一类有理逼近参数样条

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计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值

计算机辅助几何设计含参数保形有理样条插值计算机辅助几何设计（Computer-Aided Geometric Design，简称 CAGD）是计算机科学、数学和工程的交叉学科，它的发展历程可以追溯到20世纪70年代。

CAGD主要是利用计算机帮助人们完成各种几何设计任务，如曲线拟合、曲面建模、数据可视化等等。

其中，参数保形有理样条插值是CAGD中的一种基本技术之一，下面我们将对其进行详细介绍。

一、CAGD简介计算机辅助几何设计是一种利用计算机技术进行几何建模、分析、验证和制造的方法。

CAGD的应用范围非常广泛，涵盖了工业设计、航空航天、汽车制造、医学医疗、艺术设计等领域。

通过CAGD的技术手段，可以在计算机上创建数学模型，并对其进行几何变换、仿真分析、优化求解等操作，从而提高设计效率和质量。

CAGD的发展历程可以追溯到20世纪70年代，当时计算机的性能和软件工具都比较有限，所以主要应用于科学计算和工程仿真领域。

随着计算机技术的飞速发展，CAGD的应用范围也越来越广泛，涌现出了许多优秀的方法和算法，如Bezier曲线、B样条曲线、NURBS曲面、三角网格模型等等。

二、参数保形有理样条插值有理样条曲线是一种常用的数学曲线，它可以用来表示各种形状的曲线和曲面。

和其他曲线表示方法相比，有理样条曲线具有重要的优点，如良好的几何性质、局部控制性能、优秀的逼近性能等等。

参数保形有理样条插值是有理样条曲线中的一种插值方法，它可以通过已知的插值点来构造一条参数保形的有理样条曲线。

插值问题是求解函数$f(x)$在一些已知点$x_i$处的函数值$f(x_i)$的问题。

对于一些简单的函数，这个问题可以直接求解。

但是对于复杂的函数，如曲线和曲面，这个问题并不容易解决。

在实际应用中，经常需要求解一条曲线通过已知点，并且曲线在每个插值点处具有特定的曲率、斜率等属性。

这个问题就可以通过参数保形有理样条插值方法来解决。

参数保形有理样条插值是一种基于控制点的插值方法。

双曲抛物面上的一类G~2连续逼近样条

摘
要：双曲抛物ａＹ，在仿射坐标系下，过带逼近控制因子的双参数化方法，－通以及研究其参数间的函数关系构造出一类Ｇ连２
续样条曲线。当控制多边形是平形四边形时，条曲线段在逼近控制因子大于某个数时具有保形性质。对这类样条曲线段的逼样近问题进行了一定的理论分析。关键词：双参数４；Ｌ逼近；样条曲线；保形ＤＩ１．７￣ｉｎ１０—３１０１３５文章编号：０２８３（０１３－１５３文献标识码：中图分类ｇ：Ｐ９Ｏ：０７８．ｓ．２８３．１．．４３ｓ０２３０１０－３１２１）３８－００Ａ＇３１Ｔ
ＣＨＥｕｎｕｎ．ＥＮＪａｊａＰＮＧｅｇｕＡｐｒ￣ｍａｏｐｉｅｆＧ－ｏｔｕｔｖｒｈｐｒｏｃｐｒｂｌｉ．ｏｕｅｇｎｅ－Ｆｎｆ．ｐｏｉｆｎｓｌｓｏ２ｎｉｉｏｅｙｅｂＨａａｏｏｄＣｍｐｔｒＥｎｉｅｒｎｃｎｙ
曲线的形状，具有较好的预见性。但是缺点是曲线参数的数
值没有明显的几何意义。文献［研究了双曲抛物面上的一类Ｇ连续的参数样条曲１】２
线，并讨论了这类曲线的一些几何性质：如光顺性、端点性质
为了在计算机上执行方便，把代数的曲面转化为参一般数形式来考虑，所以对其参数化：
ｉｇａｄＡｐｌａｉｎ。０１４（３：８ —８．ｎｎｐｉｔｓ２１。７３）１５１７ｃｏ
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｏｖｒａｈｐｒｏｉａａｏｏｄａｔｐｆｓｌｅｆ－ｏｔｕｔａｌｂｅｃｎｔｕｔｄｃｎｅｉｎｌａｅｎａｎＯｅｙｅｂｌｐｒｂｌｉ．ｙｅｏｐｉｓｏｃｎｉｉＣｌｏｓｒｃｅｏｖｎｅｔｂｓｄｏｆｅＣ－ｃｎｎｙｙｉ

《人工神经网络：模型、算法及应用》习题参考答案

习题2.1什么是感知机？感知机的基本结构是什么样的？解答：感知机是Frank Rosenblatt在1957年就职于Cornell航空实验室时发明的一种人工神经网络。

它可以被视为一种最简单形式的前馈人工神经网络，是一种二元线性分类器。

感知机结构：2.2单层感知机与多层感知机之间的差异是什么？请举例说明。

解答：单层感知机与多层感知机的区别：1. 单层感知机只有输入层和输出层，多层感知机在输入与输出层之间还有若干隐藏层；2. 单层感知机只能解决线性可分问题，多层感知机还可以解决非线性可分问题。

