微积分第三版上册复习提纲
微积分上重要知识点总结
1、常用无穷小量替换2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有界集。
3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角函数:定义域、值域4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。
5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。
6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。
7、极限的四则运算法则。
8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。
9、两个重要极限及其变形10、等价无穷小量替换定理11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。
左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。
13、连续函数的四则运算14、反函数、复合函数、初等函数的连续性15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。
16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。
17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式18、隐函数的导数。
19、高阶导数的求法及表示。
20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。
21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、22、微分形式的不变性23、微分近似公式:24、导数在经济问题中的应用(应用题):（1）边际(变化率,即导数)与边际分析:总成本函数与边际成本、总收益函数与边际收益、利润函数与边际利润（2）弹性(书78页)及其分析、弹性函数及应用、需求量与价格之间的变化关系25、中值定理:罗尔定理、拉格朗日中值定理及推论、可喜中值定理、26、洛必达法则求极限(89页)27、函数单调性28、函数的极值、最值、极值点与驻点及其区别,最大利润、最小平均成本、最大收益问题,经济批量问题。
（完整版）微积分复习资料
（完整版）微积分复习资料基本知识复习⼀、不定积分1．不定积分概念，第⼀换元积分法（1）原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的⼀个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的⼀个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+?（2）不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=?2。
()()'F x dx F x C =+? 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+（3）基本不定积分公式表⼀()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dx xdx x C x x µµµµ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+（3）第⼀换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ?=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du =??=?2．第⼆换元积分法，分部积分法（1）第⼆换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.⼜设()()'f t t ψψ具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=??=其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2）分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-??这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-??（3）基本积分公式表⼆(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三⾓函数有理式的积分，某些简单⽆理式的积分⼀、有理函数的积分两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，⼜称为有理分式.我们总假定分⼦多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分⼦多项式()P x 的次数⼩于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利⽤多项式的除法,总可以将⼀个假分式化成⼀个多项式与⼀个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分⽅法.对于真分式()()n m P x Q x ,⾸先将()m Q x 在实数范围内进⾏因式分解,分解的结果不外乎两种类型:⼀种是()kx a -,另外⼀种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若⼲个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.⼆、可化为有理函数的积分举例例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++?解由三⾓函数知道,sin x 与cos x 都可以⽤tan2x的有理式表⽰,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ ⽽2arctan ,x u =从⽽2.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222 xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++??+ ?++??=??-+ ?++??=++=+++ ?=+++例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从⽽所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =?=++?=-=-++??=+ 例6求u =,于是322,3,x u dx u du =-=从⽽所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+?=-+ +=-+++=+例7 求解设6x t =,于是56,dx t dt =从⽽所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++?=-=-+ +=+例8求解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从⽽所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-?=----?=-+=--+ -+=-++--+=-++⼆、定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。
微积分第三版第一章
三、函数的表示法
1. 表格法 2. 图像法 3. 解析式法
自变量的值与对应的函数值列成表格 的方法 在坐标系中用图形来表示函数关系的 方法 将自变量和因变量之间的关系用
数学表达式(又称为解析表达式 来表示的方法 数学表达式 又称为解析表达式)来表示的方法 又称为解析表达式 来表示的方法.
根据函数的解析表达式的形式不同, 根据函数的解析表达式的形式不同 函数也可 分为以下三种: 分为以下三种
( a , b] = { x a < x ≤ b}
o
a
b
x
[a , b ) = { x a ≤ x < b}
o a
b
x
(4)(a ,+∞ ) = { x x > a }, [a ,+∞ ) = { x x ≥ a }
(5)( −∞ , b ) = { x x < b}, ( −∞ , b] = { x x ≤ b}
δ
x0 − δ
δ
x0
x0 + δ
x
例如 ,0 < x − 1 < 2, 即为以点 x 0 = 1为中心 ,以2为半径 的空心邻域 ( − 1,1) U (1,3).
第 函
三
节 数
一、函数概念 定义1.9 若 D 是一个非空实数集合 , 设有一个对应规则 f , 定义
