充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则

充分暴露数学思维过程是数学教学的指导原则
张乃达（江苏省扬州中学）
确定数学教学的指导原则，是数学教学研究中的重大课题，它对于分析数学教学的结构，设计成功的教学程序，总结数学教学的成功经验，克服数学教学中的不良倾向，指导数学教学改革，开辟数学教学研究的新领域都具有重大意义。

本文将围绕着上述方面，作一些初步探讨。

一、数学思维过程的分析
现代数学教学理论认为：数学是思维活动的过程，数学教学就是数学思维活动的教学①。

在这种教学思想的指导下，就必然要把数学教学中的思维活功当作教学研究的主要对象，并顺理成章地把暴露数学思维过程当作数学教学的指导原则。

现从数学思维的微观方面和宏观方面，对这个过程作简要的分析：
（一）数学思维过程的微观分析
我们把解决具体的数学问题的思维过程看成是数学思维的微观过程。

数学思维的微观结构可以作如下勾画:
1.思维微观过程的阶段
任何一个完整的数学思维过程都要经历发现问题—解决问题的阶段。

实际上，数学问题的解决过程，就是不断地发现问题，分析问题，直到归结为熟知的问题为止。

2.思维阶段中的层次
心理学的研究表明，人们在创造性解决问题的过程中，总力求逐步缩小探索的范围。

即在如下的三个层次中不断地发现并提出新的辅助问题。

一般的解决，即基本逻辑水平的解决。

它力求明确解题的大体方向：
功能的解决即基本数学方法水平上的解决，它力求力求明确解题中应用的基本数学方法（如配方法、换元法等等）。

特殊的解决即具体的解决，它力求明确解题的具体方法，技巧、程序。

在解决问题的阶段，人们往往循着上述层次来发现问题，推进解决问题的思维进程，如果思维在某一层次上受阻，则就逼使思维返回到上一个或两个层次中去。

3.思维层次中的环节和基本单元
在每一个思维层次中，思维过程又表现为检索—联想—想象—评价这几个环节。

而这些环节又是由几种基本单元构成的。

例如：“检索—选择”是构成了探索活动的基本单元，“三段论”构成形式（演绎）推理的基本单元等等。

暴露数学思维活动的过程，首先就要暴露思维活动中的微观过程。

例如：解题思路是怎么想到的？直觉是如何产生的？等等。

（二）数学思维过程的宏观分析
相对于微观过程，我们把解决一类数学问题某一个阶段的数学思维过程称为数学思维的宏观过程。

一方面表现为不断地提高抽象。

概括的水平；另一方面又表现为不断地赋于数学方法。

原则的具体的新鲜的意义。

这是一个不断的聚合—发展的过程，又是一个由具体—抽象—具体的辩证过程。

对此笔者在文[ 2 ]、[ 3 ］中已有较为详细的论述。

二、充分暴露数学思维过程的意义
(一）暴露数学思维过程是实现和谐的数学结构的保证
数学教学过程，是学生在教师的指导下，通过数学思维活动，学习数学家思维活动的成果，并发展数学思维能力的过程。

从这样的基本认识出发，可以对数学教学中的思维活动分析如下：
在数学教学中存在着三种思维活动，这就是数学家的思维活动（这或隐或现地存在于课
本之中）数学教师的思维活动和学生的思维活动，研究这三种思维活动的相互关系，就成为研究教学过程与结构的根本出发点。

下面是数学教学过程中思维活动的示意图：
上图也反映了数学教学过程的结构:
1.数学家虽然不是教学活动的直接参加者，但是由于数学知识是数学家思维活动的成果，从这些成果中，可以窥视出他们的思维过程。

而这种成熟的数学思维过程（思维的方法、技巧）正是学生思维活动的楷模。

因此说数学家是数学教学活动的隐蔽参加者，他们是通过书本和教师（这是主要的）为媒介来发挥对教学过程的影响的。

2.学生是数学教学活动的主要参加者，是数学学习过程的主体。

这个学习过程往往是同发现过程同步的，正是这种同步保证了学生思维结构的形成与发展，使之愈来愈和数学家思维结构相似。

3.数学教师是数学教学过程的组织者和积极参加者，他担负着调控教学过程的主导作用，教师在数学教学中的主要任务是：
（1）根据数学知识结构，重现即暴露数学家思维活动的过程。