2.3证明定理：样本集线性可分的充分必要条件是正实例点集所构成的凸壳与负实例点集构成的凸壳互不相交.解答：首先给出凸壳与线性可分的定义凸壳定义1：设集合S⊂R n，是由R n中的k个点所组成的集合，即S={x1,x2,⋯,x k}。

定义S的凸壳为conv(S)为：conv(S)={x=∑λi x iki=1|∑λi=1,λi≥0,i=1,2,⋯,k ki=1}线性可分定义2：给定一个数据集T={(x1,y1),(x2,y2),⋯,(x n,y n)}其中x i∈X=R n , y i∈Y={+1,−1} , i=1,2,⋯,n ,如果存在在某个超平面S：w∙x+b=0能够将数据集的正实例点和负实例点完全正确地划分到超平面的两侧，即对所有的正例点即y i=+1的实例i，有w∙x+b>0，对所有负实例点即y i=−1的实例i，有w∙x+b<0，则称数据集T为线性可分数据集；否则，称数据集T线性不可分。

必要性：线性可分→凸壳不相交设数据集T中的正例点集为S+，S+的凸壳为conv(S+)，负实例点集为S−，S−的凸壳为conv(S−)，若T是线性可分的，则存在一个超平面：w ∙x +b =0能够将S +和S −完全分离。

假设对于所有的正例点x i ，有：w ∙x i +b =εi易知εi >0，i =1，2，⋯，|S +|。

等距曲线有理逼近的一种方法

具有有理表示的复杂度．由于ＣＤＣＭ系统只能Ａ／Ａ处理多项式和有理多项式表示的曲线／面，曲因此，
长的Ｌｇｎｒ逼近和Ｊｃｂ逼近的等距曲线逼近方ｅｅｄｅａｏｉ
ｏｈｕｒｃｘｍｐｅ．ｎｔｅｎｍｅｉａｅａｌｓｌ
Ｋｅｗｏｄｙｒｓ：ＢｚｅＵｅ６ｉｒＣｒＳ；ｏｆｅｕｅ；ｒｔｏａｐｒｘｍａｉｎ；ｓｂｉｉｉｎｖｆｔｃｒｓａｉｎｌａｐｏｉｔｓｖｏｕｄｖｓｏ
ｔｅｎｒｏａａｅｒｐｅｆＢｚｅｕｅｈｂａｎｄｒｔｎｌＣｒｅａｄｔｅｏｓｔｕｅｏ６ｉｕｅｈｖｈｈｏｍｆｐｒｍｔｃｓｅｄｏ６ｉｒｃｒ．ＴｅｏｔｉｅａｉａＵｎｈｆｅｒｆＢｚｒｃｒａｅｔｅｉｖｏｖｃｖｅｖｓｍｅｈｇｅｅｉｔｓａｈｎｐｉｔ．ＩｔｅｍｅｈｄｉｃｍｂｎｄｗｔｈｕｄｖｓｏｔｏｆＣｒｅｔｅｒｔｎａｉｈｒｒａｅｔｔｅｅｄｏｎｓｆｈｔｏＳｏｉｅｉｔｅｓｂｉｉｎｍｅｈｄｏｕ，ｈａｉａｄｖｈｉｖｏｌ
中图分类号：Ｐ９Ｔ３１文献标识码：Ａ
ＡｅｈｄｆｒＲａｉｎｌＡｐｐｏｉｔｏｆＯｆｓｔＣｕｒｅＭｔｏｏｔａｏｒｘｍａｉｎｏｆｅｖｓ
ＧＯＱｎ— ｅ・Ｕｉｇｗｉ
（．ｎｔｔｏａｅａｉ，ＦｄｎＵｉｒｔ，Ｓａｇａ２０３，Ｃｉ１ＩｓｔｅｆＭｔｍｔｓｕａｎｖｓｙｈｎｈｉ０４３ｈａ；ｉｕｈｃｅｉｎ２ＤｐｒｅｔｆＭａｅｔｓｅｉｎｒｔｏｃｎｌｙｅｉ３０９ｈｉ）．ｅｔｎｏａｍｔｍｉ。ＨｆｉｓｙｆＴｈｏｏ，Ｈｆ００。ＣｎｈａｃｅＵｖｉｅｅｇｅ２ａ

