2.1 曲线与方程-王后雄学案

2.1 曲线与方程

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1．在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数建立了如下的关系：(1) ① ；(2) ② ，那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．

2．若曲线C 的方程是,0),(=y x f 则点),(00y x P 在曲线C 上的充要条件是 ③ ．

3．求曲线的方程，有下面几个步骤：(1) ④ ；(2) ⑤ ;(3) ⑥ ;(4) ⑦ ;(5)⑧ ．一般地，步骤(5)可以省略，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略(2)直接列出曲线方程，

要点核心解读

一、曲线与方程概念的理解

1．联系平面几何中的轨迹的概念，理解曲线和方程的概念由于曲线和方程的对应关系比较抽象，比较难以理解，因此我们可以先借助于平面几何中有关轨迹的概念，再把曲线和方程的概念与平面几何中的轨迹的概念相比较，从而弄清这两个概念之间的联系和区别，这对掌握曲线和方程的概念是十分必要的， 平面几何中的轨迹就是平面内适合某种条件的点的集合，而解析几何中曲线和方程的概念，就是把平面上的曲线放在，平面直角坐标系中后再建立起来的，由于平面内的点与作为它的坐标的有序实数对建立了一一对应的关系，曲线上的点所满足的关系反映在点的横坐标x 与纵坐标y 之间有一定关系，这个关系通常用关于x 、y 的方程0),(=y x f 表示出来．也就是说，平面轨迹中的几何条件在曲线和方程的概念中被转化成方程了，因此，曲线和力曜的概念与轨迹的概念一样，有它的纯粹性和完备性． “曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，这阐明了曲线上的点的坐标没有不满足方程的（纯粹性）；“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，这阐明了适合条件的所有点都在曲线上（完备性）．只有同时具备了上述两个条件才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程，同时称曲线C 为方程．0),(=y x f 的曲线，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件，两者都满足，“曲线的方程”和“方 程的曲线”才具备充分性．

2．从集合的意义上来理解曲线和方程的概念

如果把直角坐标平面上的点所组成的集合记作A ，方程，（x ，y ）=0的解所对应的点的集合记作B ，那么曲线和方程之间的两个关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A 和B 之间的关系上，就是.,B A A B B A =⊆⊆即且

从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念．

[注意] ①理解曲线和方程的概念，必须注意“两性”：定义中的条件(1)阐明曲线上所有的点都适合这个条件而无一例外；定义中的条件(2)阐明适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏，这个概念的实质

是一一对应，即作为曲线C 的点集|{M )}(M p 和方程0),(=y x f 的解集}0),(|),{(=y x f y x 之间的一 一对应关系．由曲线和方程的这一对应关系，既可以通过方程来研究曲线的性质，又可以深刻认识方程的几何背景．

②解决“曲线”与“方程”有关命题的真假的判定问题，只要一一检验定义中的“雨性”是否满足，并作出相应的回答即可，

二、坐标法与解析几何

解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科．

解析几何的两个基本问题：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质，

根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是一关系下的两种不同的表现形式，曲线的性质完全反映在它的方程上，而方程的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析死何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一．

我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称为解析法．

三、用直接法求曲线方程的步骤

求曲线方程一般有下列五个步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，并用（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使解题更加简化；

(2)写出适合条件p 的点M 的集合)};(|{M p M P =

(3)用坐标表示条件p(M)，写出方程;0),(=y x f

(4)化简方程0),(=y x f （必须是等价变形）；

(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上．

[注意] (1)上面五步可简记为：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．

(2)这五步构成一个有机的整体，每一步都有其特点和重要性，第一步在具体问题中有两种情况：①所研究问题中已给定了坐标系，此时就在给定的坐标系中求方程即可；②原题中没有确定坐标系，此时必须首先建立适当的坐．标系，通常选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等，第二步是求方程的重要一环，应仔细分析曲线特征，注意揭示隐含条件，抓住与曲线上任意点M 有关的等量关系，列出几何等式．第三步将几何条件转化为代数方程的过程中，常用到一些基本公式，如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线斜率公式等．第四步在化简过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”和“增 解”，对于第五步“证明”，从理论上讲是必要的，但在实际处理时常被省略掉，这在多数情况下是没有问题的，如遇特殊情况，可适当予以说明，例如，据审查，某些点虽然其坐标适合方程，但不在曲线上，那么可通过限制方程中x 、y 的取值予以剔除．

(3)第五步在峡际中一般省掉了，但由于在化简过程中不一定能保证化简过程是等价的，因而有可能扩大了取值范围或缩小了取值范围．因此必须进行“查漏除杂”的工作， 也就是检查所求轨迹中是否有遗漏的点，是否有多余的点要除掉.

四、求轨迹方程常用方法

求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题．求动点轨迹方程的方法主要有以下几种：

(1)直接法（五步法）：建系设点→写几何点集→翻译列式→化简方程→查漏除杂．