一类有理逼近参数样条

Ａｂ ｔ ａ ｔ Ａ ａ ａ ｔ ｉ ｓ ｌ ｅ ｃ ｒ ｅ ｗｉ ｈ ｐ ａ ｔ ｒ ｉ ｐ ｏ ｕ ｅ ｎ ａ ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ａ ａ ｏ ｏ ｄ，ｗｈ ｃ ａ ｐｐ ｏ ｃ ｔ ｏ ｒ ｌｐ ｌ ｇ ｎ， ｓ ｒｃ ｐ ｒ ｍｅ ｒｃ ｐ ｉ ｕ ｖ ｔ ａ ｓ ａ ｅｆ ｃ ｏ ｓ ｒ ｄ ｃ ｄ ｏ ｙ ｅ ｂ ｌ ｐ ｒ ｂ ｌ ｉ ｎ ｈ ｃ ｉｈ ｃ ｎ ａ ｒ ａ ｈ ｉｓｃ ｎｔｏ ｏ ｙ ｏ
ａ ｄ ｐ ｓｅ ｓ ｓｆ ｅ ｍ ｅｒｃ ｌ ｒ ｐ ｒｉｓ ｎ ｏ ｓ ｓｅ ｉ ｇ ｏ ｔｉａ ｏ ｅ ｔｅ．Ｔｈｓｓ ｌ ｅｃ ｎｂ ｎｅｗｉｈｄ ｇ ｅ ｅ ｕｃｉｎ ａ ｄ ｅｅ ａｉｎ ｎｅ ｐ ｉ ｐｉ ａ ｅｄｏ ｔ ｅ ｒｅｒｄ ｔｏ ｎ ｌｖ ｔｏ ．Ｗ ｅａ ａｙ ｉ ｈ ｒ ｐ ｒｉｓｏ ｗｏｅ ｄ ｎ ｎ ｌｓｓｔ ｅｐ ｏ ｅ ｔｅ ｆｔ ｎ
Ｃｌｓ ｍｂｅ ＴＰ３ 】 ａ ｓＮｕ ｒ ９
１ 引 言
在 计算 机辅 助几 何 设 计 中 ， 般 有 两 种 定 义 曲 线 曲面 一 的 方 法 ， 们 分 别 是 参 数 化 方 法 和 隐式 方 法 ｌ 。后 者 尽 它 １ 管 具有 更 多 的 自由度 、 好 的直 观 表 示 及 更 好 的 几 何 运 算 更 性 质 ， 是 由于 计 算 量 太 大 ，因此 ，目前 在 几 何 曲线 的设 但 计 中 ， 数 化 方 法 已 成 为 一 种 不 可 替 代 的 几 何 方 法 。 因 参 此 ， 多 隐式 方 法 ，主 要 是 代 数 方 法 ，最 终 其 应 用 还 是 转 大 化为参数方法表示 。 同时 ，在对 模 型重 构 中 ， 制 点 和 剖 分 情 形 中 有 理 样 控 条 的大 量 应 用 ， 有 很 好 的 逼 近 、 于 实 施 和 带 有 形 状 因 具 易 子 通 过 人 机 交 互 来 调 整 曲 线 。 特 点 ，为 曲线 的 构 造 提 等 供 了很 大 的方 便 。在 计 算 机 图 形 学 中 ，比较 多 的 热 点 聚 集
型 口 （） ３ ￡ 一 １ （ ＋ 一 １ ７ ） ３
（ ２）
ａ （） ４ ￡ 一 １ （ ＋ 一 １ ７ ） ３
Ｍ（１ ） 一
这 里 Ａ是 形 状 因 子 ， 满 足 ＞ Ｏ 且 。 将 式 （ ） 的 “ ￡、 ￡带 入 式 （ ） １中 （） （） ２ 中相 应 的 “ ，如 果 、 选 取 一 １ ，则该 四个 基 函 数 就 是 多 项 式 基 函 数 。 当 ≠ １ 时 ，四个 基 函数 是 有 理 多 项 式 函数 。不 难 验 证 上 述 基 函 数
