=x2+3．【考点】二次函数图象的几何变换，平移的性质【解析】【解答】抛物线y=x2向上平移3个单位得到y=x2+3．故答案为：y=x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．13.为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为________．【答案】3150名．【考点】用样本估计总体【解析】【解答】解：由题意可知，150名学生占总人数的百分比为：150400=38，∴估计该区会游泳的六年级学生人数约为8400× 38=3150(名) ．故答案为：3150名．【分析】用样本中会游泳的学生人数所占的比例乘总人数即可得出答案．14.《九章算术》中记载了一种测量井深的方法．如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆BD，从木杆的顶端D观察井水水岸C，视线DC与井口的直径AB交于点E，如果测得AB=1.6米，BD=1米，BE=0.2米，那么井深AC为________米．【答案】7米．【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD//AC，∴△ACE∽△DBE，∴ACBD =AEBE，∴AC1=1.40.2，∴AC =7(米)，故答案为：7(米)．【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．15.如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ ，那么向量 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量 a ,b⃗ 表示为________．【答案】 2 a+ b ⃗ ． 【考点】平行四边形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD =BC ， AD ∥BC ， AB =CD ， AB ∥CD ，∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = BC⃗⃗⃗⃗⃗ = a ， ∵ CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = CA ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b⃗ + a ， ∴ BA ⃗⃗⃗⃗⃗ = CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ + a ，∵ BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = BA ⃗⃗⃗⃗⃗ + AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = b ⃗ + a + a = 2a + b ⃗ ． 故答案为： 2a+ b ⃗ ． 【分析】利用平行四边形的性质，三角形法则求解即可．16.小明从家步行到学校需走的路程为1800米．图中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s (米)与时间t (分钟)的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米．【答案】 350．【考点】分段函数，一次函数的实际应用，通过函数图象获取信息并解决问题【解析】【解答】解：当8≤t ≤20时，设s=kt+b ，将(8，960)、(20，1800)代入，得：{8k +b =96020k +b =1800， 解得： {k =70b=400 ， ∴s =70t +400；当t=15时，s=1450，1800﹣1450=350，∴当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行350米．故答案为：350．【分析】当8≤t≤20时，设s=kt+b，将（8，960）、（20，1800）代入求得s=70t+400，求出t=15时s的值，从而得出答案．17.如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，∠B=60°，点D在边BC上，CD=3，联结AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为________．【答案】3√32．【考点】等边三角形的判定与性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于H，∵BC=7，CD=3，∴BD=BC-CD=4，∵AB=4=BD，∠B=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADC=∠ADE=120°，∴∠EDH=60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD=90°．∵DE=DC=3，∴EH=DE×sin∠HDE=3× √32= 3√32，∴E到直线BD的距离为3√32．故答案为：3√32．【分析】过E点作EH⊥BC于H，证明△ABD是等边三角形，进而求得∠ADC=120°，再由折叠得到∠ADE=∠ADC=120°，进而求出∠HDE=60°，最后在Rt△HED中使用三角函数即可求出HE的长．18.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点O在对角线AC上，圆O的半径为2，如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是________．【答案】103＜AO＜203．【考点】勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，如图1，设⊙O与AD边相切于E，连接OE，则OE⊥AD，∴OE//CD，∴△AOE∽△ACD，∴OECD =AOAC，∴AO10=26，∴AO= 103；如图2，设⊙O与BC边相切于F，连接OF，则OF⊥BC，∴OF//AB，∴△COF∽△CAB，∴OCAC =OFAB，∴OC10=26，∴OC= 103，∴AO= 203，∴如果圆O与矩形ABCD的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是103＜AO＜203．故答案为：103＜AO＜203．【分析】根据勾股定理得到AC=10，如图1，设⊙O 与AD 边相切于E ，连接OE ，证明△AOE ∽△ACD 即可求出与AD 相切时的AO 值；如图2，设⊙O 与BC 边相切于F ，连接OF ，证明△COF ∽△CAB 即可求出BC 相切时的AO 值，最后即可得到结论．三、解答题（共7题；共70分）19.计算： 2713 + √5+2 ﹣( 12 )﹣2+|3﹣ √5 |． 【答案】 原式= (33)13 + √5−2 ﹣4+3﹣ √5=3+ √5−2 ﹣4+3﹣ √5=0．【考点】实数的运算，负整数指数幂的运算性质，分母有理化【解析】【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可．20.解不等式组： {10x >7x +6x −1<x+73【答案】 解：由题意知： {10x >7x +6⋯①x −1<x+73⋯② ， 解不等式①，移项得：3x ＞6，系数化为1得：x>2，解不等式②，去分母得：3x-3＜x+7．移项得：2x<10，系数化为1得：x<5，∴原不等式组的解集是2＜x ＜5．故答案为：2＜x ＜5．【考点】解一元一次不等式组【解析】【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解． 21.如图，在直角梯形ABCD 中， AB //DC ，∠DAB =90°，AB =8，CD =5，BC =3 √5 ．（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ， 求∠DBC 的正切值．【答案】 （1）过C 作CE ⊥AB 于E ，如下图所示：∵AB //DC，∠DAB=90°，∴∠D=90°，∴∠A=∠D=∠AEC=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AD=CE，AE=CD=5，∴BE=AB﹣AE=3．∵BC=3 √5，∴CE= √BC2−BE2=6，∴梯形ABCD的面积= 12×(5+8)×6=39，故答案为：39．（2）过C作CH⊥BD于H，如下图所示：∵CD //AB，∴∠CDB=∠ABD．