一类加权有理三次样条的区域控制

足Ｐ（）Ｐ：ｄ，＝０１ … ，，称这种插值是分母为二次的有理三次样条插值。ｔ＝．，（１ｉｉ，，ｎ如前所述，当调节参数地取某些特殊值时，在某些情况下，对于给定的插值数据，将这种
插值样条曲线约束于给定的折线之上（或之间，因找不到满足条件的参数ｔ而使这种约下），束控制不能实现。因此，有必要构造一种更为灵活的插值样条来适应控制插值曲线的形状的需要，加权方法在数值分析中是一种广泛应用的方法，为了应用此方法，再构造一种ｆｂ上ａ］，的连续的仅基于函数值的有理三次插值样条为：
（）１
ｐ（＝＾（一。６１）＋ｔｔ１）＋）（一。０（ —０＋＾ｌ。。１）＋０
（＝Ｑ（一）＋０１）￡）。ｉ —０＋１（
且＝（＋）五＋ｏｈｄ，￣ｉｉｉ＝（ｔ）＋一ｈｄ＋，其中＋＾１ｉｉｌ＞０为调节参数。对给定的数据及选定的参数Ｏ，和，如上所定义的有理三次插值函数是存在且唯一的，其满／
上、之下或之间的充分必要条件。证明了满足约束条件的加权有理样条的存在性。
关键词：理样条；加权插值；约束插值；曲线设计有
分类号：ＡＭＳ２０）５５６Ｄ１（００６Ｄ０；５７
中图分类号：４．；Ｂｌ５Ｏ２１Ｔ１３
次插值样条和仅基于函数值的有理三次插值样条构造了一类加权有理三次插值样条函数，这类新
的插值样条中含有权系数，因而增加了处理问题的灵活性，给约束控制带来了方便。给出了将该

【国家自然科学基金】_三次b样条_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140801

53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
任意数量人体坐标中国力学虚拟人不规则网格三维重构三维重建三次有理b样条曲线三次中心b样条小波三次b样条函数三次b样条 qr法 nurbs(非均匀有理b样条) g1拼接 db3小波 c-b样条 b样条曲面 b样条曲线 b样条
科研热词样条函数齿面接触仿真非均匀有理b样条曲线阈值处理函数重采样造型边缘检测轮廓提取设计参数解析模型虚拟现实能量模型网格模型网格删除统一计算设备架构(cuda) 结构动力学约束精细积分端部分量空间钢框架离敞曲率磨损零件磨损边界点电测井信号去噪生成算法特征点牙齿轮廓牙列计算机断层图像灰度重建永磁直线同步电动机样条曲线样条校正算法有理三次b閆ier曲线最小二乘曲面造型曲面拟合曲线逼近方向导数数字化齿面控制点弧齿锥齿轮小波变换基函数均匀弧长重采样图形处理器(gpu) 图像缩放图像处理双三次b样条半刚性连接分片双三次有理参数多项式曲面几何畸变
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 6 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

曲面造型.

曲面造型(Surface Modeling)曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。

它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。

如今经过三十多年的发展，曲面造型现在已形成了以有理B样条曲面(Rational B-spline S urface)参数化特征设计和隐式代数曲面(Implicit Algebraic Surface)表示这两类方法为主体，以插值(I nterpolation)、拟合(Fitting)、逼近(Approximation)这三种手段为骨架的几何理论体系。

1. 对曲面造型的简要回顾形状信息的核心问题是计算机表示，即要解决既适合计算机处理，且有效地满足形状表示与几何设计要求，又便于形状信息传递和产品数据交换的形状描述的数学方法。

1963年美国波音飞机公司的Ferguson首先提出将曲线曲面表示为参数的矢函数方法，并引入参数三次曲线。

从此曲线曲面的参数化形式成为形状数学描述的标准形式。

1964年美国麻省理工学院的Coons发表一种具有一般性的曲面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。

但这种方法存在形状控制与连接问题。

1971年法国雷诺汽车公司的Bezier提出一种由控制多边形设计曲线的新方法。

这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚实的基础。

但Bezier方法仍存在连接问题和局部修改问题。

到1972年，de-Boor总结、给出了关于B样条的一套标准算法，1974年Gordon和Riesenfeld又把B样条理论应用于形状描述，最终提出了B样条方法。

有理[2m+1,2m]型分段插值样条

有理[2m+1,2m]型分段插值样条
彭丰富;韩旭里
【期刊名称】《计算机工程与应用》
【年(卷),期】2006(042)016
【摘要】常见的较低次有理带单形状因子分段有理插值样条通过代数运算,可用Bemstein基函数等价表示,这类分段插值样条利用Hermite插值的方法推广到高次有理[2m+1,2m]型,样条的生成曲线满足Cm-连续,并给出了具体的Bern-stein 基函数表示方法的表达式,其形式较为简单,最后分别讨论了这类有理插值的逼近阶与约束域及保单调等方面的形状因子的选取情况,并给出了例子分析.
【总页数】4页(P92-95)
【作者】彭丰富;韩旭里
【作者单位】中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083;中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.分段有理三次保形样条插值 [J], 黄日朋
2.基于三次样条插值的时滞GDM(1,2)模型构建及应用 [J], 党耀国;张娟;陈兴怡
3.代数曲线的分段有理二次B样条插值 [J], 胡斌;梁锡坤
4.函数的分段有理二次B样条插值 [J], 梁锡坤
5.函数的分段有理二次B样条插值 [J], 梁锡坤
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带参数的一类均匀B-L样条曲线曲面及应用