（ 林 电 子 科技 大学 数 学 与计 算 科 学 学 院 桂
摘
要
在 二 次 曲面 上 构 造 一 种带 有 形 状 因子 的 有 理 参数 样 条 曲线 ， 样 条 曲线 能逼 近 所 在 的 控 制 多 边 形 ， 有 较 好 的几 何 特 性 ， 该 且 并 双 曲抛 物 面 ；曲线 样 条 ；参数 曲线 ；逼 近样 条

ｒ ｆ （ ）一 Ｃ ￡
（一 ｆ １ ）
ｆ Ｉ （）一 ｒ （）ｔ Ｍ Ｉ ｔｄ
Ｊ ０
≥ ２ｋ一 １２ … 一 １ ｔ Ｌ ，１ ， ，， ， ∈ ｏ １
我们还构造如下有理样条基函数 ：
ａ （） １ ￡ 一
二
二型 ２
１ （ １７ ＋ 一 ） ３
Ａ（ 一 “ ７ １ ）ｄ ａ （） ２ ￡ 一 １ （ ＋ 一 １ ）
ｏ ｏ ｖｘｐ ｌｈｄａｂ ｉｌｅ ｒｉｓ ｌ ｅ［］ Ｃ ｍｐ ｔｒＡｉｅ ｆ ｎ ｅ ｏｙ ｅｒ ｙＳ ｇ ｂａ ｐｉ ｓＪ ． ｏ ｕｅ－ ｄｄ ｃ ａ ｃ ｎ
Ｄｅｉｎ，２ ０ ｓｇ ０ ７，３ （ １ ： ０ ３ ｉ ｉ ９ １ ） １ ０ 一０１ ．
［ ］鲍尔西兹尼等．Ｃ 连续代 数样条 的几何控 制［ ］ 计算 机辅 助 ４ Ｊ．
点 Ｐ ， ， 。 升 阶 方 式 是 以表 达 式 ： １… Ｐ ，
ｐ ｒｏｉ Ｐ ｒｂ ｌｉ［］ Ｃ ｍｐ ｔｒ＆ Ｄｇｔｌ ｎ ｉｅ ｒ ｇ ２ １ ， ｅｂ ｌ ａａ ｏｏｄ Ｊ． ｏ ｕｅ ｃ ｉｉ ｇｎ ｅｉ ，０ １ ａＥ ｎ
３ １ ： ４ — ４６ ９（ １） １ ５ １ ．
Ｐ（） １ ｔＰ１￡＋ｔ ２ ￡，Ｅ［ ，］ 一（ － ） （） Ｐ （）ｔ Ｏ １
实施 ， 中 Ｐ （） 关 于 前 面 四 个 节 点 的样 条 曲 线 ，其 中 其 是 Ｐｚ 是 关 于后 面 四个 节 点 的样 条 曲线 ，当然 ，利 用 递 归 的 （） 方 法 ， 种 升 阶 方 法 还 可 以 对 更 多 的节 点 继 续 进 行 升 阶 处 这
［ ］莫海宁 ， 国辉 ， ３ 赵 等．基于混合 凸多边形的 Ｓ 代数样条 ［］ 计 ； Ｊ．
算 机 辅 助 设 计 ， ０ ７ ９ １ ） ０ ３１ １． ２ ０ ，３ （ １ ：１ ０ —０ １
Ｈ．Ｍｏ ｕ，Ｇ． Ｚｈ ｏ，Ｚ． Ｗ ａ ｇ，Ｚ Ｓ ａ ｎ ． ｕ，Ｓ ｍｕｌａ ｏ ｓ ｂ ｅ ｄ ｎ ｉ ｔ ｎｅ ｕ ｌｎ ｉ ｇ
ＨＵＡＮＧ ｎ Ｐ Ｌｏ ｇ ＥＮＧ ｎ ｆ Ｆｅ ｇ ｕ
（ ｃ ｏ ｌｏ ａｈ ｍ ａｉａ ｎｄＣｏ ｕｔ ｇ Ｓ ｉｎ ｅＧｕｌｎ Ｕｎｖ ｒ ｉ ｆＥｌｃｒ ｎｃＴｅｈ ｌｇ ，Ｇｕｌ ５ ０ ４） Ｓ ｈ ｏ ｆＭ ｔ ｅ ｔ ｌａ ｍｐ ｉ ｃｅ ｃ ｉ ｉｅｓｔ ｏ ｅ ｔｏ ｉ ｃ ｎｏｏ ｙ ｃ ｎ ｉ ｙ ｉｎ ｉ ４１ ０