使每一个 x ∈ D , 都有一个确定的实数 y与之对应 , 则称这 个对应规则 f为定义在 D 上的一个函数关系 , 或称变量 y是 变量 x的函数 , 记作
以 a , b为端点的闭区间 , 记作[a , b], 即
[a , b ] = { x a ≤ x ≤ b}
o
a
《微积分(上)》复习重难点方法解读
《微积分（上）》复习重难点解读第一篇 函数、连续、极限求极限。
求函数的极限是每年的必考题。
本章的另一块内容判断函数是否连续，其实质仍是求函数极限。
所以本章只要抓住了极限就基本上把握了全章的核心内容，求极限的方法很多但在考试中常用的主要有1． 利用极限的四则运算法则求极限（这是求极限的最基本知识）2． 利用重要极限求极限3． 利用罗必达法则求极限（求关于函数的未定式的极限）4． 利用无穷小替换（它往往在求极限的过程中使用能使问题简化）5． 利用夹逼定理6． 利用单调有界准则（主要求通项由递推公式给出的极限）7． 利用定积分定义（主要求通项是n 项和的数列的极限）8． 利用导数定义求极限（主要用于已知条件中给出函数在一点可导求关于该函数的某个极限）9． 利用连续函数的性质（这一条不会单独命题，但它常用在求极限的过程中，是求极限的基础知识）10．利用极限与无穷小的关系（主要用于已知极限，求另一形式的极限）典型题型典型题型一：求未定式的极限典型的未定式共有七种：000"","","",0","0","","1"0∞∞∞-∞∞∞∞。
读者在遇到这七种未定式时，建议采用罗必达法则试一试。
（使用罗毕达法则时应注意：（1）使用罗毕达法则时，要先判定是否为0""0或""∞∞；（2）在使用法则前应先化简，（3）当0()()lim ()x x x f x g x →∞→''不存在（或非∞）时，不能推出0()()lim ()x x x f x g x →∞→不存在（4）当x →∞时，若式子中含有cos ,sin x x （或0x →时，式11cos ,sin x x）则不宜使用罗毕达法则。
典型题型二： 求非未定式的极限这类题通常要利用函数的连续性、极限的四则运算法则、定积分定义、夹逼定理、无穷小性质来完成。
微积分3知识点总结
微积分3知识点总结微积分3是微积分的高级课程，主要讲授多变量函数的微积分知识。
在微积分3课程中，学生将学习到三维空间中的曲面与曲线的性质、多元函数的极限、连续性、偏导数、方向导数、梯度、多元函数的微分、多元函数的积分以及向量场的积分等内容。
在这篇总结中，我将对微积分3中的重要知识点进行梳理和讲解。
1. 多元函数的极限在微积分3中，我们首先要学习的是多元函数的极限。
对于一个多元函数$f(x, y)$来说，当$(x, y)$接近某一点$(a, b)$时，函数$f(x, y)$的极限定义如下：如果对于任意的$\varepsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} < \delta$时，都有$|f(x, y) - L| < \varepsilon$成立，那么就说当$(x, y)$趋于$(a,b)$时，函数$f(x, y)$的极限为$L$，记作$\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L$。
多元函数的极限的计算方式和一元函数的极限类似，但要注意的是，这里的变量是二维的，所以在进行极限的计算时，需要考虑到所有可能的趋近方式。
2. 多元函数的连续性在微积分3中，我们还要学习多元函数的连续性。
多元函数的连续性是指当$(x, y)$在某一点上连续时，函数在该点的极限等于在该点的函数值。
多元函数的连续性可以通过极限的定义来进行判断，如果函数在某一点的极限等于该点的函数值，那么就可以说函数在该点上是连续的。
3. 多元函数的偏导数在微积分3中，还要学习多元函数的偏导数。
对于多元函数$f(x, y)$来说，其对$x$的偏导数记作$\frac{\partial f}{\partial x}$，对$y$的偏导数记作$\frac{\partial f}{\partial y}$。
这两个偏导数分别表示了函数$f$在$x$和$y$方向上的变化率。
微积分Ⅰ总复习 完整版
无穷大: 绝对值无限增大的变量称为无穷大.
记作 lim f ( x ) (或 lim f ( x ) ).
x x0 x
无穷小与无穷大的关系
在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为 零的无穷小的倒数为无穷大.
无穷小的运算性质
定理1 在同一过程中,有限个无穷小的代数和 仍是无穷小.
un为常数
un
n 1
un为函数 un ( x )
常数项级数
一 般 项 级 数
在收敛 条件下
取 x x0
函数项级数
正 项 级 数
任 意 项 级 数
级数与数 相互转化
收 敛 半 径 R
幂级数 泰勒展开式
R( x ) 0
三角级数 傅氏展开式
满足狄 氏条件
泰勒级数 数或函数
傅氏级数
函 数
数
a 等式 x n a 都成立,那末就称常数 是数列x n a 的极限,或者称数列x n 收敛于 ,记为
lim x n a , 或 x n a ( n ).
n
" N "定义
0, N 0, 使n N时, 恒有 xn a .
定义 2
续
定
义
lim y 0
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 )
间断点定义
左右连续
在区间[a,b] 上连续 非初等函数 的连续性
连续的 充要条件
连续函数的 运算性质 初等函数 的连续性
第一类 第二类 可跳 去跃 间间 断断 点点 无振 穷荡 间间 断断 点点
连续函数 的 性 质
关 dy y dy y dx y dy o( x ) 系 dx
微积分(第三版)第一单元1-9
明：对任意正数 p和 q ；至少有一点 [ c , d ] ,使
pf ( x ) qf ( x ) ( p q) f ( ).
即方程 f ( x ) 0在 (a, b)内至少存在一个实根.
几何解释:
y
连续曲线弧 y f ( x )的两个 端点位于x轴的不同侧, 则曲 线弧与 x轴至少有一个交点 .
定理 4(介值定理)
a o
y f ( x)
1 2
3
b x
设函数 f ( x )在闭区间 a, b
上连续，且在这区间的端点取不同的函数值
f (b ) b. 证明 (a , b ), 使得 f ( ) .
证 令 F ( x ) f ( x ) x, 则F ( x )在[a, b]上连续,
而 F ( a ) f ( a ) a 0,
F ( b ) f ( b ) b 0,
由零点定理,
若 f ( x ) C [a , b], 则 1 , 2 [a , b], 使得 x [a , b], 有 f ( 1 ) f ( x ), f ( 2 ) f ( x ).
y
y f ( x)
o
a
2
1 b
x
注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立.
第九节 闭区间上连续函数的 性质
• 最大值和最小值定理 • 零点定理与介值定理 • 小结
一、最大值和最小值定理
定义: 对于在区间 I上有定义的函数 f ( x ),
如果有 x0 I , 使得对于任一 x I 都有 f ( x ) f ( x0 ) ( f ( x ) f ( x0 )) 则称 f ( x0 )是函数 f ( x )在区间 I上的最大(小)值.
微积分(上)复习资料_公式
1
0
0
-1
不存在
0
0
不存在
(1) (2)
(3)
(B )
定理 2 复合函数极限
设函数
是函数
，
的复合函数。
若
,
在 有定义且
，则
因为
，所以定理结论也也可写成
推论 3 若
存在，C 为常数，则
推论 4 若
存在，n 为正整数，则
2.3 常用极限
lim n a (a o) 1
n
lim n n 1
n
lim arctan x
sin
a
b
sin
a
b
6.万能公式
2 tan a
sin a
2
1 tan2 a
2
7.平方关系
1 tan2 a
cos a
2
1 tan2 a
2
2 tan a
tan a
2
1 tan2 a
2
sin2 x cos2 x 1
sec2 x ta n2 x 1
csc2 x cot2 x 1
8.倒数关系 tan xcot x 1 9.商数关系
cos A 1 cos A
2
2
cot A 1 cos A sin A 2 1 cos A 1 cos A
4.和差化积公式
sin a sin b 2sin a b cos a b
2
2
sin a sin b 2cos a b sin a b
2
2
cos a cos b 2cos a b cos a b
⑼ ax ax ln a ⑽ ex ex
⑾
微积分(上)复习
n
n−1
同步练习P6 同步练习 一、13，33，35 ， ， 二、6，9，16 ， ，
11/58
(6)幂指函数求导法 幂指函数求导法
y = [ f ( x )] g ( x )
①取自然对数化为隐函数再求导. 取自然对数化为隐函数再求导. 利用对数恒等式化为以 为底的复合函数 再求导. 为底的复合函数, ②利用对数恒等式化为以e为底的复合函数,再求导.