多项式样条；出了带２给个参数的ＢＬ样条；－根据需要调整这２个参数中的任何一个或同时调整２，个实现对
曲线形状的控制，获得所需要的形状；该方法构造的曲线具有对称性，可以精确表示直线段、次多项式曲线，三
并推广到曲面的情形。关键词：三角多项式；形状参数；均匀ＢＬ样条曲线曲面－
献Ｅ２研究了低次的即一２３４的情况，１３，，也给出了带参数的以纯三角为基的样条，本文构造的三角多项式样条，给出了带２个参数的Ｌ样条。这种三角样条具有Ｂ样条的优点，形状可调，计算简单，具有局部逼近特征，也可以直接自然地推
ＺＨＵａ－ｉＺＨＯＵｉ－ｎＴＡＯｕｔａＸｉｏｌ，ｎＪｎｍｉｇ，Ｙｏ —ｉｎ
（．ｐ．ｏａｈｍａｉｓ１ＤｅｔｆＭｔｅｔｃ，ＨｅｅｎｖｒｉｙｏｃｎｌｇｆｉＵｉｅｓｔｆＴｅｈｏｏｙ，Ｈｅｅ００ｆｉ２３０９，Ｃｈｎｉａ；２ｅｔ．ｏｐｄＰｈｉｓＡｎｈｉｅｓｔｆ．ＤｐｆＡｐＵｅｙｓｃ，ｉｎＵｎｖｒｉｙｏＴｅｈｏｏｙａｄＳｉｎｅ，Ｗｕｕ２１０ｃｎｌｇｎｃｅｃｈ４００，Ｃｈｎ）ｉａ
旋面、旋转面等。但是螺旋样条不能表示高次的多项式样条［。张力样条是文献Ｅｉ２］ｌ为消除三次插值样条有时会出现多余拐点而引入的［。Ｂ样３］
ｍｉｌｃｒｅ．ＴｈｓＬｓｌｅｃｒｅｒｅｅａｉｅｏｔｅｃｓｓｏＬｓｌｅｓｒａｅ．ａｕｖｓｅｅＢ－ｐｉｕｖｓａｅｇｎｒｌｄｔｈａｅｆＢ－ｐｉｕｆｃｓｎｚｎＫｅｒｓｔｉｏｏｅｒｃｐｅａｄｓｒａｅｙｗｏｄ：ｒｇｎｍｔｉｏｙｏａ；ｓａｅｐｒｍｔｒ６ｉｒｌｐｉｕｖｎｕｆｃｋｎ

三次代数曲面上的一类G^2连续自由参数样条

ｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｃｕｒｖｅ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｌｇｅｂｒａｉｃｓｕｒｆａｃｅ；Ｇｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ｂａｒｙｃｅｎｔｒｉｃｃｏｏｒｄｉｎａｔｅ；ｓｐａｃｅｃｕｒｖｅ
关键词：代数曲面；Ｇ２连续；重心坐标；空间曲线
中图分类号：ＴＰ３９１文献标志码：Ａ文章编号：１６７３ — ８０８Ｘ（２０１３）０５ — ０４０８ — ０４
ＡｆｒｅｅｐａｒａｍｅｔｅｒｓｓｐｌｉｎｅｗｉｔｈＧｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｉｎｔｈｅｃｕｂｉｃｓｕｒｆａｃｅ
用计算机表示曲线和曲面时，既可用代数表达
式，也可采用参数的形式。由于参数形式具有很多优
１构建三次代数曲面
设Ｐ，Ｐ。，Ｐ。，Ｐ４∈ Ｒ。为４个空间的有序数据
点，如参数化后，当遇到多值曲面。因此，曲线与曲面通
ｐｒｏｘｉｍａｔｅＧｚｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｓｐａｃｅｃｕｒｖｅ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｍｅｔｈｏｄｈａｓｆａｓｔａｎｄｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔａｄｖａｎｔａｇｅｓｉｎｄｒａｗｉｎｇ

一次有理插值样条

一次有理插值样条
唐如忠;赵前进;张玉武
【期刊名称】《安徽建筑工业学院学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2010(018)001
【摘要】重心有理插值在整个插值区间上具有足够的光滑性、不存在极点, 且具有很高的逼近阶.首先基于给定的权构造的重心有理插值来计算导数的近似值,通过适当选择形状参数,插值函数一阶连续且保单调来构造1/1型有理插值样条,最后分析了误差并给出了数值例子来说明新方法的有效性.
【总页数】4页(P76-78,82)
【作者】唐如忠;赵前进;张玉武
【作者单位】安徽理工大学理学院,淮南,232001;安徽理工大学理学院,淮
南,232001;安徽理工大学理学院,淮南,232001
【正文语种】中文
【中图分类】O174.41
【相关文献】
1.一种（3,2）1阶有理插值样条曲面及其凸性控制 [J], 李莉;唐月红;刘琳
2.一种二元有理插值样条函数的凸性 [J], 项梅灵;唐月红
3.一种有理插值样条曲面及其性质研究 [J], 项梅灵;刘琳
4.一元四次有理插值样条曲线的应用 [J], 符琳;
5.双参数有理插值样条 [J], 符琳;卞必顺;;
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一类三次λ-B样条曲线