进而根据中学生的思维特点与水平，制定出学生学习的“序列”。

（2）指导、调控学生的思维活动，使学生的思维活动一与成功的数学思维活动“同步”以重新获得数学家的数学思维已经取得的成果，并通过这个过程，逐步实现学生思维结构向数学家思维结构的转化。

由于教师的指导，学生获得这种成果的过程大大地缩短了。

（3）分析各种数学思维活动的过程，帮助学生发现思维中的错误，总结思维的规律、方法和技巧。

总的说来，数学教师是通过自己创造性的思维活动，在数学家的思维活动与学生的数学思维活动之间架设桥梁成功的数学教学就是要实现数学家的思维活动，数学教师的思维活动和学生思维活动的和谐与统一。

为此，数学教师就要致力于暴露数学思维的过程。

既要暴露数学家的思维过程，又要暴露学生的思维过程，还要暴露白己的思维过程。

实际上，数学教师的全部的教学活动，包括备课、上课、答疑、批改作业、组织考试、批改试卷等等都应该在分析上述三种思维过程的基础上进行，都应该把它们看成是暴露数学思维过程的重要环节。

另一方面，学生在学习的过程中，也必须从书本上，从教师的讲课中分析他们的思维过
程。

并在思考、解题、阅读等活动中不断分析自己的思维过程，寻找思维中的错误，吸取思
维的营养。

通过上面的简要分析，就可以看到：充分地暴露数学思维活动，是数学教学活动成功进
行的保证是实现教师的主导作用与学生学习中的主体作用的保证，是形成良好教学结构的根
本保证
（二）暴露数学思维过程是促使学生知识结构形成与发展的保证
数学知识结构是数学思维活动的成果，实际上合理的（没有被歪曲的）数学思维过程，
就是数学知识结构建立、推广、发展的过程。

数学思维的宏观过程与知识结构的密切关系自
不待说。

即使是数学思维的微观过程，与知识结构的发展也存在着紧密的联系。

不少学生不
能从知识结构的总体上把握数学中的概念、定理、公式、方法和技巧的原因，正是由于在数
学教学中不自觉地掩盖了数学思维过程的某些环节（如，发现问题，提出研究课题的环节）
的结果。

例如，很少有学生注意到平行线与三角形的内在联系，就是在教学中掩盖了发现问题的
思维环节的结果。

在三角形内角和定理的教学中，已经有不少老师注意到突出定理结论的发现过程。

比如。

他们利用归纳法得到三角形内角和为180°的结论。

但是还很少有教师注意到暴露研究课题
的被发现的过程，而这正是一个重要的思维环节。

如果致力于暴露这个环节，就不会满足于
剪拼方案，提出新的教学设计，比如：
1.如图12L L P ，它们被L 所截得的同旁内角和：
∠1＋∠2十∠3=？ 2.若1L 与2L 相交，∠1+∠2仍然等于180°吗？发生了什么变化减少了多少？3∠跑到哪里去了？可以得到什么结论？
这样的教学设计，暴露了“三角形内角和”这个研究课题
与平行线性质定理间的关系，因而也推出了它们的内在关系。

所以我们说，充分暴露数学思维过程是促使学生良好知识结构形成与发展的保证。

（三）充分暴露数学思维过程，是促使学生思维结构形成的发展的根本保证
数学思维是以数学知识为结构资料(思维对象)的思维。

它是由各种不同的思维要素和
思维形式构成的复杂系统。

只有使各种思维要素、形式协同地发展，才能形成良好的思维结
构，为此就必须对数学思维进行综合的训练。

由于各种不同的思维形式主要起作用于思维过程的不同环节，因此长期片面地强调某些
思维环节。

忽视另一些环节就会造成思维结构的畸形发展，造成思维结构的缺陷。

例如，目
前学生的创造性思维能力不足，就是长期掩盖发现问题环节的结果。

因此，充分地把暴露数
学思维过程，不掩盖数学思维的任何一个环节，是使学生形成良好思维结构的根本保证，充
分揭示知识的发展过程，也是培养直觉思维，发现思维的根本措施。