6/58
第一类间断点 (左右极限都存 在的点). 在的点). (3) 间 断 点
①可去间断点(左 可去间断点( 右极限相等) 右极限相等) ②跳跃间断点(左 跳跃间断点( 右极限不相等) 右极限不相等) 无穷间断点(左右 无穷间断点( 极限至少有一个为 ∞) 非无穷间断点 例如： 例如：振荡
同步练习P5 同步练习 二、15
推论: 推论
f ′( x ) ≡ 0 ⇒ f ( x ) = C f ′( x ) ≡ g ′( x ) ⇒ f ( x ) − g ( x ) = C
(3)柯西中值定理 柯西中值定理
f ′(ξ ) f (b) − f ( a ) (至少有一个 ξ ∈ (a , b)) 闭连开导 ⇒ = g′(ξ ) g(b) − g(a )
x → x0
( 3) lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α , lim α = 0
x → x0
x → x0
2.无穷小与无穷大的概念与性质 无穷小与无穷大的概念与性质 （1）无穷小 (lim α = 0) ）
有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。 有界量与无穷小量的积仍是无穷小。
微积分（ 微积分（上）
同济大学第三版上册高数微积分预备知识
o
x
五、复合函数
1.复合函数
设 y u, u 1 x 2 ,
定义:
y 1 x2
设函数 y f (u) 的定义域D f , 而函数
u ( x ) 的值域为Z , 若 D f Z , 则称
函数 y f [( x )]为x 的复合函数.
预备知识
一、集合 二、函数
一、集合
1.集合(set)
具有某种特定性质的事物的全体叫做集合,
组成这个集合的事物称为该集合的元素. 事物 a 是集合 A 的元素，记作 aA ; 事物 a 不是集合 A 的元素，记作 aA .
集合具有特性：1.确定性；
2.互异性；
3.无序性；
2. 集合的表示法： 1) 列举法：集合 A 由元素 a1 , a2 , ... , an 构成， 记 A={ a1 , a 2 , ... , an } 2)描述法：集合 A 由具有性质 P 的元素 x 构成， 记 A={ x | x 具有性质 P }.
3l 2
l 2
l 2
3l 2
四、反函数
1.反函数： (inverse function) 设 y f ( x ) 的定义域为 D , 值域为 W , 对 y W
总有确定的 x D 使得 f ( x ) y , 把 y 看作自变量 , 则 x 是 y 的函数 , 称之为 y f ( x ) 的反函数 , 记为 x ( y) .
o
I
x
设函数 f ( x )的定义域为 , 区间I D, D
如果对于区间I 上任意两点x1及 x2 , 当 x1 x2时,
微积分上复习提纲
成本函数、需求函数、价格函数、收益函数、利润函数、 边际函数、函数的弹性以及公式、
8. 渐近线（水平、垂直）——怎么求？
友情链接： 水平：令x趋于无穷大（包括正、负）求极限； 垂直：就是寻找函数的无穷间断点
第四章 积分 1.不定积分和原函数的含义，积分与导数微分的运算关系 2.基本积分公式（记清楚） 3.积分的几种计算方法：
当 0 时 因 ， a m 2 为 b x n c x x d x a （ x m p ) n x ( x q ) dx
1 a(x A pxB q)d xa 1(A lnxp B lnxq)c;
p , q为 a x2 b x c0的 两 个 实 根 ; A , B为 待 定 系 数
友情链接：
经济问题中的 应用
对于实际问题： ①先建立函数关系式（确定出定义域）； ②求出其极值； ③如果f(x)在[a,b]上连续,且在(a,b)内可导,且有唯一驻点,则若 为极小值点必为最小值点,若为极大值点必为最大值点；更进 一步,若实际问题中有最大(小)值,且唯一有驻点,则不必判断极 大还是极小,立即可以断定该驻点即为最大(小)值点.
第一类换元法（凑微分），要求：大胆推测，勇敢尝试
常用凑微分公式：
dx 1 d(kx b) (k 0 )； x d x 1 d x 2 ；
k
2
1 dx 2d x
x；
1 d x d ln x ； x
xn1dx 1 dxn n
sinxdxdcoxs； co x d x s d six； n
se2cxdxdtaxn； cs2cxdxdcoxt；
1 1x2
dxdarctax； n
1 1x2
dxdarcsxin；
微积分(上)复习题纲
《微积分》第一学期复习纲要注：(*仅限于了解，不做考试内容)【指】：《微积分学习指导》【教】：《微积分》P：页码考试题型分布：一、选择题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）三、简答题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分）四．证明题（本大题共1小题，每小题10分，共10分）五．应用题（本大题共1小题，每小题11分，共11分）第一章预备知识（第一章知识不考，主要是高中知识的复习）1.函数的有界性概念, 类基本初等函数的定义域值域及图像特点, 初等函数的概念.2.求函数的定义域, 将指定初等函数分解为简单函数的复合运算.第二章极限与连续1.数列极限与6种函数极限的形象定义.（不要求严格定义）2.无穷小量与无穷大量【指】P24例2，例3，P25例6.3.*极限的局部分析性质, 极限的运算性质的准确条件结论, 以及相关易错命题.4.*夹逼定理与单调有界定理的条件及结论 .5.求极限的常用方法：（与第四章L’Hospital法则合并）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧∞⇓⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⇒∞∞.,,,Hospital 'L ..,,,.,,结合初等方法解决问题以及能灵活了解该法则的失效情况后再使用确保为标准不定型先准确判断法则：穷小量替换两个重要极限或等价无或上下同除有理化因式分解因子法：或消初等方法：再设法定型或均可转化为不定型：或无穷小量乘有界量初等函数的连续性极限的四则运算法则定型：一定要先判断000 【指】P47三、计算题1.3，一、选择题1.2. P48选择题5P112一、填空 8.9 ，P88 例8-11， P48二、填空1.4， P47三、计算1.3【教】P26例2.3.4-2.3.5连续函数的严格定义 , 初等函数连续性的准确含义 .【教】P32定义2.6.16. 实行函数的连续性【教】P34例2.6.4-2.6.67. *在定理的应用第三章 1. 线上的应用.2. 连续性、可导性、导函数的连续性的关系与区别. 【指】P51 内容提要6.3. 求导数：要小心使用哦！()()00lim .,.1,12.2f x f x x x x y ⎧--'⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩分段函数求导：在分段点处一定严格按导数（单侧导数）两边对求导解出）分清四则、复合运算层次后利用相关求导法则及个求导公式初等函数求导：显函数：）乘除运算较多的函数及幂指型函数：对数求导法（要充分利用对数性质化简再求导） 4. 微分的概念及作用, 可微与可导的关系. 【指】P69内容提要25. 微分的求解. 【指】P69内容提要36. *微分的在常见近似计算中的应用.7. *经济函数的边际与弹性的概念及其经济解释.常见经济函数的边际求法及解释, 需求价格弹性的求法及经济解释.【教】P70 例3.2.8【指】P71例4，例6 P74一、填空1.2.4.6.10 P7三(2)P75选择5.6 ，P78二、填空4.5【教】P81例3.4.8-3.4.10第四章 微分中中值定理与导数的应用1. Rolle 、Lagrange 中值定理的条件结论. 【指】P79一内容提要：1.22. 利用Rolle 中值定理与辅助函数构造法证明某些含导数的方程的根存在性. 【指】P80例23. Lagrange 中值定理的推论在恒等式证明上的使用. 【指】P80例104. *熟记f(x)在x 0处的n+1阶泰勒公式的形式，并能写出较简单的函数在x 0处的n+1阶泰勒公式.5. L’Hospital 法则的应用. （参照第二章“求极限”部分）【指】P87例2，例36. 函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线的概念及判定方法. 【指】P96内容提要1---57. 利用单调性证明不等式. 【指】P100三、强化训练7(1)8.求实际问题（经济函数）的最值. 【指】P106例15【教】P98例4.1.5 P100 例4.4.6，4.4.7 P112例4.4.8例4.4.9 P110例4.4.6 例4.4.7【指】P112 一填空：8.10P113二选择4.7.9 P116 二、填空1四、应用题。
