用拉普拉斯变换方法解微分方程

例1求指数函数f(t)=e at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.
解根据定义，有L[e at]= j o+ e at e-pt dt= e-(p-a)t dt
这个积分在p> a时收敛,所以有
L[e at]= / T e(p-a)t dt=1/(p-a) (p >
a) (1)
例2求一次函数f(t)=at(t > 0,a是常数)的拉氏变换.
解L[at]= / o+ra ate-pt dt=- a/p / o+"td(e -pt)
=-[at/p e -pt ] o+ra+a/p / T e-pt dt
根据罗必达法则, 有
lim to+ °°(-at/p e )=-lim to+ °° at/pe =-lim to+ a/p e
上述极限当p> 0时收敛于0,所以有lim to+ - (-at/pe -pt )=0
因此L[at]=a/p / o+ra e-pt dt
2 -pt +m 2
=-[a/p e p ]o =a/p (p >
(2)
0)
例3求正弦函数f(t)=sin 3 t(t > 0)的拉氏变换解L[sin 31]= / 0+ra sin 3 te -pt dt
2 2 -pt +m
=[-1/(p +3 ) e (psin 3 t+ 3 cos3 t] 0
2
2 2
=3 /(P +3 ) (p > 0）
⑶
用同样的方法可求得
2 2
L[cos 3t]=p/(p
+3 ) (p >
0)
二拉普拉斯变换的基本性质
三拉普拉斯变换的逆变换
四 拉普拉斯变换的应用
2-5 用拉普拉斯变换方法解微分方程
拉普拉斯变换方法是解线性微分方程的一种简便方法，利用拉普拉斯变换法可以把微分方 程变换成为代数方程，在利用现成的拉普拉斯变换表（参见附录一的附表1）,即可方便地查 得相应的微分方程解。

这样就使方程求解问题大为简化。

拉普拉斯变换法的另一个优点是在求解微分方程时，可同时获得的瞬态分量和稳态分量两 部分。

有关拉普拉斯变换（简称拉氏变换）的公式见附录一。

应用拉氏变换法得到的解是线性微分方程的全解。

用古典方法求解微分方程全解时需要利 用初始条件来确定积分常数的值，这一过程比较麻烦。

而应用拉氏变换就可省去这一步。

因为初 始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式之中了。

而且，如果所有初始条件都为零，那么求
取微分方程的拉氏变换式就更为方便， 只要简单地用复变量s 来代替微分方程中的 —,s 2
代替
dt
dt
应用拉氏变换法解微分方程的步骤如下:
d 2 …就可得到。

(1)
对线性微分方程中每一
项进行拉氏变换，使微分方程变为复变量 s 的代数方程(称为 变换
方程)
(2) 求解变换方程，得出系统输出变量的象函数表达式。

(3)
将输出的象函数表达式展开成部分分式(部分分式展开法参见附录二)。

(4) 对部分分式进行拉氏反变换(可查拉氏变换表)，即得微分方程的全解。

举例说明
【例2-7】 设RC 网络如图2-24所示，在开关 K 闭合之前，电容 C 上有初始电压
UJO)。

试求将开关瞬时闭合后，电容的端电压
U c (网络输出)。

解 开关K 瞬时闭合，相当于网络有阶跃电压 u c (t) U 0 • 1(t)输入。

故网络微分方程
为
U r Ri U c u c 1 idt c C
消去中间变量i ，得网络微分方程为
du c RC - u c
u r (t)
(2-44)
dt c
对上式进行拉氏变换，得变换方程
RCsU c (s) RCu c (O) U c (s) U r (s)
可见等式右边由两部分组成，一部分由输入所决定，另一部分由初始值决定。

将输出的象函数U c (s)展成部分分式:
等式两边进行拉氏反变换，得
此式表示了 RC 网络在开关闭合后输出电压 u c (t)的变化过程。

比较方程(2-45 )和(2-46)可见，方程右端第一项取决于外加的输入作用
u 0 • 1(t)，表
将输入阶跃电压的拉氏变换式 U r (s)
代入上式, s
并整理得电容端电压的拉氏变换式
U -(s)
U O
s(RCs 1)
RC (RCs 1)
u -(0)
1 U -(s)
-U O
s
RC RCs 1
U O
R CH U
-
(O
)
1 U -(s) U O
s
1 1 RC
U O
*(°) RC
(2-45 )
u -(t)
U
丄t
U °e
RC
1 t
U c (0)e RC
(2-46 )
示了网络输出响应U c(t)的稳态分量，也称强迫解；第二项表示U c(t)的瞬态分量，该分量随时
间变化的规律取决于系统结构参量R、C所决定的特征方程式(即RCs 显然，由于其特征根为负实数，则瞬态分量将随着时间的增长而衰减至零。

1 1 0)的根—。

RC 第三项为与初始值有
关的瞬态分量，其随时间变化的规律同样取决于特征根，当初始值u c(0)0时，则第三项为零, 于是就有
i
t
U c(t) U o U o e RC(2-47) RC网络的阶跃响应u c(t)及其各组成部分的曲线如图2-25所示。