∵∠CHD=∠A=90°，∴△CDH∽△DBA，∴CHAD =CDBD，∵BD= √AB2+AD2= √82+62=10，∴CH6=510，∴CH=3，∴BH= √BC2−CH2= √(3√5)2−32=6，∴∠DBC的正切值= CHBH = 36= 12．故答案为：12．【考点】勾股定理，矩形的性质，梯形，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)过C作CE⊥AB于E，推出四边形ADCE是矩形，得到AD=CE，AE=CD=5，根据勾股定理得到CE=√BC2−BE2=6，即可求出梯形的面积；(2) 过C作CH⊥BD于H，根据相似三角形的性质得到CHAD =CDBD，根据勾股定理得到BD=√AB2+AD2=10，BH=√BC2−CH2=6即可求解．22.去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．【答案】（1）第七天的营业额是450×12%=54(万元)，故这七天的总营业额是450+450×12%=504(万元)．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元．（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350(1+x)2=504，解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2(不合题意，舍去)．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题【解析】【分析】(1)根据“前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%”即可求解；(2)设去年8、9月份营业额的月增长率为x，则十一黄金周的月营业额为350(1+x)2，根据“十一黄金周这七天的总营业额与9月份的营业额相等”即可列方程求解．23.已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边AB、AD上，BE=DF，CE的延长线交DA的延长线于点G，CF的延长线交BA的延长线于点H．（1）求证：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2=AB•AE，求证：AG=DF．【答案】（1）∵四边形ABCD是菱形，∴CD=CB，∠D=∠B，CD //AB．∵DF=BE，∴△CDF≌△CBE(SAS)，∴∠DCF=∠BCE．∵CD //BH，∴∠H=∠DCF，∴∠BCE=∠H．且∠B=∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）∵BE2=AB•AE，∴BEAB = AEEB，∵AG //BC，∴AEBE = AGBC，∴BEAB = AGBC，∵DF=BE，BC=AB，∴BE=AG=DF，即AG=DF．【考点】菱形的性质，相似三角形的判定与性质【解析】【分析】(1)先证明△CDF≌△CBE，进而得到∠DCF=∠BCE，再由菱形对边CD//BH，得到∠H=∠DCF，进而∠BCE=∠H即可求解．(2)由BE2=AB•AE，得到BEAB = AEEB，再利用AG//BC，平行线分线段成比例定理得到BEAB = AGBC，再结合已知条件即可求解．24.在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B(如图)．抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A．（1）求线段AB的长；（2）如果抛物线y=ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC= √5，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．【答案】（1）针对于直线y=﹣12x+5，令x=0，y=5，∴B(0，5)，令y=0，则﹣12x+5=0，∴x=10，∴A(10，0)，∴AB= √52+102=5 √5；（2）设点C(m，﹣12m+5)．∵B(0，5)，∴BC= √m2+(−12m+5−5)2= √52|m|．∵BC= √5，∴ √52|m|= √5 ， ∴m=±2．∵点C 在线段AB 上，∴m=2，∴C(2，4)，将点A(10，0)，C(2，4)代入抛物线y=ax 2+bx(a≠0)中，得 {100a +10b =04a +2b =4， ∴ {a =−14b =52， ∴抛物线y=﹣ 14 x 2+ 52 x ；（3）∵点A(10，0)在抛物线y=ax 2+bx 中，得100a+10b=0，∴b=﹣10a ，∴抛物线的解析式为y=ax 2﹣10ax=a(x ﹣5)2﹣25a ，∴抛物线的顶点D 坐标为(5，﹣25a)，将x=5代入y=﹣ 12 x+5中，得y=﹣ 12 ×5+5= 52 ，∵顶点D 位于△AOB 内，∴0＜﹣25a ＜ 52 ，∴﹣ 110 ＜a ＜0．【考点】待定系数法求二次函数解析式，两点间的距离，勾股定理，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）先求出A ，B 坐标，即可得出结论；（2）设点C （m ，- 12 m+5），则BC= √52 |m ，进而求出点C （2，4），最后将点A ，C 代入抛物线解析式中，即可得出结论；（3）将点A 坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a ，代入抛物线解析式中得出顶点D 坐标为（5，-25a ），即可得出结论． 25.如图，△ABC 中，AB =AC ， ⊙O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长交边AC 于点D ．（1）求证：∠BAC =2∠ABD ；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求∠BCD 的大小；（3）当AD =2，CD =3时，求边BC 的长．【答案】 （1）连接OA ，如下图1所示：∵AB=AC，∴AB⌢= AC⌢，∴OA⊥BC，∴∠BAO=∠CAO．∵OA=OB，∴∠ABD=∠BAO，∴∠BAC=2∠ABD．（2）如图2中，延长AO交BC于H．①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DBC=2∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠BDC=180°，∴8∠ABD=180°，∴∠C=3∠ABD=67.5°．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD，∴∠C=4∠ABD．∵∠DBC+∠C+∠CDB=180°，∴10∠ABD=180°，∴∠BCD=4∠ABD=72°．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．综上所述：∠C的值为67.5°或72°．（3）如图3中，过A点作AE //BC交BD的延长线于E．则AEBC = ADDC= 23，且BC=2BH，∴AOOH = AEBH= 43，设OB=OA=4a，OH=3a．则在Rt△ABH和Rt△OBH中，∵BH2=AB2﹣AH2=OB2﹣OH2，∴25 - 49a2=16a2﹣9a2，∴a2= 2556，∴BH= 5√24，∴BC=2BH= 5√22．故答案为：5√22．【考点】三角形内角和定理，等腰三角形的性质，垂径定理，平行线分线段成比例，数学思想【解析】【分析】(1)连接OA．利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可．(2)分三种情形：①若BD=CB，则∠C=∠BDC=∠ABD+∠BAC=3∠ABD．②若CD=CB，则∠CBD=∠CDB=3∠ABD．③若DB=DC，则D与A重合，这种情形不存在．分别利用三角形内角和定理构建方程求解即可．(3) 如图3中，作AE //BC交BD的延长线于E．则AEBC =ADDC=23，进而得到AOOH=AEBH=34，设OB=OA=4a，OH=3a，根据BH2=AB2-AH2=OB2-OH2，构建方程求出a即可解决问题．。
2020年上海市中考数学试题及答案