(完整版)微积分复习资料
基本知识复习一、 不定积分1． 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数()F x 与()f x 在区间(),a b 内有定义，对任意的(),x a b ∈，有()()'F x f x =或()()dF x f x dx =，就称()F x 是()f x 在(),a b 内的一个原函数。
如果()F x 是函数()f x 的一个原函数,称()f x 的原函数全体为()f x 的不定积分,记作()(),f x dx F x C =+⎰（2） 不定积分得基本性质1．()()df x dx f x dx=⎰2。
()()'F x dx F x C =+⎰ 3。
()()()().Af x Bg x dx A f x dx B g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（3）基本不定积分公式表一()()122222(1)2)1,13ln C,x (4)arctan ,1(5)arcsin ,(6)cos sin ,(7)sin cos ,(8)sec tan ,cos (9)csc cot ,sin (10)sec t kdx kx C k x x dx C dx x dx x C x x C xdx x C xdx x C dx xdx x C x dxxdx x C x x μμμμ+=+=+≠-+=+=++=+=+=-+==+==-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰是常数，（1（）22an sec ,(11)csc cot csc ,(12),ln (13),(14),1(15),1(16).xxxdx x C x xdx x C a a dx C ashxdx chx C chxdx shx C dx thx C ch x dx cthx C sh x =+=-+=+=+=+=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰（3） 第一换元积分法（凑微分法）设()f u 具有原函数, ()u x ϕ=可导,则有换元公式()()()()'.u x f x x dx f u du ϕϕϕ=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰2． 第二换元积分法，分部积分法（1） 第二换元积分法设()x t ψ=是单调的、可导的函数,并且()'0t ψ≠.又设()()'f t t ψψ⎡⎤⎣⎦具有原函数,则有换元公式()()()()1',t x f x dx f t t dt ψψψ-=⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰其中()1x ψ-是()x t ψ=的反函数.（2） 分部积分法设函数()u u x =及()v v x =具有连续导数,那么,()''',uv u v uv =+移项,得 ()'''.uv uv u v =-对这个等式两边求不定积分,得''.uv dx uv u vdx =-⎰⎰这个公式称为分部积分公式.它也可以写成以下形式:.udv uv vdu =-⎰⎰（3） 基本积分公式表二(2222(17)tan ln cos )cot ln sin ,sec ln sec tan C,(20)csc ln csc cot ,1(21)arctan ,1(22)ln ,2(23)arcsin ,(24)ln ,(2xdx x C xdx x C xdx x xdx x x C dx x C a x a a dx x adx C x a a x a xC a x C =-+=+=++=-+=++-=+-+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，（18（19）5)ln .x C =+ （3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分 两个多项式的商()()P x Q x 称为有理函数，又称为有理分式.我们总假定分子多项式()P x 与分母多项式()Q x 之间是没有公因式的.当分子多项式()P x 的次数小于分母多项式()Q x 的次数时,称这有理函数为真分式,否则称为假分式.利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法.对于真分式()()n m P x Q x ,首先将()m Q x 在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型:一种是()kx a -,另外一种是()2lx px q ++,其中,k l 是正整数且240p q -<;其次,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和.具体的做法是:若()m Q x 分解后含有因式()kx a -,则和式中对应地含有以下k 个分式之和:()()()122,k kA A A x a x a x a +++---L 其中:1,,k A A L 为待定常数.若()m Q x 分解后含有因式()2lx px q ++,则和式中对应地含有以下l 个分式之和:()()()11222222,l l l M x N M x N M x N x px q x px q x px q ++++++++++++L 其中:(),1,2,,i i M N i l =L 为待定常数.以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分.二、可化为有理函数的积分举例 例4 求()1sin .sin 1cos xdx x x ++⎰解 由三角函数知道,sin x 与cos x 都可以用tan2x的有理式表示,即 222222222tan 2tan22sin 2sin cos ,22sec 1tan 221tan 1tan 22cos cos sin .22sec 1tan 22x x x x x x xx xx x x x x ===+--=-==+如果作变换()tan2xu x ππ=-<<,那么 22221sin ,cos ,11u u x x u u -==++ 而2arctan ,x u =从而22.1dx du u =+ 于是()22222221sin sin 1cos 2211121111112212ln 2211tan tan ln tan .42222xdx x x u du u u u u u u u du u u u u C x x xC ++⎛⎫+ ⎪++⎝⎭=⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭=+++⎰⎰⎰例5求. 