一方面，如果坚持暴露数学思维中的每一个层次和环节，突出数学思维中的基本动作单
元，就必然会突出数学思维中的基本方法，就必然会冲破具体解题程式的束缚，形成分析问
题和解决问题的能力。

如果既强调了数学思维的微观过程，又注意到它的宏观过程，就一定会使学生的思维在
发散与聚合的矛盾运动中发展，形成理想的思维结构。

三、充分暴露数学思维过程是数学教学的重要指导原则
（一）充分暴露数学思维过程的原则，揭露了数学教学中不良倾向的要害
掩盖或忽视数学活动中的思维过程是当前数学教学中不良教学倾向的共同本质。

例如：
满堂灌、注入式的要害在于企图用教师的思维活动来代替学生的思维活动，或者根本不承认
1 3
2 3'
思维活动过程的教育意义；题海战术，则是用增加知识量、记忆量、训练量的方法来代偿思
维能力的不足，从而避开发展数学思维这一艰巨的任务。

至于在公开教学中广泛存在的形式
主义倾向，更是掩盖数学思维过程的表现。

概括地说，目前掩盖或忽视数学思维过程的表现
主要有：
1.忽视概念形成的过程；
2.忽视结论推导的过程；
3.忽视方法的思考过程；
4.忽视问题被发现的过程；
5.忽视规律被揭示的过程。

因此，在整个教学过程中看不到思维的火花，甚至根本不存在积极的数学思维。

教育
思想认识上的偏差是造成上述现象的重要原因。

缺乏对数学思维过程的分析能力，是造成掩盖数学思维过程的另一个重要原因。

例如
有些教师对于发现法的模仿，在《三角形内角平分线性质定理》的教学中安排了如下的教学
程序: 1.复习提问：如图：AD 是BAC ∠的平分线，
AE AC =。

求证：
AB BD AC DC
= 2.思考：从上面的例子中可以发现三角形的
内角平分线有什么样的性质？写出证明。

这个教学程序，实质上超越了辅助线作出的过程，
掩盖了解题思路的探索过程，因此减低了教学过程 应有的教育意义，因而值得改进。

（二）充分暴露数学思维过程的原则是教学方法改革的指导性原则
充分暴露数学思维过程的原则，是对先进的教学方法的概括，对各种先进教学方法的
学习，不能满足于对其教学程式的模仿，而是要掌握其思想实质，做到融会贯通，灵活应用，
这样才能达到用其所长，补其所短的效果。

实际上，暴露数学思维过程是许多先进教学法的出发点，如启发式教学法，就是主张
通过教师的主导作用，来启发学生的思维活动，达到暴露数学思维过程的目的；发现法则更
把培养学生探究式思维当作教学的根本任务，而且以模拟科学家发现过程的教学结构来作为
充分暴露思维过程的保证。

单元探究法，则通过打破传统教学中课时划分的限制，在突出知
识结构的同时，为探索活动开辟了广阔的天地，为暴露数学思维中的宏观过程提供了条件，
育才的“茶馆教学法”则更是一种灵活的教学形式，它的突出优点在于能充分地暴露学生的
思维过程，在学生与学生之间，师生之间及学生与课本之间展开信息的交流，为暴露数学思
维过程创造了条件。

如果不了解这些教学方法的指导思想，局限于对其教学程式的模仿有时
就会不自觉地背离原有的宗旨，如前面有关角平分线教学的例子。

有些教学方法中的教学程式，不利于暴露数学思维过程．如：阅读教学法、程序教学
法等等。

为了弥补其不足，就必须采取补救措施，如：课本的编写，教师的指导，学生的交
流讨论等等。

如果忽视了这些环节，是不会取得良好的教学效果的。

充分暴露数学思维过程的原则，还能引导我们解决某些教学方法中的关键问题。

例如，
从对创造性解决问题的三个层次的认识出发，可以把启发和提示分为三个相应的层次。

即：
一般性启发 即方法论水平上的提示，它提醒学生注意运用一般性的思考原则和方法；
功能性启发 它介于一般性提示和特殊性的提示之间，它提醒学生应用针对某一类解决
问题的方法加策略；
特殊性启发 这是最具体的提示，它针对面临的具体问题提醒学生运用具体的解题方法
B
A D E
和步骤。