2020年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷共25题．2．试卷满分150分，考试时间100分钟．3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．4．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题： （本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1、下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（）A B C D2、用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是（ ）22222102102020A y y B y y C y y D y y -+=++=++=+-=、、、、3、我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能凸显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ）A 、条形图B 、扇形图C 、折线图D 、频数分布直方图4、已知反比例函数的图像经过点（2，－4），那么这个反比例函数的解析式是（2288A y B y C y D y x x x x==-==-、、、、 5、下列命题中，真命题是（ ）A 、对角线互相垂直的梯形是等腰梯形B 、对角线互相垂直的平行四边形是正方形C 、对角线平分一组对角的平行四边形是菱形D 、对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6、如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形是（ ）A 、平行四边形B 、等腰梯形C 、正六边形D 、圆二、填空题： （本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7、计算：23a ab ⋅=________8、已知2()1f x x =-，那么f （3）的值是________ 9、已知正比函数y kx =（k 是常数， k ≠0）的图像经过第二、四象限，那么y 的值随着x 的增大而________（填“增大”或“减小"）10、如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是________11、如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是________12、如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是________13、为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为________14、 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图1所示，在井口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得AB ＝1．6米， BD ＝1米， BE ＝0．2米，那么井深AC 为________米15、如图2， AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设,BC a CA b ==，那么向量→BD 用向量→a 、→b 表示为________16、小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图3中的折线OAB 反映了小明从家步行到学校所走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，到学校还需步行________米17、如图4，在△ABC 中， AB ＝4， BC ＝7， CD ＝3， ∠B ＝60°，点在边上，联结，如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的距离为________18、在矩形ABCD 中， AB ＝6， BC ＝8，点O 在对角线AC 上，圆O 的半径为2，如果圆O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是________三、解答题： （本大题共7题，满分78分）19、 （本题满分10分）计算：123127()|32-+-+ 20、 （本题满分10分）解不等式组： 1076713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩21、 （本题满分10分，每小题各5分）如图，在直角梯形ABCD 中，90,8,5DAB BC AB CD ︒∠====（1）求梯形ABCD 的面积；（2）联结BD ，求∠DBC 的正切值22、 （本题满分10分，第一小题4分，第二小题6分）去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元， 8、9月份营业额的月增长率相同， “十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8、9月份营业额的月增长率23、 （本题满分12分，每小题各6分）已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC 、CD 上，BE ＝FD ， AF 的延长线交BC 的延长线于点H ， AE 的延长线交DC 的延长线于点G(1)求证： △AFD ∽△GAD（2）如果2DF CF CD =⋅，求证： BE ＝GH24、 （本题满分12分，第（1）小题满分2分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分） 在平面直角坐标系中，直线152y x =-+与x 、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线2(0)y ax bx a =+≠过点A(1)求线段AB 的长；（2）若抛物线2y ax bx =+经过线段AB 上另一点C ， 且BC =，求这条抛物线解析式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 在△AOB 内部，求a 的取值范围25、（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D(1)求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小；（3）当AD＝2，CD＝3时，求边BC的长参考答案一、选择题： （本大题共6题，每题4分，满分24分） 1-5 CABDC 6 A二、填空题： （本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 6a 2b 8. 1 9. 减小 10. 4 11. 0.2 12. y=x 2+3 13. 315014. 7 15. 2a+b 16. 350 17. 233 18. 320310<<AO 三、解答题： （本大题共7题，满分78分）19. 020. 2<X<5 21. (1)39 (2)0.5 22.(1)504 (2)20%23.24.。
2020年上海市中考数学试卷和答案
上海市中考数学试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．xy2B．x3+y3C．x3y D．3xy2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（）A．5 B．6 C．7 D．83．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜24．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算=．8．（4分）因式分解：xy﹣x=．9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而（增大或减小）．10．（4分）方程的根是．11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是．12．（4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．13．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．14．（4分）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有名．分数段60﹣7070﹣8080﹣9090﹣100频率0.20.250.25 15．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．