第3章 运筹学对偶问题

y2 y2

4 y3 3y3

3 2
y1, y2 , y3 0
称这一问题是原来的LP问题的对偶线性规
划问题或对偶问题。
原问题
max z 3x1 2x2
x1 2x2 5
s.t.42
x1 x1

x2 4 3x2 9
x1, x2 0
1 2 A 2 1
原问题 第i个约束条件中 添加的松弛变量
第j个变量
对偶问题 第i个对偶变量
第j个约束条件中 添加的松弛变量
注 上表中我们将松弛变量与剩余变量统称为松弛变量
二、对偶问题的基本性质
1、对偶问题的对偶问题是原问题
max z=CX s.t. AX≤b
X ≥0
对偶的定义
min w=b’Y s.t. A’Y≥C’
y1 2 y2 4 y3 3
同意出让生产产品II的资源 2 y1 y2 3y3 2
购买者希望用最少的代价获得这些资源， 因此
min z 5 y1 4 y2 9 y3
这样得到一个新的线性规划问题
min w 5y1 4 y2 9 y3
s.t.
y1 2 2 y1
c
目标函数系
数向量
目标函数 max z = C X
约束条件 AX ≤ b 决策变量 X ≥0
对偶问题（原）
Anm
目标函数系数 向量 约束条件右 端向量 min w = Y ’ b
A’Y ≥ C’
Y ≥0
原问题变量个数=对偶问题约束条件方程个数 原问题约束条件方程个数=对偶问题变量个数
2、非规范形式下的原问题与对偶问题(x变)
2、非规范形式下的原问题与对偶问题(方程变)
非规范形式下的对偶关系
原问题（对偶问题）
max z n个决策变量 m个约束条件 约束条件“≤”型
“≥”型 “=”型 决策变量 ≥0
≤0 无约束
对偶问题（原问题）
min w n个约束条件 m个决策变量 决策变量 ≥0
≤0 无约束 约束条件“≥”型 “≤”型 “=”型
对偶问题变量
y1 y2 y3
对偶问题剩余变量
y1 y2 y3 y4
y5
-5/4 1 0 -1/4 1/4
15/2 0 1 15/2 0 0 原问题松弛变量
1/2 -3/2 7/2 3/2 原问题变量
x3 x4 x5 x1
x2
原本在对偶关系中，原问题的变量对应着对偶问题 的约束条件，原问题的约束条件对应着对偶变量。 但在分别添加了松弛变量和剩余变量后，也可以建 立原问题变量与对偶问题变量之间的对应关系
最大化问题检验数的
相反数给出了对偶问
题的解 对偶 项目
问题 最终 y2 1/4 单纯 y3 1/2 形表 σj
原问题变量
原问题松弛变量
x1 x2
00 10 01 00 对偶问题剩余变量
x3 x4 x5
1 5/4 15/2 0 1/4 -1/2 0 -1/4 3/2 0 1/4 1/2 对偶问题变量
y4 y5
推论2： 原问题
对偶问题
无界解
×
无可行解 ×
无可行解 无界解
推论3：原问题 对偶问题 无可行解 + 可行解 可行解 + 无可行解
对偶问题有无界解 原问题有无界解
3、最优性
如果 X 是原问题的可行解，Y 是其对偶问题的可 行解，且有 CX bY 则：X、Y 是原问题和对 偶问题的最优解。
4、强对偶性 X*、Y* 分别是原问题和对偶问题的最优解，则：
表
单纯形法的矩阵表示
max z CX
AX b

X
0
max z CX 0 X s
添加松 弛变量XS
AX IX S b

X
0
X


X X
B N
,
A B
N ,
C CB CN
max z CB X B CN X N 0 X s
BX

X
B
B NX N IX 0, X N 0
S
b
将XB的系数 矩阵化为单
位矩阵
原来 BX B NX N IX S b IX B B 1NX N B 1 X S B 1b
项目
原问 题最 终单 纯形 表
x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 -σj
Y ≥0
min z’ = - CX s.t. -AX ≥-b
X ≥0
对偶的定义
max w = -b’Y s.t. -A’Y≤-C’
Y ≥0
2、弱对偶性
如果 X 是原问题的可行解，Y是其对偶问题的 可行解，则：
z CX bY w
推论1：原问题任一可行解的目标函数值是其对偶 问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行 解的目标函数值是起原问题目标函数值的上界。
z CX* bY * w
X ≥0
min w=b’Y s.t. A’Y ≥ C’
Y ≥0
max
C
min b’
m
A ≤b
n A’ ≥ C’
n
m
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LP问题的规范形式
• 变量：所有变量均具有非负约束 • 约束条件：
最大化问题 所有约束条件都是“≤” 型 最小化问题 所有约束条件都是“≥” 型
原问题（对偶）
系数矩阵 b
Amn
约束条件右端 向量
4 3
对偶问题
min w 5y1 4 y2 9 y3
s.t.
y1 2 2 y1
y2 y2
4y3 3y3

3 2
y1, y2 , y3 0
B

1 2
2 1
4 3

A'
1、规范形式下的原问题与对偶问题
原问题
对偶问题
max z=C X s.t. AX ≤ b
方程对变量， 变量对方程； 正常对正常， 不正常对不正常； 变量正常是非负， 方程正常看目标(max ≤ ，min ≥)。
初
CB
CN
0
始 单
XB
XN
XS
纯 0 XS b B
N
I
形
表
CB
CN
0
迭
代
CB
CN
0
后 的
XB
XN
XS
单 CB XB B-1b I
B-1N
B-1
纯
形
0 CN –CBB-1N –CBB-1
第3章 对偶线性规划
线性规划的对偶问题 对偶问题的基本性质 对偶的经济解释 灵敏度分析*
主讲人：晋琳琳
DUAL
一、线性规划的对偶问题
项目
产品Ⅰ
原材料A（千克）
1
原材料B（吨）
2
设备C（百工时） 4
利 润（万元） 3
产品Ⅱ 2 1 3 2
每天可利用能力 5 4 9
如何将生产能力出让出去??
设y1,y2和y3分别表示出让资源A，B和C的 单价，则穗羊公司同意出让的条件将是 同意出让生产产品I的资源