教师的启发，应该和解决问题的思考序列同步，即循着“一般——功能——特殊”的次序进行。

否则，提示就会掩盖思维中的某些环节，起到不好的效果。

在这种认识的启发下，我们就会发现上面三角形内角平分线性质定理教学程序中的问题1，实际上是证明平分线性质定理的特殊性提示。

因此，超越了“一般性提示”和“功能性提示”的环节，成为教师对学生的硬性灌输，不能产生一般性的迁移。

遵循上面的方法，可以将提示的过程修改如下：
1.一般性提示
证明线段成比例有哪些方法、定理？
2.功能性提示
怎样创造条件在本题中使用平行线截得比例线段定理？
3.特殊性提示
延长AB到E，使AE=AC，问题转化为证明什么？
这样的提示，可以控制提示的水平，也可以适应不同水平学生学习的需要，不会束缚学生思维．例如，学生在上面的提示下，会想到如图所示的新证法：
（取AE = AC，引EF∥AD，证FD＝DC)
如果出于教学的需要，打破了上面提示的顺Array序，则可以通过“反思”这个环节，来揭示被超
越的思维过程，如在上述教案中，加上教学程序
“3”。

3．如果没有问题1，你能直接给出三角形角
平分线性质定理的证明吗？辅助线AE、 EC是根
据什么想出来的？
这样我们就解决了启发式教学法中的关键问题，即设计编排启发性问题序列的标准是什么？这种对启发式顺序性的要求，是启发设问中最重要的要求。

实际上，从充分暴露思维过程的原则出发，可以对有关教学难点的处置；引入新课的教学要求；入门教学中的分化等等问题，得到与传统教学理论的认识不同的崭新的认识，从而指导数学教学改革的深入开展，限于篇幅，这里就不展开论述了。

（三）充分暴露数学思维过程的原则是设计教学程序的依据
设计教学程序是一件创造性的活动，充分暴露数学思维过程则是设计教学程序的指导原则，教师只要具有充分暴露这个过程的愿望，又能根据客观存在的思维进展规律，就可以设计出适合学生水平的教学程序。

保证教学的成功。

例如，在圆周角定理的教学中，有不少教师从暴露探求证明思路的过程出发，通过由特殊到一般的程序，突出了定理证明方法的意义，这无疑是一种进步。

但是问题解决仍然不够彻底，因为这些教学设计还没有暴露概念形成的过程。

数学概念往往是在人们对概念的内涵有了较深刻的认识以后才产生的。

同样，圆周角的概念也是因为人们发现圆周角具有某种共同的特性以后，才把它从一般角的范围中划分出来加以定义的。

据此，我们有教学设计如下：
1.提供问题的背景
∠AOB为⊙O的圆心角，∠AOB如何度量?(AOB
=AB的度数）
的度数»
2.一般化提出问题。

考虑问题1的一般情况，如果∠AOB的顶点不是圆心，而是圆内任意一点P，∠APB
如何度量？∠APB的度数仍然等于»AB度数的一半吗？在否定了上面的猜想后，继续思考
∠APB的度数应该如何度量呢？
这时学生可能有各种思路。