16．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为．17．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A （4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．25．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1．（4分）在下列代数式中，次数为3的单项式是（）A．xy2B．x3+y3C．x3y D．3xy【分析】单项式的次数是指单项式中所有字母因数的指数和．【解答】解：根据单项式的次数定义可知：A、xy2的次数为3，符合题意；B、x3+y3不是单项式，不符合题意；C、x3y的次数为4，不符合题意；D、3xy的次数为2，不符合题意．故选：A．【点评】考查了单项式的次数的概念．只要字母的指数的和等于3的单项式都符合要求．2．（4分）数据5，7，5，8，6，13，5的中位数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】将该组数据按从小到大排列，找到位于中间位置的数即可．【解答】解：将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6．故中位数为6．故选：B．【点评】本题考查了中位数的定义，知道中数的定义是解题的关键．3．（4分）不等式组的解集是（）A．x＞﹣3 B．x＜﹣3 C．x＞2 D．x＜2【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＞2，所以不等式组的解集是x＞2．故选：C．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是求出两个不等式的解集，找出解集的公共部分．4．（4分）在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A．B．C．D．【分析】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案．【解答】解：∵×=a﹣b，∴二次根式的有理化因式是：．故选：C．【点评】此题主要考查了二次根式的有理化因式的概念，熟练利用定义得出是解题关键．5．（4分）在下列图形中，为中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正五边形D．等腰三角形【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．【解答】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；是中心对称图形的只有B．故选：B．【点评】本题考查了中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．6．（4分）如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（）A．外离B．相切C．相交D．内含【分析】由两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6﹣2=4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．故选：D．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，解题的关键是注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）计算=．【分析】首先计算出绝对值里面的结果，再根据：a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a，可以确定答案．【解答】解：|﹣1|=1﹣=，故答案为：．【点评】此题主要考查了绝对值，关键是理解绝对值的概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．8．（4分）因式分解：xy﹣x=x（y﹣1）．【分析】直接提公因式法x，整理即可．【解答】解：xy﹣x=x（y﹣1）．故答案为：x（y﹣1）．【点评】本题考查学生提取公因式的能力，解题时要首先确定公因式．9．（4分）已知正比例函数y=kx（k≠0），点（2，﹣3）在函数上，则y随x的增大而减小（增大或减小）．【分析】首先利用待定系数法确定正比例函数解析式，再根据正比例函数的性质：k＞0时，y随x的增大而增大，k＜0时，y随x的增大而减小确定答案．【解答】解：∵点（2，﹣3）在正比例函数y=kx（k≠0）上，∴2k=﹣3，解得：k=﹣，∴正比例函数解析式是：y=﹣x，∵k=﹣＜0，∴y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】此题主要考查了正比例函数的性质，以及待定系数法确定正比例函数解析式，关键是掌握正比例函数的性质．10．（4分）方程的根是x=3．【分析】方程两边同时平方，即可转化成一元一次方程，解得x的值，然后代入原方程进行检验即可．【解答】解：方程两边同时平方得：x+1=4，解得：x=3．检验：x=3时，左边==2，则左边=右边．故x=3是方程的解．故答案是：x=3．【点评】本题考查了无理方程的解法，解无理方程的基本思路是转化成整式方程，并且解方程时必须要检验．11．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，那么c的取值范围是c＞9．【分析】根据关于x的一元二次方程没有实数根时△＜0，得出△=（﹣6）2﹣4c ＜0，再解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+c=0（c是常数）没有实根，∴△=（﹣6）2﹣4c＜0，即36﹣4c＜0，解得：c＞9．故答案为：c＞9．【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．12．（4分）将抛物线y=x2+x向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是y=x2+x ﹣2．【分析】根据向下平移，纵坐标要减去2，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+x向下平移2个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2，故答案为y=x2+x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．13．（4分）布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是．【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得到红球的概率．【解答】解：∵一个布袋里装有3个红球和6个白球，∴摸出一个球摸到红球的概率为：=．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．14．（4分）某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在80～90分数段的学生有150名．分数段60﹣7070﹣8080﹣9090﹣100频率0.20.250.25【分析】首先求得80～90分数段的频率，然后用总人数乘以该组频率即可求得该分数段的人数．【解答】解：80～90分数段的频率为：1﹣0.2﹣0.25﹣0.25=0.3，故该分数段的人数为：500×0.3=150人．故答案为：150．【点评】本题考查了频率分布表的知识，解题的关键是根据表格中的内容求得该分数段的频率．15．（4分）如图，已知梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，如果，，那么=（用，表示）．【分析】由梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，根据平行向量的性质，即可求得的值，又由=+，即可求得答案．【解答】解：∵梯形ABCD，AD∥BC，BC=2AD，，∴=2=2，∵，∴=+=2+．故答案为：2+．【点评】此题考查了平面向量的知识与梯形的性质．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．16．