解u =,于是21,2,x u dx udu =+=从而所求积分为()222222111212arctan 12.u u dx udu dux u u du u u C u C =⋅=++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰⎰ 例6求解u =,于是322,3,x u dx u du =-=从而所求积分为223113113ln 13ln 1.2u duu u duu u u u C C =+⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎛⎫=-+++=+ ⎪⎝⎭⎰⎰例7 求解 设6x t =,于是56,dx t dt =从而所求积分为()()52223266111616arctan 16arctan .t t dt dt t t tdt t t C t C ==++⎛⎫=-=-+ ⎪+⎝⎭=+⎰⎰⎰例8求.解t =,于是()2222112,,,11x tdtt x dx x t t +===---从而所求积分为 ()()()22222222*********ln 1122ln 1ln 12ln 1ln .t t t t dt dtt t t dt t Ct t t t t C x C -=-⋅=----⎛⎫=-+=--+ ⎪-+⎝⎭=-++--+⎫=-++⎪⎪⎭⎰⎰⎰二、 定积分（1） 定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质 （1） 定积分的概念1。
微积分提纲
第一章 函数1.N----自然数集 Z-----整数集 Q-----有理数集 R-----实数集 交换律： 结合律：分配律： 摩根律： 2.集合的笛卡儿乘积：A ×B={(x, y)| x ∈A, y ∈B} A ×B ×C={(x, y, z)| x ∈A, y ∈B, z ∈C}3.邻域：.}{)(δδδ+<<-=a x a x a U 点a 的去心邻域：.}0{)(δδ<-<=︒a x x a U4.函数的两要素：定义域与对应法则.约定：定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.5.若自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，则称这种函数为单值函数（一对一或多对一），否则称为多值函数（一对多）．6.几个特殊的函数举例 符号函数：狄利克雷函数：取整函数：y=[x]，其中[x]表示不超过x 的最大整数取最值函数： 7.函数的特性：有界性；单调性；奇偶性；周期性.8.反函数：直接函数与反函数的图形关于直线 y=x 对称.9.复合函数：注意-----不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;判断两个函数能否构成复合函数的关键，就是D(f)∩Z(g)≠Φ.10.基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函. 11.初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数.第二章 极限与连续1. 数列极限的性质：有界性-----定理1 收敛的数列必定有界. 推论 无界数列必定发散. 唯一性-----定理2 每个收敛的数列只有一个极限.收敛数列的保号性-----定理3 ，那么存在或而且)0(0,lim <>=∞→a a a x n n ).0(0,0<>>>n n x x N n N 或时，有使得当推论 ,00}{）（或从某项起有若数列≤≥n n n x x x ).0(0,lim ≤≥=∞→a a a x n n 或则且子数列的收敛性------定理4 收敛数列的任一子数列也收敛．且极限相同．2.函数的极限：两种情形:.10情形+∞→x A x f x =+∞→)(lim .)(,,0,0εε<->>∃>∀A x f X x X 恒有时使当:.20情形-∞→x A x f x =-∞→)(lim .)(,,0,0εε<--<>∃>∀A x f X x X 恒有时使当.,,R Q Q Z Z N ⊂⊂⊂}|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=或即的并，记为与的集合，称为的所有元素构成和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∈∈=且即的交，记为与成的集合，称为的所有公共元素构和，由和设有集合 }|{,B x A x x B A B A B A B A B A ∉∈=--且即的差，记为与构成的集合，称为的所有元素而不属于，属于和设有集合}|{,A ''A x U x x A A A U ∉∈=且即的补集，记为称为的元素构成的集合，中所有不属于全集AB B A AB B A ==)()()()(C B A C B A C B A C B A ==)()()()()()(C B C A C B A C B C A C B A =='''''')()(B A B A BA B A ==⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==010001sgn x x x x y 当当当⎩⎨⎧==是无理数时当是有理数时当x x x D y 01)()}(),(max{x g x f y =)}(),(min{x g x f y =3.函数极限的性质：有界性；唯一性；局部保号性；子列收敛性.4.推论1 ,),(,0,)(lim 00时当且若δδx U x A x f x x ∈>∃=→).0(0),0)((0)(≤≥≤≥A A x f x f 或则或推论2 的某一则存在着若0),0()(lim 0x A A x f x x ≠=→有时当去心邻域,)(),(0000x U x x U ∈|2||)(|Ax f > 5.函数极限的统一定义：过程 ∞→n ∞→x +∞→x-∞→x时刻 N从此时刻以后N n >N x > N x >N x -<)(x fε<-A x f )(过程 0x x →+→0x x -→0x x 时刻 δ从此时刻以后δ<-<00x x δ<-<00x x00<-<-x x δ)(x f ε<-A x f )(6.无穷大与无穷小注意：无穷小是变量,不能与很小的数混淆; 零是可以作为无穷小的唯一的数；无穷大是变量,不能与很大的数混淆;切勿将limy= ∞认为极限存在；无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 7.无穷小与函数极限的关系:定理1------变量y 以A 为极限的充分必要条件是：变量y 可以表示为A 与一个无穷小的和. 定理2------在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理3------有界变量与无穷小的乘积是无穷小.定理4------在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 推论1------在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2------常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3------有限个无穷小的乘积也是无穷小 8.极限运算法则：则设,)(lim ,)(lim B x g A x f ==;)]()(lim[)1(B A x g x f ±=±;)]()(lim[)2(B A x g x f ⋅=⋅ 0,)()(lim)3(≠=B BAx g x f 其中 推论1------则为常数而存在如果,,)(lim c x f ).(lim )](lim[x f c x cf = 推论2------则是正整数而存在如果,,)(lim n x f .)]([lim )](lim[n n x f x f =结论1------为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 9.