2021年分析若p则q形式命题

分析“若p 则q ”形式命题

欧阳光明（2021.03.07）

在现行教材有关命题的学习中对“若p 则q ”形式的命题是这样说的：“若p 则q ”为真，是指由p 经过推理可以得出q ，也就是说，如果p 成立，那么q 一定成立，记作p q ⇒,或者q p ⇐，这时我们说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。在教师教学用书上又进行了这样的补充说明：需要指出，“若p 则q ”形式的命题，也是一种复合命题。其中的p 与q ，可以是命题，也可以是开语句…；从逻辑的角度看，命题“若p 则q ”的否定是“p 且非q ” …。这里出现这样一个问题，从初中教材学习命题起，教材中让学生练习将命题写成“如果…那么…”的形式，在教材中让学生练习将命题写成“若p 则q ”的形式。如命题 “12＞5”，可以改成“如果一个数是12，那么这个数大于5．”；命题 “3是12的约数” 可以改成“如果一个数是3，那么这个数是12的约数．”；命题 “0.5是整数”可以改成“如果一个数是0.5，那么这个数是整数．”“如果…那么…”和“若p 则q ”意思相同。那么对任意一个“若p 则q ”形式的命题是按简单命题对待还是按复合命题来对待呢？在实际的教学中许多学生问过这样的问题。如命题“负数的平方是正数”改写成“若一个数是负数，则它的平方是正数”。这个命题在没改之前是个简单命题，而改了之后按教师教学用书的补充说明应是符合命题。这样前后就不同了，该怎样对待这个命题呢？对类似的命题有该怎样否定、区分合理呢？ 一、 命题改写成“如果…那么…”或“若p 则q ”的合理性

判断是对事物及其情况断定的一种思维形式，是一种思想.判断的形成和存在，判断的表达都要借助于语句.没有语句的判断是不存在的，这种语句就是我们学习的命题。这也就有了对命题的一种定义：判断一件事情的句子叫命题。命题是由条件（题设）和结论两部分组成的，所以从形式上讲命题写成“如果…那么…” 或“若…则…”的形式符合命题的本质含义。

二、简单命题的定义和分类

不含有逻辑联结词且在结构上不能再分解成其它命题的命题称作简单命题。例如“7<21”。

简单命题按其所断定是对象的性质还是关系而分为性质命题和关系命题。性质命题就是断定某事物具有(或不具有)某种性质的命题。关系命题就是断定事物与事物之间关系的命题。性质命题的判断词常用“是”，“不是”；用来判断主项是否符合某项性质。例如“3是正数”就是性质命题。关系命题的判断词常用“有”，“没有”，“存在”，“使”，“满足”；“不存在”，“不满足”用来判断主项是否符合某种关系。在语义明确的情况下判断词常被省略。例如“存在角A，使si nA=0”；“3>2” 就是关系命题

根据量词的不同，命题可分为单称命题，特称命题和全称命题。单称命题的主项是单独的个体，量词“一个”通常被省略。如“3是正数”就是单称命题。全称命题的主项是对象的全体，常用的量词是“一切”，“所有”，“每一个”，“任何”,“都”等，也常被省略。如“整数是有理数”的完整的表示是全称命题“所有整数都是有理数”。特称命题的主项是对象的一部分，常用的量词是“有的”，

“存在”，“至少有一个”，等，不能省略。如“有的实数的平方不是正数”就是特称命题。

三、简单命题写成“若p则q”形式之后的类型和区分方法

①p所表达的是一个对象的简单的判断且这个判断的结论是q中的主项，例如：“如果一个数是0.5，那么这个数是整数”，这是一个单称命题所改写成的。未改之前为“0.5是整数”。

②p所表达的是一类对象的简单的判断且这个判断的结论是q中的主项例如：“如果一个数是偶数，则这个数是自然数”。这是一个全称命题所改写成的。未改之前“所有的偶数都是自然数”

区分的方法：分析p和q之间是否是上述两种类型，若是则说明这是一个简单命题，否则认为其是“若p则q”形式的复合命题。

四、“若p则q”形式的复合命题的定义和理解

给定两个命题p、q，用联结词“若…则…”构成的复合命题“若p 则q”叫做p、q的蕴涵式（或称假言命题），记为“p→q”.其中p称为前件，q称为后件。假言命题往往反映了客观事物之间的联系和规律，数学中的大量定理都具有假言命题的形式。“p→q”可以用多种语言形式表达.例如，如果p，那么q；由p可推出q；因为p，所以q。

这里的p和q之间蕴含一定的推理，这种推理可判断由p成立能不能推出q成立。P和q是相互独立的。由简单命题改写成“若p则q”之后，p和q之间是相互联系的，不能独立。例如“负数的平方是正数”改成“若一个数是负数则它的平方是正数”后，p和q部分的内容是不能独立的，如果独立开来，则无法理解其意思。所以它不是

个复合命题。应视为一个全称命题的简单命题。

五、对任意给出的“若p则q”形式命题的否定

根据原命题和它的否定命题真假相反的规律，总结如下的方法：

①对单称命题改写成的“若p则q”形式的命题

这种命题的否定就是“若p则非q”的形式，例如“ ”

②对全称命题改写成“若p则q”形式的命题

如果这个命题为真，则这个命题的否定就是“若p则非q”。例如：“若一个数是偶数，则这个数是整数”，其否定就可写为“若一个数是偶数，则这个数不是整数”；也可用全称命题本来的否定方法来否定，如刚才的命题的否定也可写为“有些偶数不是整数”。

如果这个命题为假，必须用全称命题本来的否定方法来否定。例如：“若一个数是偶数，则这个数是自然数”，其否定不能写成“若一个数是偶数，则这个数不是自然数”，也不能写成“一个数是偶数且这个数不是自然数”，因为这两个命题均假，而原命题是真命题，这与复合命题的真值规律相矛盾。其正确的否定为“有些偶数不是自然数”。再例如“若一个整数能被5整除，则它的末位是0”，有人认为这是一个“若p 则q”的复合命题，其否定应按“若p则q”的复合命题的否定为“p且非q”来写。即为“一个整数能被5整除且它的末位不是0”。这是不对的。这还是与复合命题的真值规律相矛盾。应视其为全称命题的的一种简单命题，其否定为“有些能被5整