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠AED=∠B，如果AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，那么AB的长为3．【分析】由∠AED=∠B，∠A是公共角，根据有两角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得，然后由AE=2，△ADE的面积为4，四边形BCDE的面积为5，即可求得AB的长．【解答】解：∵∠AED=∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面积为4，四边形BCED的面积为5，∴△ABC的面积为9，∵AE=2，∴，解得：AB=3．故答案为：3．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与相似三角形面积的比等于相似比的平方．17．（4分）我们把两个三角形的重心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为4．【分析】先设等边三角形的中线长为a，再根据三角形重心的性质求出a的值，进而可得出结论．【解答】解：设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：a，∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，∴a=2，解得a=3，∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心距=a=×3=4．故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形重心的性质及等边三角形的性质，即三角形的重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为．【分析】由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，利用三角函数，即可求得AC的长，又由△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，AD⊥ED，根据折叠的性质与垂直的定义，即可求得∠EDB与∠CDB的度数，继而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的长，继而可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，∴AC===，∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，∴∠EDB=∠ADB==135°，∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°﹣90°=45°，∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°，∴CD=BC=1，∴DE=AD=AC﹣CD=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：×（﹣1）2++﹣（）﹣1．【分析】利用二次根式的分母有理化以及分数指数幂的性质和负整数指数幂的性质，分别化简，进而利用有理数的混合运算法则计算即可．【解答】解：原式===3．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及负整数指数幂的性质，熟练利用这些性质将各式进行化简是解题关键．20．（10分）解方程：．【分析】观察可得最简公分母是（x+3）（x﹣3），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解答】解：方程的两边同乘（x+3）（x﹣3），得x（x﹣3）+6=x+3，整理，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3．经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=1．【点评】本题考查了分式方程的解法．注意：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定要验根．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点，BE⊥CD，垂足为点E．已知AC=15，cosA=．（1）求线段CD的长；（2）求sin∠DBE的值．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，求出AB的长，即可求出CD的长；（2）由于D为AB上的中点，求出AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，利用勾股定理即可求出x的值，据此解答即可．【解答】解：（1）∵AC=15，cosA=，∴cosA==，∴AB=25，∵△ACB为直角三角形，D是边AB的中点，∴CD=（或12.5）；（2）方法一：∵BC2=AB2﹣AC2=400AD=BD=CD=，∴设DE=x，EB=y，∴，解得x=，∴sin∠DBE===．方法二：∵AC=15，cosA=，∴AB=15÷=25，∴BC=20，cos∠ABC==，∵DC=DB，∴∠DCB=∠ABC，∴cos∠DCB=cos∠ABC=，∵BE⊥CD，∴∠BEC=90°，∴cos∠DCB=，即=，∴CE=16，∴DE=CE﹣CD=16﹣12.5=3.5，∴sin∠DBE===．【点评】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线，综合性较强．22．（10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示．（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量．（注：总成本=每吨的成本×生产数量）【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域；（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可．【解答】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：，y=﹣x+11（10≤x≤50）（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（﹣x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），故该产品的生产数量为40吨．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，根据总成本=每吨的成本×生产数量得出等式方程求出是解题关键．23．（12分）已知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G．（1）求证：BE=DF；（2）当=时，求证：四边形BEFG是平行四边形．【分析】（1）证得△ABE与△AFD全等后即可证得结论；（2））利用=得到，从而根据平行线分线段成比例定理证得FG ∥BC，进而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，最后证得BE=GF，利用一组对边平行且相等即可判定平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE=DF；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴=又∵BE=DF，=∴==∴，又∠BDC=∠GDF故△BDC∽△GDF，再由对应角相等有∠DBC=∠DGF∴GF∥BC （同位角相等则两直线平行）∴∠DGF=∠DBC∵BC=CD∴∠BDC=∠DBC=∠DGF∴GF=DF=BE∵GF∥BC，GF=BE∴四边形BEFG是平行四边形【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理及平行四边形的判定与性质，特别是第二问如何利用已知比例式进行转化是解决此题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A （4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）关键是证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解；（3）如解答图，通过作辅助线构造一对全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值．