极限求法：①多项式与分式函数代入法求极限;②消去零因子法求极限; ③无穷小因子分出法求极限; ④利用无穷小运算性质求极限; ⑤利用左右极限求分段函数极限. 极限10.极限存在准则：夹逼准则；单调有界准则11.两个重要极限：1sin lim0=→x x x e x x x =+∞→)11(lim （e nn n =+∞→)11(lim ）12.无穷小的比较: .0,,≠αβα且穷小是同一过程中的两个无设αβαβ是比，则称若0lim)1(= ；记作)(αβo = 高阶的无穷小 αβαβ是比，则称若２∞=lim )(低阶的无穷小是与则称若αβαβ,0lim)3(≠=C 同阶的无穷小 是与则称若特殊地，αβαβ,1lim =；～记作αβ等价的无穷小 的是则称若αβαβ,0,0lim)4(>≠=k C kk 阶的无穷小 13. 常用等价无穷小: (,0时当→x ))1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x + )0(~1)1(,21~c o s 1,1~2≠-+--a ax x x x e x a x 14. 定理２(等价无穷小代换定理) .lim lim ,lim~,~αβαβαβββαα''=''''则存在且设 15. 函数的连续性定理: 00)()(x x f x x f 在是函数处连续在函数⇔.处既左连续又右连续 16. :)(0条件处连续必须满足的三个在点函数x x f;)()1(0处有定义在点x x f ;)(l i m )2(0存在x f x x → ).()(lim )3(00x f x f x x =→17. 四则运算的连续性:定理1 ,)(),(0处连续在点若函数x x g x f )0)(()()(),()(),()(0≠⋅±x g x g x f x g x f x g x f 则.0处也连续在点x定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数. 定理3 ,连续a 在点f (u)函数a,(x)lim 若0x x =→ϕ(x)].lim f [f (a)(x)]f [lim 则有0x x x x ϕϕ→→==定理4 且连续在点设函数,)(0x x x u ==ϕ,)(,)(000连续在点而函数u u u f y u x ===ϕ.)]([0也连续在点则复合函数x x x f y ==ϕ定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的. (初等函数仅在其定义区间内连续,在其定义域内不一定连续;)18. 定理1(最大值和最小值定理) 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.( 若区间是开区间,定理不一定成立;若区间内有间断点,定理不一定成立.) 定理2(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界. 定理3（零点定理）.0)())(),(0)()()()(],[)(=<<<⋅ξξξf b a x f b a b f a f b f a f b a x f ，使得（一点的一个零点，即至少有内至少有函数间），则在开区异号（即与上连续，且在闭区间设函数定理4（介值定理）设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)＝B ，则对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ，使得f(ξ)=C (a<ξ<b). 推论:在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.第三章 导数与微分1. .)()()(000都存在且相等和右导数左导数处可导在点函数x f x f x x f +-''⇔上在闭区间都存在，则称和内可导，且在开区间若函数],[)()()(),()(b a x f a f b f b a x f +-''可导. 2. 定理 凡可导函数都是连续函数. (注意: 该定理的逆定理不成立.)3. (.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导的角点为函数则称点若连续函数x f x x f x f x f +-'≠'()(.)(,)()(lim lim,)(.2000000不可导有无穷导数在点称函数但连续在点设函数x x f xx f x x f x yx x f x x ∞=∆-∆+=∆∆→∆→∆(.,)()(.30点不可导则指摆动不定不存在在连续点的左右导数都函数x x f(.)()(,,)(.4000不可导点的尖点为函数则称点反的两个单侧导数符号相且在点若x f x x x f ∞=' 4. 函数的和、差、积、商的求导法则:定理1: 且处也可导在点分母不为零商则它们的和、差、积、处可导在点若函数,)(,)(),(x x x v x u).0)(()()()()()(])()([)3();()()()(])()([)2();()(])()([)1(2≠'-'=''+'='⋅'±'='±x v x v x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u x v x u推论: ;)(])([)1(11∑∑=='='ni in i ix f x f );(])([)2(x f C x Cf '=';)()()()()()()()(])([)3(1121211∑∏∏=≠=='='++'='n i nik k k i n n ni i x f x f x f x f x f x f x f x f x f定理2: 反函数的导数等于直接函数导数的倒数. 5. 常数和基本初等函数的导数公式:0)(='C 1)(-='μμμx x x x cos )(sin =' x x 2s e c )(t a n =' x x xt a n s e c )(s e c =' x x s i n )(c o s -=' x x 2csc )(cot -=' x x xc o t c s c )(c s c -=' a a a x x ln )(=' xx 1)(l n =' xx e e =')( 211)(arcsin x x -=' 211)(a r c t an x x +=' 211)(a r c c o s xx --=' 211)c o t (x x a r c +-=' 6. 函数的和、差、积、商的求导法则: 均可导，则设)(),(x v v x u u ==:)0('')'()4(,'')'()3(,(')'()2(,'')'()1(2≠-=+==±=±v v uv v u v u uv v u uv C Cu Cu v u v u 是常数）7. 复合函数的求导法则:).()()()]([),(),(x u f x y dxdu du dy dx dy x f y x u u f y ϕϕϕ'⋅'='⋅====或的导数为则复合函数而设8. 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边求导.9. 对数求导法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.(适用范围:多个函数相乘除或幂指函数情形) 10. 高阶导数求法-----直接法: 由高阶导数的定义逐步求高阶导数.11. 可微的条件-----定理: ).(,)()(000x f A x x f x x f '=且处可导在点可微的充要条件是函数在点函数 称为函数的微分的微分在任意点函数,)(x x f y = .)(),(x x f dy x df dy ∆'=即或记作 12. 