９ —４． ２ １ ４
端 点 Ｐ１ Ｐ 。 和 ４
Ｐ ０ 一 Ｐ２ Ｐｌ Ｐ （ ） 一 ；
图 １ 双 曲抛 物 面
（） Ｐ 。该 结 论 可 １ 一Ｐ — 。
［ ］黄龙 ， 丰富，一类二次曲面上 的参数曲线｜］ 计算机与数字 ２ 彭 Ｊ．
工 程 ，２ １ ０ １，３ １ ）：１ ５ １ ６ ９（ １ ４ —４ ．
基 金项 目 ： 国大 学 生 创 新 实 验项 目及 广 西 高 等 学 校重 点 资助 科 研 项 目 （ ． ０ １ ２ Ｄ １ ） 全 Ｎｏ ２ １ ０ Ｚ ０ ５ 资助 。 作者简介 ： 龙 ， ， 究方向 ： 黄 男 研 软件 设 计 ， 图形 设 计 。彭 丰 富 ， ，副 教 授 ， 究 方 向 ： 值 分 析 ， 算 机 图形 学 。 男 研 数 计
ＴＰ ９ ３１
且 可 以作 升 阶 和 降 阶处 理 。分 析 其 端点 性 质 ，便 于 拼接 成 光滑 曲线 ，如果 选 取 合 适 的形 状 因 子 ，可 以使 得 曲线 连 接 成 Ｇ 续 。 连 关键词
中 图 分 类号
Ａ ｔｏ ｌＰａｒ ｍ ｅ ｒｃ Ｓ ｌｎ ｏ ｐｒ ｘ ｍ ａ ｉｎ Ｒａ ｉｎａ ａ ｔｉ ｐ ｉ ｅ ｆ ｒＡｐ ｏ ｉ ｔｏ
Ｐ ，也 就是 曲线 插值 于 两
０
ｍａｉ ｓｎ ｋｃｎｉｕ ｕ ｉｃｗｉｅ ｅｌ ｌｅｒｉｃ ｒｅ［ ］ ｔ ｎｕ ｉｇＣ －ｏ ｔ ｏ ｓ ｅｅ ｓ ａ ａｇｂａｃ ｕｖｓＣ ． ｏ ｎ ｐ ｒ
Ｃｏ ｕ ｅ ｉｎ ｅＴｅｈ ｃ ｌ ｐ ｒ ，Ｐｕ ｄ ｅＵ ｎｖ ｒｉｙ １ ９ ｍｐ ｔ ｒＳｃｅ ｃ ｃ ｎｉａ Ｒｅ ｏ ｔ ｒ ｕ ｉｅｓｔ ， ９ ２：
１ （） Ｏ １ （一 １ ２ ３４ ， ） ￡ Ｅ［ ，］ ， ， ，）
４
２ ∑ （ 一１ ） ￡ ， ）
一
１
作了具体的分析 ， 并提出 了曲线拼接的方法 。
３ ）有 等式 一 （ ｚ （ｚ 。 ，其 几 何 形 状 为 一 双 ａ＋ ） ａ ＋ａ ） 曲抛 物 面 ， 图 １ 示 。 如 所
ｐ ｉ ｔ ，ｔ ｔｅ ａ ｌ ｓＵ ｏ ａ ｔ ｃ ａ ｒｙ ｃ ｒ ｅ ｏ ｎ ｓ ｈａ ｎ ｂ ｅ Ｓ ｔ ｔ ａ ｈ ａ ｆ ｉｌ ｕ ｖ ．Ａ ｃ ｎ ｉ ｕｉ Ｈ ｖ ａ ｅ ｃ ｎ ｃ ｅ ｙ ｔ ｏ ｅｓ ｌ ｅ ｉ ｗｅ ｕ ｅ ａ ｇ ｏ ｐ ｏ ｅ ｅ ｍｉ ｅ ｈ ｐ Ｇ 一ｏ ｔｎ ｔ ｃ ｒ ｅ ｃ ｎ ｂ ｏ ｎｅ ｔ ｄ ｂ ｈ ｓ ｐ ｉ ｆ ｓ ｒ ｕ ｆｄ ｔ ｒ ｎ ｄ ｓ ａ ｅ ｙ ｎ
２ １ 年第 ８ ０２ 期
计 算 机 与 数 字 工 程
１５ １
利 用 基 函数 （ ） ２ ，由该 点 列 （ 时形 成 一 控 制 多 边 形 ） 成 同 生
一
曲线 ：
４
参 考 文 献