教师应对这些思路“跟踪追击”，不要轻易否定学生的思路，硬性推行自己预定的方案．在学生发生困难时，老师可以在学生已有思路的基础上，作适当的引导。

下面就是引导方案之一。

3．特殊化思考
在一般性问题难以解决时，我们可以考虑特殊性问题。

问题1中∠AOB与“2”中的角∠APB相比，特殊在∠AOB的两边都通过圆心O。

那么我们可先考虑介于“1”与“2”中间的情况呢？即如果O在PA边上的情况。

4.再特殊化
当P在AO上运动时，∠APB仍然不是定值，能否考虑更特殊的情况，比如，P点在圆
周上（直径的端点），不难得到
1
P=AOB
2
∠∠。

5.一般化
我们解决了问题“2”的特例，现在回到比较一般的情况。

例如：圆心不在角的任何一边上，又有什么结论呢？
这时问题能否化归为已经解决了的问题“4”？
这样我们们就发现了一类角的度量方法，这类角的顶点在圆周上，两边都和圆相交，我们把它定义为圆周角。

给出圆周角定理。

6.再一般化
回到问题题“2”，思考能否将问题“2”转化为已经解决了问题？
给出圆内角定义和圆内角度量定理。

7.再一般化
给出圆外角定义和圆外角度量定理。

8.概括、小结
如上的教学设计，清楚地揭示了圆心角、圆周角、圆外角的联系，不仅突出了知识结构，而且突出了化归的基本方法。

可以促使教学取得满意的效果，而这一切，正是充分暴露数学思维过程的自然结果。

针对目前教学中掩盖数学思维过程的现象，在教学中要特别注意下面的思维过程或环节，即：
1.知识结构建立、推广、发展的过程：
2.数学概念、定理、公式提出的过程：
3.解题思路的探索过程：
4.解题方法和规律的概括、发展过程．
四、充分暴露数学思维过程的原则是数学教学研究的指导原则
充分暴露数学思维过程的教学要求，使我们将数学思维过程的特点及发展规律，看成是数学研究的主体．从而开辟出崭新的研究领域。

例如：目前数学教育界己愈来愈重视有关直觉思维的研究，愈来愈重视直觉在数学发现中的重要作用。

众所周知，直觉是思维的跃进，往往表现为顿悟和灵感。

有人认为直觉思维是分析思维的高度简约，由于有时思维者本身不明瞭这个简约的过程，所以一方面给直觉带来神秘的成分；另一方面也产生了提出正确解题思路的解题者也说不清楚思路的现象，这种不知所以然的变幻不定的状况确实是直觉思维的特点（否则，它就不是直觉了）。

但是，作为教学过程，特别是作为数学教学过程，我们不能停留在这种认识上．因为这样做，就不可能有效地培养学生的思维能力，特别是直觉思维能力本身．这样做，实际上是掩盖了数学思维的某些环节，我们必须对直觉思维的过程作慢镜头的解剖，找出（或复原）被它简约了的环节，也就是说要为直觉的产生铺设一条逻辑的道路．这样就提出了一个重要的研究课题，即直觉思维与分析思维的关系是什么？能否通过逻辑思维的训练，达到培养学生直觉思维的效果．而这些问题的解决一定会使我们找到培养学生直觉思维能力，创造性思维能力的根本途径．
上面讲到的只是充分暴露思维过程的原则带来的一个重大研究课题，实质上类似的课题还很多，比如：
1。

数学思维结构的问题．逻辑思维在数学思维中的地位，非逻辑思维的培养途径，发散性思维与聚合式思维的关系，数学思维的特点等；
2。

数学思维发展的规律．数学思维结构发展的阶段性，年龄特征对思维的影响，数学教育对思维发展阶段的影响，所有这些都是研究人们思维发展过程的普遍特征．此外，还应研究思维发展的个体差异，智力超常和落后学生的思维特点，等等；
3。

思维能力的发展与其它智力因素及非智力因素间的关系，能力结构的组成，基本能力要素的分类，各类能力测定的手段等等．所有这些，都是数学教学研究的重大课题．有关数学思维的研究，应该是数学教育研究的主体。

作者希望本文能引起更多的同行对数学思维研究的兴趣。

参考资料
①转引自丁尔隆同志在数学研究会1984年年会的报告，参见《中学数学教学》（安徽） 3。

②张乃达思维的基本结构与发现法教学《福建中学数学》1983.6。

③张乃达按照思维发展规律进行解题教学，解题过程中的求同与求异。

《福建中学数学》1985.4。

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