／
＼］＼、
且相比较有关文献，文章的曲线造型能力更强．
关键词：Ｂ样条；曲线设计；状参数形中图分类号：Ｐ３１７Ｔ９。２文献标识码：Ａ文章编号：６２— １７２０）４— ０６— ４１７７７（０８００１０
问题．
分段三次日样条曲线具有形状简单，使用灵活的优点，已有广泛的应用．而对给定的控制顶点，然分段三次Ｂ样曲线的位置是确定的，如果要调整曲线的形状，要调整控制多边形，需为此文献ｆ】出了扩展的６提三次均匀Ｂ样条曲线，文在此基础上提出了一类三次Ａ～曰样条，三次Ｂ样条曲线类似的性质，时本与同相对于文献［】曲线外观上更平滑，６，且造型能力更强．
６）击【－）１＋１９（＋）２＝（Ａ２（＋）一１６（ｚ４＋２Ａ２２Ａ６）去【３ｎ（２列３＝（ａ４Ａ（一）＋）
为带参数Ａ的调配函数（中一 ≤Ａ）其８ ≤１图１Ａ＝一１为时的４个基函数图形上述基函数具有下述性质：
第２第４期９卷
２００８年１２月
淮北煤炭师范学院学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆｕｉｉｏｌｎｕｔｅｃｅｓＣｌｇＮｔｒｌｃｎｅｏｒａｏａｅＣａＩｄｓｙＴａｈｒｏｅｅ（ａａＳｉｃ）Ｈｂｒｌｕｅ
成熟．对于基于形状参数修改的形状调整，除了有理Ｂｚｒ６ｉ曲线和有理Ｂ样条曲线中的权因子的选取外，ｅ人们还设计出了一些可调整曲线的方法【５由于形状参数的调整更为直观和便于处理，以可调整曲线方法２１－．所在图形设计中更加实用，更加灵活，因此，用张量参数建立更加实用的曲线生成方法，值得研究的重要使是

有理三次Hermite插值样条及其逼近性质

Ｇ（＝Ｇ（：Ｖ＋（＝Ｇ＋（＝０ｔ）ｔ）ｉｌ）ｉＩ１０１０），
ｆ２１
Ｇ（＝＋（），：）１＝１０１
（＝Ｇ＋（＝０１）：１），０
且有（＋Ｅ＋（＝１Ｇ（＝一ｉｌ１）ｔ）ｌ１），ｉ）Ｇ＋（一ｔ．ｔｔ
２有理三次Ｈｅｍｉ基函数和对应的Ｆｒｕｏｒｔｅｅｇｓｎ曲线
我们知道，对于给定的节点０＝ｘ１＜ … ＜ｏ＜ｎ＝ｂ，记＝Ｘ＋ — ，＝ｉｌｔｔ
收稿日期：０９０ —４作者简介：谢进（９０２２０ —８２．１７年１月生）男，，博士，副教授．研究方向：计算机辅助几何设计与应用逼近论．基金项目：国家自然科学基金（１７２７；教育部科学技术研究重大项目（００７；教育部博士点基６００２）３９１）
次Ｈｅｍｉ插值曲线的形状完全确定的，插值曲线的逼近效果也随之确定，这种插值被称ｒｔｅ之为确定性插值．如何在插值条件确定的情况下提高逼近效果，是计算机辅助几何设计中的重要研究课题．近些年来，不少作者讨论了有理三次插值样条的逼近性［７，这些插值样卜］条都具有标准的三次Ｈｅｍｉ插值相似的性质．上述文献在讨论插值样条的逼近性时，应ｒｔｅ
第２卷第３８期
２１年０月０１６
工
程
数
学
学

一种双参数的有理三次Hermite样条的逼近性及其应用

线的形状和插值曲线的逼近效果是确定的¨ 』．在插值条件确定的情况下，如何去提高逼近效果，是计算机辅助几何设计中的一件有意义的课题．近些年来，不少作者采用有理形式的插值样条来提高插值曲线的逼近Ｊ陛ｌ４，而且，由于插值样条含有参数，使得插值曲线曲面的形状能够被修改．但是，在相同的插值条
Ｆｅｂ．２０１３Ｖｏ１．２３Ｎｏ．１
一Hale Waihona Puke 种双参数的有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ样条的逼近性及其应用
马文瑞，许璐
４３００５６）（江汉大学数学与计算机科学学院，武汉
摘
要：构建了一种带双参数的分段有理三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条，它是三次Ｈｅｒｍｉｔｅ插值样条的推广．讨论了这
ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｗｈｉｃｈｉｓｔｈｅｅｘｔｅｎｓｉｏｎｏｆｃｕｂｉｃＨｅｒｍｉｔｅｉｎｔｅｐｏｒｌａｔｉｎｇｓｐｌｉｎｅ．Ｔｈｅ
一种双参数的有理三次hermite样条的逼近性及其应用冷淝学院学报自然科学版一种双参数的有理三次样条的逼近性及其应用马文瑞许璐江汉大学数学与计算机科学学院武汉摘要
企肥・学院学赧（自然科学版）
２０１３年２月第２３卷第１期
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｅｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅｓ、