Ｐ￡一∑Ｐ ） ∈［， （ ） （ ， ｏ ］ ｄ ￡￡ １
ｉ １ 一
（） ３
总第 ２４ ７ 期
计 算 机 与 数 字 工 程
Ｃｏ ｕ ｅ ｍｐ ｔｒ＆ Ｄｉｉａ ｇｎ ｅ ｉｇ ｇｔｌ Ｅｎ ｉｅ ｒｎ
Ｖｏ ． ０ ＮＯ ８ １４ ．
１ １４
２１ 第 ８ ０ ２年 期
一
类 有 理 逼 近 参 数 样 条
黄 龙 彭 丰 富
桂林 ５ １０ ） ４ ０ ４
曲线 （） 有 性 质 ： ３具
Ｐ（ ）一 Ｐｌ Ｐ （ ）＝ ０ ； １
［ ］巴贾吉 ， １ 徐国 良． 局部插值逼近的 ｃ 连续分段实代数 曲线 ［ ］ ｋ ｃ． 计算科学技术会议 ，普渡大学，美 国，９ ２ ９—４ ． １ ９ ：２１４
Ｃ ￣ａ， ．Ｂ ｊ Ｇ．Ｘｕ ｉ ，Ａ－ｐｉｅ ：Ｌ ｃｌｎｅｐ ｌｔ ｎ ａｄ ａｐｏ ｉ ｓｌ ｓ ｏａ ｔｒｏａｉ ｎ ｐ ｒｘ— ｎ ｉ ｏ
２ 构 造 参 数 样 条 曲线
运 用 两 参数 函数
３ 样 条 曲线 的 构 造 及 其 性 质
给 定 空 间 或 平 面 的一 个 四个 点 的 点 列 Ｐ ， ｚ ， Ｐ ， Ｐ ，
＊
收 稿 日期 ：Ｏ ２年 ２月 ７日， 回 日期 ：０ ２年 ３月 ３ ２１ 修 ２１ ０日
ＨＵＡＮＧ ｎ ＰＥＮＧ ｅ ｇ ｕ Ａ ｒｍ ｅｒｃｃ ｒ ｅｏｎｔ ｅ Ｈｙ Ｌｏ ｇ， Ｆ ｎ ｆ ． Ｐａ ａ ｔｉ ｕ ｖ ｈ —
以经过简单 的计算得到 ， 其几何意义是 曲线在两端 点 的切
线 方 向 分别 是 首 尾 的两 条 控 制 边 。
３ ）以四个节点 的曲线也可 以进行升和降阶处理 ，降阶 方式是把 中间两个节 点看作 一个重 节点处 理 ； 若对五 个节
（） 足如下性质 ： ２满
在有理样条 的研究 中［ ，同时 ， 形 曲线 曲面 也是有 理 ６ ～】 保 样条研究 的一个重要 内容 。为 了构造更 光滑 的曲线 ， 如 譬
Ｇ 连 续 ，通 常 曲 线 的 两个 端 点 是 要 考 虑 的一 个 主 要 内容 。
本 论 文 构 造 了 一 种 有 理 参 数 样 条 ¨ ｌ 用 于 几 何 设 计 ｊ应 ｌ 和计 算 机 图 形 学 ，该 样 条 曲线 位 于 一 个 双 曲抛 物 面 上 ，由 于 二次 曲 面 本身 具 有 较 好 的几 何 性 能 ，因此 位 于 其 上 的 二 次 曲线 仍 能保 持 较好 的几 何 性 质 。下 面 ， 们 对 这 种 曲 线 我
ｆｃｏ ｓ ａ ｔ ｒ．
Ｋ ｙ Ｗ ｏｒ ｈ ｐ ｒ ｏ ｉ ｐ ｒ ｂｏ ｏ ｄ，ｓ ｉ ｅ ｃ ｒ ｅ，ｐ ｒ ｍｅ ｒｃ ｃ ｖ ，ａ ｐ ｏ ｉ ａ ｉ ｎ ｓ ｌ ｅ ｄｓ ｙ ｅ ｂ ｌｃ ａ ａ ｌ ｉ ｐｌ ｕ ｖ ｎ ａ ａ ｔ ｉ ｕｒ ｅ ｐ ｒ ｘ ｍ ｔｏ ｐ ｉ ｎｅ