【解答】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD=∠EDA=90°∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°，∴∠DEF=∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴=，∴，∴EF=t．同理，精品文档∴DF=2，∴OF=t﹣2．（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8．如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，在△GCA与△OAC中，，∴△GCA≌△OAC，∴CG=4，AG=OC=8．如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，∴EM=OF=t﹣2，AM=OA+OM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：∵AE2=AM2+EM2=；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG===∵在Rt△ECF中，EF=t，CF=OC﹣OF=OC﹣EM=8﹣（t﹣2）=10﹣t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10，t2=6，∵当t=10时，CF=10﹣10=0，∴不合题意舍去，∴t=6．另解：延长CE至x轴交于点K．∵∠ECA=∠OAC（已知）∴AK=CK（等角对等边）设OK=x，则AK=4+x．在Rt△COK中，CO=8，OK=x根据勾股定理得，CK==，∴根号64+x2=4+x，解得x=6，∵△CEF∽△CKO（两角对应相等）∴EF：KO=CF：CO，即0.5t：6=10﹣t：8，解得t=6．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理和待定系数法求二次函数解析式等多个知识点，难度较大．第（3）问中，涉及到无理方程的求解，并且计算较为复杂，注意不要出错．25．（14分）如图，在半径为2的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=1时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；（3）设BD=x，△DOE的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．【分析】（1）根据OD⊥BC可得出BD=BC=，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出OD的长；（2）连接AB，由△AOB是等腰直角三角形可得出AB的长，再根据D和E是中点可得出DE=；（3）由BD=x，可知OD=，由于∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE，DF=，EF=x即可得出结论．【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=，∴OD==；（2）如图（2），存在，DE是不变的．连接AB，则AB==2，∵D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=；（3）如图（3），连接OC，∵BD=x，∴OD=，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠2+∠3=45°，过D作DF⊥OE．∴DF==，由（2）已知DE=，∴在Rt△DEF中，EF==，∴OE=OF+EF=+=∴y=DF•OE=••=（0＜x＜）．【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理、三角形的性质，综合性较强，难度中等．。
2020上海中考数学试卷(含答案)
2020年上海中考数学试卷一. 选择题1. ）A.B. C. D.2. 用换元法解方程22121x x x x ++=+时，若设21x y x+=，则原方程可化为关于y 的方程是 （ ）A. 2210y y -+=B. 2210y y ++=C. 220y y ++=D. 220y y +-=3. 我们经常将调查、收集得来的数据用各类统计图进行整理与表示，下列统计图中，能凸 显由数据所表现出来的部分与整体的关系的是（ ）A. 条形图B. 扇形图C. 折线图D. 频数分布直方图 4. 已知反比例函数的图像经过点(2,4)-，那么这个反比例函数的解析式是（ ） A. 2y x =B. 2y x =-C. 8y x =D. 8y x=- 5. 下列命题中，真命题是（ ） A. 对角线互相垂直的梯形是等腰梯形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形 C. 对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 D. 对角线平分一组对角的梯形是直角梯形6. 如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与 另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形，下列图形中，平移重合图形 是（ ）A. 平行四边形B. 等腰梯形C. 正六边形D. 圆二. 填空题7. 计算：23a ab ⋅= 8. 已知2()1f x x =-，那么(3)f 的值是 9. 已知正比例函数y kx =（k 是常数，0k ≠）的图像经过第二、四象限，那么y 的值随 着x 的值增大而 （填“增大”或“减小”）10. 如果关于x 的方程240x x m -+=有两个相等的实数根，那么m 的值是11. 如果从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这10个数中任取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是12. 如果将抛物线2y x =向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是 13. 为了解某区六年级8400名学生中会游泳的学生人数，随机调查了其中400名学生，结 果有150名学生会游泳，那么估计该区会游泳的六年级学生人数约为 14. 《九章算术》中记载了一种测量井深的方法，如图所示，在井 口B 处立一根垂直于井口的木杆BD ，从木杆的顶端D 观察井水 水岸C ，视线DC 与井口的直径AB 交于点E ，如果测得 1.6AB = 米，1BD =米，0.2BE =米，那么井深AC 为 米 15. 如图，AC 、BD 是平行四边形ABCD 的对角线，设BC a =，CA b =，那么向量BD 用向量a 、b 表示为16. 小明从家步行到学校需走的路程为1800米，图中的折线反映了小明从家步行到学校所 走的路程s （米）与时间t （分钟）的函数关系，根据图像提供的信息，当小明从家出发去 学校步行15分钟时，到学校还需步行 米17. 如图，在△ABC 中，4AB =，7BC =，60B ∠=︒，点D 在边BC 上，3CD =，联结AD ，如果将△ACD 沿直线AD 翻折后，点C 的对应点为点E ，那么点E 到直线BD 的 距离为18. 在矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，点O 在对角线AC 上，O 的半径为2，如果O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是三. 解答题 19. 计算：1231127()|35|252-+-+-+.20. 解不等式组：1076713x x x x >+⎧⎪+⎨-<⎪⎩.21. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，90DAB ∠=︒，8AB =，5CD =，35BC =. （1）求梯形ABCD 的面积； （2）联结BD ，求DBC ∠的正切值.22. 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%.（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等，求该商店去年8、9月份营业额的月增长率.23. 