张量积等距曲面的样条逼近

ｓ∈ ［，］ｔ［，口６， ∈ ｆ］（）３其中ｑｑ≠ １是权值ｒａ６ｃｄ是常数，（，是（）引，、、和Ｌｓ￡）
一
个重新参数化的双线性样条曲面，其定义如下：
Ｌｓ￡［一，］１（）］＋（，）＝１（）［一ｆｖ－Ｖ
ｓ一乳
●… ＝
ｔ一
— — — — —Ｌ．
１等距曲面的逼近
１１等距逼近曲面的构造．
正则参数曲面Ｐｓ￡＝（（，）ｙｓ￡，（，）（，）：ｚｓ￡，（，）ｚｓ￡）：的距离为ｄ的等距曲面Ｐ。ｓ￡定义为（，）
Ｕ
一
＝
一
参考文献［中，２我们已经讨论了平面等距曲线的逼近］
问题，利用样条曲线插值来逼近等距曲线．里，们这我将该方法推广并且用于求张量积等距曲面的逼近曲面．求张量积等距曲面的逼近曲面与求等距曲线的逼近曲线的不同之处主要在于：ｉ插值点的选取．（）张量积曲面上插值点的选取要按照两个参数方向进行，使之形成一个矩形网格．ｉ利用重新参数化的双线性（ｉ）样条曲面来构造逼近曲面．
Ｐ。ｓ￡（，）＝Ｐ（，）ｄ（，）ｓ￡＋Ｎｓ￡（）１
曲线、曲面的等距计算在几何造型、ＮＣ（ｍｅｉＮｕｒ — ｃｌｏｔｏ）Ｉ和机构运动学等领域具有广泛的应ａＣｎｒ１￣工用．有理曲线、曲面的等距曲线、曲面一般不再是有理

关于可微函数的一类有理插值逼近

关于可微函数的一类有理插值逼近有理插值逼近是一种常用的应用于可微函数的方法，旨在在实现较小计算量的同时，依靠数据点来近似地解决可微函数。

它能够以更少的计算量快速地得到函数的可微性和极值的位置，用于求解激励函数和形状参数。

一、概念有理插值逼近，即通过一个有理函数近似可微函数，从而减少可微函数计算和分析所需要的时间和资源开销。

所谓有理函数，指的是一个函数可以写成指数、对数、三角函数或其他有固定系数的分式的相关函数的总和，想要找出一个合适的有理函数近似，可以利用有限多项式之类的工具来寻找有理插值逼近。

二、方法1、定义n阶牛顿-拉夫逊分析：由待拟合的可微函数的n阶导数和原函数值组成一个线性方程组，求出最优解。

由于方程组本质上是一个系数矩阵，可以利用矩阵求解，大大减少了计算量。

2、定义拉格朗日插值：若对可微函数进行n + 1次插值，可以得到相应的一阶多项式的系数。

也就是说，拉格朗日插值法可以根据已知数据点拟合成一个和原函数接近的函数曲线。

3、定义样条插值：又称曲线拟合、曲面拟合，它是一种有理函数，能够根据定义域内已知数据点对复杂可微函数进行拟合。

样条插值法运用特定的基函数，通过优化参数和拟合数据来构造出可微函数。

三、优缺点有理插值逼近的优缺点如下：（1）优点：1.有理函数具有良好的稳定性，便于实现有效的可微近似；2.拉格朗日插值和样条插值可以给出更精确的结果；3.有理插值逼近可以让可微函数分析更精准；4.有理插值逼近消耗较少的计算资源，迅速求解出精确的可微性和极值位置。

（2）缺点：1.近似高阶的可微函数会相当复杂，计算量大；2.精确的局部最小值无法得到；3.对于多种复杂可微函数，插值法无法提供足够准确的结果；4.可微函数的极值也可能极其复杂，无法用有理插值来估计。

一类有理插值样条的形状控制分析

中图分类号：０２１５４．文献标识码：Ａ
Ｓａｅｃｎｒｌａｌｓｓｆｒａｃａｓｏａｉｎａｕｉｎｅｐｌｔｏｈｐｏｔｏｎａｙｉｏｌｓｆｒｔｏｌｃｂｃｉｔｒｏａｉｎ
ＴＩＮｅｇＡＭｎ
（ｃｏｌｆＭａｈｍａｉｓａｄＩｆｒｔｎＳｉｎｃ，ＳａｄｎｉｅｓｔｆＴｅｈｎｌｙ，Ｚｂ５０９，Ｃｈｎ）ＳｈｏｔｅｔｎｎｏｍａｉｃｅｅｈｎｏｇＵｎｖｒｉｙｏｃｏｏｇｏｃｏｉｏ２５４ｉａ
论方便，们记ｈ一我
一，一（。 △ｌ＋一）／
ｈ，（ｆ一 — ）（＋１／ｆ一ｉ，ｉ１２ … ，一１．）（一，，）
如下定义分段有理三次样条函数：
）一＝
【１（１２＾一Ｉｈ一＋ｈ一）ｄ一△ 一＋ △ 一一△ 一）１（２１．
ａｙｉｇｔｓｋｎｄｏｆｒｔｏｌｃｃｉｅｐｏａｉｎｓｉｅＴｈｅｒａｏｏｒｓｐｅｐｅｅｖｎｆｔｓｌｚｎｈｉｉａｉｎａｕｂｉｎｔｒｌｔｏｐｌｎ．ｅｓｎｆｈａ — ｒｓｒｉｇｏｈｉｓｉｓｄｔｒｎｅｎｄｔｕｒｅｒｈｅｉｐｌｙｄｖｓａｌｐｌｎｅｗａｅｅｍｉｄａｈｅｃｖｓｗｅｅｔｎｄｓａｅｉｕｌｙ．
摘要：通过分析一类有理三次插值样条函数，出其形状参数对插值曲线形状的影响，示得揭了该类有理样条可保形的原因，并通过图形进行了直观演示．关键词：有理样条；插值；保形；形状参数；６ｉｒ多边形Ｂｚｅ

