高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.2
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3.1.2 复数的几何意义
[学习目标]
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系． 2．掌握实轴、虚轴、模等概念．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法． [知识链接]
1．下列命题中不正确的有________． (1)实数可以判定相等或不相等； (2)不相等的实数可以比较大小； (3)实数可以用数轴上的点表示； (4)实数可以进行四则运算； (5)负实数能进行开偶次方根运算； 答案 (5)
2．实数可以用数轴上的点来表示，实数的几何模型是数轴．由复数的定义可知任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，都和一个有序实数对(a ，b )一一对应，那么类比一下实数，能否找到用来表示复数的几何模型呢？
答案 由于复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应，所以可以用直角坐标系作为复数的几何模型． [预习导引] 1．复数的几何意义 (1)复平面的定义
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． (2)复数与点、向量间的对应
①复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应
复平面内的点Z (a ，b )；
②复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )――→对应平面向量OZ →＝(a ，b )．
2．复数的模
复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的向量为OZ →，则OZ →的模叫做复数z 的模，记作|z |，且|z |＝a 2＋b 2.
要点一 复数与复平面内的点
例1 在复平面内，若复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y ＝x 上，分别求实数m 的取值范围． 解 复数z ＝(m 2－2m －8)＋(m 2＋3m －10)i 的实部为m 2－2m －8，虚部为m 2＋3m －10. (1)由题意得m 2－2m －8＝0. 解得m ＝－2或m ＝4.
(2)由题意，⎩
⎪⎨⎪
⎧
m 2－2m －8＜0m 2＋3m －10＞0，∴2 (3)由题意，(m 2－2m －8)(m 2＋3m －10)<0， ∴2 (4)由已知得m 2－2m －8＝m 2＋3m －10，故m ＝2 5 . 规律方法 复数实部、虚部分别对应了复平面内相应点的横坐标和纵坐标，在复平面内复数所表示的点所处位置，决定了复数实部、虚部的取值特征． 跟踪演练1 实数m 取什么值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i (1)对应的点在x 轴上方； (2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 解 (1)由m 2－2m －15>0，得m <－3，或m >5，所以当m <－3，或m >5时，复数z 对应的点在x 轴上方． (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋4＝0， 得m ＝1，或m ＝－52，所以当m ＝1，或m ＝－5 2时， 复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 要点二 复数的模及其应用 例2 已知复数z ＝3＋a i ，且|z |<4，求实数a 的取值范围． 解 法一 ∵z ＝3＋a i(a ∈R )，∴|z |＝32＋a 2， 由已知得32＋a 2<42，∴a 2<7，∴a ∈(－7，7)． 法二 利用复数的几何意义，由|z |<4知，z 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，