已知，如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，BE DF =，CE 的延长线交DA 的延长线于点G ，CF 的延长线交BA 的延长线于点H . （1）求证：△BEC ∽△BCH ；（2）如果2BE AB AE =⋅，求证：AG DF =.24. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线152y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ， 抛物线2y ax bx =+（0a ≠）经过点A . （1）求线段AB 的长；（2）如果抛物线2y ax bx =+经过AB 上的另一点C ， 且5BC =，求这条抛物线的表达式；（3）如果抛物线2y ax bx =+的顶点D 位于△AOB 内， 求a 的取值范围.25. 如图，在△ABC 中，AB AC =，O 是△ABC 的外接圆，BO 的延长线交边AC 于点D .（1）求证：2BAC ABD ∠=∠；（2）当△BCD 是等腰三角形时，求BCD ∠的大小； （3）当2AD =，3CD =时，求边BC 的长.参考答案一. 选择题1. C2. A3. B4. D5. C6. A二. 填空题7. 26a b 8. 1 9. 减小 10. 411.1512. 23y x =+ 13. 3150 14. 715. 2a b + 16. 350 17. 18. 102033AO <<18. 【解析】102033AO <<，思路如下： 在Rt △ACD 中，6DC =，8AD =，∴10AC =，3sin 5CAD ∠=，如图1，当O 与AD 边相切于点H 时，在Rt △AOH 中，2OH =，由35OH AO =得：103AO =；图1 图2 如图2，当O 与BC 边相切时，4OH =，此时203AO =； ∴AO 长的取值范围是102033AO <<.三. 解答题19. 原式32430=+-+-= 20. 2255x x x >⎧⇒<<⎨<⎩21.（1）(58)6392+⨯=；（2）1222.（1）45045012%504+⨯=万元；（2）2350(1)50420%x x +=⇒= 23. 略24. 【解析】（1）由152y x =-+得：(10,0)A ，(0,5)B ，∴AB =.（2）如图1，作CH y ⊥轴于H ，由CH ∥AO 得：15BH CH BC BO AO BA ====， ∴115BH BO ==，125CH AO ==，∴(2,4)C ， ∵抛物线与x 轴交于O 、(10,0)A 两点，设(10)y ax x =-， 代入点(2,4)C 得：42(8)a =⨯⨯-，解得：14a =-， ∴抛物线的解析式为2115(10)442y x x x x =--=-+.图1 图2 （3）抛物线的对称轴是直线5x =，顶点D 的横坐标为5，如图2，如果点D 在△AOB 内部，那么502D y <<，抛物线的开口向下， 将点5(5,)2代入(10)y ax x =-得：55(5)2a =⨯⨯-，解得：110a =-，∴a 的取值范围是1010a -<<.25. 【解析】（1）如图1，联结OC ，由OB OC =，AB AC =，AO AO =得：△AOB ≌△AOC ， ∴BAO CAO ∠=∠，∴2BAC BAO ∠=∠， 又∵OA OB =，∴BAO ABD ∠=∠， 等量代换得：2BAC ABD ∠=∠.图1 图2（2）如图2，设ABD α∠=，2BAC α∠=，在△BCD 中，3BDC ABD BAD α∠=∠+∠=，90BCD α∠=︒-， ∴902CBD ABC ABD α∠=∠-∠=︒-， 分两种情况讨论等腰三角形BCD ，①当BC BD =时，390αα=︒-，解得：22.5α=︒， 此时9067.5BCD α∠=︒-=︒（如图3所示）； ②当时CB CD =，3902αα=︒-，解得：18α=︒， 此时9072BCD α∠=︒-=︒（如图4所示）.图3 图4（3）如图，延长AO 交BC 于H ，作DG BC ⊥于G ，∵AB AC =，BAO CAO ∠=∠，根据“三线合一”，可知AH 垂直平分BC ， ∴AH ∥DG ，∴23HG AD GC DC ==， 设2HG m =，3GC m =，那么5BH CH m ==， 再由OH ∥DG 得：27DO GH DB GB ==， 设2DO n =，7DB n =，由ABD OAD ∠=∠，ADB ODA ∠=∠， 得△ADB ∽△ODA ， ∴DA DO DB DA=，∴2272n n =，解得：227n =，∴22(7)14DB n ==， 再Rt △DBG 和Rt △DCG 中，由222DG DB BG =-，222DG DC CG =-得：22214(7)3(3)m m -=-，解得：24m =，∴52102BC m ==.。
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2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题,共25题；2．答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1． 下列实数中,是有理数的为（ ）A ；B ；C ．π；D ．0．2． 当0a >时,下列关于幂的运算正确的是（ ）A ．01a =；B ．1a a -=-；C ．()22a a -=-；D ．1221a a =．3． 下列y 关于x 的函数中,是正比例函数的为（ ）A ．2y x =；B ．2y x =；C ．2x y =；D ．12x y +=．4． 如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边数是（ ）A ．4；B ．5；C ．6；D ．7．5． 下列各统计量中,表示一组数据波动程度的量是（ ）A ．平均数；B ．众数；C ．方差；D ．频率．6． 如图,已知在⊙O 中,AB 是弦,半径OC AB ⊥,垂足为点D ,要使四边形OACB 为菱形,还需要添加一个条件,这个条件可以是（ ）A ．AD BD =；B ．OD CD =；C ．CAD CBD ∠=∠； D ．OCA OCB ∠=∠．二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7． 计算：22-+= ．8． 2的解是 ．9． 如果分式23x x +有意义,那么x 的取值范围是 ．10．如果关于x 的一元二次方程240x x m +-=没有实数根,那么m 的取值范围是 ．11．同一温度的华氏度数()y F 与摄氏度数()x C 之间的函数关系是9325y x =+．如果某一温度的摄氏度数 是25C ,那么它的华氏度数是 F ．12．如果将抛物线221y x x =+-向上平移,使它经过点A （0,3）,那么所得新抛物线的表达式是 ．13．某校学生会提倡双休日到养老院参加服务活动,首次活动需要7位同学参加,现有包括小杰在内的50位 同学报名,因此学生会将从这50位同学中随机抽取7位,小杰被抽到参加此次活动的概率是 ．14．已知某校学生“科技创新社团”成员的年龄与人数情况如下表所示：那么“科技创新社团”成员年龄的中位数是 岁．15．如图,已知在△ABC 中,D 、E 分别是边AB 、边AC 的中点,AB m =,AC n =,那么向量DE 用向 量m 、n 表示为 ．16．已知E 是正方形ABCD 的对角线AC 上一点,AE AD =,过点E 作AC 的垂线,交边CD 于点F ,那 么FAD ∠= 度．17．在矩形ABCD 中,5AB =,12BC =,点A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交,且点B 在⊙D 内,那么 ⊙D 的半径长可以等于 ．（只需写出一个符号要求的数）18．已知在△ABC 中,8AB AC ==,30BAC ∠=．将△ABC 绕点A 旋转,使点B 落在原△ABC 的点C 处,此时点C 落在点D 处．延长线段AD ,交原△ABC 的边BC 的延长线于点E ,那么线段DE 的长等于．三、解答题：（本大题共7题,满分78分）19．（本题满分10分）先化简,再求值：2214422x x x x x x x -÷-++++,其中1x ．20．（本题满分10分）解不等式组：4261139x xx x>-⎧⎪-+⎨≤⎪⎩,并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分）已知,如图,在平面直角坐标系xOy中,正比例函数43y x=的图像经过点A,点A的纵坐标为4,反比例函数myx=的图像也经过点A,第一象限内的点B在这个反比例函数的图像上,过点B作BC∥x轴,交y轴于点C,且AC AB=．求：（1）这个反比例函数的解析式；（2）直线AB的表达式．22．