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ＡｂｔａｔＡａａｔｉｓｌｅｃｒｅｗｉｈｐａｔｒｉｐｏｕｅｎａｈｐｒｏｉａａｏｏｄ，ｗｈｃａｐｐｏｃｔｏｒｌｐｌｇｎ，ｓｒｃｐｒｍｅｒｃｐｉｕｖｔａｓａｅｆｃｏｓｒｄｃｄｏｙｅｂｌｐｒｂｌｉｎｈｃｉｈｃｎａｒａｈｉｓｃｎｔｏｏｙｏ
ａｄｐｓｅｓｓｆｅｍｅｒｃｌｒｐｒｉｓｎｏｓｓｅｉｇｏｔｉａｏｅｔｅ．Ｔｈｓｓｌｅｃｎｂｎｅｗｉｈｄｇｅｅｕｃｉｎａｄｅｅａｉｎｎｅｐｉｐｉａｅｄｏｔｅｒｅｒｄｔｏｎｌｖｔｏ．Ｗｅａａｙｉｈｒｐｒｉｓｏｗｏｅｄｎｎｌｓｓｔｅｐｏｅｔｅｆｔｎ
ＣｌｓｍｂｅＴＰ３】ａｓＮｕｒ９
１引言
在计算机辅助几何设计中，般有两种定义曲线曲面一的方法，们分别是参数化方法和隐式方法ｌ。后者尽它１管具有更多的自由度、好的直观表示及更好的几何运算更性质，是由于计算量太大，因此，目前在几何曲线的设但计中，数化方法已成为一种不可替代的几何方法。因参此，多隐式方法，主要是代数方法，最终其应用还是转大化为参数方法表示。同时，在对模型重构中，制点和剖分情形中有理样控条的大量应用，有很好的逼近、于实施和带有形状因具易子通过人机交互来调整曲线。特点，为曲线的构造提等供了很大的方便。在计算机图形学中，比较多的热点聚集
型口（）３￡一１（＋一１７）３
（２）
ａ（）４￡一１（＋一１７）３
Ｍ（１）一
这里Ａ是形状因子，满足＞Ｏ且。将式（）的 “ ￡、￡带入式（）１中（）（）２中相应的 “ ，如果、选取一１，则该四个基函数就是多项式基函数。当 ≠ １时，四个基函数是有理多项式函数。不难验证上述基函数
（林电子科技大学数学与计算科学学院桂
摘
要
在二次曲面上构造一种带有形状因子的有理参数样条曲线，样条曲线能逼近所在的控制多边形，有较好的几何特性，该且并双曲抛物面；曲线样条；参数曲线；逼近样条