基本初等函数的微分公式:0)(=C d x d x x d c o s )(s i n = x d x x d 2s e c )(t a n = xdx x x d tan sec )(sec =dx x x d 1)(-=μμμ x d x xd s i n )(c o s -= x d x x d 2c s c )(c o t -= xd x x x d c o t c s c )(c s c -= adx a a d x x ln )(= dxe e d x x =)( dx a x x d a ln 1)(log =dx xx d 1)(ln =dx x x d 211)(arcsin -=dx x x d 211)(arccos --= dx x x d 211)(arctan +=dx xx arc d 211)cot (+-= 13. 函数和、差、积、商的微分法则:dv du v u d ±=±)( Cdu Cu d =)( udv vdu uv d +=)( 2)(v udvvdu v ud -= 14. 导数与微分的区别:.,,,))((),()(00000它是无穷小实际上它的定义域是的线性函数是而微分处的导数是一个定数在点函数R x x x x x f dy x f x x f --'='.))(,()())((,))(,()()(,00000000的纵坐标增量的切线方程在点处在点是曲线而微分处切线的斜率在点是曲线从几何意义上来看x x f x x f y x x x f dy x f x x f y x f =-'=='第四章 中值定理与导数的应用1. 罗尔(Rolle)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b).则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使f ’(ξ)=0.2. 拉格朗日(Lagrange)定理: 若函数f(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导. 则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得))(()()('a b f a f b f -=-ξ3. 推论: .)(,)(上是一个常数在区间那么上的导数恒为零在区间如果函数I x f I x f4. 柯西(Cauchy)定理: 若函数f(x)及F(x)（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；（3）F(x)在(a,b)内每一点处的导数均不为0.则在(a,b)内至少存在一点ξ(a<ξ<b)，使得)()()()()()(''ξξF f a F b F a f b f =-- 5. 洛必达法则定理:.)()(lim )()(lim );()()(lim )3(;0)()()(,)2(;)()(,)1(x F x f x F x f x F x f x F x F x f a x F x f a x a x a x a x ''=''≠'''→→→→则或为无穷大存在都存在且及点的某去心邻域内在都趋于零及函数时当设6.洛必达法则型未定式解法型及:00∞∞; 型未定式解法00,1,0,,0∞∞-∞∞⋅∞:先变化成⎪⎩⎪⎨⎧∞⋅⋅∞⋅−−→−⎪⎭⎪⎬⎫∞∞ln 01ln 0ln 01000取对数.0∞⋅⇒再用洛必达法则. 7. 单调性的判别定理: 内可导上连续，在设函数),(],[)(b a b a x f y =.],[)(0)(),()2(],[)(0)(),(1上单调减少在，则函数内若在上单调增加；在，则函数内若在）（b a x f y x f b a b a x f y x f b a =<'=>'8. 定理1(必要条件): .0)()(000='x f x x x f 处取得极值，则处导数存在，且在在设 定理2(第一充分条件):处取得极大值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(1x x f x f x x x x f x x x <'+∈>'-∈δδ 处取得极小值；在，则，有；而，有若）（00000)(0)(),(0)(),(2x x f x f x x x x f x x x >'+∈<'-∈δδ .)()(),(),(300000处无极值在符号相同，则时，及若）（x x f x f x x x x x x '+∈-∈δδ9. 求极值的步骤: );()1(x f '求导数;0)()2(的根求驻点，即方程='x f;,)()3(判断极值点在驻点左右的正负号检查x f '.)4(求极值10. 定理3(第二充分条件): ，则，处二阶可导，且在设0)(0)()(000≠''='x f x f x x f处取得极大值；在时，函数当00)(0)()1(x x f x f <''.)(0)()2(00处取得极小值在时，函数当x x f x f >''11. 定理1: 内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果),(,),(,],[)(b a b a b a x f上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(b a x f x f b a x f x f <''>''定理2: .0)())(,(),()(00000=''+-x f x f x x x x f 是拐点的必要条件是内存在二阶导数，则点在若δδ 12. 渐近线: 铅垂渐进线; 水平渐进线; 斜渐进线 13. 斜渐近线求法: ,)(lima xx f x =∞→.])([lim b ax x f x =-∞→.)(的一条斜渐近线就是曲线则x f y b ax y =+=14.函数图形的作法: ①确定函数的定义域;②确定曲线的对称性;③讨论函数的单调性和极值;④讨论函数的凹向与拐点;⑤确定曲线的渐进线;⑥由曲线的方程计算出一些点的坐标,特别是曲线与坐标轴的交点坐标. 15. 需求函数 Qd= f (p) = -ap+ b （a,b 为正常数） 供给函数 Qs=g (p ) = cp - d （c,d 为正常数）均衡价格 （1）当市场价格p > 均衡价格p*时， Qs ↑ Qd ↓； （2）当市场价格p < 均衡价格p*时， Qs ↓ Qd ↑。
《微积分》复习大纲1
《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。
2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。
重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。
2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。
例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。
例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。
\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。
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微积分第三版上册复习提纲2012年10月24日星期三DR.proxmjov第零章-预备知识一。
互质的定义：互质（relatively prime）又叫互素。
若N个整数的最大公因数是1，则称这N个整数互质。
互质数的写法：如c与m互质，则写作（c,m）=1。
二。
集合的运算律：集合的分配率：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合的对偶律：(A∪B)C=A C∩B C(A∩B)C=A C∪B C三。
映射：单射+满射=一一映射四。
函数的运算：和：(f+g)(x)=f(x)+g(x) x∈D差：(f-g)(x)=f(x)-g(x) x∈D积：(f.g)(x)=f(x).g(x) x∈D商：(f/g)(x)=f(x)/g(x) x∈D 且g(x)≠0函数的线性组合：(αf+βg)(x)=αf(x)+βg(x) x∈D五。