（本题满分10分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分）如图,MN 表示一段笔直的高架道路,线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米,BA 的延长线与MN 相交于点D ,且30BDN ∠=,假设汽车在高速道路上行驶时,周围39米以内会受到噪音的影响．（1）过点A 作MN 的垂线,垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶,当汽车到达点P 处时,噪音开始影响这一排的居民楼,那么此时汽车与点H 的距离为多少米？（2）降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板,当汽车行驶到点Q 时,它与这一排居民楼的距离QC 为39米,那么对于这一排居民楼,高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？（精确到1米）（参考数据：1.7）23．（本题满分12分,第（1）小题满分6分,第（2）小题满分6分）已知：如图,平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,点E 在边BC 的延长线上,且OE OB =,联结DE ．（1）求证：DE BE ⊥；（2）如果OE CD ⊥,求证：BD CE CD DE ⋅=⋅．24．（本题满分12分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分4分,第（3）小题满分4分）已知在平面直角坐标系xOy 中（如图）,抛物线24y ax =-与x 轴的负半轴相交于点A ,与y 轴相交于点B ,AB =P 在抛物线上,线段AP 与y 轴的正半轴相交于点C ,线段BP 与x 轴相交于点D ．设点P 的横坐标为m ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）用含m 的代数式表示线段CO 的长度；（3）当32tan ODC ∠=时,求PAD ∠的正弦值．25．（本题满分14分,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分5分,第（3）小题满分5分）已知：如图,AB 是半圆O 的直径,弦CD ∥AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E ,与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合）,20AB =,45cos AOC ∠=．设OP x =,△CPF 的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域；（3）当△OPE 是直角三角形时,求线段OP 的长．2015年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、 选择题1、D ；2、A ；3、C ；4、B ；5、C ；6、B二、 填空题7、4； 8、2； 9、3x ≠- ； 10、4m <- ； 11、77； 12、223y x x =++ ； 13、750；14、14； 15、1122m n -+ ； 16、22.5； 17、14等（大于13且小于18 的数）； 18、4． 三、 解答题19．解：原式2221=(2)2x x x x x x +-⋅-++ 122x x x x -=-++ 12x =+当1x =时,原式==1=20．解：由426x x >-,得3x >-由1139x x -+≤ ,得2x ≤ ∴ 原不等式组的解集是32x -<≤.x21．解：（1）∵正比例函数43y x =的图像经过点A ,点A 的纵坐标为4,∴443x = ∴3x = ∴点A 的坐标是(3,4)∵反比例函数的图像经过点A ,∴43m = ,12m =∴反比例函数的解析式为12y x =（2）∵AC AB =,∴点A 在线段BC 的中垂线上.∵BC x ∥轴,点C 在y 轴上,点A 的坐标是(3,4),∴点B 的横坐标为6.∵点B 在反比例函数的图像上,∴点B 的坐标是(6,2).设直线AB 的表达式为y kx b =+ ,将点A 、B 代入表达式得：4326k b k b =+⎧⎨=+⎩ 解得236k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线AB 的表达式为263y x =-+.22．解：（1）联结AP .由题意得 ,15(),39()AH MN AH m AP m ⊥==.在Rt APH ∆中,得36()PH m =.答：此时汽车与点H 的距离为36米.（2）由题意可知,PQ 段高架道路旁需要安装隔音板,QC AB ⊥, 30,39()QDC QC m ∠=︒=.在Rt DCQ ∆中,278()DQ QC m ==.在Rt ADH ∆中,cot 30)DH AH m =⋅︒=,∴11415 1.788.589()PQ PH DH DQ m =-+≈-⨯=≈. 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.23．证明：（1）∵,OE OB OBE OEB =∠=∠.∵平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ,∴OB OD =. ∴OE OD =. ∴ODE OED ∠=∠.在BDE ∆中,∵180,OBE OEB OED ODE ∠+∠+∠+∠=︒ ∴090,OEB ED BED ∠+∠=∠=︒ 即DE BE ⊥.（2）∵OE CD ⊥,∵90CDE DEO ∠+∠=︒.又∵90,.CEO DEO CDE CEO ∠+∠=︒∴∠=∠,.OBE OEB OBE CDE ∠=∠∴∠=∠在DBE ∆和CDE ∆中：OBE CDE BED DEC ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴.DBE CDE ∆∆∽∴.BD DE CD CE =∴ BD CE CD DE ⋅=⋅24．（1）由抛物线24y ax =-与y 轴相交于点B , 得点B 的坐标为(0,-4)∵ 点A 在x 轴的负半轴上, AB = ∴ 点A 的坐标为(-2,0) ∵ 抛物线24y ax =-与x 轴相交于点A , ∴1a =∴ 这条抛物线的表达式为24y x =-（2）∵点P 在抛物线上,它的横坐标为m ,∴ 点P 的坐标为2(,4)m m - 由题意,得点P 在第一象限内,因此20,40m m >->过点P 作PH ⊥x 轴,垂足为H ∵ CO ∥PH , ∴CO AO PH AH= ∴2242CO m m =-+, 解得24CO m =- （3）过点P 作PG ⊥y 轴,垂足为点G∵ OD ∥PG , ∴OD BO PG BG= ∴ 24OD m m =, 即4OD m= 在Rt △ODC 中, ∵3tan 2CO ODC OD ∠== ∴ 42(24)3m m-=⋅, 解得3m =或1m =-（舍去）. ∴ CO =2在Rt△AOC中,AC=∴sin2COOACAC∠==,即∠PAD的正弦值为225 ．（1）证明：联结OD∵CD∥AB, ∴∠C＝∠AOP∵OC＝OD, ∴∠C＝∠D, ∴∠AOP＝∠D,又∵AO＝OD, OP＝DQ, ∴△AOP≌△ODQ, ∴AP＝OQ （2）解：∵CD∥AB, ∴∠CFP＝∠A∵△AOP≌△ODQ, ∴∠A＝DOQ, ∴∠CFP＝∠DOQ又∵∠C＝∠D, ∴△CFP∽△DOQ∴2 CFPDOQS CP S DQ ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭过点O作OH⊥CD,垂足为点H.∵4cos cos5C AOC=∠=,1102OC OA AB===∴CH=8,OH=6,CD=16∴116322DOQS DQ OH x x ∆=⋅⋅=⨯=∵CP=10-x, ∴2103y x x x-⎛⎫= ⎪⎝⎭∴所求函数的解析式为23(10)xyx-=,即2360300x xyx-+=,定义域为501013x<<（3）解：∵CD∥AB, ∴∠EOA＝∠DQO又∵∠A＝∠DOQ, ∴∠AEO＝∠D≠90°所以当△OPE是直角三角形时,只可能是∠POE＝90°或∠OPE＝90°①当∠POE＝90°时,在RT△OCQ中,4cos5OCOCQCQ∠==, ∴252CQ=∵CD=16, ∴72 OP DQ==∵750213OP=<, 所以72OP=不合题意,舍去.②当∠OPE＝90°时,得∠DQO＝∠OPA＝90°∵点Q为CD的中点,∴182OP DQ CD===综上所述：当△OPE是直角三角形时,线段OP的长是8.。