ｒｆ（）一Ｃ￡
（一ｆ１）
ｆＩ（）一ｒ（）ｔＭＩｔｄ
Ｊ０
≥ ２ｋ一１２ … 一１ｔＬ，１，，，， ∈ ｏ１
我们还构造如下有理样条基函数：
ａ（）１￡一
二
二型２
１（１７＋一）３
Ａ（一 “ ７１）ｄａ（）２￡一１（＋一１）
ｏｏｖｘｐｌｈｄａｂｉｌｅｒｉｓｌｅ［］ＣｍｐｔｒＡｉｅｆｎｅｏｙｅｒｙＳｇｂａｐｉｓＪ．ｏｕｅ－ｄｄｃａｃｎ
Ｄｅｉｎ，２０ｓｇ０７，３（１：０３ｉｉ９１）１０一０１．
［］鲍尔西兹尼等．Ｃ连续代数样条的几何控制［］计算机辅助４Ｊ．
点Ｐ，，。升阶方式是以表达式：１… Ｐ，
ｐｒｏｉＰｒｂｌｉ［］Ｃｍｐｔｒ＆Ｄｇｔｌｎｉｅｒｇ２１，ｅｂｌａａｏｏｄＪ．ｏｕｅｃｉｉｇｎｅｉ，０１ａＥｎ
３１：４ — ４６９（１）１５１．
Ｐ（）１ｔＰ１￡＋ｔ２￡，Ｅ［，］一（－）（）Ｐ（）ｔＯ１
实施，中Ｐ（）关于前面四个节点的样条曲线，其中其是Ｐｚ是关于后面四个节点的样条曲线，当然，利用递归的（）方法，种升阶方法还可以对更多的节点继续进行升阶处这
［］莫海宁，国辉，３赵等．基于混合凸多边形的Ｓ代数样条［］计；Ｊ．
算机辅助设计，０７９１）０３１１．２０，３（１：１０ —０１
Ｈ．Ｍｏｕ，Ｇ．Ｚｈｏ，Ｚ．Ｗａｇ，ＺＳａｎ．ｕ，Ｓｍｕｌａｏｓｂｅｄｎｉｔｎｅｕｌｎｉｇ
ＨＵＡＮＧｎＰＬｏｇＥＮＧｎｆＦｅｇｕ
（ｃｏｌｏａｈｍａｉａｎｄＣｏｕｔｇＳｉｎｅＧｕｌｎＵｎｖｒｉｆＥｌｃｒｎｃＴｅｈｌｇ，Ｇｕｌ５０４）ＳｈｏｆＭｔｅｔｌａｍｐｉｃｅｃｉｉｅｓｔｏｅｔｏｉｃｎｏｏｙｃｎｉｙｉｎｉ４１０
９ —４．２１４
端点Ｐ１Ｐ。和４
Ｐ０一Ｐ２ＰｌＰ（）一；
图１双曲抛物面
（）Ｐ。该结论可１一Ｐ — 。
［］黄龙，丰富，一类二次曲面上的参数曲线｜］计算机与数字２彭Ｊ．
工程，２１０１，３１）：１５１６９（１４ —４．
基金项目：国大学生创新实验项目及广西高等学校重点资助科研项目（．０１２Ｄ１）全Ｎｏ２１０Ｚ０５资助。作者简介：龙，，究方向：黄男研软件设计，图形设计。彭丰富，，副教授，究方向：值分析，算机图形学。男研数计
ＴＰ９３１
且可以作升阶和降阶处理。分析其端点性质，便于拼接成光滑曲线，如果选取合适的形状因子，可以使得曲线连接成Ｇ续。连关键词
中图分类号
ＡｔｏｌＰａｒｍｅｒｃＳｌｎｏｐｒｘｍａｉｎＲａｉｎａａｔｉｐｉｅｆｒＡｐｏｉｔｏ
Ｐ，也就是曲线插值于两
０
ｍａｉｓｎｋｃｎｉｕｕｉｃｗｉｅｅｌｌｅｒｉｃｒｅ［］ｔｎｕｉｇＣ－ｏｔｏｓｅｅｓａａｇｂａｃｕｖｓＣ．ｏｎｐｒ
ＣｏｕｅｉｎｅＴｅｈｃｌｐｒ，ＰｕｄｅＵｎｖｒｉｙ１９ｍｐｔｒＳｃｅｃｃｎｉａＲｅｏｔｒｕｉｅｓｔ，９２：
１（）Ｏ１（一１２３４，）￡Ｅ［，］，，，）
４
２ ∑ （一１）￡，）
一
１
作了具体的分析，并提出了曲线拼接的方法。
３）有等式一（ｚ（ｚ。，其几何形状为一双ａ＋）ａ＋ａ）曲抛物面，图１示。如所
ｐｉｔ，ｔｔｅａｌｓＵｏａｔｃａｒｙｃｒｅｏｎｓｈａｎｂｅＳｔｔａｈａｆｉｌｕｖ．ＡｃｎｉｕｉＨｖａｅｃｎｃｅｙｔｏｅｓｌｅｉｗｅｕｅａｇｏｐｏｅｅｍｉｅｈｐＧ一ｏｔｎｔｃｒｅｃｎｂｏｎｅｔｄｂｈｓｐｉｆｓｒｕｆｄｔｒｎｄｓａｅｙｎ
２１年第８０２期
计算机与数字工程
１５１
利用基函数（）２，由该点列（时形成一控制多边形）成同生
一
曲线：
４
参考文献
Ｐ￡一∑Ｐ） ∈［，（）（，ｏ］ｄ￡￡１
ｉ１一
（）３
总第２４７期
计算机与数字工程
Ｃｏｕｅｍｐｔｒ＆ＤｉｉａｇｎｅｉｇｇｔｌＥｎｉｅｒｎ
Ｖｏ．０ＮＯ８１４．
１１４
２１第８０２年期
一
类有理逼近参数样条
黄龙彭丰富
桂林５１０）４０４
曲线（）有性质：３具
Ｐ（）一ＰｌＰ（）＝０；１
［］巴贾吉，１徐国良．局部插值逼近的ｃ连续分段实代数曲线［］ｋｃ．计算科学技术会议，普渡大学，美国，９２９—４．１９：２１４
Ｃ￣ａ，．ＢｊＧ．Ｘｕｉ，Ａ－ｐｉｅ：Ｌｃｌｎｅｐｌｔｎａｄａｐｏｉｓｌｓｏａｔｒｏａｉｎｐｒｘ— ｎｉｏ
２构造参数样条曲线
运用两参数函数
３样条曲线的构造及其性质
给定空间或平面的一个四个点的点列Ｐ，ｚ，Ｐ，Ｐ，
＊
收稿日期：Ｏ２年２月７日，回日期：０２年３月３２１修２１０日