三角函数：正割函数：y=secx 余割函数：y=cscx 图像sec2x−tan2x=1csc2x−cot2x=1六。
诱导公式：sin（2kπ+α）=sinα （k∈Z）cos（2kπ+α）=cosα （k∈Z）tan（2kπ+α）=tanα （k∈Z）cot（2kπ+α）=cotα （k∈Z）sec（2kπ+α）=secα （k∈Z）csc（2kπ+α）=cscα （k∈Z）sin（π+α）=－sinαcos（π+α）=－cosαtan（π+α）=tanαcot（π+α）=cotαsec（π+α）=－secαcsc（π+α）=－cscαsin（－α）=－sinαcos（－α）=cosαtan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotαsec（－α）=secαcsc (－α）=－cscαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=—sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsec（π/2+α）=－cscαcsc（π/2+α）=secα奇变偶不变，符号看象限七。
和差化积，积化和差公式：sinαsinβ=-[cos（α+β）-cos（α-β）]/2【注意右式前的负号】cosαcosβ=[cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2=sinβcosα=[sin（β+α）+sin（β-α）]/2这里用到了sin（-α）=-sinα 即sin（α-β）= - sin（β-α）sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2] 【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到八。
符号函数：y=sngx 取整函数y= [x]九。
反三角函数：1、y=arcsin(x），定义域[-1，1] ，值域[-π/2，π/2]2、y=arccos(x），定义域[-1，1] ，值域[0，π]，3、y=arctan(x），定义域（-∞，+∞），值域（-π/2，π/2）4、y=arccot(x），定义域（-∞，+∞），值域（0，π）十。
双曲函数：1、双曲正弦sh z =(e^z-e^(-z))/22、双曲余弦ch z =(e^z+e^(-z))/23、双曲正切th z = sh z /ch z =(e^z-e^(-z))/(e^z+e^(-z))4、双曲余切cth z = ch z/sh z=(e^z+e^(-z))/(e^z-e^(-z))5、双曲正割sch z =1/ch z6、双曲余割每个双曲函数之间的联系：xh(z) =1/sh zsinh(x)=(exp(x) - exp(-x)) / 2.0;cosh(x)=(exp(x) + exp(-x)) / 2.0;tanh(x) = sinh(x) / cosh(x);coth(x) = 1 / tanh(x);sech(x) = 1 / cosh(x);csch(x) = 1 / sinh(x);cosh^2(x) - sinh^2(x) =1;和差运算律：sinh(x+y)=sinhx.coshx+coshx.sinhycosh(x+y)=coshxcoshy+sinhxsinhysinh(x-y)=sinhx.coshx-coshx.sinhycosh(x-y)=coshxcoshy-sinhxsinhysinh2x=2sinhxcoshx cosh2x=cosh2x+sinh2x cosh2x−sinh2x=1反双曲正弦，反双曲余弦：反双曲正弦函数的定义是：，其中反双曲余弦函数的定义是：，其中其它反双曲函数参考习题： 教材：P17 T2P17 T12第一章，极限与连续一。
数列的极限极限的定义，推论（有限多项），收敛数列的有界性，收敛数列的保号性，推论。
收敛数列与其子数列的关系。
解题方法（证明一个极限的数量是A ），课件摘录：.)(,),(,落在其外个至多只有只有有限个内都落在所有的点时当N a a x N n n εε+->⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==>∞<=∞→-1q 1q111q 0lim 不存在q q n n课堂习题求极限：参考题目：书P31 T5 习题册P4 T4 二。
函数的极限极限的定义（有限点处，无穷大处）。
极限lim x→x0f(x)存在的充分必要条件。
水平渐近线的定义。
性质：1、有极限函数的局部有界性（点处，无穷大处）2、有极限函数的局部保号性（点处，无穷大处）逆命题，解题方法：证明函数的极限是A3、函数极限与数列极限的关系。
4、单侧极限，f (x0−)=f(x0+))11(lim )1(--+∞→n n n n nn nk n x k k x x x ∞→=∑+=-==lim ,)1(1,1,1)2(321求设nn n n n n n y c b a c b a y ∞→<<<++=lim ,0,)3(求设n n k n k n n x a x a n∞→=∏==lim ,,2)4(121求设参考题目：教材P4 T14 ,T6习题集 P6 四三。
极限的运算法则无穷小的定义，引理，f(x)=A+α定理：1、有限个无穷小之和是无穷小。
2、有界函数与无穷小之积是无穷小。
3、常数与无穷小之积是无穷小。
4、有限个无穷小之积是无穷小。
无穷大的定义，铅直渐近线的定义。
运算法则：复合函数的极限运算法则：注意P48图表，P49 T7四。
极限存在准则与两个重要极限夹逼准则，单调有界收敛准则，lim x→0sinxx=1limn→∞√nn=1limn→∞(1+1n)=e limx→0(1+x)1x=exxysin=.0,)()(lim)3(;)]()(lim[)2(;)]()(lim[)1(,)(lim,)(lim≠=⋅=⋅±=±==BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中则设⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim1111mnmnmnbabxbxbaxaxannnmmmx当当当lim(f(x))g(x)=A B参考习题：习题册P8 三 12五。
无穷小的比较低阶，高阶，同阶，等价无穷小，主要部分，基本无穷小，α~β的充分必要条件。
六。
函数的连续性与连续函数的运算 定义（点，区间）设函数在内有定义,如果当自变量的增量趋向于零时,对应的函数的增量也趋向于零,即或,那末就称函数在点连续,称为的连续点.单侧连续：间断点函数和差积商的连续性，复合函数的连续性，反函数的连续性，初等函数的连续性，;)(),()(,],()(0000处左连续在点则称且内有定义在若函数x x f x f x f x a x f =-.)(),()(,),[)(0000处右连续在点则称且内有定义在若函数x x fx f x f b x x f =+.~1)1(,ln ~121~cos 1,~1,~)1ln(,~arctan ,~tan ,~arcsin ,~sin 2x x a x a x x x e x x x x x x x x x x x x αα-+---+x Xlim g(x )(f (x ))g(x )x Xlim f (x )e∞→-→=11型参考习题：习题册P12 四七。
闭区间上连续函数的性质最大值与最小值定理：闭区间上的连续函数在该区间上有界并一定有最大值与最小值零点定理介值定理及推论参考习题：书P75 T2,3,4,6总习题中应当注意的典型题目：P76 T1,7,9,10,14 习题册 P15 一6，二，P17二 2，4，5，7（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
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